2017届高考数学理-必做36道压轴题(高分突破题)

全国卷Ⅰ2017届高考压轴卷理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合2{|0},{|(0,1)},x M x x x N y y a a a R =-<==>≠表示实数集，则下列选项错误的是（ ） A ．M N M = B ．M N R = C ．R M C N =∅D ．R C M N R =2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z =（ ） A ．1251313i + B ．1251313i -+ C ．1251313i -- D ．1251313i - 3.将三颗骰子各掷一次，记事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个6点”，则条件概率P （A |B ）是（ ） A.B.C.D.4.曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．⎠⎜⎛0π2 (sin x －cos x )d xB ．2⎠⎜⎛0π4 (sin x －cos x )d xC ．⎠⎜⎛0π2 (cos x －sin x )d xD ．2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x5.按如图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =( )A. 45B. 47C. 49D. 516．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．1 1000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺7.设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若3184=S S ，则168S S 等于（ ）A.91B.103C.31 D.81 8.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2=++，那么（ ）A.AO OD =B.2AO OD =C.3AO OD =D.2AO OD =9.已知点P x y （,)满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为（ ） A ．2B．C．D ．410.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若212||||8PF PF a ⋅=，且12PF F ∆的最小内角为30 ，则双曲线C 的离心率是（ ）A.B.2C.D. 311.数列{a n }的通项公式为a n =11(1)n n++，关于{a n }有如下命题： P 1：{a n }为先减后增数列；P 2：{a n }为递减数列；P 3：*,n n N a e ∀∈>；P 4：*,n n N a e ∃∈<其中正确的是（ ） A.P 1,P 3B. P 1,P 4C. P 2,P 3D. P 2,P 412.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R . 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是（ ）A B. C. D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13. (4的展开式中33x y 的系数为 .14.已知等比数列}{n a 满足1129-+⋅=+n n n a a ，*N n ∈则数列}{n a 的前n 项和n S 为 ；15.已知过点)1,1(-M 的直线l 与椭圆13422=+y x 相交于B A ,两点，若点M 是AB 的中点，则直线l 的方程为 .16. 设数列{}n a 为等差数列，且1138a π=，若2()sin 22cos f x x x =+，记()n n b f a =，则数列{}n b 的前21项和为_________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）四边形ABCD 如图所示，已知2===CD BC AB ，32=AD . （1）求C A cos cos 3-的值；（2）记ABD ∆与BCD ∆的面积分别是1S 与2S ，求2221S S +的最大值.18.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？19.（本小题满分12分）如图1，等腰梯形ABCD 中，060,4,2=∠=∠==BCD ADC CD AB .取线段CD 中点E ，将A D E ∆沿AE 折起，如图2所示.（Ⅰ）当平面ADE 折到与底面ABCE 所成的二面角为090时，如图3所示，求此时二面角C BD A --平面角的余弦值.（Ⅱ）在将ADE ∆开始折起到与ABE ∆重合的过程中，求直线DC 与平面ABCE 所成角的正切值的取值范围.20.（本小题满分12分）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C 的圆心到直线x -2y =0的距离的最小值为时，求p 的值.21.（本小题满分12分）11(,)A x y 22(,)B x y 12(0)x x ≠22(0)y px p =>O OA OBOA OB OA OB +=- C 221212()()0x y x x x y y y +-+-+=AB C已知函数()()()2ln 10af x x a x a=++>+． (I) 当a =1时，求证：()1111x f x e x +>++（其中e 为自然对数的底数）(II) 设函数()f x 存在两个极值点，并记作12,x x ，若()()12+4f x f x >，求正数a 的取值范围；请考生在（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知点P 的直角坐标是(x ，y )．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P 的极坐标是(ρ，θ)，点Q 的极坐标是(ρ，θ+0θ)，其中0θ是常数．设点Q 的平面直角坐标是(m ，n )． (I)用x ，y ，0θ表示m ，n ； (Ⅱ)若m ，n 满足mn =1，且0θ=4π，求点P 的直角坐标(x ，y )满足的方程．