人教版八年级数学上册同步练习:11.3 多边形及其内角和
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11.3 多边形及其内角和一、选择题(共10小题;共50分)1. 用一种正多边形铺满地面的条件是( )A. 内角是整数度数B. 边数是3的倍数C. 内角整除180∘D. 内角整除360∘2. 已知正多边形的一个内角是140∘,则这个正多边形的边数是( )A. 6B. 7C. 8D. 93. 八边形的对角线共有( )A. 8条B. 16条C. 18条D. 20条4. 阿男的父亲想购买同一种大小一样、形状相同的地板砖铺设地面.阿男根据所学的知识告诉父亲,为了能够做到无缝隙、不重叠地铺设,购买的地板砖形状不能是( )A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形5. 如果把一个五边形的边数增加1倍,那么它的对角线共增加( )A. 5条B. 10条C. 20条D. 30条6. 已知实数x,y满足∣x−4∣+√y−8=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对7. 幼儿园的小朋友打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑胶板铺活动室的地面,为了保证铺地时既无缝隙又不重叠,请你告诉他们,不可以选择的塑胶板的形状是( )A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形8. 利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖密铺地面时,在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖(ab≠0),则a+b的值为( )A. 3或4B. 4或5C. 5或6D. 49. 若正多边形的内角和是540∘,则该正多边形的一个外角为( )A. 45∘B. 60∘C. 72∘D. 90∘10. 一个多边形的内角和是720∘,这个多边形的边数是:( )A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题(共6小题;共48分)11. 如果一个多边形的每个外角都等于40∘,那么这个多边形的边数是.12. 一个多边形的对角线的条数与它的边数相等,这个多边形是边形.13. 装修大世界出售下列形状的地砖:(1)正三角形;(2)正五边形;(3)正六边形;(4)正八边形;(5)正十边形,若只选购一种地砖镶嵌地面,你有种选择.14. 如图,网格中的每个四边形都是菱形.如果格点三角形ABC的面积为S,那么按照如图所示的方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是,格点三角形A2B2C2的面积是,格点三角形A3B3C3的面积为.15. 用三块正多边形的木板密铺地面,拼在一起并相交于一点的各边完全吻合,其中两块木板的边数都是8,第三块木板的边数是.16. 如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,那么该多边形的内角和是度.三、解答题(共4小题;共52分)17. 试说明正八边形不能铺满平面的理由.18. 一个多边形的内角和等于外角和的3倍,它是几边形?19. 把图中的五边形剪去一个角,将得到几边形?此时多边形的内角和有什么变化?。
第11章《三角形》同步练习(§11.3 多边形及其内角和)班级学号姓名得分1.填空:(1)平面内,由____________________________________________________________叫做多边形.组成多边形的线段叫做______.如果一个多边形有n条边,那么这个多边形叫做______.多边形____________叫做它的内角,多边形的边与它的邻边的______组成的角叫做多边形的外角.连结多边形________________的线段叫做多边形的对角线.(2)画出多边形的任何一条边所在直线,如果整个多边形都在______,那么这个多边形称作凸多边形.(3)各个角______,各条边______的______叫做正多边形.2.(1)n边形的内角和等于____________.这是因为,从n边形的一个顶点出发,可以引______条对角线,它们将此n边形分为______个三角形.而这些三角形的内角和的总和就是此n边形的内角和,所以,此n边形的内角和等于180°×______.(2)请按下面给出的思路,进行推理填空.如图,在n边形A1A2A3…A n-1A n内任取一点O,依次连结______、______、______、……、______、______.则它们将此n边形分为______个三角形,而这些三角形的内角和的总和,减去以O为顶点的一个周角就是此多边形的内角和.所以,n边形的内角和=180°×______-( )=( )×180°.3.任何一个凸多边形的外角和等于______.它与该多边形的______无关.4.正n边形的每一个内角等于______,每一个外角等于______.5.若一个正多边形的内角和2340°,则边数为______.它的外角等于______.6.若一个多边形的每一个外角都等于40°,则它的内角和等于______.7.多边形的每个内角都等于150°,则这个多边形的边数为______,对角线条数为______.8.如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,其中一个角为65°,则另一个角为______度.9.选择题:(1)如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍,则这个多边形是( ).(A)四边形(B)五边形(C)六边形(D)七边形(2)一个多边形的边数增加,它的内角和也随着增加,而它的外角和( ).(A)随着增加(B)随着减少(C)保持不变(D)无法确定(3)若一个多边形从一个顶点,只可以引三条对角线,则它是( )边形.(A)五(B)六(C)七(D)八(4)如果一个多边形的边数增加1,那么它的内角和增加( ).(A)0°(B)90°(C)180°(D)360°(5)如果一个四边形四个内角度数之比是2∶2∶3∶5,那么这四个内角中( ).(A)只有一个直角(B)只有一个锐角(C)有两个直角(D)有两个钝角(6)在一个四边形中,如果有两个内角是直角,那么另外两个内角( ).(A)都是钝角(B)都是锐角(C)一个是锐角,一个是直角(D)互为补角10.已知:如图四边形ABCD中,∠ABC的平分线BE交CD于E,∠BCD的平分线CF交AB于F,BE、CF相交于O,∠A=124°,∠D=100°.求∠BOF的度数.11.(1)已知:如图1,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6___________.图1(2)已知:如图2,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8____________.图212.如图,在图(1)中,猜想:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______度.请说明你猜想的理由.图1如果把图1成为2环三角形,它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F;图2称为2环四边形,它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H;图2则2环四边形的内角和为_____________________________________________度;2环五边形的内角和为________________________________________________度;2环n边形的内角和为________________________________________________度.13.一张长方形的桌面,减去一个角后,求剩下的部分的多边形的内角和.14.一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°,求这个多边形的边数.15.如果一个凸多边形除了一个内角以外,其它内角的和为2570°,求这个没有计算在内的内角的度数.16.小华从点A出发向前走10米,向右转36°,然后继续向前走10米,再向右转36°,他以同样的方法继续走下去,他能回到点A吗?若能,当他走回点A时共走了多少米?若不能,写出理由.参考答案1.略.2.(1)(n -2)×180°,n -3,n -2,n -2.(2)OA 1,OA 2,OA 3……,OA n -1,OA n ,n ,n ,360°,(n -2).3.360°,边数. 4.⋅⨯-n nn oo 360,180)2( 5.十五,24°. 6.1260°. 7.12,54. 8.65°或115°.9.(1)C ,(2)C ,(3)B ,(4)C ,(5)A ,(6)D 10.68°11.(1)360°;(2)360°.12.(1)360°;(2)720°;(3)1080°;(4)2(n -2)×180°.13.180°或360°或540°.14.九.提示:设多边形的边数为n ,某一个外角为α.则(n -2)×180+α =1350. 从而1809071801350)2(αα-+=-=-n . 因为边数n 为正整数,所以α =90,n =9.15.130°.提示:设多边形的边数为n ,没有计算在内的内角为x °.(0<x <180)则(n -2)×180=2570+x . 从而⋅++=-18050142x n 因为边数n 为正整数,所以x =130.16.可以走回到A 点,共走100米.。
人教版2021年八年级上册11.3《多边形及其内角和》同步练习一.选择题1.下列多边形中,内角和最大的是()A.B.C.D.2.三角形具有稳定性,所以要使如图所示的五边形木架不变形,至少要钉上()根木条.A.1B.2C.3D.43.正多边形的一个外角等于60°,这个多边形的边数是()A.3B.6C.9D.124.如图,四边形ABCD中,∠1、∠2、∠3分别为∠A、∠B、∠C的外角,下列判断正确的是()A.∠1+∠3=∠ABC+∠D B.∠1+∠3=180°C.∠2=∠D D.∠1+∠2+∠3=360°5.如图,正五边形ABCDE中,∠CAD的度数为()A.72°B.45°C.36°D.35°6.如图,小明从A点出发,沿直线前进6米后向左转45°,再沿直线前进6米,又向左转45°…照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走路程为()米.A.60B.72C.48D.367.如果一个正多边形的一个内角与一个外角的度数之比是7:2,那么这个正多边形的边数是()A.11B.10C.9D.88.若一个多边形截去一个角后,变成十四边形,则原来的多边形的边数可能为()A.14或15B.13或14C.13或14或15D.14或15或16二.填空题9.三角形具有稳定性,要使一个四边形框架稳定不变形,至少需要钉根木条.10.如图,则x的值为.11.如果一个多边形的每个外角都是60°,那么这个多边形内角和的度数为.12.一个凸n边形的内角和是540°,则n=.13.如图,五边形ABCDE中,AB∥DE,BC⊥CD,∠1、∠2分别是与∠ABC、∠CDE相邻的外角,则∠1+∠2等于度.14.如图,小亮从A点出发前进2m,向右转15°,再前进2m,又向右转15°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了m.15.为庆祝中国共产党建党100周年,某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星(A,B,C,D,E是正五角星的五个顶点),则图中∠A的度数是度.16.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=°.三.解答题17.求出下列图形中x的值.18.已知,四边形ABCD中,∠C+∠D=200°,∠B=3∠A,求∠A和∠B的度数.19.在一个各内角都相等的多边形中,每一个内角都比与它相邻外角的3倍还大20°,求这个多边形的边数以及它的内角和.20.如图,五角星的顶点为A、B、C、D、E,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数?21.观察每个正多边形中∠α的变化情况,解答下列问题:(1)将下面的表格补充完整:正多边形边数3456 (18)∠α的度数…(2)根据规律,是否存在一个正n边形,使其中的∠α=21°?若存在,直接写出n的值;若不存在,请说明理由.22.如图①,在四边形ABCD中,∠A=x°,∠C=y°.(1)∠ABC+∠ADC=°(用含x,y的代数式表示);(2)BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线,①当x=y时,BE与DF的位置关系是;②当y=2x时,若BE与DF交于点P,且∠DPB=10°,求y的值.(3)如图②,∠ABC的平分线与∠ADC的外角平分线交于点Q,则∠Q=(用含x,y的代数式表示).参考答案一.选择题1.解:A.三角形的内角和为180°;B.四边形的内角和为360°;C.五边形的内角和为:(5﹣2)×180°=540°;D.六边形的内角和为:(6﹣2)×180°=720°;故选:D.2.解:过五边形的一个顶点作对角线,有5﹣3=2条对角线,所以至少要钉上2根木条.故选:B.3.解:∵正多边形的外角和为360°,∴此多边形的边长为:360°÷60°=6.故选:B.4.解:∵∠1+∠DAB=180°,∠3+∠BCD=180°,∴∠1+∠3+∠DAB+∠BCD=360°,∵∠ABC+∠BCD+∠D+∠DAB=360°,∴∠1+∠3=∠ABC+∠D,故A符合题意;∵∠1+∠3只有∠ABC和∠D互补时才等于180°,故B不符合题意;∵只有∠ABC和∠D互补时,∠2=∠D,故C不符合题意;∵多边形的外角和是360°,∴∠1+∠2+∠3<360°,故D不符合题意;故选:A.5.解:根据正多边形内角和公式可得,正五边形ABCDE的内角和=180°×(5﹣2)=540°,则∠BAE=∠B=∠E==108°,根据正五边形的性质,△ABC≌△AED,∴∠CAB=∠DAE=(180°﹣108°)=36°,故选:C.6.解:根据题意可知,他需要转360÷45=8次才会回到原点,所以一共走了8×6=48(米).故选:C.7.解:设这个正多边形的边数为n,由题意得:(n﹣2)×180=360,解得:n=9,故选:C.8.解:如图,n边形,A1A2A3…A n,若沿着直线A1A3截去一个角,所得到的多边形,比原来的多边形的边数少1,若沿着直线A1M截去一个角,所得到的多边形,与原来的多边形的边数相等,若沿着直线MN截去一个角,所得到的多边形,比原来的多边形的边数多1,因此将一个多边形截去一个角后,变成十四边形,则原来的多边形的边数为13或14或15,故选:C.二.填空题9.解:如图所示:要使这个木架不变形,他至少还要再钉上1个木条,故答案为:110.解:因为四边形的内角和是360°,根据题意得,x+x+90+120=360,解得,x=75,故答案为:75.11.解:∵一个多边形的每个外角都是60°,∴n=360°÷60°=6,则内角和为:(6﹣2)•180°=720°,故答案为:720°.12.解:根据题意得,(n﹣2)•180°=540°,解得n=5,故答案为:5.13.解:连接BD,∵BC⊥CD,∴∠C=90°,∴∠CBD+∠CDB=180°﹣90°=90°,∵AB∥DE,∴∠ABD+∠EDB=180°,∴∠1+∠2=(180°﹣∠ABC)+(180°﹣∠EDC)=360°﹣(∠ABC+∠EDC)=360°﹣(∠ABD+∠CBD+∠EDB+∠CDB)=360°﹣(90°+180°)=90°,故答案为:90.14.解:∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形,∴根据外角和定理可知正多边形的边数为:360°÷15°=24,则一共走了:24×2=48(m),故答案为:48.15.解:如图,∵正五角星中,五边形FGHMN是正五边形,∴∠GFN=∠FNM==108°,∴∠AFN=∠ANF=180°﹣∠GFN=180°﹣108°=72°,∴∠A=180°﹣∠AFN﹣∠ANF=180°﹣72°﹣72°=36°.故答案是:36.16.解:如图,设线段BD,BE分别与线段AC交于点N,M.