2018-2019学年高一数学上册知识点同步练习1

1-2集合间的基本关系 同步训练第I 卷（选择题）一、单选题1．（2018·浙江高一课时练习）设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆BB ．B ⊆AC ．B ∈AD ．A ＝B2．（2021·全国）下列命题中，正确的有（ ）①空集是任何集合的真子集；②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集：④如果不属于B 的元素一定不属于A ，则A B ⊆.A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 3．（2018·佛山市第二中学）集合{}{}14,A x x B x x a =-≤≤=>，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．4a <B ．4a >-C ．1a >-D ．14a -<≤4．（2019·华东师范大学第一附属中学）已知集合{}2430,A x x x x R =-+<∈，(){}12202750,x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈且，若A B ⊆，则实数a 的取值范围_______. A ．[]4,0- B ．[]4,1-- C ．[]1,0- D ．14,13⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 5．（2017·浙江）集合{|}A x x a =≤，2{|50}B x x x =-<，若A∩B=B ，则a 的取值范围是（ ）A ．5a ≥B ．4a ≥C ．5a <D ．4a < 6．（2019·太原市第五十三中学校高一月考）已知{}1,2,3A =，{}|,,B x x a b a A b A ==+∈∈，则B 的真子集个数为（ ）A ．31B ．32C ．63D ．64二、多选题7．（2021·江苏）给出下列选项，其中正确的是（ ）A ．{}{}∅∈∅B ．{}{}∅⊆∅C ．{}∅∈∅D ．∅⫋{}∅ 8．（2021·全国高一专题练习）已知集合{12}A xx =<<∣，{232}B x a x a =-<<-∣，下列命题正确的是A ．不存在实数a 使得AB =B ．存在实数a 使得A B ⊆C ．当4a =时，A B ⊆D ．当04a 时，B A ⊆E.存在实数a 使得B A ⊆第II 卷（非选择题）三、填空题9．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知集合{}1,2,3,4M =，对它的非空子集A ，可将A 中的每一个元素k 都乘以()1k-再求和，则对M 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是______.10．（2021·全国）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___． 11．（2019·全国高一课时练习）某个含有三个实数的集合既可表示为,,0b b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{a ，a ＋b ，1}，则a 2015＋b 2015的值为____．12．（2021·全国）已知{}{}1,21,2,3,4,5,6,7A ≠⊆⊂，满足上述条件的集合A 的个数是______．四、解答题13．（2021·全国高一课时练习）已知全集(){|010},{1,35,7}U U A B x N x A C B =⋃=∈≤≤⋂=，，试求集合B .14．（2017·湖南长沙一中高一期中）已知集合{|013}A x ax =<+≤，集合1{|2}2B x x =-<<. （1）若1a =；求AC B ；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.15．（2020·黑龙江哈九中高三期末（文））已知()1f x x a x =-++.（1）若不等式()21f x x <++的解集是区间3,2的子区间，求实数a 的取值范围； （2）若对任意的x ∈R ，不等式()21>+f x a 恒成立，求实数a 的取值范围.16．（2019·太原市第五十三中学校高一月考）写出集合P 的所有子集，其中(){},|5,,P x y x y x N y N ++=+=∈∈.参考答案1．C【解析】【分析】首先确定集合A 的特征，据此确定A 与B 的关系即可.【详解】由题意可知集合A 中的元素为集合B 的子集，据此可得：B A ∈.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合与元素的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．C【分析】运用空集的性质，即可判断①；运用集合的传递性，即可判断②；由集合的真子集的个数，即可判断③；由韦恩图，即可判断④．【详解】①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故①错误；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错误；④由韦恩图易知④正确.故选C.【点睛】本题考查集合的概念，主要是空集和子集、真子集的性质，考查判断能力，属于基础题． 3．A【分析】据已知条件知A ，B 有公共元素，列出两个集合的端点满足的不等关系，结合数轴可以得出a 的范围．【详解】{}14A x x =-≤≤，{}B x x a =>，∵A B ⋂≠∅，∴对照数轴得4a <，即a 的取值范围为4a <，故选：A.【点睛】本题考查集合关系中的参数取值问题和集合的交集运算，将集合的关系转化为集合端点的不等关系，是解决本题的关键，属于基础题.4．B【分析】首先解出集合A ,若满足A B ⊆，则当()1,3x ∈时，120x a -+≤和()22750x a x -++≤恒成立，求a 的取值范围.【详解】{}13A x x =<<，A B ⊆，即当()1,3x ∈时，120x a -+≤恒成立，即12x a -≤- ，当()1,3x ∈时恒成立，即()1min 2x a -≤- ，()1,3x ∈而12x y -=-是增函数，当1x =时，函数取得最小值1-，1a ∴≤-且当()1,3x ∈时，()22750x a x -++≤恒成立，()()1030f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得：4a ≥- 综上：41a -≤≤-.