湖北省黄冈市优质课《基本不等式(复习课)》教学设计

基本不等式说课高三复习课说课各位老师，下午好，我说课的课题是必修5第三章《基本不等式复习课》，下面我将从考情分析，学情分析，和教学设计等几个方面加以阐述.首先，考情分析：【考纲要求】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最值问题.【考情播报】1. 以命题真假判断为载体,考察基本不等式成立的条件以及等号成立的条件,有时与不等式的性质一起考察,一般以选择题形式出现,难度不大；2. 考察利用基本不等式求函数或代数式的最值,有时与不等式恒成立问题相结合,多以选择题和填空题形式出现,难度中等及以下；3.考察利用基本不等式解决实际应用中的最值问题,各种题型均有可能出现,难度中等.其次，学情分析：基本不等式是求最值问题中的一种常用且重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形（拆、拼、凑等技巧）又可以转化成能够运用基本不等式求解的类型，学生解决起来有一定的困难，还有给定一些条件运用基本不等式求最值问题也是学生的弱点.在本节高三复习课中，结合学生实际制定复习方案，力求在学生的已有能力基础上设计问题，逐步引导学生课前自主预习、课堂启发学习、课下探讨巩固.本节内容复习，我制定了两个课时.我说课内容为第一课时.最后，谈谈我的教学过程设计：一.知识梳理：以填空的形式引导学生自我回顾：1.若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当__________时取“=”） 变形：若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当_______时取“=”） 2.若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（当且仅当________时取“=”） 变形：若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当________时取“=”） 总结：（1）当两个正数的积为定植时，则它们的和有最小值，当两个正数的 和为定植时，则它们的积有最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”引申：1.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当________时取“=”） 若0<ab ，则2----≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+a b b a a b b a (当且仅当________时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当________时取“=”） 2.若0<a ≤b ，则a ≤ 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 ≤b.(当且仅当________时取“=”）二.例题讲解应用一：求最值例一. 求下列函数的值域：（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x（对基本不等式的应用，注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可） 例二. 1.当时，求(82)y x x =-的最大值.（凑系数，“和定积最大”） 2.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.（凑项，运用“基本不等式”） 3.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域.（分离或换元，再用基本不等式，注意三要素） （让学生体会基本不等式求最值的条件，和变形技巧，提高解题能力） 例三. 求函数2254x y x +=+的值域. （对基本不等式的应用，注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.但遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x=+的单调性求最值） 例四. 1.已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 2.若正数y x ,满足xy y x 53=+，求的最小值y x 43+.（条件求最值，划归转化成用基本不等式求最值问题）例五. 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数1ab 的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行.法一：a ＝30－2b b ＋1 ，ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b b ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t＝－2(t ＋16t )＋34 ∵t ＋16t ≥2t ·16t ＝8 ∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

《基本不等式》教案教学三维目标：1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值.2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程.3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神.教学重点、难点：重点：基本不等式在解决最值问题中的应用.难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导：基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。

在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习.教学过程：一、基础梳理基本不等式：如果a,b 是正数，那么2a b+（当且仅当a b 时取""=号 ）代数背景：如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思想得到基本不等式）几何背景：半径不小于半弦。

常见变形：（1）ab222a b + （2）222a b + 22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）b a a b +2（a ，b 同号且不为0）3、算术平均数与几何平均数如果a 、b 是正数，我们称 为a 、b 的算术平均数，称 的a 、b 几何平均数.4、利用基本不等式求最值问题（建构策略）问题：（1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式：已知x ，y 都大于0则（1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当 时，和x +y 有最小值 ；（2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当 时，积xy 有最大值 .二、课前热身1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（ ）A. 22a b +B.C. 2abD. a b +2、已知,,a b c 是实数，求证222a b c ab bc ac ++≥++3、.1,0)1(的最小值求若xx x +> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错 （1）2121=⋅≥+x x x x 21的最小值是x x +∴ （2）2121,2=⋅≥+≥x x x x x 则 21,2的最小值是时x x x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+>a a a三、课堂探究1、答疑解惑 方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。

《基本不等式》教学设计《《基本不等式》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！讲授第三章第四节节“不等式的基本性质及其应用”，探究从“公式的导入到例题的选择及讲解”的合适方法。

