关于一道高考题严谨性的商榷

校园英语 / 基础教育小议一道高考英语题的严谨性西北工业大学附中/李永伟【摘要】词汇和语法题是多年来高考英语中检测学生词汇和语法知识的重要题型。

但2012年大纲全国卷(II)中第二节“语法与词汇知识”部分第11题的严谨性有值得探讨和商榷之处。

语言使用的实际情况表明hardly/scarcely...than ...的搭配比比皆是。

【关键词】词汇与语法题 严谨性 hardly/scarcely...than ...词汇与语法题是近几年高考中绝大部分省市和全国卷都在采用的一种题型，其目的在于考核学生对于词汇、短语、句型和语法知识的掌握和运用能力。

基于此，试题的命制就必须要能真实反映英语语言在现实生活中的实际使用情况。

笔者在对近几年高考试题进行研读时，发现2012年大纲全国卷(II)中第二节“语法与词汇知识”部分第11题的严谨性有值得探讨和商榷之处。

原题如下：I had hardly got to the office ________ my wife phoned me to go back home at once.A. whenB. thanC. untilD. after此题所给标准答案为选项A.when，该答案在此语境中的恰当性毋庸置疑。

然而事实上选项B. than 也是符合英语语言的实际使用情况的。

此题之所以会设置这样的选项和只给定选项A一个答案，是有一定的原因的。

长期以来国内中学英语教学界在平时的教学与备考中，教师反复强调hardly/scarcely … when(before) …，以及no sooner … than …这两个重点句型，它们使用语境相同且语义相当，即表示“一……就……”之意，且主句部分使用过去完成时态而从句部分使用一般过去时态，如果hardly/scarcely和no sooner置于句首时，主句用部分倒装。

此外教师们还强调no sooner 不能和when/before 搭配, hardly/ scarcely不可与than组合。

关于一道高考实验试题的商榷1. 引言1.1 背景介绍高考实验试题一直是备受争议和关注的话题。

作为高考的重要组成部分，实验试题在测量学生综合能力和科学素养方面起着至关重要的作用。

近年来，一些高考实验试题的设计和评分标准引发了广泛讨论和争议。

有人认为一些试题过于复杂，超出了学生的实验能力范围，导致学生在实验环节失分严重；而有人则质疑一些实验试题的评分标准存在主观性和不确定性，造成学生实验成绩的不公平。

