山东省东营市胜利一中届高考数学考前最后一卷理(含解析)【含答案】

2016年山东省东营市胜利一中高考数学考前最后一卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A． B． C．±1 D．2．已知A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A． B．（0，1） C． D．∅3．定义=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，则f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y=2sin（x﹣） B．y=2sin（x+） C．y=2cosx D．y=2sinx4．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为（）A．15π B．18π C．22π D．33π5．在平面直角坐标系中，若，则的最小值是（）A． B． C．3 D．56．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A． B． C． D．7．如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间[0，]上的图象所围成的封闭图形的面积为（）A．3﹣1 B．4﹣2 C． D．28．如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E由B沿折线BCD向点D移动，EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，设BM=x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x 的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．9．已知函数有两个极值点x1，x2且x1，x2满足﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．10．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡的相应位置）11．已知实数x∈[2，30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是．12．公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，设男子身高X服从正态分布N（单位：cm），参考以下概率P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，则车门的高度（单位：cm）至少应设计为．13．若（x+2+m）9=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9且（a0+a2+…+a8）2﹣（a1+a3+…+a9）2=39，则实数m的值是．14．在△ABC中，E为AC上一点，且=4，P为BE上一点，且满足=m+n（m＞0，n＞0），则+取最小值时，向量的模为．15．已知命题：①设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥2）=P（﹣2＜ξ＜0）=﹣p；②命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0”；③在△ABC中，A＞B的充要条件是sinA＜sinB；④若不等式|x+3|+|x﹣2|≥2m+1恒成立，则m的取值范围是（﹣∞，2）；⑤若对于任意的n∈N*，n2+（a﹣4）n+3+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是[，+∞]．以上命题中正确的是（填写所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．设函数，其中0＜w＜2．（Ⅰ）若x=是函数f（x）的一条对称轴，求函数周期T；（Ⅱ）若函数f（x）在区间上为增函数，求w的最大值．17．如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求n名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设随机变量ξ表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．（I）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1（n≥2，n∈N+）．（Ⅰ）设b n=a n+1+a n（n∈N+），求证{b n}是等比数列；（Ⅱ）（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）求证：对于任意n∈N+都有成立．20．已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．21．设函数f（x）=lnx+（a为常数）（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（e，+∞）内有极值．求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）．求证：f（x2）﹣f（x1）＞e+2﹣（注：e是自然对数的底数）．2016年山东省东营市胜利一中高考数学考前最后一卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A． B． C．±1 D．【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的模的求法直接求出b的值，即可得到复数的虚部．【解答】解：复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，所以，解得b=．故选D．2．已知A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A． B．（0，1） C． D．∅【考点】交集及其运算．【分析】由题设条件知A={y|y＞0}，B={y|0＜y＜}，由此能够得到A∩B的值．【解答】解：∵，∴=．故选A．3．定义=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，则f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y=2sin（x﹣） B．y=2sin（x+） C．y=2cosx D．y=2sinx【考点】二阶矩阵．【分析】利用行列式定义将函数f（x）化成y=2sin（x+），f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为y=2sinx，即可得出结论．【解答】解：f（x）==sin（π﹣x）﹣cos（π+x）=sinx+cosx=2sin （x+），∴f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为y=2sinx，故选：D．4．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为（）A．15π B．18π C．22π D．33π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是一个组合体，上部是半球，下部是到放的圆锥，依据所给数据求解即可．【解答】解；该几何体是一个组合体，上部是半球，半径是3，下部是到放的圆锥，半径是3，高是4．该几何体的表面积：S=S上+S下=．故选D．5．在平面直角坐标系中，若，则的最小值是（）A． B． C．3 D．5【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，根据的几何意义，从而求出其最小值．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然，的最小值是（﹣1，0）到直线x+y﹣2=0的距离，∴d==，故选：B．6．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据条件求出店A的坐标，再结合点A到抛物线C1的准线的距离为p；得到=，再代入离心率计算公式即可得到答案．【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e===．故选：C．7．如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间[0，]上的图象所围成的封闭图形的面积为（）A．3﹣1 B．4﹣2 C． D．2【考点】定积分在求面积中的应用；正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】求出图象的交点坐标，根据定积分的几何意义，所求面积为S=（cosx﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx+（cosx﹣sinx）dx，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：由y=sinx（x∈[0，]）和y=cosx（x∈[0，]），可得交点坐标为（，），（，），∴由两曲线y=sinx（x∈[0，]）和y=cosx（x∈[0，]）所围成的封闭图形的面积为S=（cosx﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx+（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）﹣（sinx+cosx）+（sinx+cosx）=2．故选：D．8．如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E由B沿折线BCD向点D移动，EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，设BM=x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x 的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】关键是找出y与x之间的关系，注意当E在BC上运动时，右边是一上三角，当E 点在CD上运动时，其右边是一个梯形．【解答】解：∵EM⊥AB，∠B=45°，∴EM=MB=x，AM=5﹣x，当E点在BC上动时，即0≤x≤3时，y=，当E点在CD上动力时，矩形AMEN即为矩形AMED，此时3≤x＜5，y=3（5﹣x），∴y=．图象如图A．故答案为：A．9．已知函数有两个极值点x1，x2且x1，x2满足﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】求导数，利用函数有两个极值点x1，x2且x1，x2满足﹣1＜x1＜1＜x2＜2，确定平面区域，根据斜率的几何意义，即可求得斜率的取值范围．【解答】解：求导数可得：f'（x）=x2+2ax+2b∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴f'（x）有两个零点∵﹣1＜x1＜1＜x2＜2，∴﹣1＜﹣a＜2，∴﹣2＜a＜1 ①又f'（﹣1）=﹣2a+2b+1＞0，即2a﹣2b﹣1＜0，②f'（1）=2a+2b+1＜0，③f'（2）=4a+2b+4＞0，即2a+b+2＞0 ④在坐标系aOb中，满足①②③④的可行域如图所示直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率k=，表示可行域中动点M（a，b）与定点D（1，0）连线的斜率由，可得，此时与定点D（1，0）连线的斜率为=﹣由，可得，此时与定点D（1，0）连线的斜率为=∴直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率的取值范围是故选A．10．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡的相应位置）11．已知实数x∈[2，30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于103得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于103的概率．【解答】解：设实数x∈[2，30]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥103得x≥12由几何概型得到输出的x不小于103的概率为P==故答案为：．12．公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，设男子身高X服从正态分布N（单位：cm），参考以下概率P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，则车门的高度（单位：cm）至少应设计为184cm ．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】利用利用P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，男子身高X服从正态分布N，结合公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，可得结论．【解答】解：∵公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，∴利用P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，男子身高X服从正态分布N（单位：cm），可得车门的高度（单位：cm）至少应设计为170+2×7=184cm．故答案为：184cm．13．若（x+2+m）9=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9且（a0+a2+…+a8）2﹣（a1+a3+…+a9）2=39，则实数m的值是﹣3或1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】分别令x=﹣2，和x=0，求得（a0+a2+…+a8）﹣（a1+a3+…+a9）=m9，a0+a2+…+a8+a1+a3+…+a9=（2+m）9，再根据（a0+a2+…+a8）2﹣（a1+a3+…+a9）2=39，求得m的值．【解答】解：在（x+2+m）9=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9中，令x=﹣2可得 a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8﹣a9=m9，即[（a0+a2+…+a8）﹣（a1+a3+…+a9）]=m9，令x=0，可得 a0+a2+…+a8+a1+a3+…+a9=（2+m）9，∵（a0+a2+…+a8）2﹣（a1+a3+…+a9）2=39，∴（a0+a2+…+a8+a1+a3+…+a9）[（a0+a2+…+a8）﹣（a1+a3+…+a9）]=39，∴（2+m）9•m9=（2m+m2）9=39，可得 2m+m2=3，解得m=1，或m=﹣3故答案为：﹣3或1．14．在△ABC中，E为AC上一点，且=4，P为BE上一点，且满足=m+n（m＞0，n＞0），则+取最小值时，向量的模为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据平面向量基本定理求出m，n关系，进而确定+取最小值时m，n的值，代入求的模【解答】解：∵=4，∴=m+n=m+4n又∵P为BE上一点，∴不妨设=λ（0＜λ＜1）∴=+=+λ=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ∴m+4n=（1﹣λ）+λ∵，不共线∴m+4n=1﹣λ+λ=1∴+=（+）×1=（+）×（m+4n）=5+4+≥5+2=9（m＞0，n＞0）当且仅当=即m=2n时等号成立又∵m+4n=1∴m=，n=∴||==故答案为15．已知命题：①设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥2）=P（﹣2＜ξ＜0）=﹣p；②命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0”；③在△ABC中，A＞B的充要条件是sinA＜sinB；④若不等式|x+3|+|x﹣2|≥2m+1恒成立，则m的取值范围是（﹣∞，2）；⑤若对于任意的n∈N*，n2+（a﹣4）n+3+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是[，+∞]．以上命题中正确的是①⑤（填写所有正确命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用概率密度曲线图可判断真假；②存在性命题的否定是结论要否；③在三角形中充分考虑角度的正弦变化情况；④含绝对值不等式恒成立问题的转化；⑤构造新函数利用单调性求解．【解答】解：①由密度曲线可知，P（ξ≥2）+P（0≤ξ≤2）=，所以P（0≤ξ≤2）=﹣p，而P（﹣2＜ξ＜0）=P（0≤ξ≤2）=﹣p；故①对；②命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”故②错；③在△ABC中，A＞B，例如A=120°，B=60°，但是sinA=sinB．