江西省红色六校2014届高三上学期第一次联考数学(理)

绝密★启用前2014届江西赣州市六校高三第一学期期末联考理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：161分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、下列命题正确的个数是（ ） ①已知复数，在复平面内对应的点位于第四象限；②若是实数，则“”的充要条件是“或”；③命题P ：“”的否定P ：“”；A ．3B ．2C ．1D ．02、某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，已知130～140分数段的人数为90，90～100分数段的人数为a ，则下图所示程序框图的运算结果为(注：n ！＝1×2×3×…×n ，如5！＝1×2×3×4×5)( )………线…………线…A．800! B．810! C．811! D．812!3、由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为( )A． B．4 C． D．64、一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A． B． C．40 D．805、已知数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若，则这9个数的和为()A．16 B．32 C．36 D．726、函数的定义域是()A．(0，2) B．(0，1)∪(1，2) C．(0，2] D．(0，1)∪(1，2]7、设集合，，则A∩B ＝( )A ．[－2，2]B ．[0，2]C ．(0，2]D ．[0，＋∞)8、已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．48C ．28或48D ．1或289、已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是（ ） A ． B ．C ．D ．10、如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为，原点O 到弦AP 的长为d ，则函数d ＝f()的图像大致是( )第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、不等式的解集是 .12、已知圆C的极坐标方程为，则圆心C的一个极坐标为 .13、等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为 .14、若点在直线上，其中则的最小值为 .15、如图，设E，F分别是的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC ＝6，则·＝ .16、设函数在其图像上任意一点处的切线方程为，且,则不等式的解集为．三、解答题（题型注释）17、已知数列满足：，且，．（1）求通项公式；（2）求数列的前n项的和18、在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点. Array(1)求证:B1C∥平面A1BD；(2)求平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值.19、已知函数（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，A、B、C分别为三边所对的角，若，求的最大值.20、甲、乙两名教师进行乒乓球比赛,采用七局四胜制(先胜四局者获胜).若每一局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,现已赛完两局,乙暂时以2∶0领先.(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)设比赛结束时比赛的局数为随机变量X，求随机变量X的概率分布和数学期望EX.21、已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，点G在椭圆C上，且，的面积为3.（1）求椭圆C的方程：（2）设椭圆的左、右顶点为A，B，过的直线与椭圆交于不同的两点M，N（不同于点A，B），探索直线AM，BN的交点能否在一条垂直于轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由．22、已知函数，．(1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若对任意的两个实数满足，总存在，使得成立，证明：．参考答案1、C2、B3、C4、A5、D6、D7、B8、C9、B10、D11、12、13、414、15、1016、17、（1）；（2）．18、（1）详见解析；（2）平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值为．19、（1），函数的单调递增区间为；（2）因此的最大值为．20、(1) 甲获得这次比赛胜利的概率为；(2) X的概率分布为：．21、（1）；（2）直线AM，BN的交点必在一条垂直于轴的定直线上，这条直线的方程是．22、(1) 函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，；(2) 实数的取值范围；(3) 详见解析．【解析】1、试题分析：①已知复数，在复平面内对应的点位于第四象限是错误的，因为，为第一象限；②若是实数，则“”的充要条件是“” 是错误的，因为“”的充要条件是“且”；③命题P：“”的否定P：“”是正确的，特称命题的否定是全称命题．考点：命题真假判断．2、试题分析：设样本容量为，130～140分数段的频率为0.05，则0.05=90，解得=1800，即样本容量=1800，90～100分数段的频率为0.45，故90～100分数段的人数为，根据程序框图可知是计算，故答案选Ｂ．考点：频率分布直方图，算法框图．3、试题分析：曲线，直线及轴所围成的封闭图形如下图，由得，，由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为．考点：定积分。

江西省赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)2013-2014学年度第一学期期末联考高三数学试题(理科)一、选择题(每小题5分，共50分)1、已知x, y ∈R , i 为虚数单位，且(x ―2)i ―y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y 的值为 A ．4 B ．－4 C ．4＋4i D ．2i 2、下列命题中正确的是 A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p 且q ”为真命题B ．“sin α＝21”是“α＝6π”的充分不必要条件C ．l 为直线，α,β为两个不同的平面，若l ⊥β,α⊥β, 则l ∥αD ．命题“∀x ∈R , 2x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ,02x ≤0”3、平面α∥平面β，点A, C ∈α, B, D ∈β，则直线AC ∥直线BD 的充要条件是 A ．AB ∥CD B ．AD ∥CB C ．AB 与CD 相交 D ．A, B, C, D 四点共面4、已知向量a , b 的夹角为60°，且|a |＝2, |b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于 A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°5、一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是A ．211πB ．211π＋6 C ．11π D ．211π＋33 6、过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A, B 两点，O 为坐标原点。

若|AF|＝3，则△AOB 的面积为A ．22 B ．2 C ．223 D ．227、已知函数f(x)＝ax 3＋21x 2在x ＝－1处取得极大值， 记g(x)＝)('1x f 。

程序框图如图所示，若输出的结果 S ＝20142013，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是 A ．n ≤2013 B ．n ≤2014C ．n ＞2013D ．n ＞20148、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2， P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为 A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上情况都有可能9、已知函数f(x)＝2||4+x －1的定义域是[a, b](a, b ∈Z )，值域是[0, 1]，则满足条件的整数对(a, b)共有A ．2个B ．5个C ．6个D ．无数个10、设D ＝{(x, y)|(x －y)(x ＋y)≤0}，记“平面区域D 夹在直线y ＝－1与y ＝t(t ∈[－1,1])之间的部分的面积”为S ，则函数S ＝f(t)的图象的大致形状为二、填空题（每小题5分，共25分）11、设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M(x, y)满足OM ·CM ＝0，则x y＝。

