北京市朝阳区2015届高三保温练习(一)数学【文】试题及答案

2014-2015学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∩B等于（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|﹣2＜x＜1}2．（5分）要得到函数y=tan（x+）的图象，只要将函数y=tanx的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位3．（5分）“a＞1”是“函数f（x）=x3+a在R上为单调递增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的b值等于（）A．﹣3 B．﹣8 C．﹣15 D．﹣245．（5分）如图，点D是线段BC的中点，BC=6，且|+|=|﹣|，则||=（）A．6 B．2 C．3 D．6．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0；命题q：在曲线y=cosx上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题7．（5分）设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数）．公司决定从原有员工中分流x（0＜x＜100）人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%．若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是（）A．15 B．16 C．17 D．188．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC顶点坐标分别为A（0，0），B（1，），C（m，0）．若△ABC是钝角三角形，则正实数m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．0＜m＜C．0＜m＜或m＞4 D．0＜m＜1或m＞4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），=（x，1），若⊥，则x=．10．（5分）已知sinα=，α∈（，π），则cosα=；tan（+α）=．11．（5分）已知函数f（x）=2x+a•2﹣x，且对于任意的x，有f（﹣x）+f（x）=0，则实数a的值为．12．（5分）已知x，y满足条件，则函数z=﹣2x+y的最大值是．13．（5分）设函数f（x）=，若f（m）=1，则实数m的值等于．14．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）•|x|的图象与直线y=1有且只有一个交点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}是等差数列，且a2+a5=19，a3+a6=25．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n﹣b n}是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣sin（2x﹣）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[0，]上的最大值与最小值．17．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．18．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．（Ⅰ）若a=2，试求函数y=（x＞0）的最小值；（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．19．（14分）已知数列{a n}与{b n}满足a1+2a2+…+na n=n（n+1）b n，n∈N+．（Ⅰ）若a1=1，a2=2，求b1，b2；（Ⅱ）若a n=，求证：b n＞；（Ⅲ）若b n=n2，求数列{a n}的通项公式．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣a）lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=0，对于任意的x∈（0，1），求证：﹣≤f（x）＜0；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，求实数a的取值范围．2014-2015学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∩B等于（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|﹣2＜x＜1}【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜1，即A={x|﹣2＜x＜1}，∵B={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}，故选：B．2．（5分）要得到函数y=tan（x+）的图象，只要将函数y=tanx的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=tanx的图象，向左平移个单位，得到y=tan（x+）的图象．故选：D．3．（5分）“a＞1”是“函数f（x）=x3+a在R上为单调递增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＞1，则f′（x）=3x2+a＞0，∴f（x）在R上是增函数，是充分条件，若函数f（x）=x3+a在R上为单调递增函数，∴f′（x）=3x2+a＞0，∴a≥0，不是必要条件，故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的b值等于（）A．﹣3 B．﹣8 C．﹣15 D．﹣24【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1满足条件a＜7，有b=0，a=3满足条件a＜7，有b=﹣3，a=5满足条件a＜7，有b=﹣8，a=8不满足条件a＜7，输出b的值为﹣8．故选：B．5．（5分）如图，点D是线段BC的中点，BC=6，且|+|=|﹣|，则||=（）A．6 B．2 C．3 D．【解答】解：由于|+|=|﹣|，则两边平方得，|+|2=|﹣|2，即有=，即有=0，即，则△ABC为直角三角形，BC为斜边，AD为斜边上的中线，则||=||=3．故选：C．6．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0；命题q：在曲线y=cosx上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题【解答】解：根据指数函数的值域知，命题p是真命题；根据“在切点处的导数值即为切线斜率”，设切点为（x0，cosx0），过该点的切线斜率为k；y′=﹣sinx；∴k=﹣sinx0，即：不存在x 0∈R，使﹣；∴命题q为假命题；∴￢q为真命题，；∴p∧（￢q）是真命题，即C正确；故选：C．7．（5分）设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数）．