故③错；④不等式|x+3|+|x﹣2|≥2m+1恒成立，则2m+1≤（|x+3|+|x﹣2|）min=|x+3﹣x+2|=5，所以2m+1≤5，解得m≤2．故④错；⑤n2+（a﹣4）n+3+a≥0恒成立⇔（n+1）a≥﹣n2+4n﹣3=﹣（n+1）2+6（n+1）﹣8恒成立，∵n∈N*，∴a≥﹣（n+1）﹣+6恒成立，∴a≥[﹣（n+1）﹣]max+6恒成立；∵双钩函数g（n）=（n+1）+在[1，2﹣1]上单调递减，在[2﹣1，+∞）上单调递增，又n∈N*，g（1）=2+4=6，g（2）=3+＜g（3）=6，∴g（n）min=g（2）=，[﹣（n+1）﹣]max=﹣g（n）min=﹣，∴m＞﹣+6=，∴实数a的取值范围是[，+∞），故⑤对．故答案为：①⑤三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．设函数，其中0＜w＜2．（Ⅰ）若x=是函数f（x）的一条对称轴，求函数周期T；（Ⅱ）若函数f（x）在区间上为增函数，求w的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得w的值，可得函数的周期．（Ⅱ）由正弦函数的单调性求得f（x）的增区间，再利用函数f（x）在区间上为增函数，求得w的最大值．【解答】解：函数=4（coswxcos﹣sinwxsin）sinwx﹣cos2wx+1=sin2wx．（Ⅰ）由x=是函数f（x）的一条对称轴，可得2w•=kπ+，k∈Z，∴w=2k+1，再结合0＜w＜2，求得w=1，f（x）=sin2x，故T==π．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2wx≤kπ+，求得﹣≤x≤+，k∈Z，再根据函数f（x）在区间上为增函数，可得﹣≤，且≥，求得0＜w≤，即w得最大值为．17．如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求n名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设随机变量ξ表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）先求出其不意80～90分数段的毕业生的频率，再求出毕业生的总人数，由此利用90～95分数段内的人数频率，从而能求出90～95分数段内的人数．（Ⅱ）90：95分数段内共6名毕业生，设其中男生z名，女生为6﹣x名设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A，由P（A）=1﹣=，能求出6名毕业生中有男生2人，女生4人．（Ⅲ）ξ表示n名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数，ξ的取值可以为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和随机变量ξ数学期望．【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段的毕业生的频率为：p1=（0.04+0.03）×5=0.35，此分数段的学员总数为21人，∴毕业生的总人数N为N==60，90～95分数段内的人数频率为：p2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，∴90～95分数段内的人数n=60×0.1=6．（Ⅱ）90：95分数段内共6名毕业生，设其中男生z名，女生为6﹣x名设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A，则P（A）=1﹣=，解得x=2或x=9（舍去），即6名毕业生中有男生2人，女生4人．…（Ⅲ）ξ表示n名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数，所以ξ的取值可以为0，1，2，当ξ=0时，P（ξ=0）==，当ξ=1时，P（ξ=1）==，当ξ=2时，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ0 1 2P所以随机变量ξ数学期望为Eξ==1．…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．（I）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）由PC⊥底面ABCD，可得PC⊥AC．由AB=2，AD=CD=1，利用勾股定理的逆定理可得：AC⊥BC，因此AC⊥平面PBC，即可证明平面EAC⊥平面PBC．（II）取AB的中点F，两角CF，则CF⊥AB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，可得设P（0，0，a）（a＞0），可取=（1，﹣1，0），利用向量垂直与数量积的关系可得：为平面PAC的法向量．设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，可得，由于二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，可得==，解得a=4．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=||=即可得出．【解答】（I）证明：∵PC⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PC⊥AC．∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，又AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．（II）解：取AB的中点F，两角CF，则CF⊥AB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，可得：C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），设P（0，0，a）（a＞0），则E，=（1，1，0），=（0，0，a），=，取=（1，﹣1，0），则=0，∴为平面PAC的法向量．设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，即，取=（a，﹣a，﹣4），∵二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，∴===，解得a=4，∴=（4，﹣4，﹣4），=（1，1，﹣4）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=||===，∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．19．已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1（n≥2，n∈N+）．（Ⅰ）设b n=a n+1+a n（n∈N+），求证{b n}是等比数列；（Ⅱ）（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）求证：对于任意n∈N+都有成立．【考点】数列的求和；等比关系的确定；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形，进一步的出数列是等比数列．（Ⅱ）（i）根据（Ⅰ）的结论进一步利用恒等变换，求出数列的通项公式．（ii）首先分奇数和偶数分别写出通项公式，进一步利用放缩法进行证明．【解答】证明：（Ⅰ）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1（n≥2，n∈N+）．则：a n+1+a n=3（a n+a n﹣1）即：，所以：，数列{b n}是等比数列．（Ⅱ）（i）由于数列{b n}是等比数列．则：，整理得：所以：则：是以（）为首项，﹣1为公比的等比数列．所以：求得：（ii）由于：，所以：，则：（1）当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以： =…++，所以：n∈k时，对任意的k都有恒成立．20．已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用直线l1、l2与抛物线C相切，求出l1、l2方程，可得点P坐标，再求出AB的方程，即可得出结论；（Ⅱ）求出C，D的坐标，可得|CD|，表示出△PCD面积，利用导数法可求最小值．【解答】（Ⅰ）证明：设，（y1＞0＞y2）．易知l1斜率存在，设为k1，则l1方程为．由得，…①由直线l1与抛物线C相切，知．于是，，l1方程为．同理，l2方程为．联立l1、l2方程可得点P坐标为，∵，AB方程为，AB过抛物线C的焦点F（1，0）．∴﹣y1=（1﹣），∴y1y2=﹣4，∴动点P在一条定直线x=﹣1上；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，C，D的坐标分别为（4，），D（4，），∴．∴．设（t＞0），|y1﹣y2|=m，由知，m≥2t，当且仅当y1+y2=0时等号成立．∴．设，则．∴时，f'（t）＜0；时，f'（t）＞0．f（t）在区间上为减函数；在区间上为增函数．∴时，f（t）取最小值．∴当y1+y2=0，，即，时，△PCD面积取最小值．…21．设函数f（x）=lnx+（a为常数）（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（e，+∞）内有极值．求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）．求证：f（x2）﹣f（x1）＞e+2﹣（注：e是自然对数的底数）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）确定函数的定义域，求导数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，即可求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（e，+∞）内有极值，f′（x）=0在（e，+∞）内有不等的实根，令φ（x）=x2﹣（2+a）x+1=（x﹣α）（x﹣β），可得αβ=1，β＞e．即可求实数a的取值范围；（Ⅲ）确定函数f（x）在（0，α），（β，+∞）上单调递增，在（α，1），（1，β）上单调递减，可得f（x2）﹣f（x1）≥f（β）﹣f（α），再构造函数，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），由f（x）=lnx+得f′（x）=﹣，∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，∴f′（2）=0，∴﹣a=0，∴a=；（Ⅱ）解：∵f′（x）=，函数f（x）在（e，+∞）内有极值，∴f′（x）=0在（e，+∞）内有不等的实根，令φ（x）=x2﹣（2+a）x+1=（x﹣α）（x﹣β），可得αβ=1．不妨设β＞α，则α∈（0，1），β∈（1，+∞），∴β＞e．∴φ（0）=1＞0，∴φ（e）=e2﹣（2+a）e+1＜0，∴a＞e+﹣2，即实数a的取值范围是（e+﹣2，+∞）；（Ⅲ）证明：由上知，f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；f′（x）＜0，可得α＜x ＜1或1＜x＜β，∴函数f（x）在（0，α），（β，+∞）上单调递增，在（α，1），（1，β）上单调递减，由x1∈（0，1），得f（x1）≤f（α）=lnα+，x2∈（1，+∞），得f（x2）≥f（β）=lnβ+，∴f（x2）﹣f（x1）≥f（β）﹣f（α）又αβ=1，α+β=a+2，β＞e∴f（β）﹣f（α）=lnβ+﹣（lnα+）=2lnβ+β﹣，令H（β）=2lnβ+β﹣（β＞e），则H′（β）=（+1）2＞0，∴H（β）在（e，+∞）上单调递增，∴H（β）＞H（e）=e+2﹣，∴f（x2）﹣f（x1）＞e+2﹣．。

山东省东营市河口区一中2025届高三压轴卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．732．已知ABC 是边长为3的正三角形，若13BD BC =，则AD BC ⋅=A ．32- B ．152 C ．32D ．152-3．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．26B 3C ．36D ．235．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④6．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ） A ．5 B ．22C ．4D ．168．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．9．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．1710．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．1911．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1B 2C 3D ．012．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省东营市区第一中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是A．B．C．D．参考答案：B2. 等差数列{a n}中，已知|a6|=|a11|，且公差d＞0，则其前n项和取最小值时的n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C由题意知，有，所以当时前项和取最小值.故选C3. 若函数在其定义域内的一个子区间（k-1,k+1)内不是单调函数，则实数K 的取值范围是A. B.C.［1，2）D.［1，）参考答案：D4. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（A）（B）6 （C）8 (D)12参考答案：B【知识点】椭圆的简单性质．解析：设P（x，y），则=，又点P在椭圆上，故，所以，又，所以当时，取得最大值为6，即的最大值为6，故选：B．【思路点拨】设P（x，y），由数量积运算及点P在椭圆上可把表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值．5. 已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF 和GH不相交，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A6. 复数等于（）A． B. C. D.参考答案：C7. 二项式的展开式中有理项共有（）A．1项 B．2项 C．3项 D．4项参考答案：B略8. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为（）A． 95元 B．100元 C． 105元 D． 110元参考答案：A9. 由等式定义映射，则A.10B.7C. -1D.0参考答案：D略10. 已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小值为______．参考答案：12. 若不等式组表示的平面区域所表示的平面的区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为参考答案：略13. 已知函数恒成立，则实数a的取值范围是。