江西省2014届高三4月联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数2(12)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为 A. 4iB. 4i -C. 4D. －42. 函数lg(2)y x =-的定义域为A. （－2，0）B. （0，2）C. （－2，2）D. [2,2)-3. “α是第二象限角”是“sin tan 0αα<”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设2(12)a x dx =-⎰，则二项式26()a x x+的常数项为 A. －240B. 240C. －160D. 1605. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.233B.223C.203D.1436. 已知定义域在R 上的函数()f x 图象关于直线2x =-对称，且当2x ≥-时，()34x f x =-，若函数()f x 在区间(1,)k k -上有零点，则符合条件的k 的值是A. －8B. －7C. －6D. －57. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为A. 18-B.18C.116D.1328. 若X 是一个集合，集合τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足： （1）X τ∈，空集∅属于τ； （2）τ中任意多个元素的并集属于τ； （3）τ中任意多个元素的交集属于τ。

称τ是集合X 上的一个拓扑。

已知集合{,,}X a b c =，对于下列给出的四个集合τ： ①{,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅；②{,{},{},{,},{,,}b c b c a b c τ=∅ ③{,{},{,},{,}}a a b a c τ=∅；④{,{,},{,},{},{,,}}a c b c c a b c τ=∅ 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④9. 如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11A B 上移动，∠EAB ＝,(0,)2πθθ∈，过直线AE ，AD 的平面ADFE 将正方体分成两部分，记棱BC 所在部分的体积为()V θ，则函数(),(0,)2V V πθθ=∈的大致图象是10. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，△12F PF 的重心为G ，内心为I ，且有12IG F F λ=（λ为实数），斜率为1的直线l 经过点1F ，且与圆221x y +=相切，则椭圆的方程为A. 22186x y +=B. 22164x y +=C. 22197x y +=D. 221108x y +=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若531159S S -=，则公差为________。

江西省红色六校2014届高三第一次联考数学试题(理)（分宜中学、南城一中、瑞金一中、莲花中学、任弼时中学、遂川中学）命题人：任弼时中学 莲花中学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合M={y|y=2x,x ＜0},N=1|lg x x y x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,则M ∩N =( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.φD. (0,1)∪(1,+∞) 2、在复平面内，复数122ii-+对应的点的坐标为（ ） A.(0，-1) B.(0,1) C.43(,)55- D. 43(,)553、已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a a +=1，34a a +=4，则5678a a a a +++=（ ） A.20 B.32 C.80 D.25534、投掷红、蓝两个骰子，事件A=“红骰子出现4点”，事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，则P （A|B ）=（ ）A.16B. 13C. 112D. 125、已知抛物线22y px =（p ＞0）的焦点F 恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点,且两条曲线的交点的连线过F,则该双曲线的离心率为( )B.2C.D. 6、设等差数列{n a }的前n 项和为n s ,已知1a =-2012,2013201120132011S S-=2,则2012S =( )A.-2013B.2013C.-2012D. 20127、函数f(x)=sin x ω+acos x ω(ω＞0)的图像关于M(3π,0)对称,且在6x π=处函数有最小值,则a ω+的一个可能取值是( ) A.0 B.3 C.6 D. 98、设函数1||,0()0,0x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，g(x)=[]2()f x +b ()f x +c,如果函数g(x)有5个不同的零点,则( )A.b ＜-2且c ＞0B.b ＞-2且c ＜0C.b ＜-2且c=0D. b ≥-2且c ＞09、设函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈,且数列{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为( )A.(2,3)B.(1,3)C.(1,+∞)D. (2, +∞)10、一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三解形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S 关于时间t 的函数为)(t f S =，则下列图中与函数)(t f S =图像最近似的是（ ）．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（江西卷）数学答案解析1、【答案】D【解析】试题分析：设，则由得：，由得：，所以选D.考点：共轭复数2、【答案】C【解析】试题分析：由题意得：解得或，所以选C.考点：函数定义域3、【答案】A【解析】试题分析：因为，所以即选A.考点：求函数值4、【答案】C试题分析：因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.考点：余弦定理5、【答案】B【解析】试题分析：俯视图为几何体在底面上的投影，应为B中图形.考点：三视图6、【答案】D【解析】试题分析：根据公式分别计算得：A.， B. C. D. ，选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大为D.考点：关联判断7、【答案】B试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：结束循环，输出选B.考点：循环结构流程图8、【答案】B【解析】试题分析：设，则因此考点：定积分9、【答案】A【解析】试题分析：设直线：.因为，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，为准线的抛物线.圆C半径最小值为，圆面积的最小值为选A.考点：抛物线定义10、【答案】C【解析】试题分析：因为，所以延长交于，过作垂直于在矩形中分析反射情况：由于，第二次反射点为在线段上，此时,第三次反射点为在线段上，此时,第四次反射点为在线段上,由图可知，选C.考点：空间想象能力11、【答案】C【解析】试题分析：因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.考点：含绝对值不等式性质12、【答案】A试题分析：根据，得：解得，选A.考点：极坐标13、【答案】【解析】试题分析：从10件产品中任取4件，共有种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有，因此所求概率为考点：古典概型概率14、【答案】【解析】试题分析：设切点，则由得：，所以点的坐标是.考点：利用导数求切点.15、【答案】试题分析：因为所以考点：向量数量积及夹角16、【答案】【解析】试题分析：设，则由两式相减变形得：即，从而考点：点差法，椭圆离心率17、【答案】（1）最大值为最小值为-1. （2）【解析】试题分析：（1）求三角函数最值，首先将其化为基本三角函数形式：当时，，再结合基本三角函数性质求最值：因为，从而，故在上的最大值为最小值为-1.（2）两个独立条件求两个未知数，联立方程组求解即可. 由得，又知解得试题解析：解（1）当时，因为，从而故在上的最大值为最小值为-1.（2）由得，又知解得考点：三角函数性质18、【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）已知数列，因此对变形为所以数列是以首项，公差的等差数列，故（2）由知，是等差乘等比型，所以求和用错位相减法.,相减得所以试题解析：（1）因为，所以所以数列是以首项，公差的等差数列，故（2）由知于是数列前n项和相减得所以考点：等差数列定义，错位相减求和19、【答案】（1）在取极小值，在取极大值4.