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毕业设计（论文）题目：中值定理及其应用毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
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微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
浅谈微分中值定理的推⼴及其应⽤---毕业论⽂【标题】浅谈微分中值定理的推⼴及其应⽤【作者】贾双双【关键词】微分中值定理推⼴应⽤【指导⽼师】郑莲【专业】数学与应⽤数学【正⽂】1、引⾔:⼈们对微分中值定理的研究,从微积分建⽴之始就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最⼤值和最⼩值的⽅法》中给出费马定理,在教科书中,⼈们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《⽅程的解法》⼀⽂中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗⽇在《解析函数论》⼀书中给出拉格朗⽇定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进⾏系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《⽆穷⼩计算教程概论》(1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要⽬标,对微积分理论进⾏了重构.他⾸先赋予中值定理以重要作⽤,使其成为微分学的核⼼定理.在《⽆穷⼩计算教程概论》中,柯西⾸先严格地证明了拉格朗⽇定理,⼜在《微分计算教程》中将其推⼴为⼴义中值定理—柯西定理.从⽽发现了最后⼀个微分中值定理(详见⽂献[1]).本⽂通过对微分中值定理的细致研究将其系统的推⼴到更⼀般的⼏个情况,同时也将进⼀步通过例题讲解它的具体应⽤及不同的微分中值定理是如何在题⽬中发挥作⽤的.这样⼀来便可以很清晰的理解微分中值定理的精髓及其意义之所在.2、预备知识定理2.1 (罗尔(Rolle)中值定理) 若函数满⾜如下条件:(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导;(3) ( )= (b),则在( ,b)内⾄少存在⼀点,使得⼏何意义若连续曲线y= ( )在A( , ( )),B(b, (b))两点间的每⼀点都不垂直于轴的切线,⼜A,B点的纵坐标相等,则曲线在A,B 间⾄少存在⼀点使得曲线在点P处的切线平⾏于轴.定理2.2 (拉格朗⽇(Lagrange)中值定理) 若函数满⾜如下条件: （1）在闭区间上连续;（2）在开区间内可导;则在内⾄少存在⼀点,使得( )=⼏何意义若连续曲线= ( )在A( , ( )),B(b, (b))两点间的每⼀点处都有不垂直于轴的切线,则曲线在A,B间⾄少存在⼀点，使得该曲线在P 点的切线与割线AB平⾏.定理2.3 柯西中值定理设函数和g满⾜:(1)在上都连续;(2)在上都可导;(3) 和不同时为零;(4) ( )≠(b),则存在,使得其中对于拉格朗⽇中值定理也很容易得出下⾯⼏个推论:推论2.1 若函数在区间I上可导，且，则为I上的⼀个常量函数。
•上1记录O返回o下我❽打印© Email•下一记录【标题】微分中值左理的证明及其应用【作者】蒋雯亦【关键词】Lagrange中值立理Cauchy中值龙理辅助函数【指导老师】吴先兵【专业】数学教育【正文】1引言在一元函数微积分中，微分中值泄理是应用函数局部性质研究函数整体性质的重要工具。
Lagrange中值定理、Cauchy中值左理是微分学中的两个重要左理，它们揭示了函数值与导数值之间的内在联系，为微分学的应用和对函数的进一步研究提供了理论依据，对两个微分中值左理的证明一般都划归为Rolle中值泄理来证明。
因此，Rolle中值左理是基础， Lagrange中值泄理及Cauchy中值定理是Rolle中值立理的推广，熟练运用Rolle中值左理, 正确掌握函数证明的各种技巧，对解决实际问题非常重要。
2001年，鲁凤菊［5］给岀了证明微分中值定理时构造辅助函数的两种方法及微分中值左理在一元函数、多元向量值函数及抽象函数方面的推广。
2007年，贾计荣［6］用行列式证明Cauchy中值左理及Lagrange中值左理，并对微分中值泄理加以推广。
2008年，孙彩贤［7］从不同方而对微分中值左理加以证明，使得抽象的肚理灵活化，从而更易理解。
李建杰［8］着重探讨Cauchy中值泄理的几种新证法，比较详细地叙述了求证的思路、方法和具体步骤，简述了求证过程对微枳分教学的意义。
陈鱼昆［9］分别研究Lagrange中值泄理、Cauchy中值立理及Rolle中值定理的某些重要应用。
2009年，杨洪秀［10］列岀了证明Lagrange中值立理的几种不同方法。
宋振云［11］通过复数乘法运算构造出一系列Lagrange中值立理证明中满足Rolle中值立理条件的辅助函数，并明确指岀了Cauchy中值泄理证明中辅助函数的构造方法。
微分中值定理的证明和应用，通常以Rolle中值左理作为它的预备左理，证明的关键在于方法的掌握,而教材通常都只用一种方法来证明微分中值定理，因而不能提高学生的思维能力, 本文试用多种方法来证明Lagrange中值左理和Cauchy中值左理，再将Rolle中值立理、 Lagrange 中值左理及Cauchy中值定理分别应用到不同的问题中，让学生能够更加容易掌握和应用微分中值左理。
微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。
微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。
本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。
文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。
接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。
本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。
通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。
文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。
《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。
通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。
二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。
这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。
罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。
拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。
柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。
这些定理在实际应用中具有广泛的价值。
本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学论文题目微分中值定理及其应用学生姓名贾孙鹏指导教师黄宽娜（副教授）班级 11级数应1班学号 11290056完成日期：2015年4月微分中值定理及其应用贾孙鹏数学与信息科学学院 数学与应用数学 11290056【摘要】 微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要内容。
我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。
本文主要研究微分中值定理的内容和不同形式之间的关系，以及它的推广形式。
并归纳了它在求极限，根的存在性，级数等方面的应用。
最后对中间点的问题进行了讨论。
【关键词】 微分中值定理 应用 辅助函数1引言微分中值定理主要包括罗尔（Roll ）定理，拉格朗日（ Lagannge ）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。
他们之间层层递进。
研究了单个函数整体与局部，以及多个函数之间的关系。
对掌握函数的性质，以及根的存在性等方面具有重要的作用。
学微分中值定理这节同我们要掌握为什么要学这节，和不同定理之间的关系和应用。
从教材来看，我们已经明白了导数微分重要性，但没讲明如何运用，因此有必要加强导数的应用，而微分中值定理是导数运用的理论基础。
所以这部分内容很重要。
它是以后研究函数极限，单调，凹凸性的基础。
从微分中值定理的产生来看，其中一个基础问题就是函数最值问题。
而解决此类问题就是能熟练的运用微分中值定理。
此文为加深对中值定理的理解，在它推广的基础上详细解释了定理间的关系，对它的应用作了5个大方面的归纳。
并对最新研究成果作了解释。
2柯西与微分中值定理2.1柯西的证明首先在柯西之前就有很多科学家给出了导数的定义，当然他们对导数的认识存 在着差异。
比如说欧拉在定义导数的时候就用了差商的形式，如将()g x 的导数定义为()()g x h g h h +-当趋于0时的极限。
对于拉格朗日他对导数的认识开始是建立在错误观点的，他认为任意的函数都可以展开成幂级数的形式，但是事实并不是这样。
安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用作者秦国华系（院）数学与统计学院专业信息与计算科学年级 2009级学号 090802001指导教师陈峰论文成绩日期 2013年5月12日诚信承诺书郑重承诺：所呈交的论文是作者个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。
与作者一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
作者签名：日期：导师签名: 日期：院长签名：日期:论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
保密论文在解密后遵守此规定。
作者签名：导师签名：日期：微分中值定理及其应用秦国华(安阳师范学院 数学与统计学院， 河南 安阳 455002）摘 要：微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它是微分学的理论核心.本文主要介绍微分中值定理在等式的证明、不等式的证明、方程根的存在性以及求近似值等中的应用。
关键词:等式证明;不等式证明；方程根存在性；近似值 1 引言微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分析中有重要的地位,在微积分教学与研究中具有承前启后的作用,是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具. 本文是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个定理为研究对象，主要介绍微分中值定理的若干推广和应用. 2 预备知识由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理.定理2.1（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值.定理2.2（费马定理) 设函数f 在点0x 的某领域内有定义，且在点0x 可导。
微分中值定理及其应用和推广王泓元摘要：微分中值定理包括罗尔（Rolle）中值定理、拉格朗日（lagrange）中值定理、柯西（cauchy）中值定理、泰勒（Taylor）定理。
微分中值定理是反映函数与导数之间关系的重要定理，也是微积分学的理论基础，也是沟通导数值与函数值之间的桥梁，它利用导数的局部性质来推断函数的整体性质的工具。
在许多方面它都有着重要的作用，在进行一些公式推导和定理证明中都有很多应用。
关键词：中值定理；推广；应用2. 微分中值定理的基本内容2.1罗尔（Rolle ）中值定理“罗尔定理”这个名字是由德罗比什在1834年给出的。
罗尔在当时提出的这个结论，主要是针对多项式函数的，现在所看到的罗尔定理则一般适用于一般的函数。
而且证明的方法也与罗尔的有所不同，罗尔是利用纯代数的方法加以证明的，而后人则是以分积分的理论证明的[1]。