23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知a ，b ，c >0，a +b +c =1．求证：(II)11133131312a b c++≥+++.参考答案一、选择题二、填空题13. 6 14.)12(3-n15 . 0743=--y x 16 . 21三、解答题17.解：（1）在ABD ∆中，A A AD AB AD AB BD cos 3816cos 2222-=⋅-+=， 在BCD ∆中，C C CD BC CD BC BD cos 88cos 2222-=⋅-+=， 所以1cos cos 3=-C A . （2）依题意A A AD AB S 222221cos 1212sin 41-=⋅=，C C CD BC S 222222cos 44sin 41-=⋅=， 所以C C C A S S 22222221cos 4)1(cos 416cos 44cos 1212-+-=-+-=+14)21(cos 812cos 8cos 822++-=+--=C C C ，因为4232<<-BD ，所以)16,3816(cos 882-∈=-BD C .解得13cos 1-<<-C ，所以142221≤+S S ，当21cos -=C 时取等号，即2221S S +的最大值为14.18.解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝⎛⎭⎫9104＋4×⎝⎛⎭⎫9103×⎝⎛⎭⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故1台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，1台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，2台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8；由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2＋③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，1台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，2台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，3台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的分布列如下所以，E (Y )＝3 400×0.2＋综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 19.解：（Ⅰ）在图3中取O AE 中点，建立直角坐标系.（Ⅱ）在图2中作点于交F B D B D DF '', .20. (I)证明1:整理得:设M (x ,y )是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则即 整理得: 故线段是圆的直径22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+ 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=0MA MB ⋅=1212()()()()0x x x x y y y y --+--=221212()()0x y x x x y y y +-+-+=ABC证明3:整理得: (1)以线段AB 为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得: 故线段是圆的直径(II)解法1:设圆C 的圆心为C (x ,y ),则又因所以圆心的轨迹方程为 设圆心C 到直线x -2y =0的距离为d ,则当y =p 时,d. 22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+ 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=2222121212121()()[()()]224x x y y x y x x y y ++-+-=-+-221212()()0x y x x x y y y +-+-+=AB C 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩2211222,2(0)y px y px p ==> 22121224y y x x p∴=12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p ∴-⋅=12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠ 2124y y p ∴⋅=-2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p=+222y px p =-22221|(2)2|y p y d +-===22=5=2p ∴=设直线x -2y +m =0到直线x -2y =0的距离为,则 因为x -2y +2=0与无公共点,所以当x -2y -2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x -2y =0的距离最小值为将(2)代入(3)得解法3: 设圆C 的圆心为C (x ,y ),则圆心C 到直线x -2y =0的距离为d ,则又因2552m =±222y px p =-222y px p =-522220(2)2(3)x y y px p --=⎧⎨=-⎩ 222220y py p p -+-=2244(22)0p p p ∴∆=--=02.p p >∴= 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩1212|()|x x y y d +-+=2211222,2(0)y px y px p ==> 22121224y y x x p ∴=12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p∴-⋅=21.