高中数学第一章解三角形测评(A卷)新人教B版必修5
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第一章 解三角形测评（A 卷）(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，∠C＝120°，则sinA∶sinB 的值是A.53B.35C.37D.57答案：A 由正弦定理知sinA ∶sinB ＝a ∶b ＝5∶3.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，∠B＝120°，则a 等于 A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案：D 由正弦定理6sin120°＝2sinC， ∴sinC ＝12. ∴∠C ＝30°.∴∠A ＝30°.∴a ＝c ＝ 2.3．在△ABC 中，a ＋b ＋10c ＝2(sinA ＋sinB ＋10sinC)，∠A＝60°，则a 等于A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．不确定答案：A 由正弦定理易得△ABC 的外接圆半径为1， ∴a sinA＝2R ＝2. ∴a ＝2sinA ＝ 3.4．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，∠B＝60°，那么∠A 等于A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°答案：C 由正弦定理，得2sinA ＝3sinB， ∴sinA ＝23·sin60°＝22. ∵a<b ，∴∠A<∠B.∴∠A ＝45°.5．在△ABC 中，已知a ＝2，则bcosC ＋ccosB 等于A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案：C bcosC ＋ccosB ＝b·a2＋b2－c22ab ＋c·a2＋c2－b22ac ＝2a22a＝a ＝2. 6．在△ABC 中，∠A＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为 A ．43sin(B ＋π3)＋3 B ．4sin(B ＋π3)＋3 C ．6sin(B ＋π3)＋3 D ．6sin(B ＋π6)＋3答案：D 令AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，a ＋b ＋c ＝3＋b ＋c ＝3＋2R(sinB ＋sinC)＝3＋3sin π3[sinB＋sin(120°－B)]＝3＋63(sinB ＋32cosB ＋12sinB)＝3＋6sin(B ＋π6)． 7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a2＋c2－b2)·tanB＝3ac ，则∠B 的值为A.π3B.2π3C.π6D.π3或2π3答案：D 由(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac 得a2＋c2－b22ac ＝3cosB 2sinB， 即cosB ＝32·cosB sinB ， ∴sinB ＝32. 又∠B ∈(0，π)， ∴∠B ＝π3或2π3. 8．在△ABC 中，a ＝2bcosC ，则△ABC 的形状一定是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形答案：A9．伊拉克战争初期，美英联军为了准确分析战场的形势，由分别位于科威特和沙特的两个距离32a 的军事基地C 和D ，测得伊拉克两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，则伊军这两支精锐部队间的距离是 A.64a B.62a C.38a D.32a 答案：A ∵∠ADC ＝∠ACD ＝60°，∴△ADC 是正三角形． ∴AC ＝32a.在△BDC 中，由正弦定理得 BC sin ∠BDC ＝DC sin ∠DBC，即BC＝32a·1222＝64a.∴在△ABC中由余弦定理得AB2＝(32a)2＋(64a)2－2·32a·64acos45°＝38a2，∴AB＝64a.10．如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三个顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是A．2 3 B.436 C.3417 D.2321答案：D 设正三角形边长为a，AB与l2夹角为θ，易知，1＝asinθ，2＝asin(60°－θ)；于是2asinθ＝a·sin(60°－θ)，∴32cosθ－52sinθ＝0.∴tanθ＝35，cosθ＝527.∴sinθ＝327.∴a＝273＝2321.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)11．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝72，那么BC＝__________.答案：9 如图，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形．AE＝2AD＝7，在△ACE 中，cos ∠ACE ＝72＋42－722×7×4＝27， ∴cos ∠BAC ＝－27. 在△ABC 中，BC2＝72＋42＋2×7×4×27＝81， ∴BC ＝9.12．已知平面上有四点O 、A 、B 、C ，满足O A ＋O B ＋O C ＝0，O A ·O B ＝O B ·O C ＝O C ·O A ＝－1，则△ABC 的周长是__________．答案：3 6 由已知，得O 是△ABC 的外心，|O A |＝|O B |＝|O C |，又O A ·O B ＝O B ·O C ＝O C ·O A ＝－1，故∠AOB ＝∠BOC ＝∠BOA ＝2π3，|O A |＝|O B |＝|O C |＝2，∴△AOB 为等腰三角形．在△AOB 中，AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos 2π3＝6， ∴AB ＝ 6.∴△ABC 的周长为3 6.13．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cosA ，sinA)．