故选B【点睛】本题考查根据给定区间不等式恒成立求参数取值范围的问题，意在考查转化与化归和计算求解能力，恒成立问题可以参变分离转化为求函数的最值问题，如果函数是二次函数可以转化为根的分布问题，列不等式组求解.5．A【解析】因为25005x x x -<⇒<<,又A B B B A ⋂=⇒⊆，则由{|}A x x a =≤，可得；5a ≥时满足条件A B B ⋂=．6．A【分析】由题：根据,a b 的取值情况分析集合{2,3,4,5,6}B =一共32个子集，所以31个真子集.【详解】由题：当1a b ==时，集合B 中元素最小为2，当3a b ==时，集合B 中元素最大为6， 又当1,2a b ==时，集合B 中元素为3，当1,3a b ==时，集合B 中元素为4，当2,3a b ==时，集合B 中元素为5，所以集合{2,3,4,5,6}B =，其子集个数为5232=个，所以真子集31个.故选：A【点睛】此题考查元素与集合的关系以及子集个数分析，关键在于熟记集合的子集个数结论，否则只有逐一列举，计算量大且容易出错.7．BCD【分析】利用空集的特征，以及元素和集合，集合与集合之间的关系逐项判断【详解】对于A ，∅不是{}{}∅的元素，故不正确；对于B ，∅是任何集合的子集，所以∅是{}{}∅的子集，故正确；对于C ，∅是{}∅的元素，故正确；对于D ，∅是任何非空集合的真子集，{}∅有一个元素∅，是非空集合，故正确.故答案为：BCD .8．AE【分析】利用集合相等判断A 选项错误，由A B ⊆建立不等式组，根据是否有解判断B 选项； 4a =时求出B ，判断是否A B ⊆可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.【详解】A 选项由相等集合的概念可得23122a a -=⎧⎨-=⎩解得2a =且4a =，得此方程组无解， 故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A B ⊆，得23122a a -≤⎧⎨-≥⎩即24a a ≤⎧⎨≥⎩，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当4a =时，得{52}B xx =<<∣为空集，不满足A B ⊆，因此C 错误； D 选项当232a a -≥-，即1a ≥时，B A =∅⊆，符合B A ⊆；当1a <时，要使B A ⊆，需满足23122a a -≥⎧⎨-≤⎩解得24a ≤≤，不满足1a <，故这样的实数a 不存在，则当04a ≤≤时B A ⊆不正确，因此D 错误；E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B A ⊆，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.【点睛】本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.9．16【分析】先求出集合M 它非空子集A 的个数，在所有子集中，各个元素出现的次数，即可解答．【详解】因为{}1,2,3,4M =，对它的非空子集A 共有15个， 分别是{}{}{}{}123412{},,,,，, 1,31,42,32,43,41,2,31,2,4{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,3,42,3,41,2,34,,,,,,,,,,其中数字1,2,3,4都出现了8次． 依题意得：()()()()123481121314116⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦. 故答案为：16.【点睛】本题主要考查了集合的非空真子集的概念，理解本题中的新定义的概念是解决本题的关键，属于中档题.10．2≤a ≤4【分析】根据集合A 解出a ﹣1＜x ＜a +1，利用包含关系求解参数范围.【详解】由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，由A 是B 的真子集，得1115a a ->⎧⎨+<⎩ ，∴2＜a ＜4． 又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}， a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}， 均满足A 是B 的真子集， ∴2≤a ≤4．故答案为：2≤a ≤411．0【分析】根据所给的一个集合的两种表达形式，看出第一种表达形式中，只有a ＋b 一定不等式0，重新写出集合的两种形式，把两种形式进行比较，得出a ，b 的值，得到结果.【详解】解：∵集合既可以表示成{b ，b a，0}，又可表示成{a ，a ＋b ，1} ∴a ＋b 一定等于0在后一种表示的集合中有一个元素是1只能是b .∴b ＝1，a ＝－1∴a 2015＋b 2015＝0.【点睛】本题考查集合的元素的三个特性和集合相等.易错点在于忽略集合中元素的互异性. 12．31【分析】集合A 中一定含有1,2这两个元素，且集合A 是集合{}1,2,3,4,5,6,7的真子集，则满足上述条件的集合A 的个数与集合{}3,4,5,6,7的真子集的个数一致，求出集合{}3,4,5,6,7的真子集个数，即可得出答案.【详解】由题意可知，集合A 中一定含有1,2这两个元素，且集合A 是集合{}1,2,3,4,5,6,7的真子集 则满足上述条件的集合A 的个数与集合{}3,4,5,6,7的真子集的个数一致则满足上述条件的集合A 的个数为52131-=故答案为：31【点睛】本题主要考查了集合的包含关系，求集合的真子集个数，属于中档题.13．{0,2,4,6,8,9,10}【分析】计算{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U A B =⋃=，根据(){1,3,5,7}U A B ⋂=计算得到答案.【详解】{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U A B =⋃=，(){1,3,5,7}U A B ⋂=，{1,3,5,7}U B ∴=.故(){0,2,4,6,8,9,10}U U B B ==.【点睛】本题考查了交集，全集，补集，意在考查学生的计算能力.14．