公司决定从原有员工中分流x（0＜x＜100）人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%．若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是（）A．15 B．16 C．17 D．18【解答】解：由题意，公司原有100人每年创造的产值为100t（万元），分流后剩余（100﹣x）人每年创造的产值为（100﹣x）（1+1.2x%）t，则由，解得：0＜x＜．∵x∈N，∴x的最大值为16．故选：B．8．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC顶点坐标分别为A（0，0），B（1，），C（m，0）．若△ABC是钝角三角形，则正实数m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．0＜m＜C．0＜m＜或m＞4 D．0＜m＜1或m＞4【解答】解：如图所示，由B（1，），得到AE=1，BE=，根据勾股定理得：AB=2，∠BAE=60°，过B作BD⊥AB，可得∠ADB=30°，∴AD=2AB=4，即D（4，0），则△ABC是钝角三角形时，正实数m的取值范围是0＜m＜1或m＞4，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），=（x，1），若⊥，则x=．【解答】解：∵=（2，﹣1），=（x，1），且⊥，∴2x+1×（﹣1）=0，解得x=．故答案为：．10．（5分）已知sinα=，α∈（，π），则cosα=﹣；tan（+α）=．【解答】解：已知sinα=，α∈（，π），根据：sin2α+cos2α=1求出：cosα=则：故答案为：﹣，11．（5分）已知函数f（x）=2x+a•2﹣x，且对于任意的x，有f（﹣x）+f（x）=0，则实数a的值为﹣1．【解答】解：因为对任意的实数x都有f（﹣x）+f（x）=0 成立所以x=0时也成立，∴f（0）+f（0）=0，∴f（0）=0，∴20+a•20=0，即1+a=0∴a=﹣1故答案为：﹣1．12．（5分）已知x，y满足条件，则函数z=﹣2x+y的最大值是4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．故答案为：4．13．（5分）设函数f（x）=，若f（m）=1，则实数m的值等于±1．【解答】解：当m≤0时，有f（m）=e m+1，e m+1=1解得m=﹣1满足条件；当0＜m≤1时，有f（m）=sinπm+1，∴sinπm+1=1解得πm=kπ，（k∈z）m=k，（k∈z）又∵0＜m≤1∴m=1总之，m=±1故答案为：±114．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）•|x|的图象与直线y=1有且只有一个交点，则实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．【解答】解：当x≥0时，f（x）=（x﹣a）•|x|=（x﹣a）•x，当x＜0时，f（x）=（x﹣a）•|x|=﹣（x﹣a）•x=﹣x2+ax若a=0，则f（x）的图象如图：满足条件．若a＞0，则f（x）的图象如图：满足条件，若a＜0，则f（x）的图象如图：要使条件成立，则只需要当x＜0时，函数的最大值小于1，即，即a2＜4，解得﹣2＜a＜2，此时﹣2＜a＜0，综上a＞﹣2，故答案为：（﹣2，+∞）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}是等差数列，且a2+a5=19，a3+a6=25．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n﹣b n}是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a5=19，a3+a6=25．∴，解得．∴a n=3n﹣1．（Ⅱ）∵数列{a n﹣b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n﹣b n=2n，∴．∴数列{b n}的前n项和S n=﹣=﹣2n+1．16．（13分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣sin（2x﹣）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[0，]上的最大值与最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（1）f（x）=sinxcosx﹣sin（2x﹣）=sin2x﹣（sin2xcos﹣cos2xsin）=sin2x﹣sin2x+cos2x=sin（2x+）则f（x）的最小正周期为π．…（7分）（2）因为x∈[0，]，则2x+∈[，]．所以sin（2x+）∈[﹣，]．则f（x）在[0，]，上的最大值为，此时2x+=，即x=．f（x）在[0，]，上的最小值为﹣，此时2x+=，即x=．…（13分）17．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，由正弦定理可得，即，所以．因为∠ACB为钝角，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB•DC•cos∠BCD，即，整理得BD=2．在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，即，整理得．解得．因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以．所以△ABC的面积．…．（13分）18．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．（Ⅰ）若a=2，试求函数y=（x＞0）的最小值；（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得y===x﹣4．因为x＞0，所以x，当且仅当x=时，即x=1时，等号成立．所以y≥﹣2．所以当x=1时，y=的最小值为﹣2．…（6分）（Ⅱ）因为f（x）﹣a=x2﹣2ax﹣1，所以要使得“∀x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在[0，2]恒成立”．不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．因为g（x）=x2﹣2ax﹣1=（x﹣a）2﹣1﹣a2，所以即，解得a≥．所以a的取值范围是[，+∞）．…（13分）19．（14分）已知数列{a n}与{b n}满足a1+2a2+…+na n=n（n+1）b n，n∈N+．（Ⅰ）若a1=1，a2=2，求b1，b2；（Ⅱ）若a n=，求证：b n＞；（Ⅲ）若b n=n2，求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，有a1=2b1=1，则b1=，当n=2时，有a1+2a2=2×（2+1）b2，又∵a1=1，a2=2，∴b2=．（Ⅱ）∵a n=，∴na n=n•=n+1，∴a1+2a2+…+na n==n（n+1）b n，∴b n==（1+）．