在集体备课的基础上，由北京国际数学大会的会标引入，在与学生共同探索大会会标的几何图形面积关系的过程中比较自然地上入了基本不等式1：，并由此再利用代换的思想得到了基本不等式2：(a，b>0)。

符合学生的认知规律，学生自然而然就能够接受理解这两个基本不等式。

得到结论后又进行反思，对基本不等式2进行几何解释，强化了数形结合的数学思想。

又强化了证明基本不等式2时的代换思想。

体现了新课改课改的教学理念。

注重学生的学习实际，在原有的基础上按就近发展区的原则设计和实施课堂教学。

例如在例题“ 的的取得范围”基础上设计了思考：“在0时，求的取值的范围”。

这样对学生来说，既落实了本节课的重点(基本不等式的运用)，又有思维的难度，即需要考虑 0时的解决方法。

在高一(13)班第一遍试讲完之后，代金林，兰志杰建议由北京国际数学大会的会标引入，在与学生共同探索大会会标的几何图形面积关系的过程中比较自然地上引入了基本不等式时，特别要让学生明白四个直角三角形面积和与正方形面积的关系，利用几何画板展示，提问要到位。

在例题的选择上去掉例题1：试判断与 2 的大小关系?若条件变为“a<0,b<0”,结论有变化吗?改为证明题。

课堂教学中，合理地利用各种教学手段。

在本节课上，教师既有规范的黑板板书，又有多媒体的运用。

在基本不等式1的引入及对基本不等式2的几何解释中，利用几何画板，使学生非常直观地理解它的几何意义。

教师都能够根据本班级学生的实际学习情况，选择适当的教学方法及例题习题，如张老师让我非常注重学生思维能力的训练，在基本不等式的应用上安排了变式训练的应用题，大大提高了学生的学习积极性，又拓展学生的数学思维;代金林指导我讲解细致清晰，在例题讲解中，对应基本不等式中的a、b进行解读，使得每一位学生都能够理解掌握基本不等式的应用。

基本不等式教学设计（多篇）第1篇：基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。

等式性质、不等式性质与基本不等式复习课公开课教案教学设计课件资料第一章：等式性质的复习与探究1.1 等式的概念与基本性质回顾等式的定义和基本性质（如交换律、结合律、分配律等）。

通过示例和练习，让学生熟悉等式的应用和解题方法。

1.2 等式的变形与解复习等式的变形规则，如两边加减乘除相同的数等。

讲解等式解的定义和求解方法，通过例题展示解题步骤和技巧。

第二章：不等式性质的复习与探究2.1 不等式的概念与基本性质回顾不等式的定义和基本性质（如传递性、同向不等式的可加性等）。

通过示例和练习，让学生熟悉不等式的应用和解题方法。

2.2 不等式的变形与解复习不等式的变形规则，如两边加减乘除相同的数等。

讲解不等式解的定义和求解方法，通过例题展示解题步骤和技巧。

第三章：基本不等式的复习与探究3.1 基本不等式的概念与性质回顾基本不等式的定义和性质，如算术平均数不小于几何平均数等。

通过示例和练习，让学生熟悉基本不等式的应用和解题方法。

3.2 基本不等式的证明与应用讲解基本不等式的证明方法，如使用AM-GM不等式等。

探讨基本不等式在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。

第四章：等式与不等式的综合应用4.1 等式与不等式的联立讲解等式与不等式的联立解法，如解方程组和不等式组。

通过例题和练习，让学生熟悉解题步骤和技巧。

4.2 等式与不等式的应用问题分析等式与不等式在实际问题中的应用，如几何问题、物理问题等。

通过例题和练习，让学生熟悉解题思路和方法。

第五章：复习与练习5.1 等式性质的复习与练习总结等式的性质和解题方法，进行复习和练习。

提供练习题，让学生自主练习和巩固知识点。

5.2 不等式性质的复习与练习总结不等式的性质和解题方法，进行复习和练习。

提供练习题，让学生自主练习和巩固知识点。

5.3 基本不等式的复习与练习总结基本不等式的性质和解题方法，进行复习和练习。

提供练习题，让学生自主练习和巩固知识点。

第六章：等式与不等式的转换6.1 等式到不等式的转换讲解如何将等式转换为不等式，以及在不同情况下如何处理不等式的符号变化。

《高三数学总复习------基本不等式》教学设计一、教材的地位与作用本节课内容是在复习了不等关系与不等式性质基础上展开的，起着承上启下的作用，是解决函数最值问题和实际生活问题的一个重要工具。