胜利一中2018届高三年级期末考试理科数学 考试时间：2018年2月7日一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R ，2{lg(1)}A x y x ==-，{3,0}x B y y x ==<，则()R A C B ⋂= A ．(1,1)- B ．(,1)-∞- C ．(1,)+∞ D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞ 2．已知a 是实数，1a i i +-是纯虚数，则7cos 3a π的值为 A.21-B.21C.0D.233．若点P 为抛物线22x y =上的动点，F 为抛物线的焦点，则PF 的最小值为A ．2B ．21 C ．41 D ．81 4．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等. 设B A ,为两个同高的几何体，B A p ,:的体积不相等，B A q ,:在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 值是A ．63B ．127C ．66D ．255 6．已知R y x ∈,，且0>>y x ，则A.011>-yx B.0sin sin >-y x C.0)21()21(<-y x D.0ln ln >+y x7．将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是 A ．27 B ．135C ．835D ．7248．将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图像．若()()129g x g x =，且[]12,2π,2πx x ∈-，则212x x -的最大值为A ．4912πB ．1255πC ．256πD ．174π9．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为A ．π25B ．380πC ．3100πD ．π4010．周日下午胜利一中甲、乙二人相约坐107路公交去上学，已知107路公交在下午4:05，4:10，4:15，4:20，4:25，4:30这6个时刻经过二人上车地点（石大西门），他们相约在下午4:00到4:30之间（含4:30）的任意时刻到站，若先到者，等到第一趟车，没有见到另一个人，就再等下一趟车，若还没有等到，就自己独自上车，则二人坐同一趟车上学的概率为A.49B.1325C.512D.173611．在正方体1111ABCD A B C D -中，F E ,分别是棱1111,A B B C 的中点，O 是的交点与BD AC ，面OEF 与面11BCC B 相交于m ，面1OD E 与面11BCC B 相交于n ，则直线n m ,的夹角为A. 0B. 6πC. 3πD.2π12．将正整数n 表示为0011221122222⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=----a a a a a n k k k k k k ，其中1=k a ，当10-≤≤k i 时，i a 为0或1.记)(n k 为上述表示中i a 为0的个数（例如：1)5(2120215012=⨯+⨯+⨯=k ，），则+⨯)23(2018k =-)22(2018kA.2016B.2017C.2018D.2019二、填空题：本大题共4小题，共20分.13．已知向量(4,1)a =-，1a b ⋅=，1b =，则b =__________．14．若,x y 满足20,40,2,x y x y y -+≥⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥则224613z x y x y =+--+的最小值是__________．15．已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，且n a ，1n a +是方程220nn x b x -+=的两根，则=10b _____．16．过双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A ,B 两点，若21=BFAF ,则双曲线的离心率为__________． 三.本大题共6小题，共70分 （一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且满足.tan 31tan 21tan C B A == （1）求角A 的大小； （2）若ABC ∆的面积为15，求a 的值.18．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列和数学期望)(X E ； （2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率. 19．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，2AB =，1AA =，D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A . （1）证明：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求直线D C 1与平面ABC 所成角的正弦值.20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,过点F 的直线(1)y k x =+交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ,且当12k =-时，点M 横坐标为14-.（1）求椭圆C 的方程； （2）若线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于E D ,两点.记MFD ∆的面积为1S ，OED ∆（O 为原点）的面积为2S ，若存在直线AB ，使得)0(221>=λλS S ,求λ的取值范围.21．（12分）已知函数(3)e ()(0)x x a af x x x-+=>∈R ，．（1）当34a >-时，判断函数()f x 的单调性；（2）当()f x 有两个极值点时，① 求a 的取值范围；② 若()f x 的极大值小于整数m ，求m 的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 过(2,0)M ，倾斜角为(0)αα≠．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||2||MA MB =，求直线l 的斜率k ．23．（10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数12)(--+=x m x x f ． （1）若2-=m 时，解不等式5)(≥x f ； （2）若5)(+≤x m x f ，求m 的最小值．胜利一中2018届高三年级期末考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1—5 D B D A B 6—10 C A A C A 11—12 A D 二、填空题：本大题共4小题，共20分.13.），（10-或），（1715178 14.2115.64 16.332 三.本大题共6小题，共70分.17．解：（Ⅰ）已知C B A tan 31tan 21tan ==， ∴ tan B =2tan A ，tan C =3tan A在△ABC 中，tan A =-tan(B +C )=AAA CBC B 2tan 61tan 3tan 2tan tan 1tan tan -+-=-+-，………3分 解得tan 2A =1，即tan A =-1，或tan A =1．……………………………………4分 若tan A =-1，可得tan B =-2，则A ，B 均为钝角，不合题意． ……………5分 故tan A =1，得A =4π．…………………………………………………………6分（Ⅱ）由tan A =1，得tan B =2，tan C =3，可得sin B =2cos B ，sin C =3cos C ， ……………………………………………7分 结合sin 2B +cos 2B =1，sin 2C +cos 2C =1， 可得sin B =52，sin C =103 (负值已舍) ……………………………………9分在△ABC 中，由BbA a sin sin =，得b =a a a A B 51022252sin sin ==， …………11分于是S △ABC =21ab sin C =253103510221a a a =⨯⨯， ∴ 253a =15，解得a =5．………………………………………………………12分18.（本小题满分12分）解：（I ）设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P(A)=0.5，P(B)=0.4利润=产量⨯市场价格-成本， ∴ X 所有可能的取值为500⨯10 - 1000 = 4000，500⨯6 - 1000 = 2000. 300⨯10 - 1000 = 2000， 300⨯6 - 1000=800.P(X = 4000) =P ()()B P A = (1 - 0.5) ⨯ (1 - 0.4) = 0.3.P(X = 2000) =P ()()B P A + P ()()B P A = (1- 0.5) ⨯0.4⨯0.5⨯ (1 - 0.4) = 0.5. P(X = 800) =P ()()B P A = 0.5⨯0.4 = 0.2. 所以X 的分布列为23603.040005.020002.0800=⨯+⨯+⨯=）（X E （元）（II ）设i C 表示事件“第i 季利润不少于2000元”（1,2,3i =），则C 1，C 2 ，C 3相互独立， 由（I ）知， P （i C ）= P(X = 4000) + P(X = 2000) = 0.3+0.5 = 0.8 (i = 1,2,3), 3季的利润均不少于2000元的概率为3123123()()()()0.80.512P C C C P C P C P C === 3季的利润有2季不少于2000元的概率为P(321C C C )+P(321C C C )+P(321C C C )230.80.20.384=⨯⨯=所以这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.5120.3840.896+=19.（12分）（2）如图，分别以1,,OD OB OC 所在直线为,,x y z 轴，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则0,,,,A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为AD CC 21=，所以)332334362(1，，C ）332,332,0(),0,332,362(=-=AC AB ，)33233436(1---，，D C设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC n AB n ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-03323320332362z y y x ，令1y =，则1,z x =-=，所以1n ⎫=-⎪⎪⎭． 设直线D C 1与平面ABC 所成角为α，则55553,cos sin 1=><=n D C α 所以直线D C 1与平面ABC 所成角的正弦值为55553.21.（1）由题)0()33()3(])3([)(222'>--+-=----+-=x x ae x x x a e x x e x e xf x x x x方法1：由于233304x x -+-≤-<，e 10x -<-<，23(33)e 4x x x -+-<-， 又34a >-，所以2(33)e 0x x x a -+--<，从而()0f x '<， 于是()f x 为(0,＋∞)上的减函数．··············································································· 4分 方法2：令2()(33)e x h x x x a =-+--，则2()()e x h x x x '=-+，当01x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1x >时，()0h x '<，()h x 为减函数． 故()h x 在1x =时取得极大值，也即为最大值． 则max ()(1)e h x h a ==--．由于34a >-，所以max ()(1)e 0h x h a ==--<， 于是()f x 为(0,＋∞)上的减函数． ·············································································· 4分 （2）令2()(33)e x h x x x a =-+--，则2()()e x h x x x '=-+，当01x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1x >时，()0h x '<，()h x 为减函数． 当x 趋近于+∞时，()h x 趋近于-∞．由于()f x 有两个极值点，所以()0f x '=有两不等实根，即2()(33)e 0x h x x x a =-+--=有两不等实数根12x x ，（12x x <）． 则(0)0,(1)0,h h <⎧⎨>⎩解得3e a -<<-．可知1(0,1)x ∈，由于3322333(1)e 0()e e +30244h a h a =-->=--<-<，，则2(1)2,3x ∈． 而()2222222(33)e 0x x x a f x x -+--'==，即2222e 33x a x x =-+-（#）所以()2222(3)e ()x x af x f x x -+==极大值，于是()22222233ax a f x x x -=-+，（*）令22122(1)2t x x t t =-⇒=+-<<-，则（*）可变为()21111t g t a at t t t==++++， 可得11131t t 2-<<-++，而3e a -<<-，则有()213111t g t a a t t t t==<++++， 下面再说明对于任意3e a -<<-，23(1,)2x ∈，()22f x >．又由（#）得2222e (33)x a x x =-+-，把它代入（*）得()222(2)e x f x x =-，所以当23(1,)2x ∈时，()222(1)e 0x f x x '=-<恒成立，故()222(2)e x f x x =-为3(1,)2的减函数，所以()32231()e 222f x f >=>． ···················· 12分 所以满足题意的整数m 的最小值为3.22.（10分）（当且仅当1x ≥或5x ≤-时等号成立） 故m 的最小值为12.。

2025届东营市胜利第一中学高三三月（在线）模拟考试数学试题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．212+B ．12C ．212-D ．214-2．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1a B ．3aC ．8aD ．10a3．函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ） A ．55π B ．55πC ．455πD ．855π5．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 6．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ）A ．32B ．12C ．78 D ．987．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101，B ．(]099，C ．(]0100，D ．()0+∞，8．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -9．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．2B ．233C ．73D ．21310．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为 A ．2B ．3C 2D 312．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省东营市2024高三冲刺（高考数学）统编版真题(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数，则复数的虚部为（）A．B．C．D．第(2)题已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（）A．B．C．D．第(3)题“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，传到了欧洲，到了近现代逐渐风靡世界．其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则比赛进行三次且小华获胜的概率是（）A．B．C．D．第(4)题已知，向量与向量垂直，，，2成等比数列，则与的等差中项为（）A．B．C．D．1第(5)题某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（）A．360种B．420种C．480种D．540种第(6)题柏拉图多面体是由柏拉图及其追随者研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体．经研究，世界上只有五种柏拉图多面体．如图，将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一个正八面体，这个正八面体即为柏拉图多面体的一种．则这个正八面体的体积为（）A．B．C．D．第(7)题已知，若在上存在x使得不等式成立，则的最小值为（）A．B．1C．2D．第(8)题“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A．若，则B．“”是“直线与直线垂直”的充分条件C．已知回归直线方程，且，，则D．函数的图象向左平移个单位，所得函数图象关于原点对称第(2)题将函数的图象横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数（）的部分图象（如图所示）．对于，且若，都有成立，则（）A．B．C．在上单调递增D．函数在的零点为，，，，则第(3)题已知圆，直线．当时，直线与圆有且仅有一个公共点，则下列说法正确的是（）A．若动点到定点的距离是到定点的距离的2倍，则动点的轨迹为圆B．若直线和圆交于两点，且，则的值为C．设为圆上任意一点，则的取值范围是D．若直线与圆相交于两点，则面积的最大值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在四面体ABCD中，已知，，记四面体ABCD外接球的球心到平面ABC的距离为，四面体内切球的球心到点A的距离为，则的值为______．第(2)题如图，在水平放置的平面上画一个边长为2的等边三角形，在斜二测画法中线段的长为______.第(3)题若幂函数的图像经过点，则的值为_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数在处切线斜率为，，其中．(1)求a的值；(2)若时，，求b的取值范围．第(2)题已知圆：和抛物线：，圆的切线与抛物线相交于不同的两点，.（1）当直线的斜率为1时，求；（2）设点为点关于直线的对称点，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.第(3)题椭圆将圆的圆周分为四等份，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且的中点为，线段的垂直平分线为，直线与轴交于点，求的取值范围.第(4)题已知函数.(1)若，求的极值；(2)，若函数有两个零点，且，求证：.第(5)题2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，选取了100名学生进行测试，根据测试数据制成如下频率分布直方图．（1）求的值；（2）如果抽查的测试平均分超过75分，表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试；（3）学校想了解分数较低同学的原因，在测试成绩位于50~60的学生中随机抽查2名学生询问，若学生A和B的成绩在50~60中，求学生和恰有一人被抽到的概率．。

