2021高考数学课标版文数一轮复习讲义+提能作业：第二章第三节 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

第三节函数的奇偶性与周期性[考纲] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用根本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(2)假设函数y＝f(x＋a)是偶函数，那么函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(3)假设函数y＝f(x＋b)是奇函数，那么函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )【导学号：01772032】A ．－13 B.13 C.12D.－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，那么a ＋b ＝13.]3．(2021 ·广东高考)以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B.y ＝x ＋1x C ．y ＝2x ＋12xD.y ＝x ＋e xD [A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋(－x )2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B 选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，所以是奇函数．C选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x ＝1e x －x ，所以是非奇非偶函数．]4．(2021·四川高考)假设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.－2 [∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.]5．(教材改编)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，那么x ＜0时，f (x )＝________.x (1－x ) [当x ＜0时，那么－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )． 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )，∴f (x )＝x (1－x )．]函数奇偶性的判断判断以下函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3－2x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.[解] (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )． ∴ (2)由1－x1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]． ∵函数定义域不关于原点对称， ∴(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，那么当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，那么当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x[规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足一样的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进展判断．[变式训练1] (1)(2021·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，那么以下结论中正确的选项是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(2)判断函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3的奇偶性．(1)C [A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，那么h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，那么h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，那么h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，那么h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．](2)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，3分即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x函数奇偶性的应用(1)(2021 ·全国卷Ⅰ)假设函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，那么a＝________.(2)f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，那么f (x )＝________.(1)1(2)⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2．函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，那么f (－1)＝( )【导学号：01772033】A ．－3 B.－1 C ．1A [因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1，所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.]函数的周期性及其应用设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，那么f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________.1 009[∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1.∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＝1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.][迁移探究1]假设将本例中“f(x＋2)＝f(x)〞改为“f(x＋1)＝－f(x)〞，那么结论如何？[解]∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x).5分故函数f(x由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f[迁移探究2]假设将本例中“f(x＋2)＝f(x)〞改为“f(x＋1)＝1f(x)〞，那么结论如何？[解]∵f(x＋1)＝1f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝1f(x＋1)＝f(x).5分故函数f(x由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f[规律方法]f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论：(1)假设f(x＋a)＝－f(x)，那么T＝2a，(2)假设f(x＋a)＝1f(x)，那么T＝2a，(3)假设f(x＋a)＝－1f(x)，那么T＝2a(a＞0)．[变式训练3]定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.那么f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.339[∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.∵当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)＝1×2 0166＝336.又f(2 017)＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝3，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339.][思想与方法]1．函数奇偶性的三个常用性质(1)假设奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么f(0)＝0.(2)假设f(x)为偶函数，那么f(|x|)＝f(x)．(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“假设T是函数的周期，那么kT(k∈Z 且k≠0)也是函数的周期〞的应用．[易错与防范]1．判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进展检验．3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进展判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否认函数在整个定义域上的奇偶性．。

姓名，年级：时间：第三节 函数的奇偶性与周期性命题导航考试要点命题预测结合具体函数,了解函数奇偶性的含义。

1.考向预测：以基本初等函数为载体考查函数的奇偶性、周期性与对称性,其中与函数单调性的交汇问题是考查的热点.2.学科素养：主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.1。

函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f （x)的定义域内任意一个x ，都有① f(—x)=f （x) ，那么函数f(x ）是偶函数关于② y 轴 对称奇函数如果对于函数f （x)的定义域内任意一个x ，都有③ f(-x)=—f （x) ，那么函数f （x ）是奇函数关于④ 原点 对称 ▶提醒 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。

2。

周期性(1)周期函数：对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有⑤f（x+T）=f（x) ，那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期.（2)最小正周期：如果在周期函数f（x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.知识拓展1.奇(偶)函数定义的等价形式(1)f（-x）=f(x)⇔f(-x）-f（x)=0⇔f(-x)=1⇔f(x）为偶函数,其中f(x)≠0。

f(x)=-1⇔f（x)为奇函数,其中f（x）（2)f(-x)=—f(x)⇔f（—x)+f(x)=0⇔f(-x)f(x)≠0。

2.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(｜x|）.（2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。

(3）在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶，奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.3。