（2）【解析】试题分析：（1）求函数极值，首先明确其定义域：，然后求导数：当时，再在定义域下求导函数的零点：或根据导数符号变化规律，确定极值：当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.（2）已知函数单调性，求参数取值范围，一般转化为对应导数恒非负，再利用变量分离求最值. 由题意得对恒成立，即对恒成立，即，，即试题解析：（1）当时，由得或当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.（2）因为当时,依题意当时，有，从而所以b的取值范围为考点：利用导数求极值，利用导数求参数取值范围20、【答案】（1）详见解析，（2）时，四棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为【解析】试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故AB AD，又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD平面PAD，所以AB PD（2）求四棱锥体积，关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理：过P作AD的垂线，垂足为O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用表示高及底面积：设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面BPC 的法向量及平面DPC的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即可.试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故AB AD，又平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCD=AD所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，故AB PD（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG,BC PG在直角三角形BPC中，设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为因为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.建立如图所示的空间直角坐标系，故设平面BPC的法向量，则由,得解得同理可求出平面DPC的法向量，从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为考点：面面垂直性质定理，四棱锥体积，利用空间向量求二面角21、【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求双曲线的方程就是要确定a的值，用a,c表示条件：轴，∥，即可得：直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则又因为AB OB，所以，解得，故双曲线C的方程为（2）本题证明实质为计算的值.分别用坐标表示直线与AF的交点及直线与直线的交点为，并利用化简.：.试题解析：（1）设，因为，所以直线OB方程为，直线BF的方程为，解得又直线OA的方程为，则又因为AB OB，所以，解得，故双曲线C的方程为（2）由（1）知，则直线的方程为，即因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点直线与直线的交点为则因为是C上一点，则，代入上式得，所求定值为考点：双曲线方程，直线的交点P（2）当时，，当时（3）当时，当时，【解析】试题分析：（1）当时，将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所有可能值为2,3,4,5.对应组数分别为4,6,6,4，对应概率为，，，，（2）和恰好相等的所有可能值为当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；以此类推：和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，当时（3）先归纳：当时，因此当时，即证当时，这可用数学归纳法证明. 当时，，利用阶乘作差可得大小.试题解析：（1）当时，所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所以的分布列为2 3 4 5（2）和恰好相等的所有可能值为又和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，当时（3）由（2）当时，因此而当时，理由如下：等价于①用数学归纳法来证明：当时，①式左边①式右边所以①式成立假设时①式成立，即成立那么，当时，①式左边=①式右边即当时①式也成立综合得，对于的所有正整数，都有成立考点：概率分布及数学期望，概率，组合性质，数学归纳法。

上饶市2014届第一次高考模拟考试数学(理科试题卷命题人:本试卷分第Ⅰ卷(选择题和第Ⅱ卷(非选择题两部分,第Ⅰ卷l 至2页,第Ⅱ卷3至4页,共150分.第Ⅰ卷考生注意:1.答题前,考生务必将自己的学校、准考证号、姓名填写在答题卡上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卷一并收回.一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,每题只有一个正确答案1.计算:=--+ii i 211(2(2(A .2B .2-C .2iD .2i -2.已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=∈≤-=Z x x x T R x x x S ,115,,21,则T S (A .{}Z x x x ∈≤<,30|B .{}Z x x x ∈≤≤,30|C .{}Z x x x ∈≤≤-,01|D .{}Z x x x ∈<≤-,01|3. 数列{}n a 的前n 项和223,{}n n S n n a =-则的通项公式为(A .45n -B .43n -C .23n -D .21n -4.某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱的长度中,最大的是( A .. C..5.设02x π≤≤,则(A .0x π≤≤ BCD 6.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为(A . 6 B. 5 C . 8 D. 77.已知b a b a 与且,sin ,(cos ,sin ,(cos ββαα==之间满足关系:,其中b a k ⋅>则,0取得最小值时,θ夹角与b a 的大小为(第6题(A B . C . D 8.定义在R 上的函数f(x满足f(4=1,f ′(x为函数f(x的导函数.已知函数y =f ′(x的图象如图所示,两个正数a 、b 满足f(2a +b<1,则22b a ++的取值范围是( A . (13,12 B. (12,3 C . (-∞,12∪(3,+∞ D. (-∞,-3 9. 平面α外有两条直线m 和n ,如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ,给出下列四个命题:①11m n m n ⊥⇒⊥②11m n m n ⊥⇒⊥③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合,其中不正确的命题的个数是( A.4个 B.3个 C .2个 D. 1 10.已知方程组222x y z uyz ux -=-⎧⎨=⎩对此方程组的每一组正实数解(,,,x y z u ,其中z y ≥,都存在正实数M ,且满足zM y≤,则 M 的最大值是 (A. 1B. 3+C .6+D. 3-第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分11. 二项式521x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为 .12. 若正数,x y 满足230x y +-=,则2x yxy+的最小值为 . 13.有6名同学参加两项课外活动,每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项,每项活动最多安排4人,则不同的安排方法有_____种.(用数字作答14.若12,F F 分别为双曲线22221y x a b-=的下,上焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线的下支上,点M 在上准线上,且满足112111,((0F P F OF O MP F M F P F Oλλ==+>,则双曲线的离心率__________.15. 选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本题共5分。