罗尔在《方程的解法》论著中给出了“在多项式01110=+++--n n n n a x a x a x a 中，至少有一个实根。
”的论断。
正好是定理的一个特例，这也是以上定理称为罗尔定理的原因。
2.1.1罗尔定理 若函数)(x f 满足如下条件：（i ） f 在闭区间[a,b]上连续； （ii ） f 在开区间（a,b ）内可导； （iii ）)()(a f b f =，则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf .2.1.2罗尔定理的证明证明：由（i ）知)(x f 在[a,b]上连续，故)(x f 在[a,b]上必能有最大值M 和最小值m ，此时，分两种情况来谈论：（1）若M=m ，即)(x f 在[a,b]上得最大值和最小值相等，此时)(x f 为常数，m M x f ==)(，所以0)(='x f ，因此，可知ξ为（a,b ）内任意一点都有0)(='ξf .（2）若M>m ，因为)()(b f a f =，使得最大值M 和最小值m 至少有一个在（a,b ）内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件（ii ）f 在点ξ处可导，故由费马定理推知，0)(='ξf .注：⒈ 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立，即定理中的条件是充分的，但非必要（见图2-2）。
毕业论文(设计)题目名称：微分中值定理的推广及应用题目类型：理论研究型学生姓名：邓奇峰院(系)：信息与数学学院专业班级：数学10903班指导教师：熊骏辅导教师：熊骏时间：2012年12月至2013年6月目录毕业设计任务书 (I)开题报告 ....................................................................................................................................... I I 指导老师审查意见. (III)评阅老师评语 (IV)答辩会议记录 (V)中文摘要 (VI)外文摘要 .................................................................................................................................... V II1 引言 (1)2 题目来源 (1)3 研究目的和意义 (1)4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 (1)5 微分中值定理的发展过程 (2)6 微分中值定理的基本内容 (3)6.1 罗尔(Rolle)中值定理 (3)6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (4)6.3 柯西（Cauchy）中值定理 (4)6.4 泰勒（Taylor）定理 (4)7 微分中值定理之间的联系 (5)8 微分中值定理的应用 (5)8.1 根的存在性证明 (6)8.2 利用微分中值定理求极限 (8)8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性 (10)8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 (10)8.5 利用微分中值定理求近似值 (10)8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题 (10)8.7 利用微分中值定理证明不等式 (11)9 微分中值定理的推广 (14)9.1 微分中值定理的推广定理 (15)9.2 微分中值定理的推广定理的应用 (17)参考文献 (18)致谢 (19)微分中值定理的推广及应用学生：邓奇峰，信息与数学学院指导老师：熊骏，信息与数学学院【摘要】微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。
摘要:微分中值定理不仅是微分学的基本定理, 而且它也是微分学的理论核心。
本文介绍了微分中值定理在解题中的应用及如何构造辅助函数。
关键词: 微分中值定理;辅助函数;应用微分中值定理是数学分析中的非常重要的基础定理,它是沟通函数与导数之间的桥梁。
微分中值定理系指:Rolle中值定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,Taylor公式,在用微分中值定理去证明一些问题时,我们通常采用的方法是直接套用这些定理或是经过简单地恒等变换以后而实现。
但在实际应用的过程中,仅有此方法不能满足教师和学生的需要,经常采用构造辅助函数法的方法。
一、微分中值定理之间的关系Rolle定理是微分中值定理的基石,而Lagrange中值定理则是微分中值定理的核心. 拉格朗日中值定理添加条件f(a)=f(b)则收缩为特例Rolle定理。
反之,如果定理Rolle中放弃条件f(a)=f(b)则推广为Lagrange中值定理;同样,则Cauchy中值定理就收缩成为Lagrange中值定理。
而Cauchy中值定理可视为Lagrange中值定理在表述上形式的一种推广;若Taylor中值定理添加条件,则收缩为特例中值Lagrange定理Taylor中值定理可视为Lagrange中值定理在应用上的一种推广。
二、微分中值定理的应用2.1 一般说来,当涉及导数零点时,应考虑Rolle中值定理,一些题目可直接从结论出发,分析要证明的结果,从而构建适当的辅助函数,如例1 设常数a0,...,an满足■+■+...+■+an=0,求证:多项式a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an在(0,1)内有一零点。
分析:利用要证的结论,从导函数的“逆”去想,构造一函数f(x)=■xn+1+■xn+…■x2+anx ,使之作为辅助函数,再用辅助函数来证明。
证明设函数f(x)=■xn+1+■xn+…■x2+anx ,x∈[0,1],f(0)=f(1)=0,满足Rolle定理,э?灼∈(0,1),f'(?灼)=0,f'(?灼)=a0?灼n+a1?灼n-1…+ an =0即?灼是a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的零点。
微分中值定理论文：再谈微分中值定理的应用摘要:微分中值定理是微积分学的重要结论之一。
它不仅沟通了函数与其导数的关系，也是微分学理论应用中较为广泛的定理。
在一般教科书中，微分中值定理的应用举例较少，本文根据作者多年在高等数学教学中的经验，总结和归纳了微分中值定理的一些应用方法。
关键词: 中值定理辅助函数连续函数定理1：（rolle中值定理）若函数i) 在闭区间上连续；ii) 在开区间内可导；iii) 闭区间 ,则在内至少存在一点，使得 .定理2：（lagrange中值定理）若函数i) 在闭区间上连续；ii) 在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得 .定理3：（cauchy中值定理）若函数i) 在闭区间上连续；ii) 在开区间内可导；iii) 在开区间内不同时为零；iv) ，则在内至少存在一点，使得 .例：求极限 .解：构造函数则应用lagrange定理函数在上连续，在上可导，则使得即而，当时，故 .例：设为实数，求证方程在内至少有一个根.证：令则显然函数在上满足rolle中值定理的条件从而存在，使得即故方程至少有一个根 .我们在应用中值定理时，往往引入某连续函数，使之在某区间上满足中值定理的条件.例：求极限 .解：引入函数显然函数在区间上满足lagrange中值定理的条件所以存在使得由于，当时，所以原极限 .本例我们也可对用洛比达（l,hospital）法则求解，但较之用中值定理复杂得多。
在应用中值定理时，辅助函数的构造是解决问题的关键。
例：如果，试证，其中在之间.证：我们不妨设，在上显然函数在上满足rolle中值定理的条件，从而存在，使得那么，我们是怎么来构造的呢？由cauchy中值定理的结论：把式中的换成，然后变形为：积分可得此处令，得从而构造出函数.本例也可用cauchy中值定理来证，更为简单直接。
证：我们不妨设，并在上对函数应用cauchy中值定理，有，由此得 .参考文献:[1][美]m.r.施皮格尔.微积分[m].科学出版社，2002.[2]孙清华、郑小姣.高等数学[m].华中科技大学出版社，2004.[3] 徐森林．薛春华．数学分析[m]．北京：清华大学出版社,2005．[4]华东师范大学数学系.数学分析[m].人民教育出版社，1980.。
本科毕业设计（论文）微分中值定理的推广及应用The Generalization of Differential Mean Value Theorem and ItsApplication学院（系）：数理学院专业：数学与应用数学学生姓名：学号：101108072指导教师（职称）：评阅教师：完成日期：2012.04南阳理工学院Nanyang Institute of Technology微分中值定理的推广及应用数理学院[摘要]本文在阐述了微分中值定理的一般证法的基础上,给出了新的证明方法,讨论了三大微分中值定理之间的递进关系等,并对中值定理进行了一定地推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用.[关键词]微分中值定理；新证法；推广；费马定理The Generalization of Differential Mean Value Theorem and ItsApplicationMathematical InstituteAbstract:In this paper, the differential mean value theorem of the general license based on the method, gives a new proof method, discusses the three differential mean value theorems of transitive relations among, and the mean value theorem for a promotion, and specific analysis of the differential mean value theorem in the proof of identity, inequality and discuss the equation existence of root and so on several aspects of the application.Key words:Differential mean value theorem; New method; Promotion; Fermat's theorem目录0 绪论 (1)1 微分中值定理及相关的概念 (1)2 微分中值定理普遍的证明方法 (2)2.1 费马定理 (2)2.2 罗尔中值定理 (2)2.3 拉格朗日中值定理 (3)2.4 柯西中值定理 (4)3 中值定理的推广 (4)3.1 关于三个中值定理新的证明方法 (4)3.2 微分中值定理的推广 (6)3.3 微分中值定理的弱逆定理 (10)4 微分中值定理的应用 (11)4.1 利用微分中值定理证明等式 (11)4.2 利用微分中值定理证明不等式 (14)4.3 讨论方程根的存在性 (15)结束语 (18)参考文献 (18)致谢 (18)0绪论微分中值定理是包括Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理等一系列基本定理的总称.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着很重要的作用.因此，微分中值定理构成了整个微分学基础而重要的内容.1 微分中值定理及相关概念所谓微分中值定理,其实是指一个(或多个)函数导数与其增量之间的等式关系.通俗的讲,微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.定义1 (最小值或最大值) 设)(x f 在I 上有定义,若存在I x ∈0使任意I x ∈,≤)(0x f )(x f (≥)(0x f )(x f ),则)(0x f 称为)(x f 的最小值(最大值).0x 为最小值点(最大值点).定义2 (极小值或极大值) 设)(x f 在任意I x ∈上有定义,若存在,0,0>∆∈I x 任意 ∈x ),(00∆+∆-x x ,都有)()(0x f x f ≥ ()()(0x f x f ≤),则)(0x f 称为)(x f 的一个极小值(极大值),0x 称为极小值点(极大值点).定义3 (极限的局部保号性) 若)(lim )(lim 00x g x f x x x x →→>,则存在,0>∆任意,(0∆-∈x x ),0∆+x 使得)()(x g x f >.