（1）1{|12A CB x x =-<≤-或2}x =；（2）(,4)[2,)-∞-+∞ 【解析】试题分析：（1）1a =时求出集合A ，根据补集的定义写出A B ；（2）A B A ⋂=得A B ⊆，A 中不等式解集分三种情况讨论：0a =、0a <和0a >时，求出对应集合A ，根据A B ⊆求出a 的取值范围.试题解析：（1）若1a =，则{|12}A x x =-<≤， 故1{|12A CB x x =-<≤-或2}x = （2）,A B A A B ⋂=∴⊆，不等式013ax <+≤解集分三种情况讨论：①0a =，则,A R A B =⊆不成立；②0a <，则21{|}A x x a a =≤<-，由A B ⊆得12,12,2a a⎧-≤⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩得4a <-；③0a >，则12{|}A x x a a =-≤<，由A B ⊆得11,222,a a⎧-≥-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩得2a ≥. 综上所述：a 的取值范围为()[),42,-∞-⋃+∞.点睛：本题主要考查了集合的运算以及含有参数的集合间的关系，属于基础题；对于含有参数的一元一次不等式的解法，主要利用分类讨论的思想，对一次项系数进行讨论，分为0,0,0a a a =><三种情形，利用数轴将区间端点值进行比较，得出不等式组.15．（1）[]1,0-（2）(),0-∞【分析】（1）首先求出不等式的解集，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围；（2）根据绝对值的三角不等式可得()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+， 分类讨论计算可得；【详解】解：（1）因为()1f x x a x =-++，且()21f x x <++，2x a ∴-< ，22a x a ∴-+<<+，由题意知，()[]2,23,2a a -+⊆-，所以2322a a -≥-⎧⎨+≤⎩， 解得10a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,0-.（2）()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，当且仅当()()10a x x -+≥时，等号成立，所以()f x 的最小值为1a +.故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+，所以10121a a a +≥⎧⎨+>+⎩或10121a a a +<⎧⎨-->+⎩，解得0a <. 所以实数a 的取值范围是(),0-∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，集合的包含关系及绝对值三角不等式的应用，属于中档题. 16．{},(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)∅，{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}，{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)【分析】依次写出集合P 中的所有元素，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)P =，即可写出其所有子集.【详解】由题(){},|5,,P x y x y x N y N ++=+=∈∈可解得{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)P =，所有子集分为：没有元素：∅；一个元素：{}(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)；两个元素：{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}；三个元素：{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)；四个元素：{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).所以，所有子集为：{},(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)∅，{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}，{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)【点睛】此题考查求集合中的元素和写出集合的子集，其中要求根据题目条件准确写出集合中的元素，根据集合中元素个数分别写出子集，做到不重不漏.答案第9页，总9页。

幂函数-2018-2019学年高一数学人教版必修1必刷题1．已知幂函数的f （x ）=x a图象过点（2，14），则f （x ）的单调递增区间是 A ．（–∞，1） B ．（–∞，0） C ．（0，+∞） D ．（–∞，+∞）【答案】B【解析】幂函数的f （x ）=x a图象过点（2，14），∴2a =14，解得a =–2，∴f （x ）=x –2；∴f （x ）的单调递增区间是（–∞，0）．故选B ．2．若幂函数y =f （x ）的图象经过点（–2，4），则在定义域内 A ．为增函数 B ．为减函数C ．有最小值D ．有最大值【答案】C3．幂函数的图象经过点33⎛⎝⎭，，则f （2）的值等于 A ．4B ．14C D ．2【答案】D【解析】幂函数f （x ）=x n的图象经过点3⎛ ⎝⎭，可得3nn =–12，则f （2）=1222-=，故选D ．4．已知幂函数f （x ）的图象过点（4，12），则f （8）的值为A ．4B ．64C ．D ．164【答案】A【解析】∵幂函数f （x ）=x a的图象过点（4，12），∴12=4α，∴α=–12，∴f （x ）=12x -，∴f （8）=1284-=，故选A ． 5．若函数f （x ）是幂函数，且满足()()42f f =3，则f （12）的值为 A ．–3 B ．–13C ．3D ．136．设α∈111232⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，，，则使函数y =x α为奇函数且在（0，+∞）为增函数的所有α的值为 A ．