数学基本方法之三 待定系数法 新课标 人教版

数学人教版八年级下册待定系数法1 / 11待定系数法， 一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组， 其 后通过解方程或方程组便可求出待定的系数， 或找出某些系数所满足的关系式， 这种解决问 题的方法叫做待定系数法。

一般用法是，设某一多项式的全部或局部系数为未知数， 利用两个多项式恒等式同类项 系数相等的原理或其他条件确定这些系数， 从而得到待求的值。

例如，将多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件， 求出这些未知数。

求经过某些 点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。

从更广泛的意义上说， 待定系数法是将某个解析式 的一些常数看作未知数， 利用条件确定这些未知数， 使问题得到解决的方法。

求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和， 求微分方程的级数形式的解等， 都可用 这种方法。

使用待定系数法解题的一般步骤是 :(1)确定所求问题含待定系数的解析式 ;(2)根据恒等 条件，列出一组含待定系数的方程 ;.(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

例如:“x2-5=(2-A)·x2+Bx+C，求A ，B ，C 的值.〞解答此题，并不困难 .只需将右式与左 式的多项式中的对应项的系数加以比拟后，就可得到 A ，B ，C 的值.这里的A ，B ，C 是有 待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法 .步骤:(2-A)一、确定所求问题含待定系数的解析式。