在这样的背景下，我们有必要对高考实验试题的设计和评分标准进行深入思考和商榷。

通过对实验试题中涉及的关键概念和相关实验设计进行分析和解释，探讨实验结果的合理性和评价标准的公平性，从而为优化高考实验试题提供建议和方向。

通过讨论与争议的环节，我们也可以更好地了解不同人群对高考实验试题的不同看法和立场，为未来高考实验试题的改革提供参考和借鉴。

1.2 问题提出在高考试题中，实验题是考查学生实验能力和科学素养的重要部分。

一道高考实验试题引发了众多争议和质疑，这道试题是关于测定溶液中氢氧根离子浓度的实验设计题目。

问题提出在于该实验设计的科学性和实用性，以及试题本身对学生实验能力的真实考察。

在这道试题中，学生需要利用氢氧根滴定法确定盐酸溶液中氢氧根离子的浓度，但是在实际操作中存在多种误差来源和实验条件限制。

这引发了许多教育专家和考试辅导机构的质疑，认为这道试题难度过大，不符合高考实验题的命题原则。

在实验设计中，关键概念的理解和实验操作的技巧至关重要，而实验结果的准确性也是考察学生实验能力的重要指标。

问题提出在于如何平衡考查学生实验能力和知识掌握的要求，确保试题的科学性和合理性。

1.3 研究目的研究目的是通过对一道高考实验试题进行商榷和讨论，探讨教育评价的合理性和科学性。

随着高考制度的不断完善和教育观念的转变，对于高考实验试题的商榷也变得日益重要。

本研究旨在通过分析试题设计的合理性和客观性，探讨评价标准的科学性和客观性，从而为高考评价体系的完善提供参考和建议。

商榷2015年高考题中表述欠严谨的11道题甘志国(已发表于 中学数学教学，2015(5)：55-59)一年一度的高考是考生、老师、家长、学校乃至全社会关注的重点话题．2015年的高考已尘埃落定，笔者作为一名高中数学老师，也抓紧时间认真钻研了本年度的高考数学真题(文理共计31套，其中江苏文理同卷)，发现了它们有试题常规、情景新颖、杜绝偏怪、难度在降低等特点，这也与新课改之精神、教育乃培养人的活动、数学本来应当是人人能够喜爱的美的科学合拍．但笔者发现有10道高考题在表述上欠严谨：虽然原题不会太影响考生正确答题，但作为高考题的权威性及引用的广泛性，还是要注意表述上的严谨．题1 (2015年高考湖北卷文科第4题)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 解 A.显然x 与y 负相关，又y 与z 正相关，所以x 与z 负相关.商榷 高中生是在普通高中课程标准实验教科书《数学3²必修²A 版》(人民教育出版社，2007年第3版)(下简称《必修3》)第86页接触到“正相关、负相关”这两个概念的：图1从散点图(如图1所示)可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系，这个图支持了我们从数据表(见《必修3》第85页的表2-3)中得出的结论.另外，这些点散布的位置也是值得注意的.它们散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.还有一些变量，例如汽车的重量和汽车每消耗1L 汽油所行驶的平均路程，成负相关，汽车越重，每消耗1L 汽油所行驶的平均路程就越短，这时的点散布在从左上角到右下角的区域内.由此论述可知，“正相关、负相关”是呈相关关系的两个变量之间的关系.而在本题中，满足关系y ＝－0.1x ＋1的两个变量x 和y 呈函数关系(即确定性关系)不是相关关系，在函数关系中，教科书中没有介绍两个变量之间“正相关、负相关”的含义(笔者在整个数学领域中也未听说过有此含义).建议把这道题的题干中的“y ＝－0.1x ＋1”改为“11.0+-=∧∧x y ”(改述后的解法及答案均不变).题2 (2015年高考全国卷II 理科第10题即文科第11题)如图2所示，长方形ABCD的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )图2解法1 B.当点P 在BC 边上时，PB ＝OB ·tan x ＝tan x ，P A ＝AB 2＋PB 2＝tan 2x ＋4，所以f (x )＝tan x ＋tan 2x ＋4(0≤x ≤π4)，显然f (x )单调递增且是非线性的，且f (π4)＝1＋ 5.当P 位于边CD 的中点时，x ＝π2，且f (π2)＝P A ＋PB ＝22，所以可知当点P 从点B 运动到点C 时，f (x )从2增到1＋5，当点P 从点C 运动到边CD 的中点时，f (x )从1＋5减到22，且增减都是非线性的，结合图象可知选B.解法2 B.由题意可知，f (π2)＝22，f (π4)＝1＋ 5.得f (π2)<f (π4)，排除选项C,D.当ππ≤≤x 43时，f (x )＝-tan x ＋tan 2x ＋4，可知其函数图象不是线段，排除选项A. 所以选B.商榷 建议把题2中的“长方形ABCD ”改成“矩形ABCD ”；“点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动”改成“动点P 从点B 开始沿着折线BCDA 运动到点A 停止”(原说法是不清楚的：动点P 从哪一点开始运动？运动到哪一点停止？是连续运动还是跳跃的运动？因为题目只说了“点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动”).作为选择题，题2是可以勉强解答的；要是作为非选择题，题2将无从解答.题3 (2015年高考浙江卷理科第6题)设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( ) A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立解 A.命题①显然成立，由图3可知d (A ，C )表示的区域不大于d (A ，B )＋d (B ，C )表示的区域，所以命题②也成立.图3商榷 建议把题干改述为(若不改述，则题意不清，会使考生很茫然；因为有不少高考选择题是要求选出错误的选项，比如2015年高考中的福建卷理科第10题、陕西卷理科第12题)：设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )． 则下列结论正确的是( )题4 (2015年高考浙江卷文科第8题)设实数a ，b ，t 满足|a ＋1|＝|sin b |＝t.( ) A ．若t 确定，则b 2唯一确定 B ．若t 确定，则a 2＋2a 唯一确定C ．若t 确定，则sin b2唯一确定 D ．若t 确定，则a 2＋a 唯一确定解 B.对于选项A ，取t ＝12，b 可取π6或5π6，得b 2不能唯一确定；对于选项B ，由|a＋1|＝|sin b |＝t ，得|a ＋1|2＝t 2，即a 2＋2a ＋1＝t 2，a 2＋2a ＝t 2－1，所以若t 确定，则t 2确定，所以a 2＋2a 唯一确定，得选项B 正确；若t 确定，由|sin b |＝t ，得sin 2b ＝t 2，所以cos b ＝±1－t 2，sin b2＝±1－cos b 2＝±1±1－t 22，不唯一确定，选项C 中的结论不正确；若t 确定，由|a ＋1|＝t ，得a ＋1＝±t ，所以a ＝－1±t ，所以a 2＋a ＝(－1±t )2－1±t ＝t 2∓2t ±t ＝t 2∓t ，不唯一确定．综上可知，只有选项B 正确．商榷 建议把题干改述为(改述的理由同上)：设实数a ，b ，t 满足|a ＋1|＝|sin b |＝t ，则下列结论正确的是( )题5 (2015年高考广东理科第8题)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5 解 B.正四面体符合要求，因此n 可以等于4. 下面证明n ＝5不可能．假设存在五个点两两距离相等，设为A ，B ，C ，D ，E .其中A ，B ，C ，D 构成空间的正四面体ABCD ，设其棱长为a .设G 为△BCD 的中心，则不难算出AG ＝63a ，BG ＝33a ，且AG ⊥平面BCD .如果点E 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，那么点E 一定在直线AG 上，且EB ＝a .如果点E 在线段AG 上或线段GA 的延长线上，那么在Rt △EBG 中，EG ＝BE 2－BG 2＝63a ，AG ＝63a ，此时A ，E 重合. 如果点E 在线段AG 的延长线上，此时EG ＝63a ，EA ＝263a ≠a . 综上所述可得，正整数n 的取值至多是4.商榷 建议把选项A,B 中的“至多”均改为“最多”.中国社会科学院语言研究所词典编辑室编《现代汉语词典》(商务印书馆，2012年第6版)第1677页对“至少”的解释是“表示最小的限度”，所以“正整数n 至多等于4”的意思是“正整数4≤n ，但等号不一定能取到”，而在本题中“正整数4≤n ，等号一定能取到”，所以改动后的表述更准确(不改动也无错误)．而对于2014年高考上海卷理科第13题“某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若2.4)(=ξE ，则小白得5分的概率至少为 ．”若不把其中的“至少”改为“最少”，则答案可填闭区间[0,0.2]中的任一个数，就不一定是参考答案“0.2”.题6 (2015年高考江苏卷第9题)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解 7.