二、 学情分析学生已经复习了不等式的一些知识以及平面解析几何的基本知识，因此，复习、巩固本节课内容不是很难，但是，学生在使用基本不等式解决最值问题时，往往会忽略了基本不等式使用的条件------一正、二定、三取等号，务必在教学中要重点解决。

三、 教学重难点1、 重点：基本不等式使用的条件。

2、 难点：利用基本不等式解决实际问题。

四、教学过程：（一）知识点回顾1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：___________. (2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 2．常用的几个重要不等式 (1)a 2＋b 2≥_____(a ，b ∈R)； (2)ab ____(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)； (3)a 2＋b 22 _____(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)； (4)b a ＋a b ≥____(a ，b 同号且不为零)．3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为______，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有______值是______.(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有________（二）课前热身设计意图：回顾旧知，激发学生的学习兴趣。

（三）考点突破考点1 利用基本不等式求最值例1、跟踪训练1．(教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( ) A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．已知x ，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为( ) A.14 B.18 C.12 D.116 3．(2011·高考上海卷)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b ＞2ab D.b a ＋a b ≥2 4．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为_______；若a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________． 5．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，最大的一个矩形的面积为________．(1)已知x ＞1，求f (x )＝x ＋1x －1的最小 值； (2)已知0＜x ＜25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y 的最小值． 1．(1)已知x <0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为__________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为__________； (3)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值为考点2利用基本不等式解决实际问题例2、跟踪训练设计意图：通过基本不等式在例题中的应用，让学生进一步掌握基本不等式的内涵与外延，并通过跟踪训练，让学生熟练应用知识点解决最值问题和实际问题。

基本不等式教案一、教学目标：1、知识与技能：①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件；②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。

2、过程与方法：本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。

要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。

定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。

3、情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。

同时通过基本不等式的几何解释，提高学生数形结合的能力。

二、教学重点和难点：重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b +≤的多种解释； 难点：理解“当且仅当a b =时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。

三、学法与教学用具：先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。

从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。

定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。

教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。

四、教学设想：1、几何操作，引入问题：给出如右的所示的几何图形，AB 是O 的直径，点C 是AB 上任意一点，过点C 作垂直于AB 的弦交O 于DD '，连结AD 、BD ，同学们，能通过这个圆以及简单的三角形得到一些相等和不等的关系吗?提问一：现在我们不妨假设2AC a =，2BC b =，那么CD 的长度是多少？、由AB 为直径可知ABD ∆是直角三角形，再根据DC AB ⊥，容易证得ACD ∆∽DCB ∆，即得CD ab =；提问二：根据初中学习的知识，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆的直径有什么关系？任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等。

