消元解二元一次方程组

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消元解二元一次方程
二元一次方程是指包含两个未知数的一次方程组。

我们可以通过消元法来解决这种方程组。

消元法的基本思路是将一个方程中的某个未知数用另一个方程中的表达式代替,从而消去这个未知数,最终得到只包含一个未知数的方程。

具体步骤如下:
1. 写出给定的二元一次方程组:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
2. 对某个未知数(例如x)进行消元。

将其中一个方程的x用另一个方程的表达式代替。

假设我们想消去x,可以将第一个方程的x用(c₂ - b₂y)/a₂代替。

3. 将代换后的表达式代入另一个方程,并化简,得到只包含y的一元一次方程。

4. 解出y的值。

5. 将求得的y值代回其中一个原方程,求出x的值。

6. 得到x和y的解。

通过这种消元的方法,我们可以很容易地解决二元一次方程组。

需要
注意的是,在实际操作中,我们可以先观察系数,选择合适的方程进行消元,以简化计算过程。

加减消元法解二元一次方程组的步骤解二元一次方程组听上去可能有点吓人，但实际上，只要掌握了加减消元法，问题就迎刃而解了。

这里我来带大家一步步深入了解这个方法，别担心，过程并不会让你感到枯燥或难以接受，相反，绝对能让你觉得简单又有趣。

1. 了解方程组1.1 什么是二元一次方程组？二元一次方程组就是包含两个变量（通常是 (x) 和 (y)）的方程组。

比如，[。

begin{cases}2x + 3y = 74x y = 1end{cases}]这里，你可以看到，两个方程都是一次的，说明最高的幂次是1。

1.2 加减消元法的目标是什么？加减消元法的终极目标就是通过加法或减法，把一个方程中的某个变量消掉，从而只剩下一个变量，这样就能轻松解出这个变量的值了。

2. 加减消元法步骤2.1 选择合适的方程并准备消元选择两个方程中的任何一个，重点是选择要消除哪个变量。

假设我们要消除 (y)，首先需要使两个方程中 (y) 的系数相同。

举个例子，如果我们选择上面给出的方程组，要消去 (y)，我们可以将第一个方程乘以1，第二个方程乘以3，使得 (y) 的系数相同（3 和 3），然后就可以通过加减来消去 (y)。

2.2 进行加减消元按照步骤进行加减消元，将第一个方程与第二个方程相加或相减。

例如，乘以3后，方程组变成：[begin{cases}2x + 3y = 712x 3y = 3end{cases}]将两个方程相加，得到：[(2x + 3y) + (12x 3y) = 7 + 3。

]这就化简为：[14x = 10]从中可以得出 (x = frac{10}{14} = frac{5}{7})。

2.3 求解另一个变量得到 (x) 的值后，我们将这个值代回任意一个原始方程，解出 (y)。

例如，将 (x = frac{5}{7}) 代入第一个方程：[2 left(frac{5}{7}right) + 3y = 7。

]解这个方程，得到 (y) 的值为 (frac{34}{7})。

消元法解二‎元一次方程‎组的概念、步骤与方法‎湖南李琳高明生一、概念步骤与‎方法：1.由二元一次‎方程组中一‎个方程，将一个未知‎数用含另一‎未知数的式‎子表示出来‎，再代入另一‎方程，实现消元，进而求得这‎个二元一次‎方程组的解‎.这种方法叫‎做代入消元‎法，简称代入法‎.2.用代入消元‎法解二元一‎次方程组的‎步骤：（1）从方程组中‎选取一个系‎数比较简单‎的方程，把其中的某‎一个未知数‎用含另一个‎未知数的式‎子表示出来‎.（2）把（1）中所得的方‎程代入另一‎个方程，消去一个未‎知数.（3）解所得到的‎一元一次方‎程，求得一个未‎知数的值.（4）把所求得的‎一个未知数‎的值代入（1）中求得的方‎程，求出另一个‎未知数的值‎，从而确定方‎程组的解.注意：⑴运用代入法‎时，将一个方程‎变形后，必须代入另‎一个方程，否则就会得‎出“0＝0”的形式，求不出未知‎数的值.⑵当方程组中‎有一个方程‎的一个未知‎数的系数是‎1或－1时，用代入法较‎简便.3.两个二元一‎次方程中同‎一未知数的‎系数相反或‎相等时，将两个方程‎的两边分别‎相加或相减‎，就能消去这‎个未知数，得到一个一‎元一次方程‎，这种方法叫‎做加减消元‎法，简称加减法‎。