∵∠AMB=∠A+∠E,∠DNC=∠B+∠AMB,∠DNC+∠D+∠C=180°,∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C=180°,故答案为:180.三.解答题17.解:(1)由三角形的外角性质得,x+(x+10)=x+70,即2x+10=x+70,解得,x=60.(2)根据四边形的内角和为360°得,x+(x+10)+90+60=360,解得,x=100.18.解:∵四边形内角和360°,∠C+∠D=200°,∴∠B+∠A=360°﹣200°=160°,∵∠B=3∠A,∴3∠A+∠A=160°,∴∠A=40°,∴∠B=120°.答:∠A和∠B的度数分别是40°和120°.19.解:设多边形的一个外角为α,则与其相邻的内角等于3α+20°,由题意,得(3α+20°)+α=180°,解得α=40°,即多边形的每个外角为40°,又∵多边形的外角和为360°,∴多边形的外角个数==9,∴多边形的边数=9,∴多边形的内角和=(9﹣2)×180°=1260°.20.解:如图,由三角形的外角性质得,∠AGE=∠A+∠C,∠DFE=∠B+∠D,∵∠AGE+∠DFE+∠E=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.21.解:(1)填表如下:正多边形的边数3456 (18)∠α的度数60°45°36°30°……10°故答案为:60°,45°,36°,30°,10°;(2)不存在,理由如下:假设存在n边形使得∠α=21°,得∠α=21°=()°,解得:n=8,又n是正整数,所以不存在正n边形使得∠α=21°.22.解:(1)在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=360°﹣∠A﹣∠DCB,∵∠A=x°,∠DCB=y°,∴∠ABC+∠ADC=360﹣x﹣y=(360﹣x﹣y)°,故答案为:(360﹣x﹣y),(2)①如图①中,连接AC,过点C作CG∥DF,则有:∠MDC═∠DAC+∠DCA,∠NBC═∠CAB+∠CBA,∵BE、DF分别为∠NBC、∠MDC的角平分线,∠DAB═∠DCB═x°═y°,∴∠FDC+∠CBE═(∠MDC+∠NBC)═(∠DAC+∠DCA+∠CAB+∠CBA)═(∠DAB+DCB)═x°,∴∠FDC═∠GCD,∵∠DCG+∠BCG═∠DCB═x°,∠FDC+∠CBE═x°,∴∠CBE═∠BCG,∴CG∥BE,∴BE∥DF,故答案为:BE∥DF.②由(1)可知:∠ABC+∠ADC=(360﹣x﹣y)°,∵∠ADC+∠MDC=180°,∠ABC+∠NBC=180°,∴∠NBC+∠MDC=(x+y)°,∵BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线,∴∠PBC=∠NBC,∠PDC=∠MDC,∴∠PBC+∠PDC=[(x+y)]°,∵∠BCD=∠PDC+∠PBC+∠P,∴y=10+(x+y),即y﹣x=20,∵y=2x,∴x=20°,y=40°.(3)如图②中,由题意:∠DNQ=∠ANB=180°﹣x°﹣∠ABC,∠QDN=(180°﹣∠ADC),∴∠Q=180°﹣∠DNQ﹣∠QDN=180°﹣(180°﹣x°﹣∠ABC)﹣(180°﹣∠ADC),=x°+(∠ABC+∠ADC)﹣90°,=x°+180°﹣(x+y)°﹣90°,=[90+(x﹣y)]°,故答案为:[90+(x﹣y)]°.。
人教新版八年级上学期《11.3 多边形及其内角和》同步练习卷一.解答题(共50小题)1.小明和小亮分别利用图①、②的不同方法求出了五边形的内角和都是540度.请你考虑在图③中再用另外一种方法求五边形的内角和.并写出求解过程.2.提出问题:如图①,在四边形ABCD中,P是AD边上任意一点,△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系?探究发现:为了解决这个问题,我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手:(1)当AP=AD时(如图②):∵AP=AD,△ABP和△ABD的高相等,∴S△ABP=S△ABD.∵PD=AD﹣AP=AD,△CDP和△CDA的高相等,∴S△CDP=S△CDA.∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA=S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)=S△DBC+S△ABC.(2)当AP=AD时,探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系,写出求解过程;(3)当AP=AD时,S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为:;(4)一般地,当AP=AD(n表示正整数)时,探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系,写出求解过程;问题解决:当AP=AD(0≤≤1)时,S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为:.3.已知正n边形的周长为60,边长为a(1)当n=3时,请直接写出a的值;(2)把正n边形的周长与边数同时增加7后,假设得到的仍是正多边形,它的边数为n+7,周长为67,边长为b.有人分别取n等于3,20,120,再求出相应的a与b,然后断言:“无论n取任何大于2的正整数,a与b一定不相等.”你认为这种说法对吗?若不对,请求出不符合这一说法的n的值.4.已知n边形的内角和θ=(n﹣2)×180°.(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.5.如图,在五边形ABCDE中满足AB∥CD,求图形中的x的值.6.一个n边形的内角和比四边形的外角和大540°,求n.7.如图,在四边形ABCD中,∠DAB,∠CBA的平分线交于点E,若∠AEB=105°,求∠C+∠D的度数.8.一个凸多边形,除了一个内角外,其余各内角的和为2750°,求这个多边形的边数.9.如图,五边形ABCDE的内角都相等,且AB=BC,AC=AD,求∠CAD的度数.10.在各个内角都相等的多边形中若外角度数等于每个内角度数的,求这个多边形的每个内角度数以及多边形的边数.11.如图:在六边形ABCDEF中,AF∥CD,AB∥DE,且∠BAF=100°,∠BCD=120°,求∠ABC和∠D的度数.12.一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°,求这个正多边形的边数及内角和.13.一个多边形的内角和与外角和的和恰好是十二边形的内角和,求这个多边形的边数.14.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D,点E为BC延长线上一点,连接AE.(1)如图1,求证:AD∥BC(2)若∠DAE和∠DCE的角平分线相交于点F,连接AC.①如图2,若∠BAE=70°,求∠F的度数②如图3,若∠BAC=∠DAE,∠AGC=2∠CAE,则∠CAE的度数为(直接写出结果)15.(1)已知三角形三个内角的度数比为1:2:3,求这个三角形三个外角的度数.(2)一个正多边形的内角和为1800°,求这个多边形的边数.16.如图所示,在四边形ABCD中,点E在BC上,AB∥DE,∠B=78°,∠C=60°,求∠EDC的度数.17.(1)已知一个多边形的內角和是它的外角和的3倍,求这个多边形的边数.(2)如图,点F是△ABC的边BC廷长线上一点,DF⊥AB,∠A=30°,∠F=40°,求∠ACF的度数.18.如图,五角星的顶点为A、B、C、D、E,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数?19.已知一个多边形的内角和720°,求这个多边形的边数.20.如图,四边形ABCD中,BE、CF分别是∠B、∠D的平分线.且∠A=∠C=90°,试猜想BE与DF有何位置关系?请说明理由.21.如图,请猜想∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数,并说明你的理由.22.如图,在四边形ABCD中,∠A=45°,直线l与边AB,AD分别相交于点M,N,则∠1+∠2度数是多少?23.如图1,已知∠ACD是△ABC的一个外角,我们容易证明∠ACD=∠A+∠B,即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么,三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢?尝试探究:(1)如图2,∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角,则∠DBC+∠ECB∠A+180°(横线上填>、<或=)初步应用:(2)如图3,在△ABC纸片中剪去△CED,得到四边形ABDE,∠1=135°,则∠2﹣∠C =.(3)解决问题:如图4,在△ABC中,BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB,∠P与∠A有何数量关系?请利用上面的结论直接写出答案.(4)如图5,在四边形ABCD中,BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB,请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系.24.用两块全等的含有30°的直角三角板拼成一个四边形,画出二个可能的图形并写出各个内角的度数(四边形的各个内角的度数若相同视为同一个).25.已知n边形的内角和θ=(n﹣2)×180°.(1)甲同学说,θ能取900°;而乙同学说,θ也能取800°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了540°,用列方程的方法确定x.26.(1)如图①,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E是线段CD上一点.求证:∠AEB=∠DAE+∠CBE;(2)如图②,若AE平分∠DAC,∠CAB=∠CBA.①求证:∠ABE+∠AEB=90°;②如图③,若∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F,与AE交于点P,且∠F=65°,求∠BCD的度数.27.在四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80°(1)如图1,若∠B=∠C,求∠C的度数;(2)如图2,若∠ABC的平分线BE交DC于点E,且BE∥AD,求∠C的度数.28.如图,六边形ABCDEF的各个内角都相等,且∠DAB=60°.(1)求∠E的度数.(2)求∠ADE的度数.(3)判断AB与DE的位置关系,并说明理由.29.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠BAD的平分线AG交BC于点G.(1)求证:∠BAG=∠BGA;(2)如图2,∠BCD的平分线CE交AD于点E,与射线GA相交于点F,∠B=50°.①若点E在线段AD上,求∠AFC的度数;②若点E在DA的延长线上,直接写出∠AFC的度数;(3)如图3,点P在线段AG上,∠ABP=2∠PBG,CH∥AG,在直线AG上取一点M,使∠PBM=∠DCH,请直接写出∠ABM:∠PBM的值.30.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,连接BD,点E在BC边上,点F在DC边上,且∠1=∠2.(1)求证:EF∥BD;(2)若DB平分∠ABC,∠A=130°,∠C=70°,求∠CFE的度数.31.在各个内角都相等的多边形中,一个外角等于一个内角的,求这个多边形每一个内角的度数和它的边数.32.小月和小东在一起探究有关“多边形内角和”的问题,两人互相出题考对方,小月给小东出了这样的一个题目:一个四边形的各个内角的度数之比为1:2:3:6,求各个内角的度数.小东想了想,说:“这道题目有问题”(1)请你指出问题出在哪里;(2)他们经过研究后,改变题目中的一个数,使这道题没有问题,请你也尝试一下,换一个合适的数,使这道题目没有问题,并进行解答.33.如图1,点E在四边形ABCD的边BA的延长线上,CE与AD交于点F,∠DCE=∠AEF,∠B=∠D.(1)求证:AD∥BC;(2)如图2,若点P在线段BC上,点Q在线段BP上,且∠FQP=∠QFP,FM平分∠EFP,试探究∠MFQ与∠DFC的数量关系,并说明理由.34.已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°.(1)如图1,若BE平分∠ABC,DF平分∠ADC的邻补角,请写出BE与DF的位置关系,并证明.(2)如图2,若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角,判断DE与BF位置关系并证明.(3)如图3,若BE、DE分别五等分∠ABC、∠ADC的邻补角(即∠CDE=∠CDN,∠CBE=∠CBM),则∠E=.35.已知:在四边形ABCD中,连接AC、BD,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:∠ABC=∠ADC.36.已知在一个十边形中,其中九个内角的和是1320°,求这个十边形另一个内角的度数.37.如图,在四边形ABCD中,∠DAB、∠CBA的平分线交于点E,试说明:∠AEB=(∠C+∠D).38.为了表示几种三角形之间的关系,画了如图结构图:请你采用适当的方式表示正方形、平行四边形、四边形、菱形、矩形之间的关系.39.如果一个多边形的各边都相等,且各内角也都相等,那么这个多边形就叫做正多边形,如图,就是一组正多边形,观察每个正多边形中∠α的变化情况,解答下列问题.(1)将下面的表格补充完整:(2)根据规律,是否存在一个正n边形,使其中的∠α=20°?若存在,直接写出n的值;若不存在,请说明理由.(3)根据规律,是否存在一个正n边形,使其中的∠α=21°?若存在,直接写出n的值;若不存在,请说明理由.40.李师傅要为某单位修建正多边形花台,已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多12°,请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度数和它的边数.41.如图1,已知∠A+∠E+∠F+∠C=540°.(1)试判断直线AB与CD的位置关系,并说明理由(2)如图2,∠P AB=3∠P AQ,∠PCD=3∠PCQ,试判断∠APC与∠AQC的数量关系,并说明理由.42.如图,从四边形ABCD的纸片中只剪一刀,剪去一个三角形,剩余的部分是几边形,请画出示意图,并在图形下方写上剩余部分多边形的内角和.43.一个多边形的外角和是内角和的,求这个多边形的边数.44.已知,一个多边形的每一个外角都是它相邻的内角的.试求出:(1)这个多边形的每一个外角的度数;(2)求这个多边形的内角和.45.如图,在四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,CE平分∠BCD交AB于点E,连结DE.(1)若∠A=50°,∠B=85°,求∠BEC的度数;(2)若∠A=∠1,求证:∠CDE=∠DCE.46.如图,一张四边形纸片ABCD,AB∥CD,AD∥BC,把纸片的一角沿折痕CN折叠,使BC与DC边重合,B′是点B的对应点,过点C作CM⊥CN,(1)证明:AD∥NB′;(2)若∠B=64°,试求∠BCM的度数.47.两条直线相交所形成的四个角中,有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角,如图所示,∠AOD与∠BOD就是一对邻补角.(1)多边形的一个外角与其相邻的内角就是一对邻补角,若某多边形的一个外角的度数为x(度),则与该外角相邻的内角度数可用x的代数式表示为;(2)如果设题(1)中的多边形的边数为x,且该外角的度数与其所有不相邻内角的度数之和为460°,则可列二元一次方程为;(3)若某多边形的一个外角的度数与其所有不相邻内角的度数之和为1900°,求这个外角的度数和此多边形的边数.48.如图,在四边形ABCD,AD∥BC,将△ADC沿对角线AC折叠,使得点D落在D′上,AD′与BC交于点E,若∠AEB=70°,求∠CAD的度数.49.