设新的底面半径为r ，得13π³52³4＋π³22³8＝13πr 2³4＋πr 2³8 ，即283πr 2＝1003π＋32π，解得r ＝7.商榷 一般来说，在橡皮泥的重新制作过程中，体积会变化(但质量不变)，所以建议把题中的“若将它们重新制作”改述为“若将它们重新制作(假设重新制作的过程中，橡皮泥的体积不变)”.题7 (2015年高考陕西卷文科、理科第22题)如图4所示，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．图4解 (1)因为DE 为⊙O 的直径，得∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED . 又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ，得BA BC ＝ADCD ＝3，又BC ＝2，从而AB ＝3 2.所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，得AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，所以DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.商榷 建议把该题及其解答中的“直径”改为“直径的长”.题8 (2015年高考陕西卷文科、理科第24题)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)由柯西不等式，得at ＋12＋bt=－3t ＋12＋t ＝3²4－t ＋t ≤ [（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4当且仅当4－t 3＝t1即t ＝1时等号成立，所以(－3t ＋12＋ t )max ＝4. 商榷 第(2)问中的“t ”是变量还是常量呢？题目没作交代.若“t ”是变量，则解答同上；若“t ”是常量，则答案为“at ＋12＋bt ”(因为at ＋12＋bt 是常量).所以建议把该题第(2)问改述为：(2)求函数f (t )=at ＋12＋bt 的最大值．题9 (2015年高考全国卷II 理科第21题)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x . 若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0. 若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1，即 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≤--1e e 1e e m m mm① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，得g ′(t )＝e t －1.当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.所以g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，所以当t ∈[－1，1]时，g (t )≤0.所以当m ∈[－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①成立；当m >1时，由g (t )的单调性，知g (m )>0，即e m －m >e －1；当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1.综上所述可得，m 的取值范围是[－1，1]．商榷 建议把第(1)问中的“(－∞，0)”，“(0，＋∞)”分别改述为“(－∞，0)上”，“(0，＋∞)上”.题10 (2015年高考广东卷理科第17题)某工厂36名工人的年龄数据如下表：到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解 (1)依题意知，所抽取的样本编号是一个首项为2公差为4的等差数列，得其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，所以对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得9100,402==s x . (3)由(2)知，310=s ，所以3143,3236=+=-s x s x . 因为年龄在s x -与s x +之间的共有23人，所以其所占的百分比是%89.633623≈(精确到0.01%).商榷 解答第(3)问时，必须要知道x 与s 的值，而在大前提及第(3)问的题设中均找不到，考生(也包括所有的答题者)在万般无赖的情形下，只有在第(1)问或第(2)问中找出这两个数据：果真在第(2)问中找到了！而后也作出了所谓正确的解答，也得出了理想的分数.这好像就是出题者的意思.但这是不对的，也是完全错误的！可把此题第(3)问改述为：(3)36名工人中年龄在s x -与s x s x ,(+的值见第(2)问)之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?2011年高考广东卷理科第17题及2010年高考安徽卷理科第19题也都存在这种错误]1[. 笔者发表的文献[2],[3]均指出了2014年高考题中表述欠严谨的地方，读者可以浏览. 题11 (2015年高考广东卷文科、理科第20题)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)因为圆C 1的方程即4)3(22=+-y x ，所以圆C 1的圆心坐标是(3,0)． (2)设线段AB 的中点为),(y x M ，可得AB M C ⊥1即OM M C ⊥1. 得点M 在以OC 为直径的圆0322=-+x y x 上.又点M 在圆C 1内，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+4)3(032222y x x y x ，得两圆的交点为⎪⎭⎫⎝⎛±532,35，进而可得所求轨迹C 的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛>=-+350322x x y x . (3)存在实数k 满足题意.如图5所示，曲线C 是以⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23C 为圆心，23为半径的圆弧»EF (不包括端点)，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛532,35,532,35F E.图5当直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 相切时，得43,23104232±==+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k . 又直线L ：y ＝k (x －4)过定点D (4,0)，所以5724350532-=--=-=DFDE k k .再结合图5可得，当且仅当k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,43572,572时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点.注 本题源于普通高中课程标准实验教科书《数学²选修2-1²A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称《选修2-1》)第37页习题2.1的A 组第4题：过原点的直线与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．与《选修2-1》配套使用的《教师教学用书》(人民教育出版社,2007年第2版)第11页给出的《选修2-1》第40页给出的答案是“335,0322≤≤=-+x x y x ”.笔者认为，由“弦AB ”知点B A ,不能重合，所以答案应当是“335,0322≤<=-+x x y x ”，也即“⎪⎭⎫⎝⎛>=-+350322x x y x ”.(这道高考题的解答与笔者的这一观点是一致的.) 商榷 应注意交点与切点是有区别的]4[：直线与圆相交时的公共点叫做交点，直线与圆相切时的公共点叫做切点，交点和切点统称为公共点.所以建议把题10(即2015年高考广东卷文科、理科第20题)第(3)问中的“交点”改为“公共点”(改动后答案不变；若不改动，则答案为：当且仅当k 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-572,572时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点).参考文献1 甘志国.大前提、小前提的规范使用[J].数学教学，2014(7)：23-242 甘志国.商榷2014年高考题中表述欠严谨的六道题[J].数学教学研究，2014(12)：24-253 甘志国.高考数学真题解密[M].北京：清华大学出版社，2015：287-2924 甘志国.应区分“交点”与“公共点”[J].中学数学教学，2009(3)：37。

