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组合最优化问题最基本的特点就是变量是离散的, 由此导致其数学模型中的目标函数和约束函数在其可行域内是也是离散的。
在现实世界中，许多的实际问题本质上是离散事件的而不是连续事件，都可归结为组合最优化问题。
这类问题在理论上多数都属于NP难问题，NP类问题仍属于可计算问题，即存在算法来求解。
求解这类组合最优化问题方法分为精确算法和近似算法两类。
常用的精确算法有动态规划、分支定界和枚举等。
精确算法只能解决一些小规模问题，当求解小规模组合优化问题时可以用这类精确算法在较短的时间内得到最优解。
当求解大规模组合优化问题时，理论上可以得到问题的最优解，但由于计算量太大，所以使用精确算法并不可行。
利用精确算法求解NP-hard组合优化问题时，即使能得到最优解，但所需要的计算时间过长，在实际问题中难以直接应用。
近似算法是指在合理的计算时间内找到一个近似的最优解。
近似算法虽然求解速度较快，但并不能保证得到问题的全局最优解。
近似算法分为基于数学规划（最优化）的近似算法、启发式算法和基于智能优化的近似算法。
1) 基于数学规划（最优化）的近似算法是根据对问题建立的数学规划模型，运用如拉格朗日松弛、列生成等算法以获得问题的近似解，是以数学模型为基础，采用列生成、拉格朗日松弛和状态空间松弛等求解问题。
拉格朗日松弛（LR）算法求解问题的主要思想是分解和协调。
首先对于NP难的优化问题，其数学模型须具有可分离性。
通过使用拉格朗日乘子向量将模型中复杂的耦合约束引入目标函数，使耦合约束解除，形成松弛问题，从而分解为一些相互独立的易于求解的子问题，设计有效的算法求得所有子问题的最优解。
利用乘子的迭代更新来实现子问题解的协调。
列生成(Column generation, CG)算法是一种已经被认可的成功用于求解大规模线性规划、整数规划及混合整数规划问题的算法。
与智能优化算法相比，基于数学规划的近似算法的优点是通过建立问题的数学模型，松弛模型中难解的耦合约束或整数约束，得到的松弛问题的最优解可以为原问题提供一个下界。
组合优化问题的分析与求解在我们的日常生活和工作中，经常会遇到各种各样需要做出最优决策的情况。
比如，物流运输中如何规划路线以最小化成本，生产线上如何安排工序以最大化效率，资源分配中如何分配有限的资源以满足最大的需求等等。
这些问题都属于组合优化问题，它们的共同特点是在有限的可行解集合中，寻找一个最优的解。
组合优化问题是一个具有广泛应用和重要意义的研究领域。
它不仅在数学、计算机科学、运筹学等学科中有着深厚的理论基础，还在工程、管理、经济等实际领域中发挥着重要的作用。
解决组合优化问题，可以帮助我们提高生产效率、降低成本、优化资源配置，从而实现更好的经济效益和社会效益。
那么，什么是组合优化问题呢？简单来说，组合优化问题就是在给定的约束条件下，从有限个可行解中找出一个最优解的问题。
这些可行解通常是由一些离散的元素组成，比如整数、集合、排列等。
而最优解则是指在满足约束条件的前提下，使得某个目标函数达到最大值或最小值的解。
组合优化问题的一个典型例子是旅行商问题（Travelling Salesman Problem，TSP）。
假设有一个旅行商要访问 n 个城市，每个城市只能访问一次，最后要回到出发城市。
已知城市之间的距离，那么如何规划旅行路线，使得旅行的总距离最短？这个问题看似简单，但实际上是一个非常复杂的组合优化问题，因为可能的路线数量随着城市数量的增加呈指数增长。
再比如背包问题（Knapsack Problem）。
有一个背包，其容量有限，同时有一系列物品，每个物品有一定的价值和重量。
如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大，同时不超过背包的容量限制？这也是一个常见的组合优化问题。
为了求解组合优化问题，人们提出了许多方法。
其中，精确算法是一种能够保证找到最优解的方法，但它们通常只适用于规模较小的问题。
例如，分支定界法就是一种常见的精确算法。
它通过不断地将问题分解为子问题，并对每个子问题进行评估和剪枝，逐步缩小搜索范围，最终找到最优解。
最短路优化最短路优化写在前⾯上次讲了最短路的基础，但是像最短路这种博⼤精深（坑特别深）的算法。
是肯定有优化的啦。
这⼀篇是给有最短路基础的⼈看的，假如没有嘛。
可以看看我以前写的SPFA我把这个算法挪到这边来写了，原因有两个：第⼀个是我上次懒得写了。
第⼆个是这个算法⽐较难，所以放在了优化这边⼀起写，⽽且它本⾝就是对贝尔曼福德的优化。