定义4 (函数单调性) 函数)(x f 在定义域内,当21x x <时,有)()(21x f x f ≤<)((1x f ))(2x f则称)(x f 单调递增(严格单调递增).当21x x <时,有)()(21x f x f ≥>)((1x f ))(2x f ,则称)(x f 单调递减(严格单调递减).定义5(凸性) 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上凸)的,或称函数向下凸(上凸).定义6(凹性) 若)(x f y =的一阶导数)(x f '在()b a ,上单调递增(或递减),则称)(x f 在()b a ,是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹).2 微分中值定理普遍的证明方法2.1 费马定理定理1[1]设)(x f 在区间K 有定义.若0x 是函数)(x f 的极值点,且)(x f 在0x 处可导,则0)(='x f .费马定理的几何意义:若将函数)(x f 的曲线置于平面直角坐标系XOY ,则费马定理具有几何意义:对曲线)(x f y =上,若有一点))(,(00x f x 存在切线,且0x 为)(x f 极值点.则这一点处的切线平行于x 轴.证明 0x 为)(x f 的极值点.设0x 为极小值点,则存在,0>∆任意,(0∆-∈x x )0∆+x ,有)()(0x f x f ≤,若0x x >,则0)()(00≥--x x x f x f ; 若0x x <,则 0)()(00≤--x x x f x f ; 取极限00)()(lim 0x x x f x f x x --+→与00)()(lim 0x x x f x f x x ---→分别为T 、S ,由于)(x f 在0x 处可导,则 T =S =00)()(lim 0x x x f x f x x --→ 由极限的局部保号性有0≥T , 0≤S .故 T =S =0.所以有0)()(lim 000=--→x x x f x f x x ,即0)(0='x f .2.2 罗尔中值定理定理 2 设)(x f 满足:(1) 在闭区间[]b a ,上连续; (2) 在开区间()b a ,内可导; (3) )()(b f a f =,则至少存在一点),(b a ∈ξ使得0)(='ξf .罗尔定理的几何意义:若)(x f 满足罗尔定理的条件,则在曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ,使得点P 处的切线平行于x 轴(如图), 其中))(,(a f a A ,))(,(b f b B .证明 由于在闭区间上连续,从而存在最大值M ,最小值m .若m M =则对任意[]b a x ,∈有m M x f ==)(,即)(x f 为常函数,所以0)(='x f . 若m M >,由于)()(b f a f =.M 与m 不同时为区间的端点,不妨设)()(b f a f M =≠,所以M 必为)(x f 的极大值.设M f =)(ξ,则有),(b a ∈ξ,且)(x f 在()b a ,内可导,根据费马定理可知0)(='ξf .证毕.2.3 拉格朗日中值定理定理3 若函数)(x f 满足:(1) 在闭区间[]b a ,上连续;(2) 在开区间()b a ,内可导;则至少存在一点),(b a ∈ξ使得ab a f b f f --=')()()(ξ. 证法 利用罗尔中值定理,构造辅助函数.⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=)()()()()()(a x a b a f b f a f x f x F . 证明 作辅助函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=)()()()()()(a x a b a f b f a f x f x F , 显然,)(x F 在[]b a ,上连续, 在()b a ,内可导,且0)()(==b f a f ,由罗尔定理可知,存在一点),(b a ∈ξ 使得0)(='ξF 即ab a f b f f --=')()()(ξ. 推论 设)(x f 、)(x g 都在区间K 上可导,且)()(x g x f '=',则c x g x f =-)()(2.4 柯西中值定理定理4 设函数)(x f 、)(x g 满足:(1) 在闭区间[]b a ,上连续;(2) 在开区间()b a ,内可导,且0)(≠'x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ. 证明 由定理条件可知)()(a g b g ≠,则任意),(b a ∈ξ都有0)(≠'ξg ,因此,只需证[][]0)()()()()()(=-'--'a f b f g a g b g f ξξ,为此,构造函数[][])()()()()()()(a f b f x g a g b g x f x F ---=,[]b a x ,∈,显然,)(x F 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且)()(b F a F =,根据罗尔定理,存在),(b a ∈ξ,使得0)(='ξF ,即[][]0)()()()()()(=-'--'a f b f g a g b g f ξξ,所以)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ. 3 中值定理的推广微分中值定理在数学分析中甚至是整个数学领域都占有非常重要的地位,其证明方法也有多种.3.1 关于三个中值定理新的证明方法3.1.1 罗尔定理的新证法引理1非单调函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,则存在一点),(b a ∈ξ,使得0)(='ξf .证明 因为)(x f 在[]b a ,上连续,且非单调,故存在),(b a ∈ξ为函数)(x f 的极值点.又)(x f 在()b a ,内可导,故在ξ点可导,由费马定理可知0)(='ξf .罗尔定理的新证法证明 因为b a <,且)()(a f b f =.（1） 若)()()(a f b f x f ==为常数,则必有0)(='x f ，所以,存在),(b a ∈ξ,使得0)(='ξf ;（2） 若)(x f 不是常数,则)(x f 非单调,又有)(x f 在[]b a ,上连续在()b a ,内可导,根据引理1,存在),(b a ∈ξ,使得0)(='ξf .证毕.3.1.2 拉格朗日中值定理的新证法]2[证明（利用分析法证明拉格朗日中值定理）要证存在),(b a ∈ξ使得ab a f b f f --=')()()(ξ 成立，即证,存在),(b a ∈ξ使得0)()()(=---'ab a f b f f ξ (1) 成立.亦即 0)()()(='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ξx x a b a f b f x f (2) 记 []b a x x a b a f b f x f x F ,,)()()()(∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=, 则由)(x F 满足罗尔定理的条件知,存在),(b a ∈ξ使得(2)成立,进而(1)成立.从而拉格朗日中值定理成立.3.1.3 柯西中值定理的新证法]3[证明 首先构造辅助函数⎩⎨⎧==)()(x f Y x g X , 由于0)(≠'x g ,故可知)(x g '恒大于零或者恒小于零.否则,由费马定理可知,必存在 ∈ξ ()b a ,使得0)(='ξg .我们不妨设)(x g '恒大于零.于是,对于任意[]b a X X X ,∈ξ,其中=c X )(c g ,()b a c ,∈.又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得))(()(1X g f x f Y -==在闭区间[]b a X X ,上连续;在开区间()b a X X ,内可导,且ξξξξ====''===x x x X X x g x f dx x dg dx x df x dX x dY dX dY)()()()()()( 故即是要证明a b a b X X X X X g f X g f dX dY--=--=))(())((11ξ, 因此可构造辅助函数:X X X X g f X g f X g f X a b a b ---=ψ---))(())(())(()(111, 可以验证)(X ψ满足罗尔定理的条件,故至少存在一个[]b a X X X ,∈ξ,使得a b a b X X X X X g f X g f dX dY--=--=))(())((11ξ成立.再由ξξξξ====''===x x x X X x g x f dx x dg dx x df x dX x dY dX dY)()()()()()( 知,至少存在()b a ,∈ξ使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ 成立,柯西中值定理得证.3.2 微分中值定理的推广微分中值定理是微分学的核心内容,而随着其不断地发展和完善,衍生了许多微分中值定理的推广.以下是几种微分中值定理的推广形式.3.2.1 罗尔定理的推广定理5 设)(x f 在()b a ,内可导,且A x f x f bx a x ==-+→→)(lim )(lim ,其中+∞≤A ,则存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξf .证明 由于)(x f 在()b a ,内可导,则必有)(x f 在()b a ,上连续,又有A x f x f bx a x ==-+→→)(lim )(lim .(1)当+∞<A 时,对)(x f 在b a ,两点进行连续延拓,使得A b f a f ==)()(,则有)(x f 在[]b a ,上连续,在),(b a 内可导且有A b f a f ==)()(,所以,满足罗尔定理的条件,存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξf .(2)当+∞=A 时,由于A x f x f bx a x ==-+→→)(lim )(lim ,故存在()2121,,,x x b a x x <∈,使得)()(21x f x f =,所以)(x f 在[]21,x x 上连续,在),(21x x 内可导,满足罗尔定理,即存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξf .综上所述,存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξf .3.2.2拉格朗日中值定理的推广定理6(推广一) 设)(),(),(x h x g x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,则存在),(b a ∈ξ使得0)()()()()()()()()(='''ξξξh g f b h b g b f a h a g a f .证明 作辅助函数)()()()()()()()()()(x h x g x f b h b g b f a h a g a f x H =, 很明显)(x H 在[]b a ,连续,在()b a ,内可导,且0)()(==b H a H ,则根据罗尔定理有,存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξH ,命题得证.定理7(推广二) 若)(x f 在有限开区间()b a ,内可导,且)0(+a f 与)0(-b f 存在,则至少存在一点),(b a ∈ξ使得ab a f b f f -+--=')0()0()(ξ. 证明 （1）当)0()0(-=+b f a f 时,由定理5可知,结论成立.（2）当)0()0(-≠+b f a f 时,作辅助函数)()0()0()0()()(a x ab a f b f a f x f x F --+---+-=, 由)(x f 在()b a ,内可导知,)(x F 在()b a ,内也可导,又因为 0)0()0()0()0()0()0(=-+-+---+-+=+a a ab a f b f a f a f a F ;0)0()0()0()0()0()0(=---+---+--=-a b ab a f b f a f b f b F ,根据定理5可知,至少存在一点),(b a ∈ξ使得0)(='ξF .进而有0)0()0()()(=-+---'='ab a f b f f F ξξ,即ab a f b f f -+--=')0()0()(ξ.