2013年值得商榷的数学高考题这几年的高考题越来越注重考查学生的能力和基础知识．但不可否认地说，仍然有需要改进的地方．有些题目不够好或可以改进．我这里谈一点个人意见，希望引起大家讨论、批评．一 概率统计题中的问题由于概率统计题，目前仍是问题比较多，因此，这里先集中谈谈这方面的问题．(一)数学上定位不准确陕西第5题. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是( A ) ()1()1()2()4224A B B B ππππ---评注：几何概率模型考查的是，如何把一个随机现象中求概率的问题转化为计算几何对象测度(长度、面积等)的问题．而这道题重点是计算面积，基本谈不上对随机现象的认识．这样的问题去年也存在，如2012年湖北理8．.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A21121.1...2A B C D ππππ--2013年辽宁 填空第16题为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 10 .评注：统计的作用是提取信息．信息指的是我们要考查对象(总体)中的信息．样本则是随机抽取的．因此，求样本的最大值就没有任何意义．每次抽样样本不同，随机的最大值也会不同．因此，这道题问题的提法就是错误的．另外，在实际问题中，是知道了样本去求样本平均数和方差，怎么会倒过来，由均值、方差等去求最大值呢？这纯粹变成了数字游戏．和统计问题相差万里．(二)概率统计问题中比较突出的是，生编硬造的痕迹严重．2013年湖南理18．(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(II)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．2013年江西理19．(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望．2013年浙江第19题此题的第二问．(本小题满分14分)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．(1)当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若55,,39E Dηη==求a：b：c．2013年江苏填空7．现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为2063．评注：这些题目，人为编造痕迹严重，无论是，问随机取一株作物求相‘接近’的概率或年收获量(湖南18题)，还是向量与合唱团(江西18题)，都极不自然，很难让人认同．浙江18题第二问，已知均值】方差，倒过来求a,b,c的关系也极不自然．而江苏的填空题，出现的‘病毒’，也不知要做什么．(三) 个别题目有些难我们看一下安徽21题．下面是出题者给出的分析和答案．重点看第二问．2013年安徽理21．(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ．(I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (II)求使P (X =m )取得最大值的整数m ．分析： (I)由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；(II)由题意，要先研究随机变量X 的取值范围，由于k ≤n 故要分两类k =n 与k ＜n 进行研究，k =n 时易求，k ＜n 时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P (X =m )，再根据其形式研究它取得最大值的整数m 即可．解：(I)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以A 与B 相互独立，由于()()11,k n k n C k P A P B C n --===故()()1,k P A P B n ==- 因此学生甲收到活动信息的概率是222211.k kn k n n -⎛⎫--= ⎪⎝⎭(II)当k =n 时，m 只能取n ，此时有P (X =m )=P (X =n )=1当k <n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和m 中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k 位”所包含的基本事件总数为()2,m n C 当X =m 时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k −m ，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m −k ，由乘法原理知：事件{X =m }所包含的基本事件数为2,k k m m k k m k m kn k n k n k n k C C C C C C ------= ()()222,k k m m k k m m k n k n kk n k k knn C C C C C P X M C C ------=== 当k ≤m <t 时，P (X =M )<P (X =M +1)⇔(m −k +1)2≤(n −m )(2k −m )⇔m ≤()212.2k k n +-+假如()212.2k k k t n +≤-<+成立，则当(k +1)2能被n +2整除时，()()2211221,22k k k k k t n n ++≤-<+-<++ 故P (X =M )在()2122k m k n +=-+和()21212k m k n +=+-+处达到最大值；当(k +1)2不能被n +2整除时，P (X =M )在()2122k m k n ⎡⎤+=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦处达到最大值(注：[x ]表示不超过x 的最大整数)，下面证明()212.2k k k t n +≤-<+因为1≤k <n ，所以()()2221111120.2222k k k k kn n k k k n n n n ++-------=≥=≥++++ 而()()221120,22k n k k n n n +-+--=-<++ 故()212,2k k n n +-<+显然()2122,2k k k n +-<+ 因此()212.2k k k t n +≤-<+ 点评： 本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分评注：这道题在两个方面比较难了．首先，如果考虑一个老师，例如李老师，先取了k 个学生，那么张老师选取到的学生中，没有被李老师选到的人数，服从超几何分布．也就是说，这个问题可以转化为学生熟知的超几何分布．讨论就很简单了．但是学生很难看出这一点．从这份答案来看，连出题者都没有能如此做．说明此题是难了．其次，后面的问题由求最大值转化为判断单调区间的问题．而这里涉及的是离散变量．因此，整个的困难变成了对参数的讨论，完全离开了概率的分析．而且这个讨论超出了中学生的水平，难了．如果能对参数给出具体的值，如n =100,k =60等，把问题集中于概率的分析，即突出了对概率的考查，又降低了难度，此题能成为一道不错的概率题．二 考试内容超出了课程标准和考试大纲(一) 递推公式2013年广东 理科第19题(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有121117.4n a a a +++< 评注：递推公式曾在高考题中一再出现．