解：（Ⅰ）当1=a 时，12)1ln()(+++=x x x f ， 不等式11e 1)(1++>+x x f x 可化为1e 111)1ln(+>+++x x x ，所以 要证不等式11e 1)(1++>+x x f x ，即证1e 111)1ln(+>+++x x x ，即证x x x e11ln >+， 设x x x h 1ln )(+=，则22111)(xx x x x h -=-='， 在)1,0(上，h '（x ）＜0，h （x ）是减函数；在)1∞+，（上，h '（x ）＞0，h （x ）是增函数． 所以1)1()(=≥h x h ，设x x e1)(=ϕ，则)(x ϕ是减函数， 所以1)0()(=<ϕϕx ，所以)()(x h x <ϕ，即xx x e 11ln >+， 所以当1=a 时，不等式11e 1)(1++>+x x f x 成立．（Ⅱ）222))(1()2(])(1[211)(a x x a a x a x a x x f ++-+=+-⨯++='，（*） 当2≥a 时，0>x ，∴0))(1()2()(22>++-+='a x x a a x x f ，函数)(x f 在),0(+∞上是增函数； 当20<<a 时，由0)(='x f ，得0)2(2=-+a a x ，解得)2(1a a x --=（负值舍去），)2(2a a x -=，当2≥a 时，0)(>'x f ，函数)(x f 无极值点；要使函数)(x f 存在两个极值点，必有20<<a ，且极值点必为)2(1a a x --=，)2(2a a x -=，又由函数定义域知，1->x ，则有1)2(->--a a ，即1)2(<-a a ，化为0)1(2>-a ，所以1≠a ，所以，函数)(x f 存在两个极值点时，正数a 的取值范围是)2,1()1,0( ．由（*）式可知，⎩⎨⎧-=⋅=+),2(,02121a a x x x x,212])1ln[()2(4])1ln[()()2(2)1ln())(()(2)]1)(1ln[(2)1ln(2)1ln()()(222222121212121211221221121+-+-=+-+-=++++++⋅+++=++++++++=+++++++=+a a a a a a a a x x a x x a x x a x x x x a x a x a x a x a x x ax ax a x a x x f x f不等式4)()(21>+x f x f 化为0212])1ln[(2>--+-a a ， 令))2,1()1,0((1 ∈=-a t a ，所以)1,0()0,1( -∈t ， 令22)ln()(2-+=tt t g ，)1,0()0,1( -∈t ． 当)0,1(-∈t 时，22)ln(2)(-+-=t t t g ，02,0)ln(<<-tt ，所以0)(<t g ，不合题意； 当)1,0(∈t 时，22ln 2)(-+=t t t g ，0)1(2)1(212)(22<-=-⨯+⨯='t t t t t g ，所以 )(t g 在)1,0(是减函数，所以02121ln 2)1()(=-+=>g t g ，适合题意，即)2,1(∈a ．综上，若4)()(21>+x f x f ，此时正数a 的取值范围是)2,1(．22.解：（Ⅰ）由题意知：⎩⎨⎧==,sin ,cos θρθρy x 和⎩⎨⎧+=+=).sin(),cos(00θθρθθρn m即⎩⎨⎧+=-=,sin cos cos sin ,sin sin cos cos 0000θθρθθρθθρθθρn m 所以⎩⎨⎧+=-=.cos sin ,sin cos 0000θθθθy x n y x m（Ⅱ）由题意知,22,m x y n x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以()()22222x y x y -+=.整理得12222=-y x . 23.解：（1）证法一：2()()()()()3a b c a b c a b b c c a =+++≤++++++++=证法二：由柯西不等式得:2222222(111]3≤++++=,（2）证法一：4(31)4,3143331a a a a ++≥=+∴≥-+同理得4433,333131b cb c ≥-≥-++，以上三式相加得，1114()93()6313131a b c a b c ++≥-++=+++，11133131312a b c ∴++≥+++．证法二：由柯西不等式得:2111[(31)(31)(31)]()3131319a b c a b c ++++++++++≥= 11133131312a b c ∴++≥+++．。

2017北京（19）（本小题13分）已知函数f (x )=e x cos x −x .（Ⅰ）求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f (x )在区间[0,2π]上的最大值和最小值.2017江苏20.（本小题满分16分）已知函数()321(0,)fx =x ax bx a b +++>∈R 有极值，且导函数()f x ，的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1） 求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2） 证明：b ²>3a ;（3） 若()f x ，()fx ， 这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求a 的取值范围.2017全国Ⅰ卷（理）21.（12分）已知函数()f x =a e 2x +（a ﹣2）e x ﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.2017全国Ⅱ卷（理）21.（12分）已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且230e()2f x --<<.2017全国Ⅲ卷（理）21.（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ++鬃?<，求m 的最小值．2017山东理科（20）（本小题满分13分） 已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e =L 是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.2017天津（20）（本小题满分14分）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈U ，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],p x x q∈U 满足041||p x q Aq -≥.2017浙江理科20．（本题满分15分）已知函数f (x )=（x e x -（12x ≥）. （Ⅰ）求f (x )的导函数；（Ⅱ）求f(x)在区间1[+)2，上的取值范围.。