1，3 B ．–1，1，2 C ．12，1，3 D ．–1，1，3【答案】A【解析】因为函数是R +上的增函数，所以指数大于0，又因为是奇函数，所以指数为1或3，结合1，3都大于0，所以y =x 与y =x 3都是R +上的增函数．故α的值为1，3．故选A ． 7．已知幂函数f （x ）=（m 2–3m +3）•x m +1为偶函数，则m = A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．3【答案】A8．函数y =x a，y =x b，y =x c的大致图象如图所示，则实数a ，b ，c 的大小关系是A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A【解析】取x=12，则由图象可知（12）a<（12）b<（12）c，∵0<12<1，相应的指数函数y=（12）x是减函数，∴c<b<a，故选A．9．已知函数()1 2f x x=，则A．∃x0∈R，使得f（x）<0 B．∀x∈[0，+∞），f（x）≥0C．∃x1，x2∈[0，+∞），使得()()12120 f x f xx x-<-D．∀x1∈[0，+∞），∃x2∈[0，+∞）使得f（x1）>f（x2）【答案】B【解析】由函数()1 2f x x=，知：在A中，f（x）≥0恒成立，故A错误；在B中，∀x[（0，+∞），f（x）≥0，故B正确；在C中，∃x1，x2∈[0，+∞），使得()()1212f x f xx x-->0，故C错误；在D中，当x1=0时，不存在x2∈[0，+∞）使得f（x1）>f（x2），故D不成立．故选B．10．下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是A．y=x5B．y=5xC．y=log2x D．y=x–1【答案】A11．已知幂函数f （x ）=x α（α为实常数）的图象过点（2f （16）=___________．【答案】4【解析】由幂函数f （x ）=x α（α为实常数）的图象过点（2），得：1222α==，所以12α=．则()12f x x=，所以，()121616f ==．故答案为：4．12．若幂函数f （x ）的图象过点（2，8），则f （3）=___________．【答案】27【解析】设f （x ）=x a ，因为幂函数图象过（2，8），则有8=2a ，∴a =3，即f （x ）=x 3，∴f （3）=（3）3=27．故答案为：27．13．幂函数()22231m m y m m x--=--在[0，+∞）上是单调递减的函数，则实数m 的值为___________．【答案】2【解析】幂函数()22231m m y m m x --=--在[0，+∞）上是单调递减的函数，∴2211230m m m m ⎧--=⎨--<⎩．解得m =2．故答案为：2． 14．y =24a ax-是偶函数，且在（0，+∞）是减函数，则整数a 的值是___________．【答案】2 【解析】若函数y =xa 2–4a是偶函数，则a 2–4a 须为偶数，∵函数在（0，+∞）是减函数，∴a 2–4a <0⇒0<a <4，∴a =2．故答案为：2．15．已知幂函数f （x ）=x n（n ∈R ），若f （2）=18，则n =___________． 【答案】–3【解析】幂函数f （x ）=x n（n ∈R ），且f （2）=18，∴2n =18=2–3，解得n =–3．故答案为：–3．16．已知幂函数f （x ）=x a 的图象经过函数g （x ）=ax –2–12（a >0且a ≠1）的图象所过的定点，则幂函数f （x ）不具有的特性是 A ．在定义域内有单调递减区间 B ．图象过定点（1，1） C ．是奇函数 D ．其定义域是R【答案】D17．已知函数f （x ）=x2–m定义在区间[–3–m ，m 2–m ]上的奇函数，则下面成立的是A ．f （m ）<f （0）B ．f （m ）=f （0）C ．f （m ）>f （0）D ．f （m ）与f （0）大小不确定【答案】A【解析】∵函数f （x ）=x2–m定义在区间[–3–m ，m 2–m ]上的奇函数，∴定义域关于原点对称，即–3–m +m 2–m =0，且m 2–m –（–3–m ）>0，∴m 2–2m –3=0且m 2+3>0，即m =–1或m =3．当m =–1时，区间[–2，2]，f （x ）=x 2–m =x 3为奇函数，满足条件，且此时函数单调递增，满足f （m ）<f （0），当m =3时，区间为[–6，6]，f （x ）=x2–m=x –1为奇函数，满足条件，但此时f （0）无意义，故m =3不成立，综上m =3，则f （m ）<f （0），综上可知，选A ．18．若函数f （x ）=（m 2–m –1）x m是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f （x ）A ．是偶函数B ．是奇函数C ．是单调递减函数D ．在定义域内有最小值【答案】B【解析】幂函数f （x ）=（m 2–m –1）x m 的图象与坐标轴无交点，可得m 2–m –1=1，且m ≤0，解得m =–1，则函数f （x ）=x –1．是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值．故选B ．19．幂函数y =（m 2–m –1）223mm x--，当x ∈（0，+∞）时为减函数，则实数m 的值为A ．m =2B ．m =–1C ．m =–1或2D ．m ≠12【答案】A20．已知幂函数f （x ）=λ•x α的图象过点122P ⎛ ⎝⎭，，则λ+α=A ．2B ．1C ．32 D ．12【答案】C【解析】∵幂函数f （x ）=λ•x α的图象过点12P ⎛ ⎝⎭，∴111()22f αλ=⎧⎪⎨⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎩，解得112λα==，，∴λ+α=1+1322=．故选C ． 21．如果幂函数y =（m 2–3m +3）22m m x--的图象不过原点，则m 取值是A ．–1≤m ≤2B ．m =1或m =2C ．m =2D ．m =1【答案】B【解析】幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，所以2220331m m m m ⎧--≤⎨-+=⎩，解得m =1或2，符合题意．故选B ．22．