东营市胜利一中2022-2023学年第一学期期末模拟测试高三数学（B 卷）一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2R 60A x x x =∈--<，集合(){}R ln 1B x y x =∈=-，则A B ⋃=（ ）A ．(),2-∞B ．()2,3-C ．()2,1-D ．(),3-∞2．已知复数1232,2z i z i =+=-，则12z z ⋅的虚部为 A ．1-B ．i -C ．1D ．i3．“lg lg m n >”是“1122mn⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ABC 中，3AB AC ==，2BD DC =．若4AD BC ⋅=，则AB AC ⋅=（ ）． A ．3B ．3-C ．2D ．2-5．若函数cos()y x ωϕ=+是奇函数，则（ ） A ．0ω= B ．()k k ϕπ=∈Z C ．()k k ωπ=∈ZD ．()2k k πϕπ=+∈Z6．如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为A ．38B ．12C ．58D ．787．记函数()sin x xg x e e x -=-+，若不等式()()2210g x a g x ++->，对[]1,1x ∀∈-恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[)2,∞+B ．()2,∞+C ．()2,-+∞D ．[)2,-+∞8．已知函数y =f(x )对任意的(0,)x π∈满足()sin ()cos f x x f x x '> (其中'()f x 为函数f (x )的导函数),则下列不等式成立的是A ．()2()46f f ππ<B ．()2()46f f ππ>C ．()2()64f f ππ>D ．()2()64f f ππ<二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差10．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期是πB ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称C ．()f x 在50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．3x π=-是()f x 的一条对称轴11．已知正四棱台1111ABCD A B C D -，下底面ABCD 边长为4，上底面边长为2，侧棱长为2，则（ ）A ．它的表面积是20123+B ．它的外接球球心在该四棱台的内部C ．侧棱与下底面所成的角为π3D 3412．下列四个选项中的多边形均为正多边形，1F ，2F 为椭圆的两个焦点，椭圆与正多边形的交点为正多边形各边中点.则离心率大于0.7的椭圆有（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．若(12)n x +展开式的二项式系数之和为32，则n =_______14．已知圆O ：224x y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动2π弧长到达点N ，以x 轴的非负半轴为始边，ON 为终边的角记为α，则tan α=________． 15．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，O 为原点，F 为抛物线C 的焦点，点A ，B 为抛物线两点，满足OA OB ⊥，过原点O 作OD AB ⊥交AB 于点D ，当点D 的坐标为()2,1，则p 的值为_________．16．已知函数()()3263220ax ax f x a a =-++>，若124x x +>，则()()12f x f x +的取值范围是___________.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，在①()3cos cos sin C a B b A c C +=；②sinsin 2A Ba c A +=；③()22sin sin sin sin sin B A C B A -=-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后作答：当__________时，且ABC 的外接圆半径为1，求ABC 的面积S 的最大值． 18．（本小题满分12 分）已知数列{}n a 的前n 项和()*n S n N ∈满足123n n S a a =-，且22a +是13,a a 的等差中项，{}n b 是等差数列，2283,ba b a ==.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 19．（本小题满分12 分）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为(300500)≤≤a a 元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据．．．．．．中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由． 20．（本小题满分12 分）直三棱柱111ABC A B C 中，5AB =，3AC =，4BC =，点D 是线段AB 上的动点. （1）当点D 是AB 的中点时，求证：1AC ∥平面1B CD ；（2）线段AB 上是否存在点D ，使得平面11ABB A ⊥平面1CDB ？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12 分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上任意一点到其左右焦点1F 、2F 的距离之和均为4，且椭圆的中心O 到直线0bx ay ab +-=23（1）求椭圆E 的方程；（2）已知以椭圆右顶点A 为直角顶点的动直角三角形斜边端点B 、C 落在椭圆E 上，求动直角ABC 面积的最大值. 22．（本小题满分12 分）已知函数1,1()1,1,22ax x xf x x x x x ⎧-⎪⎪=⎨-⎪<≠-⎪+⎩. （1）若f (－1）＝f (1)，求a ，并直接写出函数()f x 的单调增区间；（2）当a ≥32时，是否存在实数x ，使得()f x -＝一()f x ？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由．参考答案1．D解：由260x x --<，即()()320x x -+<，解得23x -<<，所以{}{}2R 60R |23A x x x x x =∈--<=∈-<<，由()ln 1y x =-，即10x ->，解得1x <，所以(){}{}R ln 1R 1B x y x x x =∈=-=∈<， 所以{}|3A B x x =<； 故选：D 2．C 3．C 4．B由题意可得2()()()()43AD BC AB BD AC AB AB BC AC AB ⋅=+⋅-=+⋅-=,即212[()]()()()4333AB AC AB AC AB AB AC AC AB +-⋅-=+⋅-=,即221214333AB AC AB AC -+-⋅=，即2139433AB AC -+⨯-⋅=，解得3AB AC ⋅=-， 故选：B 5．D由函数cos()y x ωϕ=+是奇函数，可知cos()sin y x x ωϕω=+=或cos()sin y x x ωϕω=+=-， 由诱导公式，得()2k k πϕπ=+∈Z .故选：D 6．C由题意，灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个，这四种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，所以灯泡亮的概率为111111111222211152222822222+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，故选：C ． 7．B解：函数()sin x x g x e e x -=-+，由()sin()(sin )()x x x x g x e e x e e x g x ---=-+-=--+=-，可得()g x 为奇函数， 又()cos x x g x e e x -'=++，由22x x x x e e e e --+⋅，1cos 1x -， 可得()0g x '>，()g x 在R 上递增，由2(2)(1)0g x a g x ++->，即2(2)(1)g x a g x +>--， 可得22(2)(1)(1)g x a g x g x +>--=-， 即为221x a x +>-在[1x ∈-，1]恒成立， 也即221a x x -<+-在[1x ∈-，1]恒成立， 由221y x x =+-在[1x ∈-，1]递增， 可得221y x x =+-的值域为[2-，2]， 则2a -<-，即2a >， 故选：B ． 8．B 令()(),(0,)sin f x F x x xπ=∈，则()()()2sin cos sin f x x f x xF x x-''=，因为()sin ()cos f x x f x x '>，则()sin ()cos 0f x x f x x '->，所以()0F x '>， 所以()()46F F ππ>，即()()64sin sin 46f f ππππ>，即()2()46f ππ>， 故选：B. 9．CD由图可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9， 所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错误； 甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B 错误；甲成绩的方差为()()()()()222221465666768625⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦， 乙成绩的方差为()()()()2222211256565666(96)55⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎦⎣，C 正确； 乙的成绩的极差均为4，D 正确． 故选：CD 10．ABD 由最小正周期2T πω=得，22T ππ==，可知，A 正确； 2sin 22sin 22cos 26662f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以函数()6f x π+为偶函数，所以6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以B 正确；由222262k x k πππππ-≤+≤+得，36k x k ππππ-≤≤+，所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ Z k ∈，当0k =时，增区间为,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1k =时，增区间为27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数的增区间，所以C 错误；因为22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3x π=-是()f x 的一条对称轴，所以D正确 故选：ABD 11．AD如图，正四棱台1111ABCD A B C D -，12,O O 分别是上下底面的中心，点1,E E 分别是棱11,B C BC 的中点，在直角梯形121O O BB 中，11212,22,2O B O B BB ===，则正四棱台高122=OO 在直角梯形121O O EE 中，1121,2O E O E ==，则正四棱台斜高13E E ，对于A ，正四棱台1111ABCD A B C D -表面积22244243201232+++⨯=+A 正确； 对于B ，正四棱台1111ABCD A B C D -的外接球球心O 在直线12O O 上，设球半径为R ， 点O 到平面1111D C B A 的距离212d R -O 到平面ABCD 的距离228d R =- 由20d ≥，得28R ≥，因此11262d OO =，即点O 在线段12O O 的延长线上，B 不正确；对于C ，侧棱与下底面所成的角为12π4B BO ∠=，C 不正确； 对于D ，正四棱台1111ABCD A B C D -体积22221282(2244)233V =⨯，34的球的体积为334π16π282(4)33V V '=⨯=>=，D 正确. 故选：AD 12．ACD 设12||2F F c =，对于A ，∵ 2|Q |F c =，12QF QF ⊥， ∴ 1|Q |3F c =，又12||||2QF QF a +=， ∴ 23a c c =， ∴ 离心率310.73c e a c c===>+，A 对， 对于B ，∵ 2|Q |F c =，122F F QF ⊥， ∴ 1|Q |5F c ，又12||||2QF QF a +=， ∴ 25a c c =， ∴ 离心率510.75c e a c c -=<+，B 错， 对于C ， ∵ 2|Q |2c F =，123F F Q π∠=， ∴ 2211221221213|Q |()()2cos F F F QF F F QF F F Q =+-⋅∠=，又12||||2QF QF a +=， ∴ 1322c ca =， ∴ 离心率1310.713c e a c c -==>+，C 对， 对于D ，设坐标原点为O ，则1OQ QF ⊥，又1238F F Q π∠= ∵ 23|Q |cos8F c π=，， ∴ 2221122122123|Q |()()2cos 13sin 8F F F QF F F QF F F Q c π=+-⋅∠+， 又12||||2QF QF a +=， ∴ 2332cos13sin 88a c c ππ=++ ∴ 离心率233cos13sin 88c e aππ==++ 又231cos34cos 0.1582ππ+=≈∴ 20.82.30.15 3.550.16 3.61e ≈>=>++D 对，故选：ACD.13．5因为(12)n x +展开式的二项式系数之和为32， ∴232n =，即5n =. 故答案为：5. 14．1 15．54直线OD 的斜率为12，而OD AB ⊥，则直线AB 的斜率为2-，直线AB 的方程为12(2)y x -=--，即25y x =-+，由2252y x y px=-+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：250y py p +-=，设221212(,),(,)22y y A y B y p p ，则125y y p =-，因OA OB ⊥，则222121222255044y y p OA OB y y p p p ⋅=+=-=，解得54p =， 所以p 的值为54.故答案为：5416．[)4+∞，因为()()3263220ax ax f x a a =-++>，所以()()231234f x ax ax ax x =='--由0a >，令0f x，解得：0x <或>4x ；令()0f x '<，解得：04x <<；所以()y f x =在()04，上单减，在()0-∞，和()4+∞，上单增. 因为124x x +>，不妨设1222x x x ≤∴>，. ①若10x ≤，则2144x x >-≥，因为()y f x =在()4+∞，上单增，所以()()214f x f x >- 所以()()()()121144324f x f x f x f x a +>+-=+>； ②若1>0x ，因为22x >，而由()y f x =在()04，上单减，在()0-∞，和()4+∞，上单增. 