函数的含义与表示-P

函数符号大全含义函数符号是数学中常见的一种符号表示方式，用于描述数学中各种数学函数的性质、定义及运算规则。

下面将介绍一系列常见的函数符号及其含义。

加法符号（+）加法是数学中最基础的运算符号，表示两个数的相加结果。

例如，3 + 4 = 7。

减法符号（-）减法是数学中常见的运算符号，表示一个数减去另一个数的结果。

例如，5 - 2 = 3。

乘法符号（×）乘法是数学中常见的运算符号，表示两个数的相乘结果。

例如，2 ×3 = 6。

除法符号（÷）除法是数学中常见的运算符号，表示一个数除以另一个数的结果。

例如，6 ÷ 2 = 3。

等于符号（=）等于符号用于表示两个数或者表达式相等。

例如，2 + 3 = 5。

不等于符号（≠）不等于符号用于表示两个数或者表达式不相等。

例如，2 + 3 ≠ 6。

小于符号（<）小于符号用于比较两个数的大小关系，表示前一个数小于后一个数。

例如，2 < 5。

大于符号（>）大于符号用于比较两个数的大小关系，表示前一个数大于后一个数。

例如，5 > 2。

小于等于符号（≤）小于等于符号用于比较两个数的大小关系，表示前一个数小于等于后一个数。

例如，2 ≤ 2。

大于等于符号（≥）大于等于符号用于比较两个数的大小关系，表示前一个数大于等于后一个数。

例如，3 ≥ 2。

开方符号(√)开方符号用于表示一个数的平方根。

例如，√9 = 3。

绝对值符号（| |）绝对值符号用于表示一个数的非负值。

例如，|-5| = 5。

圆括号（( )）圆括号用于改变运算的优先级，或表示一个集合。

例如，(3 + 2) × 4 = 20。

方括号（[ ]）方括号常用于表示某个范围或集合。

例如，[1, 5]表示自然数范围从1到5。

大括号（{ }）大括号常用于表示集合。

例如，{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。

点符号（.）点符号常用于表示两个数的乘法或表示数的小数部分。

学智教育教师备课手册教师姓名学生姓名填写时间学科年级上课时间课时计划教学目标教学内容集合的概念与运算个性化学习问题解决教学重点、难点教学过程一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为A B或B A；如果A B，并且A B，这时集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足A B、B A，则A=B.5.补集：设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A B.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题导讲[例1]已知集合M={y|y =x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组得或∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．[例2]已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}[例3]已知m A,n B, 且集合A=，B=，又C=，则有：（）A．m+n A B. m+n B C.m+n C D. m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵m A，∴m=2a,a,同理n=2a+1,a Z, ∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵m A, ∴设m=2a 1,a1Z,又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+n B, 故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B A，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使B A，只须∴ p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由B A得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5]已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6]设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1?A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ?－1∈A ?∈A ? 2∈A∴ A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ?∈A ?∈A?A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.[例7]设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：A B．证明：任设∈A，则==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈N+),∵ n∈N*，∴ n＋2∈N*∴ a∈B故①显然，1，而由B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B ②由①、②得A B．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16 B．14 C．15 D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2 } B．{－2，－} C．{±2，±} D．{，－} 3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．Q C．D．不知道4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P Q5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则M N＝（）A． B．C． D．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围.8.已知集合A=和B=满足A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.§1.2．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ” .7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真 .8．充分条件与必要条件：①p q ：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②p q ：p是q的充要条件 .9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：关键词是都是（全是）（）至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是（全是）（）一个也没有至少有两个存在任意2．全称命题与特称命题的关系：全称命题p:,它的否定:；特称命题p:,它的否定:；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲[例1]把命题“全等三角形一定相似”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定“一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.[例2]将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出否命题.a>o时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o时，x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件，将“随着”看作结论，而x的值增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o时，则函数y=ax+b的值随着x的值增加而增加，其否命题为若a o时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把a>o看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： a>o时，若x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为： a>o时，若x的值不增加，则函数y=ax+b的值也不增加.原命题也可改为：当x的值增加时，若a>o，，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为：当x增加时，若a o，则函数y=ax+b的值不增加.[例3]已知h>0，设命题甲为：两个实数a、b满足，命题乙为：两个实数a、b满足且，那么A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件错解：,故本题应选C.错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.正解：因为所以两式相减得故即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.由于同理也可得因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.[例4]已知命题甲：a+b4, 命题乙:a且b，则命题甲是命题乙的.错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.错因：对命题的否定不正确.a且b的否定是a=1或b=3.正解：当a+b4时,可选取a=1,b=5，故此时a且b不成立(a=1).同样，a,且b时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a且b为真时，必须a,b同时成立.[例5]已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析：本题考查简易逻辑知识.因为p r s q但r成立不能推出p成立，所以,但q成立不能推出p成立，所以选A解：选A[例6]已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)①mx2－4x＋4＝0 ②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0求方程①和②都有整数解的充要条件.解：方程①有实根的充要条件是解得m 1.方程②有实根的充要条件是，解得故m=－1或m=0或m=1.当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.∴①②都有整数解的充要条件是m=1.[例7]用反证法证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0证明：假设、、均小于0，即：----①；----②；----③；①+②+③得，这与矛盾，则假设不成立，∴、、中至少有一个不小于0.[例8]已知命题p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．分析：“p或q”为真，则命题p、q至少有一个为真，“p且q”为假，则命题p、q至少有一为假，因此，两命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.解：若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2，即命题p：m＞2若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一为假，因此，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.∴解得：m≥3或1＜m≤2.四、典型习题导练1．方程至少有一个负根，则（）A.或B.C.D.2．“”是“或”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．三个数不全为0的充要条件是（）A.都不是0.B.中至多一个是0.C.中只有一个是0.D.中至少一个不是0.4．由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ ___，“p且q”形式的命题是__ _，“非p”形式的命题是__ _.5．若，试从A. B. C. D. E.F.中，选出适合下列条件者，用代号填空：（1）使都为0的充分条件是；（2）使都不为0的充分条件是；（3）使中至少有一个为0的充要条件是；（4）使中至少有一个不为0的充要条件是．6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假．（1）p: 梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等．（2）p: 1是方程的解；q：3是方程的解．（3）p: 不等式解集为R；q: 不等式解集为．。