解答题:(1)如图①,△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点,请探究∠P与∠A的关系,并说明理由.(2)如图②③,四边形ABCD中,设∠A=α,∠D=β,∠P为四边形ABCD的内角∠ABC 与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角.请利用(1)中的结论完成下列问题:①如图②,若α+β>180°,求∠P的度数.(用α,β的代数式表示)②如图③,若α+β<180°,请在图③中画出∠P,并直接写出∠P=.(用α,β的代数式表示)(作图2分,写出结果)50.如图,已知四边形ABCD中,∠D=100°,AC平分∠BCD,且∠ACB=40°,∠BAC =70°.(1)AD与BC平行吗?试写出推理过程;(2)求∠DAC和∠EAD的度数.人教新版八年级上学期《11.3 多边形及其内角和》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一.解答题(共50小题)1.小明和小亮分别利用图①、②的不同方法求出了五边形的内角和都是540度.请你考虑在图③中再用另外一种方法求五边形的内角和.并写出求解过程.【分析】图①、②的基本思路是把所求的多边形的问题转化为三角形的问题,利用三角形的内角和定理即可解决问题.【解答】解:连接五边形的一对不相邻的顶点,得到一个三角形和一个四边形,三角形的内角和是180度,四边形的内角和是360度,因而五边形的内角和是180+360=540度.【点评】正确理解图①、②的基本解题思路,把五边形内角和问题转化为熟悉的三角形的内角和的问题.2.提出问题:如图①,在四边形ABCD中,P是AD边上任意一点,△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系?探究发现:为了解决这个问题,我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手:(1)当AP=AD时(如图②):∵AP=AD,△ABP和△ABD的高相等,∴S△ABP=S△ABD.∵PD=AD﹣AP=AD,△CDP和△CDA的高相等,∴S△CDP=S△CDA.∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA=S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)=S△DBC+S△ABC.(2)当AP=AD时,探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系,写出求解过程;(3)当AP=AD时,S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为:S△PBC=S△DBC+S;△ABC(4)一般地,当AP=AD(n表示正整数)时,探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系,写出求解过程;问题解决:当AP=AD(0≤≤1)时,S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为:S△PBC=S△DBC+S△ABC..【分析】(2)仿照(1)的方法,只需把换为;(3)注意由(1)(2)得到一定的规律;(4)综合(1)(2)(3)得到面积和线段比值之间的一般关系;(5)利用(4),得到更普遍的规律.【解答】解:(2)∵AP=AD,△ABP和△ABD的高相等,∴S△ABP=S△ABD.又∵PD=AD﹣AP=AD,△CDP和△CDA的高相等,∴S△CDP=S△CDA.∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA=S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)=S△DBC+S△ABC.∴S△PBC=S△DBC+S△ABC(3)S△PBC=S△DBC+S△ABC;(4)S△PBC=S△DBC+S△ABC;∵AP=AD,△ABP和△ABD的高相等,∴S△ABP=S△ABD.又∵PD=AD﹣AP=AD,△CDP和△CDA的高相等,∴S△CDP=S△CDA∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA=S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)=S△DBC+S△ABC.∴S△PBC=S△DBC+S△ABC问题解决:S△PBC=S△DBC+S△ABC.【点评】注意总结相应规律,类似问题通常采用类比的方法求解.3.已知正n边形的周长为60,边长为a(1)当n=3时,请直接写出a的值;(2)把正n边形的周长与边数同时增加7后,假设得到的仍是正多边形,它的边数为n+7,周长为67,边长为b.有人分别取n等于3,20,120,再求出相应的a与b,然后断言:“无论n取任何大于2的正整数,a与b一定不相等.”你认为这种说法对吗?若不对,请求出不符合这一说法的n的值.【分析】(1)边长=周长÷边数;(2)分别表示出a和b的代数式,让其相等,看是否有相应的值.【解答】解:(1)a=20;(2)此说法不正确.理由如下:尽管当n=3、20、120时,a>b或a<b,但可令a=b,得,即.∴60n+420=67n,解得n=60,经检验n=60是方程的根.∴当n=60时,a=b,即不符合这一说法的n的值为60.【点评】读懂题意,找到相应量的等量关系是解决问题的关键.4.已知n边形的内角和θ=(n﹣2)×180°.(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.【分析】(1)根据多边形内角和公式可得n边形的内角和是180°的倍数,依此即可判断,再根据多边形内角和公式即可求出边数n;(2)根据等量关系:若n边形变为(n+x)边形,内角和增加了360°,依此列出方程,解方程即可确定x.【解答】解:(1)∵360°÷180°=2,630°÷180°=3…90°,∴甲的说法对,乙的说法不对,360°÷180°+2=2+2=4.答:甲同学说的边数n是4;(2)依题意有(n+x﹣2)×180°﹣(n﹣2)×180°=360°,解得x=2.故x的值是2.【点评】考查了多边形内角与外角,此题需要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系,构建方程即可求解.5.如图,在五边形ABCDE中满足AB∥CD,求图形中的x的值.【分析】根据平行线的性质先求∠B的度数,再根据五边形的内角和公式求x的值.【解答】解:∵AB∥CD,∠C=60°,∴∠B=180°﹣60°=120°,∴(5﹣2)×180°=x+150°+125°+60°+120°,∴x=85°.【点评】本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和,属于基础题.6.一个n边形的内角和比四边形的外角和大540°,求n.【分析】要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系,构建方程即可求解.【解答】解:设多边形的边数为n,可得(n﹣2)•180°=360°+540°,解得n=7.【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想.关键是记住内角和的公式与外角和的特征.7.如图,在四边形ABCD中,∠DAB,∠CBA的平分线交于点E,若∠AEB=105°,求∠C+∠D的度数.【分析】先根据角平分线得:∠DAB=2∠EAB,∠CBA=2∠EBA,之后运用三角形内角和定理和四边形内角和定理进行变形可得结论.【解答】解:∵∠DAB,∠CBA的平分线交于点E,∴∠DAB=2∠EAB,∠CBA=2∠EBA,在△EAB中,∠EAB+∠EBA=180°﹣∠AEB=180°﹣105°=75°,∴∠DAB+∠CBA=2(∠EAB+∠EBA)=150°,∴∠C+∠D=360°﹣(∠DAB+∠CBA)=360°﹣150°=210°.【点评】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和及四边形内角和,熟练掌握多边形内角和是关键.8.一个凸多边形,除了一个内角外,其余各内角的和为2750°,求这个多边形的边数.【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°,用2750除以180,商就是n﹣2,余数就是加上的那个外角的度数,进而可以算出这个多边形的边数.【解答】解:2750÷180=15…50,则边数n=18,这个内角的度数是:180°﹣50°=130°.故这个内角的大小是130°,多边形的边数是18.【点评】本题考查多边形内角和公式的灵活运用;关键是找到相应度数的等量关系.9.如图,五边形ABCDE的内角都相等,且AB=BC,AC=AD,求∠CAD的度数.【分析】由五边形ABCDE的内角都相等,先求出五边形的每个内角度数,再求出∠1=∠2=∠3=∠4=36°,从而求出∠CAD=108°﹣72°=36度.【解答】证明:∵五边形ABCDE的内角都相等,∴∠BAE=∠B=∠BCD=∠CDE=∠E=(5﹣2)×180°÷5=108°,∵AB=AC,∴∠1=∠2=(180°﹣108°)÷2=36°,∴∠ACD=∠BCD﹣∠2=72°,∵AC=AD,∴∠ADC=∠ACD=72°,∴∠CAD=180°﹣∠ACD﹣∠ADC=36°.【点评】本题主要考查了正五边形的内角和以及正五边形的有关性质.解此题的关键是能够求出∠1=∠2=∠3=∠4=36°,和正五边形的每个内角是108度.10.在各个内角都相等的多边形中若外角度数等于每个内角度数的,求这个多边形的每个内角度数以及多边形的边数.【分析】已知关系为:一个外角=一个内角×,隐含关系为:一个外角+一个内角=180°,由此即可解决问题.【解答】解:设这个多边形的每一个内角为x°,那么180﹣x=x,解得x=140,那么边数为360÷(180﹣140)=9.答:这个多边形的每一个内角的度数为140°,它的边数为9.【点评】本题考查了多边形内角与外角的关系,用到的知识点为:各个内角相等的多边形的边数可利用外角来求,边数=360÷一个外角的度数.11.如图:在六边形ABCDEF中,AF∥CD,AB∥DE,且∠BAF=100°,∠BCD=120°,求∠ABC和∠D的度数.【分析】连接AD,利用平行线的性质说明∠BAF与∠CDE的关系,从而求出∠CDE的度数.利用四边形的内角和是360°,求出∠ABC.【解答】解:连接AD∵AF∥CD,AB∥DE,∴∠F AD=∠ADC,∠BAD=∠ADE,∴∠BAF=∠CDE=100°∵∠ABC+∠DCB+∠BAD+∠ADC=360°,又∵∠F AB=∠F AD+∠BAD=∠ADC+∠BAD=100°,∴∠ABC=360°﹣120°﹣100°=140°.【点评】本题考查了平行线的性质,多边形的内角和定理.解决本题亦可延长AB、DC,利用平行和三角形的内角和求解.12.一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°,求这个正多边形的边数及内角和.【分析】设这个正多边的外角为x,则内角为5x﹣60,根据内角和外角互补可得x+5x﹣60=180,解可得x的值,再利用外角和360°÷外角度数可得边数,根据内角和公式:(n ﹣2)×180°计算内角和即可.【解答】解:设这个正多边的外角为x,则内角为5x﹣60°,由题意得:x+5x﹣60=180,解得:x=40,360°÷40°=9.(9﹣2)×180°=1260°答:这个正多边形的边数是9,内角和是1260°.【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角,关键是计算出外角的度数,进而得到边数.13.一个多边形的内角和与外角和的和恰好是十二边形的内角和,求这个多边形的边数.【分析】设这个多边形的边数为n,根据题意得出方程(n﹣2)×180°+360°=(12﹣2)×180°,求出方程的解即可.【解答】解:设这个多边形的边数为n,则(n﹣2)×180°+360°=(12﹣2)×180°,解得:n=10,答:这个多边形的边数为10.【点评】本题考查了多边形的内角与外角,能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键,注意:边数为n(n≥3)的多边形的内角和=(n﹣2)×180°,多边形的外角和=360°.14.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D,点E为BC延长线上一点,连接AE.(1)如图1,求证:AD∥BC(2)若∠DAE和∠DCE的角平分线相交于点F,连接AC.①如图2,若∠BAE=70°,求∠F的度数②如图3,若∠BAC=∠DAE,∠AGC=2∠CAE,则∠CAE的度数为36°(直接写出结果)【分析】(1)根据平行线的性质得:∠B=∠DCE,由于∠B=∠D,得∠D=∠DCE,根据平行线的判定,可得结论;(2)①如图,设∠DAF=∠EAF=α,∠DCF=∠ECF=β,根据平行线的性质列等式可得结论;②如图3,设∠CAG=x,∠DCG=z,∠BAC=y,△AHD中,x+2y+2z=180①,△ACG中,x+2x+y+z=180,变形后相减可得结论.【解答】解:(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠DCE,而∠B=∠D,∴∠D=∠DCE,∴AD∥BC;(2)①如下图,设∠DAF=∠EAF=α,∠DCF=∠ECF=β,∵AD∥BC,∴∠D=∠DCE=2β,∵AB∥CD,∴∠BAE+∠EAD+∠D=180°,∵∠BAE=70°∴70+2α+2β=180整理得:α+β=55°,∵∠DHF=∠DAH+∠D=∠DCF+∠F即:α+2β=∠F+β,∴∠F=α+β=55°;②如图3,设∠CAG=x,∠DCG=z,∠BAC=y,则∠EAD=y,∠D=∠DCE=2z,∠AGC=2∠CAE=2x,∵AB∥CD,∴∠AHD=∠BAH=x+y,∠ACD=∠BAC=y,△AHD中,x+2y+2z=180①,△ACG中,x+2x+y+z=180,3x+y+z=180,6x+2y+2z=360②,②﹣①得:5x=180,x=36°,∴∠CAE=36°.【点评】本题考查了多边形的外角和内角,能熟记三角形的外角性质和三角形的内角和定理是解此题的关键,注意:三角形的内角和等于180°,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.15.(1)已知三角形三个内角的度数比为1:2:3,求这个三角形三个外角的度数.(2)一个正多边形的内角和为1800°,求这个多边形的边数.【分析】(1)先根据三个内角度数的比设未知数,根据三角形的内角和列一元一次方程求出x的值,再求其对应的三个外角的度数并求比值即可.(2)根据多边形的内角和公式列式求解即可.【解答】解:(1)设此三角形三个内角的比为x,2x,3x,则x+2x+3x=180,6x=180,x=30,则三个内角分别为30°、60°、90°,相应的三个外角分别为150°、120°、90°.(2)设这个多边形的边数是n,则(n﹣2)•180°=1800°,解得n=12.故这个多边形的边数为12.【点评】考查了三角形的内角和定理和外角的性质,明确三角形的内角和为180°,并熟知三角形的一个内角与其相邻的外角和为180°.同时考查了多边形的内角和公式,熟记公式是解题的关键.16.如图所示,在四边形ABCD中,点E在BC上,AB∥DE,∠B=78°,∠C=60°,求∠EDC的度数.【分析】由AB∥DE可得∠B=∠DEC=78°,已知∠C=60°,根据三角形内角和定理即可得∠EDC的度数.【解答】解:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEC=78°,∵∠C=60°,∴∠EDC=180°﹣∠C﹣∠DEC=180°﹣78°﹣60°=42°.故∠EDC的度数为42°.【点评】本题主要考查了平行线的性质及三角形内角和定理,比较简单.17.(1)已知一个多边形的內角和是它的外角和的3倍,求这个多边形的边数.(2)如图,点F是△ABC的边BC廷长线上一点,DF⊥AB,∠A=30°,∠F=40°,求∠ACF的度数.【分析】(1)多边形的外角和是360°,内角和是它的外角和的3倍,则内角和是3×360=1080度.n边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,设这个多边形的边数是n,就得到方程,从而求出边数.