求解积分因子的方法整理

3第14卷 第3期 邯郸师专学报 2004年9月 Vol. 14 No.3 Journal of Handan Teachers College Sept. 2004积分因子的存在条件及求法阎淑芳(邢台学院 数学系找积分因子是解一阶常微分方程的一种重要方法积分因子常微分方程中图分类号A 文章编号M(xy)dy=0(1)其求解方法是根据类型确定求解方法所谓全微分方程就是方程(1)的左端恰为某个函数的全微分当此条件不满足时方程(1)就不是全微分方程(x 使方程(1)的两端乘以ｙ）后所得的方程ｙ）Ｍ（ｘ（ｘｙ）ｄｙ＝０（２）为全微分方程(x1 积分因子存在的条件微分方程ｙ）Ｍ（ｘ（ｘｙ）ｄｙ＝０为全微分方程的充要条件是xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)],(),([)],(),([µµ既 x y x y x N x y x N y x x y x y x M y y x M y x ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂),(),(),(),(),(),(),(),(µµµµ另记ｙ）＝Ｍ（ｘＮ（ｘ上式整理即为ｙ）为方程(1)的积分因子的充要条件是ｙ）为方程(3)的解1Ò»°ãÇé¿öϱȽÏÀ§ÄÑ收稿日期阎淑芳(1964女邢台学院数学系副教授.4 2004年 邯郸师专学报 第3期　必要性若方程(1)存在只与x有关的积分因子则0=∂∂yµ代入(3)得　)(11xNy M N ∂∂−∂∂=∂∂χµµ (4) 左端只依赖于x 而与y 无关既)()(1x xN y M N Φ=∂∂−∂∂ÂÔ(x[y)]为方程(1)的积分因子的充要条件是分式)],([)/()(y x y M x N x N y M ωωωΦ=∂∂−∂∂∂∂−∂∂且ｙ）＝)],([)()(y x f f e d ωωωω=≡Φ∫(这里)],([y x ωΦ为ｙ）的复合函数)(x(y))为方程(1)的积分因子52004年 阎淑芳即 ωωωµµd yM x N x Ny M d ∂∂−∂∂∂∂−∂∂=视的自变量(xËùÒÔÓұߵķÖʽҲÈç´Ë(x所以)(ωµµΦ=d 可得 )],([)(),()(y x f f ey x d ωωµωω=≡=Φ∫ 充分性证明略时),(y x µ为x+y 的函数),(y x µ时由定理3可以推出定理13 分组求积分因子定理4 设0µ为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0之积分因子则对任意单元可微函数)(U Φ证明 依题设(x62004年 邯郸师专学报 第3期½«·½³Ì(1)写成(dy N dx M 11+)+(dy N dx M 22+)=0 (或更多项)已知各括号内已求得积分因子),())(,(1111y x dU dy N dx M y x =+µ ),())(,(2222y x dU dy N dx M y x =+µ由定理4的结论其中21ΦΦ及是任意可微单元函数使成立等式111U Φµ=y x ,µ=ρ(x,y)=)(22U Φµ即为原始方程的积分因子后一组有积分因子21y和通积分x=C ÁíÓÐÌؽâx=0积分因子的存在条件及求法作者：阎淑芳作者单位：邢台学院,数学系,河北,邢台,054001刊名：邯郸师专学报英文刊名：JOURNAL OF HANDAN TEACHERS COLLEGE年，卷(期)：2004，14(3)被引用次数：1次1.期刊论文段志霞.卫艳荣全微分方程与积分因子法-宿州教育学院学报2009,12(1)给出了全微分方程通过积分可以求出它的通解,并提供了采用积分因子法把一阶微分方程转化为全微分方程来求解的一种方法.2.期刊论文徐安农.