（Ⅲ）当n＞1时，∵a1+2a2+…+na n=n（n+1）b n，①∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n=n（n﹣1）b n﹣1，②﹣1①﹣②得，na n=n（n+1）b n﹣n（n﹣1）b n﹣1，即a n=（n+1）b n﹣（n﹣1）b n﹣1，又∵b n=n2，∴a n=（n+1）n2﹣（n﹣1）（n﹣1）2=4n2﹣3n+1，（n≥2）．当n=1时，b1=12，又a1=2b1=2也符合上式．∴a n=4n2﹣3n+1 （n∈N+）．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣a）lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=0，对于任意的x∈（0，1），求证：﹣≤f（x）＜0；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，求实数a的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1．令f′（x）=lnx+1=0，解得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，）是减函数；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（，+∞）为增函数．所以函数f（x）在x=处取得最小值﹣，因为x∈（0，1）时，lnx＜0，所以对任意x∈（0，1），都有f（x）＜0，即对任意x∈（0，1），﹣≤f（x）＜0；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．又f′（x）=，设g（x）=xlnx+x﹣a．令g（x）=xlnx+x﹣a=0，即a=xlnx+x，设函数h（x）=xlnx+x．令h′（x）=lnx+2=0，则x=．当x∈（0，）时，h′（x）＜0，所以函数h（x）在（0，）是减函数；当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，所以函数h（x）在（，+∞）为增函数．所以函数h（x）在x=处取得最小值﹣，则x∈（0，+∞）时，h（x）≥﹣．于是，当a≥﹣时，直线y=a与函数h（x）=xlnx+x的图象有公共点，即函数g（x）=xlnx+x﹣a至少有一个零点，也就是方程f′（x）=0至少有一个实数根．当a=﹣时，g （x ）=xlnx +x ﹣a 有且只有一个零点，所以f′（x ）≥0恒成立，函数f （x ）为单调增函数，不合题意，舍去． 即当a ＞﹣时，函数f （x ）不是单调增函数．又因为f′（x ）＜0不恒成立， 所以a ＞﹣为所求．…（13分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

理科保温练习二（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|01,}A x x x x =<>∈R 或，{}2,B x x x =>∈R ，则 ( )A ．AB ⊇ B ．A B =C ．A B ⊆D ．A B φ= 2．下列函数中，在区间(1,1)-内有零点且单调递增的是（ ） A.12y log x = B. 2x y =-1 C. 212y x =-D. 2y x=- 3．如图所示的程序框图，若输入12x =，则输出的结果S =（ ） A．14C ．1-D ．14．已知,a b ∈R ,则“1a b >>”是“log 1a b <”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（ ） A ．210种 B ．180种 C ． 120种 D ． 95种 6．已知双曲线()22221 0, 0x y a b ab-=>>的左顶点与抛物线()22 0y px p =>的焦点的距离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 (2,1)-- ,则双曲线的焦距为( )A.27.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是A. 112B. 80C. 72D. 648.已知向量a ≠e ，1=e ，对任意t ∈R ，恒有t -≥-a e a e ，则（ ）A. ⊥a eB. ⊥a （-a e ）C. （-a e ）⊥eD. （a +e ）⊥（-a e ）侧视图第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知b 为实数，i 为虚数单位，若2i1ib +-为实数，则b = . 10. 如图，两圆相交于C 、E 两点，CD 为小圆的直径，B 和A 分别是DC 和DE 的延长线与大圆的交点，已知AE = 6，DE = 4，BC = 3，则AB =________________.11．已知函数()()ϕω+=x x f sin （ω>0, 0πϕ<<）的图象如图所示，则ω= ，ϕ= .12.已知A (1,0)-B (1,0), 点C 、点D 满足14,()2AC AD AB AC ==+,则点C 的轨迹方程是 ；点D 的轨迹方程是 . 13．若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是 .14．将正整数按如图排列，其中处于从左到右第m 列从下到上第n 行的数记为(,)A m n ，如(3,1)4A =，(4,2)12A =，则(10,3)A =_________；(1,)A n =__________．28212715202610141925691318243581217231247111622三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos f x x x x m =++在区间[0,]3π上的最大值为2． (Ⅰ)求常数m 的值； （Ⅱ）在ABC∆中,角,,A B C所对的边长分别为,,a b c ,若()1f A =,sin 3sin B C =,ABC ∆,求边长a ．16．（本小题满分13分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050 ，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[)[)[)[)[]0,10,10,20,20,30,30,40,40,50，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图． (Ⅰ)求a 的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为X ，求X 的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC，222AC BC PC ===，AC BC ⊥，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、AP 的中点，M 、N 分别为线段PC 、PB 上的动点，且有//MN BC ． (Ⅰ)求证：MN ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当M 为线段PC 的中点时，求DM 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）探究：是否存在这样的动点M ，使得二面角E MN F --为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．