函数的起源，发展与演变。

一．函数定义1．本义一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，如果给定一个x 值，相应的就确定唯一的一个y，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y 的取值范围叫做函数的值域。

近代演变义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。

其中x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

2．几何含义函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。

令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。

另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

二．起源早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义．1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为yx.当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子,取名为解析函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．18世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候,达朗贝尔说是指“任意的解析式”,而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延．三．发展δ-函数的出现,引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义,只允许数与数之间建立对应关系,而没有把“∞”作为数．另外,对于自变量只有一个点不为零的函数,其积分值却不等于零,这也是不可想象的．然而,δ-函数确实是实际模型的抽象．例如,当汽车、火车通过桥梁时,自然对桥梁产生压力．从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有一个,设车辆对轨道、桥面的压力为一单位,这时在接触点x=0处的压强是P（0）=压力／接触面=1／0=∞．其余点x≠0处,因无压力,故无压强,即P（x）=0.另外,我们知道压强函数的积分等于压力,即函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f（x）.元素x称为自变元,元素y称为因变元．函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志,它研究的是一般集合上的函数关系．函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结,近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．设集合X、Y,我们定义X与Y的积集X×Y为X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系,若（x,y）∈R,则称x与y有关系R,记为xRy.若（x,y）R,则称x与y无关系．现设f是X与Y的关系,即fX×Y,如果（x,y）,（x,z）∈f,必有y=z,那么称f为X到Y的函数．在此定义中,已在形式上回避了“对应”的术语,全部使用集合论的语言了．从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．三．演变设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。

《函数的概念及其表⽰》教案完美版《函数的概念及其表⽰》教案第⼀课时： 1.2.1 函数的概念（⼀）教学要求：通过丰富实例，进⼀步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习⽤集合与对应的语⾔来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作⽤；了解构成函数的要素；能够正确使⽤“区间”的符号表⽰某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，⽤集合与对应的语⾔来刻画函数。

教学过程：⼀、复习准备：1. 讨论：放学后骑⾃⾏车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在⼀个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每⼀个确定的值，y 都有唯⼀的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是⾃变量，y 是因变量. 表⽰⽅法有：解析法、列表法、图象法.⼆、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .⼀枚炮弹发射，经26秒后落地击中⽬标，射⾼为845⽶，且炮弹距地⾯⾼度h （⽶）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近⼏⼗年，⼤⽓层中臭氧迅速减少，因⽽出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞⾯积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常⽤恩格尔系数（⾷物⽀出⾦额÷总⽀出⾦额）反映⼀个国家⼈民⽣活质量的⾼低。

