2013版高中全程复习方略配套课件：8.5曲线与方程(人教A版·数学理)浙江专用

【规范解答】（1）如图所示， 连接OM， 则|PM|=|OM|, ≧∠MPO=∠AOP,
≨动点M满足MP⊥l,
或M在x轴的负半轴上，设M(x,y)，
①当MP⊥l时，|MP|=|x+2|,|OM|= x 2 y2， |x+2|=
2 x 2 y 2， 化简得y =4x+4(x≥-1)
„„„„„„„2分
并给出此时点H的坐标； （3）过点T（1，-1）且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有 两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围.
【解题指南】（1）由已知可得，动点M到直线l与到原点O的距 离相等，或点M在x轴负半轴上，从而可求出轨迹方程； （2）利用抛物线的定义，其上的点到准线的距离等于到焦点的 距离，可得答案； （3）由几何性质可得结论.
2
x 2
2
y2，
化简整理得：
(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0(λ＞0).
【反思·感悟】1.从两个题目的求解可以看出，求轨迹的方程，
其关键是建立平面直角坐标系后寻找等量关系，从而得出方程；
2.求解轨迹方程时，一定要注意检验，以防产生增根或漏解.
定义法求轨迹方程 【方法点睛】 定义法 求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭
|CM|=10-r(r为动圆M的半径)，再注意|PM|=r，从而有
|CM|+|PM|=10，由椭圆的定义得出所求轨迹为椭圆；(3)由动圆
P与圆C1、圆C2均外切得出|C1P|=r+3，|C2P|=r+1，由此得到
|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程.
【规范解答】（1）选B.如图所示.
【规范解答】(1)以点M、N所在的直线为x轴，MN的中点O为坐标 原点，建立平面直角坐标系，则M(-3,0)、N(3,0),设P(x,y)，
则 PM =(-3-x,-y)， PN =(3-x,-y), PM PN =(-3-x,-y)·(3-x,-y)， 又因为 PMPN 6 ,
圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类
型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关
键是理解解析几何中有关曲线的定义.
【提醒】利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完 整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应
对其中的变量x或y进行限制.
【例2】（1）(2012·绍兴模拟）已知定点F1（-2，0）， F2（2，0），N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点 为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( （A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆 )
所以动圆圆心M的轨迹为椭圆，其中长轴长为10，焦距等于6，
x 2 y2 所以椭圆方程为： 1，即所求轨迹方程. 25 16 2 2 答案：x y 1 25 16
（3）设动圆圆心P的坐标为P(x,y)，半径为r， 因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3， 又动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1， 因此|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义可知其轨迹为 双曲线的一支（右支）.
【即时应用】 (1)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“曲 线上点的坐标都是这个方程的解”，那么这个方程是该曲线的 方程吗？ 提示：不一定是. 因为只满足“曲线上点的坐标都是这个方程
的解”说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部分，而非
整个方程的曲线.
(2)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“以 这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，那么该曲线是这 个方程的曲线吗？ 提示：不一定是. 因为只满足“以这个方程的解为坐标的点都

又因为 PA PB =x2+1, 所以(-2-x,-y)·(-3-x,-y)=x2+1, 化简得：y2+5x+5=0.