也曾多次受到批评． 此题是，今年高考卷中唯一出现的数列的递推公式考题．关于递推公式，我们所以会不止一次地提出批评．其根本原因是， 它不是数学研究的方向，无论是问题本身，还是其技巧方法，都不值得人们为此而花费精力．举一个类似的例子：我们知道五次和五次以上的代数方程都无法用方程的系数给出其根的解析表达式(除了一些极特殊的方程)．因此，找一些特殊的高次方程去求其解析解，就没有什么意义了．它不是数学研究的方向．同样地，对微分方程与差分方程(递推公式就是差分方程)，除了对一阶线性或某些特殊的方程(如贝努里方程)有通解公式外，主要是给出了高阶常系数线性方程的通解公式，而对一般的方程，特别是非线性方程，无法给出通解的表达式．因此，讨论一些特殊的方程(递推公式)，去求其通项公式，不是数学研究的方向．没有意义．对差分方程(递推公式)来说，数学上，研究的是，这些解的极限行为(趋于一个稳定值、呈现周期现象等)以及初始值或参数对解的影响．这属于离散拓扑动力系统，讨论的问题涉及到我们常听说的‘混沌’、‘分形’等．正是基于以上理由，我们反对在高中讨论这种意义不大的问题，即反对求一般的递推公式．新课标高考后，递推公式一度离开了高考．但前一两年又有所出现．我们曾给出批评．今年递推公式几乎不再出现，这是一个好现象．只有广东这次还有递推公式的题．因此，我们提出批评．希望以后能够杜绝．(二)大学或竞赛的题目这类题的出现也超出了高中课程标准和考试大纲的要求．不过，它一般不是指知识内容的超纲，而是一些比较难的技巧和方法．而这些技巧和方法又往往不是最基本、最本质的东西．2013年福建理科15题当x ∈R ,∣x ∣<1时，有如下表达式：211,1nx x x x +++++=- 两边同时积分得：111112222220000011,1n dx x dx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 从而得到如下等式：23111111111ln 2.2223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：2310121111111____.2223212n n n n n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 注： 这里涉及的不是基本思想，而更多地是一种技巧．而且这里还涉及到级数能否逐项积分的问题，在此也无法严格讨论．没有必要用这些东西来考查中学生．2013年安徽理20题(本小题满分13分)设函数()()232221,*,23nn x x x f x x x R n N n =-+++++∈∈证明：(1)对每个n ∈N *，存在唯一的2,1,3n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足f n (x n )=0； (2)对于任意p ∈N *，由(1)中x n 构成数列{x n }满足10;n n p x x n+<-< 证明：(1)对每个n ∈N *，当x >0时，由函数()()232221,*23nn x x x f x x x R n N n =-+++++∈∈可得()2110,23n x x x f x n-'=++++>故函数f (x )在(0，+∞)上是增函数．由于f 1(0)=0，当n ≥2时，()222211110,23n f n=+++> 即f n (1)>0．又232222222233313323nn f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+++++ ⎪⎝⎭2112343ini =⎛⎫≤-+⋅ ⎪⎝⎭∑2112213311120.2343313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+⨯=-< ⎪⎝⎭-根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的2,1,3n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足f n (x n )=0．(2)对于任意p ∈N *，由(1)中x n 构成数列{x n }，当x >0时， 因为()()()()112,1n n n n x f x f x f x n ++=+>+所以f n +1(x n )>f n (x n )=f n +1(x n +1)=0．由 f n +1(x ) 在(0，+∞)上单调递增，可得 x n +1<x n ，即 x n -x n +1>0，故数列{x n }为减数列，即对任意的 n 、p ∈N *，x n ﹣x n +p >0．由于 ()232221,23nn x x x f x x n=-+++++ ①()()()()2322212222123,12nn pn pn pn p n p n p n n n pn pn pn px x x f x x n x x x n n n p ++++++++++++=-+++++⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦+②用①减去②并移项，利用0<x n +p ≤1，可得222211k k k kn pn pnn p nn pn p n n p k k n k n x x x x x x kkk++++++==+=+--=+≤∑∑∑21111111.(1)n pn pk n k n k k k n n p n ++=+=+≤<=-<-+∑∑综上可得，对于任意p ∈N *，由(1)中x n 构成数列{x n }满足0＜x n -x n +p ＜．点评： 本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．评注：这道题也是要用到大学数学系学生常用的放缩法来估计．这种能力对大学学数学的学生是应该要求的．但对高中生来说，就不应该如此要求了．用数学系大学生要会的一些技巧来区分选拔中学生是不适当的．其结果是，中学教学中会补充这些非本质的内容，加重学生负担．除了加入大学一些内容外，还有就是用一些竞赛的难题，如下面湖北和重庆的考题．都超出了对中学生考查的要求．2013年湖北理22(本小题满分14分)设n 是正整数，r 为正有理数．(Ⅰ)求函数f (x )=(1+x )r +1−(r +1)x −1(x >−1)的最小值； (Ⅱ)证明：()()11111111r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++(Ⅲ)设x ∈R ，记[x ]为不小于x 的最小整数，例如[][]322,4, 1.2π⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦令S =++++ 求[S ]的值．(参考数据：4444333380344.7,350.5,124618.3,126≈≈≈≈631.7)解；(Ⅰ)由题意得f '(x )=(r +1)(1+x )r −(r +1)=(r +1)[(1+x )r −1]，令f '(x )=0，解得x =0．当−1<x <0时，f '(x )<0，∴f (x )在(−1，0)内是减函数； 当x >0时，f '(x )>0，∴f (x )在(0，+∞)内是增函数． 