关于幂函数y =x k及其图象，有下列四个命题：①其图象一定不通过第四象限； ②当k <0时，其图象关于直线y =x 对称； ③当k >0时，函数y =x k是增函数；④y =x k的图象与y =x –k的图象至少有两个交点 其中正确的命题个数是 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B23．幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在（0，+∞）时是减函数，则实数m 的值为A ．2或–1B ．–1C ．2D ．–2或1【答案】B【解析】由于幂函数()()2231m m f x m m x +-=--在（0，+∞）时是减函数，故有221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得m =–1，故选B ． 24．已知幂函数f （x ）=223m m x-++（m ∈Z ）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y =f （x ）的图象关于y轴对称，则f （–2）的值为 A ．16 B ．8 C ．–16 D ．–8【答案】A【解析】∵幂函数f （x ）=223m m x-++（m ∈Z ）的图象关于y 轴对称，∴函数f （x ）=223m m x-++（m ∈Z ）是偶函数，又∵幂函数f （x ）=223mm x-++（m ∈Z ）在（0，+∞）上为增函数，∴–m 2+2m +3是偶数且–m 2+2m +3>0，∵m ∈N *，∴m =1，∴幂函数f （x ）=x 4，f （–2）=16．故选A ． 25．已知实数x ，y 满足x >y ，则下列关系式恒成立的是A ．x 3>y 3B ．x 2>y 2C ．ln （x 2+1）>ln （y 2+1） D ．221111x y >++ 【答案】A【解析】∵实数x ，y 满足x >y ，∴x 3>y 3，x 2与y 2大小关系不确定，ln （x 2+1）与ln （y 2+1）的大小关系不确定，211x +与211y +的大小关系不确定．故选A ． 26．已知幂函数f （x ）=（n 2+2n –2）23n nx-（n ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则n 的值为 A ．–3 B ．1 C ．2 D ．1或2【答案】B27．若幂函数f （x ）=（a 2–7a +13）xa –1为其定义域上的单调递增函数，则实数a 的值为___________．【答案】4【解析】∵函数f （x ）=（a 2–7a +13）xa –1为幂函数，故a 2–7a +13=1，解得：a =3，或a =4，当a =3时，函数f （x ）=x 2在（–∞，0]上为单调递减函数，不满足要求，当a =4时，函数f （x ）=x 3在定义域R 上为单调递增函数，满足要求，故a =4，故答案为：4． 28．已知幂函数f （x ）的部分对应值如下表：则不等式f （|x |）≤2的解集是___________．29．已知函数()12f x x=，且f （2x –1）<f （3x ），则x 的取值范围是___________．【答案】12x ≥【解析】∵函数()12f x x=是增函数，且f （2x –1）<f （3x ），∴21330210x xx x -<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩解得12x ≥．故答案为：12x ≥． 30．幂函数f （x ）=（m 2–3m +3）x m的图象关于y 轴对称，则实数m =___________．【答案】2【解析】函数f （x ）=（m 2–3m +3）x m 是幂函数，∴m 2–3m +3=1，解得m =1或m =2；当m =1时，函数y =x 的图象不关于y 轴对称，舍去；当m =2时，函数y =x 2的图象关于y 轴对称；∴实数m =2．故答案为：2．31．（2016•新课标III ）已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决．32．（2018•上海）已知α∈{–2，–1，–1122，，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=__________． 【答案】–1。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第一章 集合与常用逻辑用语第1节 集合的概念一、基础巩固1．（2020·全国高一）下列各组对象中能构成集合的是（ ）A 的实数的全体B ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品【答案】C【解析】选项A 、B 、D 中集合的元素均不满足确定性， 只有C 中的元素是确定的，满足集合的定义，2．（2020·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）集合{|32}x x ∈-<N 用列举法表示是 A ．{1，2，3，4} B ．{1，2，3，4，5} C ．{0，1，2，3，4，5} D ．{0，1，2，3，4}【答案】D【解析】由题意5x <，又x ∈N ，∴集合为{0,1,2,3,4}．3．（2019·六盘水市第七中学高一月考）已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．5 C ．6 D ．无数个【答案】C【解析】由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =， 所以A 中元素的个数为6.4．（2020·全国高一）有下列四个命题： ①{0}是空集；②若a N ∈，则a N -∉；③集合2{|210}A x R x x =∈-+=有两个元素； ④集合6B x NN x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确； ②中当0a =时不成立，不正确；③中2210x x -+=有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确； ④中集合6{|}{1,2,3,6}B x N N x=∈∈=是有限集，正确， 5．（2020·四川省高一月考（理））不等式(5)(3)0x x -+<的解集是（ ）A ．{53}xx -<<∣ B ．{35}xx -<<∣ C ．{|5x x <-或3}x > D ．{|3x x <-或5}x >【答案】B【解析】因为(5)(3)035x x x -+<⇒-<<，所以不等式(5)(3)0x x -+<的解集是{35}xx -<<∣. 