(2)在直角三角形DFB中,根据三角形内角和定理,求得∠B的度数;再在△ABC中,根据内角与外角的性质求∠ACF的度数即可.【解答】解:(1)设这个多边形的边数为n,∵n边形的内角和为(n﹣2)•180°,多边形的外角和为360°,∴(n﹣2)•180°=360°×3,解得n=8.∴这个多边形的边数为8.(2)在△DFB中,∵DF⊥AB,∴∠FDB=90°,∵∠F=40°,∠FDB+∠F+∠B=180°,∴∠B=50°.在△ABC中,∵∠A=30°,∠B=50°,∴∠ACF=30°+50°=80°.【点评】考查了多边形内角与外角,根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法,需要熟记.同时考查了三角形的内角和定理,以及三角形的外角等于不相邻的两个内角的和.18.如图,五角星的顶点为A、B、C、D、E,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数?【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠A+∠C,∠2=∠B+∠D,然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.【解答】解:如图,由三角形的外角性质得,∠1=∠A+∠C,∠2=∠B+∠D,∵∠1+∠2+∠E=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,三角形的内角和定理,熟记性质并准确识图是解题的关键.19.已知一个多边形的内角和720°,求这个多边形的边数.【分析】设这个多边形的边数为n,根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°,然后解方程即可.【解答】解:设这个多边形的边数是n,依题意得(n﹣2)×180°=720°,n﹣2=4,n=6.答:这个多边形的边数是6.【点评】本题考查了多边形的内角和定理,关键是根据n边形的内角和为(n﹣2)×180°解答.20.如图,四边形ABCD中,BE、CF分别是∠B、∠D的平分线.且∠A=∠C=90°,试猜想BE与DF有何位置关系?请说明理由.【分析】根据多边形的内角和求出∠ABC+∠ADC=180°,根据角平分线定义求出∠1+∠2=90°,求出∠3+∠2=90°,推出∠1=∠3,根据平行线的判定得出即可.【解答】解:BE∥DF,理由是:∵四边形内角和等于360°,∠A=∠C=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°,∵BE、CF分别是∠B、∠D的平分线,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ADC,∴∠1+∠2=90°,∵在Rt△DCF中,∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3,∴BE∥DF.【点评】本题考查了角平分线定义、多边形的内角与外角、平行线的判定等知识点,能求出∠1=∠3是解此题的关键.21.如图,请猜想∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数,并说明你的理由.【分析】根据三角形外角的性质,可得∠1与∠A、∠B的关系,∠2与∠C、∠D的关系,∠3与∠E、∠F的关系,再根据多边形的外角和公式,可得答案.【解答】解:如图:根据三角形外角可得:∠1=∠A+∠B,∠2=∠C+∠D,∠3=∠E+∠F,∵∠1+∠2+∠3=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°【点评】此题考查多边形的内角与外角,掌握三角形的外角和定理是解决问题的关键.22.如图,在四边形ABCD中,∠A=45°,直线l与边AB,AD分别相交于点M,N,则∠1+∠2度数是多少?【分析】先根据四边形的内角和定理求出∠B+∠C+∠D,然后根据五边形的内角和定理列式计算即可得解.【解答】解:∵∠A=45°,∴∠B+∠C+∠D=360°﹣∠A=360°﹣45°=315°,∴∠1+∠2+∠B+∠C+∠D=(5﹣2)•180°,解得∠1+∠2=225°.【点评】本题考查了多边形的内角和公式,熟记多边形的内角和为(n﹣2)•180°是解题的关键,整体思想的利用也很重要.23.如图1,已知∠ACD是△ABC的一个外角,我们容易证明∠ACD=∠A+∠B,即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么,三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢?尝试探究:(1)如图2,∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角,则∠DBC+∠ECB=∠A+180°(横线上填>、<或=)初步应用:(2)如图3,在△ABC纸片中剪去△CED,得到四边形ABDE,∠1=135°,则∠2﹣∠C =45°.(3)解决问题:如图4,在△ABC中,BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB,∠P与∠A 有何数量关系?请利用上面的结论直接写出答案∠P=90°﹣∠A.(4)如图5,在四边形ABCD中,BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB,请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系.【分析】(1)根据三角形外角的性质得:∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC,两式相加可得结论;(2)利用(1)的结论:∵∠2+∠1﹣∠C=180°,将∠1=135°代入可得结论;(3)根据角平分线的定义得:∠CBP=∠DBC,∠BCP=∠ECB,根据三角形内角和可得:∠P的式子,代入(1)中得的结论:∠DBC+∠ECB=180°+∠A,可得:∠P=90°﹣∠A;(4)根据平角的定义得:∠EBC=180°﹣∠1,∠FCB=180°﹣∠2,由角平分线得:∠3=∠EBC=90°﹣∠1,∠4=∠FCB=90°﹣∠2,相加可得:∠3+∠4=180°﹣(∠1+∠2),再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论.【解答】解:(1)∠DBC+∠ECB﹣∠A=180°,理由是:∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC,∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A,∴∠DBC+∠ECB=∠A+180°.故答案为:=.(2)∠2﹣∠C=45°.理由是:∵∠2+∠1﹣∠C=180°,∠1=135°,∴∠2﹣∠C+135°=180°,∴∠2﹣∠C=45°.故答案为:45°;(3)∠P=90°﹣∠A,理由是:∵BP平分∠DBC,CP平分∠ECB,∴∠CBP=∠DBC,∠BCP=∠ECB,∵△BPC中,∠P=180°﹣∠CBP﹣∠BCP=180°﹣(∠DBC+∠ECB),∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A,∴∠P=180°﹣(180°+∠A)=90°﹣∠A.故答案为:∠P=90°﹣∠A,(4)∠P=180°﹣(∠A+∠D).理由是:∵∠EBC=180°﹣∠1,∠FCB=180°﹣∠2,∵BP平分∠EBC,CP平分∠FCB,∴∠3=∠EBC=90°﹣∠1,∠4=∠FCB=90°﹣∠2,∴∠3+∠4=180°﹣(∠1+∠2),∵四边形ABCD中,∠1+∠2=360°﹣(∠A+∠D),又∵△PBC中,∠P=180°﹣(∠3+∠4)=(∠1+∠2),∴∠P=×[360°﹣(∠A+∠D)]=180°﹣(∠A+∠D).【点评】本题是四边形和三角形的综合问题,考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识,难度适中,熟练掌握三角形外角的性质是关键.24.用两块全等的含有30°的直角三角板拼成一个四边形,画出二个可能的图形并写出各个内角的度数(四边形的各个内角的度数若相同视为同一个).。
多边形及其内角和同步练习一.选择题1.正多边形的每个内角为135度,则多边形为()A.4B.6C.8D.102.若一个多边形减去一个角后,内角和为720°,则原多边形不可能是几边形()A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形3.一个四边形的四个内角度数之比为1:2:4:5,则这个四边形中,最小的内角为()A.30°B.40°C.50°D.60°4.一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的2倍,则该正多边形的边数是()A.3B.4C.6D.125.如图,已知一个五边形ABCDE纸片,一条直线将该纸片分割成两个多边形.若这两个多边形内角和分别为m和n,则m+n不可能是()A.540°B.720°C.900°D.1080°6.如图,在五边形ABCDE中,AE∥BC,延长DE至点F,连接BE,若∥A=∥C,∥1=∥3,∥AEF=2∥2,则下列结论正确的是()∥∥1=∥2 ∥AB∥CD ∥∥AED=∥A ∥CD∥DEA.1个B.2个D.4个7.如图,正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′,旋转角为α (0°<α<90°),若DE∥B′C′,则∥α为()A.36°B.54°C.60°D.72°8.如图,在四边形ABCD中,∥DAB的角平分线与∥ABC的外角平分线相交于点P,且∥D+∥C=210°,则∥P=()A.10°B.15°C.30°D.40°9.设BF交AC于点P,AE交DF于点Q.若∥APB=126°,∥AQF=100°,则∥A-∥F=()A.60°B.46°C.26°D.45°10.如图,已知四边形ABCD中,∥C=90°,若沿图中虚线剪去∥C,则∥1+∥2等于()B.135°C.270°D.315°11.如图,在六边形ABCDEF中,若∥A+∥B+∥C+∥D=500°,∥DEF与∥AFE的平分线交于点G,则∥G等于()A.55°B.65°C.70°D.80°12.如图,A,B,C,D,E,F是平面上的6个点,则∥A+∥B+∥C+∥D+∥E+∥F的度数是()A.180°B.360°C.540°D.720°二.填空题13.八边形的内角和为;一个多边形的每个内角都是120°,则它是边形.14.一个多边形,除了一个内角外,其余各角的和为2750°,则内角和是.15.如图,已知在四边形ABCD中,∥A+∥C=135°,∥ADE=125°,则∥B= .16.如图所示,若∥DBE=78°,则∥A+∥C+∥D+∥E= °.17.如图所示,∥A+∥B+∥C+∥D+∥E+∥F+∥G+∥H= °.三.解答题18.(1)已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多30°,求这个多边形的边数;(2)一个多边形的外角和是内角和的七分之二,求这个多边形的边数.19.如图,在四边形ABCD中,BD∥CD,EF∥CD,且∥1=∥2.(1)求证:AD∥BC;(2)若BD平分∥ABC,∥A=130°,求∥C的度数.20.如图,四边形ABCD中,∥BAD=106°,∥BCD=64°,点M,N分别在AB,BC上,将∥BMN沿MN翻折得∥FMN,若MF∥AD,FN∥DC.求(1)∥F的度数;(2)∥D的度数.21.将纸片∥ABC沿DE折叠使点A落在点A'处【感知】如图∥,点A落在四边形BCDE的边BE上,则∥A与∥1之间的数量关系是;【探究】如图∥,若点A落在四边形BCDE的内部,则∥A与∥1+∥2之间存在怎样的数量关系?并说明理由.【拓展】如图∥,点A落在四边形BCDE的外部,若∥1=80°,∥2=24°,则∥A的大小为.22.已知,在四边形ABCD中,∥A+∥C=160°,BE,DF分别为四边形ABCD的外角∥CBN,∥MDC的平分线.(1)如图1,若BE∥DF,求∥C的度数;(2)如图2,若BE,DF交于点G,且BE∥AD,DF∥AB,求∥C的度数.参考答案1-5:CAACD 6-10:CBBBC 11-12:CB13、1080°;六14、2880°15、170°16、10217、72018、:(1)设这个多边形的每个内角是x°,每个外角是y°,则得到一个方程组得而任何多边形的外角和是360°,则多边形内角和中的外角的个数是360÷30=12,则这个多边形的边数是12边形;(2)设这个多边形的边数为n,依题意得:(n-2)180°=360°,解得n=9,答:这个多边形的边数为9.19、:(1)证明:∵BD⊥CD,EF⊥CD(已知),∴BD∥EF(垂直于同一直线的两条直线平行),∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠1=∠3(等量代换).∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).(2)∵AD∥BC(已知),∴∠ABC+∠A=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵∠A=130°(已知),∴∠ABC=50°.∵DB平分∠ABC(已知),∴∠3=25°.∴∠C=90°-∠3=65°.20、:(1)∵MF∥AD,FN∥DC,∠BAD=106°,∠BCD=64°,∴∠BMF=106°,∠FNB=64°,∵将△BMN沿MN翻折,得△FMN,∴∠FMN=∠BMN=53°,∠FNM=∠MNB=32°,∴∠F=∠B=180°-53°-32°=95°;(2)∠F=∠B=95°,∠D=360°-106°-64°-95°=95°.21、:(1)如图,∠1=2∠A.理由如下:由折叠知识可得:∠EA′D=∠A;∵∠1=∠A+∠EA′D,∴∠1=2∠A.(2)如图②,2∠A=∠1+∠2.理由如下:∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA=360°,∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°,∴∠A′+∠A=∠1+∠2,由折叠知识可得:∠A=∠A′,∴2∠A=∠1+∠2.(3)如图③,∵∠1=∠DFA+∠A,∠DFA=∠A′+∠2,∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2,∴2∠A=∠1-∠2=56°,解得∠A=28°.故答案为:∠1=2∠A;28°.22、:(1)过点C作CH∥DF,∵BE∥DF,∴BE∥DF∥CH,∴∠FDC=∠DCH,∠BCH=∠EBC,∴∠DCB=∠DCH+∠BCH=∠FDC+∠EBC,∵BE,DF分别为四边形ABCD的外角∠CBN,∠MDC的平分线,∴∠FDC=∠CDM,∠EBC=∠CBN,∵∠A+∠BCD=160°,∴∠ADC+∠ABC=360°160°=200°,∴∠MDC+∠CBN=160°,∴∠FDC+∠CBE=80°,∴∠DCB=80°;(2)连接GC并延长,同理得∠MDC+∠CBN=160°,∠MDF+∠NBG=80°,∵BE∥AD,DF∥AB,∴∠A=∠MDF=∠DGB=∠NBG=40°,∵∠A+∠BCD=160°,∴∠BCD=160°-40°=120°.。
同步练习:多边形及其内角和一、选择题1.已知一个多边形的外角和等于它的内角和,则这个多边形是( )A .三角形B .四边形C .五边形D .六边形2.若多边形的边数由3增加到n (n 为正整数,且3>n ),则其外角和的度数( )A .增加B .减少C .不变D .不确定3.若一个多边形的内角和是外角和的k 倍,那么这个多边形的边数是( )A .kB .12+kC .22+kD .22-k4.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( )A .5B .6C .7D .85.一个五边形有三个内角是直角,另两个都等于n °,则n 的值是( )A .45B .135C .120D .1086.所有内角都相等的18边形,它的每个内角、外角的度数是( )A .120°,60°B .140°,40°C .160°,20°D .100°,80°7.过n 边形的一个顶点的所有对角线,把多边形分成8个三角形,则这个多边形边数是( )A .8B .9C .10D .118.下列命题中,正确的有( )①七边形有14条对角线;②外角和大于内角和的多边形只有三角形;③若一个多边形的内角和与外角和是4:1,则它是九边形.A .0个B .1个C .2个D .3个二、填空题1.六边形的内角和是_________,十二边形的内角和是_________。