函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任意自变量x：（1)若f（x+a）=—f(x)，则T=2a(a>0).，则T=2a(a>0).（2)若f(x+a)=1f(x),则T=2a(a〉0）。

第三节函数的奇偶性与周期性[最新考纲] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a＞0)；(3)f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a＞0)．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．()(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－xB[A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.]2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.－2[f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.]3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.1 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.] 4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜0的解集为________．(－2,0)∪(2,5] [由图象可知，当0＜x ＜2时，f (x )＞0； 当2＜x ≤5时，f (x )＜0， 又f (x )是奇函数，∴当－2＜x ＜0时，f (x )＜0，当－5≤x ＜－2时，f (x )＞0. 综上，f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．]考点1判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称．(1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝3－x2＋x2－3；②f(x)＝lg(1－x2) |x－2|－2；③f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.(1)C [令F 1(x )＝f (x )·g (x )，则F 1(－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x ) ＝－F 1(x )，∴f (x )g (x )为奇函数，故A 错误．令F 2(x )＝|f (x )|g (x )，则F 2(－x )＝|f (－x )|g (－x ) ＝|f (x )|g (x )＝F 2(x )，∴F 2(x )为偶函数，故B 错误．令F 3(x )＝f (x )|g (x )|，则F 3(－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－F 3(x )，∴F 3(x )为奇函数，故C 正确．令F 4(x )＝|f (x )g (x )|，则F 4(－x )＝|f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|＝F 4(x )，∴F 4(x )为偶函数，故D 错误．](2)[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．②由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg (1－x 2)－x＝－f (x )，∴函数f(x)为奇函数．③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．判断函数的奇偶性，其中包括2个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．1.(2019·福州模拟)下列函数为偶函数的是( )A ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x |C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin xB [对于选项A ，易知y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.]2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( ) A ．|f (x )|是偶函数 B ．－f (x )是奇函数 C ．f (x )|f (x )|是奇函数 D ．f (|x |)f (x )是偶函数 D [∵f (x )＝e x －e －x2， 则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．]考点2函数奇偶性的应用利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式．由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值．利用奇偶性求参数的值[一题多解]若函数f (x )＝x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1＋a 为偶函数，则a 的值为________．12 [法一：(定义法)因为函数f (x )＝x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a 为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋a ＝x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a ，所以2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12x－1，所以2a ＝1，解得a ＝12.法二：(特值法)因为函数f (x )＝x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a 为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＋a ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121－1＋a ，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f(x)为偶函数．]已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用特殊值法求得参数后，一定要注意验证．利用函数的奇偶性求值(1)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－2)＝()A．－12 B.12C．2 D．－2(2)已知函数f(x)＝2|x|＋1＋x3＋22|x|＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于()A．0 B．2C．4 D．8(3)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－e ax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.(1)B(2)C(3)－3[(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，又当x＞0时，f(x)＝log2x，所以f(2)＝log22＝1 2，即f(－2)＝12.(2)f(x)＝2·(2|x|＋1)＋x32|x|＋1＝2＋x32|x|＋1，设g(x)＝x32|x|＋1，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g (x )min ＝4.(3)法一：由x ＞0可得－x ＜0，由f (x )是奇函数可知f (－x )＝－f (x )， ∴x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－e a (－x )]＝e －ax ， 则f (ln 2)＝e －a ln 2＝8，∴－a ln 2＝ln 8＝3ln 2，∴a ＝－3.法二：由f (x )是奇函数可知f (－x )＝－f (x )，∴f (ln 2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝－(－e a ln 12)＝8，∴a ln 12＝ln 8＝3ln 2，∴a ＝－3.]利用奇偶性将所求值转化为已知区间上的函数值．求函数解析式函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x ，则函数f (x )的解析式为________．f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ＜00，x ＝0－2－x ，x ＞0[当x ＞0时，－x ＜0，∵x ＜0时，f (x )＝2x ，∴当x＞0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x.又y ＝f (x )的定义域为R 且为奇函数， ∴f (0)＝0.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜0，0，x ＝0，－2－x ，x ＞0.]不要忽视x ＝0时的解析式．1.若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.±1 [若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即k －2－x 1＋k ·2－x＝－k －2x 1＋k ·2x，化简得(k 2－1)(22x ＋1)＝0，即k2－1＝0，解得k＝±1.]2．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．3[f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2，①f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4，②由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.]3．(2019·湖南永州质检)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.0[设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数．又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.] 考点3函数的周期性及其应用函数周期性的判定与应用判定判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周(1)(2019·贵阳模拟)已知定义在R上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12 C ．2D ．－2(2)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．(1)D (2)22 [(1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )， 可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.]利用周期性将所求值转化到已知区间上的函数值．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝________.14 [由题意可得f⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－2＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝14.]。