2014年江西省景德镇市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. (√22−√22i)2=( )A 1B −1C iD −i2. 函数y =f(2x −1)的定义域为[0, 1]，则y =f(x)的定义域为（ ） A [−1, 1] B [12, 1] C [0, 1] D [−1, 0]3. 若函数f(x)=sin2x −2sin 2x ⋅sin2x(x ∈R)，则f(x)是（ ）A 最小正周期为π的偶函数B 最小正周期为π的奇函数C 最小正周期为2π的偶函数D 最小正周期为π2的奇函数4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（ ） A32π3B 8π C16π3D 32π5. 若(x −1ax)7展开式中含x 的项的系数为280，则a =( )A −2B 2C −12D 126. 已知等比数列{a n }的公比为q （q 为实数），前n 项和为S n ，且S 3、S 9、S 6成等差数列，则q 3等于（ ）A 1B −12 C −1或12 D 1或−127. 设F(x)=2√x +1，若F′(x)=f(x)，则∫ 2 f(2x)dx 值为（ ）A 2√2B √2C 2D 18. 甲、乙两名棋手比赛正在进行中，甲必须再胜2盘才最后获胜，乙必须再胜3盘才最后获胜，若甲、乙两人每盘取胜的概率都是12，则甲最后获胜的概率是（ ）A 34B 1116C 58D 9169. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且AF →=3BF →，则双曲线离心率的最小值为（ ）A √2B √3C 2D 2√210.如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1上、下底面中心分别为O 1，O 2将正方体绕直线O 1O 2旋转一周，其中由线段BC 1旋转所得图形是（ ）A B C D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 11. 设a →=(2, 4)，b →=(1, 1)，若b →⊥(a →+mb →)，则实数m =________．12. 执行如图所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为________．13. 记不等式{y ≥x 2−xy ≤x所表示的平面区域为D ，直线y =a(x +13)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．14. 工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺丝，第一阶段，首先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上（距离它最远的，下同）螺丝，再随意拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上螺丝，第五个和第六个以此类推，但每个螺丝都不要拧死；第二阶段，将每个螺丝拧死，但不能连续拧相邻的2个螺丝．则不同的固定方式有________．三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分．15. 在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的圆心到直线ρsin(θ+π4)=4√2的距离为________．16. 若关于实数x 的不等式|x −1|−|x −2|≤a 2−a −3的解集是空集，则实数a 的取值范围是________．四、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数f(x)＝4cosxsin(x +π6)+a 的最大值为2．（1）求a的值及f(x)的最小正周期；（2）在坐标纸上做出f(x)在[0, π]上的图象．18. 如图，从A到B有6条网线，数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从中任取3条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息之和为ξ．（1）当ξ≥14时，线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望．19. 已知数列{a n}各项为非负实数，前n项和为S n，且S 2n −n2S n−(n2+1)=0（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当n≥2时，求1S2−2+1S3−2+1S4−2+...+1S n−2．20. 如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC= BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD // AE，BD⊥BA，BD=12AE=2，O、M分别为CE、AB的中点．（1）求证：OD // 平面ABC；（2）求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；（3）能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．21. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点F在x轴上，离心率e=√32，点Q(√2,√22)在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为k(k≠0)的直线n交椭圆C于A，B两点，且k OA ，k，k OB 成等差数列，点M(1, 1)，求S△ABM 的最大值．22. 设f(x)=12(1+x)(ax2+bx+c)，g(x)=−e−x+12−|ln(x+1)|+k（1）若f(x)的图象关于x=−1对称，且f(1)=2，求f(x)的解析式；（2）对于（1）中的f(x)，讨论f(x)与g(x)的图象的交点个数．2014年江西省景德镇市高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. A3. D4. B5. C6. B7. C8. B9. C10. D11. −312. −4313. [−13，67]14. 288015. 3√216. (−1, 2)17. f(x)＝4cosxsin(x+π6)+a＝4cosx(√32sinx+12cosx)+a=√3sin2x+2cos2x+a＝2sinx(2x+π6)+1+a∵ 函数的最大值为2，∴ a＝−1，T=2π2=π；列表画图如下：．18. 解：（1）由题设知，三条网线共有20种选择，其中ξ≥14的有5种，∴ 线路信息畅通的概率P=520=14．（2）由题设知ξ=10，11，12，13，14，15，P(ξ=10)=110，P(ξ=11)=320，P(ξ=12)=14，P(ξ=13)=14，P(ξ=14)=320，P(ξ=15)=110，∴ ξ的分布列：Eξ=10×110+11×320+12×14+13×14+14×320+15×110=252．19. 解：（1）∵ S n2−n2S n−(n2+1)=0，∴ (S n+1)[S n−(n2+1)]=0，又∵ 数列{a n}各项为非负实数，∴ S n=n2+1，∴ 当n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+1)−[(n−1)2+1]=2n−1，当n=1时，a1=S1=2，∵ 当n=1时，2n−1=1≠a1，∴ a n={2,n=12n−1,n≥2．（2）∵ S n=n2+1，∴ 当n≥2时，1S2−2+1S3−2+1S4−2+...+1S n−2=122−1+132−1+142−1+⋯+1n2−1=12[(11−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−2−1n)+(1n−1−1n+1)]=12(11+12−1n−1n+1)=34−2n+12n(n+1)．20. 解：（1）证明：取AC中点F，连接OF、FB∵ F 是AC 中点，O 为CE 中点，∴ OF // EA 且OF =12EA ，又BD // AE 且BD =12AE∴ OF // DB ，OF =DB∴ 四边形BDOF 是平行四边形 OD // FB又∵ FB ⊂平面MEG ，OD ⊄平面MEG ∴ OD 面ABC ．（2）∵ DB ⊥面ABC ，又∵ 面ABDE ⊥面ABC ，面ABDE ∩面ABC =AB ，DB ⊂面ABDE ， ∴ DB ⊥面ABC ， ∵ BD // AE ， ∴ EA ⊥面ABC ，如图，以C 为原点，分别以CA 、CB 为x 、y 轴，以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系 ∵ AC =BC =4∴ 各点坐标为：C(0, 0, 0)，A(4, 0, 0)，B(0, 4, 0)，D(0, 4, 2) E(4, 0, 4)∴ O(2,0,2),M(2,2,0),CD →=(0,4,2)，OD →=(−2,4,0)，MD →=(−2,2,2)设面ODM 的法向量n →=(x,y,z)，则由n →⊥MD →可得{−2x +4y =0−2x +2y +2z =0令x =2，得：n →=(2,1,1)设直线CD 和平面ODM 所成角为θ． 则：sinθ=||n →||CD →|˙|=|(2,1,1)⋅(0,4,2)|(2,1,1)|⋅|(0,4,2)||=√6⋅2√5=√3010． ∴ 直线CD 和平面ODM 所成角正弦值为√3010．（3）方法一：当N 是EM 中点时，ON ⊥平面ABDE ．证明：取EM 中点N ，连接ON 、CM ，∵ AC =BC ，M 为AB 中点，∴ CM ⊥AB ， 又∵ 面ABDE ⊥面ABC ，面ABDE ∩面ABC =AB ，CM ⊂面ABC ， ∴ CM ⊥AB ，∵ N 是EM 中点，O 为CE 中点，∴ ON // CM ， ∴ ON ⊥平面ABDE ．方法二当N 是EM 中点时，ON ⊥平面ABDE ．