段复建全微分方程与积分因子法-桂林电子工业学院学报2002,22(2)在常微分方程理论的形成过程中,求解一阶微分方程曾出现过许多方法,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等.其中尤以积分因子法出现的最晚,而作用也最大.在教学中注意积分因子法在求解一阶微分方程中的重要作用是必要的.3.期刊论文吴绪权.Wu Xuquan积分因子的一种求法-中国水运（理论版）2006,4(9)从非全微分方程通过分离变量法变为全微分方程的过程入手,给出了一种求积分因子的方法.4.期刊论文汤光宋.徐丰几类有关全微分方程问题的求解公式-邵阳学院学报2003,2(2)利用全微分方程的条件,给出一类微分方程的积分因子及通解公式,得出几类全微分方程中未知函数所满足的微分方程,获得未知函数及全微分方程的通解.5.期刊论文温启军.张丽静.WEN Qi-jun.ZHANG Li-jing关于积分因子的讨论-长春大学学报（自然科学版）2006,16(5)采用积分因子方法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程一个重要手段,讨论了积分因子存在的充要条件及确定若干特殊类型积分因子的准则;通过实例来说明准则的应用方法.6.期刊论文刘许成.LIU Xu-cheng变量分离型积分因子存在定理及应用-大学数学2006,22(4)给出了变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的充要条件和计算积分因子的公式.7.期刊论文申小琳.Shen Xiaolin变量分离型积分因子存在性及其应用-延安职业技术学院学报2009,23(3)由变量分离型积分因子u(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离因子u(x,y)=p(x)q(y)的充要条件和计算积分因子的公式,然后应用到一些微分方程的求解中.8.期刊论文张奕河.郭文川.ZHANG Yi-he.GUO Wen-chuan关于一阶常微分方程的积分因子求解问题-四川理工学院学报（自然科学版）2009,22(6)一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0不是全微分方程时,寻找它的积分因子成为求解方程的关键,但又是比较棘手的问题.针对这一情况,本文通过对方程的积分因子存在的充要条件定理的证明,利用定理结论求解积分因子,进而求出其通解,是一种行之有效又直观方便的方法,从而达到化难为易的目的,而且定理结论具有一般性,可以进行推广,使求积分因子时不再盲目,变得有规可循.9.期刊论文郭文秀.GUO Wen-xiu利用积分因子巧解微分方程-武汉职业技术学院学报2002,1(3)求微分方程的通解常用到积分因子,求积分因子无固定法则可循.本文力图通过对全微分方程解法的探索,提出求积分因子的常用方法,以便顺利地求微分方程的通解.10.期刊论文赵凯宏.李晓飞.ZHAO Kai-hong.LI Xiao-fei常微分方程求积分因子的一个定理及其应用-玉溪师范学院学报2004,20(12)将积分因子满足的偏微分方程改写成其特征方程,从而与常微分方程组的首次积分相联系.利用"可积组合法"来求积分因子,从而使所求常微分方程化成全微分方程.1.李刚升浅谈积分因子与偏微分方程[期刊论文]-科技信息(学术版) 2008(2)本文链接：/Periodical_hdszxb200403001.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：54451d1d-2ce5-4c75-b8ef-9dcf011bf3b6下载时间：2010年8月11日。