第三节函数的奇偶性与周期性课标要求考情分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.1.函数的奇偶性与周期性是高考重要考点，常与函数的单调性、零点等性质交汇命题．2．题型多以客观题为主，一般为容易题，但有时难度也会很大.知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称口诀记忆奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称.奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点二函数的周期性1．周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1.周期性的四个常用结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a.2．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)解析：(1)奇函数只有在原点有定义时才过原点，且f(0)＝0，而偶函数不管在原点有无定义，都不一定过原点．(2)因为y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)＝f(a－x)，可知x＝a为对称轴．(3)因为函数具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，而定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性．(4)由周期函数的定义可知正确．2．小题热身(1)下列函数中为偶函数的是(B)A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( A )A ．－2B ．0C ．1D ．2(3)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 015)＝( D )A ．5B ．12C ．2D ．－2(4)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是13.(5)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝1. 解析：(1)根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.(3)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.(4)∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.(5)∵f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝－1＋2＝1.考点一 函数的奇偶性命题方向1 函数奇偶性的判断【例1】 (1)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln(x 2＋1－x ) C ．y ＝e x D ．y ＝ln x 2＋1 (2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x【解析】 (1)由函数奇偶性的定义知D 中的函数为偶函数．(2)对于A ，f (－x )＝－x ＋sin2(－x )＝－(x ＋sin2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数．【答案】 (1)D (2)D命题方向2 利用奇偶性求函数值或解析式【例2】 (2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln2)＝8，则a ＝________.【解析】 当x >0时，－x <0，f (－x )＝－e －ax.因为函数f (x )为奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln2)＝e－a ln2＝(12)a ＝8，所以a ＝－3. 【答案】 －3命题方向3 利用奇偶性求参数【例3】 已知函数f (x )＝2x2x －1＋a 为奇函数，则实数a ＝________.【解析】 易知f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x2－x －1＋a ＝－2x 2x －1－a ，所以2a ＝－2x 2x －1－2－x 2－x －1＝－2x 2x －1－11－2x＝－1，所以a ＝－12.【答案】 －12方法技巧与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式.,(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )，f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )，列式求解，也可利用特殊值求解.对于在x ＝0处有定义的奇函数f (x )，可考虑列等式f (0)＝0求解.1．(方向1)下列函数为偶函数的是( B ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x |C ．y ＝x |x |D ．y ＝ln|x |－sin x解析：对于A ，显然是非奇非偶函数；对于B ，f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝f (x )为偶函数；对于C ，f (－x )＝－x |－x |＝－f (x )为奇函数；对于D 为非奇非偶函数．2．(方向2)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a (x ≥0)，g (x )(x <0)，则f (－2)的值等于－8.解析：因为函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，则30－a ＝0，∴a ＝1.∴当x ≥0时，f (x )＝3x －1，则f (2)＝32－1＝8，因此f (－2)＝－f (2)＝－8.3．(方向3)若函数f (x )＝x 3⎝⎛⎭⎫12x －1＋a 为偶函数，则a 的值为12.解析：解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x－1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．考点二 函数的周期性【例4】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义，那么f 2 019(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.【解析】 (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3，∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，故选C. (2)∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2， ∵当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2， ∴f (0)＝0，f (1)＝1，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0， f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 019)＝1. 故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010. 