6．（2020·嫩江市高级中学高一月考）下列各组中的M 、P 表示同一集合的是( ) ①{}(){}3,1,3,1M P =-=-；②(){}(){}3,1,1,3M P ==；③{}{}221,1M y y x P t t x ==-==-；④{}(){}221,,1M y y x P x y y x ==-==-A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】C【解析】对于①，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合.对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合.对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合M 研究对象是函数值，集合P 研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.由此可知本小题选C.7．（2017·广东省高一期中）若{}22111a a ∈++，，，则a =（ ） A ．2 B ．1或－1 C ．1 D ．－1【答案】D【解析】当212a +=时，1a =±，当1a =时，集合为{}1,2,2不满足互异性，舍去，当1a =-时，集合为{}1,2,0，满足；当12a +=时，1a =，不满足互异性，舍去.8．（2020·全国高一）已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为 A ．1或－1 B ．1或3 C ．－1或3 D ．1，－1或3【答案】B【解析】因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1，5，13}；当m ＝1时，M ＝{1，3，5}；当m ＝－1时，不满足互异性．所以m 的值为3或1. 9．（2020·全国高一）设不等式2280x x --＜的解集为M ，下列正确的是（ ） A ．1,4M M -∉∉ B ．1,4M M -∈∉ C ．1,4M M -∉∈ D ．1,4M M -∈∈ 【答案】B【解析】解不等式：2280x x --＜，可得：24x -<<， 所以{}=|-2<4M x x <，显然1,4M M -∈∉，故选：B. 10．（2020·全国高一）直线2y x =与3y x 的交点组成的集合是（ ）A ．{}3,6B ．36,C ．3,6x y ==D ．{}(3,6)【答案】D【解析】联立23y x y x =⎧⎨=+⎩，可得3x =，6y =，写成点集为{}(3,6).11．（2020·全国高一）已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,xB x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．9【答案】B【解析】因为x A ∈，yA ，xy∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1．12．（2020·全国高一）已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】{}1,2,3A =，{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，1,2,3x ∴=，1,2,3y =当1x =时，0,1,2x y -=-- 当2x =时，1,0,1x y -=- 当3x =时，2,1,0x y -=即2,1,0,1,2x y -=--，即{}2,1,0,1,2B =--共有5个元素13．（2020·上海高一课时练习）集合{(,)|0,,}x y xy x R y R ∈∈是指（ ） A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点【答案】D【解析】因为0xy ≤，故00x y ≤⎧⎨≥⎩或0x y ≥⎧⎨≤⎩，故集合{(,)|0,,}x y xy x R y R ∈∈是指第二、四象限中的点，以及在,x y 轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点. 14．（2020·上海高一课时练习）已知非零实数a ，b ，c ，则代数式||||||a b cb ac ++表示的所有的值的集合是（ ） A ．{3} B ．{3}-C ．{3,3}-D ．{3,3,1,1}--【答案】D【解析】当,,a b c 都为正数时，1||||||a b a b c c ===；当,,a b c 都为负数时，1||||||a b c a b c ===-. 因此，若,,a b c 都为正数，则3||||||a b c a b c ++=； 若,,a b c 两正一负，则1||||||a b a b c c ++=； 若,,a b c 一正两负，则1||||||a b c a b c ++=-； 若,,a b c 都为负数，则3||||||a b c a b c ++=-. 所以代数式||||||a b c b a c ++表示的所有的值的集合是{3,1,1,3}--. 15．（多选题）（2020·全国高一课时练习）实数1是下面哪一个集合中的元素（ ） A ．整数集Z B ．{||||x x x =C ．{|11}x x ∈-<<ND ．1|01x x x -⎧⎫∈≤⎨⎬+⎩⎭R E.1|01x x x +⎧⎫∈≤⎨⎬-⎩⎭R 【答案】ABD【解析】1是整数，因此实数1是整数集Z 中的元素，故A 选项正确；由||x x =得0x =或1x =，因此实数1是集合{|||}x x x =中的元素，故B 选项正确；1不满足11x -<<，因此实数1不是集合{|11}x x ∈-<<N 中的元素，故C 选项不正确；当1x =时，101x x -=+，因此实数1是集合1|01x x x -⎧⎫∈≤⎨⎬+⎩⎭R 中的元素，故D 选项正确；当1x =时，11x x +-无意义，因此实数1不是集合1|01x x x +⎧⎫∈≤⎨⎬-⎩⎭R 中的元素，故E 选项不正确. 16．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）已知,,x y z 为非零实数，代数式||||||xyz xyz x y z xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（） A ．