∵ DB ⊥BA ，又∵ 面ABDE ⊥面ABC ，面ABDE ∩面ABC =AB ，DB ⊂面ABDE ∴ DB ⊥面ABC ， ∵ BD // AE ， ∴ EA ⊥面ABC ．如图，以C 为原点，分别以CA 、CB 为x 、y 轴，以过点C 与平面垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵ AC =BC =4，∴ 各点坐标为：C(0, 0, 0)，A(4, 0, 0)，B(0, 4, 0)D(0, 4, 2)，E(4, 0, 4) ∴ O(2, 0, 2)，M(2, 2, 0)，设N(a, b, c)，∴ MN →=(a −2,b −2,c)，NE →=(4−a,−b,4−c)∵ 点N 在ME 上，∴ MN →=λNE →，即(a −2, b −2, c)=λ(4−a, −b, 4−c) ∴ {a −2=λ(4−a)b −2=λ(−b)c =λ(4−c)⇒{ a =4λ+2λ+1b =2λ+1c =4λλ+1∴ N(4λ+2λ+1，2λ+1，4λλ+1)∵ BD →=(0,0,2)是面ABC 的一个法向量， ∴ ON →⊥BD →，∴4λλ+1=2，解得λ=1．∴ MN →=NE →即N 是线段EM 的中点， ∴ 当N 是EM 中点时，ON ⊥平面ABDE ． 21. 解：(1)设椭圆方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，∵ 椭圆离心率e =√32，点Q(√2,√22)在椭圆C 上， ∴ {√a 2−b 2a=√32,2a 2+12b 2=1,解得a =2，b =1， ∴ 椭圆方程为x 24+y 2=1.(2)设直线n 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， ∴ {kx +m =y,x 24+y 2=1,消去y 得 (4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0. ∵ Δ=64k 2m 2−16(4k 2+1)(m 2−1)>0， ∴ x 1+x 2=−8km 4k 2+1.∵ k OA ，k ，k OB 成等差数列， ∴ y 1x 1+y2x 2=2k ，即x 1y 2+x 2y 1=2kx 1x 2， 又y =kx +m ， ∴ m(x 1+x 2)=0， ∴ m =0，∴ 直线n 的方程为y =kx ，代入椭圆方程得(1+4k 2)x 2=4，∴ |AB|=4√1+k2√1+4k2．∵ M到y=kx的距离为d=√k2+1，∴ S=124√1+k2√1+4k2√k2+1=√1+4k2，∴ S2=4(k−1)21+4k2.∴ (S2)′=8(k−1)(4k+1)(1+4k2)2，当k<−14，(S2)′>0，当−14<k<1，(S2)′<0，当k>1，(S2)′>0，∴ 当k=−14时，S取得最大值为√5．22. 解：（1）由于f(x)=12(1+x)(ax2+bx+c)的图象关于x=−1对称，故f(x)为二次函数，且对称轴为x=−1，故有a=0，且b=c，故有f(x)=12(1+x)(bx+b)．再根据f(1)=2，求得b=1，故f(x)=12(x+1)2．（2）f(x)与g(x)的图象的交点个数，即12(x+1)2=−e−x+12−|ln(x+1)|+k的解的个数，即k=12(x+1)2+e−x+12+|ln(x+1)|的解得个数．即直线y=k和函数12(x+1)2+e−x+12+|ln(x+1)|的图象的交点个数．令ℎ(x)=12(x+1)2+e−x+12+|ln(x+1)|，当x>0时，ln(x+1)>0，∵ ℎ′(x)=(1+x)−e−x+12+1x+1≥2+e−x+12>0，∴ ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, +∞)上是增函数．当−1<x≤0时，ln(x+1)≤0，ℎ′(x)=(1+x)−e−x+12−1x+1，∵ (x+1)−1x+1<0，e−x+12>0，∴ ℎ′(x)<0，故ℎ(x)在(−1, 0]上是减函数．∵ ℎ(0)=12+e12，当x趋于−1时，函数ℎ(x)的值趋于正无穷大，当x趋于正无穷大时，函数ℎ(x)的值趋于正无穷大，①故当k<1+e12时，直线y=k和函数ℎ(x)的图象无交点，函数f(x)与g(x)的图象无交点；2+e12时，直线y=k和函数ℎ(x)的图象有唯一交点，函数f(x)与g(x)的图象有一②当k=12个交点；+e12时，直线y=k和函数ℎ(x)的图象有2个交点，函数f(x)与g(x)的图象有2个③当k>12交点．。

2014届南昌市高三第一次模拟考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分． 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B = A ．(1,2)B ．[1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,2]2．若20(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于A ．1-B ．1C ．2-D ．23．设,a b 为向量，则“||||||a b a b ⋅=”是“//a b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题：①若2()2cos 1,2xf x =-则()()f x f x π+=对x R ∈恒成立；②要得到函数sin()24x y π=-的图象，只需将sin 2x y =的图象向右平移4π个单位；③若锐角,αβ满足cos sin αβ>，则2παβ+<．其中是真命题的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．35．已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，若12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率e =A ．53B ．13 C ．23 D ．126 A ．1B ．16 C ．13D ．127．若4821201212(3)(2)(2)(2),x x a a x a x a x +=+++++++则213511log ()a a a a ++++等于A ．27B ．28C ．7D ．88．在三棱锥C ABD -中（如图），ABD ∆与CBD ∆是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，4AB =,二面角A BD C --的大小为 600，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC 为正三角形；④3cos 4ADC ∠=； ⑤四面体ABCD 的外接球面积为32π．其中真命题是 A ．②③④ B．①③④ C ．①④⑤ D ．①③⑤9．若数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别是2013(1)n n a a +=-⋅，2014(1)2n n b n+-=+，且n na b <对任意*n N ∈恒成立，则常数a 的取值范围是 A ．(2,1)- B ．[2,1)- C ．(2,1]-D ．[2,1]-10．已知定义在区间[3,3]-上的函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，对于函数()y f x =的图像上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 都有1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<．若实数,a b 满足22(2)(2)0f a a f b b -+-≤，则点(,)a b 所在区域的面积为A ．8B ． 4C ． 2D ． 1二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分． 11． (1) （坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的参数方程是(1x tt y t =⎧⎨=+⎩是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为6cos ρθ=-，则圆心C 到直线l 的距离为A ．2B 2C ．22．32(2)（不等式选做题）已知函数a a x x f +-=|2|)(．若不等式6)(≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，则实数a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4绝密★启用前2014届南昌市高三第三次模拟考试理科数学 第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效． 三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．12．复数21ii+的模是 ． 13．已知点P 是曲线2ln y x x =-上的一个动点，则点P 到直线:2l y x =-的距离的最小值为_______．14．在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据(14)i x i ≤≤，在如图所示的程序框图中，x 是这4个数据中的平均数，则输出的v 的值为_______．15．从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1mn C +种取法。