所以在()0+∞，上()()4=2f x f =极小 所以()()()()12444f x f x f f +≥+=，当且仅当124x x ==时取等号. 综上所述：()()124f x f x +≥.故答案为：[)4+∞，.17()3cos cos sin C a B b A c C +=，()23cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，()23sin sin C A B C +=23sin sin C C C =，因为sin 0C ≠3sin C C =，可得tan 3C = 因为()0,C π∈，所以3C π=，因为ABC 的外接圆半径为1，所以2sin 3c C =在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 2c a b ab C ab ab ab =+-≥-=， 可得23ab c ≤=，所以11333sin 322S ab C =≤⨯=所以ABC 的面积S 33选②：由正弦定理可知：sin sin sin sin 2CA C A π-=，因为sin 0A ≠，所以sin sin 2CC π-=即cossin 2sin cos 222C C C C ==， 因为cos02C ≠，所以12sin 2C =，可得1sin 22C =，因为()0,C π∈，所以0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以26C π=，所以3C π=， 因为ABC 的外接圆半径为1，所以2sin 3c C =在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 2c a b ab C ab ab ab =+-≥-=， 可得23ab c ≤=，所以11333sin 322S ab C =≤⨯=所以ABC 的面积S 33选③：由()22sin sin sin sin sin B A C B A -=-， 可得222sin sin 2sin sin sin sin sin A B A B C A B +-=- 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-= 由正弦定理可得：222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 因为()0,C π∈，所以3C π=，因为ABC 的外接圆半径为1，所以2sin 3c C =在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 2c a b ab C ab ab ab =+-≥-=，可得23ab c ≤=，所以11sin 322S ab C =≤⨯=所以ABC 的面积S 18．（1）13n n a -=，1n b n =+（2）113424n n nT ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭（1）由题意知，当2n ≥时，11123n n S a a --=-， 又因为123n n S a a =-，且1n n n a S S -=-， 则()132n n a a n -=≥， 所以213213,39a a a a a ===， 又123,2,a a a +成等差数列，则()21822a a a +=+，所以()1112329a a a +=+， 解得11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，故13n n a -=.设{}n b 的公差为d ，则113,79b d b d +=+=， 解得11,2d b ==，所以()2111n b n n =+-⨯=+.（2）由（1）得()113n n n n c a b n -==+⋅， 所以()2121334313n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯， ()2313233343313n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯，两式相减得()23122333313n n n T n --=+++++-+⨯，整理得113424n n n T ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 19． （1）解：令事件A =“甲平台日销售量不低于8件”， 则2624103()1005P A ++==，令事件B =“从甲平台所有销售数据．．．．．．中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”，则 ()23233332381C C 555125P B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）解：设甲平台的日销售收入为X ，则X 的所有可能取值为6240,7270,8300,9330,10360.a a a a a -----所以，X 的分布列为X6240a - 7270a - 8300a - 9330a - 10360a -P14100 26100 26100 24100 10100所以，14262624()(6240)(7270)(8300)(9330)100100100100E X a a a a =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯10(10360)7.9297100a a +-⨯=-， 设乙平台的日销售收入为Y ，则Y 的所有可能取值为6240,7280,8320,9355,10390.a a a a a -----所以，Y 的分布列为：Y6240a - 7280a - 8320a - 9355a - 10390a -P10100 25100 35100 20100 10100所以，210253520()(6240)(7280)(8320)(9355)100100100100E Y a a a a =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯10(10390)100a +-⨯7.95316a =-.所以，()()0.0519,E Y E X a -=-令0.05190a -≥得380a ≥，令0.05190a -<得380a <所以，当300380a ≤<时，选择甲平台；当380a =时，甲乙平台均可；当380500a <≤时，选择乙平台. 20．（1）如图，连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点， 又点D 是AB 的中点，由中位线定理得1DE AC ， 因为DE ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ， 所以1AC 平面1B CD .（2）当CD AB ⊥时平面11ABB A ⊥平面1CDB .证明：因为1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1AA CD ⊥． 又CD AB ⊥，1AA AB A ⋂=，所以CD ⊥平面11ABB A ， 因为CD ⊂平面1CDB ，所以平面11ABB A ⊥平面1CDB ， 故点D 满足CD AB ⊥.因为5AB =，3AC =，4BC =，所以222AC BC AB +=， 故ABC ∆是以角C 为直角的三角形， 又CD AB ⊥，所以95AD =. 21．（1）由题可知2222242:123423a a x y E abb a b =⎧=⎧⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨==⎪⎩⎪+⎩. （2）由题易知斜边BC 不可能和x 轴平行，故可设BC 所在直线:l x ly m =+， 联立22:142x y E +=消去x 整理得：()2222240t y tmy m +++-=， 设()11,B x y ，()22,C x y ，则有12222tm y y t -+=+，212242m y y t -=+，()()2222224424024t m t m m t ∆=-+->⇒<+，由题可知()()()()112212122,2,22AB AC x y x y ty m ty m y y ⋅=-⋅-=+-+-+()()()()221212122t y y t m y y m =++-++-()()()2222242122022m tm t t m m t t --=++-+-=++238402m m m ⇒-+=⇒=（舍）或23m =可得BC 所在直线l 方程为：23x ty =+，恒过定点2,03D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22121212161128924223ABC t S AD y y y y y y +=-=+-=△，令2169u t =+4,3u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2881223399ABC u S u u u==++△， 29y u u =+在4,3u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上递增， 所以2316,0,929ABC y u S u ⎡⎫⎛⎤=+∈+∞⇒=⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦△， 所以ABC 面积的最大值为169，此时BC 所在直线l 方程为：23x =. 22．（1）3a =，单调增区间为(,2)-∞-，()2,1-；（2）2个. （1）由()()11f f -=，得21a -=-，解得3a =． 此时，函数13,1,()1,1, 2.2x x xf x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎨-⎪<≠⎪+⎩ 所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，()2,1-． （2）显然，0x =不满足()()f x f x -=-； 若01x <<，则10x -<-<，由()()f x f x -=-，得1122x x x x ---=--++， 化简，得22x =-，无解：若1x ≥，则1x -≤-，由()()f x f x -=-，得112x ax x x --⎛⎫=-- ⎪-+⎝⎭， 化简，得32(21)220ax a x x -+-+=． 令32()(21)22g x ax a x x =-+-+，32a． 当12x ≤≤时，22()(2)2(1)0g x ax x x x =----<； 下面证明函数()g x 在(2,)+∞上是单调增函数． 任取12,(2,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()323221222111(21)22(21)22g x g x ax a x x ax a x x ⎡⎤⎡⎤-=-+-+--+-+⎣⎦⎣⎦()()()2221212121(21)2x x ax ax x ax a x x ⎡⎤=-++-++-⎣⎦由于()()22212121(21)2ax ax x ax a x x ++-++-()()()222112121122a x a x ax x x x a =-+-+-+--()221212311222a a x x x x a >⨯+⨯+-+--()()211211132x x x x =--+-1112232>⨯+⨯⨯-0=，所以()()210g x g x ->，即()()21g x g x >，故()g x 在(2,)+∞上是单调增函数． 因为(2)60g =-<，3(3)91391302g a =->⨯->，所以(2)(3)0g g ⋅<，又函数()g x 的图象不间断，所以函数()g x 在()2,3上有且只有一个零点． 即当1x ≥时，有且只有一个实数x 满足()()f x f x -=-．因为当()000x x ≠满足()()f x f x -=-时，实数0x -也一定满足()()f x f x -=-，即满足()()f x f x -=-的根成对出现（互为相反数）；所以，所有满足()()f x f x -=-的实数x 的个数为2．。

2021-2022中考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．为了纪念物理学家费米，物理学界以费米（飞米）作为长度单位．已知1飞米等于0.000000000000001米，把0.000000000000001这个数用科学记数法表示为（）A．1×10﹣15B．0.1×10﹣14C．0.01×10﹣13D．0.01×10﹣122．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°3．如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（）A．8 B．4 C．12 D．164．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A3B．23C．2D．45．如图，已知AE 垂直于ABC ∠的平分线于点D ，交BC 于点E ， 13CE BC =，若ABC ∆的面积为1，则CDE ∆的面积是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．1106．估计7+1的值在（ ） A ．2和3之间 B ．3和4之间 C ．4和5之间 D ．5和6之间7．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆处的'A 处，折痕为DE .如果A α∠=，'CEA β∠=，'BDA γ∠=，那么下列式子中正确的是（ ）A ．2γαβ=+B ．2γαβ=+C ．γαβ=+D ．180γαβ=--8．如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ；B 、E 是半圆弧的三等分点，BD 的长为43π，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．4633π-B ．8933π-C ．33223π-D ．8633π 9．某市6月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是（ ）A．8 B．10 C．21 D．2210．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（）A．B．C．D．11．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．1112．(3分)如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是()A．210B．41C．52D．51二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为_____．14．计算tan260°﹣2sin30°2cos45°的结果为_____．15．一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，这10个球中有m个红球，从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m的值约为__________．16．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A ．144°B ．84°C ．74°D ．54° 17．已知二次函数2y x 2x c =-++的部分图象如图所示，则c =______；当x______时，y 随x 的增大而减小．18．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发，设运动时间为ts ，当t ＝__________时，△CPQ 与△CBA 相似．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）解方程组4311,213.x y x y -=⎧⎨+=⎩①② 20．（6分）如图，抛物线y=﹣x 2+mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．21．（6分）如图，四边形ABCD 中，∠C ＝90°，AD ⊥DB ，点E 为AB 的中点，DE ∥BC .（1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）连接EC ，若∠A ＝30°，DC ＝3，求EC 的长. 22．（8分）计算：-2-2 - 12 + 21sin60π3⎛⎫-︒+- ⎪⎝⎭0 23．（8分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以AD 、OD 为邻边作平行四边形ADOE ，连接BE求证：四边形AOBE 是菱形若180EAO DCO ∠+∠=︒，2DC =，求四边形ADOE 的面积24．（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线．（2）如果⊙O 的半径为5，sin ∠ADE ＝45，求BF 的长．25．（10分）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.26．