0M ∉B ．2M ∈C ．4M D ．4M【答案】CD【解析】根据题意，分4种情况讨论；①、,,x y z 全部为负数时，则xyz 也为负数，则=4||||||xyzxy z x y z xyz②、,,x y z 中有一个为负数时，则xyz 为负数，则0||||||xyz x y z x y z xyz③、,,x y z 中有两个为负数时，则xyz 为正数，则0||||||xyz xy z x y z xyz④、,,x y z 全部为正数时，则xyz 也正数，则4||||||xyz x y z x y z xyz则{}4,0,4M =-；分析选项可得CD 符合．17．（2020·上海高一课时练习）集合中元素的三大特征是________．【解析】一定范围内，确定的、不同的对象组成的全体，称为一个集合，组成集合的这些对象就是集合的元素，它具有确定性、互异性、无序性． 故答案为：确定性、互异性、无序性．18．（2020·全国高一）方程的解集为{}2|2320x R x x ∈--=，用列举法表示为____________. 【答案】1{,2}2-.【解析】解方程22320x x --=得12x =-或2x =，19．（2020·上海高一课时练习）若集合{}2|320A x ax x =-+=中至多有一个元素，则实数a 的取值范围是________． 【答案】0a =或98a ≥【解析】因为集合{}2|320A x ax x =-+=中至多有一个元素 所以方程2320ax x -+=至多有一个根， 当0a =时解得23x =，满足题意当0a ≠时，980a ∆=-≤，解得98a ≥ 综上：0a =或98a ≥20．（2020·全国高一）甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________. 【答案】{48,51,54,57,60}【解析】因为20道选择题每题3分,甲最终的得分为54分,所以甲答错了2道题,又因为甲和乙有两道题的选项不同,则他们最少有16道题的答案相同,设剩下的4道题正确答案为AAAA ,甲的答案为BBAA ,因为甲和乙有两道题的选项不同,所以乙可能的答案为BBCC ,BCBA ,CCAA ,CAAA ,AAAA 等,所以乙的所有可能的得分值组成的集合为{48,51,54,57,60},故答案为{48,51,54,57,60}.二、拓展提升1．（2020·全国高一）用列举法表示下列集合: (1){}2|9A x x ==; (2){|12}B x N x =∈≤≤; (3){}2|320C x x x =-+=. 【答案】(1){3,3}-(2){1,2}(3){1,2}【解析】(1)由29x =得3x =±,因此{}2|9{3,3}A x x ===-. (2)由x ∈N ,且12x ≤≤,得1,2x =,因此{|12}{1,2}B x N x =∈≤≤=. (3)由2320x x -+=得1,2x =.因此{}2|320{1,2}C x x x =-+==.2．（2020·安徽省怀宁县第二中学高一期中）已知不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围； （2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集． 【答案】（1）2a >-；（2）1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．【解析】（1）∵2M ∈，∴225220a ⨯+⨯->，∴2a >- （2）∵1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∴1,22是方程2520ax x +-=的两个根， ∴由韦达定理得1522{1222aa+=-⋅=-解得2a =-∴不等式22510ax x a -+->即为：22530x x --+>其解集为1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 3．（2020·全国高一）已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0，a ∈R }， （1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素； （2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程ax 2+2x +1=0有且只有一个实根， 当a =0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x =-12， 当a ≠0，此时△=4-4a =0，解得：a =1，此时x =-1， （2）若A 是空集， 则方程ax 2+2x +1=0无解， 此时△=4-4a ＜0，解得：a ＞1. （3）若A 中至多只有一个元素， 则A 为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a =0或a ≥1. 4．（2020·全国高一课时练习）数集M 满足条件：若a M ∈，则1(1,0)1aM a a a+∈≠±≠-. （1）若3M ∈，求集合M 中一定存在的元素； （2）集合M 内的元素能否只有一个？请说明理由； （3）请写出集合M 中的元素个数的所有可能值，并说明理由. 【解析】(1)由3M ∈，令3a =，则由题意关系式可得：13213M +=-∈-，121123M -=-∈+，11131213M⎛⎫+- ⎪⎝⎭=∈⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而1123112+=-，所以集合M 中一定存在的元素有：113,2,,32--. (2)不，理由如下：假设M 中只有一个元素a ，则由11aa a+=-，化简得21a =-，无解，所以M 中不可能只有一个元素. （3）M 中的元素个数为4n ，N n +∈，理由如下： 由已知条件a M ∈，则1(1,0)1aM a a a+∈≠±≠-，以此类推可得集合M 中可能出现4个元素分别为：a ，11a a +-，1a -，11a a -+，由(2)得11a a a+≠-，若1a a =-，化简得21a =-，无解，故1a a≠-； 若11a a a -=+，化简得21a =-，无解，故11a a a -≠+； 若111a a a =--+，化简得21a =-，无解，故111a a a ≠--+； 若1111a a a a +-=-+，化简得21a =-，无解，故1111a a a a +-≠-+； 若111a a a --=+，化简得21a =-，无解，故111a a a --≠+；综上可得：11111a a a a a a -≠+-≠≠-+，所以集合M 一定存在的元素有11,,11,1a a a a a a -+--+，当a 取不同的值时，集合M 中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M 中元素的个数为4n ，N n +∈.。