上面例题中，解析式就是 :×x&2;+Bx+C二、根据恒等条件， 列出一组含待定系数的方程。

在这一题中，恒等条件是:2-A=1B=0C=-5三、解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

∴ A=1B=0C=-5。

数学人教B必修1第二章2.2.3 待定系数法1．了解待定系数法的概念．2．掌握用待定系数法求函数的解析式．3．理解待定系数法的适用范围及注意事项．1．待定系数法的概念一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的______，可先把所求函数写为一般形式，其中______待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过__________来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未知系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否能用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解，其基本步骤如下：(1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．【做一做1】若f(x)为一次函数，且满足f[f(x)]＝1＋2x，则f(x)的解析式为________．2．二次函数的三种表示形式(1)一般式：________________，其中____决定开口方向与大小，____是y轴上的截距，而__________是对称轴．(2)顶点式(配方式)：______________，其中______是抛物线的顶点坐标，______是对称轴．(3)两根式(因式分解)：________________，其中x1，x2是抛物线与x轴两个交点的______．【做一做2－1】已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式为() A．y＝－x2－4x－1B．y＝x2－4x－1C．y＝x2＋4x－1D．y＝－x2－4x＋1【做一做2－2】已知二次函数的图象过(0,1)，(2,4)，(3,10)三点，则这个二次函数的解析式为__________．确定二次函数解析式所需的条件剖析：二次函数解析式的求法有以下几种情况：(1)已知三点坐标，求解析式．可将函数解析式设为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．将点的坐标分别代入所设解析式，列出关于a，b，c的三元一次方程组，解出a，b，c即可．(2)已知顶点坐标为(m，n)，可设y＝a(x－m)2＋n，再借助于其他条件求a.(3)已知对称轴方程为x＝m，可设y＝a(x－m)2＋k，再借助于其他条件求a与k.(4)已知最大值或最小值为n，可设y＝a(x－h)2＋n，再借助于其他条件求a和h.(5)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设y＝a(x－h)2，再借助于其他条件求a 和h.(6)已知二次函数图象与x轴有两个交点x1，x2时，可设y＝a(x－x1)(x－x2)，再借助于其他条件求a.题型一用待定系数法求函数解析式【例1】求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．(2)已知二次函数y ＝f (x )的图象过A (0，－5)，B (5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的解析式．分析：对于(1)可设出一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，对于(2)可设出二次函数的顶点式或一般式，利用待定系数法求出解析式．反思：通过解决本题，我们可得出：利用待定系数法求函数的解析式的具体做法是先根据题目中给出的函数类型设出解析式的一般形式，再由已知条件列方程或方程组，然后求出待定系数即可．当已知函数的类型，如二次函数、一次函数、反比例函数等，可以设出所求函数的一般形式，如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，y ＝kx ＋b (k ≠0)，y ＝k x(k ≠0)等．设待定系数本着“宁少勿多”的原则进行，注意提炼解题过程，简化解方程的途径．题型二 已知函数图象求函数解析式【例2】如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．分析：由图象可知：①函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成；②当x ≤1或x ≥3时，函数解析式可设为y ＝kx ＋b (k ≠0)；③当1≤x ≤3时，函数解析式可设为y ＝a (x －2)2＋2(a ＜0)或y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)． 反思：由函数图象求函数的解析式，关键是观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后针对不同区间上的函数，利用待定系数法求出相应的解析式．题型三 易错辨析【例3】已知f (x )是二次函数，不等式f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，且f (x )在区间[－1,4]上的其中一个最值为12，求f (x )的解析式．错解：根据f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，可设f (x )＝ax (x －5)． 又∵f (x )在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f (－1)＝12或f ⎝⎛⎭⎫52＝12，即6a ＝12或－254a ＝12，解得a ＝2或a ＝－4825. 综上可知f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x 或f (x )＝－4825x (x －5)＝－4825x 2＋485x . 反思：在涉及二次函数、二次方程、二次不等式等含参数的问题时，一定要注意分类讨论思想的合理应用，更应该及时地检验所求结果是否满足已知条件，千万别出现增解或漏解现象．1若函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (3，－2)和Q (－1,2)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝－x －1D ．y ＝－x ＋12已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最大值为2，图象顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象过点(3，－6)，则a ，b ，c 的值为( )A ．－2,4,0B ．4，－2,0C ．－4，－2,0D ．－2，－4,03已知f (x )＝x 2，g (x )是一次函数，且是增函数，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，则g (x )＝__________.4已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交于两点，其中一交点为(1,4)，则另一交点为______．5已知二次函数f (x )图象的对称轴是直线x ＝－1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f (x )的解析式．答案：基础知识·梳理1．一般形式 系数 求待定系数【做一做1】f (x )＝－2x －2－1或f (x )＝2x ＋2－1 已知f (x )为一次函数，可以使用待定系数法．设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ，利用对应系数相等即可求得k ＝－2，b ＝－2－1或k ＝2，b ＝2－1.2．(1)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) a c x ＝－b 2a(2)f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (h ，k ) x ＝h (3)f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) 横坐标【做一做2－1】A 设所求解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)．∵抛物线过点(－3,2)，∴2＝a ＋3.∴a ＝－1，∴y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.【做一做2－2】f (x )＝32x 2－32x ＋1 根据题意设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，然后将图象所经过的三个点的坐标分别代入方程，联立三个方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a ·02＋b ·0＋c ，4＝a ·22＋b ·2＋c ，10＝a ·32＋b ·3＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－32，c ＝1.故f (x )＝32x 2－32x ＋1. 典型例题·领悟 【例1】解：(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (2)解法一：利用二次函数的顶点式．设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，把点A (0，－5)，B (5,0)的坐标代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧ －5＝4a ＋k ，0＝9a ＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－9，a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －2)2－9，即f (x )＝x 2－4x －5.解法二：利用二次函数的一般式．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －5＝c ，0＝25a ＋5b ＋c ，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－5，5a ＋b －1＝0.①② 又∵对称轴为x ＝2，∴－b 2a＝2. ∴b ＝－4a .③ 由①②③，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4，c ＝－5.因此所求函数的解析式为f (x )＝x 2－4x －5.【例2】解：设左侧的射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)．因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2， 解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)．同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)．当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．解法一：设函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)．由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1.所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．解法二：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0，1≤x ≤3)．因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝4，c ＝－2. 所以抛物线对应的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，－x 2＋4x －2，x －2， x <1，1≤x <3，x ≥3.【例3】错因分析：没有对a 的值进行检验，而出现错解现象．正解：根据f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，可设f (x )＝ax (x －5)． 又∵f (x )在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f (－1)＝12或f ⎝⎛⎭⎫52＝12，即6a ＝12或－254a ＝12，解得a ＝2或a ＝－4825. 当a ＝2时，满足题意；当a ＝－4825时，二次函数的图象开口向下，不符合f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，故舍去．综上，所求解析式为f (x )＝2x 2－10x .随堂练习·巩固1．D 把点P (3，－2)和Q (－1,2)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝3k ＋b ，2＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，b ＝1. ∴y ＝－x ＋1，故选D.2．A 由已知可设此二次函数为y ＝a (x －h )2＋2(a ≠0)．∵图象顶点在直线y ＝x ＋1上，∴2＝h ＋1，得h ＝1.又图象过点(3，－6)，∴－6＝a (3－1)2＋2.∴a ＝－2.∴y ＝－2(x －1)2＋2＝－2x 2＋4x .∴a ＝－2，b ＝4，c ＝0.3．2x －5 设g (x )＝kx ＋b (k ＞0)，则f [g (x )]＝g 2(x )＝(kx ＋b )2＝k 2x 2＋2kbx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，比较系数可得k ＝2，b ＝－5.∴g (x )＝2x －5.4．⎝⎛⎭⎫－14，14 将(1,4)的坐标分别代入y ＝ax 2与y ＝kx ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝a ，4＝k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，k ＝3.再联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝－14，y ＝14.5．分析：设出二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数f (x )的解析式． 解：设f (x )＝a (x ＋1)2＋k (a ≠0)．由题意，得f (1)＝13，f (2)＝28，则有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝13，9a ＋k ＝28， 解得a ＝3，k ＝1，所以f (x )＝3(x ＋1)2＋1.。