（12分）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=45，点E在弧AD 上，射线AE与CD的延长线交于点F．（1）求圆O的半径；（2）如果AE=6，求EF的长．27．（12分）一个不透明的口袋中装有2个红球、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、A【解析】根据科学记数法的表示方法解答.【详解】解：把0.000?000?000?000?001这个数用科学记数法表示为15110-⨯．故选：A ．【点睛】此题重点考查学生对科学记数法的应用，熟练掌握小于0的数用科学记数法表示法是解题的关键.2、B【解析】利用OB=DE ，OB=OD 得到DO=DE ，则∠E=∠DOE ，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E ，所以∠1=2∠E ，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E ，然后利用∠E=13∠AOC 进行计算即可． 【详解】解：连结OD ，如图，∵OB=DE ，OB=OD ，∴DO=DE ，∴∠E=∠DOE ，∵∠1=∠DOE+∠E ，∴∠1=2∠E ，而OC=OD ，∴∠C=∠1，∴∠C=2∠E ，∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E ，∴∠E=13∠AOC=13×84°=28°． 故选：B ．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．3、A【解析】∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∴DA=DB，EA=EC，则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，故选A．4、B【解析】分析：易得等边三角形的高，那么左视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解．详解：∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高CD后，∴等边三角形的高==故选B．点睛：本题主要考查的是由三视图判断几何体．解决本题的关键是得到求左视图的面积的等量关系，难点是得到侧面积的宽度．5、B【解析】先证明△ABD≌△EBD，从而可得AD=DE，然后先求得△AEC的面积，继而可得到△CDE的面积.【详解】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，∵AE⊥BD，∴∠ADB=∠EDB=90°，又∵BD=BD，∴△ABD≌△EBD，∴AD=ED，∵1CE BC3=，ΔABC的面积为1，∴S△AEC=13S△ABC=13，又∵AD=ED，∴S△CDE=12S△AEC=16，故选B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积之比等于底边长度之比是解题的关键.6、B【解析】分析：直接利用2＜7＜3，进而得出答案．详解：∵2＜7＜3，∴3＜7+1＜4，故选B．点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出7的取值范围是解题关键．7、A【解析】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.详解:由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选A.点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.8、D【解析】连接BD，BE，BO，EO，先根据B、E是半圆弧的三等分点求出圆心角∠BOD的度数，再利用弧长公式求出半圆的半径R，再利用圆周角定理求出各边长，通过转化将阴影部分的面积转化为S△ABC﹣S扇形BOE，然后分别求出面积相减即可得出答案.【详解】解：连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，∴∠BAD＝∠EBA＝30°，∴BE∥AD，∵BD的长为43π，∴604 1803Rππ=解得：R＝4，∴AB＝AD cos30°＝3，∴BC＝12AB＝3∴AC3BC＝6，∴S△ABC＝12×BC×AC＝12×36＝3∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝26048 63633603ππ⨯=故选：D．【点睛】本题主要考查弧长公式，扇形面积公式，圆周角定理等，掌握圆的相关性质是解题的关键.9、D【解析】分析：根据条形统计图得到各数据的权，然后根据中位数的定义求解．详解：一共30个数据，第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22.故选D.点睛：考查中位数的定义，看懂条形统计图是解题的关键.10、C.试题分析：如答图，过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接OB ，OC ，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.∵∠A=∠BOC ，∴∠A=∠BOD.∴tanA=tan ∠BOD=. 故选D ．考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．11、C【解析】 试题分析：已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是360÷36=10，故选C. 考点：多边形的内角和外角.12、B【解析】根据三角形数列的特点，归纳出每一行第一个数的通用公式，即可求出第9行从左至右第5个数.【详解】根据三角形数列的特点，归纳出每n ()112n n -+9行从左至右第5个数是()9911(51)2-++-41故选B【点睛】 本题主要考查归纳推理的应用，根据每一行第一个数的取值规律，利用累加法求出第9行第五个数的数值是解决本题的关键，考查学生的推理能力．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、85试题分析：根据网格，利用勾股定理求出AC 的长，AB 的长，以及AB 边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC 面积，而三角形ABC 面积可以由AC 与BD 乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD 的长：根据勾股定理得：5AC =，由网格得：S △ABC =12×2×4=4，且S △ABC =12AC•BD=12×5BD ， ∴12×5BD=4，解得：BD=85. 考点：1.网格型问题；2.勾股定理；3.三角形的面积．14、1【解析】分别算三角函数，再化简即可.【详解】解：原式=2-2×12=1.【点睛】本题考查掌握简单三角函数值，较基础.15、3【解析】在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答.【详解】解:根据题意得，10m ＝0.3，解得m ＝3. 故答案为:3.【点睛】本题考查随机事件概率的意义，关键是要知道在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近.16、B【解析】正五边形的内角是∠ABC =()521805-⨯=108°，∵AB =BC ，∴∠CAB =36°，正六边形的内角是∠ABE =∠E =()621806-⨯=120°，∵∠ADE +∠E +∠ABE +∠CAB =360°，∴∠ADE =360°–120°–120°–36°=84°，故选B ． 17、3, >1【解析】根据函数图象与x 轴的交点，可求出c 的值，根据图象可判断函数的增减性．【详解】解：因为二次函数2y x 2x c =-++的图象过点()3,0． 所以96c 0-++=，解得c 3=．由图象可知：x 1>时，y 随x 的增大而减小．故答案为(1). 3, (2). >1【点睛】此题考查二次函数图象的性质，数形结合法是解决函数问题经常采用的一种方法，关键是要找出图象与函数解析式之间的联系．18、4.8或6411【解析】根据题意可分两种情况，①当CP 和CB 是对应边时，△CPQ ∽△CBA 与②CP 和CA 是对应边时，△CPQ ∽△CAB ，根据相似三角形的性质分别求出时间t 即可.【详解】①CP 和CB 是对应边时，△CPQ ∽△CBA ， 所以CP CB ＝CQ CA， 即16216t -＝12t ， 解得t ＝4.8；②CP 和CA 是对应边时，△CPQ ∽△CAB ， 所以CP CA ＝CQ CB， 即16212t -＝16t ， 解得t ＝6411. 综上所述，当t ＝4.8或6411时，△CPQ 与△CBA 相似．【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、53x y =⎧⎨=⎩【解析】将②×3，再联立①②消未知数即可计算. 【详解】解：②3⨯得：6339x y += ③①+③得：1050x =5x =把5x =代入③得10339y +=3y =∴方程组的解为53x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查二元一次方程组解法，关键是掌握消元法.20、 (1)抛物线的解析式为：y=﹣x 1+x+1 (1)存在，P 1（，2），P 1（，），P 3（，﹣）(3)当点E 运动到（1，1）时，四边形CDBF 的面积最大，S 四边形CDBF 的面积最大=． 【解析】试题分析：（1）将点A 、C 的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m 、n 的值；（1）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD 的值，以点C 为圆心，CD 为半径作弧交对称轴于P 1；以点D 为圆心CD 为半径作圆交对称轴于点P 1，P 3；作CH 垂直于对称轴与点H ，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B 点的坐标，从而可求出BC 的解析式，从而可设设E 点的坐标，进而可表示出F 的坐标，由四边形CDBF 的面积=S △BCD +S △CEF +S △BEF 可求出S 与a 的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x1+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，1）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x1+x+1；（1）∵y=﹣x1+x+1，∴y=﹣（x﹣）1+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，1），∴OC=1．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP1=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=1，∴DP1=2．∴P1（，2），P1（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x1+x+1∴x1=﹣1，x1=2，∴B（2，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+1．如图1，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+1），F（a，﹣a1+a+1），∴EF=﹣a1+a+1﹣（﹣a+1）=﹣a1+1a（0≤x≤2）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a1+1a）+（2﹣a）（﹣a1+1a），=﹣a1+2a+（0≤x≤2）．=﹣（a﹣1）1+∴a=1时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（1，1）．考点：1、勾股定理；1、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；2、二次函数的最值EC21、（1）见解析；（2）7【解析】（1）直接利用直角三角形的性质得出12DE BE AB==，再利用DE∥BC，得出∠2＝∠3，进而得出答案；（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3＝60°，3DC=，得出DB的长，进而得出EC的长. 【详解】（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，∴12DE BE AB==.∴∠1＝∠2.∵DE∥BC，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴BD平分∠ABC.（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，∴∠1＝60°.∴∠3＝∠2＝60°.∵∠BCD＝90°，∴∠4＝30°.∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°.在Rt△BCD中，∠3＝60°，3DC=，∴DB＝2.∵DE＝BE，∠1＝60°，∴DE＝DB＝2.∴22437EC DE DC=+=+=.【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，正确得出DB，DE的长是解题关键.22、753 4-【解析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的锐角三角函数值分别化简，再根据实数的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式=1711424---+=【点睛】本题考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的锐角三角函数值，熟记这些运算法则是解题的关键.23、（1）见解析；（2）S 四边形ADOE =【解析】(1) 根据矩形的性质有OA=OB=OC=OD ，根据四边形ADOE 是平行四边形，得到OD ∥AE ，AE=OD . 等量代换得到AE=OB .即可证明四边形AOBE 为平行四边形.根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.(2)根据菱形的性质有∠EAB =∠BAO .根据矩形的性质有AB ∥CD ，根据平行线的性质有∠BAC =∠ACD ，求出∠DCA =60°，求出AD =根据面积公式S ΔADC ，即可求解.【详解】（1）证明：∵矩形ABCD ，∴OA=OB=OC=OD .∵平行四边形ADOE ，∴OD ∥AE ，AE=OD .∴AE=OB .∴四边形AOBE 为平行四边形.∵OA=OB ，∴四边形AOBE 为菱形.（2）解：∵菱形AOBE ，∴∠EAB =∠BAO .∵矩形ABCD ，∴AB ∥CD .∴∠BAC =∠ACD ，∠ADC =90°.∴∠EAB =∠BAO =∠DCA .∵∠EAO+∠DCO =180°，∴∠DCA =60°.∴AD=23.∴SΔADC=122323 2⨯⨯=.∴S四边形ADOE =23.【点睛】考查平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，综合性比较强.24、（1）答案见解析；（2）907．【解析】试题分析：（1）连接OD，AB为⊙O的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出AE=325，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF．试题解析：（1）证明：连结OD∵OD=OB∴∠ODB=∠DBO又AB=AC∴∠DBO=∠C∴∠ODB =∠C∴OD ∥AC又DE⊥AC∴DE ⊥OD∴EF是⊙O的切线．（2）∵AB是直径∴∠ADB=90 °∴∠ADC=90 °即∠1+∠2=90 °又∠C+∠2=90 °∴∠1 =∠3 ∴4sin sin 35AD ADE AB ∠==∠= ∴4510AD = ∴AD=8在Rt △ADB 中，AB=10∴BD=6在又Rt △AED 中，4sin 5AE ADE AD ∠== ∴483255AE ⨯== 设BF=x∵OD ∥AE∴△ODF ∽△AEF ∴OD OF AE AF = ，即5532105x x +=+， 解得：x=90725、今年妹妹6岁，哥哥10岁．【解析】试题分析：设今年妹妹的年龄为x 岁，哥哥的年龄为y 岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．试题解析：设今年妹妹的年龄为x 岁，哥哥的年龄为y 岁，根据题意得：()()16322342x y x y +=⎧⎨+++=+⎩解得：610x y =⎧⎨=⎩． 答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．考点：二元一次方程组的应用．26、 (1) 圆的半径为4.5；(2) EF=32． 【解析】（1）连接OD ，根据垂径定理得：DHO 的半径为r ，根据勾股定理列方程可得结论；（2）过O作OG⊥AE于G，证明△AGO∽△AHF，列比例式可得AF的长，从而得EF的长．【详解】（1）连接OD，∵直径AB⊥弦CD，CD=4，∴DH=CH=CD=2，在Rt△ODH中，AH=5，设圆O的半径为r，根据勾股定理得：OD2=（AH﹣OA）2+DH2，即r2=（5﹣r）2+20，解得：r=4.5，则圆的半径为4.5；（2）过O作OG⊥AE于G，∴AG=AE=×6=3，∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，∴△AGO∽△AHF，∴，∴，∴AF=，∴EF=AF﹣AE=﹣6=．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确添加辅助线并熟练掌握垂径定理和相似三角形的判定与性质.27、1 6【解析】分析：列表得出所有等可能的情况数，找出两次都摸到红球的情况数，即可求出所求的概率．详解：列表如下：红红白黑红﹣﹣﹣（红，红）（白，红）（黑，红）红（红，红）﹣﹣﹣（白，红）（黑，红）白（红，白）（红，白）﹣﹣﹣（黑，白）黑（红，黑）（红，黑）（白，黑）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能，则P（两次摸到红球）==．点睛：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。