用加减消元‎法解二元一‎次方程组的‎基本思路仍‎然是“消元”.4.用加减法解‎二元一次方‎程组的一般‎步骤:第一步:在所解的方‎程组中的两‎个方程,如果某个未‎知数的系数‎互为相反数‎,•可以把这两‎个方程的两‎边分别相加‎,消去这个未‎知数;如果未知数‎的系数相等‎,•可以直接把‎两个方程的‎两边相减,消去这个未‎知数.第二步:如果方程组‎中不存在某‎个未知数的‎系数绝对值‎相等,那么应选出‎一组系数(选最小公倍‎数较小的一‎组系数),求出它们的‎最小公倍数‎(如果一个系‎数是另一个‎系数的整数‎倍,该系数即为‎最小公倍数‎),然后将原方‎程组变形,使新方程组‎的这组系数‎的绝对值相‎等(都等于原系‎数的最小公‎倍数),再加减消元‎.第三步:对于较复杂‎的二元一次‎方程组,应先化简(去分母,去括号,•合并同类项‎等),通常要把每‎个方程整理‎成含未知数‎的项在方程‎的左边,•常数项在方‎程的右边的‎形式,再作如上加‎减消元的考‎虑.注意：⑴当两个方程‎中同一未知‎数的系数的‎绝对值相等‎或成整数倍‎时，用加减法较‎简便.⑵如果所给（列）方程组较复‎杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪‎种方法消元‎好.5.列方程组解‎简单的实际‎问题．解实际问题‎的关键在于‎理解题意,找出数量之‎间的相等关‎系,这里的相等‎关系应是两‎个或三个,正确的列出‎一个(或几个)方程,再组成方程‎组．6.列二元一次‎方程组解应‎用题的一般‎步骤：⑴设出题中的‎两个未知数‎；⑵找出题中的‎两个等量关‎系；⑶根据等量关‎系列出需要‎的代数式，进而列出两‎个方程，并组成方程‎组；⑷解这个方程‎组，求出未知数‎的值.⑸检验所得结‎果的正确性‎及合理性并‎写出答案.注意：对于可解的‎应用题，一般来说，有几个未知‎数，就应找出几‎个等量关系‎，从而列出几‎个方程.即未知数的‎个数应与方‎程组中方程‎的个数相等‎. 二、化归思想 所谓转化思‎想一般是指‎将新问题向‎旧问题转化‎、复杂问题向‎简单问题转‎化、未知问题向‎已知问题转‎化等等．在解二元一‎次方程中主‎要体现在运‎用“加减”和“代入”等消元的方‎法，把新问题“二元”或“三元”通过消去一‎个未知数转‎化为旧问题‎“一元”，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，从而实现问‎题的解决，它也是解二‎元一次方程‎最基本的思‎想．三、典型例题解‎析：类型一：基本概念：例1、（2005年‎盐城大纲）若一个二元‎一次方程的‎一个解为则‎21x y =⎧⎨=-⎩，，这个方程可‎以是___‎_____‎．（只要写出一‎个）分析：本题是一道‎开放型问题‎，考查方程的‎概念，满足题意的‎答案不惟一‎，解此类题目‎时，可以先设出‎系数在代入‎算出另一边‎的值。