2.如果一个多边形的内角和为1260°,那么边数是________。
3.当多边形的边数增加一条时,其内角和增加_____度。
4.将n 边形的边数增加一倍,那么它的内角和增加_______度。
5.过m 边形的一个顶点有7条对角线,n 边形没有对角线,k 边形共有k 条对角线,则.______)(=-n k m参考答案一、选择题1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.C 二、填空题1.720°,1800°2.93.180°4.︒n⋅1805.125.(提示:可求5nm)=k10=,3,=。
《11.3 多边形及其内角和》同步训练题基础题训练(一):限时30分钟1.如图,AC,BD为四边形ABCD的对角线,∠ABC=90°,∠ABD+∠ADB=∠ACB,∠ADC=∠BCD.(1)求证:AD⊥AC;(2)探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系,并说明理由.2.将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处【感知】如图①,点A落在四边形BCDE的边BE上,则∠A与∠1之间的数量关系是;【探究】如图②,若点A落在四边形BCDE的内部,则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系?并说明理由.【拓展】如图③,点A落在四边形BCDE的外部,若∠1=80°,∠2=24°,则∠A的大小为.3.【知识回顾】:如图①,在△ABC中,根据三角形内角和定理,我们知道∠A+∠B+∠C=180°.如图②,在△ABC中,点D为BC延长线上一点,则∠ACD为△ABC的一个外角.请写出∠ACD与∠A、∠B的关系,直接填空:∠ACD=.【初步运用】:如图③,点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点.(1)若∠A=70°,∠DBC=150°,则∠ACB=°.(直接写出答案)(2)若∠A=70°,则∠DBC+∠ECB=°.(直接写出答案)【拓展延伸】:如图④,点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点.(1)若∠A=70°,∠P=150°,则∠DBP+∠ECP=°.(请说明理由)(2)分别作∠DBP和∠ECP的平分线,交于点O,如图⑤,若∠O=40°,求出∠A和∠P 之间的数量关系,并说明理由.(3)分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN,如图⑥,若∠A=∠P,求证:BM∥CN.4.如图,已知四边形ABCD中,∠D=∠B=90°,AE平分∠DAB,CF平分∠DCB.试判断∠AEF与∠CFE是否相等?并证明你的结论.5.如图,在四边形ABCD中,∠C+∠D=210°(1)∠DAB+∠CBA=度;(2)若∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点E,求∠E的度数.基础题训练(二):限时30分钟6.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE∥DF,∠1=∠2.求证:∠3=∠4.7.“转化”是数学中的一种重要思想,即把陌生的问题转化成熟悉的问题,把复杂的问题转化成简单的问题,把抽象的问题转化为具体的问题.(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图(1)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数;(2)若对图(1)中星形截去一个角,如图(2),请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数;(3)若再对图(2)中的角进一步截去,你能由题(2)中所得的方法或规律,猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗?只要写出结论,不需要写出解题过程)8.(1)如图1,在△ADC中,∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P,若∠ADC=70°,∠ACD=50°,求∠P的度数.(2)如图2,在四边形ABCD中,∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P,∠A=90°,∠B=150°,求∠P的度数.(3)如图3,若将(2)中“∠A=90°,∠B=150°”改为“∠A=α,∠B=β”,其余条件不变,直接写出∠P与α+β之间的数量关系.9.三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图1,点D为BC延长线上一点,则∠ACD为△ABC的一个外角.求证:∠ACD=∠A+∠B证明:过点C作CE∥AB(过直线外一点)∴∠B=∠A=∵∠ACD=∠1+∠2∴∠ACD=∠+∠B(等量代换)应用:如图2是一个五角星,请利用上述结论求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值为10.如图1,在∠A内部有一点P,连接BP、CP,请回答下列问题:①求证:∠P=∠1+∠A+∠2;②如图2,利用上面的结论,在五角星中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=;③如图3,如果在∠BAC间有两个向上突起的角,请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间有什么等量关系,直接写出结论即可.基础题训练(三):限时30分钟11.观察每个正多边形中∠α的变化情况,解答下列问题:(1)将下面的表格补充完整:正多边形边数3 4 5 6 …∠a的度数…10°(2)根据规律,是否存在一个正n边形,使其中的∠α=21°?若存在,直接写出n的值;若不存在,请说明理由.12.阅读材料:如图1,点A是直线MN上一点,MN上方的四边形ABCD中,∠ABC=140°,延长BC,2∠DCE=∠MAD+∠ADC,探究∠DCE与∠MAB的数量关系,并证明.小白的想法是:“作∠ECF=∠ECD(如图2),通过推理可以得到CF∥MN,从而得出结论”请按照小白的想法完成解答:拓展延伸保留原题条件不变,CG平分∠ECD,反向延长CG,交∠MAB的平分线于点H(如图3),设∠MAB=α,请直接写出∠H的度数(用含α的式子表示).13.(1)思考探究:如图①,△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P 点,请探究∠P与∠A的关系是.(2)类比探究:如图②,四边形ABCD中,设∠A=α,∠D=β,α+β>180°,四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线相交于点P.求∠P的度数.(用α,β的代数式表示)(3)拓展迁移:如图③,将(2)中α+β>180°改为α+β<180°,其它条件不变,请在图③中画出∠P,并直接写出∠P=.(用α,β的代数式表示)14.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,延长BA至点E,连接CE,且CE交AD 于点F,∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P.(1)求证:①AB∥CD;②∠EAD+∠ECD=2∠APC;(2)若∠B=70°,∠E=60°,求∠APC的度数;(3)若∠APC=m°,∠EFD=n°,请你探究m和n之间的数量关系.15.如图1,在四边形ABCD中,∠A=∠C,点E在AB边上,DE平分∠ADC,且∠ADE=∠DEA.(1)求证:AD∥BC;(2)如图2,已知DF⊥BC交BC边于点G,交AB边的延长线于点F,且DB平分∠EDF.若∠BDC<45°,试比较∠F与∠EDF的大小,并说明理由.参考答案1.解:(1)∵在△ABC中,∠ABC=90°,∴∠ACB+∠BAC=90°,在△ABD中,∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°,∵∠ABD+∠ADB=∠ACB,∴∠ACB+∠BAD=180°,即∠ACB+∠BAC+∠CAD=180°,∴∠CAD=90°,∴AD⊥AC.(2)∠BAC=2∠ACD;∵∠ABC=90°,∴∠BAC=90°﹣∠ACB=90°﹣(∠BCD﹣∠ACD),∵∠DAC=90°,∴∠ADC=90°﹣∠ACD,∵∠ADC=∠BCD,∴∠BCD=90°﹣∠ACD,∴∠BAC=90°﹣(90°﹣∠ACD﹣∠ACD)=2∠ACD.2.解:(1)如图①,∠1=2∠A.理由如下:由折叠知识可得:∠EA′D=∠A;∵∠1=∠A+∠EA′D,∴∠1=2∠A.(2)如图②,2∠A=∠1+∠2.理由如下:∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA=360°,∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°,∴∠A′+∠A=∠1+∠2,由折叠知识可得:∠A=∠A′,∴2∠A=∠1+∠2.(3)如图③,∵∠1=∠DFA+∠A,∠DFA=∠A′+∠2,∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2,∴2∠A=∠1﹣∠2=56°,解得∠A=28°.故答案为:∠1=2∠A;28°.3.解:【知识回顾】∵∠ACD+∠ACB=180°,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACD=∠A+∠B;故答案为:∠A+∠B;【初步运用】(1)∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠A=70°,∠DBC=150°,∴∠ACB=∠DBC﹣∠A=150°﹣70°=80°;故答案为:80;(2)∵∠A=70°,∴∠ABC+∠ACB=110°,∴∠DBC+∠ECB=360°﹣110°=250°,故答案为:250;【拓展延伸】(1)如图④,连接AP,∵∠DBP=∠BAP+∠APB,∠ECP=∠CAP+∠APC,∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC=∠BAC+∠BPC,∵∠BAC=70°,∠BPC=150°,∴∠DBP+∠ECP=∠BAC+∠BPC=70°+150°=220°,故答案为:220;(2)∠A和∠P之间的数量关系是:∠P=∠A+80°,理由是:如图⑤,设∠DBO=x,∠OCE=y,则∠OBP=∠DBO=x,∠PCO=∠OCE=y,由(1)同理得:x+y=∠A+∠O,2x+2y=∠A+∠P,2∠A+2∠O=∠A+∠P,∵∠O=40°,∴∠P=∠A+80°;(3)证明:如图,延长BP交CN于点Q,∵BM平分∠DBP,CN平分∠ECP,∴∠DBP=2∠MBP,∠ECP=2∠NCP,∵∠DBP+∠ECP=∠A+∠BPC,∠A=∠BPC,∴2∠MBP+2∠NCP=∠A+∠BPC=2∠BPC,∴∠BPC=∠MBP+∠NCP,∵∠BPC=∠PQC+∠NCP,∴∠MBP=∠PQC,∴BM∥CN.4.解:∠AEF=∠CFE.证明:∵∠D=∠B=90°,∴∠DAB+∠DCB=180°,又∵AE平分∠DAB,CF平分∠DCB,∴∠DAE=∠DAB,∠DCF=∠DCB,∴∠DAE+∠DCF=(∠DAB+∠DCB)=90°,∵∠D=90°,∴∠DAE+∠DEA=90°,∴∠DEA=∠DCF,∴AE∥CF,∴∠AEF=∠CFE.5.解:(1)∵∠DAB+∠CBA+∠C+∠D=360°,∴∠DAB+∠CBA=360°﹣(∠C+∠D)=360°﹣210°=150°.故答案为:150;(2)∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点E,∴∠EAB=∠DAB,∠EBA=∠ABC,∴∠E=180°﹣(∠EAB+∠EBA)=180°﹣(∠DAB+∠CBA)=180°﹣(360°﹣∠C﹣∠D)=(∠C+∠D),∵∠C+∠D=210°,∴∠E=(∠C+∠D)=105°.6.证明:∵∠A=∠C=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°,∵BE∥DF,∴∠2=∠5,∠AEB=∠3,∵∠1=∠2,∴∠1=∠5,∴∠AEB=∠4,∴∠3=∠4.7.解:(1)∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D,∠1+∠A+∠C=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;(2)∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F,∠1+∠A+∠C+∠D=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°;(3)根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,每截去一个角则会增加180度,所以当截去5个角时增加了180×5度,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180°×5+180°=1080°.8.解:(1)如图1,在射线DC上取一点E,∵∠ADC的平分线和∠ACD的平分线交于点P,∴,,∴∠P=∠PCE﹣∠PDC=30°;(2)如图2,在射线DC上取一点E,∵∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P,∴,,∴∠P=∠PCE﹣∠PDC======30°;(3).9.证明:过点C作CE∥AB(过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行)∴∠B=∠2(两直线平行,同位角相等),∠A=∠1(两直线平行,内错角相等),∵∠ACD=∠1+∠2,∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换)应用:对于△BDN,∠MNA=∠B+∠D,对于△CEM,∠NMA=∠C+∠E,对于△ANM,∠A+∠MNA+∠NMA=180°,∴∠A+∠B+∠D+∠C+∠E=180.故答案为:有且只有一条直线与已知直线平行;∠2(两直线平行,同位角相等);∠1(两直线平行,内错角相等);A;180°10.解:①连接AP并延长,则∠3=∠2+∠BAP,∠4=∠1+∠PAC,故∠BPC=∠1+∠A+∠2;②利用①中的结论,可得∠1=∠A+∠C+∠D,∵∠2=∠B+∠E,∵∠1+∠2=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.③连接AP、AD、AG并延长,同①由三角形内角与外角的性质可求出∠4+∠5=∠1+∠2+∠3+∠BAC.故答案为:180°.11.解:(1)填表如下:正多边形的边数 3 4 5 6 (18)∠α的度数60°45°36°30°…10°故答案为:60°,45°,36°,30°,18;(2)不存在,理由如下:假设存在正n边形使得∠α=21°,得∠α=()°=21°,解得:n=8,又n是正整数,所以不存在正n边形使得∠α=21°.12.解:阅读材料:延长CB交MN于点T,∵∠ECF=∠ECD,2∠DCE=∠MAD+∠ADC,∴2∠ECD=∠MAD+∠ADC=360°﹣∠CTA﹣∠DCT=360°﹣(180°﹣∠MTC)﹣(180°﹣∠ECD)=∠MTC+∠ECD,∴∠ECD=∠MTC,∴∠ECF=∠MTC,∴CF∥MN,∵∠ABC=140°,∴∠ABT=40°,∴∠MTC=∠MAB+40°,即∠DCE=∠MAB+40°;拓展延伸:∠H=360°﹣∠CDA﹣∠MAB﹣∠DAB﹣∠HCD=180°﹣[360°﹣(180°﹣∠ECD)﹣∠MAB﹣(180°﹣∠ECD)]=180°﹣(∠ECD﹣∠MAB),∵∠DCE=∠MAB+40°,∴∠H=180°﹣(∠MAB+60°),∵∠MAB=α,∴∠H=120°﹣α.13.