压轴大题突破练(三) 函数与导数(1)1.已知函数f (x )＝(x 2－2ax ＋2)e x .(1)函数f (x )在x ＝0处的切线方程为2x ＋y ＋b ＝0，求a ，b 的值；(2)当a ＞0时，若曲线y ＝f (x )上存在三条斜率为k 的切线，求实数k 的取值范围. 解 (1)f (x )＝(x 2－2ax ＋2)e x ， f (0)＝2e 0＝2，2＋b ＝0，得b ＝－2. f ′(x )＝(x 2－2ax ＋2＋2x －2a )e x ＝[x 2＋(2－2a )x ＋2－2a ]e x ， f ′(0)＝2－2a ＝－2，得a ＝2， ∴a ＝2，b ＝－2.(2)f ′(x )＝[x 2＋(2－2a )x ＋2－2a ]e x ，令h (x )＝f ′(x )，依题意知存在k 使h (x )＝k 有三个不同的实数根， h ′(x )＝(x 2－2ax ＋2＋2x －2a ＋2x －2a ＋2)e x ＝[x 2＋(4－2a )x ＋4－4a ]e x ，令h ′(x )＝[x 2＋(4－2a )x ＋4－4a ]e x ＝0， 得x 1＝－2，x 2＝2a －2.由a ＞0知x 1＜x 2，则f ′(x )在(－∞，－2)，(2a －2，＋∞)上单调递增，在(－2，2a －2)上单调递减.当x →－∞时，f ′(x )→0，当x →＋∞时，f ′(x )→＋∞， ∴f ′(x )的极大值为f ′(－2)＝e －2(2a ＋2)，f ′(x )的极小值为f ′(2a －2)＝e 2a －2(2－2a )，∴此时e 2a －2(2－2a )＜k ＜e －2(2a ＋2).2.(2016·四川)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数).解 (1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减. 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a. 此时，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. (2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x .则s ′(x )＝e x －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增.又由s (1)＝0，有s (x )>0，从而当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a >1.由(1)有f ⎝⎛⎭⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝⎛⎭⎫12a >0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立. 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1).当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0.因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增.又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立. 综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 3.已知函数f (x )＝x 2－ln x .(1)求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)设函数g (x )＝f (x )－x 2＋ax ，a ＞0，若x ∈(0，e]时，g (x )的最小值是3，求实数a 的值(e 为自然对数的底数). 解 (1)∵f (x )＝x 2－ln x ， ∴f ′(x )＝2x －1x .∴f ′(1)＝1.又∵f (1)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0. (2)∵函数f (x )＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， 由f ′(x )＝2x －1x ＜0，得0＜x ＜22.∴函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是(0，22). (3)∵g (x )＝ax －ln x ，∴g ′(x )＝ax －1x ，令g ′(x )＝0，得x ＝1a .①当1a ≥e ，即0＜a ≤1e时，g ′(x )＝ax －1x ≤0在(0，e]上恒成立，则g (x )在(0，e]上单调递减，g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)；②当0＜1a ＜e ，即a ＞1e时，列表如下：由表知，g (x )min ＝g (1a )＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件.综上，所求实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时g (x )有最小值3. 4.已知函数f (x )＝2x＋a ln x －2(a >0).(1)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单调区间； (2)若对∀x ∈(0，＋∞)都有f (x )>2(a －1)成立，试求实数a 的取值范围；(3)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R )，当a ＝1时，函数g (x )在区间[e －1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围.