综上所述,存在一点),(b a ∈ξ使得ab a f b f f -+--=')0()0()(ξ.3.2.3柯西定理的推广定理8]4[(推广一) )(),(x g x f 在[]b a ,连续,在()b a ,内可导,任意),(b a x ∈,有0)(≠'x g .则存在),(b a ∈ξ使得)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --=''. 证明 作一个辅助函数[][])()()()()(x g b g a f x f x F --=,则)(x F 在[]b a ,连续,在()b a ,内可导,且[][]0)()()()()(=--=a g b g a f a f a F ,[][]0)()()()()(=--=b g b g a f b f b F所以)(x F 在()b a ,上满足罗尔定理,即存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξF .因为[][])()()()()()()(a f x f x g x g b g x f x F -'--'=',所以,[][])()()()()()(0)(a f f g g b g f F -'--'=='ξξξξξ,即得)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --=''. 定理9]5[(推广二) 若)(),(x g x f 在有限或无穷区间()b a ,中的任意一点有有限导数)(x f '和)(x g ',任意),(b a x ∈,0)(≠'x g ,)0(+a f ,)0(+a g ,)0(-b f ,)0(-b g 都存在,则至少存在一点),(b a ∈ξ使得)0()0()0()0()()(+--+--=''a g b g a f b f g f ξξ.证明 首先证明0)0()0(≠+--a g b g .假设0)0()0(=+--a g b g 即)0()0(+=-a g b g ,根据定理5可知,至少存在一点),(b a ∈ξ使得0)(='ξg .与已知条件相互矛盾.其次,作辅助函数)]0()([)0()0()0()0()0()()(+-+--+---+-=a g x g a g b g a f b f a f x f x F由已知得)(x f 在()b a ,可导且0)0()()0()0()0()0()0()0(=-++--+---+-+=+a a a b g b g a f b f a f a f a F ,0)0()0()0()0()0()0()0()0(=--+--+---+--=-a b a g b g a f b f a f b f b F ,所以,)0()0(-=+b F a F .根据定理5可知,至少存在一点),(b a ∈ξ使得0)(='ξF 即)0()0()0()0()()(+--+--=''a g b g a f b f g f ξξ. 3.2.4 微分中值定理的推广定理10]3[ 设函数)(,)(),(21x f x f x f n 在[]b a ,上连续, 在()b a ,内可导,且),()(b f a f i i ≠n i ,,2,1 =,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得0)(1)()()()(1,='⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---∑=ξnj i j j j i i f a f b f a f b f .证明 根据题意,设)(1)()()()()(1,x f a f b f a f b f x F nj i j j j i i ∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=显然)(x F 在[]b a ,上连续, 在()b a ,内可导,并且)]()(][)()([)]()([1)()()()()()(1,1,=--=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=-∑∑==a f b fa fb f a f b f a f b f a f b f a F b F j jnj i iij nj i j j j i i即)()(b F a F =,所以由罗尔中值定理可知在()b a ,至少存在一点ξ使得0)()(1)()()()(1,='='⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---∑=ξξF f a f b f a f b f nj i j j j i i证毕.当上述式子中2=n 时,可得到柯西中值定理;当上述式子中x x f n ==)(,22时,可得到拉格朗日中值定理.3.3 微分中值定理的弱逆定理在一定的附加条件下微分中值定理的弱逆定理成立.定理11 (拉格朗日中值定理的弱逆定理) 设)(x f 在],[b a 上连续,在()b a ,内可导,若)(x f '在()b a ,严格单调,则对任意的()b a ,∈ξ,存在21x x <<ξ使得()1212)()()(x x f x f x f -'=-ξ成立.证明 因为)(x f '在()b a ,上严格单调,不妨设其严格单调递增, 由定义6可知,函数)(x f 在()b a ,上是向下凸的,再由定义5,任意的()b a ,∈ξ,有),(),)(()()(b a x x f f x f ∈-'+≥ξξξ,所以,切线))(()()(1ξξξ-'+=x f f x g 在曲线)(x f 下方,所以存在ξ的)0(>δδ邻域使得直线)(1x g 的平行线x f t x g )()(2ξ'+=与)(x f 有两个交点,假设交点为 A )),(,(11x f x B)),(,(22x f x ),(,21δξδξ+-∈x x .即有⎩⎨⎧==)()()()(222112x f x g x f x g , 得到1212)()()(x x x f x f f --='ξ,结论得证.定理12]6[（柯西中值定理的弱逆定理）设)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且)()(x g x f ''严格单调,0)(≠'x g ,则对于任意的()b a ,∈ξ存在21x x <<ξ,使得 )()()()()()(1212x g x g x f x f g f --=''ξξ 成立.证明 对任意的()b a ,∈ξ,作辅助函数)()()()()(x g g f x f x F ξξ''-=, 显然, )(x F 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可微,并且由)()(x g x f ''严格单调,可知)(x F '也严格单调.由定理11知,对任意的()b a ,∈ξ,存在21x x <<ξ使得()1212)()()(x x F x F x F -'=-ξ成立.而0)()()()()(='''-'='ξξξξξg g f f F , 所以有, 0)()(12=-x F x F ,整理得)()()()()()(1212x g x g x f x f g f --=''ξξ. 证毕.4 微分中值定理的应用微分学是整个数学分析的重要组成部分,而微分中值定理是微分学的核心内容,其建立了函数值与导数之间的关系,是用于证明等式,证明不等式,讨论方程根的存在性等问题的重要工具.4.1 利用微分中值定理证明等式例1 设函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导.证明存在()b a ,∈ξ使得abf a f b f ln)()()(ξξ'=-,b a <<0. 证明 利用柯西中值定理 令x x g ln )(=,0>x ,显然,)(x g 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且01)(≠='xx g ,所以,存在()b a ,∈ξ使得 ab a f b f a g b g a f b f g f ln )()()()()()()()(-=--=''ξξ,所以abf a f b f ln )()()(ξξ'=-.证毕.例2 设函数)(x f 在[]a a ,-上连续,在()a a ,-内可导,且0)()(==-a f a f .证明对任 意常数k ,存在()a a ,-∈ξ,有0)()(=+'ξξkf f .证明 利用罗尔定理,构造函数kx e x f x F )()(=,由于)(x f 在[]a a ,-上连续, 在()a a ,-内可导,且)()(a f a f =-，所以,0)()(==-a F a F ,且)(x F 在[]a a ,-上连续,在()a a ,-内可导，所以,存在()a a ,-∈ξ使得0)(='ξF ,即0)()(=+'ξξkf f .例3 设)(x f 满足:(1) 在[]b a ,上连续;(2) 在()b a ,内可导,证明存在()b a ,∈ξ,使得)()(ξξf f ='.证明 证法同例2,令1-=k 即可证得.小结 如例3,例7中用罗尔定理证明,需要构造出原函数,此类函数有固定的原型)()()(x g e x f x F =,利用微分中值定理容易得到想要证明的结论.例 4 设3)()()(=++c f b f a f ,1)3(=f ,)(x f 在[]3,0上连续,在()3,0内可导,,a ,b ()3,0∈c .则有()3,0∈ξ使得0)(='ξf .证明 由于3)()()(=++c f b f a f ,且)(x f 在[]3,0上连续在()3,0内可导，所以,必存在()3,0∈k 使得1)3()(==f k f ,根据罗尔定理,存在()()3,03,⊂∈k ξ使得0)(='ξf .例5 证明恒等式:212arcsin 21-arctan 2π++=x x x . 证明 令212arcsin 21arctan )(x xx x f ++=,则()()()()1,014121412111)(22222222≥≡+-++-++='x x x x x xx x f ,所以,)(x f 在()+∞,1为常函数.又有)1()(lim 1f x f x =+→，所以2)1()(π==f x f ,即212arcsin 21-arctan 2π++=x x x成立.例6 设)10(0)(<<>x x f 且在[]1,0上连续,在()1,0内可导.则存在)1,0(∈ξ使得)1()1()()(ξξξξ--'='f f f f . 证明 变换待证等式为[])()1()()1()()1()(0ξξξξξξξF f f dxd f f f f '=-=-'--'=其中)1()()(x f x f x F -=,显然)1()1()0()0(F f f F ==,利用罗尔定理即可得)1()1()()(ξξξξ--'='f f f f . 例7 设⎰=21)(2)1(dx x xf f ,)(x f 在()1,0内可导,则存在()1,0∈ξ,使得ξξξ)()(f f -='.证明 变换待证等式为)()()(0ξξξξF f f '=+'=,其中)()(x xf x F =.由于⎰=210)(2)1(dx x xf f ,所以)()(2)1()1(210c F dx x xf f F ===⎰,其中[]1,0∈c ,于是,在[]1,c 上)(x F 满足罗尔定理,从而有结论ξξξ)()(f f -='.若待证等式0),,(=ξφb a 明显可表示为)()()()()(a g b g a f b f --=ξϕ的形式,则)(ξϕ很可能就是)()(ξξg f '',因而,可以利用柯西定理证明. 例8 设b a <<0,)(x f 在[]b a ,连续可导,则存在()b a ,∈ξ使得ab f a f b f ln)()()(ξξ'=-. 证明 令x x g ln )(=则0)(≠'x g ,且)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续在()b a ,内可导,根据柯西定理,存在()b a ,∈ξ使得ab a f b f g f ln ln )()()()(--=''ξξ, 即ab f a f b f ln)()()(ξξ'=-. 4.2 利用微分中值定理证明不等式利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式时,常将待证不等式变形为))()()()(()()(N a g b g a f b f M N a b a f b f M <--<<--<或的形式,且))(),()((x g x f x f 或满足拉格朗日或柯西定理的条件,再证明对一切的()b a x ,∈有))()(()(N x g x f M N x f M <''<<'<或, 最后利用中值定理证明.例9 证明对任何正数a 、)(b a b <有aab b a b a b -<<-ln . 证明 令x x f ln )(=,[]b a x ,∈.