解:(1)如图1中,结论:2∠P=∠A.理由:∵∠PCD=∠P+∠PBC,∠ACD=∠A+∠ABC,∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点,∴2∠PCD=∠ACD,2∠PBC=∠ABC,∴2(∠P+∠PBC)=∠A+∠ABC,2∠P+2∠PBC=∠A+∠ABC,2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC,∴2∠P=∠A;(2)如图2中,解法一:由四边形内角和定理得,∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC,∴∠DCE=180°﹣(360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC)=∠A+∠D+∠ABC﹣180°,由三角形的外角性质得∠PCE=∠P+∠PBC,∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线,∴∠PBC=∠ABC,∠PCE=∠DCE,∴∠P+∠PBC=(∠A+∠D+∠ABC﹣180°)=(∠A+∠D)+∠ABC﹣90°,∴∠P=(∠A+∠D)﹣90°,∵∠A=α,∠D=β,∴∠P=(α+β)﹣90°;解法二:延长BA交CD的延长线于F.∵∠F=180°﹣∠FAD﹣∠FDA=180°﹣(180°﹣α)﹣(180°﹣β)=α+β﹣180°,由(1)可知:∠P=∠F,∴∠P=(α+β)﹣90°;②如图3,延长AB交DC的延长线于F.∵∠F=180°﹣α﹣β,∠P=∠F,∴∠P=(180°﹣α﹣β)=90°﹣α﹣β.故答案为:2∠P=∠A;90°﹣α﹣β.14.解:(1)证明:①∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B,∵∠B=∠D,∴∠EAD=∠D,∴AB∥CD;②过点P作PQ∥AB,则∠EAP=∠APQ,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠DCP=∠CPQ,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠DCP=∠CPQ,∵∠EAP=∠EAD,∠DCP=,∴;(2)由(1)知AD∥BC,AB∥CD,∴∠EAD=∠B=70°,∠ECD=∠E=60°,由(1)知∠EAD+∠ECD=2∠APC,∴∠APC=;(3)过点F作FH∥AB,则∠EAD=∠AFH,∵AB∥CD,∴FH∥CD,∴∠ECD=∠CFH,∴∠EAD+∠ECD=∠AFH+∠CFH=∠AFC=∠EFD,由(1)知∠EAD+∠ECD=2∠APC,∴∠EFD=2∠APC,∵∠APC=m°,∠EFD=n°,∴.15.解:(1)证明:∵DE平分∠ADC,∴∠CDE=∠ADE,又∵∠ADE=∠DEA,∴∠CDE=∠DEA,∴CD∥AB,∴∠B+∠C=180°,又∵∠A=∠C,∴∠B+∠A=180°,∴AD∥BC;(2)∵DF⊥BC,∴∠BGF=90°,又∵AD∥BC,∴∠ADF=∠BGF=90°,∵CD∥AB,∴∠CDF=∠F.设∠EDB=∠BDF=x°,∠CDF=∠F=y°,则∠EDF=2x°,∠ADE=∠EDC=(2x+y)°,由∠ADF=∠ADE+∠EDF,得2x+y+2x=90,∴y=90﹣4x,∴∠F﹣∠EDF=y°﹣2x°=90°﹣4x°﹣2x°=90°﹣6x,∵∠BDC<45°,∴x+y<45°,x+90﹣4x<45,解得x>15,∴6x>90.∴∠F﹣∠EDF=90°﹣6x°<0,∴∠F<∠EDF.。
11.3多边形及其内角和1、若一个凸多边形的内角和为720°,则这个多边形的边数为().A. 4B. 5C. 6D. 72、若多边形的边数由3增加到n(n为大于3的整数),则其外角和的度数().A. 增加B. 减少C. 不变D. 不能确定3、如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍,则这个多边形是().A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形4、正十边形的每一个内角的度数为().A. 120°B. 135°C. 140°D. 144°5、一个多边形的每一个外角都是45°,则这个多边形的边数为().A. 6B. 7C. 8D. 96、如图,小明从A点出发,沿直线前进12米后向左转36°,再沿直线前12米,又向左转36°⋯照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走了米.7、若一个正多边形的内角和为720°,则这个正多边形的每一个内角是().A. 60°B. 90°C. 108°D. 120°8、如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条,则该多边形是().A. 九边形B. 八边形C. 七边形D. 六边形9、从n边形的一个顶点作对角线,把这个n边形分成三角形的个数是().A. n个B. (n−1)个C. (n−2)个D. (n−3)个10、下面的平面图形中,不能镶嵌平面的图形是().A. 正三角形B. 正六边形C. 正四边形D. 正五边形11、如图,将一个长方形剪去一个角,则剩下的多边形为().A. 五边形B. 四边形或五边形C. 三角形或五边形D. 三角形或四边形或五边形12、一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多边形的边数为().A. 5B. 5或6C. 5或7D. 5或6或713、如图,∠1是五边形ABCDE的一个外角,若∠1=65°,则∠A+∠B+∠C+∠D=°.14、如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是.15、若正多边形的内角和是1080°,则该正多边形的边数是.16、一个多边形的每一个外角都等于40°,则它的边数为.17、如果一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形的边数是().A. 8B. 9C. 10D. 1118、某多边形的内角和加上其外角和等于1080°,则此多边形的边数是().A. 4B. 5C. 6D. 719、一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1:4,那么这个多边形的边数为().A. 8B. 9C. 10D. 1220、如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,⋅⋅⋅,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是().A. 140米B. 150米C. 160米D. 240米21、经过多边形一个顶点的所有对角线把多边形分成10个三角形,多边形的边数是().A. 8条B. 9条C. 12条D. 11条22、如果一个多边形的每个外角是40°,那么从这个多边形的一个顶点出发,可以引出条对角线.23、如果限于用一种正多边形镶嵌,下列正多边形不能镶嵌成一个平面图形的是().A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形24、如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是.25、一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为2520°,则原多边形的边数是().A. 17B. 16C. 15D. 16或15或1726、如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,则∠P=().A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°27、如图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=°.28、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°.1 、【答案】 C;【解析】设这个多边形的边数为n,则(n−2)×180°=720°,解得n=6,故这个多边形为六边形.故选C.2 、【答案】 C;【解析】因为多边形外角和固定为360°,所以外角和的度数是不变的.故选:C.3 、【答案】 D;【解析】设多边形为n边形,由题意,得(n−2)⋅180=360×2,解得n=6.故选D.4 、【答案】 D;【解析】方法一 : ∵一个十边形的每个外角都相等,∴十边形的一个外角为360÷10=36°.∴每个内角的度数为180°−36°=144°;故选:D.方法二 : 由多边形的内角和公式可知,正十边形的内角和为180°×(10−2)=1440°.所以每个内角的度数为1440°÷10=144°.故选D.5 、【答案】 C;【解析】由多边形外角和为360°,=8,则边数:360°45°所以多边形为8边形.故选C.6 、【答案】120;【解析】由题意得:360°÷36°=10,则他第一次回到出发地A点时,一共走了12×10=120(米).7 、【答案】 D;【解析】(n−2)×180°=720°,∴n−2=4,∴n=6.则这个正多边形的每一个内角为720°÷6=120°.故选:D.8 、【答案】 A;【解析】∵过一个多边形的一个顶点的对角线有6条,∴多边形的边数为6+3=9,∴这个多边形是九边形.9 、【答案】 C;【解析】从n边形的一个顶点作对角线,把这个n边形分成(n−2)个三角形.10 、【答案】 D;【解析】 A选项 : 正三角形的一个内角度数为180°−360°÷3=60°,是360°的约数,能镶嵌平面,不符合题意,故A错误;B选项: 正六边形的一个内角度数为180°−360°÷6=120°,是360°的约数,能镶嵌平面,不符合题意,故B错误;C选项 : 正四边形的一个内角度数为180°−360°÷4=90°,是360°的约数,能镶嵌平面,不符合题意,故C错误;D选项 : 正五边形的一个内角度数为180°−360°÷5=108°,不是360°的约数,不能镶嵌平面,符合题意,故D正确;11 、【答案】 D;【解析】沿对角线剪则剩下三角形.剪痕过一个顶点,并与一面相交得四边形.剪痕与相邻的两边相交,得五边形.12 、【答案】 D;【解析】如图:剪切的三种情况:①不经过顶点剪,则比原来边数多1,②只过一个顶点剪,则和原来边数相等,③按照顶点连线剪,则比原来的边数少1,设内角和为720°的多边形的边数是n,则(n−2)⋅180°=720°,解得:n=6,则原多边形的边数为5或6或7,故选:D.13 、【答案】425;【解析】∠A+∠B+∠C+∠D+∠AED=180°×(5−2)=540°,∵∠1+∠AED=180°,∠1=65°,∴∠AED=180°−65°=115°,∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°−∠AED=540°−115°=425°.14 、【答案】100°;【解析】如图:∵五边形ABCDE的外角和是360°,∴∠5=360°−70°×4=80°,∴∠AED=180°−80°=100°.15 、【答案】8;【解析】根据n边形的内角和公式,得:(n−2)⋅180=1080,解得n=8.∴这个多边形的边数是8.故答案为:8.16 、【答案】9;【解析】解法一:360°÷40°=9.多边形外角和是360°,边数=外角数=内角数.解法二:∵外角都是40°,∴内角都是140°,设它为n边形则度数总和为140n°,又∵n边形的度数和是(n−2)×180°,所以140n=(n−2)×180,解得n=9.17 、【答案】 A;【解析】设该多边形边数为n,则内角和为180°(n−2),外角和为360°,∴180°⋅(n−2)=3×360°,解得n=8,故选A.18 、【答案】 C;【解析】多边形外角和为360°,则此多边形内角和为720°,+2=6.∴边数为=720°180°19 、【答案】 C;【解析】由外角与它相邻的内角是邻补角可得:x+4x=180°,一个外角度数x=36°,∴正多边形的边数为360°÷36°=10.20 、【答案】 B;【解析】∵多边形的外角和为360°,而每一个外角为24°,∴多边形的边数为360°÷24°=15,∴小华一共走了:15×10=150米.故选:B.21 、【答案】 C;【解析】从n边形的一个顶点出发可引出(n−3)条对角线,可组成(n−2)个三角形,即可得n−2=10,解得n=12.故选C.22 、【答案】6;【解析】多边形的边数:360°÷40°=9,从一个顶点出发可以引对角线的条数:9−3=6(条).23 、【答案】 C;【解析】 A选项 : 正三角形每个内角是60°,能整除360°,能镶嵌.B选项 : 正方形每个内角是180°−360°÷4=90°,能整除360°,能镶嵌.C选项 : 正五边形每个内角为180°−360°÷5=108°,不能整除360°,不能镶嵌.D选项 : 正六边形每个内角为180°−360°÷6=120°,能整除360°,能镶嵌.24 、【答案】540°或360°或180°;【解析】n边形的内角和是(n−2)⋅180°,所得新的多边形的边数增加1,则新的多边形的内角和是(4+1−2)×180°=540°,所得新的多边形的边数不变,则新的多边形的内角和是(4−2)×180°=360°,所得新的多边形的边数减少1,则新的多边形的内角和是(4−1−2)×180°=180°,因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°.25 、【答案】 D;【解析】一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或者减少了一条,根据(n−2)×180°=2520°,解得n=16.∴多边形的边数为15,16或17.故选D.26 、【答案】 C;【解析】方法一 : ∵在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠EDC+∠BCD=240°,又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,∴∠PDC+∠PCD=120°,∴△CDP中,∠P=180°−(∠PDC+∠PCD)=180°−120°=60°.方法二 : 五边形的内角和为(5−2)×180°=540°∵∠A+∠B+∠E=300°,∴∠EDC+∠BCD=240°.∵DP、CP分别平分∠EDC,∠BCD,∴∠PDC=12∠EDC,∠PCD=12∠BCD,∴∠PDC+∠PCD=12(∠EDC+∠BCD)=12×240°=120°∴∠P=60°.故选C.27 、【答案】360;【解析】∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=(180°−∠BAE)+(180°−∠ABC)+(180°−∠BCD)+(180°−∠CDE)+(180°−∠DEA)=180°×5−(∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA)=900°−(5−2)×180°=900°−540°=360°.故答案为:360°.28 、【答案】360;【解析】如下图所示∵∠AHG=∠A+∠B,∠DNG=∠C+∠D,∠EGN=∠E+∠F,∴∠AHG+∠DNG+∠EGN=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F,又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角,∴∠AHG+∠DNG+∠EGN=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.故答案为:360.。