预习导航请沿以下脉络预习：1．待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把函数写为一般形式，其中系数待定，然后根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫待定系数法．2．使用待定系数法解题的基本步骤：(1)确定所求问题是含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程(组)，确定待定系数的值，从而使问题得到解决．1．过点A(－2,3)的反比例函数的解析式是()．A．6yx=B．6yx-=C．32y x=D．32y x=-答案：B解析：设反比例函数为kyx=，代入A点坐标得32k=-，∴k＝－6.2．过点(－1,1)的正比例函数是()．A．y＝x B．y＝－xC．y＝2x＋3 D．y＝－2x－1答案：B解析：设正比例函数为y＝kx，代入点(－1,1)得－k＝1，∴k＝－1.3．二次函数y＝x2＋ax＋b，若a＋b＝0，则它的图象必经过点()．A．(－1，－1) B．(1，－1)C．(1,1) D．(－1,1)答案：C解析：对于二次函数y ＝x 2＋ax ＋b ，当x ＝1时，y ＝12＋(a ＋b )＝1，故图象必过点(1,1)．4．已知一次函数的图象经过(5，－2)和(3,4)，则这个函数的解析式为________． 答案：y ＝－3x ＋13解析：设一次函数为y ＝kx ＋b ，则有5234k b k b +=-⎧⎨+=⎩解得313k b =-⎧⎨=⎩ 5．已知6x 2－x －1＝(2x －1)·(ax ＋b )，求a ，b .解：方法一：∵(2x －1)·(ax ＋b )＝2ax 2＋(2b －a )x －b ，∴6x 2－x －1＝2ax 2＋(2b －a )x －b ，根据多项式恒等，对应项系数相等得：26211a b a b =⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩解得31a b =⎧⎨=⎩ 方法二：∵6x 2－x －1＝(2x －1)·(3x ＋1)，∴(2x －1)·(3x ＋1)＝(2x －1)·(ax ＋b )，∴a ＝3，b ＝1.。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式. 【答案与解析】本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c(a ≠0)，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=+-53939c b a c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=531c b a ∴所求的二次函数的解析式为y=-x 2+3x-5.【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0). 举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】（2014秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x 2+x ； ∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．2．（2015•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2）， 设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣2， 把点（2，3）代入解析式，得： a ﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2﹣2． 【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，.3．（2016•丹阳市校级模拟）抛物线的图象如图，则它的函数表达式是 ．当x时，y ＞0．【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．y ＞0时，求x 的取值范围，即求抛物线落在x 轴上方时所对应的x 的值． 【答案】y=x 2﹣4x +3．x ＜1，或x ＞3 【解析】解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3）， 由“交点式”，得抛物线解析式为y=a （x ﹣1）（x ﹣3）， 将（0，3）代入， 3=a （0﹣1）（0﹣3）， 解得a=1．故函数表达式为y=x 2﹣4x +3．由图可知当x ＜1，或x ＞3时，y ＞0．【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．类型二、用待定系数法解题4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数解析式； (2)求△ABC 的面积． 【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+-，∴ 1a =-．∴ (2)(4)y x x =-+-． 即228y x x =-++．(2)由(1)知C(0，8)， ∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△．【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1） 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直CBAO长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．【高清ID号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB和半径OC互相平分，∴OC⊥AB ，OM=MC=OC=OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图（1），在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．449-π B．849-π C．489-π D．889-πAEB F P图（1）【答案】连结AD，则AD⊥BC，△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF的面积是：2 8028=. 3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=84-9π．图（2）故选B．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。