【答案】 (1)C (2)1 010 方法技巧函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x 轴的直线上，对称轴平行于y 轴)，那么这个函数一定具有周期性．1．已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( D ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即周期为1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2.2．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( B )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x <4时，y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 3＝2，x 4＝3. 同理可得，当4≤x <6时，y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 5＝4，x 6＝5. 当x 7＝6时，也符合要求．综上可知，共有7个交点．考点三 函数性质的综合应用命题方向1 函数奇偶性与单调性综合【例5】 (2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )A ．f (log 314)>f (2－ 32)>f (2－ 23)B ．f (log 314)>f (2－ 23)>f (2－ 32)C ．f (2－ 32 )>f (2－ 23 )>f (log 314)D ．f (2－ 23 )>f (2－ 32 )>f (log 314)【解析】 根据函数f (x )为偶函数可知，f (log 314)＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0<2－ 32<2－ 23 <20<log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)单调递减，所以f (2－ 32 )>f (2－ 23 )>f (log 314)．【答案】 C命题方向2 函数奇偶性、周期性与单调性的综合【例6】 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1,0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >c >b【解析】 ∵偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，∴函数的周期为2.∴a ＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b ＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c ＝f (0.5)＝f (－0.5)．∵－0.8<－0.5<－0.4，且函数f (x )在[－1,0]上单调递减，∴a >c >b ，故选D.【答案】 D 方法技巧(1)函数单调性与奇偶性的综合，常利用奇、偶函数的图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性的关系求解．(2)函数周期性与奇偶性的综合，此类问题多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的函数的定义域内求解．(3)函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，在解题时，往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．1．(方向1)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( D )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：由已知，得f (－1)＝1，使－1≤f (x )≤1成立的x 满足－1≤x ≤1，所以由－1≤x－2≤1得1≤x ≤3，即使－1≤f (x －2)≤1成立的x 满足1≤x ≤3.2．(方向2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( D )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11).合理推证 善于转化【典例】 已知函数f (x )＝x 23 ＋e x－1(x <0)与g (x )＝x 23＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．⎝⎛⎭⎫－∞，1e C ．(－∞，1)D ．(－∞，e)【解析】 解法1：设点(x 0，f (x 0))与点(－x 0，g (－x 0))关于y 轴对称，即f (x 0)＝g (－x 0)，其中x 0<0，所以＋e x 0－1＝(－x 0)23＋ln(－x 0＋a )，即ln(－x 0＋a )＝e x 0－1，化成指数式得a ＝e(e x 0－1 )＋x 0，当x 0<0时有解．令m (x )＝e (e x －1)＋x (x <0)，由指数函数及复合函数的单调性易知m (x )为增函数，所以m (x )<m (0)＝1，即a <1.解法2：假设存在x 0>0，g (x )图象上的点P (x 0，x＋ln(x 0＋a ))与f (x )图象上的点Q (－x 0，(－x 0) 23＋e －x 0 －1)关于y 轴对称，则方程ln(x 0＋a )＝e －x 0 －1有正数解，即函数y ＝e－x－1的图象与函数y ＝ln(x ＋a )的图象在y 轴右侧有交点，如图所示，将y ＝ln x 的图象最多向左平移1个单位长度，故a <1.【答案】 C【素养解读】 (1)有关点的对称问题，往往要抓住图象进行必要的转化，或者转化为方程有解，通过计算解决，比如解法1；或者通过画图进行观察，比如解法2.两类方法需要掌握转化思想，提高计算能力，熟练图象变换的技巧．(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象上存在点关于y 轴对称，作出函数y ＝f (x )关于y 轴的对称图象，此图象必然与y ＝g (x )图象相交．将图形由远及近，体现了化归与转化思想．(3)解题时要弄清是一个函数图象的自身对称，还是两个函数图象间的相互对称． (4)平时所说的轴对称、中心对称，是指两个图形经过旋转或折叠后重合，而本例两个图形经过旋转或折叠后至少有一个点重合．已知函数g (x )＝a －x 2⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e ，其中e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是[1，e 2－2]．解析：解法1：依题意，若存在1e ≤x 0≤e ，使得g (x 0)＝－h (x 0)成立，则a －x 20＝－2ln x 0，所以a ＝x 20－2ln x 0，构造函数f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，在⎝⎛⎭⎫1e ，1内f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(1，e)内f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )∈[1，e 2－2]，故a ∈[1，e 2－2]．解法2：若存在1e ≤x 0≤e ，使得g (x 0)＝－h (x 0)，则a －x 20＝－2ln x 0，只需函数y ＝x 2－a 与y ＝2ln x 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有公共点即可，借助函数的图象可得a ∈[1，e 2－2]．。

