牛顿莱布尼兹公式

dx x 1 t2
dx 1 1 t2
1 x2
【例题4.3.3】 求
d 3x2 cos t
(
dt)
dx 0 2 t
解： 由于上限是 x 的函数，所以可把 3x2 看
作 u ，根据复合函数的求导法则，先对 u 求导，
再对 x 求到，即
d ( 3x2 cos t dt) cos(3x2 ) (3x2 ) 6x cos3x2
x
a f (t)dt F(x) C ．
a
在上式中，令 x a ，且因为 a f (x)dx 0 ，所以可得
0 F(a) C ，即 C F(a) ，
于是
x
a f (t)dt F(x) F(a) ．
b
若在该式中再令 x b ，则可得 a f (t)dt F(b) F(a) ，
【例题4.3.1】
求
d ( x t cos2 tdt)
dx 0
解： d ( x t cos2 tdt) x cos2 x dx 0
【例题4.3.2】 求
d 1 sin t
(
dt)
dx x 1 t2
解： 由于定理是对积分上限求导，所以 先交换积分上下限，再求导
d ( 1 sin t dt) d ( x sin t dt) sin x
x a
f
(t)dt
是
f
(x)
在
[a, ຫໍສະໝຸດ Baidu]
上的一个
原函数，即
x
F(x) ( f (t)dt) f (x) a
证明
F (x x) F (x) 1 [
x x
f (t)dt
x
f (t)dt]
x
x a
a
1 xx
f (t)dt
x x
由积分的中值定理可知，在 x 与 x x之间必
存在一点 ，使
x 0
x
x 0
x
再由导数的定义可知，函数 F(x) 可导且
x
F (x) ( a f (t)dt) f (x) ．
这个定理就是原函数存在定理，它建立了导数与积分之间 的关系，也说明了本章第二节开始给出的一个结论：如果函数 f (x) 在区间a,b 上连续，则在该区间上 f (x) 的原函数一定存在．
b
f
(x)dx
F (b)
记作
F(a) ＝ F(x)
b
a
a
这个公式称为牛顿—莱布尼兹公式， 也称为微积分的基本公式．
证明 已知 F(x) 是 f (x) 在[a,b] 上的一个原函数，由定理 1 知，
x
函数 a f (t)dt 也是 f (x) 在[a,b] 上的一个原函数，则这两个原函数 之间仅相差一个常数 C，因此有
dx 0 2 t
2 3x2
2 3x2
由本例题得到如下的一般结论
d
(x)
f (t)dt
f ((x))(x)
dx a
(三) 微积分基本定理
【定理 2】（微积分的基本定理） 设 f (x) 在
[a,b] 上连续，F(x) 是 f (x) 在[a,b]上的任一原函数，
即 F(x) f (x) ，则有
函数 F(x) 表示右侧一边可以平行移动的
曲边梯形 aABb 的面积．如图 1，这个梯形的面
积是随 x 位置的变动而变化，且当 x 给定后，
这条边就确定，面积 F(x)也随之而定，因而 F(x)
是 x 的函数，也称为变上限函数．
y
A
y f (x)
B
oa
x
bx
2、函数F (x)的性质
b
（1） F(a) 0 ， F(b) a f (x)dx ；
4.3 牛顿—莱布尼兹公式
一、案例 二、知识要点 三、应用
一、案例
求：
11
dx 0 1 x2
二、 知识要点
(一) 变上限的定积分
1、变上限的定积分的定义
设函数 f (x) 在区间[a,b]上连续，若 x[a,b] ，则
称函数
F
(x)
x a
f
(t )dt
为变上限的定积分．
2、函数F (x)的几何意义
（2）若
f
(x)
在 [a, b] 上可积，则
F ( x)
x a
f
(t)dt
是 [a, b]
上的连续函数．
证明 设 x 是[a,b] 上任一点，因为 f (x) 在[a,b] 上
可积，所以 f (x) 在[a,b]上有界， 设 f (x) M （ M 为正常数），于是
x x
x
F(x x) F(x) a
x x
f (t)dt f ( )x x
于是
F (x x) F (x) f ( )
x
对上式两端取极限 x 0 ，于是 x x x ，由
于 在 x 与 x x 之间，所以这时必定 x ，于 是
， lim F (x x) F (x) lim f ( ) lim f ( ) f (x)
【例题4.3.4】 求
11
dx 0 1 x2
解：
1
1
dx
1 arcsin x
0 1 x2
0
arcsin1 arcsin 0
2
【例题4.3.5】 求
1
x dx
3
解： 先去掉被积函数的绝对值的符号，
再由定积分对积分区间的可加性可得
1
0
1
x dx (x)dx xdx
3
3
0
x2 0 x2 1
f (t)dt f (t)dt a
x x
f (t)dt
x x
f (t)dt M x
x
x
从而当 x 0 时， F(x x) F(x) 0 ，由连续
的定义可知， F(x) 在[a,b]上是连续函数
(二) 原函数存在定理
【定理 1】 若 f (x) 在[a,b]上连续，则
函数
F (x)
b
将积分变量改为 x 表示，上式即为 a f (x)dx F(b) F(a) ．定
理得以证明．
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定 积分与不定积分的之间的联系，把 积分和微分这两个不同的概念联系 了起来，从而把求定积分的问题化 为求原函数的问题，给定积分的计 算提供了有效而简便的方法，因此 它是一个很重要的公式，要求熟记．
5
2 3 2
0
【例题 4.3.6】 计算由曲线 y sin x 在 x 0, x 之间及 x 轴所围成的图形的面积 A．
解： 如图，由定积 y
分的几何意义，面积
y sin x
A为
A
π
o
A sin xdx cos x
0
0
π
x
cos π (cos0) 2