则)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,根据拉格朗日中值定理,存在()b a ,∈ξ使得()a b a b -=-ξ1ln ln ,由于()b a ,∈ξ,所以ab 111<<ξ,即有aab b a b a b -<<-ln . 例10 设)(x f 为非线性函数,且在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,则存在()b a ,∈ξ使得)()()()(a f b f f a b ->'-ξ.证明 变换待证不等式为[])()()()(0a f b f f a b --'-<ξ []{})()()()(a f b f f a b d d--'-=ξξ)(ξF '=,其中[])()()()()(a f b f x x f a b x F ---=,若结论不成立,则)(0)(b x a x F <<≤',因而)(x F 单调递减.但是[])()()()()()(b F a f b f a a f a b a F =---=,故,必有)()(a F x F ≡,从而与已知矛盾,所以结论成立.即)()()()(a f b f f a b ->'-ξ成立.例11 设函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导)(0)()(a f b f a f '<==,则存在()b a ,∈ξ,使得0)(<''ξf .证明 若不存在ξ,则0)(≥''ξf ,从而)(x f '单调递增，又由于)(x f '满足罗尔定理,则存在()b a x ,0∈使得0)(0='x f ,又有0)(>'a f ,所以,)(x f '非单调递增.上下矛盾.因而,存在()b a ,∈ξ使得 0)(<''ξf .例12 设0>x ,对任意()1,0∈α.证明ααα-≤-1x x .证明 当1=x 时,结论显然成立.当1≠x 时,取[]1,x 或[]x ,1,在该区间上,设αx x f =)(,x x g α=)(,根据柯西定理,有)()()1()()1()(ξξg f g x g f x f ''=--,()1,x ∈ξ或()x ,1∈ξ,即11-=--ααξααx x ;当1<x 时,()1,x ∈ξ,11>-αξ，即11>--αααx x ; 又有0)1(<-=-x x ααα,所以ααα-≤-1x x .当1>x 时,()x ,1∈ξ,11<-αξ ,0)1(>-=-x x ααα,所以,ααα-≤-1x x .由此,不等式得证.4.3 讨论方程根的存在性注意到在中值定理中有0)(='ξf ,令)()(x g x f =',这样就可以利用中值定理讨论方程0)(=x g 的根的存在性.例13 设n a a a ,,,21 为任意n 个实数,证明函数nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=在),0(π必有零点.证明 作辅助函数[]π,0,sin 12sin 21sin )(21∈+++=x nx a nx a x a x F n ,则)(cos 2cos cos )(21x f nx a x a x a x F n =+++=' ,容易验证)(x F 在[]π,0上连续,在),0(π可导,且 0)0()(==F F π,所以存在),0(πξ∈使得0)(='ξF ,即0)(=ξf .所以,)(x f 在),0(π必存在零点.例14 设函数)(x f 在区间K 上可导,则)(x f 的两个零点间一定存在)()(x f x f '+的零点.证明 (采用罗尔定理)任取)(x f 的两个零点21,x x .不妨设21x x <.作辅助函数x e x f x F )()(=,则)(x F 在[]21,x x 上连续,在21x x <内可导,且0)()(21==x F x F ,由罗尔定理,存在),(21x x ∈ξ,使得0)(='ξF ,即0)()(='+ξξξξe f e f ,而0≠ξe ,故有0)()(='+ξξf f ,即)(x f 的两个零点间一定存在)()(x f x f '+的零点.例15 证明:若01210=++++n a a a n , 则多项式1210)(++++=n n x a x a x a x f在()1,0内至少有一个实根.证明 令121012)(+++++=n n x n a x a x a x g 则)()(x f x g =',又有)(x g 在[]1,0连续可导,且0)1()0(==g g ,满足罗尔定理的条件,故存在()1,0∈ξ使得0)(='ξg即0)(=ξf ,结论得证.例16 若函数)(x f 在[]b a ,上非负,且三阶可导,方程0)(=x f 在()b a ,内有两个不同的实根.证明存在()b a ,∈ξ使得0)(='''ξf .证明 因为方程0)(=x f 在()b a ,内有两个不同的实根,设其分别为)(,2121x x x x <所以0)()(21==x f x f ,又由于)(x f 非负，根据极值定义可以知道21,x x 为)(x f 的两个极值点,所以有0)()(21='='x f x f 又因为)(x f 满足罗尔定理，所以存在()b a k ,1∈使得0)(1='k f ,又)(x f 三阶可导，所以)(x f '满足罗尔定理,即存在()112,k x k ∈,()213,x k k ∈使得0)()(32=''=''k f k f , 同样)(x f ''满足罗尔定理,则存在()()b a k k ,,32⊂∈ξ使得0)(='''ξf .证毕.例17 设0>a ,则方程aa x x arctan 223=+在()a ,0内有解.证明 将待证问题转化为中值问题:存在()a ,0∈ξ使得)1(21arctan 22ξξ+=a a , 即()()''=--22arctan 00arctan arctan ξξa a , 根据柯西中值定理直接得证,即方程aa x x arctan 223=+在()a ,0内有解.例18 若函数)(x f 在[]b a ,可导,对)(a f +'与)(b f -'之间的任意数μ,则在()b a ,内至少存在一点c ,使得μ=')(c f .证明 不妨设)()(b f a f -+'<'.则)()(b f a f -+'<<'μ.作辅助函数 x x f x F μ-=)()(,有μ-'=')()(x f x F .显然, 0)()(<-'='++μa f a F 与0)()(>-'='--μb f b F ,即0)()(lim )(<--='+→+ax a F x F a F ax与0)()(lim )(>--='-→+bx b F x F b F bx .由极限保号性,存在()b a x ,1∈,使得微分中值定理的推广及应用 21 0)()(11<--ax a F x F , 从而,)()(1a F x F <.存在()b a x ,2∈,使得 0)()(22>--ax a F x F , 从而, )()(2b F x F <.于是,)(x F 在()b a ,内至少存在一个极小值点c .根据费马定理,有0)()(=-'='μc f c F ,即μ=')(c f .结束语由上所述,我们发现微分中值定理的证明除了构造辅助函数,还可以利用其他的证明方法加以证明,同时从罗尔定理到柯西中值定理的层次之间还存在着递进关系.除了本文介绍的几个方面,利用微分中值定理还可以导出洛必达法则,泰勒公式等.由导数研究函数的性态(极值、最值、凹凸性)也要用到微分中值定理的结论.深入研究微分中值定理,有助于加深对这些定理的理解;清楚这些定理的证明,能促使我们掌握微分中值定理的具体应用. 参考文献[1] 刘玉链等编.数学分析讲义[M] 高等教育出版社 2003[2] 张勇.微分中值定理的认识及推广[J].消费导刊·时空教育 . 2009(02) 166[3] 童蓓蕾;胡燕. 微分中值定理证法的改进[J]. 科技创新导报.2011(07) 151[4] 李阳; 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用[J]. 辽宁师专学报. 2011（01）6-8[5] 张晓彦; 刁光成. 微分中值定理的推广[J]. 科技天地. 2009(34) 31-32[6] 朱美玉. 微分中值定理的进一步探讨[J]. 湖北广播电视大学学报. 2009(08) 158-159[7] 邢建平; 徐湘云. 微分中值定理的解题应用[J].中小企业管理与科技(上旬刊). 2010(08) 158[8] 胡适耕，姚云飞编著.数学分析：定理·问题·方法[M].科学教育出版社 2007致谢在论文的写作过程中，我得到了很多热心人的帮助，特别是感谢宋老师以及给与我悉心的指导的朋友们，并引导我翻阅了大量的书籍，对论文进行了多次、细致的修改.论文导师细心谨慎的修改，使我的论文更加严密与完善.老师严谨的教学精神以及渊博的知识，都使我受益匪浅，在此谨向宋老师致以衷心的谢意！。
精品《微分中值定理的总结和应用》微分中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它是研究函数导数性质的基础工具之一、本文将对微分中值定理进行总结和应用的探讨。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理两个重要的定理。
拉格朗日中值定理是微分学中最基本的中值定理之一，它是由拉格朗日在《微积分学》中给出的。
拉格朗日中值定理表明，对于连续函数f(x)在区间[a,b]上可导（在(a,b)内），在(a,b)内存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
换言之，函数在两点间的斜率等于函数特定点处的导数。
柯西中值定理是微分中值定理的推广和拓展，它是由柯西在《微分学入门》中给出的。
柯西中值定理表明，对于连续函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可导（在(a,b)内），且g'(x)≠0，那么在(a,b)内存在一点c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c)。
换言之，函数f(x)和g(x)在两点间的斜率比等于函数f(x)和g(x)特定点处的导数比。
微分中值定理的主要应用包括寻找函数极值、证明不等式、函数图像的研究等。
在寻找函数极值时，利用微分中值定理可以通过导数的正负性来判断函数在特定点的增减性和极值性。
在证明不等式中，微分中值定理的应用可以将原不等式转化为导数的不等式，从而证明原不等式的成立。
在函数图像的研究中，微分中值定理可以通过导数的性质来研究函数的凹凸性、拐点等。
微分中值定理在物理、经济等学科中也有广泛的应用。
在物理学中，利用微分中值定理可以研究物理量的变化率以及速度与加速度之间的关系。
在经济学中，微分中值定理可以用于研究收入弹性、边际效用等经济问题。
综上所述，微分中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它可以帮助我们研究函数导数的性质，寻找函数极值，证明不等式以及函数图像的研究等。
同时，微分中值定理在物理、经济等学科中也有着广泛的应用。
n 元函数的微分中值定理及其应用数学系20021111班指导教师摘 要：对凸区域n R D 上的n 元可微函数，采用构造“辅助函数”的方法，把n 元函数转化为一元函数，利用一元函数的微分中值定理，将一元函数微分中值定理推广到n 元，得到了n 元函数的拉格朗日定理、罗尔定理、柯西定理和泰勒定理，并构造不同的“辅助函数”，得到了n 元函数柯西定理的另一种证明方法，最后讨论了n 元函数微分中值定理的一些具体应用。