2022-2023学年山东省东营市胜利一中高三（上）期末数学试卷1. 若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|−12<x <3}，则x 2+ba x +ca <0成立的一个必要不充分条件是( )A. −12<x <3B. −12<x <0C. −3<x <12D. −1<x <62. 设z =2+i1+i ，则z 的共轭复数的虚部为( ) A. 12B. 12iC. −12D. −12i3. 若数列{a n }满足(n −1)a n =(n +1)a n−1(n ≥2)，a 1=2，则满足不等式a n <870的最大正整数n 为( )A. 28B. 29C. 30D. 314. 已知△ABC 是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( )A. √3B. 32 C. 1D. √32 5. 若f(x)=cosx −sinx 在[0,a]是减函数，则a 的最大值是( ) A. π4B. π2C. 3π4D. π6. 电路从A 到B 上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率为13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是( )A. 1027B. 448729C. 100243D. 40817. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若∠PF 1F 2=30∘，则椭圆C 的离心率为( )A. √33B. √36C. 13D. 168. 函数f(x)=2x −5lnx +32x 2的单调递减区间是( ) A. (12,+∞)B. (0,32)C. (1,+∞)D. (0,1)9. 下列命题正确的是( )A. 1−tan15∘1+tan15∘=√33B. 函数y =1−tan 22x1+tan 22x的最小正周期是πC. tanA +1tanA =m(m ≠0)，则sin2A =−2m D. 若cosxcosy +sinxsiny =13，则cos(2x −2y)=−7910. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=2，AB =BC =1，∠ABC =120∘，侧面AA 1C 1C的对角线交点O ，点E 是侧棱BB 1上的一个动点，下列结论正确的是( )A. 直三棱柱的侧面积是4+2√3B. 直三棱柱的外接球表面积是8πC. 三棱锥E −AA 1O 的体积与点E 的位置有关D. AE +EC 1的最小值为2√2 11. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)与直线l ：x −y −1=0交于A ，B 两点，记直线l与x 轴的交点E ，点E ，F 关于原点对称，若∠AFB =90∘，则( )A. 2a 2+b 2=a 2b 2B. 椭圆C 过4个定点C. 存在实数a ，使得|AB|=3D. |AB|<7212. 若a ，b ∈(0,+∞)，则下列选项中成立的是( ) A. a(6−a)≤9B. 若ab =a +b +3，则ab ≥9C. a 2+4a 2+3的最小值为1D. 若a +b =2，则1a +2b 的最小值为2√213. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是两非零向量，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为______.14. 设函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，直线x =3π8为f(x)图象的对称轴，x =9π8为f(x)的零点，且f(x)的最小正周期大于2π，则φ=______.15. 函数f(x)=xx+1图象的对称中心的坐标为______.16. 若函数f(x)=x3−3x在区间(a2−6,a)上有最大值，则实数a的取值范围是______.17. 记△ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1−S2+S3=√32，sinB=13.(1)求△ABC的面积；(2)若sinAsinC=√23，求b.18. 已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列；②数列{√S n+1}是公比为√q的等比数列；③a1+ 1−q=0.19. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形BCEF 是矩形，AD//BC，BC⊥CD，BC=CD=1，AD=FA=FB=2，CM=2ME.(1)证明：FA⊥CD；(2)求直线AF与平面MBD所成角的正弦值．20. 致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在[80,100]内，为成绩优秀．成绩[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数510152520205 (1)根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为p(每次抽奖互不影响，且p 的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率)，中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在[80,100]内，请列出其本次读书活动额外获得学分数X 的分布列并求其数学期望． 参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a +b +c +d.附表：21. 已知椭圆C:x 24+y 23=1的右焦点为F ，点M ，N 在椭圆C 上，且M ，N ，F 三点共线．(1)若直线MN 的倾斜角为45∘，求|MN|的值；(2)已知点A(x 0,0)，B(x′,0)，其中x 0≠1，x 0≠x′，若直线MN 不与坐标轴垂直，且点B 到直线AM ，AN 的距离相等，求x 0的值．22. 已知函数f(x)=ln(1+x)+axe −x .(1)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (2)若f(x)在区间(−1,0)，(0,+∞)各恰有一个零点，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|−12<x <3}， 所以−12与3是方程ax 2+bx +c =0的两个根，且a <0， 所以−12+3=−ba ,−12×3=ca ，所以x 2+ba x +ca <0可化为x 2−52x −32<0， 解得−12<x <3，A ，B ，C ，D 四个选项中，只有选项D 满足{x|−12<x <3}⫋{x|−1<x <6}， 所以x 2+b ax +c a<0成立的一个必要不充分条件是D 选项． 故选：D.由题意可知，−12与3是方程ax 2+bx +c =0的两个根，且a <0，再利用韦达定理可得−12+3=−b a,−12×3=c a ，代入所求不等式求解，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可． 本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了韦达定理的应用，以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z =(2+i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−i 2=32−12i ，∴z −=32+12i ，其的虚部为12. 故选：A.根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数，虚部的定义，即可求解． 本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数，虚部的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由(n −1)a n =(n +1)a n−1(n ≥2)，得a na n−1=n+1n−1，所以a n =a 1⋅a 2a 1⋅a3a 2⋅⋯⋅a nan−1=2×31×42×⋯×n+1n−1=n 2+n ，因为a n <870，所以n 2+n −870<0，解得−30<n <29，所以满足条件的最大正整数 n 为28. 故选：A. 依题意可得a nan−1=n+1n−1，再利用累乘法求出通项公式，再解一元二次不等式即可；本题考查了用累乘法求数列的通项公式，易错点在用累乘法求通项，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由题意可知图形如图：△ABC是面积为9√34的等边三角形，可得√34AB2=9√34，∴AB=BC=AC=3，可得：AO1=23×√32×3=√3，球O的表面积为16π，外接球的半径为：R；所以4πR2=16π，解得R=2，所以O到平面ABC的距离为：√4−3=1.故选：C.画出图形，利用已知条件求三角形ABC的外接圆的半径，然后求解OO1即可．本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：f(x)=cosx−sinx=−(sinx−cosx)=−√2sin(x−π4)，由−π2+2kπ≤x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，得−π4+2kπ≤x≤34π+2kπ，k∈Z，取k=0，得f(x)的一个减区间为[−π4,3π4]，由f(x)在[0,a]是减函数，得a≤3π4.则a的最大值是3π4.故选：C.利用两角和差的正弦公式化简f(x)，由−π2+2kπ≤x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，得−π4+2kπ≤x≤3 4π+2kπ，k∈Z，取k=0，得f(x)的一个减区间为[−π4,3π4]，结合已知条件即可求出a的最大值．本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．6.【答案】B【解析】解：∵电路从A到B上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率为13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是：P=(1−13×13)×[1−(1−23×23)(1−23×23)]=448729.故选：B.利用对立事件概率加法公式和相互独立事件事件概率公式能求出从A到B连通的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率加法公式和相互独立事件事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】A【解析】解：∵线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1(−c,0)，∴−c+x=0，∴x=c；∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，∵∠PF1F2=30∘，∴PF2=12PF1，∵PF1+PF2=2a，∴PF2=23a，tan∠PF1F2=PF2F1F2=2a32c=√33，∴a c =√3，∴e=ca=√33.故选：A.由已知条件推导出PF2⊥x轴，PF2=12PF1，PF2=23a，从而得到ac=√3，由此能求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．8.【答案】D【解析】解：易知函数f(x)=2x−5lnx+32x2的定义域为(0,+∞)，令f′(x)=2−5x+3x=3x2+2x−5x<0，即3x2+2x−5<0，解得−53<x<1，结合定义域得0<x<1，故函数f(x)的单调递减区间为(0,1).故选：D.求出定义域，然后求导并令导数小于0，即可得到函数的单调递减区间．本题考查导数在研究函数单调性中的应用，属于基础题．9.【答案】AD【解析】解：对于选项A ，1−tan15∘1+tan15∘=tan45∘−tan15∘1+tan45∘tan15∘=tan(45∘−15∘)=tan30∘=√33，即选项A 正确；对于选项B ，y =1−tan 22x 1+tan 22x=1−sin 22x cos 22x 1+sin 22x cos 22x=cos 22x−sin 22x cos 22x+sin 22x=cos4x ，故T =2π4=π2，即函数的最小正周期为π2，即选项B 错误； 对于选项C ，tanA +1tanA=sinA cosA +cosAsinA=sin 2A+cos 2AsinAcosA=2sin2A=m ，则sin2A =2m，即选项C 错误；对于选项D ，cosxcosy +sinxsiny =cos(x −y)=13，则cos(2x −2y)=2cos 2(x −y)−1=2×19−1=−79，故选项D 正确， 故选：AD.由两角和与差的三角函数，结合二倍角公式求解即可．本题考查二倍角公式的灵活运用．重点考查了运算能力，属基础题．10.【答案】ABD【解析】解：在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=2，AB =BC =1，∠ABC =120∘， 则AC =√3，底面ABC 和A 1B 1C 1是等腰三角形，侧面全是矩形， 所以其侧面积为1×2×2+√3×2=4+2√3，故A 正确； 设底面外接圆半径为r ，即2r =√3sin120∘，即r =1， 所以直棱柱的外接球半径R =√12+12=√2，直三棱柱的外接球表面积为S =4πR 2=8π，故B 正确； 由BB 1//平面AA 1C 1C ，且点E 是侧棱BB 1上的一个动点， ∴三棱锥E −AA 1O 的高为定值12，S △AA 1O =14×√3×2=√32，∴V E−AA 1O =13×√32×12=√312，故C 错误； 把侧面AA 1C 1C 和侧面CC 1B 1B 展开在一个平面上，当E 为BB 1的中点时， AE +EC 1取最小值，(AE +EC 1)min =√22+(1+1)2=2√2，故D 正确．故选：ABD.由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断A ；将直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B ；由棱锥底面积与高为定值判断C ；将侧面展开即可求出最小值判断D.本题主要考查空间几何体体积的计算，球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．11.【答案】ABC【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).由{x 2a 2+y 2b2=1,y =x −1,得(a 2+b 2)x 2−2a 2x +a 2−a 2b 2=0，Δ=4a 4−4(a 2+b 2)(a 2−a 2b 2)=4a 2b 2(a 2+b 2−1)>0，则a 2+b 2>1， {x 1+x 2=2a 2a 2+b 2,x 1⋅x 2=a 2−a 2b2a 2+b 2,因为E(1,0)，所以F(−1,0)，又FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(x 1+1)(x 2+1)+(x 1−1)⋅(x 2−1)=2x 1x 2+2=0， 所以x 1⋅x 2=a 2−a 2b2a 2+b2=−1，2a 2+b 2=a 2b 2，故A 正确；所以1a 2+2b2=1，即椭圆过定点T 1(1,√2)，T 2(1,−√2),T 3(−1,√2),T 4(−1,−√2)，故B 正确；|AB|=√2⋅|x 1−x 2|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√2√(11+b 2a2)2+1，由2a 2+b 2=a 2b 2得b 2=2a 2a 2−1>0，则a 2>0，所以b2a 2=2a 2−1，则有|AB|=2√2×√(11+2a 2−1)2+1，因为a 2>1，所以|AB|的取值范围为(2√2,4)，故C 正确，D 错误． 