积分因子法积分因子法是一种在数学中常用的计算方法，可以帮助我们求解一定形式的积分。

它的原理比较简单，基本思想是将被积函数分解成不同的因子，然后再对每个因子进行积分计算。

在本文中，我们将详细介绍积分因子法的原理和具体应用。

首先，我们来看一下积分因子法的基本原理。

假设我们要求解的积分为∫f(x)dx，其中f(x)是一个函数。

我们可以将f(x)写成若干个因子的形式，例如f(x) = g(x)h(x)。

接下来，我们的目标是对g(x)和h(x)分别进行积分。

如果我们能够找到一个函数G(x)，使得G'(x) = g(x)，那么根据积分的基本性质，我们就可以将g(x)的积分表示为∫g(x)dx = ∫G'(x)dx = G(x) + C1，其中C1是常数。

同样地，如果我们能够找到一个函数H(x)，使得H'(x) = h(x)，那么h(x)的积分可以表示为∫h(x)dx = ∫H'(x)dx = H(x) + C2，其中C2是常数。

现在，我们可以将原积分∫f(x)dx分解成∫g(x)h(x)dx = ∫g(x)dx * ∫h(x)dx = (G(x) + C1)(H(x) + C2)。

该式可以进一步简化为G(x)H(x) + C3，其中C3 = C1H(x) + C2G(x) + C1C2。

从上述求解过程中，我们可以看出，积分因子法的关键是找到合适的积分因子g(x)和h(x)，使得我们可以求得其积分G(x)和H(x)。

这可能需要一些技巧和经验，有时候需要进行一些变换和配凑。

下面，我们将通过几个具体的例子来展示积分因子法的应用。

例1：计算∫(x^2 + x + 1)dx。

我们可以将被积函数f(x)分解为三个因子，即f(x) =x^2 + x + 1 = x^2 + (2x + 1/2) + (3/4)。

接下来，我们对每个因子进行积分计算。

对于g(x) = x^2，我们可以找到一个函数G(x)，使得G'(x) = g(x)，即G(x) = (1/3)x^3。

一阶微分方程积分因子的探讨一阶微分方程是常见的数学问题，其中积分因子是一种常用的解法之一。

积分因子是指一个函数，可以乘到微分方程的两边，使其变成可积的形式。

本文将讨论一阶微分方程中积分因子的概念、求法以及应用。

一、积分因子的概念对于一阶微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数，如果存在一个函数μ(x)，使得μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)成立，则称μ(x)为该微分方程的积分因子。

二、积分因子的求法求解积分因子的方法有许多种，以下介绍两种常用的方法。

1.利用P(x)的特殊形式求积分因子当P(x)具有一定的特殊形式时，可以通过变形求得积分因子。

例如，当P(x)是一个常数时，我们可以将μ(x)设为e^(kx)，其中k 为待定常数，代入μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)中化简，得到：e^(kx)dy/dx + ke^(kx)y = e^(kx)Q(x)将该式两边同时乘以e^(kx)，得到：e^(2kx)dy/dx + ke^(kx)dy/dx = e^(kx)Q(x)e^(kx) 对于左边的式子，我们可以发现它是一个乘积的求导形式，因此可以利用乘积法则进行求导，得到：d/dx(e^(kx)y) = e^(kx)Q(x)e^(kx)将该式两边同时积分，得到：e^(kx)y = ∫e^(kx)Q(x)e^(kx)dx + C因此，积分因子μ(x) = e^(kx) = e^(∫P(x)dx)。

2.利用常数变易法求积分因子常数变易法是一种常用的求解积分因子的方法。

具体步骤如下：（1）将微分方程写成dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式。

（2）设积分因子为μ(x)，则将μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)两边同时积分，得到：μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx + C其中C为常数。

常微分方程的积分因子求解法内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。

关键词： 全微分方程，积分因子。

一、 基本知识定义1.1 对于形如0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1）的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+,则称（1。

1）为全微分方程.易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）.定理1。

1 （全微分方程的判别法)设),(y x M ，),(y x N 在x ,y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则(1.1）是全微分方程的充要条件为xy x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( （1。

2) 证明见参考文献[1].定义1。

2 对于微分方程(1。

1）,如果存在可微函数),(y x μ，使得方程),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3）是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程(1。

1）的积分因子。

定理1。

2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为x y x y x N ∂∂),(ln ),(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=xy x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( （1。

4） 证明：由定理1。

1得，),(y x μ为微分方程(1。

1）的积分因子的充要条件为xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ， 展开即得： x y x y x N ∂∂),(),(μ—y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y y x M μ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂。

上式整理即得（1。

求解积分因子的方法整理积分因子是用于求解微分方程中的一种工具。

它是通过对微分方程进行一定的变换，使得变换后的微分方程可以方便地进行求解。

本文将介绍一些常用的求解积分因子的方法。

1. 修补法修补法是一种常用的求解一阶非线性微分方程积分因子的方法。

例如，考虑形如 y' + P(x)y = Q(x) 的微分方程。

我们可以将其变形成：y' + P(x)y - Q(x) = 0然后，我们找一个函数 f(x) 使得 f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] 是一个完全微分方程，即：f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)y]然后，我们令其等于 0，即可得到：这个方程的通解为：f(x)y = C，其中 C 为常数。