故函数f (x )在x =0处，取得最小值为f (0)=0． (Ⅱ)由(Ⅰ)，当x ∈(−1，+∞)时，有f (x )≥f (0)=0， 即(1+x )r +1≥1+(r +1)x ，且等号当且仅当x =0时成立， 故当x >−1且x ≠0，有(1+x )r +1>1+(r +1)x ，①在①中，令1x n =(这时x >−1且x ≠0)，得11111.r r n n++⎛⎫+>+⎪⎝⎭上式两边同乘n r +1，得(n +1)r +1>n r +1+n r (r +1)， 即()111,1r r r n n n r +++-<+②当n >1时，在①中令1x n=-(这时x >−1且x ≠0)，类似可得()111,1r r rnn n r ++-->+③且当n =1时，③也成立． 综合②，③得()()111111,11r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++④(Ⅲ)在④中，令1,3r =n 分别取值81，82，83， (125)得444433333381808281,44⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭444433333382818382,44⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭444433333383828483,44⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………4444333333125124126125,44⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将以上各式相加，并整理得44443333331258012681,44S ⎛⎫⎛⎫⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入数据计算，可得444433333312580210.2,12681210.9,44⎛⎫⎛⎫⋅-≈⋅-≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由[S ]的定义，得[S ]=211．2013年重庆理22(本小题满分12分) 对正整数n ，记I n ={1，2，3…，n }，,.n n n m P m I k I ⎫=∈∈⎬⎭(1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P m 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P m 能分成两人上不相交的稀疏集的并．解：(1)对于集合P 7 ，有n =7． 当k =4时，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭中有3个数(1，2，3)与I 7={1，2，3，…，7}中的数重复，由此求得集合P 7中元素的个数为 7×7−3=46． 又法：当k =41357,1,,2,,3,,2222=有3个数与k =1相同，共有1167446.C C +=(2)先证当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A 和B 为两个不相交的稀疏集，使A ∪B =P n ⊇I n ．不妨设1∈A ，则由于1+3=22，∴3∉A ，即3∈B ．同理可得，6∈A ，10∈B ．又推出15∈A ，但1+15=42，这与A 为稀疏集相矛盾．再证P 14满足要求．当k =1时，14141414,.P I k I I ⎫=∈∈=⎬⎭可以分成2个稀疏集的并集．事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1⋃B1=I14．当k=4时，集合14I⎫∈⎬⎭中，除整数外，剩下的数组成集合13513,,,,,2222⎧⎫⎨⎬⎩⎭可以分为下列2个稀疏集的并：22159113713,,,,,,.2222222A A⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭当k=9时，集合14I⎫∈⎬⎭，除整数外，剩下的数组成集合12451314,,,,,,,333333⎧⎫⎨⎬⎩⎭可以分为下列2个稀疏集的并：3314510132781114,,,,,,,,,.3333333333A B⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭最后，集合1414,,1,4,9C m I k I k⎫=∈∈≠⎬⎭中的数的分母都是无理数，它与P n中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1⋃A2⋃A3⋃C，B=B1⋃B2⋃B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A⋃B=P14．综上可得，n的最大值为14．三其它(一)题目叙述不合适例如，2013年全国新课标Ⅰ卷理科第12题设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…，若b 1>c 1，b 1＋c 1=2a 1，a n＋1=a n，11,,22n n n nn n c a b a b c ++++==则( )A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列评注： 我们要考察学生的阅读能力，特别是阅读数学读物的能力．但是，作为写作者又应该把文章写得清楚明白．不能故意为难人．例如，此题给出的是，一系列周长不变且有一边为定长的三角形．为什么不能很自然地把这一点说明白呢？而故意用符号语言把它写的让人不易看懂．用符号语言是为了简洁清楚．而不是故意让人看不明白．这道题的重点应该是在给定的条件下，考查数列的增减性，这种写法不知作者要考察的是什么．2013年湖北理科14题古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+．记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+正方形数 ()2,4N n n =五边形数 ()231,522N n n n =-六边形数 ()2,62N n n n=- …… 可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = ．评注 什么是三角形数、正方形数、无边形数，……，作者为什么不能给清楚(例如，画图)呢？(二)题目本身意义不清楚2013年广东理13 题给定区域D ：44,4,0,x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩令点集T ={(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z =x +y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 6 条不同的直线．评注 在线性规划中，为什么会有这个问题？不清楚问题的背景和意义．数学问题就变成了游戏．类似地，下面山东这道题的第三问，两个斜率使得1211kk kk +为定值，有几何意义吗？如果有，应该给出来，如果没有，这还是解析几何的问题吗？变成纯粹的形式推导，不是数学讨论的问题．2013年山东理科22(本小题满分13分)椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的左右焦点分别是F 1，F 2，离心率为2，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．。