解 (1)直线y ＝x ＋2的斜率为1，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 2＋ax ，∴f ′(1)＝－212＋a1＝－1，解得a ＝1，∴f (x )＝2x ＋ln x －2，f ′(x )＝x －2x 2，由f ′(x )>0得x >2，由f ′(x )<0得0<x <2， ∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)， 单调递减区间为(0，2).(2)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x 2(a >0)，由f ′(x )>0得x >2a ，由f ′(x )<0得0<x <2a ，∴f (x )的单调递增区间为(2a，＋∞)，单调递减区间为(0，2a )，当x ＝2a 时，f (x )取极小值，也就是最小值f (x )min ＝f (2a).∵对∀x ∈(0，＋∞)都有f (x )>2(a －1)成立， ∴f (2a )>2(a －1)，即22a ＋a ln 2a－2>2(a －1)，∴a ln 2a >a ，ln 2a >1，0<a <2e ，∴实数a 的取值范围为(0，2e).(3)当a ＝1时，g (x )＝2x ＋ln x ＋x －2－b (x >0)，g ′(x )＝x 2＋x －2x 2，由g ′(x )>0得x >1，由g ′(x )<0得0<x <1.∴g (x )的单调递增区间是(1，＋∞)， 单调递减区间为(0，1)， 当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1). ∵函数g (x )在区间[e －1，e]上有两个零点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g (e －1)≥0，g (e )≥0，g (1)<0，解得1<b ≤2e＋e －1.∴b 的取值范围是(1，2e＋e －1].2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x }，若M ∪N={0，1，2，3}，则x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。

全国卷Ⅰ2017届高考压轴卷理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合2{|0},{|(0,1)},x M x x x N y y a a a R =-<==>≠表示实数集，则下列选项错误的是（ ） A ．M N M = B ．M N R = C ．R M C N =∅D ．R C M N R =2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z =（ ） A ．1251313i + B ．1251313i -+ C ．1251313i -- D ．1251313i - 3.将三颗骰子各掷一次，记事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个6点”，则条件概率P （A |B ）是（ ） A.B.C.D.4.曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．⎠⎜⎛0π2 (sin x －cos x )d xB ．2⎠⎜⎛0π4 (sin x －cos x )d xC ．⎠⎜⎛0π2 (cos x －sin x )d xD ．2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x5.按如图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =( )A. 45B. 47C. 49D. 516．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．1 1000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺7.设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若3184=S S ，则168S S 等于（ ）A.91B.103C.31 D.81 8.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2=++，那么（ ）A.AO OD =B.2AO OD =C.3AO OD =D.2AO OD =9.已知点P x y （,)满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为（ ） A ．2B．C．D ．410.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若212||||8PF PF a ⋅=，且12PF F ∆的最小内角为30 ，则双曲线C 的离心率是（ ）A.B.2C.D. 311.数列{a n }的通项公式为a n =11(1)n n++，关于{a n }有如下命题： P 1：{a n }为先减后增数列；P 2：{a n }为递减数列；P 3：*,n n N a e ∀∈>；P 4：*,n n N a e ∃∈<其中正确的是（ ） A.P 1,P 3B. P 1,P 4C. P 2,P 3D. P 2,P 412.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R . 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是（ ）A B. C. D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13. (4的展开式中33x y 的系数为 .14.已知等比数列}{n a 满足1129-+⋅=+n n n a a ，*N n ∈则数列}{n a 的前n 项和n S 为 ；15.已知过点)1,1(-M 的直线l 与椭圆13422=+y x 相交于B A ,两点，若点M 是AB 的中点，则直线l 的方程为 .16. 设数列{}n a 为等差数列，且1138a π=，若2()sin 22cos f x x x =+，记()n n b f a =，则数列{}n b 的前21项和为_________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）四边形ABCD 如图所示，已知2===CD BC AB ，32=AD . （1）求C A cos cos 3-的值；（2）记ABD ∆与BCD ∆的面积分别是1S 与2S ，求2221S S +的最大值.18.