18. （本小题满分13分）已知函数2()ln f x a x x=+，a ∈R . （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线垂直于直线2y x =+，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间(0, e]上的最小值.19．（本小题满分14分）AD PBC FEM N已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且APB ∆面积的最大值为（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分13分）设集合{}*1,2,3,,(,2)S n n N n =∈≥L ，,A B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对(,)A B 的个数为n P . （Ⅰ）求23,P P 的值； （Ⅱ）求n P 的表达式.理科保温练习二答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15. (本小题满分13分)解答：(Ⅰ)()2cos 2cos f x x x x m =⋅++ ()2sin 216x m π=+++ …4分因为03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以52666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当262x ππ+=即6x π=时,函数()f x 在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上取到最大值 此时,()()max 326f x f m π==+=,得1m =- ……………………7分 （Ⅱ）因为()1f A =,所以1)62sin(2=+πA ,即21)62sin(=+πA ,解得0A =（舍去）或3A π= 因为sin 3sinBC =,sin sin sin a b c A B C==,所以3b c =． 因为ABC ∆所以11sin 22S bc A ===,即9bc =． 由①和②解得b c ==因为2222cos 21a b c bc A =+-=,所以a =… …13分16. (本小题满分13分)(Ⅰ)由题意，得(0.030.0320.010.008)101,a ++++⨯=解得0.02.a =50个样本中空气质量指数的平均值为0.150.2150.32250.3350.084525.6X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6 （Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[]0,20内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则(2,0.3)B ξ .ξ的可能取值为0，1，2，0021224942(0)(0.3)(0.7),(1)(0.3)(0.7),100100P C P C ξξ==⨯===⨯=2229(2)(0.3)100P C ξ===ξ∴的分布列为：494290120.6100100100E ξ=⨯+⨯+⨯=.(或者20.30.6E ξ=⨯=)， 故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为300.618⨯=天.17. (本小题满分14分)(Ⅰ)∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥，又AC BC ⊥，∴BC⊥面PAC . 又∵//MN BC ，∴MN ⊥面PAC . ………………………………4分 （Ⅱ） 由已知CA CB ⊥，以C 为坐标原点，,CA CB 所在直线为,x y 轴，过C 作平面ABC的垂线为z 轴，作如图所示的坐标系.则1(,0,0)2D ，1(2M ，P ，(0,1,0)B DM =，(1CP = ，(0,1,0)CB =设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =u ，则CP CB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u，令1z =，解得0x y ==. ∴(=u ，设DM 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ=cos ,DM <>u 12==.则DM 与平面PBC 所成角为6π. ………………………………9分（Ⅲ）由条件可得，FMD ∠即为二面角E MN F --的平面角； 若二面角E MN F --为直二面角，则90FMD ∠=︒.在直角三角形PCA 中，设,(02)CM t t =≤≤，则2PM t =-， 在MDC ∆中，由余弦定理可得，2222112cos6042DM CM CD CM CD t t =+-⋅︒=+-； 同理可得，2222332cos30(2)(2)42FM PM PF PM PF t t =+-⋅︒=-+--. 又由222FD FM MD =+，得22310t t -+=，解得1t =或12t =. ∴存在直二面角E MN F --，且CM 的长度为1或12. ………………………14分18. (本小题满分13分)解: （Ⅰ）直线2y x =+的斜率为1.函数()y f x =的导数为22()a f x x x'=-+， 则22(1)111af '=-+=-，所以1a =. ………………………………5分 （Ⅱ）22()ax f x x-'=，x ∈(0,)+∞. AD P B CF E M N①当0a =时，在区间(0, e]上22()0f x x '=-<，此时()f x 在区间(0, e]上单调递减， 则()f x 在区间(0, e]上的最小值为2(e)ef =.②当20a<，即0a <时，在区间(0, e]上()0f x '<，此时()f x 在区间(0, e]上单调递减，则()f x 在区间(0, e]上的最小值为2(e)ef a =+. ③当20e a <<，即2e a >时，在区间2(0,)a 上()0f x '<，此时()f x 在区间2(0,)a上单调递减；在区间2(,e]a 上()0f x '>，此时()f x 在区间2(,e]a上单调递增；则()f x 在区间(0, e]上的最小值为22()ln f a a a a=+.④ 当2e a ≥，即20ea <≤时，在区间(0, e]上()0f x ′≤，此时()f x 在区间(0, e]上为单调递减，则()f x 在区间(0, e]上的最小值为2(e)ef a =+.综上所述，当2ea ≤时，()f x 在区间(0, e]上的最小值为2e a +；当2e a >时，()f x 在区间(0, e]上的最小值为2ln a a a+. (13)分19．