2014年普通高等学校招生全国统一测试（江西卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年江西，理1，5分】z 是z 的共轭复数，若2z z +=，()i 2z z -=（i 为虚数单位），则z =（ ） （A ）1i + （B ）1i -- （C ）1i -+ （D ）1i - 【答案】D【分析】由于()i 2z z -=，可得2i z z -=- ① 又2z z += ② 由①②解得1i z =-，故选D ． 【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题．（2）【2014年江西，理2，5分】函数()()2ln f x x x =-的定义域为（ ）（A ）()0,1 （B ）[]0,1 （C ）()(),01,-∞+∞U （D ）(][),01,-∞+∞U 【答案】C【分析】要使函数有意义，则20x x ->，即1x >或0x <，故函数的定义域为()(),01,-∞+∞U ，故选C ． 【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础． （3）【2014年江西，理3，5分】已知函数()||5x f x =，()()2g x ax x a R =-∈，若()()11f g =，则a =（ ） （A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）1-【答案】A 【分析】()11g a =-，若()11f g =⎡⎤⎣⎦，则()11f a -=，即151a -=，则10a -=，解得1a =，故选A ． 【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．（4）【2014年江西，理4，5分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若()226c a b =-+，060C ∠=，则ABC ∆的面积为（ ） （A ）3 （B ）93 （C ）33（D ）33【答案】C【分析】由题意得，22226c a b ab =+-+，又由余弦定理可知，222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，∴26ab ab -+=-，即6ab =．∴133sin 2ABC S ab C ∆==，故选C ．【点评】本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是使用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．（5）【2014年江西，理5，5分】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ） 【答案】B【分析】几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C 、D 不正确；几何体的上部的棱和正视图方向垂直，所以A 不正确，故选B ．【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键． （6）【2014年江西，理6，5分】某人研究中学生的性别和成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则和性别有关联的可能性最大的变量是（ ）（A ）成绩 （B ）视力 （C ）智商 （D ）阅读量【答案】D【分析】表1：()225262210140.00916362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯； 表2：()22524201216 1.76916362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表3：()2252824812 1.316362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯； 表4：()22521430616223.4816362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∴阅读量和性别有关联的可能性最大，故选D ．【点评】本题考查独立性检验的使用，考查学生的计算能力，属于中档题． （7）【2014年江西，理7，5分】阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）（A ）7 （B ）9 （C ）10 （D ）11 【答案】B【分析】由程序框图知：135i 0lg lg lg lg 357i 2S =++++++L 的值，∵1371lg lg lg lg 13599S =+++=>-L ，而1391lg lg lg lg 1351111S =+++=<-L ，∴跳出循环的i 值为9，∴输出i 9=，故选B ．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（8）【2014年江西，理8，5分】若()()2102f x x f x dx =+⎰，则()10f x dx ⎰=（ ）（A ）1- （B ）13- （C ）13（D ）1 【答案】B【分析】若()101f x dx =-⎰，则：()22f x x =-，则()12222312001102222233x x x dx x x x x ⎛⎫-=+-=+-=- ⎪⎝⎭⎰，显然A 不正确；若()1013f x dx =-⎰，则()223f x x =-∴1222231200221222233333x x x dx x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，显然B 正确；若()1013f x dx =⎰，则()223f x x =+∴122223120022122223333x x x dx x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，显然C 不正确；若()101f x dx =⎰，则()22f x x =+∴()12222312001142222233x x x dx x x x x ⎛⎫+=++=++=+ ⎪⎝⎭⎰，显然D 不正确，故选B ．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的使用，回代验证有时也是解答问题的好方法． （9）【2014年江西，理9，5分】在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C和直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）（A ）45π （B ）34π （C ）(625π- （D ）54π【答案】A【分析】∵AB 为直径，90AOB ∠=︒，∴O 点必在圆C 上，由O 向直线做垂线，垂足为D ，则当D 恰为圆和直线的切点时，此时圆C 的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O 5，则圆C 的面积为：2455ππ⨯=，故选A ． 【点评】本题主要考查了直线和圆的位置关系．用数形结合的思想，解决问题较为直观． （10）【2014年江西，理10，5分】如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB =，7AD =，112AA =，一质点从顶点A 射向点()4,3,12E ，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，i L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置 在同一水平线上，则大致的图形是（ ）EyxD 1C 1B 11D C（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】C【分析】根据题意有：A 的坐标为：()0,0,0，B 的坐标为()11,0,0，C 的坐标为()11,7,0，D 的坐标为()0,7,0；1A 的坐标为：()0,0,12，1B 的坐标为()11,0,12，1C 的坐标为()11,7,12，1D 的坐标为()0,7,12；E 的坐标为()4,3,12．（1）1l 长度计算：()()()2221403012013l AE ==-+-+-=．（2）2l 长度计算：将平面1111A B C D 沿z 轴正向平移1AA 个单位，得到平面2222A B C D ；显然有：2A 的坐标为：()0,0,24，2B 的坐标为()11,0,24，2C 的坐标为()11,7,24，2D 的坐 标为()0,7,24；显然平面2222A B C D 和平面ABCD 关于平面1111A B C D 对称．设AE 和的延长线和平面2222A B C D 相交于：()222,,24E E E x y ，根据相识三角形易知：22248E E x x ==⨯=，22236E E y y ==⨯=，即：()28,6,24E ，根据坐标可知，2E 在长方形2222A B C D内．根据反射原理，2E 在平面ABCD 上的投影即为AE 反射光和平面ABCD 的交点． 所以F 的坐标为()8,6,0．因此：()()()2221846301213l EF ==-+-+-=．