因此，我们可以将积分因子 f(x) 确定为：f(x) = e^{\int P(x)dx}2. 常数变易法然后，我们令其积分因子为 f(x)，即：考虑求出 f(x) 应满足的条件。

由于积分因子 f(x) 是一个乘积，因此其导数应该可以表示成一个和式，即：其中 A 和 B 是常数。

解这个常微分方程可以得到：其中 C 是常数。

因此，我们就得到了积分因子 f(x)。

3. 两类微分方程的积分因子对于形如 y' + P(x)y = Q(x) 和 y' - P(x)y = Q(x) 的微分方程，它们的积分因子分别为：其中，P(x) 和 Q(x) 是已知的函数。

对于形如 y'''+P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=S(x) 的三阶及以上的线性微分方程，我们可以通过求其特征方程来确定其积分因子。

特别地，当其特征根为实根时，其积分因子可以表示为：当其特征根为复根时，其积分因子可以表示为：f(x) = e^{\alpha x}[\cos(\beta x) + \alpha^{-1} \sin(\beta x)]其中，\alpha 和 \beta 是特征根的实部和虚部。

寻找积分因子的几种方法
1、直接分析法：直接分析法是指运用特定技术工具对积分因子进行直接分析、求解的方法，在科学研究和企业决策分析中，其中最常用的分析方法就是统计学分析方法，如回归分析等。

2、回归分析法：回归分析法是一种统计分析方法，能够分析变量之间关系，求解影响变量的数量和重要程度。

其中积分因子常用的回归分析方法主要包括：多项式回归分析、截尾回归分析、微分回归分析以及多因素回归分析等。

3、实证法：实证法是一种引入经验数据进行研究的方法，其中积分因子主要可以利用通过调查、实验、抽样和模型仿真等方法获得的数据来分析。

4、模糊评价法：模糊评价法是一种以主观因素权重作为积分因子的评价方法，该方法利用专家主观意见作为因素重要程度的指标，以计算所得出的综合评价值作为积分因子的结果。

5、混合评价法：混合评价法是在数量分析研究和模糊评价研究中十分有用的一种方法，它可以利用模糊评价的客观性和可衡量性，并与主观评价相结合，更具准确性地进行积分因子的确定。

积分因子的求法及简单应用数学科学学院摘 要：积分因子是常微分方程中一个很基本但却又非常重要的概念，本文在介绍了恰当微分方程与积分因子的概念以及相关定理的基础上，归纳总结了求解微分方程积分因子的几种方法，并利用积分因子理论证明了初等数学体系中的对数公式与指数公式，提供了一种新的解决中学数学问题的途径,体现了积分因子的简单应用价值。

关键词：恰当微分方程;积分因子；对数公式；指数公式1. 恰当微分方程的概念及判定1.1 恰当微分方程的概念 我们可以将一阶方程(),dyf x y dx =写成微分形式(),0f x y dx dy -=或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy += ⑴这里假设M(x,y ），N(x ，y ）在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数,如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u （x,y ）的全微分. 即()()(),,,u uM x y dx N x y dy du x y dx dy x y ∂∂+==+∂∂则称方程⑴为恰当微分方程。

[]11.2 恰当微分方程的判定定理1[]2 假设函数M （x,y)和N （x,y ）在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有M Nyx ∂∂=∂∂. 利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程。

2. 积分因子如果对于方程⑴在某矩形域内M Nyx ∂∂≠∂∂，此时方程⑴就称为非恰当微分方程。

对于非恰当微分方程,如果存在某个连续可微的函数u(x ，y ）≠0，使得()()()(),,,,0u x y M x y dx u x y N x y dy +=为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴的1个积分因子.注[]1 可以证明,只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的。

定理2[]2 函数u （x,y ）是方程⑴的积分因子的充要条件是u u M N NM u x y y x ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭3. 积分因子求法举例3.1 观察法对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如：⑴ 0ydx xdy +=有积分因子1xy⑵ 0ydx xdy -=有积分因子21x -，21y ，1xy ，221x y +,221x y -例1 找出微分方程()()110xy ydx xy xdy ++-=的一个积分因子。