(本小题满分14分)（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===⋅⋅222232221c b a a b a解得b =1c =． …………2分 故椭圆C 的方程为22143x y +=，离心率为12． …………4分 （Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠．则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=． 设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+． 所以2026834k x k -=+，00212(2)34k y k x k =+=+． 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±． 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切． 当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y k k x k==--． 所以直线PF 的方程为24(1)14k y x k=--． 点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．……14分20. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）当2n =时，即{}1,2S =，此时{}1A =，{}2B =，所以21P =，当3n =时，即{}1,2,3S =，若{}1A =，则{}2B =，或{}3B =，或{}2,3B =； 若{}2A =或{}1,2A =，则{}3B =；所以35P =. ……………5分 （Ⅱ）当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合A 的其余元素可在1,2,,1k - 中任取若干个（包含不取），所以集合A 共有0121111112k k k k k k C C C C ------++++= 种情况， 此时，集合B 的元素只能在1,2,,k k n ++ 中任取若干个（至少取1个），所以集合B共有12321n k n k n k n k n k n k C C C C ------++++=- 种情况， 所以，当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合对(,)A B 共有1112(21)22k n k n k -----=- 对，当k 依次取1,2,3,,1n - 时，可分别得到集合对(,)A B 的个数，求和可得101221(1)2(2222)(2)21n n n n P n n ---=-⋅-++++=-⋅+L . ………13分。

2.圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）.
A.（x－1）2+（y－1）2=1
B.（x+1）2+（y+1）2=1
C.（x+1）2+（y+1）2=2
D.（x－1）2+（y－1）2=2
【答案】D
【难度】简单
【点评】本题考察圆的一般方程式。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 1，第九章《圆》有详细讲解，
18.（本小题 14 分） 如图，在三棱锥 E-ABC 中，平面 EAB ⊥平面 ABC，三角形 EAB 为等边三角形，AC⊥ BC,且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,EA 的中点。 求证:EB//平面 MOC. 求证：平面 MOC⊥平面 EAB 求三棱锥 E-ABC 的体积。
【答案】 （1）因为 M,O 分别为线段 AV 和 AB 的中点，所以 MO 为△ABV 的中位线，从而有 MO∥BV
sin x 3 cos x 3 2sin(x ) 3
3
故周期为 2π
（2）因为 0 x 2 ，所以 x
3
3
3
所以 f(x)的最小值为 f ( 2 ) 3 3
【难度】中等
【点评】本题考查三角函数的计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 2，第六章《三角函数》中有详
10.2-3,3 ,log25 三个数中最大数的是____________.
【答案】log25 【难度】中等 【点评】本题考查函数的计算。在高一数学（文）强化提高班上学期，第三章《函数综合》中有详细讲解， 其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总 结讲解。
在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{}52,A x x =-<<{}33,B x x =-<<则AB =（ ）( A ) {}32x x -<< ( B ) {}52x x -<< ( C ) {}33x x -<< ( D ) {}53x x -<< （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） （A ）()()22111x y -+-= （B ）()()22111x y ++-=（C ）()()22112x y +++= （D ）()()22112x y -+-=（3）下列函数中为偶函数的是（ ）（A ）2sin y x x = （B ）2cos y x x =（C ）ln y x = （D ）2xy -=（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ）（A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300（5） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）（A ）3 （B ） 4 (C) 5 (D) 6（6）设,a b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“a //b ”的（ ）（A ） 充分而不必要条件（B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件（D ） 既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）(A) 1 （B ）（B ）(D) 2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油（A ）6升 （B ）8升 （C ）10升 （D ）12升第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数()1i i +的实部为．（10）13222,3,log 5-三个数中最大数的是．（11）在ABC ∆中，23,,3a b A π==∠=则B ∠=．（12）已知()2,0是双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点，则b =．（13）如图，ABC ∆及其内部的点组成的集合记为D ，(),P x y 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为 ．（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。