（3）3l 长度计算：设G 的坐标为：(),,G G G x y z ，如果G 落在平面11BCC B ；这个时候有：11G x =，7G y ≤，12G z ≤，根据反射原理有：//AE FG ，于是：向量AE u u u r和向量FG u u u r 共线；即有：AE FG λ=u u u r u u u r ，因为：()4,3,12AE =u u u r ；()()8,6,03,6,G G G G G FG x y z y z =---=-u u u r即有：()()4,3,123,6,G G y z λ=-，解得：334G y =，9G z =；故G 的坐标为：3311,,94⎛⎫⎪⎝⎭，因为：3374>，故G 点不在平面11BCC B 上，所以：G 点只能在平面11DCC D 上；因此有：7G y =；11G x ≤，12G z ≤此时：()()8,6,08,1,G G G G G FG x y z x z =---=-u u u r ，即有：()()4,3,128,1,G G x z λ=-解得：283G x =，4G z =； 满足：11G x ≤，12G z ≤，故G 的坐标为：28,7,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()222128138764033l FG ⎛⎫==-+-+-= ⎪⎝⎭． （4）4l 长度计算：设G 点在平面1111A B C D 的投影为G '，坐标为28,7,123⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即：AEFGH 共面，故EG 的反射线GH 只能和平面1111A B C D 相交，且交点H 只能在1A G '；易知：431248l GG l '>=-=>．根据以上分析，可知1l ，2l ，3l ，4l 要满足以下关系：12l l =；且43l l >，对比ABCD 选项，可知，只有C 选项满足以上条件，故选C ．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的使用，回代验证有时也是解答问题的好方法．二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （11（1））【2014年江西，理11（1），5分】（不等式选做题）对任意,x y ∈R ，|1||||1||1|x x y y -++-++的最小值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【分析】对任意,x y ∈R ，|1||||1||1||1||||1||1|1113x x y y x x y y x x y y -++-++=-+-+-++≥--+-++=，当且仅当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]0,1y ∈成立，故选C ．【点评】本题考查绝对值三角不等式的使用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法． （11（2））【2014年江西，理11（2），5分】（坐标系和参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴l 3l 4l 3l 4l 3l 4l 2l 2l 2l 1l 1l 1DC B A l 4l 3l 2l 1x的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（ ） （A ）1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ （B ）1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+（C ）cos sin ,04πρθθθ=+≤≤（D ）cos sin ,02πρθθθ=+≤≤【答案】A【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x cos ρθ=，sin y ρθ=，()101y x x =-≤≤，可得cos sin 1ρθρθ+=，即1cos sin ρθθ=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选A ．【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（12）【2014年江西，理12，5分】10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是 ． 【答案】12【分析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有410C 种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有3173C C 种结果，∴恰好有一件次品的概率是317341012C C P C ==．【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．（13）【2014年江西，理13，5分】若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是 ． 【答案】()ln 2,2-【分析】设(),P x y ，则x y e -=，∵x y e -'=-，在点P 处的切线和直线210x y ++=平行，∴2x e --=-，解得ln2x =-，∴2x y e -'=-=，故()ln 2,2P -．【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P 处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的使用．（14）【2014年江西，理14，5分】已知单位向量1e u r 和2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-r u r u u r 和123b e e =-r u r u u r 的夹角为β，则cos β= ． 22【分析】单位向量1e u r 和2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，不妨()11,0e =u r ，21223e ⎛= ⎝⎭u u r ，1274232,3a e e ⎛=-= ⎝⎭r u r u u r ，128223,3b e e ⎛=-= ⎝⎭r u r u u r ，∴2222784222223333cos 7428223333a b a b β⨯+⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭r rr r 【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．（15）【2014年江西，理15，5分】过点()1,1M 作斜率为12-的直线和椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 ．【答案】22()101y x x =-≤≤【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，∵过点()1,1M 作斜率为12-的直线和椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得2221202a b ⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭， ∴2a b =，∴22c a b b =-，∴2c e a =． 【点评】本题考查椭圆C 的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键． 三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年江西，理16，12分】已知函数()()()sin cos 2f x x a x θθ=+++，其中a R ∈，,22ππθ-⎛⎫∈⎪⎝⎭． （1）当2a 4πθ=时，求()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值；（2）若02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1f π=，求,a θ的值．解：（1）因2a =4πθ=，故()2222sin 2242f x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又0x π≤≤，故5444x πππ≤+≤，因此()21f x -≤，从而()min 1f x =-，()max 2f x（2）sin cos 2cos sin 2cos 2sin cos 0222f a a a πππθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故cos 0θ≠，2sin 1a θ=．()()()sin cos 2f a ππθπθ=+++=2sin cos2sin 2sin 1a a a θθθθ--=--+=，故1a =-，得1sin 2θ=-，从而6πθ=-．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．（17）【2014年江西，理17，12分】已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}n b （0n b ≠），满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=．