2011年高考海南历史卷第22题商榷作者：赵剑峰伍学文来源：《历史教学·中学版》2012年第01期[关键词]高考，海南卷，历史，日本[中图分类号]G63[文献标识码]B[文章编号]0457—6241(2012)01—0052—052011年高考结束后，笔者组织部分新高三学生对十套新课标高考卷进行了模拟测试，结果发现海南卷第22题错误率最高。

另据海口市教育研究培训院林子齐老师提供的数据可知，本题在海南省平均得分为0.24分，难度系数达0.12，为全卷最难。

难度偏大不是问题，问题在于既使做对的学生也解释不清选择的理由，教师在解析的过程中也很难说明本题的教材依托，参悟不透命题的意图。

在查阅相关资料后，我们认为本题在命制的过程中存在商榷之处。

一、裁剪史料，有失严谨1史料裁剪前后有何变化?原题如下：22日本自民党从1955年开始长期执政，在六七十年代出现表1所反映的变化。

导致这一变化的重要原因是，自民党A以农村为主的社会基础受到削弱B未能提出保证经济持续高速发展的政策C长期执政违背议会民主制原则D与美国结盟的政策遭到强烈反对参考答案：A本题提供“日本众议院席位变化表”的指向性很明确，就是为了让考生得出“20世纪六七十年代日本自民党议席逐渐减少”的结论。

为选项的设置搭建平台。

但本题题干的材料编制有失严谨。

根据相关材料，笔者统计出了“1958-1993年日本众议院席位变化表”(见表2)。

通过表2和表1的对比可以看出，本题在引用史料时忽略了1960、1969、1979这三个年份的自民党议席数据。

本来，对史料进行适当的整理和加工是高考命题常用的技法，但这不能损害史料的基本信息。

而本题呢?命题者在引用史料的过程中为什么故意忽略1960、1969、1979年的数据呢?因为这三个数据中有两个是逆势上扬的，其中1960年的296席还创造了自民党连续38年执政历史上得票率的最高纪录，这对考生得出命题者预设的结论“20世纪六七十年代日本自民党议席逐渐减少”是不利的。