不说废话了，let's beginspfa 算法可以适⽤于负边权的情况，是 bellman-ford 的队列优化。
假设存在 G=<V,E>，dis[i]记录 V0 到 i 的最短距离，pre[i]记录从 V0 到 i 路径上 i 的前⾯的⼀个顶点;step1.将所有顶点对之间距离初始化为⽆穷⼤(dis[i][j]=⽆穷⼤)，pre[i]=i， vis[i]=0，将源点⼊队;step2.读取队头顶点 now，并将队头顶点 now 出队(记得消除标记)，将与点 now 相连的所有点 next 进⾏松弛操作（还记得吗，上⼀篇讲过），更新 dis[next]，另外，如果点next 没有在队列中，那么要将点 next ⼊队(记得标记)，如果已经在队列中了，那么就不⽤⼊队(如果某个顶点⼊队超过 V 次，则说明图中有负环，直接跳出);step3.重复 step2，直到队空为⽌就完成了单源最短路的求解。
这是主要思路。
下⾯有个图解（⽆耻的转⾃某博客）其实它和bfs⾮常类似（bfs在我创建的专题⾥有⼈讲过）。
只是bfs中的⼀个点出了队列就不会再回来了，⽽最段路中由于有环的存在，导致了⼀个点可能进⼊队列多次。
spfa函数附上下⾯是洛⾕题解的⼀个，感觉注释写的挺详细，也附上。
void spfa(){queue<int> q; //spfa⽤队列，这⾥⽤了STL的标准队列for(int i=1; i<=n; i++){dis[i]=inf; //带权图初始化vis[i]=0; //记录点i是否在队列中，同dijkstra算法中的visited数组}q.push(s); dis[s]=0; vis[s]=1; //第⼀个顶点⼊队，进⾏标记while(!q.empty()){int u=q.front(); //取出队⾸q.pop(); vis[u]=0; //出队标记for(int i=head[u]; i; i=edge[i].next) //邻接表遍历，不多解释了（也可⽤vector代替）{int v=edge[i].to;if(dis[v]>dis[u]+edge[i].dis) //如果有最短路就更改{dis[v]=dis[u]+edge[i].dis;if(vis[v]==0) //未⼊队则⼊队{vis[v]=1; //标记⼊队q.push(v);}}}}}spfa这个算法⾮常好⽤（功能强⼤，效率⾼ ）基本上单源最短路的题都可以⽤spfa，墙裂推荐狄杰斯特拉（堆优化）真不知道为什么会有⼈把它念成迪克特斯拉（需要有堆的基础）思路：在寻找周围最⼩点的时候，⽤最⼩堆，可以⽤ O(log n)的时间找出最⼩的可到达点。
组合优化问题求解方法及其应用组合优化问题是指在一定的约束条件下，在一组可选的元素中选取最优组合的问题。
如何求解组合优化问题一直是计算机科学中的重要研究方向之一。
在实际中，组合优化问题的应用非常广泛，从生产调度到金融风险评估等领域都发挥着重要作用。
本文将介绍几种常见的组合优化问题求解方法及其应用。
一、贪心算法贪心算法是一种简单而常用的求解策略。
它通常从问题的某一个初始状态开始，按照某种局部最优的规则逐步构造问题最终的解，直到满足整个问题的全局最优性。
贪心算法的核心思想就是：每一步都做出一个最优决策，最终达到全局最优解。
贪心算法适用于那些带有最优子结构性质的问题。
所谓最优子结构性质是指：一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
比如，在背包问题中，每次选择价值最大的物品来装入背包，就是一种贪心策略。
应用场景：1. 最小生成树问题最小生成树问题是指在一个连通的带权图中选取一棵生成树，使得所有边权之和最小。
Kruskal算法和Prim算法均属于贪心算法，可以高效地求解最小生成树问题。
2. 背包问题背包问题是指在有限的背包容量下，如何装入最有价值的物品。
贪心策略可以用来求解部分背包问题和分数背包问题。
二、分支限界法分支限界法是一种基于搜索的求解策略。
它通过不断缩小问题解空间，逐步约束问题的规模，最终求得最优解。
具体来说，分支限界法将问题解空间分成一个个子空间，在选择某一子空间的同时，通过对该子空间的搜索和剪枝，逐渐减小问题解空间的规模，直到找到最优解。
应用场景：1. 旅行商问题旅行商问题是指在一张带权完全图中，如何找到一条经过所有顶点的最短路径。
分支限界算法是一种高效的求解方法，通过剪枝技术可以显著降低搜索空间。
2. 整数规划问题整数规划问题是指在满足各种限制条件下，找到一组整数变量的最优取值使得目标函数值最小或最大。
分支限界算法可以用来求解整数规划的松弛线性规划问题。
三、动态规划算法动态规划算法是一种基于记忆化搜索的求解策略。