三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。

A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。

A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。

第3课时用待定系数法求一次函数解析式1.理解待定系数法.2.能根据所给信息确定一次函数表达式.自学指导：阅读教材93页至94页的“例4”，独立完成下列问题：知识探究（一）归纳：一次函数解析式的确定：(1)方法：待定系数法.(2)一般步骤：①设，设出一次函数解析式的一般形式y=kx+b；②列，将已知点的坐标代入函数解析式，得到方程(组)；③解，解方程(组)，求出待定系数；④写出一次函数解析式.自学反馈（一）(1)已知一次函数y=kx+2，当x=5时y的值为4，求k的值.(2)已知直线y=kx+b经过点(9，0)和点(24，20)，求k，b的值.解：(1)k=2 5 .(2)k=43，b＝-12.根据待定系数法，将点的坐标代入解析式即可求出，如果k，b中只有一个未知则只需一个点坐标，如果两个都是未知则需要两个点坐标才可求出.自学指导：阅读教材94页至95页，独立完成下列问题：知识探究（二）归纳：(1)在用一次函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，通常情况下自变量要使函数式本身有意义，还要使实际问题有意义.(2)画函数图象时，不包含的点要用空心圆圈，包含的点要用实心圆点.自学反馈（二）一个试验室在0：00-2：00保持20℃的恒温，在2：00-4：00匀速升温，每小时升高5℃，写出时间t(单位：时)与试验室温度T(单位：℃)之间的函数解析式，并画出函数图象.活动1 学生独立完成例1已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3，-3)，且与直线y=4x-3的交点在x轴上.(1)求这个一次函数的解析式；(2)此一次函数的图象经过哪几个象限；(3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形面积.解：(1)直线y=4x-3与x轴的交点坐标为(34，0)，则函数y=kx+b经过点(3，-3)和(34，0).故3330.4k bk b+⎧=-+⎪=⎪⎨⎩，解之，得431.kb=-=⎧⎪⎨⎪⎩，∴此一次函数的解析式为y=-43x+1.(2)因为k=-43<0，b=1>0，∴一次函数y=-43x+1的图象经过第一、二、四象限.(3)设此函数与x轴和y轴的交点分别为A、B，则两点坐标分别为A(34，0)、B(0，1).∴则OA=34，OB=1.故S△AOB=12OA·OB=12×34×1=38.点在线上，坐标满足解析式，据此可求待定系数；而对于求图形面积可用割补法将所求图形变成特殊图形，点(x、y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.例2甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地，如图所示的L1、L2分别表示甲、乙两车行驶y(千米)与时间x(小时)之间的关系，根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求L1、L2的函数表达式；(2)甲、乙两车哪一辆先到达B地？该车比另一辆早多长时间到达B地？解：(1)设直线L1的解析式为y=k1x，直线L2的解析式为y=k2x+b.由154k1=300，得k1=80.直线L1的解析式为y=80x;将(154，300)、(194，400)代入y=k 2x+b ， 则有2215300419400.4k b k b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩，解之，得210075.k b ==-⎧⎨⎩， ∴直线L 2的解析式为y=100x-75.(2)令80x=400得x=5.∵5-194=14， ∴乙车比甲车早14小时到达. 解决此类问题通常的方法是弄清两个函数交点的意义，先用待定系数法求出解析式，再解两个函数的解析式组成的方程组，从而求出这两个函数的交点坐标.活动2 跟踪训练1.直线l 与直线y=2x+1的交点的横坐标为2，与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1，求直线l 的解析式. 解：y=4x-3.先根据已知函数求出两个交点的坐标，再用待定系数法求解析式.2.为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示，根据图象求y 与x 的关系式(1度=1千瓦时).解：y 1=12x(0≤x ≤50)，y 2=910x-20(x ＞50). 此函数图象分为两段，第一段为0≤x ≤50时，关系式为正比例函数；第二段为x>50时，关系式为一次函数.活动3 课堂小结学生尝试小结：这节课你学到了什么？教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。