“⼋五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每⼀个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯⼀确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是⾮空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的⼀个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫⾃变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？⼀次函数(0)y ax b a =+≠、⼆次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

二次函数必背知识点 冲刺中考1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121考点一、二次函数的概念和图像 （3~8分）1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

函数的概念知识图谱函数的概念与表示知识精讲一.函数的定义1.传统定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量.2.现代定义：设集合A 是一个非空的数集，对于A 中的任何一个数x ，按照某个确定的法则f ，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作()y f x =，x A ∈.其中x 叫做自变量，x 的取值集合A 叫做这个函数的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){,}y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．二.区间的概念及表示设 , a b ∈R ，且a b <.则 , a b 可以作为端点表示一个区间，区间的长度为b a -.如图所示，其中符号+∞读作“正无穷大”，符号-∞读作“负无穷大”,用,+∞-∞作为区间的一端或两端的区间成为无穷区间.含义名称符号图形表示{|}x a x b≤≤闭区间[,]a b{|}x a x b<<开区间(,)a b{|}x a x b≤<左闭右开区间[,)a b{|}x a x b<≤左开右闭区间(,]a b{|}x x a≥左闭右开区间[,)a+∞{|}x x a>开区间(,)a+∞{|}x x a≤左开右闭区间(,]a-∞{|}x x a<开区间(,)a-∞R开区间(,)-∞+∞数轴上所有点三.映射与函数1.映射的定义设,A B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x.于是()y f x=，x称作y的原象.映射f也可记为：: A Bf→，()x f x→.其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象()f x构成的集合叫做映射f的值域，通常记作()f A.2.一一映射如果映射f是从集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.3.函数与映射的关系（1）映射中的集合可以是数集，也可以是点集或其他集合.例如映射可以是人到物品或者人到成绩的对应关系，函数只能是数字之间的对应关系.映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，是建立在两个非空数集上的映射.（2）在映射:f A B→中：①集合A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的；②不要求集合B中的每一个元素都有原象，即B中可能有些元素不是集合A中的象，且集合B中的象在A中对应的原象不唯一.若映射是一个函数，则要求集合B中的每一个元素都有原象；（3）映射中的“对应”包括“一对一”和“多对一”，但不包括“一对多”和“多对多”.四.函数的表示方法1.列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．2.图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(,())x f x 作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{(,)|(),}F P x y y f x x A ==∈．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．3.解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．五.复合函数1.定义如果y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即(),()y f u u g x ==，那么y 关于x 的函数[()]y f g x =叫做复合函数，u 叫做中间变量．如函数21(0,1)x y a a a +=>≠且可以看成是由指数函数(0,1)u y a a a =>≠且和二次函数21u x =+复合而成的．三点剖析一.注意事项1.函数()y f x =，f 代表此函数的对应法则，也可用其他字母表示，如“()y g x =”.2.符号∞不是一个数，而是一个变化趋势.二.方法点拨1.相同函数的判定函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域()f A 和对应法则f .当函数的定义域A 及对应法则f 确定之后，函数的值域()f A 也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域A 和对应法则f 都分别相同时，这两个函数才是同一个函数；定义域不同而解析式相同的函数要看做是不同的函数.另外，要理解(),()y f x x A =∈的意义，对应法则与我们选择表示自变量的字母没有关系，例如2()f x x =与2()f t t =等都表示同一函数.函数及区间的概念例题1、下列四种说法中，不正确的是（）A.函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D.若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素例题2、用区间表示下列集合：1{|}x x >-=__________．{5|2}x x <≤=__________．3{|}x x ≤-=__________．4{|2}x x ≤≤=__________．3{|0x x -≤<,或24}x ≤<__________．