关键词：n 元函数；微分中值定理；辅助函数The Differential Mean-value Theorem in n-V ariate Functionsand Its ApplicationAbstract: The n-variate functions defined on a convex domain in n R are converted to the single variate function by using the method of structuring auxiliary functions, and the differential mean-value theorems for single variate function are generalized to n-variate functions by means of the differential mean-value theorems for single variate function. Then the Lagrange Theorem, the Rolle Theorem, the Cauchy Theorem and the Taylor ’s Theorem for n-variate functions are obtained. Another method of proving the Cauchy Theorem for n-variate functions is given by making up different auxiliary functions. Some examples of application of the differential mean-value theorems for n-variate functions are furnished.Key words: n-variate functions; differential mean-value theorem; auxiliary functions1．引言微分中值定理是微分学中的重要基本定理，是微分应用的理论基础，是微分学的核心理论[1].在实际应用中，很多情况下都要突破一元微分学和平面领域这些局限，并不都是一元和平面领域的，为了充分利用微分中值定理这个重要工具，这就需要把它进行推广，使之也能够在n 元微分学和n 维空间下得以使用.文献[2]给出了n 元函数的拉格朗日公式、罗尔定理的公式及柯西公式；文献[3]给出了二元函数的微分中值定理；文献[4]给出了多元函数的一阶泰勒公式；文献[5]和文献[6]给出了二元函数的n 阶泰勒公式.本文在文献[3]中的二元函数微分中值定理的基础上给出了与文献[2]不同描述及证明过程的n 元函数的微分中值定理，并在文献[7]给出的微分中值定理的一种新的证明方法的基础上给出了n 元函数的柯西定理的另一种证明方法，以及在文献[4]、[5]、[6]中的多元函数的一阶及n 阶泰勒公式的基础上给出了n 元函数的一阶及n 阶泰勒公式及详细的证明，并讨论了n 元函数的微分中值定理的应用.2． n 元函数的微分中值定理我们考虑n 维欧氏空间n R ，f 是n R 的某个子集A 到1R 的某个子集B 的映射，即f 为n 元函数.n R D ⊂.若区域D 上任意两点的连线都含于D ，则称D 为凸区域.若D 为凸区域，则对任意两点D x x x P x x x P n n ∈),,,(),,,,(212002011 和一切)10(≤≤λλ，恒有.))(,),(),((000220201101D x x x x x x x x x P n n n ∈-+-+-+λλλ2.1 n 元函数的拉格朗日定理定理 1 设n 元函数f 在凸开域n R D ⊂上连续，在D 的所有内点都可微，则对D 内任意两点),,,(020101n x x x P ，,),,,(02201102D x x x x x x P n n ∈∆+∆+∆+ )1,0(∈∃θ，使得.),,,(),,,(),,,(10220110020100220110∑=∆∆+∆+∆+'=-∆+∆+∆+ni i n n x n n n x x x x x x x f x x x f x x x x x x f i θθθ （1）证明 令),,,()(0220110n n x t x x t x x t x f t ∆+∆+∆+=Φ .)10(≤≤t它是定义在]1,0[上的一元函数，由定理中的条件知)(t Φ在]1,0[上连续，在)1,0(内可微.于是根据一元函数微分中值定理，)1,0(∈∃θ，使得).()0()1(θΦ'=Φ-Φ由复合函数的求导法则)10(,),,(),,(),,()(101100110101101<<∆∆+∆+'=∆∆+∆+'++∆∆+∆+'=Φ'∑=θθθθθθθθni i n n x n n n x n n x x x x x x f x x x x x f x x x x x f i n而),,,(),,()0()1(0100110n n n x x f x x x x f -∆+∆+=Φ-Φ所以)10(,),,,(),,,(),,,(10220110020100220110<<∆∆+∆+∆+'=-∆+∆+∆+∑=θθθθni i n n x n n n x x x x x x x f x x x f x x x x x x f i在定理1中，若1=n 时，则由（1）式有)))((()()(0000x x x x x f x f x f --+'=-θ， )10(<<θ这就是一元函数的拉格朗日公式. 2.2 n 元函数的罗尔定理当),,(),,(0100110n n n x x f x x x x f =∆+∆+时，（1）式就成为.),,(010110∑=∆∆+∆+'=ni i n n x x x x x x f i θθ )10(<<θ这就是n 元函数的罗尔定理的公式.定理 2 设n 元函数f 在凸开域n R D ⊂上连续，在D 的所有内点都可微，对D 内任意两点),,,(020101n x x x P ，,),,,(02201102D x x x x x x P n n ∈∆+∆+∆+ 有),,(),,(0100110n n n x x f x x x x f =∆+∆+，则)1,0(∈∃θ，使得0),,(10110=∆∆+∆+'∑=ni i n n x x x x x xf iθθ ， （2）在定理2中，若1=n 时，则由（2）式有).))(((0000x x x x x f --+'=θ,0x x ≠0))((00=-+'∴x x x f θ， )1,0(∈θ即0)(='c f ， ),(0x x c ∈这就是一元函数的罗尔定理的公式. 2.3 n 元函数的柯西定理定理3 设n 元函数f 和g 在凸开域nR D ⊂上连续，在D 内关于各个变元具有连续的偏导数，对D 内任意两点),,,(020101n x x x P ，,),,,(02201102D x x x x x x P n n ∈∆+∆+∆+ ∑=≠∆∆+∆+'ni i n n x x x x x xg i101100),,(θθ ，（其中10<<θ），则有)10(,),,(),,(),,(),,(),,(),,(101101011001001100100110<<∆∆+∆+'∆∆+∆+'=-∆+∆+-∆+∆+∑∑==θθθθθni in n x ni in n x n n n n n n x x x x xg x x x x xf x xg x x x x g x x f x x x x f ii（3）证法一 首先证明0),,(),,(0100110≠-∆+∆+n n n x x g x x x x g .用反证法，假设),,(),,(0100110=-∆+∆+n n n x x g x x x x g ，即),,(),,(0100110n n n x x g x x x x g =∆+∆+.根据n 元函数的罗尔定理，)1,0(∈∃θ，使得0),,(10110=∆∆+∆+'∑=ni i n n x x x x x xg iθθ .与已知条件∑=≠∆∆+∆+'ni i n n x x x x x xg i101100),,(θθ 矛盾.其次作辅助函数)],,,(),,([),,(),,(),,(),,(),,(),,()(0100110010011001001100100110n n n n n n n n n n n n x x g x t x x t x g x x g x x x x g x x f x x x x f x x f x t x x t x f t -∆+∆+-∆+∆+-∆+∆+--∆+∆+=ψ（其中10≤≤t ）由定理中的条件知)(t ψ在]1,0[上连续，在)1,0(内可微,且0)0()1(=ψ=ψ,因此根据一元函数的罗尔定理,存在)10(<<θθ使得0)(=ψ'θ. 由复合函数的求导法则,),,(),,(),,(),,(),,(),,()(101100100110010011010110∑∑==∆∆+∆+'-∆+∆+-∆+∆+-∆∆+∆+'=ψ'ni i n n x n n n n n n ni in n x x x x x x g x x g x x x x g x x f x x x x f x x x x x f i i θθθθθ又0)(=ψ'θ.所以)10(,),,(),,(),,(),,(),,(),,(101101011001001100100110<<∆∆+∆+'∆∆+∆+'=-∆+∆+-∆+∆+∑∑==θθθθθni in n x ni in n x n n n n n n x x x x xg x x x x xf x xg x x x x g x x f x x x x f ii证法二 首先证明0),,(),,(0100110≠-∆+∆+n n n x x g x x x x g ，即),,(),,(0100110n n n x x g x x x x g ≠∆+∆+.为此，不妨先假设 ),,(),,(0100110n n n x x g x x x x g =∆+∆+.令),,(),,()(0100110n n n x x g x t x x t x g t G -∆+∆+=， )10(≤≤t于是有0)0()1(==G G ，则在区间]1,0[上对函数)(t G 应用一元函数的罗尔定理，故)1,0(∈∃τ，使0)(='τG .由复合函数的求导法则∑=∆∆+∆+'='ni i n n x x x x x x g G i 10110),,()(τττ .所以0),,(10110=∆∆+∆+'∑=ni i n n x x x x x xg iττ .但这与已知条件矛盾.故0),,(),,(0100110≠-∆+∆+n n n x x g x x x x g .再作辅助函数)10(),,,()],,(),,([),,()],,(),,([)(0110010011001100100110≤≤∆+∆+-∆+∆+-∆+∆+-∆+∆+=ψt x t x x t x f x x g x x x x g x t x x t x g x x f x x x x f t n n n n n n n n n n显然,)(t ψ在]1,0[上连续，在)1,0(内可导,并且有),,(),,(),,(),,()0()1(01100100100110n n n n n n x x x x g x x f x x g x x x x f ∆+∆+-∆+∆+=ψ=ψ .由于)(t ψ在]1,0[上连续,所以)(t ψ在]1,0[上可以取得最大值与最小值,又由于)0()1(ψ=ψ,因此)(t ψ在开区间)1,0(内至少存在一点θ使)(t ψ在θ处取得最大值或最小值,又)(t ψ在)1,0(内可导,根据费马定理,有0)(=ψ'θ,10<<θ. 由复合函数的求导法则,),,()],,(),,([),,()],,(),,([)(101100100110101100100110∑∑==∆∆+∆+'-∆+∆+-∆∆+∆+'-∆+∆+=ψ'ni i n n x n n n ni in n x n n n x x x x x f x x g x x x x g x x x x x g x x f x x x x f i i θθθθθ又0)(=ψ'θ,所以)10(,),,(),,(),,(),,(),,(),,(101101011001001100100110<<∆∆+∆+'∆∆+∆+'=-∆+∆+-∆+∆+∑∑==θθθθθni in n x ni in n x n n n n n n x x x x xg x x x x xf x xg x x x x g x x f x x x x f ii在n 元函数的柯西中值定理中,若n i x x x g i n ,,2,1,),,(1 ==时,(3)式就成为)10(,),,,(),,,(),,,(10220110020100220110<<∆∆+∆+∆+'=-∆+∆+∆+∑=θθθθni i n n x n n n x x x x x x x f x x x f x x x x x x f i这就是n 元函数的微分中值定理的公式.在n 元函数的柯西中值定理中,若1=n 时,则由(3)式就有)10(,))(())(()()()()(000000<<-+'-+'=--θθθx x x g x x x f x g x g x f x f这就是一元函数的柯西中值定理的公式.2.4 n 元函数的泰勒定理定理 4 设函数),,,(21n x x x f u =在点),,,(020100n x x x P 的某一邻域)(0P U 内连续,且具有一阶及二阶连续偏导数,)(),,,(00220110P U x x x x x x n n ∈∆+∆+∆+ ,则)1,0(∈∃θ,使得,),,,(),,,(),,,(1102010020100220110R x x x x x f x x x f x x x x x x f ni i in n n n +∆∂∂+=∆+∆+∆+∑= （4）其中∑∑==∆∆∂∂∆+∆+∆+∂=n i n i j j i ji n n x x x x x x x x x x f R 1022011021),,,(!21θθθ ,称为Lagrange 余项[4].证明 考虑函数),,,()(0220110n n x t x x t x x t x f t ∆+∆+∆+= φ, 10≤≤t ,则),,,()0(02010n x x x f =φ,),,,()1(0220110n n x x x x x x f ∆+∆+∆+= φ.