【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入 3.2.1 含解析

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部编本试题，欢迎下载！ 3.2 复数代数形式的四则运算

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

课时过关·能力提升

基础巩固

1(6-2i)-(3i+1)等于( )

A.3-3i B.5-5i

C.7+i D.5+5i

解析(6-2i)-(3i+1)=(6-1)+(-2-3)i=5-5i.

故选B.

答案B

2若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( )

A.0 B.2i C.6 D.6-2i

解析∵z+i-3=3-i,

∴z=(3-i)-(i-3)=(3+3)+(-i-i)=6-2i,

故选D.

答案D

3在复平面内,已知点A对应的复数为2+3i,向量𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-1+2i,则向量𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为( )

A.1+5i B.3+i

C.-3-i D.1+i

解析因为𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为(2+3i)-(-1+2i)=(2+1)+(3-2)i=3+i.故选B.

答案B

4若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为( )

A.3 B.2 C.1 D.-1

解析z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.∵z1+z2所对应的点在实轴上,

∴1+a=0.∴a=-1.

答案D

5若在复平面内的▱ABCD中,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 对应复数6+8i,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应复数-4+6i,则𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是( )

A.2+14i B.1+7i 最新资料

部编本试题，欢迎下载！ C.2-14i D.-1-7i

解析设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为z1与z2,

则有{𝑧1+𝑧2=6+8i,𝑧2-𝑧1=-4+6i,得2z2=2+14i,z2=1+7i,

故𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是-1-7i.

答案D

6已知复数z1=3+2i,z2=1-3i,则复数z=z1-z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的第

象限.

答案一

7已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i(m∈R).若z1-z2=0,则m= .

解析∵z1-z2=(m2-3m+m2i)-[4+(5m+6)i]

=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i=0,

∴{𝑚2-3𝑚-4=0,𝑚2-5𝑚-6=0.∴m=-1.

答案-1

8已知z1=√32a+(a+1)i,z2=-3√3b+(b+2)i(a,b∈R).若z1-z2=4√3,则a+b= .

解析z1-z2=√32a+(a+1)i-[-3√3b+(b+2)i]

=(√32𝑎+3√3𝑏)+(a-b-1)i=4√3,

由复数相等的条件,知{√32𝑎+3√3𝑏=4√3,𝑎-𝑏-1=0,

解得{𝑎=2,𝑏=1.故a+b=3.

答案3

9若|z-1|=1,试说明复数z对应点的轨迹.

分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解.

解根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|=1表示复数z对应的点到点(1,0)的距离为1,

所以复数z对应的点的轨迹是以点(1,0)为圆心,以1为半径的圆.

能力提升

1已知复数z1=12−√32i,复数z2=cos 60°+isin 60°,则z1+z2等于( )

A.1 B.-1 最新资料

部编本试题，欢迎下载！ C.12−√32i D.12+√32i

答案A

2已知z1=3-4i,z2=-5+2i,z1,z2对应的点分别为P1,P2,则𝑃2𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为( )

A.-8+6i B.8-6i

C.8+6i D.-2-2i

解析由复数减法的几何意义知:𝑃2𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为z1-z2=3-4i-(-5+2i)=(3+5)+(-4-2)i=8-6i,故选B.

答案B

3已知A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点.若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是( )

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

解析因为|z1+z2|=|z1-z2|,所以由复数加减运算的几何意义知,以OA,OB为邻边的平行四边形是矩形,故△AOB是直角三角形.

答案B

★4已知z∈C,|z-2|=1,则|z+2+5i|的最大值和最小值分别是( )

A.√41+1和√41-1 B.3和1

C.5√2和√34 D.√39和3

解析由|z-2|=1知z对应的点在以(2,0)为圆心,半径为1的圆上,而|z+2+5i|=|z-(-2-5i)|表示z对应的点到点(-2,-5)的距离.

而圆心(2,0)与(-2,-5)间的距离为√41,故最大值为√41+1,最小值为√41-1.

答案A

★5已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=√3,则|z1-z2|= .

解析在平面直角坐标系内以原点O为起点作出z1,z2对应的向量𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则向量𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗⃗ 对应z1+z2,𝑍2𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应z1-z2.

由题意知|𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,可得∠OZ1Z=120°,

所以∠Z2OZ1=60°,即△Z2OZ1是等边三角形.

所以在△Z2OZ1中,|𝑍2𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,即|z1-z2|=1.

答案1

6已知集合A={z1||z1+1|≤1,z1∈C},B={z2|z2=z1+i+m,z1∈A,m∈R}.

(1)当A∩B=⌀时,求实数m的取值范围;

(2)是否存在实数m,使得A∩B=A?

解因为|z1+1|≤1,所以z1所对应的点构成的集合A是以(-1,0)为圆心,以1为半径的圆面(圆周及其内部).又z2=z1+i+m,所以z1=z2-i-m.

所以|z2-i-m+1|≤1,即|z2-[(m-1)+i]|≤1.

所以z2所对应的点的集合B是以点(m-1,1)为圆心,1为半径的圆面(圆周及其内部). 最新资料

部编本试题，欢迎下载！ (1)若A∩B=⌀,说明上述两圆外离,其圆心距d=√(𝑚-1+1)2+12>2,解得m的取值范围是{m|m∈R,且m>√3或m<-√3}.

(2)若A∩B=A,因为两圆半径相等,所以两圆重合,但由圆心的坐标(-1,0)及(m-1,1)可知它们不可能重合,所以不存在实数m,使A∩B=A.

★7在复平面内,复数z1对应的点在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,设复数z2对应的点在以原点为圆心,半径为1的圆周上移动,求复数z1+z2对应的点在复平面上移动的范围的面积.

解设ω=z1+z2,则z2=ω-z1,所以|z2|=|ω-z1|.

因为|z2|=1,所以|ω-z1|=1.此式说明对于给定的z1,ω对应的点在以z1对应的点为圆心,1为半径的圆上运动.

又z1对应的点在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,

所以ω对应点的移动范围的面积为S=2×2+π×12=4+π,即复数z1+z2对应的点在复平面上移动的范围的面积是4+π.

★8已知复数z1=1-2i和z2=4+3i分别对应复平面内的A,B两点.求:

(1)A,B两点间的距离;

(2)线段AB的垂直平分线方程的复数形式,并化为实数表示的一般形式.

解(1)|AB|=|z2-z1|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|=√34.

(2)线段AB的垂直平分线上任一点Z到A,B两点的距离相等,设点Z对应的复数为z,由复数模的几何意义,知|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|.

设z=x+yi(x,y∈R),代入上式,知

|(x-1)+(y+2)i|=|(x-4)+(y-3)i|,

即(x-1)2+(y+2)2=(x-4)2+(y-3)2.

整理上式可得线段AB的垂直平分线的方程为3x+5y-10=0.

所以线段AB的垂直平分线方程的复数形式为|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|,实数表示的一般形式为3x+5y-10=0.