例题3、如图，可表示函数y ＝f （x ）的图象的可能是（）A. B. C. D.随练1、下列四个图象中，不是函数图象的是（）A.B.C.D.判断同一函数例题1、下列函数中哪个与函数y x =相等（）A.2(y x = B.33y x= C.2y x= D.2x y x=例题2、下列各组函数表示同一函数的是（）A.293x y x -=-与y =x +3B.21y x =-与y =x -1C.y =x 0（x ≠0）与y =1（x ≠0）D.y =2x +1，x ∈Z 与y =2x -1，x ∈Z例题3、下列各组函数中，表示同一组函数的是（）A.f （x ）＝x －2，21()31x g x x -=-- B.f （x ）＝x ，2()(g x x =C.2()f x x =g （x ）＝x D.f （t ）＝|t －1|，1,1()1,1x x g x x x -≥⎧=⎨-+<⎩随练1、下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（）A.()-1f x x =与()221x x x g -+= B.()f x x =与()2g x x x=C.()f x x =与()33g x x =D.()242x x x f --=与()2g x x =+随练2、下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.f （x ）=2x ，g （x ）=x ）2B.f （x ）=（x -1）0，g （x ）=1C.f （x ）=211x x --，g （x ）=x +1D.f （x ）2x ，g （t ）=|t |映射与函数例题1、设A 到B 的函数2:(1)f x y x →=-，若集合{0,1,2}A =，则集合B 不可能是（）A.{0,1}B.[0,1,2]C.{0,1,2}-D.{0,1,1}-例题2、给出下列四个对应：如图，其构成映射的是（）A.只有①②B.只有①④C.只有①③④D.只有③④例题3、下列从集合A 到集合B 的对应中，是映射的是（）A.A ＝{0，3}，B ＝{0，1}；f ：x→y ＝2xB.A ＝{－2，0，2}，B ＝{4}；f ：x→y ＝|x|＋1C.A ＝R ，B ＝{y|y ＞0}；f ：14x y x →=D.A ＝R ，B ＝R ；f ：x→y ＝－x ＋1随练1、已知集合A 到B 的映射31f x y x →=+：，若B 中的一个元素为7，则对应的A 中原像为（）A.22B.17C.7D.2函数的表示方法例题1、如果函数f x g x （），（）分别由下表给出x 123f （x ）132x 123g （x ）321则1g （）的值为，[]1f g （）的值为．例题2、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）A.y=[10x ]B.y=[310x +]C.y=[410x +]D.y=[510x +]例题3、如图，在△AOB 中，点A （2，1），B （3，0），点E 在射线OB 上自O 开始移动，设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积S ，则函数S ＝f （x ）的图象是（）A.B.C.D.随练1、如图，等腰梯形的下底边AB =2，上底边CD =1，两腰AD =BC =1，动点P 从点B 开始沿着边BC ，CD 与DA 运动，记动点P 的轨迹长度为x ，将点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为（）A. B. C. D.随练2、某工厂8年来某产品产量y 与时间t 年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．以上说法中正确的是．函数的定义域知识精讲一．函数定义域的三种类型解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含以下几种类型：1．自然型：指使函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围.2．限制型：指命题的条件或人为对自变量x 的限制，这是函数学习中重点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；3．实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义．二．具体函数的定义域1．如果()f x 是整式，则()f x 的定义域就是实数集R ；2．如果()f x 是分式，则要求分母不为0；3．如果是()f x 的偶次根式，即形如())*2n f x n N ∈时，则要求()0f x ≥；4.0y x =的定义域是{}0x x ≠；5．如果()f x 是由多项构成的，那么函数的定义域是每项都有意义的x 的集合．三．抽象函数的定义域抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数．求抽象函数的定义域有以下四种基本题型：1．已知()f x 的定义域为A ，求[()]f g x 的定义域.由()g x A ∈解出x 的范围，即为[()]f g x 的定义域.2．已知[()]f g x 的定义域为A ，求()f x 的定义域.()f x 的定义域就是()g x 的值域，其中x A ∈.3．已知[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由[()]f g x 定义域求得()f x 的定义域，再由()f x 的定义域求得[()]f h x 的定义域．4．已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．三点剖析一．注意事项1.当函数()y f x =用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合.2.当函数()y f x =用图象给出时，函数的定义域是指图象在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合.3．定义域不同，而对应法则相同的函数，是两个不同的函数．4．若未加以特别说明，函数的定义域是指使这个式子有意义的所有x 的集合，在实际问题中，还必须考虑x 所代表的具体量的取值范围．具体函数的定义域例题1、已知函数229xy x -=-，其定义域为（）A.(-),2∞ B.(-],2∞C.()-(,3]--3,2∞⋃ D.[)(2,33),⋃+∞例题2、函数23x x x f =-（）的定义域为（）A.[0,3]2 B.[0]3， C.[30]-， D.03（，）例题3、函数1y x x =-+）A.{}1|x x ≤B.{}0|x x ≥C.{1|x x ≥或0}x ≤D.{}1|0x x ≤≤随练1、（2014四川雅安重点中学高一上期末模拟）函数f （x ）=1x ++12x-的定义域为____。