若m⊥n，且acosB ＋bcosA ＝csinC ，则∠B＝________.答案：π6∵m ⊥n ，∴3cosA －sinA ＝0. ∴32cosA －12sinA ＝0. ∴cos(A ＋π6)＝0. ∵∠A ＋π6∈(π6，7π6)， ∴∠A ＋π6＝π2. ∴∠A ＝π3. 由正弦定理acosB ＋bcosA ＝csinC 可化为sinAcosB ＋sinBcosA ＝sin2C ，∴sin(A ＋B)＝sin2C.而sinC ＝sin(A ＋B)≠0，∴sinC ＝1.∴∠C ＝90°.∴∠B ＝π2－∠A ＝π6. 14．在△ABC 中，三个角∠A，∠B，∠C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bccosA＋cacosB ＋abcosC 的值为__________．答案：612 在△ABC 中，由余弦定理cosA ＝b2＋c2－a22bc ，有bccosA ＝b2＋c2－a22，同理accosB ＝a2＋c2－b22，abcosC ＝a2＋b2－c22， ∴原式＝a2＋b2＋c22＝612.三、解答题(本大题共5个小题，共54分)15．(10分)在△ABC 中，(1)若a ＝6，b ＝2，c ＝3＋1，求∠A、∠B、∠C 及S△ABC；(2)已知b ＝4，c ＝8，∠B＝30°，求∠C、∠A 与a.答案：解：(1)由余弦定理，得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝22＋(3＋1)2－62×2×(3＋1)＝12， ∴∠A ＝60°，cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝22， ∴∠B ＝45°. ∴∠C ＝180°－60°－45°＝75°，∴S △ABC ＝12bc·sinA＝12×2×(3＋1)sin60°＝3＋32. (2)由正弦定理，得sinC ＝csinB b ＝8sin30°4＝1. 又30°<∠C<150°，∴∠C ＝90°. ∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C)＝180°－120°＝60°.∴a ＝c2－b2＝4 3.16.(10分)(2009全国高考卷Ⅰ，文18)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c.已知a2－c2＝2b ，且sinB ＝4cosAsinC ，求b.答案：解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b ，b ≠0， 所以b ＝2ccosA ＋2.①由正弦定理得b c ＝sinB sinC， 又由已知得sinB sinC＝4cosA ， 所以b ＝4ccosA.②故由①②解得b ＝4.17．(10分)(2009海南、宁夏高考，理17)为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量．A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．答案：解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 的距离d(如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理AM ＝dsin α2sin(α1＋α2)； 第二步：计算AN.由正弦定理AN ＝dsin β2sin(β2－β1)； 第三步：计算MN.由余弦定理MN ＝AM2＋AN2－2AM ×ANcos(α1－β1).方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 的距离d(如图所示)．②第一步：计算BM.由正弦定理BM ＝dsin α1sin(α1＋α2)； 第二步：计算BN.由正弦定理BN ＝dsin β1sin(β2－β1)； 第三步：计算MN.由余弦定理MN ＝BM2＋BN2＋2BM ×BNcos(β2＋α2).18．(12分)在锐角三角形中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinA ＝223. (1)求tan2B ＋C 2＋sin2A 2；(2)若a ＝2，S△ABC＝2，求b 的值．答案：解：(1)在锐角△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，sinA ＝223， ∴cosA ＝13，则tan2B ＋C 2＋sin2A 2＝sin2B ＋C 2cos2B ＋C 2＋sin2A 2 ＝1－cos(B ＋C)1＋cos(B ＋C)＋12(1－cosA) ＝1＋cosA 1－cosA ＋13＝73. (2)∵S △ABC ＝2，又S △ABC ＝12bcsinA ＝12b·c·223＝2， ∴bc ＝3.将a ＝2，cosA ＝13，c ＝3b代入a2＝b2＋c2－2bccosA ，得b4－6b2＋9＝0，解得b ＝ 3.19．(12分)已知k 是正整数，钝角三角形的三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c.(1)若方程x2－2kx ＋3k2－7k ＋3＝0有实根，求k 的值；(2)对于(1)中的k 值，若sinC ＝k 2，且有关系式(c －b)sin2A ＋bsin2B ＝csin2C ，试求角A 、B 、C 的度数．答案：解：(1)∵方程x2－2kx ＋3k2－7k ＋3＝0有实根，∴Δ＝4k2－4(3k2－7k ＋3)≥0，即2k2－7k ＋3≤0.∴12≤k ≤3，又k ∈N ＋. ∴k ＝1,2,3.(2)在钝角△ABC 中，0<sinC<1，∴k ＝1，sinC ＝22. ∴∠C ＝45°或∠C ＝135°.∵(c －b)sin2A ＋bsin2B ＝csin2C ，由正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ，得(c －b)a2＋b3－c3＝0，即(b －c)(b2＋c2－a2＋bc)＝0，∴b ＝c 或b2＋c2－a2＋bc ＝0.当b ＝c 时∠B ＝45°或135°，这与△ABC 为钝角三角形矛盾，∴b2＋c2－a2＋bc ＝0.由余弦定理得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝－12， ∴∠A ＝120°，∠C ＝45°，∠B ＝180°－(∠A ＋∠C)＝15°.。