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？19.（本小题满分12分）如图1，等腰梯形ABCD 中，060,4,2=∠=∠==BCD ADC CD AB .取线段CD 中点E ，将A D E ∆沿AE 折起，如图2所示.（Ⅰ）当平面ADE 折到与底面ABCE 所成的二面角为090时，如图3所示，求此时二面角C BD A --平面角的余弦值.（Ⅱ）在将ADE ∆开始折起到与ABE ∆重合的过程中，求直线DC 与平面ABCE 所成角的正切值的取值范围.20.（本小题满分12分）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C 的圆心到直线x -2y =0的距离的最小值为时，求p 的值.21.（本小题满分12分）11(,)A x y 22(,)B x y 12(0)x x ≠22(0)y px p =>O OA OBOA OB OA OB +=- C 221212()()0x y x x x y y y +-+-+=AB C已知函数()()()2ln 10af x x a x a=++>+． (I) 当a =1时，求证：()1111x f x e x +>++（其中e 为自然对数的底数）(II) 设函数()f x 存在两个极值点，并记作12,x x ，若()()12+4f x f x >，求正数a 的取值范围；请考生在（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知点P 的直角坐标是(x ，y )．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P 的极坐标是(ρ，θ)，点Q 的极坐标是(ρ，θ+0θ)，其中0θ是常数．设点Q 的平面直角坐标是(m ，n )． (I)用x ，y ，0θ表示m ，n ； (Ⅱ)若m ，n 满足mn =1，且0θ=4π，求点P 的直角坐标(x ，y )满足的方程．23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知a ，b ，c >0，a +b +c =1．求证：(II)11133131312a b c++≥+++.参考答案一、选择题二、填空题13. 6 14.)12(3-n15 . 0743=--y x 16 . 21三、解答题17.解：（1）在ABD ∆中，A A AD AB AD AB BD cos 3816cos 2222-=⋅-+=， 在BCD ∆中，C C CD BC CD BC BD cos 88cos 2222-=⋅-+=， 所以1cos cos 3=-C A . （2）依题意A A AD AB S 222221cos 1212sin 41-=⋅=，C C CD BC S 222222cos 44sin 41-=⋅=， 所以C C C A S S 22222221cos 4)1(cos 416cos 44cos 1212-+-=-+-=+14)21(cos 812cos 8cos 822++-=+--=C C C ，因为4232<<-BD ，所以)16,3816(cos 882-∈=-BD C .解得13cos 1-<<-C ，所以142221≤+S S ，当21cos -=C 时取等号，即2221S S +的最大值为14.18.解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝⎛⎭⎫9104＋4×⎝⎛⎭⎫9103×⎝⎛⎭⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故1台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，1台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，2台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8；由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2＋③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，1台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，2台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，3台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的分布列如下所以，E (Y )＝3 400×0.2＋综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 19.解：（Ⅰ）在图3中取O AE 中点，建立直角坐标系.（Ⅱ）在图2中作点于交F B D B D DF '', .20. (I)证明1:整理得:设M (x ,y )是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则即 整理得: 故线段是圆的直径22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+ 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=0MA MB ⋅=1212()()()()0x x x x y y y y --+--=221212()()0x y x x x y y y +-+-+=ABC证明3:整理得: (1)以线段AB 为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得: 故线段是圆的直径(II)解法1:设圆C 的圆心为C (x ,y ),则又因所以圆心的轨迹方程为 设圆心C 到直线x -2y =0的距离为d ,则当y =p 时,d. 22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+ 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=2222121212121()()[()()]224x x y y x y x x y y ++-+-=-+-221212()()0x y x x