商榷2014年高考题中表述欠严谨的11道题 甘志国(部分内容已发表于 数学教学研究，2014(12)：24-25)一年一度的高考是考生、老师、家长、学校乃至全社会关注的重点话题．2014年的高考已尘埃落定，笔者作为一名高中数学老师，也抓紧时间认真钻研了本年度的高考数学真题(文理共计37套，其中江苏文理同卷)，发现了它们有试题常规、情景新颖、杜绝偏怪、难度在降低等特点，这也与新课改之精神、教育乃培养人的活动、数学本来应当是人人能够喜爱的美的科学合拍．但笔者发现有11道高考题在表述上欠严谨：虽然原题不会太影响考生正确答题，但作为高考题的权威性及引用的广泛性，还是要注意表述上的严谨．题11-146 (2014年高考山东卷理科第6题)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2 2 B..4 2 C. 2 D.4答案 D商榷 因为第一象限内没有坐标原点，所以直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内不可能围成封闭图形．建议把这道题中的“第一象限内”改为“第一象限及其边界上”． 题11-147 (广东·文·7)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 答案 A商榷 题中的“对应”是要依据对应法则的，而题中没有交代，所以建议把“对应”改为“对”．另外，选项“A ．充分必要条件”也建议改为“A ．充要条件”，这样简洁些，也与教材一致．题11-148 (2014年高考江西卷文科第6题)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β答案 D商榷 选项A 中的“充分条件”应改为“一个充分条件”．题11-149 (2014年高考陕西卷文科第9题)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x －，s 2＋1002B.x －＋100，s 2＋1002C.x －，s 2D.x －＋100，s 2 答案 D商榷 建议把题中的“为x 1，x 2，…，x 10”改为“分别为x 1，x 2，…，x 10”．题11-150 (2014年高考四川卷理科第5题即文科第6题)执行如图11-44的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )图11-44A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解 题中程序输出的是在条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大的数．结合线性规划知识可得，当且仅当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取得最大值2，又2>1，所以选C.商榷 高中数学算法中的输入语句只有INPUT 语句，其语句功能为，当程序运行到这一语句时暂停，要求从键盘上输入一个数给变量赋值，输入后按回车键，程序继续运行．那么，按照框图11-44，当程序运行到“输入,x y ”时，计算机暂停，要求从键盘输入两个数给变量,x y 赋值，然后计算机继续运行，最后输出S ，这时输出的S 的值是唯一的，而由此谈S 的最大值也不是出题者的本意．另外，“输入的x ，y ∈R ”又如何理解呢？从以上参考答案来看，输入的x ，y 要取满全体实数，而这在INPUT 语句不可能实现；若是任意输入一对数分别作为x ，y 的值，由x ，y 的不确定性知不能解答本题．所以本题值得商榷．详见《中学数学教学参考(上旬)》2014年第9期第69页的文章《值得商榷的一道高考题》(作者：李广俊)．题11-151 (2014年高考课标全国卷文科、理科第14题)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为 ．答案 A商榷 建议把题中的“我去过的城市比乙多”改为“我去过的城市数比乙多”．题11-152 (2014年高考福建卷理科第14题)如图11-45所示，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______．图11-45答案 2e2 商榷 因为“黄豆”太大，所以这粒黄豆可以一部分在阴影部分另一部分在空白部分．而这种情形是不满足题意的，所以解答本题将很复杂(必须考虑黄豆的大小)．所以建议把“黄豆”改为“质点”．普通高中课程标准实验教科书《数学3·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版) 在关于“几何概型”的不少题目都应做这样的改动(2014年高考福建卷文科第13题也有这样的商榷)．题11-153 (2014年高考上海卷理科第13题)某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若2.4)(=ξE ，则小白得5分的概率至少为 ．答案 0.2解 设得分为i 的概率是)5,4,3,2,1)(10(=≤≤i p p i i ，可得12345123452345 4.2444444p p p p p p p p p p ++++=⎧⎨++++=⎩ 相减，得51230.2(32)0.2p p p p =+++≥(当且仅当1234===0,0.8p p p p =(在几何概型中可以出现这种情形)时，50.2p =)，所以小白得5分的概率至少为0.2． 商榷 建议把题中的“至少”改为“最少”．中国社会科学院语言研究所词典编辑室编《现代汉语词典》(商务印书馆，2012年第6版)第1677页对“至少”的解释是“表示最小的限度”，所以“5p 至少为0.2”的意思是“50.2p ≥，但等号不一定能取到”(所以本题的答案可填闭区间[0,0.2]中的任一个数)，而在本题中“50.2p ≥，等号一定能取到”，所以5p 的最小值是0.2，即5p 最少是0.2．题11-154 (2014年高考广东卷理科第21题)设函数3)2(2)2(1)(222-+++++=k x x k x x x f ，其中2-<k ．(1)求函数)(x f 的定义域D (用区间表示)；(2)讨论函数)(x f 在D 上的单调性；(3)若6-<k ，求D 上满足条件)1()(f x f >的x 的集合(用区间表示)．答案 (1)),21()21,21()21,(+∞-+-⋃--+-----⋃----∞k k k k ．(2)函数)(x f 的单调递增区间为)21,1(),21,(k k --+------∞；单调递减区间为),21(),1,21(+∞-+------k k ． (3))421,21()21,1()3,21()21,421(--+--+-⋃--+-⋃-----⋃-------k k k k k k ．商榷 区间是指连续的数集，而第(1),(3)问的答案并不是区间，所以建议把这道题中的两处“用区间表示”改为“用区间或区间的并集表示”．题11-155 (2014年高考北京卷理科第16题)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如表11-4所示(假设各场比赛相互独立)：表11-4(1)(2)略；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x 的大小(只需写出结论)．答案 (3)x EX =．商榷 建议把题中的“EX ”改为“)(X E ”，这样才与现行教材(新课标教材)一致．在以前的大纲教材中使用的记号是“EX ”，在而后的新课标教材中使用的记号是“)(X E ”，这是否说明了记号“)(X E ”更科学呢？笔者认为就是这样的：记号“)(X E ”的含义类似于函数记号“)(x f ”，把“E ”理解为“对应法则f ”更科学．题11-156 (2014年高考江西卷理科第19题)如图11-46所示，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ．(1)求证：AB ⊥PD ．(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P - ABCD 的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值．答案 (1)证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD ．又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥PD ．(2)如图11-47所示，过点P 作AD 的垂线，垂足为O ，过点O 作BC 的垂线，垂足为G ，连结PG ．图11-47所以PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG ．在Rt △BPC 中，PG ＝2 33，GC ＝2 63，BG ＝63． 设AB ＝m ，则OP ＝PG 2－OG 2＝43－m 2，所以四棱锥P - ABCD 的体积为 V ＝13×6·m ·43－m 2＝m 38－6m 2 因为m 8－6m 2＝8m 2－6m 4＝2232638⎪⎭⎫ ⎝⎛--m ，所以当且仅当m ＝63，即AB ＝63时，四棱锥P - ABCD 的体积最大．此时，建立如图11-47所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O (0，0，0)，,,,B C D P ⎫⎫⎛⎫⎛⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以,PC BC CD ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭可求得平面PBC 的一个法向量n 1＝(1，0，1)，平面DPC 的一个法向量n 2＝)2,1,0(．设平面BPC 与平面DPC 的夹角为θ，则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2| 510522=⋅=． 商榷 关于此题，笔者的疑问是：何谓两平面的夹角？现行高中数学教科书中找不到该定义也找不到这方面的习题，在以往的高中数学教科书中也找不到．而由这道题的解法知，出题者似乎认为两个相交平面的夹角就是指它们所成的四个二面角中的较小者(这类似于异面直线的夹角，也即异面直线所成的角)，所以建议把题末的“并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值”改为“并求此时平面PBC 与平面DPC 所成的锐二面角的余弦值”，或改为“并求二面角D PC B --大小的余弦值”(后者的难度要大一些：但笔者计算过，答案仍然不变)．简解 (1)略．(2)可如图11-48建立空间直角坐标系xyz D -．可得6==BC AD ，设)0(>==a a DC AB ，得)0,0,0(),0,,0(),0,,6(),0,0,6(D a C a B A ．由平面P AD ⊥平面ABCD 知，可设)0)(,0,(>z z x P ．图11-48 由2,2==PC PB ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-42)6(222222z a x z a x 解得，34,63222=+=z a x ． 因为0,0>>z a ，所以32≤az (当且仅当36==z a 时取等号)．所以 69232631631=⋅≤=-az V ABCD P 四棱锥即当且仅当36==z a 时四棱锥P - ABCD 的体积最大． 此时，得)0,0,0(,0,36,6,0,36,0,36,0,632D B C P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，还可得0PB PC ⋅= ．还可求得直线PC 上的点⎪⎪⎭⎫⎝⎛186,6185,96E ，所以可求得二面角D PC B --大小的余弦值为 510,cos >=<。