（艺术班）一、必记2个知识点1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．二、必明3个易误区1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．3．分段函数奇偶性判定时，f(－x0)＝f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．三、必会2个方法1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：2．周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a .(a >0)考点一函数奇偶性的判断(1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x－3－x； (4)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )． ∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x－3x ＝－(3x －3－x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． [类题通法]判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质，具体如下： (1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； (2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； (3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．考点二函数奇偶性的应用[典例] (1)(xx·山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2(2)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．[解析] (1)当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.[答案] A [解] (2)∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.② 综合①②可知，－1≤m <1.一题多变：本例(2)中条件在区间[－2,0]上“递减”变为“递增”，试想m 的范围改变吗？若改变，求m 的取值范围解：改变．∵f (x )为奇函数且在[－2,0]上递增， ∴f (x )在[－2,2]上递增．∴m 2－1>1－m .即m >1或m <－2. 由例(2)①知1<m ≤ 3.故m 的取值范围为(1，3]． [类题通法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性． [针对训练]1．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 解析：∵函数f (x )＝x (e x＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，∴设g (x )＝e x ＋a e －x，x ∈R ， 由题意知，g (x )为奇函数，∴g (0)＝0，则1＋a ＝0，即a ＝－1.答案：－1 2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．解析：∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，∴函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函数．∴当a>0时，由f(a)≥f(2)可得a≥2，当a<0时，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)[典例f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( ) A．335 B．338C．1 678 D．2 012[解析] 由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.[答案] B[类题通法]函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．[针对训练]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．课后作业[试一试]1．(xx·广东高考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 由奇函数的概念可知，y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数．2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.[练一练]3已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________.解析：∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2.答案：24．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12解析：选A ∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. 做一做5．(xx·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．6．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.解析：观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3·cos a ＋1＝－10＋1＝－9.答案：－97．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：法一：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.法二：由f (－1)＝f (1)，得|a －1|＝|a ＋1|得a ＝0.答案：08．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解：由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)，因此f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |<|m |.解得：12<m ≤2.因此实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.9．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C f (x )的图像如图．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )<0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________． 解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图像如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确，③不正确．答案：①②④38222 954E 镎34288 85F0 藰36351 8DFF 跿21616 5470 呰 25358 630E 挎^20362 4F8A 侊24018 5DD2 巒P26166 6636 昶 29376 72C0 狀28399 6EEF 滯。