（1）令n n nac b =，求数列{}n c 的通项公式；（2）若13n n b +=，求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（1）因11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，且0n b ≠，故112n n n n a a b b ++-=，即12n n c c +-=，所以{}n c 是首项为111ab =， 公差为2的等差数列，从而21nc n =-．（2）因n n nac b =，()1213n n a n +=-⋅，有()2311333213n n S n +=⋅+⋅++-⋅L ，()34231333213n n S n +=⋅+⋅++-⋅L ． 所以()()241223233213n n n S n ++-=+++--⋅=L ()218223n n +---⋅，从而()2913n n S n +=+-⋅．【点评】本题为等差等比数列的综合使用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题． （18）【2014年江西，理18，12分】已知函数()()212f x x bx b x b R =++-∈．（1）当4b =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值范围．解：（1）当2b =时，()()2212f x x x =+-的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()(())25222122221212x x f x x x x x x-+'=+-+-=--()0f x '=，解得12x =-，20x =． 当2x <-和102x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(),2-∞-和1,2⎛⎫⎪⎝⎭0上单调递减；当20x -<<时，()0f x '>，所以()f x 在()2,0-上单调递增．所以，当2x =-时，()f x 取得极小值()20f -=；当12x =时，()f x 取得极大值()04f =． （2）()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增⇔()0f x '≥且不恒等于0对10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立．()()()()22212221212f x x b x x bx b x x'=+-+++-=--， 故25320x bx x --+≥，因此min253x b -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．因25139x ->，故19b ≤． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．（19）【2014年江西，理19，12分】如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：AB PD ⊥；（2）若090BPC ∠=，2PB =，2PC =，问3n =为何值时，四棱锥P ABCD -的体积最大？并求此时平面PBC 和平面DPC 夹角的余弦值．解：（1）因面PAD ⊥面ABCD ，面PAD I 面ABCD AD =，AB AD ⊥，故AB ⊥面ABCD ．又PD ⊂面ABCD ，故AB PD ⊥．（2）过P 作PO AD ⊥，由（1）有PO ⊥面ABCD ，作OM BC ⊥，连接PM ，作PM BC ⊥．设AB x =，则1133P ABCD ABCD V OP S OP AB BC -=⨯⨯=⨯⨯⨯=224141686333x x x x -⋅⋅=-，故223x =即6x =时，max 26V =．如图建立空间直角坐标系，则()0,0,63P ，60,,0M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 66,,0C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，6,0,0D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故660,,PM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ， 666,,PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，66,0,PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，6,0,0MC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，60,,0DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ．设面PMC 、面PDC 的法向量分别为()111,,m x y z =u r ，()222,,n x y z =r．由000m PM m PC m MC ⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u r uuu ru r uu u r ur uuu r 得111111000y z x y z x -=⎧⎪-+-=⎨⎪-=⎩．设11y =，则11z =，故()0,1,1m =u r ．同理可得()1,1,1n =r ．故6cos ,||||m n m n m n ⋅==u r ru r r u r r ，从而平面PBC 和平面DPC 夹角的余弦值为6．【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力和方程思想．（20）【2014年江西，理20，13分】如图，已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点F ，点,A B分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，AB OB ⊥，//BF OA (O 为坐标原点）． （1）求双曲线C 的方程；（2）过η上一点()()000,0P x y y ≠的直线l ：0021x xy y a-=和直线AF 相交于点M ，和直线32x =相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，||||MF NF 恒为定值，并求此定值．解：（1）因,c A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,t B t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()11c t a c t a +-⋅=--且()1t a a c t =-，因此2c t =，3=a ．所以所求方程为1322=-y x ．（2）由（1）知23A ⎛ ⎝⎭，13:00=-y y x x l ，()2,0F ，00232,3x M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0023,22x N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故()()()0000222220000020|23|||23||2321312344x MF NF x x y x x y -====-+--+-+． 【点评】本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，着重考查直线和圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数和方程思想，属于难题．（21）【2014年江西，理21，14分】随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成,A B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为2b ，最大数为1b ，记21a a ξ=-，12b b η=-．（1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件ξ和η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()P C ．（3）对（2）中的事件C ，C 表示C 的对立事件，判断()P C 和()P C 的大小关系，并说明理由． 解：（1）ξ的所有可能取值是2,3,4,5，()364155P C ξ===，()364125P C ξ===， ()3663310P C ξ===，()3663410P C ξ===．故ξ的分布列如右表所示， ξ的数学期望为()1331723455101052E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅=． （2）事件ξ和η的取值恰好相等的基本事件共()()122242221123n n nnC C C P C n C --+++++=⋅≥L ． 当2n =时，()242223P C C =⋅=． （3）当2n =时，()241121232P C C +=⋅=>，此时()12P C <；即()()P C P C <；当3n ≥时，()()123224622211122n n n nC C C C P C C--++++++=⨯<L ，此时()12P C >；即()()P C P C >． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．ξ 23 4 5 P15 310 310 15。