第四章概率论习题__奇数.doc
1 某批产品共有M 件，其中正品N 件（0N M ≤≤）。从整批产品中随机的进行有放回抽样，每次抽取一件，记录产品是正品还是次品后放回，抽取了n 次（1n ≥）。试求这n 次中抽到正品的平均次数。 解 每次抽到正品的概率为：
N M ，放回抽取，抽取n 次，抽到正品的平均次数为：N n M
3设随机变量X 的概率密度为()()
21,1f x x R x π=∈+ ，这时称X 服从标准柯西分布。试证X 的数学期望不存在。 解 由于：
202
1()2ln(1)|(1)x x f x dx dx x x ππ
+∞
+∞
+∞
-∞
==+=+∞+⎰
⎰
所以X 的数学期望不存在。
5 直线上一质点在时刻0从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位，若每次移动是相互独立的，并且向右移动的概率为p （01p <<）。n η表示到时刻n 为止质点向右移动的次数，n S 表示在时刻n 时质点的位置，1n ≥。求n η与n S 的期望。
解 每次向右移动的概率为p ，到时刻n 为止质点向右移动的平均次数，即n η的期望为：
()n E np η=
时刻n 质点的位置n S 的期望为：()(1)(21)n E S np n p n p =--=- 7 某信号时间长短T （以秒计）满足：{}()112
t
t P T t e e -->=
+，0t ≥。用两种方法求出()E T 。
解 方法 1：由于(0)1P T ≥=，所以T 为非负随机变量。于是有：
13()(1())()(1)24
t t E T F t dt P T t dt e e dt +∞+∞
+∞
--=-=>=+=⎰⎰
⎰
方法二：由于(0)1P T ≥=，所以，可以求出T 的概率函数：
0,0
()1(12),02
t t
t f t e e t --<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩ 于是0
3
()()()4
E t t f t dt tf t dt +∞
+∞
-∞
=
==
⎰
⎰ 9已知一根长度为1的棍子上有个标志点Q ，现随机的将此棍子截成两段。
（1）求包含Q 点的那一段棍子的平均长度（若截点刚好在Q 点，则认为Q 包含在较短的一截内）；
（2）当Ｑ位于棍子何处时，包含Ｑ点的棍子平均长度达到最大？
解 设棍子上的点是在[0,1]之间的，Q 点的位置距离端点0的长度为q 。设棍子是在t 点处跌断，t 服从[0,1]的均匀分布。于是：包含Q 点的棍子长度为T ，则：
,11,0min(,1),t q t T t t q q q t q <<⎧⎪
=-≤<⎨⎪-=⎩
，1q t ≤≤
于是包Q 点的那一段棍子的平均长度为：
11
20
1
()(1)2
q q
E T Tdx t dt tdt q q ==-+=
+-⎰⎰⎰ 11、为诊断５００人是否有人患有某种疾病，抽血化验。可用两种方法：（Ｉ）每个人化验一次；（II ）分成ｋ人一组（共５００／ｋ组，假设
500
k
为正整数，1k >）。将每组ｋ人的血样集中起来一起检验，如果化验结果为阴性，则说明组内的每人都是阴性，就无需分别化验。若检验结果为阳性，则说明这ｋ人中至少有一人患病，那么就对该组内的ｋ人再单独化验。如果此病的得病率为３０％，试问哪种方法的检验次数相对少些？ 解 (I)每个人化验一次，需要化验500次 （II ）分成k 组，对每一组进行化验一共化验
500k
次，每组化验为阳性的概率为：10.7k
-，若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要k 次，于是该方法需要化验的次数为：
500
(1(10.7))k k k
+-。 将（II ）的次数减去（I ）的次数，得：5001
(1(10.7))500500(0.7)k k k k k
+--=- 于是：
当
10.70k k -<时，第二种方法检验的次数少一些；当1
0.70k k
->时，第一种方法检验的次数少一些；当10.70k
k
-=时，二种方法检验的次数一样多。
13、某电子监视器的圆形屏幕半径为r （0r >），若目标出现的位置点Ａ服从均匀分布。设
Ａ的平面直角坐标为(),X Y 。（１）求()E X 与()E Y ；（２）求点Ａ与屏幕中心位置()0,0的平均距离。 解 由题意知：
2
1,,(,)0x y f x y r π⎧⎪=⎨⎪⎩在圆内，其他值，2,()0X r x r f x r π⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，其他值，2
,()0Y r y r
f x r π⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，其他值
（1） 计算可得2
()()0r
r
E X E Y x
dx r
π-==
=⎰
（2） A 的位置是(),x y ，距中心位置（0，0
，于是所求的平均距
离为：
2
22
23
x y r r
E +≤=
=⎰⎰
15、接第13
时，纵坐标Y 的条件期望。 解
|1,(,)(|)2()0Y X X y f x y f y x r
f x ⎧<<⎪==⎨⎪
⎩，其他值
|1(
,),(|2220Y X r r
f y y f y r ⎧-<<⎪==⎨⎪⎩，其他值
于是：
221
(|)022r
r E Y X ydy r
-===⎰
17、某技术考试，成绩必为0,1，…，10这11个数之一，而且考生取得每个成绩的可能性
相同。第一次考试，若考生成绩为X ，然后需继续参加下一次考试，直到他获得的成绩Y 不低于第一次考试为止。记第一次考试后，又进行了Z 次才通过第二次考试。由于每次考题都是在题库中随机抽取的，所以所有考试均相互独立。 （1）求最终的平均成绩()E Y ；（2）求()E Z 。 解：由题意知 1
()11
P X k ==
，其中0,1,2,10k =。于是 (,)0,1,
,11P Y k X i i k ====+
11(,)()(|),0,1,,1111P Y k X i P X i P Y k X i i k i
=======
⋅=-
从而00
11()(,)1111k
k
i i P Y k P Y k X i i ====
===⋅-∑∑
于是：10
001
()7.511k
k i E Y k
i
===
=-∑∑ 又1
10
1
1
(11)()11k k i i i P Z k --=-==∑ 从而10
1
1
1
()() 3.02(11)k i E Z P Z k k i ∞===
===-∑∑