第三节ꢀ函数的奇偶性、对称性与周期性内容索引【教材·知识梳理】1.函数的奇偶性奇偶性偶函数定义图象特点如果对于函数f(x)的定义域内任f(-x)=f(x)y轴意一个x，都有___________，那么函数f(x)是偶函数关于____对称如果对于函数f(x)的定义域内任f(-x)=-f(x)原点奇函数意一个x，都有____________，那么函数f(x)是奇函数关于_____对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域f(x+T)=f(x)内的任何值时，都有____________，就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.存在一个最小(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_____________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【常用结论】1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0).(2)若f(x+a)=，则T=2a(a>0).(3)若f(x+a)=，则T=2a(a>0).【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(ꢀꢀ)(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(ꢀꢀ)(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.(ꢀꢀ)(4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(ꢀꢀ)(5)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.(ꢀꢀ)提示:(1)×.奇函数只有在原点有定义时才过原点,而偶函数不管在原点有无定义,都不一定过原点.(2)√.因为函数具有奇偶性,所以定义域一定关于原点对称,而定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性.(3)√.由周期函数的定义可知正确.(4)√.因为y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a)=f(a-x),可知x=a为对称轴.(5)√.由于y=f(x+b)的图象关于(0,0)对称,根据图象平移变换,知y=f(x)的图象关于(b,0)对称,正确.【易错点索引】序号易错警示典题索引1奇偶函数的定义域关于原点对称考点一、T12忽略奇偶函数定义中任意一个自变量考点一、T43周期性与轴对称所对应解析式的差别考点二、T34分段函数奇偶性的解析式考点三、角度1【教材·基础自测】1.(必修1 P48 例1改编)下列函数为偶函数的是(ꢀꢀ)ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀA.f(x)=x-1B.f(x)=x2+xC.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x【解析】选D.D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数.其余A、B、C选项均不满足f(-x)=f(x).2.(必修1P49练习AT1改编)下列函数中为偶函数的是(ꢀꢀ)A.y=x2sin xB.y=x2cos xD.y=2-xC.y=|ln x|ꢀ【解析】选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性;D选项既不是奇函数,也不是偶函数.3.(必修1 P43 练习AT1改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=【解析】f=f 答案:1则f=________.ꢀ+2=1.=-4×4.(必修1 P53习题2-1AT9改编)已知定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=logx-2 3x,则f(-1)=______.ꢀ【解析】因为f(1)=log1-3=-3,又f(x)为定义在R上的奇函数,所以2f(-1)=-f(1)=3.答案:3考点一ꢀ函数奇偶性的判断ꢀ【题组练透】1.下列函数为奇函数的是A.f(x)=ꢀ(ꢀꢀ)B.f(x)=e x D.f(x)=e x-e-xC.f(x)=cos xꢀ2.已知函数f(x)=3x-,则f(x)(ꢀꢀ)A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数3.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则(ꢀꢀ)A.函数f(g(x))是奇函数B.函数g(f(x))是奇函数C.函数f(x)·g(x)是奇函数D.函数f(x)+g(x)是奇函数4.已知定义在R上的函数f(x),对任意的x,x∈R都有f(x+x)-f(x)=f(x)+5,则121212下列命题正确的是世纪金榜导学号(ꢀꢀ)A.f(x)是奇函数ꢀꢀꢀꢀC.f(x)+5是奇函数ꢀB.f(x)是偶函数D.f(x)+5是偶函数【解析】1.选D.对于A,定义域不关于原点对称,故不是奇函数;对于B, f(-x)= e-x=≠-f(x),故不是奇函数;对于C,f(-x)=cos(-x)=cos x≠-f(x),故不是奇函数;对于D,f(-x)=e-x-e x=-(e x-e-x)=-f(x),是奇函数.2.选A.因为函数f(x)的定义域为R, f(-x)=3-x--3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.因为函数y=所以函数y=-在R上是减函数,在R上是增函数.又因为y=3x在R上是增函数,所以函数f(x)=3x-在R上是增函数.3.选C.令h(x)=f(x)·g(x),因为函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函数.4.选C.取x=x=0,得f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以f(0)=-5.12令x=x,x=-x,则f[x+(-x)]-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5, 12所以f(-x)+5=-[f(x)+5],所以函数f(x)+5是奇函数.【规律方法】判断函数奇偶性的方法=±1(f(x)≠0) (1)定义法:利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:判断函数的奇偶性.(2)图象法:利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.(3)验证法:即判断f(x)±f(-x)是否为0.(4)性质法:在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.考点二ꢀ函数的周期性及应用ꢀ【典例】1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+5)=f(x),且当x∈时,f(x)=x3-3x,则f(2 018)=(ꢀꢀ)A.2ꢀꢀB.-18ꢀꢀꢀꢀC.18 ꢀꢀꢀD.-22.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-且当(ꢀꢀ)x∈[0,2)时,f(x)=log(x+1),则f(-2 017)+f(2 019)的值为2A.0ꢀB.-4ꢀꢀC.-2ꢀꢀD.23.(2019·重庆模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称,当x∈[0,3]时,f(x)=-x,则f(-16)=________.世纪金榜导学号ꢀ【解题导思】序号联想解题1由f(x+5)=f(x),想到周期函数2由f(x+2)=-想到周期函数3由f(x)的图象关于直线x=3对称,想到f(x)=f(6-x)【解析】1.选D.