（2）设点A(x,y)，因为B(0,0)，
所以AB的中点D( x , y )
2 2
又C(5,0) |CD|=3 所以
x y (5 ) 2 (0 ) 2 3, 2 2
【满分指导】求轨迹方程主观题的规范解答 【典例】（14分）(2011·广东高考）在平面直角坐标系xOy中， 直线l:x=-2交x轴于点A.设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分
线上一点，且满足∠MPO=∠AOP.
（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知T（1，-1），设H是E上的动点,求|HO|+|HT|的最小值，
2.求曲线方程的基本步骤
建系 设点 列式 建立适当的平面直角坐标系 轨迹上的任意一点一般设为P（x，y） 列出或找出动点P满足的等式 将得到的等式转化为关于x、y的方程 验证所求方程即为所求的轨迹方程
代换 验证
【即时应用】
(1)已知点A(-2,0)、B(-3,0)，动点P(x,y)满足
PAPB x 2 1 则点P的轨迹方程是__________________. ，
第五节 曲线与方程三年4考源自高考指数:★★1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系； 2.理解数形结合的思想.
1.求点的轨迹、轨迹方程是高考的重点;一般用直接法、定义法 或相关点法求解,所求轨迹一般为圆锥曲线；
2.经常在解答题的第一问中出现，属中低档题目；有时也在选
择、填空题中出现.
1.曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元 方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: 这个方程的解 （1）曲线上点的坐标都是_________________； 曲线上的点 （2）以这个方程的解为坐标的点都是________________. 方程的曲线 曲线的方程 那么，这个方程叫做____________，这条曲线叫做___________.
化简得：(x-10)2+y2=36. 又≧△ABC中的三点A、B、C不能共线， 所以去掉点(4,0)和(16,0). 答案：（1）y2+5x+5=0 （2）（x-10）2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0))
直接法求轨迹方程
【方法点睛】
1.直接法 如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x、y的等式，从 而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.
所以(x′,-y′)·(1,-y′)=0,即x′+y′2=0, 所以-x+( y )2=0，即y2=4x.
2
因此所求的轨迹方程为y2=4x.
【反思·感悟】1.解答本题的关键是从已知条件中发现x′、 y′之间的关系式及x′、y′与x、y之间的关系； 2.用代入法求轨迹方程，关键是发现相关点的轨迹方程，同时 要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.
由圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1可知：
C1(-5,0)、C2(5,0)，所以双曲线的实轴长为2，焦距为10，
y2 所以所求轨迹方程为 x 1 x 1 . 24
2
【反思·感悟】1.本例（2）（3）题都是求轨迹方程，它们的 共同特点是利用题设条件，找到符合某种曲线的定义，即得出 点的轨迹，进而求出轨迹方程； 2.利用定义求轨迹或轨迹方程时，一定要注意曲线定义的内涵
轨迹方程.
【提醒】用代入法求轨迹方程是将x′、y′表示成x、y的式子，
同时注意x′、y′的限制条件.
【例3】设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且 MN 2MP，
，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程. PM PF


【解题指南】设点N，M，P的坐标分别为N(x,y)，M(x′,0)， P(0,y′),可由已知条件得出x′、y′与x、y之间的关系， 同时得到x′、y′满足的方程，用代入法即可求出轨迹方程.
及外延，有一点不符合定义就有可能得出另外的结论.
相关点(代入)法求轨迹方程 【方法点睛】 相关点（代入）法 动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点
P(x,y)却随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律地运动，而且
动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′、y′表
示成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，整理化简即得动点P的
（2）已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ (λ ＞0)， 求动点M的轨迹方程.
【解题指南】(1)先建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标，
依据 PMPN 6 得出轨迹方程；(2)可设出动点M的坐标，
依据动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0) 即可得出方程.
连接PF1、ON. 由F1、M关于N对称，故N为F1M中点， 又O是F1F2中点，故ON是△F1F2M的中位线，
≨|F2M|=2|ON|=2， 由题意可知|PM|=|PF1|， 又|PM|-|PF2|=|F2M|， 故|PF1|-|PF2|=|F2M|=2，当P点在y轴左侧时有|PF2|-|PF1|=2， 又|F1F2|=4>2， ≨P点的轨迹是以F1，F2为焦点，实轴长为2的双曲线.
②当M在x轴的负半轴上时，y=0(x＜-1).
综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4(x≥-1)
或y=0（x＜-1）„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
是曲线上的点”说明这个方程可能只是部分曲线的方程，而非
整个曲线的方程.
(3)方程x2+xy=x所表示的曲线是_______________. 【解析】因为方程x2+xy=x可化为：x(x+y-1)=0，所以x=0或 x+y-1=0，它们表示两条直线,因此方程x2+xy=x表示的曲线为 两条直线.