2021年高中数学1.4.3正切函数的性质与图象教案(1)文新人教A版必修4
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2021年高中数学1.4.3正切函数的性质与图象教案（1）文新人教A 版必
修4
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象； 2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；
教学难点：正切函数的性质。
授课类型：新授课
教学模式： 启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
问题：正弦曲线是怎样画的？
正切线?
练习正切线，画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数和余切函数的图象．
二、讲解新课：
1．正切函数的定义域是什么？
2．正切函数是不是周期函数？
()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭
且， ∴是tan ,,2y x x R x k k z ππ⎛
⎫=∈≠+∈ ⎪⎝⎭
且的一个周期。
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作，的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且的图象，称“正切曲线”。
（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：；
（2）值域：R
观察：当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
5.讲解范例：
例1比较与的大小
解：，，
又：⎪⎭
⎫ ⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ
在x y 内单调递增， 0 y
x
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ
517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan 4tan 即 例2讨论函数的性质
略解：定义域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且 值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在上是增函数
图象：可看作是的图象向左平移单位
例3求函数y ＝tan2x 的定义域
解：由2x ≠kπ＋，(k ∈Z )
得x ≠＋，(k ∈Z )
∴y ＝tan2x 的定义域为：｛x ｜x ∈R 且x ≠＋，k ∈Z ｝
例4观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan x ＞0
解：画出y ＝tan x 在(－，)上的图象，不难看出在此区间上满足tan x ＞0的x 的范围为：0＜x ＜
结合周期性，可知在x ∈R ，且x ≠kπ＋上满足的x 的取值范围为(kπ，kπ＋)(k ∈Z ) 例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数
∴tan135°＜tan138°
∴函数y ＝tan2x 的定义域为｛x ∈R ｜，x ≠，ｋ∈Z ｝
（2）设ｔ＝2x ，由x ≠，ｋ∈Z ｝知ｔ≠＋ｋπ，ｋ∈Z
∴y ＝tan ｔ的值域为（－∞，＋∞）
即y ＝tan2x 的值域为（－∞，＋∞）
（3）由tan2（x ＋）＝tan （2x ＋π）＝tan2x
∴y ＝tan2x 的周期为．
（4）函数y ＝tan2x 在区间［－π，π］的图象如图
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数的定义域是
},2,|{Z k k x R x x ∈+≠∈π
π，所以它的图象被等相互平
行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。
讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y＝tan(ωx)，x≠ (k∈Z)的周期T＝；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的
五、课后作业：
六、板书设计：。