因为f(x)满足f(x+5)=f(x),所以f(x)是周期为5的函数,所以f(2 018)=f(403×5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2),因为f(x)是奇函数,且当x∈时,f(x)=x3-3x,所以f(-2)=-f(2)=-(23-3×2)=-2,故f(2 018)=-2.所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周2.选A.当x≥0时,f(x+2)=-期.2=1,f(2 019)=f(3)=-所以f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log=-1,2所以f(-2 017)+f(2 019)=0.3.根据题意,函数f(x)的图象关于直线x=3对称,则有f(x)=f(6-x),又由函数为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有f(x)=-f(x-6)=f(x-12),则f(x)的最小正周期是12,故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.答案:2【规律方法】1.抽象函数的周期性(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|.(5)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|.(6)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.2.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.【变式训练】1.(2020·菏泽模拟)定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f A.1的值为(ꢀꢀ)B.-1D.2C.0【解析】选B.因为函数f(x)的周期为π,所以因为f(x)为奇函数,所以=-1.2.(2019·长春模拟)已知定义在R上的函数f(x)的周期为6,且f(x)=则f(-7)+f(8)=()A.11B.C.7D.【解析】选A.根据f(x)的周期是6,故f(-7)=f(-1)=-(-1)+1=4,f(8)=f(2)=f(-2)=-(-2)+1=7,所以f(-7)+f(8)=11.3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)= 6-x,则f(919)=____________.【解析】因为f(x+4)=f(x-2),所以f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2]即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.答案:6考点三函数性质的综合应用命考什么:(1)求函数值、解析式或参数值,奇偶性与单调性、奇偶题性与周期性交汇等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理精等核心素养.解怎么考:函数奇偶性、单调性、周期性以及对称性(奇偶性质的扩读展)等知识单独或交汇考查.奇偶函数对称区间上的单调性:奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.学霸好方法【命题角度1】求函数值、解析式或参数值【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln 2)=8,则a=________.2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x2-x,则当x>0时,f(x)=()世纪金榜导学号A.2x2-x C.-2x2-xB.2x2+x D.-2x2+x【解析】1.因为ln 2>0,所以-ln 2<0,由于f(x)是奇函数,所以f(-ln 2)=-f(ln 2)=-8,即-e(-ln2)a=-8,解得a=-3.答案:-32.选C.当x>0时,-x<0,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-2x2-x.【解后反思】1.如何求奇偶函数对称区间上的解析式?提示:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.2.如何求奇偶函数对称区间上的函数值?提示:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.【命题角度2】奇偶性与单调性交汇问题【典例】函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2] C.[0,4]B.[-1,1] D.[1,3]【解析】选D.由已知,得f(-1)=1,使-1≤f(x)≤1成立的x满足-1≤x≤1,所以由-1≤x-2≤1得1≤x≤3,即使-1≤f(x-2)≤1成立的x满足1≤x≤3.【解后反思】解决与抽象函数有关的不等式问题的关键是什么?提示:利用题设条件,想办法去掉“f”符号即可解决.【命题角度3】奇偶性与周期性交汇问题【典例】(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()世纪金榜导学号A.-50 C.2B.0 D.50【解析】选C.f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,图象关于原点对称,满足f(1-x)=f(1+x),则f(x+4)=f(1-(x+3))=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.【解后反思】如何求解项数较多的式子的值?提示:因为多项式个数较多,可能与函数的周期性有关,可依据题设条件,先探索函数的周期性,再去求解.【题组通关】【变式巩固·练】1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则g(-8)=() A.-2 B.-3 C.2 D.3【解析】选A.方法一:当x<0时,-x>0,且f(x)为奇函数,则f(-x)=log(1-x),3(1-x).所以f(x)=-log3(1-x),x<0,因此g(x)=-log3故g(-8)=-log9=-2.39=-2.方法二:由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log32.(2020·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,若f(1)<1, f(5)=,则实数a的取值范围为()A.(-1,4) C.(-1,2)B.(-2,1) D.(-1,0)【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,所以f(5)= f(-1)=f(1),即<1,化简得(a-4)(a+1)<0,解得-1<a<4.3.设函数f(x)=为奇函数,则a=______.为奇函数,【解析】因为f(x)=所以f(1)+f(-1)=0,即所以a=-1.答案:-1【综合创新·练】1.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e x,则g(x)=() A.e x-e-x B.(e x+e-x)D.(e x-e-x)C.(e-x-e x)【解析】选D.由f(x)+g(x)=e x①,可得f(-x)+g(-x)=e-x.又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,可得f(x)-g(x)=e-x②,则两式相减,可得g(x)=2.(2020·南昌模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0, f(0)=,则f(10)等于________.【解析】因为f(2-x)+f(x)=0,所以f(x)=-f(2-x),又f(x)为偶函数,所以f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-2-2)]=f(x-4),。