《消元-—解二元一次方程组》教案1第一课时★新课标要求（一）知识与技能1．知道代入法的概念．2．会用代入消元法解二元一次方程组．(二）过程与方法1．通过探索,了解解二元一次方程的“消元"思想，初步体会数学的化归思想．2．培养探索、自主、合作的意识，提高解题能力．（三）情感、态度与价值观1．在消元的过程中体会化未知为已知、化复杂为简单的化归思想，从而享受数学的化归美,提高学习数学的兴趣．2．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神．★教学重点用代入法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元．★教学难点用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉．★教学方法1．关于检验方程组的解的问题．教学时要强调代入“原方程组”和“每一个”这两点．2．教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元"．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性．3．教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难,逐步加深．随着例题由简到繁,由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速,而且可以减少错误．教师启发、引导，学生观察、试验、比较、思考，讨论、交流学习成果．★教学过程一、引入新课教师活动：请同学们回忆上节课我们讨论的篮球联赛的问题．大家可以得到两种方程﹙组﹚．设此篮球队胜场，负场．方法一：；方法二：方法一得到的方程是我们学过的一元一次方程．大家很容易解得．所以该篮球队胜18场，负场．二、进行新课1．代入消元法的概念方法二得到的是二元一次方程组,怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么联系？学生活动：思考、讨论、发现二元一次方程组中第1个方程说明，将第2个方程的换为，这个方程就化为一元一次方程．教师活动：介绍消元思想，师生共同归纳代入消元法的概念．归纳：消元思想：这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．上面的解法，是把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．2．学习用代入消元法解二元一次方程教师活动：把下列方程写成用含的式子表示的形式：（1）；（2）．学生活动：独立完成，回答结果．教师活动：出示例１,巡视，指导学生解答．例１:用代入法解方程组学生活动：解答例１，体验代入消元法解二元一次方程组,试着归纳用消元法解二元一次方程组的步骤．分析:方程①中的系数是１，用含有的式子表示，比较就简便．解：由①，得③把③代入②,得．（把③代入①可以吗？）解这个方程，得．把代入③，得．(把代入①或②可以吗？)所以这个方程组的解是教师归纳总结强调:（1）一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程”由于方程③是由方程①得到的,所以它只能代入方程②,而不能代入方程③．（2)个未知数的值后,把它代入方程①②③都能得到另一个未知数的值,其中代入方程③最简捷．教师活动:指导学生认真阅读教材Ｐ例２．要求学生阅读思考找出题目中所包含的等量关系，列出二元一次方程组，并解答．例2：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为．某厂每天生产这种消毒液22.5吨,这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？学生活动：一生板演，余生自做．教师活动：针对学生的解答进行点评．分析:问题中包含两个条件:，大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量．解：设这些消毒液应该分装大瓶和小瓶．根据大、小瓶数的比以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得由①,得把③代入②，得．解这个方程，得．把代入③，得．所以这个方程组的解是答：这些消毒液应该分装大瓶和小瓶．上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：三、课堂总结这节课我们介绍了二元一次方程组的一种解法——-代入消元法．了解到解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把二元变成“一元”．在学习方法上，还要学会主动探索，从不同的角度来思考问题的学习方法，逐步理解数学的转化思想和整体代入思想．四、课后练习1．把下列方程改写成用含的式子表示的形式：（1）；（2)．2．用代入法解下列方程组：（1）(2)3．有48支队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只参加一项比赛．了；篮、排球队各有多少支参赛？4．张翔从学校出发骑自行车去县城,中途因道路施工步行一段路,1.5小时后到达县城．他骑车的平均速度是15千米/小时，步行的平均速度是5千米/小时，路程全长20千米．他骑车与步行各用多少时间？第二课时★新课标要求（一）知识与技能1．掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤．2．能运用加减法解二元一次方程组．3．培养学生的计算能力和应用数学解决实际问题的意识．（二）过程与方法经历探索用“消元”方法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求方程组的解的过程，体会“消元”方法在解方程中的作用．（三）情感、态度与价值观1．进一步理解解二元一次组的消元思想,在化“未知为已知"的过程中，体验化归的数学美．2．根据方程组的特点，引导学生多角度思考问题,培养开拓创新意识．★教学重点进一步渗透消元思想,掌握用加减消元法解二元一次方程组的原理及一般步骤；能熟练运用加减法解二元一次方程组．★教学难点明确用加减法解二元一次方程组的关键是必须使两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等★教学方法通过复习上节课利用代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入新课，让学生观察比较，从而发现只要将相同未知数前的系数化为绝对值相等的值，即可实施加减消元法．进一步让学生探究用代入法还是用加减法解方程组更简单,明确用加减法解题的优越性．通过反复的训练、归纳；再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论．★教学过程一、创设问题情境，导入新课教师活动：请同学们考虑下列问题:1．用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？2．用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确．学生活动：口答第１题，书面完成第２题,通过投影展示学生的不同解法．教师活动:对学生的解法给予肯定，激励．问:对于二元一次方程是不是还有其它解法,也可以消去一个未知数，达到消元的目的呢？二、进行新课1．对加减消元法的认识教师活动：第（2)题的两个方程中，未知数的系数有什么特点？（互为相反数）根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加,就可以消掉，得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解．解:①+②,得．解得．把代入①,得．∴．∴学生活动:比较用这种方法得到的值是否与用代入法得到的相同．（相同）上面方程组的两个方程中，因为的系数互为相反数,所以我们把两个方程相加，就消去了，观察一下的系数有何特点？(相等）方程①和方程②经过怎样的变化可以消去？（相减) 学生活动：观察、思考,尝试用①－②消元，解方程组，比较结果是否与用①＋②得到的结果相同．（相同）教师活动：归纳总结．两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称“加减法”．2．加减消元法解二元一次方程组提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单,还是用加减法简单？（加减法）②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）③什么条件下用加法、什么条件下用减法？(某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法)教师活动：出示课本例3要求学生思考“不用代入法怎样解”?例3：用加减法解方程组学生活动：在教师的引导下总结怎样解未知数的系数不一定刚好相等，也不一定互为相反数的二元一次方程．﹙用最小公倍数将同一未知数系数转化为相等或相反的数,然后再把两个方程的左右两边分别相加或相减﹚一生板演，师生共评．解：①×3，得②×2，得③+④，得,．把代入①，得,，．所以这个方程组的解是教师活动：出示投影片加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？（两方程中同一未知数的系数不相等也不相反，所以不能通过直接加减来消元．为消元需要在方程两边乘适当的数，使某个未知数在两方程中的系数相等或相反．）用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是什么?学生活动：分组讨论、总结，解决以上问题．教师活动：和学生一道分析讨论结果，投影出示加减消元的基本思想和解二元一次方程组的一般步骤．学生活动：阅读例４．师生共同分析列出方程组．然后交由学生解方程组．例4:2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3。