由于函数),,,(21n x x x f u =在点),,,(020100n x x x P 的某一邻域)(0P U 内连续,且具有一阶及二阶连续偏导数,从而复合函数),,,()(0220110n n x t x x t x x t x f t ∆+∆+∆+= φ在0=t 的邻域内对t 有连续的一阶及二阶导数.由一元函数的泰勒公式可以得到2)(!21)0()0()(t t t t θφφφφ''+'+=, 10<<θ. （5）由于∑=∆∂∆+∆+∆+∂='ni i in n x x x t x x t x x t x f t 10220110),,,()( φ,,),,,()),,,(()(110220110210220110∑∑∑===∆∆∂∂∆+∆+∆+∂=∆∂∆+∆+∆+∂=''ni nj j i j i n n ni i in n x x x x x t x x t x x t x f x x x t x x t x x t x f dt d t φ所以∑=∆∂∂='ni i in x x x x x f 102010),,,()0( φ,∑∑==∆∆∂∂∆+∆+∆+∂=''ni nj j i j i n n x x x x x t x x t x x t x f t 1102201102),,,()(θθθθφ ,把)(),0(),0(t θφφφ'''代入(5)式后再令1=t ,便得到泰勒公式(4).定理 5 设函数),,,(21n x x x f u =在点),,,(020100n x x x P 的某一邻域)(0P U 内连续,且具有1+n 阶连续偏导数,)(),,,(00220110P U x x x x x x n n ∈∆+∆+∆+ ,则)1,0(∈∃θ,使得,),,,()),,,((!1),,,(),,,(110201002010020100220110n nk n i n k i i n n n n R x x x f x x x x x f k x x x f x x x x x x f +∆∂∂+=∆+∆+∆+∑∑== （6） 其中∑=+∆+∆+∆∂∂+=ni n n n i in n x x x x f x x x x x f n R 10110102010),,()),,,(()!1(1θθ ，称为拉格朗日型余项[5].证明 作辅助函数),,,()(0220110n n x t x x t x x t x f t ∆+∆+∆+= φ, 10≤≤t ,则),,,()0(02010n x x x f =φ,),,,()1(0220110n n x x x x x x f ∆+∆+∆+= φ.因为),,,()),,,((),,,(011010201010220110n n ni i in ni i in n x t x x t x f x x x x x f x x x t x x t x x t x f dt d ∆+∆+∆∂∂=∆∂∆+∆+∆+∂=∑∑== φ∑=∆+∆+∆∂∂=ni n n i i n x t x x t x f x x x x x f dt d 1011020201022),,()),,(( φ. 用数学归纳法可以得到),,()),,,(()(0110102010)(n n ni k i in k x t x x t x f x x x x x f t ∆+∆+∆∂∂=∑= φ. ),,2,1(n k =由一元泰勒公式)()!1(1)0(!1)0(!21)0()0()1()1()(θφφφφφφ+++++''+'+=n n n n ，)10(<<θ. （7）将),,,()0(02010n x x x f =φ，),,,()1(0220110n n x x x x x x f ∆+∆+∆+= φ，)0()(n φ代入（7）式得,),,()),,,((!1),,()),,,((!21),,()),,,((),,(),,(10100201010102020101010020100100110n n i n n i in n i n i in ni n i in n n n R x x f x x x x x f n x x f x x x x x f x x f x x x x x f x x f x x x x f +∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂+=∆+∆+∑∑∑===∑=+∆+∆+∆∂∂+=ni n n n i in n x x x x f x x x x x f n R 10110102010),,()),,,(()!1(1θθ ，)10(<<θ.3 n 元函数微分中值定理的应用例 1. 设n 元函数f 在凸开域nR D ⊂上可微，D 上取定一点),,,(020100n x x x P ，且D x x x x x x P n n ∈∆+∆+∆+∀),,,(0220110 ，有n i P f i x ,,2,1,0)( =='，则D P ∈∀，有C P f =)(（常数），即)(P f 是常数函数.证明 n 元函数f 在D 上满足n 元函数的拉格朗日定理的条件，根据n 元函数的拉格朗日定理，)1,0(∈∃θ，使得,),,,(),,,(),,,(10220110020100220110∑=∆∆+∆+∆+'=-∆+∆+∆+ni i n n x n n n x x x x x x x f x x x f x x x x x x f i θθθ因为点D x x x x x x P n n ∈∆+∆+∆+),,,(02201101θθθ ，所以0)(1='Pf i x . 所以),,(),,,(020*********n n n x x x f x x x x x x f =∆+∆+∆+.设C x x x f n =),,,(02010 ，即D P ∈∀，有C P f =)(（常数），即)(P f 是常数函数.例2. 若n 元函数f 和g 在凸开域n R D ⊂上连续，在D 内关于各个变元具有连续的偏导数，D 上取定一点),,,(020100n x x x P ，且D x x x x x x P n n ∈∆+∆+∆+∀),,,(0220110 ，有n i P g P f i i x x ,,2,1),()( ='='.且 0),,(10110≠∆∆+∆+'∑=ni i n n x x x x x xg iθθ （其中10<<θ），则D P ∈∀，有 C P g P f +=)()(，其中C 是常数.证明 因为n 元函数f 和g 在D 满足n 元函数的柯西定理的条件，则)10(,),,(),,(),,(),,(),,(),,(101101011001001100100110<<∆∆+∆+'∆∆+∆+'=-∆+∆+-∆+∆+∑∑==θθθθθni in n x ni in n x n n n n n n x x x x xg x x x x xf x xg x x x x g x x f x x x x f iiD x x x x P n n ∈∆+∆+),,(01101θθ ，)()(11P g Pf i i x x '='∴，n i ,,2,1 =. ∑∑==∆'=∆'∴ni ix n i ix xP g x P f ii1111)()(，),,(),,(),,(),,(01001100100110n n n n n n x x g x x x x g x x f x x x x f -∆+∆+=-∆+∆+∴，)]()([)()(00P g P f P g P f -+=∴，设C P g P f =-)()(00（常数），即D P ∈∀，有C P g P f +=)()(，其中C 是常数.例3.证明：设n 元函数f 在凸开域n R D ⊂上可微，对D 内任意两点),,,(020101n x x x P ，,),,,(02201102D x x x x x x P n n ∈∆+∆+∆+ 有),,(),,(0100110n n n x x f x x x x f =∆+∆+，且D P a P f i x ∈∀=',)(（a 是常数且0≠a ）， n i ,,2,1 =.则01=∆∑=ni ix.证明 因为n 元函数f 在D 上满足n 元函数的罗尔定理的条件，所以)1,0(∈∃θ，使得0),,(10110=∆∆+∆+'∑=ni i n n x x x x x xf iθθ ，因为点D x x x x P n n ∈∆+∆+),,(01103θθ ，有a P f i x =')(3，n i ,,2,1 =.所以01=∆∑=ni ixa ，01=∆∑=ni i x a ，所以01=∆∑=ni i x .例4.通过对z y x z y x f sin sin sin ),,(=施用中值定理，证明对某)1,0(∈θ，有6cos 4sin 3sin 66sin 4cos 3sin 46sin 4sin 3cos 386πθπθπθππθπθπθππθπθπθπ++=. 证明 三元函数z y x z y x f sin sin sin ),,(=在凸开域3R D ⊂上连续，在D 的所有内点都可微，则对D 内任意两点D z z y y x x P z y x P ∈∆+∆+∆+),,(),,,(11111121111，根据n 元函数的拉格朗日定理，)1,0(∈∃θ，使得,),,(),,(),,(),,(),,(111111111111111111111111111111z z z y y x x f y z z y y x x f x z z y y x x f z y x f z z y y x x f z y x ∆∆+∆+∆+'+∆∆+∆+∆+'+∆∆+∆+∆+'=-∆+∆+∆+θθθθθθθθθ即,)cos()sin()sin()sin()cos()sin()sin()sin()cos(sin sin sin )sin()sin()sin(111111111111111111111111111111z z z y y x x y z z y y x x x z z y y x x z y x z z y y x x ∆∆+∆+∆++∆∆+∆+∆++∆∆+∆+∆+=-∆+∆+∆+θθθθθθθθθ令6,4,3111πππ=∆=∆=∆z y x ，则,6)6cos()4sin()3sin(4)6sin()4cos()3sin(3)6sin()4sin()3cos(sin sin sin )6sin()4sin()3sin(111111111111111πθπθπθππθπθπθππθπθπθππππ⋅++++⋅++++⋅+++=-+++z y x z y x z y x z y x z y x取0,0,0111===z y x ，则,6cos 4sin 3sin66sin 4cos 3sin 46sin 4sin 3cos 36sin4sin3sin θπθπθππθπθπθππθπθπθπππππ++=即6cos 4sin 3sin 66sin 4cos 3sin 46sin 4sin 3cos 386πθπθπθππθπθπθππθπθπθπ++=. 例5[8]. 若在区域nR D ⊂内f 的诸偏导数)(P f i x '),,2,1(n i =存在、有界，则f 在D 内连续.证明 设M P f i x ≤'|)(|，D P ∈，n i ,,2,1 =.任取D P ∈，设),,,(2211n n x x x x x x P P ∆+∆+∆+=∆+ 与连接P 及P P ∆+的直线段（设||P P ∆=充分小）全部包含在D 内，则由n 元函数的拉格朗日定理，得∑∑∑===∆=∆≤∆⋅∆+'≤∆∆+'=-∆+ni ii ni x n i i x x nMP nM x P P f x P P f P f P P f i i 1211)(|||||)(||)(||)()(|θθ.其中，10<<θ.于是，0>∀ε，nM /εδ=∃，使当δ<∆=||P P 时，就有ε<-∆+|)()(|P f P P f .所以f 在点P 连续.由P 的任意性知f 在D 内连续.例6[9]. 将函数xyz z y x z y x f 3),,(333-++=在点（1，1，1）展成泰勒公式. 解 0)1,1,1(=f .0)1,1,1()1,1,1()1,1,1(='='='z y x f f f ，6)1,1,1()1,1,1()1,1,1(=''=''=''zz yy xxf f f ， 3)1,1,1()1,1,1()1,1,1(-=''=''=''zx yz xy f f f ，6)1,1,1()1,1,1()1,1,1(333='''='''='''z y x f f f ， 0)1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1(222222='''='''='''='''='''='''xz zy yx zx yz xyf f f f f f ， 3)1,1,1(-='''xyzf . 高于3阶的偏导数都恒为0.