7.4 基本不等式及其应用考纲要求1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．3．会用柯西不等式解决最值问题，理解它们的几何意义．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：__________.(2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的__________，ab 称为正数a ，b 的__________．2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当__________时，x ＋y 有__________是__________(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当且仅当__________时，xy 有__________值是__________(简记：和定积最大)．3．几个常用的不等式(1)a 2＋b 2__________2ab (a ，b ∈R )．(2)ab __________⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22__________a 2＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b ＞0)． (5)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)；b a ＋ab≤－2(a ，b 异号且不为0)． 4．柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．1．若x ＋2y ＝4，则2x＋4y的最小值是( )．A ．4B ．8C ．2 2D ．4 22．(2012湖北武昌高三调研)“a ＝14”是“对任意正数x ，均有x ＋ax≥1”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )． A ．40 B ．10 C ．4 D ．24．当x ＞2时，不等式x ＋1x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．[0，＋∞)D ．[2,4]5．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m 2的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为__________元．一、利用基本不等式证明不等式【例1】设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2.方法提炼利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．请做演练巩固提升5二、利用基本不等式求最值【例2－1】 (2012浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )．A.245B.285C ．5D ．6 【例2－2】 (1)设0＜x ＜2，求函数y ＝x －2x 的最大值；(2)求4a －2＋a 的取值范围；(3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4y的最小值．方法提炼1．在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可．2．对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法．3．为了创造条件使用基本不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件，另外，可利用二次函数的配方法求最值．请做演练巩固提升3,4 三、柯西不等式【例3】设x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值． 请做演练巩固提升6四、基本不等式的实际应用 【例4－1】 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)【例4－2】 要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使整个矩形广告面积最小．方法提炼基本不等式实际应用题的特点：(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．请做演练巩固提升2忽视题目的隐含条件致误【典例】 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．分析：由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用均值不等式求解即可．解析：由题意可知f (x )＝2x的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2x 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－2x ，由两点间距离公式可得|PQ |＝x ＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2x 2＝x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2≥4， 等号当且仅当x 2＝2，即x ＝±2时取得． 答案：4 答题指导：1．在解答本题时主要有两点误区：(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解．(2)有些同学设出直线方程与f (x )＝2x联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解，出现运算繁琐情况，导致错解．2．解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意： (1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义； (2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式； (3)思考要周密，运算要准确、快速．另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法．1．(2013届湖北华师附中高三期中检测)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值为( )．A ．20B ．18C ．16D ．142．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件3．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n ＞0)，则1m ＋2n的最小值等于( )．A ．16B ．12C ．9D ．84．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(y －1,1)，x ，y ∈R ＋，若a ∥b ，则t ＝x ＋1x ＋y ＋1y的最小值是( )．A ．4B ．5C ．6D ．85．已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac .6．设x ，y ，z ∈R ，且x －216＋y ＋25＋z －24＝1，求x ＋y ＋z 的最大值和最小值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)a ＞0，b ＞0 (2)a ＝b (3)算术平均数 几何平均数 2．(1)x ＝y 最小值 2P (2)x ＝y 最大S 243．(1)≥ (2)≤ (3)≤ 基础自测1．B 解析：∵2x ＋4y ≥2·2x ·22y ＝2·2x ＋2y ＝2·24＝8，当且仅当2x ＝22y ，即x ＝2y ＝2时取等号，∴2x ＋4y的最小值为8.2．A 解析：当a ＝14时，x ＋14x ≥214＝1；当x ＝14x ，即x ＝12时取“＝”；反之，不一定成立，故选A.3．D 解析：∵x ＋4y ＝40，且x ＞0，y ＞0，∴x ＋4y ≥2·x ·4y ＝4·xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”) ∴4xy ≤40.∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. ∴lg x ＋lg y 的最大值为2.4．B 解析：∵x ＋1x －2≥a 恒成立，∴a 必须小于或等于x ＋1x －2的最小值．∵x ＞2，∴x －2＞0.∴x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝3时取最小值4. 故选择B.5．1 760 解析：设水池底面的长度、宽度分别为a m ，b m ，则ab ＝4， 令水池表面的总造价为y ， 则y ＝ab ×120＋2(2a ＋2b )×80＝480＋320(a ＋b )≥480＋320×2ab ＝480＋320×4＝1 760， 当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”． 考点探究突破【例1】 证明：由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab. 当且仅当1a 2＝1b2，即a ＝b 时等号成立．又因为2ab ＋ab ≥22ab·ab ＝2 2.当且仅当2ab＝ab 时等号成立．所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．【例2－1】 C 解析：∵x ＋3y ＝5xy ， ∴15y ＋35x＝1. ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．【例2－2】解：(1)∵0＜x ＜2， ∴2－x ＞0.∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值是 2. (2)显然a ≠2，当a ＞2时，a －2＞0，∴4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2≥24a －2·(a －2)＋2＝6， 当且仅当4a －2＝a －2，即a ＝4时取等号；当a ＜2时，a －2＜0，∴4a －2＋a ＝4a －2＋(a －2)＋2 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤42－a ＋(2－a )＋2≤－242－a ·(2－a )＋2＝－2， 当且仅当42－a＝2－a ，即a ＝0时取等号，∴4a －2＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． (3)∵x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1， ∴3x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y (x ＋y )＝7＋3y x ＋4xy≥7＋23y x ·4x y＝7＋43，当且仅当3y x ＝4xy，即2x ＝3y 时等号成立，∴3x ＋4y的最小值为7＋4 3.【例3】 解：根据柯西不等式(1·x －2·y ＋2·z )2≤[12＋(－2)2＋22](x 2＋y 2＋z 2)，即(x －2y ＋2z )2≤9×25.从而有－15≤x －2y ＋2z ≤15，故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.【例4－1】 解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x＝10 800x.∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎪⎫x ＋225x (x ≥10)，当x ＋225x取最小时，y 有最小值．∵x ＞0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30，当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少． 【例4－2】解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ， 则ab ＝20 000，∴b ＝20 000a.广告的高为a ＋20，宽为3b ＋30(其中a ＞0，b ＞0)， 广告的面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30) ＝30(a ＋2b )＋60 600＝30⎝⎛⎭⎪⎫a ＋40 000a＋60 600 ≥30×2a ×40 000a＋60 600＝12 000＋60 600＝72 600，当且仅当a ＝40 000a，即a ＝200时，取等号，此时b ＝100.故当广告的高为220 cm ，宽为330 cm 时，可使整个矩形广告的面积最小． 演练巩固提升1．B 解析：由已知得AB uu u r ·AC uuu r＝bc cos∠BAC ＝23，∴bc ＝4.故S △ABC ＝x ＋y ＋12＝12bc ·sin A ＝1，∴x ＋y ＝12.∴1x ＋4y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ×2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y≥2⎝⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝18. 2．B 解析：由题意得平均每件产品生产准备费用为800x元，仓储费用为x 8元，从而费用和为800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20.当800x ＝x8，即x ＝80时等号成立． 3．D 解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1. ∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝2＋2＋n m ＋4m n ≥4＋2n m ·4mn ＝8，当n m ＝4m n，即n 2＝4m 2，即n ＝2m ， 即n ＝12，m ＝14时，1m ＋2n取得最小值8.4．B 解析：由a ∥b ，得x ＋y ＝1，t ＝t (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1y (x ＋y )＝1＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥3＋2y x ·xy＝5， 当x ＝y ＝12时，t 取得最小值5.5．证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ， a 2＋c 2≥2ac ，∴2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ac ，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2.由a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3ab ＋3bc ＋3ac ，∴(a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ac )． ∴13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac . 综上所述，a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ，命题得证．6．解：∵(x －1)216＋(y ＋2)25＋(z －3)24＝1，由柯西不等式知[42＋(5)2＋22]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＋⎝⎛⎭⎪⎫z －322≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋25＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫z －322 ⇒25×1≥(x ＋y ＋z －2)2 ⇒5≥|x ＋y ＋z －2|⇒－5≤x ＋y ＋z －2≤5， ∴－3≤x ＋y ＋z ≤7.故x ＋y ＋z 的最大值为7，最小值为－3.。

