湖南省长沙市长郡中学2018年高中理实班招生拔尖试题(含答案)

2018年湖南省长沙市长郡中学高中理实班招生拔尖试题

（时间:90分钟满分:120分）

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1．对于任意的有理数a ，方程0)43()1(222=+--++b a a x a x 的根总是有理数，则b 的值为（ ）

A ．1

B ．-1

C ．2

D ．0

2．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线1

l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”根据上述定义，有以下几个结论:

①“距离坐标”是（0，1）的点有1个；

②“距离坐标”是（5，6）的点有4个；iM （p ，q ）

③“距离坐标”是（a ，a ）（a 为非负实数）的点有4个

其中正确的有

（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个 3．一张等腰三角形纸片，底边长13cm ，底边上的高为32.5cm ．现沿底边依次

从下往上裁剪宽度均为5cm 的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一

张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）

A ．第3张

B ．第4张

C ．第5张

D ．第6张 4．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，且△CMN 的周长为2，则△MAN

的面积的最小值为 （ ）

A ．12-

B ．222-

C ．22

D ．122-

5．如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形，根据

图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是

（ ）

A ．乙>丙>甲

B ．丙>乙>甲

C ．甲>丙>乙

D ．无法判断

6．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a 第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=+2

23y x by ax ，只有正数解的概

率为

（ ） A ．121 B ．92 C ．185 D ．36

13 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

7．计算：2406631

2305941

--+++= .

8．已知||x-2|-b |=a 有四个不同的解，则|

|||||||b b a a a b a b b a b a ++--+++= . 9．若抛物线1422++-=p px x y 中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为 .

10．如图，半径为r 的圆O 沿折线ABCDE 作无滑动的滚动，如果AB =BC =CD =DE =r π2，

∠ABC =∠CDE =150°，∠BCD=120°，那么，圆O 自点A 至点E 转动了 周.

11．二次函数a ax x y ++=22在21≤≤-x 上有最小值-4，则a 的值为

.

12．在平面直角坐标系中，已知P 1的坐标为（1，0），将其绕着原点按逆时针方向旋转30°得到

P 2，延长OP 2到P 3使OP 3=2OP 2，再将P 3绕原点按逆时针方向旋转30°得到P 4，延长OP 4到P 5，使OP 5=2OP 4，如此继续下去，则点P 2010的坐标为 .

三、解答题（本大题共5小题，第13题10分，第14-16题各12分，第17题14分，共60分）

13．已知m ，n 是方程0132=++x x 的两根.

（1）求m

m m m m 23102)5165(---⋅--+的值； （2）求m

n n m 3

3+的值.

14．甲、乙两人从A 地到B 地，甲骑自行车，乙步行，已知甲每小时比乙每小时多走8千米，甲、

乙同时出发，甲比乙早到5小时，若甲到B 地后立即沿原路返回，则在距B 地15千米处与乙相遇，求A ，B 两地间的距离及甲、乙两人的速度.

15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D，P分别是AC，BC的中点，△ADE是等腰三角形，∠AED=90°，连接BE，EC.

（1）判断线段BE和EC的关系，并证明你的结论；

（2）连接P A，PE，过点A作AM∥PE，过点E作EM∥P A，AM和EM相交于点M，在图中先补充图形，再判断四边形P AME的形状，并证明你的结论.

16．如图，在 ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足∠ECD =∠ACB ，AC 的延长线与△ABD

的外接圆交于点F ，证明:∠DFE =∠AFB .

17．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A ，B 的坐标分别是(5，0)，(3，2)，点D

在线段OA 上，BD =BA ，点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0，3)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b

（1）求k 的取值范围；

（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线ax ax y 52-=的顶点在直线PQ ，OA ，AB ，BC

围成的四边形内部，求a 的取值范围.