故选：ABC.联立椭圆与直线方程，根据直线与椭圆的位置关系逐项求解即可． 本题考查直线与椭圆的位置关系．12.【答案】AB【解析】解：本不等式可得，当0<a <6时，有a(6−a)≤(a+6−a 2)2=9，当且仅当a =6−a ，即a =3时，等号成立，故当a ≥6时，a(6−a)≤0，所以A 项正确；因为a >0，b >0，则a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b 时等号成立， 则ab =a +b +3≥2√ab +3，即(√ab)2−2√ab −3≥0， 令t =√ab >0，则t 2−2t −3≥0，解得t ≥3或t ≤−1(舍去)， 所以√ab ≥3，即ab ≥9，B 项正确；因为a ，b ∈(0,+∞)，所以a 2+4a 2+3=a 2+3+4a 2+3−3≥2√(a 2+3)⋅4a 2+3−3=1，当且仅当a 2+3=4a 2+3，a 不存在，无法取得等号，C 项错误； 因为a >0，b >0，所以1a+2b=12(a +b)(1a+2b)=12(b a+2ab+3)≥12(2√b a ⋅2ab+3)=√2+32，当且仅当b a=2ab，且a +b =2，即a =2√2−2，b =4−2√2时，等号成立，D 项错误．故选：AB.根据基本不等式，求解判断各个选项即可．本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．13.【答案】π6【解析】解：设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ， ∵|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |， ∴△OAB 是等边三角形，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴四边形OACB 是菱形，∴∠AOC =12∠AOB =π6. 故答案为：π6.作出平面图形，根据平面图形的几何性质即可得出结论． 本题考查了平面向量的线性运算，属于中档题．14.【答案】π4【解析】解：∵函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期T 大于2π， ∴T4>π2，3T4>3π2， 又直线x =3π8为f(x)图象的对称轴，x =9π8为f(x)的零点， 且9π8−3π8=3π4， ∴T 4=3π4，∴ω=23.将零点x =9π8代入f(x)中，得23×9π8+φ=kπ(k ∈Z)， ∴φ=−3π4+kπ,k ∈Z ， 又|φ|<π2，∴当k =1时，φ=π4，故答案为：π4.依题意，可求得ω=23，φ=−3π4+kπ,k ∈Z ，再结合题意对k 赋值，可得答案．本题考查正弦函数的周期性、对称性，考查运算求解能力，属于中档题．15.【答案】(−1,1)【解析】解：f(x)=xx+1=x+1−1x+1=−1x+1+1，因为y =−1x对称中心为(0,0)，所以函数f(x)的对称中心为(−1,1) 故答案为：(−1,1).把原函数解析式变形得到f(x)=xx+1=−1x+1+1，利用因为y =−1x 对称中心为(0,0)，即可求出答案．考查学生灵活运用奇偶函数图象对称性的能力，考查合情推理的探究能力和创新精神．16.【答案】(−1,2]【解析】解：由题意，得f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1).由f′(x)>0，得x <−1或x >1，则f(x)在区间(−∞,−1)和(1,+∞)上单调递增， 由f′(x)<0，得−1<x <1，则f(x)在区间(−1,1)上单调递减， 所以{a 2−6<−1,a >−1,f(a)≤f(−1),解得−1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(−1,2]. 故答案为：(−1,2].对f(x)求导，利用导数求出函数的单调区间，结合已知可得关于a 的不等式组，求解即可． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵S 1−S 2+S 3=√32，∴√34(a 2−b 2+c 2)=√32，即a 2−b 2+c 2=2， 又∵a 2−b 2+c 2=2accosB ， ∴accosB =1， ∵sinB =13，∴cosB =2√23或cosB =−2√23(舍去)， ∴ac =2√2=3√24， 故△ABC 的面积S =12acsinB =12×3√24×13=√28；(2)sinAsinC =√23，ac =3√24， ∴由正弦定理知b2sin 2B=ac sinAsinC=3√24√233=94，sinB =13，∴b 2=94×19=14，解得b =12.【解析】(1)根据已知条件，结合三角形的面积公式，余弦定理，推得ac ，再结合三角形面积公式，即可求解；(2)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．18.【答案】解：选择①②为条件，③为结论，由①可得a n =a 1q n−1，由②可得√S n +1=√S 1+1⋅(√q)n−1=√a 1+1(√q)n−1， 两边平方可得S n +1=(a 1+1)q n−1， 即为S n =a 1+1q⋅q n−1，因为q ≠1，等比数列的求和公式为S n =a 11−q −a11−q⋅q n ， 所以a11−q =−1，即a 1+1−q =0.则①②⇒③；选择①③为条件，②为结论，由题意可知a n =a 1q n−1，a 1+1−q =0，∴S n =a11−q (1−q n )=q n −1，∴√S n +1=√q n ，√S n+1+1=√q n+1， ∴√S n+1+1√S +1=√q ，则①③⇒②；选择②③为条件，①为结论，由题意可知√S n +1=√S 1+1(√q)n−1=√a 1+1⋅(√q)n−1， ∴S n +1=(a 1+1)q n−1，∴S n =(a 1+1)q n−1−1.∵a 1+1−q =0，当n ≥2时，∴S n =q n −1，S n−1=q n−1−1， ∴a n =S n −S n−1=(q −1)q n−1=a 1q n−1， ∴a nan−1=q(n ≥2)，∴数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列． ∴由②③可以证明①成立．【解析】可选择①②为条件，③为结论；选择①③为条件，②为结论；选择②③为条件，①为结论，运用等比数列的定义、通项公式和求和公式，可得证明．本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：∵在多面体ABCDEF 中，四边形BCEF 是矩形，AD//BC ，BC ⊥CD ，BC =CD =1，AD =FA =FB =2， ∴AD ⊥CD ，AD ⊥CE ，∵CD ∩CE =C ，∴AD ⊥平面CDE ，∵DE ⊂平面CDE ，∴AD ⊥DE ，取AD 中点O ，连接BO ，FO ，如图，则FO ⊥AO ，BO =CD =1，AO =1，∴DE =FO =√22−12=√3，∴BO 2+FO 2=BF 2，∴BO ⊥FO ，∴CD ⊥DE ， 又CD ⊥AD ，AD ∩DE =D ，∴CD ⊥平面ADEF ， ∵AF ⊂平面ADEF ，∴FA ⊥CD.(2)以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，∵CM =2ME ，∴A(0,−1,0)，F(0,0,√3)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，M(13,1,2√33)， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23,1,2√33)，设平面MBD 的法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y =0n ⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23x +y +2√33z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,1,−√36)， 设直线AF 与平面MBD 所成角为θ， 则直线AF 与平面MBD 所成角的正弦值为： sinθ=|AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=122×√2512=√310.【解析】(1)推导出AD ⊥CD ，AD ⊥CE ，从而AD ⊥平面CDE ，AD ⊥DE ，取AD 中点O ，连接BO ，FO ，推导出BO ⊥FO ，CD ⊥DE ，由CD ⊥AD ，得CD ⊥平面ADEF ，由此能证明FA ⊥CD. (2)以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF 与平面MBD 所成角的正弦值．本题考查线面平行的判定与性质、线面角的定义及其正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)补全2×2列联表如表所示．因为K 2=100×(10×35−40×15)250×50×25×75=43<2.706，因此没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关．………………………………………(5分) (2)由题可知，X 的所有可能取值为0，5，10， 且p =20+5100=14，……………………………………………………………………………(6分)P(X =0)=C 20(14)0(34)2=916，P(X =5)=C 21(14)1(34)1=616，P(X =10)=C 22(14)2(34)0=116，……………………………………………………………(9分) 所以X 的分布列为：则E(X)=0×16+5×16+10×16=2.………………………………………………………(12分)【解析】(1)利用已知条件，补全2×2列联表．求解k 2，即可判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关．(2)X 的所有可能取值为0，5，10，求解概率，得到X 的分布列，然后求解期望． 本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．21.【答案】解：(1)依题意得F(1,0)，直线MN ：y =x −1.联立{y =x −1x 24+y 23=1，消去y 得7x 2−8x −8=0.………………………………………(2分)设M(x M ,y M )，N(x N ,y N )，则x M +x N =87,x M x N =−87， 则|MN|=√1+1√(x M +x N )2−4x M x N =√1+1×√64+4×8×77=247.………………………(5分)(2)设直线MN ：x =my +1(m ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).由题意知，x 0≠1，且x 0≠x 1，x 0≠x 2.………………………………………………(6分)设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，则k1=y1x1−x0,k2=y2x2−x0.由点B(x′,0)到直线AM，AN的距离相等，得k1+k2=0.因为M(x1,y1)，N(x2,y2)在直线x=my+1上，所以x1=my1+1，x2=my2+1，则k1+k2=y1x1−x0+y2x2−x0=x1y2+x2y1−x0(y1+y2)(x1−x0)(x2−x0)=2my1y2+(1−x0)(y1+y2)(x1−x0)(x2−x0)=0.…(9分)联立消去x，得(3m2+4)y2+6my−9=0，则y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4，则k1+k2=−18m−6m+6mx0(3m2+4)(x1−x0)(x2−x0)=−24m+6mx0(3m2+4)(x1−x0)(x2−x0)=0，即−4m+mx0=0，故x0=4或m=0(舍去).故x0的值为4.……………………(12分)【解析】(1)求出直线MN：y=x−1.代入椭圆方程，设M(x M,y M)，N(x N,y N)，利用韦达定理以及弦长公式，求解即可．(2)设直线MN：x=my+1(m≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，则k1=y1x1−x0,k2=y2x2−x0.结合韦达定理化简推出−4m+mx0=0，求解x0的值．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=ln(1+x)+xe−x，则f′(x)=11+x+e−x−xe−x，∴f′(0)=1+1=2，又f(0)=0，∴所求切线方程为y=2x；(2)f′(x)=11+x +a(1−x)e x，若a≥0，当−1<x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，则f(x)<f(0)=0，不合题意；故a<0，f′(x)=11+x (1+a(1−x2)e x)，令g(x)=1+a(1−x2)e x，注意到g(1)=1,g(0)=1+a,g′(x)=a(x−1+√2)(x−1−√2)e x，令g′(x)<0，解得−1<x<1−√2或x>1+√2，令g′(x)>0，解得1−√2<x<1+√2，∴g(x)在(−1,1−√2),(1+√2,+∞)单调递减，在(1−√2,1+√2)单调递增，且x>1时，g(x)>0，①若g(0)=1+a≥0，当x>0时，g(x)>0，f(x)单调递增，不合题意；②若g(0)=1+a<0，g(0)g(1)<0，则存在x0∈(0,1)，使得g(x0)=0，且当x∈(0,x0)时，g(x)<g(x0)=0，f(x)单调递减，则f(x0)<f(0)=0，当x>1时，f(x)>ln(1+x)+a>0，f(e−a−1)>0，则由零点存在性定理可知f(x)在(x0,e−a−1)上存在一个根，当1−√2<x<0时，g(x)<0，f(x)单调递减，f(1−√2)>f(0)=0，当−1<x<1−√2时，f(x)<ln(1+x)−ae<0，f(e ae−1)<0，则由零点存在性定理可知f(x)在(e ae−1,1−√2)上存在一个根．综上，实数a的取值范围为(−∞,−1).【解析】(1)将a=1代入，对函数f(x)求导，求出f′(0)及f(0)，由点斜式得答案；(2)对函数f(x)求导，分a≥0及a<0讨论，当a≥0时容易判断不合题意，当a<0时，令g(x)= 1+a(1−x2)，利用导数判断g(x)的性质，进而判断得到函数f(x)的单调性并结合零点存在性定理e x即可得解．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．。

东营市重点中学2025届高考数学考前最后一卷预测卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若1tan 2α=，则cos2=α( ) A ．45-B ．35C ．45D ．353．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．5B ．3C ．32D ．24．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}5．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ） A ．13B ．23C ．1D ．436．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B 等于（ ）A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<<D ．{}25x x -<<7．已知R 为实数集，{}2|10A x x =-≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则()A B =R（ ）A ．{|10}x x -<≤B ．{|01}x x <≤C ．{|10}x x -≤≤D ．{|101}x x x -≤≤=或8．已知三点A (1,0)，B (03)，C (23，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) 521C ．253D ．439．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定10．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米11．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．141512．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（ ）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。