高中数学必修1知识点总结一、集合与函数的概念1. 集合的含义与表示- 集合是具有某种特定性质的事物的全体。

- 常用符号表示集合，如A={x|x满足性质P}。

2. 集合之间的关系- 子集：集合A中的所有元素都属于集合B，则A是B的子集。

- 真子集：A是B的子集，且A不等于B。

- 并集：集合A和集合B中所有元素组成的集合。

- 交集：集合A和集合B中共有的元素组成的集合。

- 补集：集合A在全集U中的补集是全集U中不属于A的元素组成的集合。

3. 函数的概念- 函数是定义在非空数集之间的映射关系。

- 函数的表示方法：f(x)、y=f(x)等。

4. 函数的简单性质- 定义域：函数f(x)的定义域是所有能使函数式有意义的x的集合。

- 值域：函数f(x)的值域是所有f(x)的取值构成的集合。

- 单调性：函数在某个区间内，若x1<x2，则f(x1)≤f(x2)，则称函数在该区间单调递增。

- 奇偶性：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

二、基本初等函数1. 幂函数- y=x^n (n为实数)，其中n=0,1,2,3...时分别对应不同的函数。

2. 指数函数- y=a^x (a>0, a≠1)，a为底数，x为指数。

3. 对数函数- y=log_a(x) (a>0, a≠1)，a为底数，x为真数。

4. 三角函数- 正弦函数：y=sin(x)- 余弦函数：y=cos(x)- 正切函数：y=tan(x)- 余切函数：y=cot(x)- 正割函数：y=sec(x)- 余割函数：y=csc(x)三、三角恒等变换1. 同角三角函数的基本关系- sin^2(x) + cos^2(x) = 1- 1 + tan^2(x) = sec^2(x)- 1 + cot^2(x) = csc^2(x)2. 特殊角的三角函数值- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3- sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √33. 和差公式- sin(a±b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)- cos(a±b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)- tan(a±b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)tan(b))四、数列的概念与简单表示1. 数列的概念- 数列是按照一定顺序排列的一列数。

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-）3、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，y 为零；y 轴上的点，x 为零；原点的坐标为（0 , 0）。

4、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

7、点P （x,y ）的几何意义：点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|，点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。

点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x +8、两点之间的距离：X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -=已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+-9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 212y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。

常见热力学符号的意义（二）引言：在热力学领域，使用许多符号来表示各种物理量和性质。

这些符号可以帮助我们更好地理解和描述热力学过程。

本文将继续探讨常见热力学符号的含义，以帮助读者更好地理解热力学知识。

正文：一、状态函数的符号意义1. 内能（U）：表示系统中的能量总量，包括系统的微观和宏观能量。

2. 焓（H）：表示系统在恒定压力下的总能量，包括内部能量和对外界所做的功。

3. 自由能（F）：表示系统在固定温度和体积下可做的最大非体积功。

4. 吉布斯自由能（G）：表示系统在固定温度和压力下可做的最大非体积功。

5. 熵（S）：表示系统的无序程度，也可理解为系统的混乱程度。

二、物态方程的符号意义1. 温度（T）：表示物体的热平衡程度，可以用来描述热量的传递方向。

2. 压力（P）：表示物体受到的力的大小，可以用来描述物体的形变和压缩程度。

3. 体积（V）：表示物体占据的空间大小，可以用来描述物体的形状和大小。

4. 密度（ρ）：表示单位体积内的质量，可以用来描述物体的紧密程度。

5. 摩尔数（n）：表示单位物质量内所含的摩尔个数，可以用来描述物质的量的大小。

三、热力学过程的符号意义1. 等温过程（ΔT = 0）：表示系统在恒定温度下进行的过程，内能和焓保持不变。

2. 绝热过程（Q = 0）：表示系统与外界没有热量交换的过程，熵和吉布斯自由能保持不变。

3. 等压过程（ΔP = 0）：表示系统在恒定压力下进行的过程，焓和吉布斯自由能保持不变。

4. 等体过程（ΔV = 0）：表示系统在恒定体积下进行的过程，内能和自由能保持不变。

5. 非绝热过程（ΔS ≠ 0）：表示系统与外界有热量交换的过程，熵发生改变。

四、热力学定律的符号意义1. 第一定律（ΔU = Q - W）：表示能量守恒定律，系统的内能变化等于吸收热量减去对外界所做的功。

2. 第二定律（ΔS ≥ 0）：表示熵增加的原理，系统与外界交换热量时，熵总是增加或保持不变。