于是，由n 元函数的泰勒公式，有).1)(1)(1(3)1()1()1()]1)(1()1)(1()1)(1()1()1()1[(33),,(333222333-----+-+-+----------+-+-=-++=z y x z y x x z z y y x z y x xyzz y x z y x f4．结 论微分中值定理是沟通函数与其导数之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具.本文将一元函数微分中值定理推广到n 元，得到了n 元函数的微分中值定理，并讨论了一些具体应用.虽然本文的结论在表述与证明上与前人有所不同，但推广的基本思路都是一致的.其实，对一元函数微分中值定理还可以从多个函数及高阶方面进行推广，有待于进一步研究.参考文献[1] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(上册)[M].北京:高等教育出版社,1992:203～346. [2] 胡龙桥.n 元函数的微分中值定理[J].工科数学,1994,10(4):263～265.[3] 华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,2001:133～135. [4] 马知恩,王绵森.工科数学分析基础(下册)[M].北京:高等教育出版社,1998:51～55. [5] 罗汉,曹定华.多元微积分与代数[M].北京:科学出版社,1999:132～134. [6] 方企勤.数学分析(第三册)[M].上海:上海科学技术出版社,2002:70～71.[7] 胡龙桥.微分中值定理的一种新的证明方法[J].天津工业大学学报,2001,20(4):70～72. [8] 周忠群.数学分析方法选讲[M].重庆:西南师范大学出版社,1990:313～315. [9] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(下册)[M].北京:高等教育出版社,1992:309～417.指导教师评语：微分中值定理是微分学的基本定理，很多人对该定理进行过研究。
毕业论文(设计)题目名称：微分中值定理的推广及应用题目类型：理论研究型学生：邓奇峰院 (系)：信息与数学学院专业班级：数学10903班指导教师：熊骏辅导教师：熊骏时间：2012年12月至2013年6月目录毕业设计任务书I开题报告II指导老师审查意见III评阅老师评语IV答辩会议记录V中文摘要VI外文摘要VII1 引言12 题目来源13 研究目的和意义14 国外现状和发展趋势与研究的主攻方向15 微分中值定理的发展过程26 微分中值定理的基本容36.1 罗尔(Rolle)中值定理36.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理46.3 柯西（Cauchy）中值定理46.4 泰勒（Taylor）定理47 微分中值定理之间的联系58 微分中值定理的应用58.1 根的存在性证明68.2 利用微分中值定理求极限88.3 利用微分中值定理证明函数的连续性108.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题108.5 利用微分中值定理求近似值108.6 利用微分中值定理解决导数估值问题108.7 利用微分中值定理证明不等式119 微分中值定理的推广149.1 微分中值定理的推广定理159.2 微分中值定理的推广定理的应用17参考文献18致19微分中值定理的推广及应用学生：邓奇峰，信息与数学学院指导老师：熊骏，信息与数学学院【摘要】微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。
本文首先介绍了微分中值定理的发展过程、微分中值定理的容和微分中值定理之间的在联系，接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:“讨论方程根（零点）的存在性” ,“求极限”和“证明不等式”等方面的应用。
由于微分中值定理及有关命题的证明方法中往往出现的形式并非这三个定理中的某个直接结论，这就需要借助于一个适当的辅助函数，来实现数学问题的等价转换，但是，怎样构造适当的辅助函数往往是比较困难的。
在此重点给出如何通过构造辅助函数来解决中值定理问题，从理论和实际的结合上阐明微分中值定理的重要性。
拉格朗日中值定理及柯西中值定理都是罗尔中值定理的推广。
本文从其它角度归纳、推导了几个新的形式，拓宽了罗尔中值定理的使用围。
同时，用若干实例说明了微分中值定理在导数极限、导数估值、方程根的存在性、不等式的证明、以及计算函数极限等方面的一些应用。
【关键词】微分中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理联系推广应用The Extension andApplicationoftheDifferentialMean Value TheoremStudent: Deng Qifeng,School of Information and Mathematics Tutor: XiongJun, School of Information and Mathematics【Abstract】The differential mean value theorem, is the fundamental theorem of calculus, is the communication bridge between function and its derivative, is an important mathematical tool integrated local research application function derivative, plays a very important role in Calculus.This paper describes the develop progress，the contents and the intrinsic link between the differential mean value theorem; Then look at the differential mean value theorem in solving problems, such as: the discussion of the roots (zero) in existence, limit and proof of in equality.Because often proof of differential mean value theorem and related propositions in the form is not the three theorems of a direct conclusion, this requires the help of a suitable auxiliary function, equivalent to mathematical problems, but, how to construct the auxiliary function appropriate is often more difficult. The key is how to solve the problem of mean value theorem by constructing an auxiliary function, expounds the importance of the differential mean value theorem from the combination of theory and practice.The Lagrange mean value theorem and the Cauchy mean value theorem are extensions of the Rolle mean value theorem.In this article,the Rolle mean value theorem has been concluded and deduced in few more forms that helped to expand the use of the Rolle mean value theorem.Also,the article has demonstrated of the application of differential meanvalue theorem in derivative limit,derivative estimate value,existence of root of an equation,proof of inequality and calculation of functional limit uponmany examples.【Keywords】 Differential mean value theorem;Rolle mean value theorem; The Lagrange mean value theorem;the Cauchy mean value theorem;Contact; Promotion; Application微分中值定理的推广及应用1引言通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。
对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的容。
由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。
通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。
微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。
2 题目来源源于对微分中指定理的学习与兴趣，以及其在生活中各领域的重要应用。
3研究目的和意义目的：本课题的主要目的是帮助学生多角度地了解微分中值定理的证明及其相关应用。
意义：微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，因而在微分学中占有很重要的地位。
通过微分学基本定理的介绍，揭示函数与其导数之间的关系，在知识结构和思想体系中，建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。
在各类大型考试中，微分中值定理占有很重要的位置，是重要的考点，常以该定理的证明及应用出现，涉及一些理论分析和证明，还有在极值问题中的实际应用，因而对其进行较深层次的挖掘与探讨就显得很有必要。
4 国外现状和发展趋势与研究的主攻方向人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了。
1637年，著名法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理。
教科书常将它称为费马定理。
1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理，1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。
以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。
此外，在极值问题中有重要的实际应用。
微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁。
微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现。
特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国发表的文章就近60篇。
5 微分中值定理的发展过程微分中值定理是微分学的核心定理之一[1]。
微分中值定理是研究函数性态和函数性质的重要工具，它有着明显的物理意义和几何意义。
以拉格朗日中值定理为例，它表明“一个表示事物运动函数的曲线段，必定有一点的切线要平行于曲线段两个端点连接的弦”。
[2]所以人们十分重视微分中值定理及其应用的研究。
古希腊时代，人们就对微分中值定理的相关容有了朦胧的认识。
公元前古希腊人就知道如下结论：对于抛物线形成的弓形，过弓形顶点的切线一定平行于抛物线形成的弓形的底。
古希腊的著名数学家阿基米德(Archimedes，公元前287——前221)也据此研究出：对于任意抛物线形成的弓形的面积都可以求出来。
意大利著名数学家卡瓦列里(Cavalieri，公元1598——公元1674，)在《不可分量几何学》(1635年出版)中给出的引理3有如下几何观点：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦[3]。