《基本不等式》教学设计授课教师：教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（复习课）课时：1课时一.教学内容分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一.就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想.本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习选修2-3中推理与证明和选修4-5中不等式选讲时再次得到加强.基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分.本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)a b ab a b R+≥∈.在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式.其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力.这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容.因此，我认为本节课的教学重点为：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.二．教学目标设置《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题.根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：（1）通过观察图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；（2）让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，体会数形结合的数学思想.（3）通过运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，加深学生对基本不等式的理解，认识数学的对称性与完整性.三．学生学情分析学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式.同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力.这些都为学习本节内容奠定了基础.在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难，一时很难接受；从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理解；对于变量存在和或者积为定值也需仔细观察，在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽视.另外，教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力，而且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现.因此，我以为本节课的教学难点为：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值.四．教学策略分析本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力.五、教学过程设计（一）典型例题例1．已知a，b是正数，求证21a＋1b≤ab.【设计意图】对于不等式的证明，学生已具备了“分析法”的基本思想，教材上以填空的形式证明了基本不等式，但“分析法”证明的格式以及为什么要这样证明，是学生思维的盲点，一是学生不会发现其中隐含的道理，二是学生照此模仿往往会出错.因此此处的证明由学生独立完成，相互交流，并展示不同的证明方法，这样既能使不同认知基本的学生暴露出不同的问题，并加以解决，又能教会学生欣赏同伴身上的闪光点，发扬合作精神.[例2](1)已知m ，n ＞0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值． 已知x ＞3，求f(x)＝x ＋4x －3的最小值； 【设计意图】本题是基本不等式在实际问题中的简单应用，一方面，让学生知道可以利用基本不等式求解最大（小）值的问题；另一方面，强化学生对基本不等式的理解，特别是等号成立的条件，同时培养学生形成严谨的思维习惯，具备反思的意识，也为后续提出“一正，二定，三相等”做铺垫.例3、设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值 【设计意图】本题是基本不等式在实际问题中的简单应用，介绍整体化一方法解决函数最值问题。