新人教八年级上册第十一章《11.3 多边形及其内角和》一、选择题:1.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是()A.1个B.2个C.3个D.4个2.不能作为正多边形的内角的度数的是()A.120°B.(128)°C.144°D.145°3.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是()A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:44.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有()A.3个B.4个C.5个D.6个5.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角一定()A.都是钝角 B.都是锐角C.是一个锐角、一个钝角 D.互补6.若从一多边形的一个顶点出发,最多可引10条对角线,则它是()A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形7.若一个多边形共有十四条对角线,则它是()A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形8.一个凸多边形除一个内角外,其余各内角的和为2570°,则这个内角的度数等于()A.90° B.105°C.130°D.120°二、中考题与竞赛题9.若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是()A.9 B.8 C.7 D.6三、填空题:10.多边形的内角中,最多有个直角.11.从n边形的一个顶点出发可以引条对角线,这些对角线将这个多边形分成个三角形.12.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°,那么这个多边形的边数最少为.13.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为.14.每一个内角都是144°的多边形有条边.四、基础训练:15.如图所示,用火柴杆摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当摆到20层(N=20)时,需要多少根火柴?16.一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.五、提高训练17.一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表示)及n的值.六、探索发现18.从n边形的一个顶点出发,最多可以引多少条对角线?请你总结一下n边形共有多少条对角线.《11.3 多边形及其内角和》参考答案与试题解析一、选择题:1.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是()A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】多边形内角与外角.【专题】计算题.【分析】根据n边形的外角和为360°得到外角为钝角的个数最多为3个.【解答】解:∵一个多边形的外角和为360°,∴外角为钝角的个数最多为3个.故选D.【点评】本题考查了多边形的外角和:n边形的外角和为360°.2.不能作为正多边形的内角的度数的是()A.120°B.(128)°C.144°D.145°【考点】多边形内角与外角.【分析】根据n边形的内角和(n﹣2)•180°分别建立方程,求出n,由于n≥3的整数即可得到D 选项正确.【解答】解:A、(n﹣2)•180°=120•n,解得n=6,所以A选项错误;B、(n﹣2)•180°=(128)°•n,解得n=7,所以B选项错误;C、(n﹣2)•180°=144°•n,解得n=10,所以C选项错误;D、(n﹣2)•180°=145°•n,解得n=,不为整数,所以D选项正确.故选D.【点评】本题考查了多边形的内角和定理:n边形的内角和为(n﹣2)•180°.3.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是()A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:4【考点】多边形内角与外角.【分析】多边形的外角和是360°,且根据多边形的各内角都相等则各个外角一定也相等,根据选项中的比例关系求出外角的度数,根据多边形的外角和定理求出边数,如果是≥3的正整数即可.【解答】解:A、外角是:180×=60°,360÷60=6,故可能;B、外角是:180×=90°,360÷90=4,故可能;C、外角是:180×=度,360÷=7,故可能;D、外角是:180×=80°.360÷80=4.5,故不能构成.故选D.【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理,理解外角与内角的关系是解题的关键.4.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有()A.3个B.4个C.5个D.6个【考点】多边形内角与外角.【分析】利用多边形的外角和是360度即可求出答案.【解答】解:因为多边形的外角和是360度,在外角中最多有三个钝角,如果超过三个则和一定大于360度,多边形的内角与相邻的外角互为邻补角,则外角中最多有三个钝角时,内角中就最多有3个锐角.故选A.【点评】本题考查了多边形的内角问题.由于内角和不是定值,不容易考虑,而外角和是360度不变,因而内角的问题可以转化为外角的问题进行考虑.5.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角一定()A.都是钝角 B.都是锐角C.是一个锐角、一个钝角 D.互补【考点】多边形内角与外角.【分析】由四边形的内角和等于360°,又由有一组对角都是直角,即可得另一组对角一定互补.【解答】解:如图:∵四边形ABCD的内角和等于360°,即∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∵∠A=∠C=90°,∴∠B+∠D=180°.∴另一组对角一定互补.故选D.【点评】此题考查了四边形的内角和定理.此题难度不大,解题的关键是注意掌握四边形的内角和等于360°.6.若从一多边形的一个顶点出发,最多可引10条对角线,则它是()A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形【考点】多边形的对角线.【分析】根据多边形的对角线的定义可知,从n边形的一个顶点出发,可以引(n﹣3)条对角线,由此可得到答案.【解答】解:设这个多边形是n边形.依题意,得n﹣3=10,∴n=13.故这个多边形是13边形.故选:A.【点评】多边形有n条边,则经过多边形的一个顶点所有的对角线有(n﹣3)条,经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n﹣2)个三角形.7.若一个多边形共有十四条对角线,则它是()A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形【考点】多边形的对角线.【分析】根据多边形对角线公式,可得答案.【解答】解:设多边形为n边形,由题意,得=14,解得n=7,故选:B.【点评】本题考查了多边形的对角线,熟记公式并灵活运用是解题关键.8.一个凸多边形除一个内角外,其余各内角的和为2570°,则这个内角的度数等于()A.90° B.105°C.130°D.120°【考点】多边形内角与外角.【专题】计算题.【分析】可设这是一个n边形,这个内角的度数为x度,利用多边形的内角和=(n﹣2)•180°,根据多边形内角x的范围,列出关于n的不等式,求出不等式的解集中的正整数解确定出n的值,从而求出多边形的内角和,减去其余的角即可解决问题.【解答】解;设这是一个n边形,这个内角的度数为x度.因为(n﹣2)180°=2570°+x,所以x=(n﹣2)180°﹣2570°=180°n﹣2930°,∵0<x<180°,∴0<180°n﹣2930°<180°,解得:16.2<n<17.2,又n为正整数,∴n=17,所以多边形的内角和为(17﹣2)×180°=2700°,即这个内角的度数是2700°﹣2570°=130°.故本题选C.【点评】本题需利用多边形的内角和公式来解决问题.二、中考题与竞赛题9.若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是()A.9 B.8 C.7 D.6【考点】多边形内角与外角.【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,依此列方程可求解.【解答】解:设所求正n边形边数为n,则1080°=(n﹣2)•180°,解得n=8.故选:B.【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.三、填空题:10.多边形的内角中,最多有 4 个直角.【考点】多边形内角与外角.【分析】由多边形的外角和为360°可求得答案.【解答】解:当内角和90°时,它相邻的外角也为90°,∵任意多边形的外角和为360°,∴360°÷90°=4.故答案为:4.【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角,明确任意多边形的外角和为360°是解题的关键.11.从n边形的一个顶点出发可以引n﹣3 条对角线,这些对角线将这个多边形分成n﹣2 个三角形.【考点】多边形的对角线.【分析】根据n边形对角线的定义,可得n边形的对角线,根据对角线的条数,可得对角线分成三角形的个数.【解答】解从n边形的一个顶点出发可以引n﹣3条对角线,这些对角线将这个多边形分成n﹣2个三角形,故答案为:n﹣3,n﹣2.【点评】本题考查了多边形的对角线,由对角线的定义,可画出具体多边形对角线,得出n边形的对角线.12.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°,那么这个多边形的边数最少为9 .【考点】多边形内角与外角.【分析】根据多边形的外角和定理,列出不等式即可求解.【解答】解:因为n边形的外角和是360度,每一个内角都大于135°即每个外角小于45度,就得到不等式:,解得n>8.因而这个多边形的边数最少为9.【点评】本题已知一个不等关系就可以利用不等式来解决.13.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为11 .【考点】多边形内角与外角.【分析】先根据多边形的内角和外角的关系,求出一个外角.再根据外角和是固定的360°,从而可代入公式求解.【解答】解:设多边形的一个内角为9x度,则一个外角为2x度,依题意得9x+2x=180°解得x=()°360°÷[2×()°]=11.答:这个多边形的边数为11.【点评】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想.关键是记住多边形的一个内角与外角互补、及外角和的特征.14.每一个内角都是144°的多边形有10 条边.【考点】多边形内角与外角.【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,因为所给多边形的每个内角均相等,故又可表示成120°n,列方程可求解.此题还可以由已知条件,求出这个多边形的外角,再利用多边形的外角和定理求解.【解答】解:解法一:设所求n边形边数为n,则144°n=(n﹣2)•180°,解得n=10;解法二:设所求n边形边数为n,∵n边形的每个内角都等于144°,∴n边形的每个外角都等于180°﹣144°=36°.又因为多边形的外角和为360°,即36°•n=360°,∴n=10.【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.四、基础训练:15.如图所示,用火柴杆摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当摆到20层(N=20)时,需要多少根火柴?【考点】规律型:图形的变化类.【分析】关键是通过归纳与总结,得到其中的规律,按规律求解.【解答】解:n=1时,有1个三角形,需要火柴的根数为:3×1;n=2时,有5个三角形,需要火柴的根数为:3×(1+2);n=3时,需要火柴的根数为:3×(1+2+3);…;n=20时,需要火柴的根数为:3×(1+2+3+4+…+20)=630.【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题,本题的关键是弄清到底有几个小三角形.16.一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.【考点】多边形内角与外角.【分析】根据多边形外角和为360°及多边形的每一个外角都等于24°,求出多边形的边数即可.【解答】解:设这个多边形的边数为n,则根据多边形外角和为360°,可得出:24×n=360,解得:n=15.所以这个多边形的边数为15.【点评】本题考查了多边形内角与外角,解答本题的关键在于熟练掌握多边形外角和为360°.五、提高训练17.一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表示)及n的值.【考点】多边形内角与外角.【分析】设多边形的边数为a,多边形内角和为(a﹣2)180度,外角和为360度得到m:n=180(a ﹣2):360,从而用m、n表示出a的值.【解答】解:设多边形的边数为a,多边形内角和为(a﹣2)180度,外角和为360度,m:n=180(a﹣2):360a=,因为m,n 是互质的正整数,a为整数,所以n=2,故答案为:,2.【点评】本题考查了多边形的内角与外角,解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和与多边形外角和.六、探索发现18.从n边形的一个顶点出发,最多可以引多少条对角线?请你总结一下n边形共有多少条对角线.【考点】多边形的对角线.【分析】从n边形的一个顶点出发,最多可以引n﹣3条对角线,然后即可计算出结果.【解答】解:过n边形的一个顶点可引出n﹣3条对角线;n边形共有条对角线.【点评】本题主要考查的是多边形的对角线,掌握多边形的对角线公式是解题的关键.第11页(共11页)。
人教版八年级数学上册11.3 多边形及其内角和同步训练(含答案)一、选择题(本大题共7道小题)1. 若一个n边形的内角和为360°,则n等于()A.3 B.4 C.5 D.62. 将一个n边形变成(n+2)边形,内角和将()A.减少180° B.增加180°C.减少360° D.增加360°3. 下列哪一个度数可以作为某一个多边形的内角和()A.240° B.600°C.540° D.2180°4. 设四边形的内角和等于a,五边形的外角和等于b,则a与b的关系是()A. a>bB. a=bC. a<bD. b=a+180°5. 一个正多边形的每个外角不可能等于()A.30° B.50° C.40° D.60°6. 若在n边形内部任意取一点P,将点P与各顶点连接起来,可以把n边形分成n个三角形,利用这个事实,可以探索到n边形的内角和为()A.180°×n B.180°×n-180°C.180°×n+180° D.180°×n-360°7. 如图,正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后,若顶点A,B,C,D的坐标分别是(0,a),(-3,2),(b,m),(c,m).则点E的坐标是()A. (2,-3)B. (2,3)C. (3,2)D. (3,-2)二、填空题(本大题共7道小题)8. 如图所示,x的值为________.9. 如图,在四边形ABCD中,若∠A+∠B+∠C=260°,则∠D的度数为________.10. 一个正多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是________.11. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形的边数是________.12. 一个正五边形和一个正六边形按如图所示的方式摆放,它们都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,则∠AOB的度数是________.13. 如图,小明从点A出发,沿直线前进12米后向左转36°,再沿直线前进12米,又向左转36°……照这样走下去,他第一次回到出发地点A时,一共走了________米.14. 如图,含30°角的三角尺的直角边AC,BC分别经过正八边形的两个顶点,则∠1+∠2=________°.三、解答题(本大题共3道小题)15. “X”与“Y”分别是两个多边形,请根据图中“X”与“Y”的对话,解答下列各小题.(1)求“X”与“Y”的外角和相加的度数;(2)分别求“X”与“Y”的内角和的度数.16. 小华与小明在讨论一个凸多边形的问题,他们的对话如下:小华说:“这个凸多边形的内角和是2020°.”小明说:“不可能吧!你错把一个外角当作内角了!”