x y y y +-+-+=AB C 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩2211222,2(0)y px y px p ==> 22121224y y x x p∴=12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p ∴-⋅=12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠ 2124y y p ∴⋅=-2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p=+222y px p =-22221|(2)2|y p y d +-===22=5=2p ∴=设直线x -2y +m =0到直线x -2y =0的距离为,则 因为x -2y +2=0与无公共点,所以当x -2y -2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x -2y =0的距离最小值为将(2)代入(3)得解法3: 设圆C 的圆心为C (x ,y ),则圆心C 到直线x -2y =0的距离为d ,则又因2552m =±222y px p =-222y px p =-522220(2)2(3)x y y px p --=⎧⎨=-⎩ 222220y py p p -+-=2244(22)0p p p ∴∆=--=02.p p >∴= 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩1212|()|x x y y d +-+=2211222,2(0)y px y px p ==> 22121224y y x x p ∴=12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p∴-⋅=21.解：（Ⅰ）当1=a 时，12)1ln()(+++=x x x f ， 不等式11e 1)(1++>+x x f x 可化为1e 111)1ln(+>+++x x x ，所以 要证不等式11e 1)(1++>+x x f x ，即证1e 111)1ln(+>+++x x x ，即证x x x e11ln >+， 设x x x h 1ln )(+=，则22111)(xx x x x h -=-='， 在)1,0(上，h '（x ）＜0，h （x ）是减函数；在)1∞+，（上，h '（x ）＞0，h （x ）是增函数． 所以1)1()(=≥h x h ，设x x e1)(=ϕ，则)(x ϕ是减函数， 所以1)0()(=<ϕϕx ，所以)()(x h x <ϕ，即xx x e 11ln >+， 所以当1=a 时，不等式11e 1)(1++>+x x f x 成立．（Ⅱ）222))(1()2(])(1[211)(a x x a a x a x a x x f ++-+=+-⨯++='，（*） 当2≥a 时，0>x ，∴0))(1()2()(22>++-+='a x x a a x x f ，函数)(x f 在),0(+∞上是增函数； 当20<<a 时，由0)(='x f ，得0)2(2=-+a a x ，解得)2(1a a x --=（负值舍去），)2(2a a x -=，当2≥a 时，0)(>'x f ，函数)(x f 无极值点；要使函数)(x f 存在两个极值点，必有20<<a ，且极值点必为)2(1a a x --=，)2(2a a x -=，又由函数定义域知，1->x ，则有1)2(->--a a ，即1)2(<-a a ，化为0)1(2>-a ，所以1≠a ，所以，函数)(x f 存在两个极值点时，正数a 的取值范围是)2,1()1,0( ．由（*）式可知，⎩⎨⎧-=⋅=+),2(,02121a a x x x x,212])1ln[()2(4])1ln[()()2(2)1ln())(()(2)]1)(1ln[(2)1ln(2)1ln()()(222222121212121211221221121+-+-=+-+-=++++++⋅+++=++++++++=+++++++=+a a a a a a a a x x a x x a x x a x x x x a x a x a x a x a x x ax ax a x a x x f x f不等式4)()(21>+x f x f 化为0212])1ln[(2>--+-a a ， 令))2,1()1,0((1 ∈=-a t a ，所以)1,0()0,1( -∈t ， 令22)ln()(2-+=tt t g ，)1,0()0,1( -∈t ． 当)0,1(-∈t 时，22)ln(2)(-+-=t t t g ，02,0)ln(<<-tt ，所以0)(<t g ，不合题意； 当)1,0(∈t 时，22ln 2)(-+=t t t g ，0)1(2)1(212)(22<-=-⨯+⨯='t t t t t g ，所以 )(t g 在)1,0(是减函数，所以02121ln 2)1()(=-+=>g t g ，适合题意，即)2,1(∈a ．综上，若4)()(21>+x f x f ，此时正数a 的取值范围是)2,1(．22.解：（Ⅰ）由题意知：⎩⎨⎧==,sin ,cos θρθρy x 和⎩⎨⎧+=+=).sin(),cos(00θθρθθρn m即⎩⎨⎧+=-=,sin cos cos sin ,sin sin cos cos 0000θθρθθρθθρθθρn m 所以⎩⎨⎧+=-=.cos sin ,sin cos 0000θθθθy x n y x m（Ⅱ）由题意知,22,m x y n x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以()()22222x y x y -+=.整理得12222=-y x . 23.解：（1）证法一：2()()()()()3a b c a b c a b b c c a =+++≤++++++++=证法二：由柯西不等式得:2222222(111]3≤++++=,（2）证法一：4(31)4,3143331a a a a ++≥=+∴≥-+同理得4433,333131b cb c ≥-≥-++，以上三式相加得，1114()93()6313131a b c a b c ++≥-++=+++，11133131312a b c ∴++≥+++．证法二：由柯西不等式得:2111[(31)(31)(31)]()3131319a b c a b c ++++++++++≥= 11133131312a b c ∴++≥+++．。