1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定一、选择题1．（2018·全国高二课时练习）已知命题p:∀x ∈R,x ≥1,则命题¬p 为( )A ．∀x ∈R,x ≤1B ．∃x 0∈R,x 0<1C ．∀x ∈R,x ≤-1D ．∃x 0∈R,x 0<-1【答案】B【解析】全称量词命题的否定形式为∃x 0∈ R, x 0 <1所以选B2．（2019·乐陵市第一中学高三课时练习（理））在下列给出的四个命题中，为真命题的是( )A ．∀a ∈R ，∃b ∈Q ，a 2+b 2=0B ．∀n ∈Z ，∃m ∈Z ，nm =mC ．∀n ∈Z ，∃m ∈Z ，n >m 2D ．∀a ∈R ，∃b ∈Q ，a 2+b 2=1【答案】B【解析】A ，若a =2，则a 2+b 2=0不成立，故A 错误，B ，当m =0时，nm =m 恒成立，故B 正确，C ，当n =−1时，n >m 2不成立，故C 错误，D ，若a =2，则a 2+b 2=0不成立，故D 错误，故选B3．（2016·全国高一课时练习（文））命题“存在00,20x x ∈≤R ”的否定是（ ） A ．不存在00,20x x ∈>R B ．存在00,20x x ∈≥RC ．对任意的,20x x ∈≤RD ．对任意的,20x x ∈>R【答案】D【解析】∵“()00,x A P x ∃∈”的否定为“(),x A P x ⌝∀∈”，∴“存在00,20x x ∈≤R ”的否定为“对任意的,20xx ∈>R ”，故选D.4．（2017·全国高一课时练习（文））下列全称量词命题中真命题的个数是（ ）①末位是0或5的整数，可以被5整除；②钝角都相等；③三棱锥的底面是三角形.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①正确；②错误，钝角不一定都相等，如120︒，150︒是钝角，但不相等；③正确，三棱锥四个面都是三角形.5．（2013·全国高二课时练习）下列存在量词命题中真命题的个数是（）① ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【解析】试题分析：①∃x ∈R ，x ≤0为真命题②至少有一个整数例如1，它既不是合数，也不是素数，故②为真命题③例如x=142是无理数，x 2仍然是无理数，从而可得∃x{x|x 是无理数}，x 2是无理数为真命题，从而可知真命题的个数为3个，故选D6．（2017·新疆乌鲁木齐市第70中高三月考（理））命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( ) A ．全等三角形的面积不一定都相等B ．不全等三角形的面积不一定都相等C ．存在两个不全等三角形的面积相等D ．存在两个全等三角形的面积不相等【答案】D【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，因为命题“全等三角形的面积一定都相等”为全称量词命题， 所以否定为：存在两个全等三角形的面积不相等故选D.二、填空题7．（2017·全国高一课时练习（文））下列命题：①2,10x x ∀∈+>R ；②2,1x x ∀∈≥N ；③3,1x x ∃∈<Z ；④2,3x x ∃∈=Q ； ⑤2,320x x x ∀∈-+=R ；⑥2,10x x ∃∈+=R ．其中所有真命题的序号是 ．【答案】①③【解析】①2,10x x ∀∈+>R ；②2,0x x ∀∈≥N ；③30,1x x ∃=∈<Z ；④23x x =⇒=Q ；⑤当0x =时，2320x x -+≠；⑥2,110x x ∃∈+≥>R ．所以①③为真命题. 8．（2017·全国高一课时练习（文））用符号“∀”或“∃”表示命题：实数的平方大于或等于0为_____________.【答案】2,0x x ∀∈≥R【解析】确定命题的形式为全称量词命题，然后翻译成符号语言.9．（2017·全国高二课时练习）命题“存在实数x ，使1x >”的否定是 ．【答案】对任意的x ，都有1x ≤【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，并将结论加以否定，因此命题的否定为：对任意的x ，都有1x ≤10．（2014·全国高一课时练习）下列存在性命题中，是真命题的是 ．①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；③∃x ∈{x|x 是无理数}，x 2是无理数．【答案】①②③【解析】①真命题，如当x=﹣1时，x ≤0成立；②真命题，1既不是合数，也不是质数；③真命题，如x=，x 2=为无理数．故答案为：①②③．三、解答题11．（2016·全国高一课时练习（文））写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）p ：2,220x x x ∃∈++≤R ；（2）至少有一个实数x ，使得310x +=.【答案】见解析【解析】（1）否定是2,220x x x ∀∈++>R ，因为()22221110x x x ++=++≥>，所以否定后的命题是一个真命题.（2）否定是3,10x x ∀∈+≠R ，是假命题，如：1x =-时，310x +=.12．（2016·全国高一课时练习（理））已知p:∀x ∈R,mx 2+1>0，q:∃x ∈R,x 2+mx +1≤0. （Ⅰ）写出命题p 的否定¬p ；命题q 的否定¬q ；（Ⅱ）若¬p 或¬q 为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）¬p:∃x ∈R,mx 2+1≤0；¬q:∀x ∈R,x 2+mx +1>0；（2）m <2.【解析】（1）¬p ：∃x ∈R,mx 2+1≤0；¬q ：∀x ∈R,x 2+mx +1>0.（2）由题意知，¬p 真或¬q 真，当¬p 真时，m <0，当¬q 真时，Δ=m 2−4<0，解得−2<m <2，因此，当¬p ∨¬q 为真命题时，m <0或−2<m <2，即m <2.。