请根据俩人的对话,回答下列问题:(1)凸多边形的内角和为2020°,小明为什么说不可能?(2)小华求的是几边形的内角和?17. 如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=310°,CF平分∠DCB,CF的反向延长线与∠EDC处的外角的平分线相交于点P,求∠P的度数.人教版八年级数学上册11.3 多边形及其内角和同步训练-答案一、选择题(本大题共7道小题)1. 【答案】B2. 【答案】D[解析] (n+2)边形的内角和比n边形的内角和大n·180°-(n-2)·180°=360°.3. 【答案】C[解析] ∠多边形内角和公式为(n-2)×180°,∠多边形内角和一定是180°的倍数.∠540°=3×180°,∠540°可以作为某一个多边形的内角和.4. 【答案】B【解析】∠四边形的内角和为360°,五边形的外角和为360°,∴a =b.5. 【答案】B[解析] 设正多边形的边数为n,则当30°n=360°时,n=12,故A可能;当50°n=360°时,n=365,不是整数,故B不可能;当40°n=360°时,n=9,故C可能;当60°n=360°时,n=6,故D可能.6. 【答案】D7. 【答案】C【解析】点A(0,a),∴y轴过点A,点C、D纵坐标相同,∴CD 与x轴平行,∵正五边形是轴对称图形,∴点E和点B关于y轴对称,∴点E的坐标为(3,2).二、填空题(本大题共7道小题)8. 【答案】55°[解析] 由多边形的外角和等于360°,得360°-105°-60°+x+2x =360°,解得x=55°.9. 【答案】100°10. 【答案】8【解析】由正多边形的每一个外角都是45°,其外角和为360°,可得这个正多边形的边数是360°45°=8.【一题多解】因为正多边形的每一个外角都是45°,所以这个正多边形的每一个内角都是180°-45°=135°,设正多边形的边数为n,则(n-2)×180°=135°×n,解得n=8.方法指导设正多边形的边数为n,正多边形的外角和为360°,内角和为(n-2)×180°,每个内角的度数为180°×(n-2)n.11. 【答案】6【解析】设这个多边形的边数为n,则内角和为(n-2)·180°,外角和为360°,则根据题意有:(n-2)·180°=2×360°,解得n=6.12. 【答案】84°[解析] 由题意,得∠AOE=108°,∠BOF=120°,∠OEF=72°,∠OFE=60°,∠∠EOF=180°-72°-60°=48°.∠∠AOB=360°-108°-48°-120°=84°.13. 【答案】120[解析] 由题意得360°÷36°=10,则他第一次回到出发地点A时,一共走了12×10=120(米).故答案为120.14. 【答案】180[解析] 正八边形的每一个内角为(8-2)×180°8=135°,所以∠1+∠2=2×135°-90°=180°.三、解答题(本大题共3道小题)15. 【答案】解:(1)360°+360°=720°.(2)设X的边数为n,则Y的边数为3n.由题意,得180(n-2)+180(3n-2)=1440,解得n =3.所以X 的内角和为180°×(3-2)=180°, Y 的内角和为180°×(3×3-2)=1260°.答:“X”的内角和的度数为180°,“Y”的内角和的度数为1260°.16. 【答案】解:(1)∠n 边形的内角和是(n -2)×180°, ∠多边形的内角和一定是180°的整倍数. ∠2020÷180=11……40, ∠多边形的内角和不可能为2020°.(2)设小华求的是n 边形的内角和,这个内角为x°,则0<x <180. 根据题意,得(n -2)×180°-x +(180°-x)=2020°,解得n =12+2x +40180. ∠n 为正整数,∠2x +40必为180的整倍数. 又∠0<x <180, ∠40180<2x +40180<400180. ∠n =13或14.∠小华求的是十三边形或十四边形的内角和.17. 【答案】解:延长ED ,BC 相交于点G.在四边形ABGE 中,∠G =360°-(∠A +∠B +∠E)=50°, ∠P =∠FCD -∠CDP =12(∠DCB -∠CDG)=12∠G =12×50°=25°.。
人教版数学八年级上册同步练习多边形及其内角和一.选择题(共12小题)1.若多边形的一个外角是30°,则该正多边形的边数是()A.6 B.12 C.16 D.182.将一个正方形桌面砍下一个角后,桌子剩下的角的个数是()A.3个B.4个C.5个D.3个或4个或5个3.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n•90°,则n=()A.5 B.6 C.7 D.84.在四边形的内角中,直角最多可以有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.正十边形的每一个内角的度数为()A.120°B.135°C.140°D.144°6.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,则∠P=()A.50°B.55°C.60°D.65°7.已知一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形是()A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形8.把一个多边形割去一个角后,得到的多边形内角和为1440°,请问这个多边形原来的边数为()A.9 B.10 C.11 D.以上都有可能9.如图,△ABC中,∠C=80°,若沿图中虚线截去∠C,则∠1+∠2=()A.360°B.260°C.180°D.140°10.一个多边形的边数由原来的3增加到n时(n>3,且n为正整数),它的外角和()A.增加(n﹣2)×180° B.减小(n﹣2)×180°C.增加(n﹣1)×180°D.没有改变11.下列说法正确的是()A.对角线相等且相互垂直的四边形是菱形B.四条边相等的四边形是正方形C.对角线相互垂直的四边形是平行四边形D.对角线相等且相互平分的四边形是矩形12.如图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,若∠1+∠2+∠3+∠4=225°,ED∥AB,则∠1的度数为()A.55°B.45°C.35°D.25°二.填空题(共6小题)13.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是.14.如图,在“鱼形”图案中,已知∠EOD=65°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.15.如果一个正多边形的内角是140°,则它是边形.16.四边形ABCD中,∠D=80°,∠A、∠B、∠C的度数之比为3:5:6,则其中的最大角为,它的度数是°.17.一块四边形绿化园地,四角向外都做有半径为6的扇形喷水池(阴影部分),则这四个喷水池面积和为(结果保留π).18.已知一个n边形,除去一个内角α外,其余内角和等于1500°,则这个内角α=°.三.解答题(共4小题)19.一个多边形的每一个内角都相等,并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半.(1)求这个多边形是几边形;(2)求这个多边形的每一个内角的度数.20.如图,四边形ABCD中,∠BAD=100°,∠BCD=70°,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,求∠B的度数.21.请你参与下面探究过程,完成所提出的问题.(1)如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=50°,则∠BPC=°;(2)如图2,P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点,直接写出∠BPC与∠A的数量关系.(3)如图3,P是四边形ABCD的外角∠EBC与外角∠FCB的平分线BP和CP 的交点,设∠A+∠D=α.①写出∠BPC与α的数量关系;②根据α的取值范围,直接判断△BPC的形状(按角分类)22.探究与发现:探究一:我们知道,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么,三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢?已知:如图1,∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角,试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系.探究二:三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系?已知:如图2,在△ADC中,DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD,试探究∠P与∠A的数量关系.探究三:若将△ADC改为任意四边形ABCD呢?已知:如图3,在四边形ABCD中,DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系.参考答案与试题解析一.选择题(共12小题)1.解:因为360÷30=12,则正多边形的边数为12.故选:B.2.解:正方形桌面砍下一个角以后可能是:三角形或四边形或五边形,如下图所示:因而还剩下3个或4个或5个角.故选:D.3.解:连接BE,GE.∵∠1是△ADH的外角,∴∠1=∠A+∠D,∵∠2是△JHG的外角,∴∠1+∠G=∠2,∴在四边形BEFJ中,∠EBJ+∠BJF+∠EFJ+∠BEF=360°…①,在△BCE中,∠EBC+∠C+∠BEC=180°…②,①+②得,∠BEG+∠BGF+∠F+∠BEF+∠EBC+∠C+∠BEC=360°+180°=540°,即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°,∴n==6.∴n=6.故选:B.4.解:∵四边形的内角和为360°,又∵360°÷90°=4,∴在四边形的内角中,直角最多可以有4个.故选:D.5.解:∵一个十边形的每个外角都相等,∴十边形的一个外角为360÷10=36°.∴每个内角的度数为180°﹣36°=144°;故选:D.6.解:∵在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠ECD+∠BCD=240°,又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,∴∠PDC+∠PCD=120°,∴△CDP中,∠P=180°﹣(∠PDC+∠PCD)=180°﹣120°=60°.故选:C.7.解:根据n边形的内角和公式,得(n﹣2)•180=1080,解得n=8.∴这个多边形的边数是8.故选:B.8.解:设多边形截去一个角的边数为n,则(n﹣2)•180°=1440°,解得n=10,∵截去一个角后边上可以增加1,不变,减少1,∴原多边形的边数是9或10或11.故选:D.9.解:∵∠1、∠2是△CDE的外角,∴∠1=∠4+∠C,∠2=∠3+∠C,即∠1+∠2=∠C+(∠C+∠3+∠4)=80°+180°=260°.故选:B.10.解:∵多边形的外角和等于360°,与边数无关,∴凸多边形的边数由3增加到n时,其外角度数的和还是360°,保持不变.故选:D.11.解:A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,故错误;B、四条边相等的四边形是菱形,故错误;C、对角线相互平分的四边形是平行四边形,故错误;D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形,正确;故选:D.12.解:如图,由多边形的外角和等于360°可知,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,又∵∠1+∠2+∠3+∠4=225°,∴∠5=135°,∴∠AED=45°,又∵ED∥AB,∴∠1=∠AED=45°,故选:B.二.填空题(共6小题)13.解:设多边形的边数为n,根据题意,得(n﹣2)•180=3×360,解得n=8.则这个多边形的边数是8.14.解:根据三角形内角和等于180°,五边形内角和等于540°得,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180°+540°﹣∠EOD﹣∠FOC.又∵∠EOD=65°,∠FOC=∠EOD∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180°+540°﹣65°﹣65°=590°.故答案为:590°.15.解:设正边形的边数是n,由内角和公式,得(n﹣2)×180°=n×140°.解得n=9,故答案为:9.16.解:设∠A=3x,则∠B=25x,∠C=6x因为四边形ABCD的内角和为360°,∠D=80°,即:3x+5x+6x=360°﹣80°x=20°,∴∠C=6x=120°所以其中的最大角为∠C,它的度数是120°.故答案为:∠C,120.17.解:∵四边形的内角和等于360°,∴这四个喷水池的面积为:4×π×62﹣=108π.故答案为:108π;18.解:∵1500°÷180°=8…60°,∴去掉的内角为180°﹣60°=120°,故答案为:120.三.解答题(共4小题)19.解:设内角为x,则外角为x,由题意得,x+x=180°,解得,x=120°,x=60°,这个多边形的边数为:=6,答:这个多边形是六边形;(2)设内角为x,则外角为x,由题意得,x+x=180°,解得,x=120°,答:这个多边形的每一个内角的度数是120度.内角和=(5﹣2)×180°=540°.20.解:∵MF∥AD,FN∥DC,∴∠BMF=∠A=100°,∠BNF=∠C=70°,∵△BMN沿MN翻折得△FMN,∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°,∠BNM=∠BNF=×70°=35°,在△BMN中,∠B=180°﹣(∠BMN+∠BNM)=180°﹣(50°+35°)=180°﹣85°=95°.21.解:(1)∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=130°,∵BP、CP是角平分线,∴∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠BCP,∴∠PBC+∠BCP=65°,∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°,∴∠BPC=115°.(2)∵BP,CP分别是外角∠DBC,∠ECB的平分线,∴∠PBC+∠PCB=(∠DBC+∠ECB)=(180°﹣∠A),在△PBC中,∠P=180°﹣(180°﹣∠A)=90°﹣∠A.(3)如图3,①延长BA、CD于Q,则∠P=90°﹣∠Q,∴∠Q=180°﹣2∠P,∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°﹣2∠P=360°﹣2∠P,∴∠P=180°﹣α;②当0<α<180时,△BPC是钝角三角形,当α=180时,△BPC是直角三角形,当α>180时,△BPC是鋭角三角形.故答案为:115;∠BPC=90°﹣∠A.22.解:探究一:∵∠FDC=∠A+∠ACD,∠ECD=∠A+∠ADC,∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A;探究二:∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD,∴∠PDC=∠ADC,∠PCD=∠ACD,∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=180°﹣∠ADC﹣∠ACD=180°﹣(∠ADC+∠ACD)=180°﹣(180°﹣∠A)=90°+∠A;探究三:∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,∴∠PDC=∠ADC,∠PCD=∠BCD,∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=180°﹣∠ADC﹣∠BCD=180°﹣(∠ADC+∠BCD)=180°﹣(360°﹣∠A﹣∠B)=(∠A+∠B).。