【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-2习题：第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 含解析

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部编本试题，欢迎下载！ 3.2 复数代数形式的四则运算

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

课时过关·能力提升

基础巩固

1(6-2i)-(3i+1)等于( )

A.3-3i B.5-5i C.7+i D.5+5i

解析(6-2i)-(3i+1)=(6-1)+(-2-3)i=5-5i,故选B.

答案B

2

如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|𝑧1+𝑧2|=( )

A.2 B.3

C.2√2D.3√3

解析z1=-2-i,z2=i,z1+z2=-2.故选A.

答案A

3若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为( )

A.3 B.2 C.1 D.-1

解析z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.

∵z1+z2所对应的点在实轴上,

∴1+a=0.∴a=-1.

答案D

4已知z1=3-4i,z2=-5+2i,z1,z2对应的点分别为P1,P2,则𝑃2𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为( )

A.-8+6i B.8-6i

C.8+6i D.-2-2i

解析由复数减法的几何意义,知𝑃2𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为z1-z2=(3-4i)-(-5+2i)=(3+5)+(-4-2)i=8-6i,故选B. 最新资料

部编本试题，欢迎下载！ 答案B

5若P,A,B,C四点分别对应复数z,z1,z2,z3,且|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则点P为△ABC的 ( )

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

解析由|z-z0|的几何意义可知,动点P到三角形三顶点的距离相等,故P为△ABC的外心.

答案B

6

如图,在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+𝑎2i,𝑧𝐵=−2𝑎+3i,𝑧𝐶=−𝑏+𝑎i,𝑎,𝑏∈R,则a-b的值为

.

解析由复数加法的几何意义,知𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,

∴-2a+3i=(2+𝑎2i)+(−𝑏+𝑎i)=(2−𝑏)+32𝑎i.

根据复数相等的充要条件,得{-2𝑎=2-𝑏,3=32𝑎.

解得{𝑎=2,𝑏=6.∴𝑎−𝑏=−4.

答案-4

7已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i(m∈R),若z1-z2=0,则m=

.

解析∵z1-z2=(m2-3m+m2i)-[4+(5m+6)i]=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i=0,

∴{𝑚2-3𝑚-4=0,𝑚2-5𝑚-6=0,∴𝑚=−1.

答案-1

8已知z是复数,|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z= .

解析设z=a+bi(a,b∈R),

则a+bi+3i=a+(b+3)i是纯虚数,∴a=0,b+3≠0.

又|z|=3,∴b=3,∴z=3i.

答案3i

9若|z-1|=1,试说明复数z对应点的轨迹.

分析解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解.

解根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|=1表示复数z对应的点到点(1,0)的距离为1,

故复数z对应点的轨迹是以点(1,0)为圆心,以1为半径的圆.

10已知复平面内的点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是𝑧. 最新资料

部编本试题，欢迎下载！ (1)求复数z;

(2)若复数z对应的点P在直线y=12𝑥上,求𝜃的值.

解(1)∵点A,B对应的复数分别是

z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,

∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),

∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(−cos2𝜃,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)=(-1,-2sin2θ).

∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.

(2)由(1)知点P的坐标是(-1,-2sin2θ),代入y=12𝑥,得-2sin2θ=−12,即sin2θ=14,∴sin

θ=±12.

又θ∈(0,π),∴sin θ=12,∴𝜃=π6或5π6.

能力提升

1若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点在( )

A.实轴上 B.虚轴上

C.第一象限 D.第二象限

解析∵|z-1|=|z+1|,

∴点Z到(1,0)和(-1,0)的距离相等,

∴点Z在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的垂直平分线上,即在虚轴上.

答案B

2已知z=cos π4+isin π4,i为虚数单位,则平面内到点𝐶(1,2)的距离等于|𝑧|的点的轨迹是( )

A.以点(0,0)为圆心,1为半径的圆

B.以点C为圆心,1为半径的圆

C.满足方程x2+y2=1的曲线

D.满足(x-1)2+(y-2)2=12的曲线

解析∵|z|=√cos2π4+sin2π4=1,

∴平面内到点C(1,2)的距离等于|z|的点的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1,表示以点C为圆心,1为半径的圆.

答案B

★3若复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为( )

A.2 B.4 C.4√2D.16

解析由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,

∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,

∴2x+4y=2x+22y≥2√2𝑥+2𝑦=2√23=4√2,

当且仅当x=2y=32时,2x+4y取得最小值4√2.

答案C

4设实数x,y,θ满足以下关系:x+yi=(3+5cos θ)+(-4+5sin θ)i,则x2+y2的最大值是 . 最新资料

部编本试题，欢迎下载！ 解析∵x+yi=(3+5cos θ)+(-4+5sin θ)i,

∴x2+y2=(3+5cos θ)2+(-4+5sin θ)2

=50+30cos θ-40sin θ=50+50cos(θ+φ),

其中sin φ=45,cos 𝜑=35.

∴(x2+y2)max=50+50=100.

答案100

5若对n个复数a1,a2,…,an,存在n个不全为零的实数k1,k2,…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立,则称a1,a2,…,an为线性相关.依此规定,能使a1=1,a2=1-i,a3=2+2i三个复数线性相关的实数k1,k2,k3的值依次可取

.(写出一组数值即可,不必考虑所有情况)

解析本题主要考查新信息背景下的复数的加法运算和两个复数相等的条件的应用,在新定义下,k1a1+k2a2+k3a3=0,即k1+k2(1-i)+k3(2+2i)=0,即(k1+k2+2k3)+(-k2+2k3)i=0,故-k2+2k3=0,则k2=2k3.

又实部之和为k1+k2+2k3=0,

∴k1=-k2-2k3=-4k3,∴k1=-4k3,k2=2k3,

令k3取任意一个非零值就可以得到一组值.

答案-4,2,1(答案不唯一)

6已知|z|=2,则|z+3-4i|的最大值是 .

解析由|z|=2知复数z对应的点在圆x2+y2=4上,圆心为O(0,0),半径r=2.

而|z+3-4i|=|z-(-3+4i)|表示复数z对应的点与M(-3,4)之间的距离,由于|OM|=5,

所以|z+3-4i|的最大值为|OM|+r=5+2=7.

答案7

7已知复数z1=1-2i和z2=4+3i分别对应复平面内的A,B两点.求:

(1)A,B两点间的距离;

(2)线段AB的垂直平分线方程的复数形式,并化为实数表示的一般形式.

解(1)因为|z2-z1|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|=√34,所以A,B两点间的距离为√34.

(2)线段AB的垂直平分线上任一点Z到A,B两点的距离相等,

设点Z对应的复数为z,由复数模的几何意义,知|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|.

设z=x+yi(x,y∈R),代入上式,得

|(x-1)+(y+2)i|=|(x-4)+(y-3)i|,

即(x-1)2+(y+2)2=(x-4)2+(y-3)2.

整理上式可得线段AB的垂直平分线的方程为3x+5y-10=0.

所以线段AB的垂直平分线方程的复数形式为|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|,实数表示的一般形式为3x+5y-10=0.

★8在△ABC中,角A,B,C所对的边的长度分别为a,b,c,设复数z=cos A+isin A,且满足|z+1|=1.

(1)求复数z;

(2)求𝑏-𝑐𝑎cos(60°+𝐶)的值. 最新资料

部编本试题，欢迎下载！ 分析第(1)问,把复数z+1的模转化为它对应的复数的模,从而求出角A,进而求出复数z;第(2)问,利用正弦定理把边转化为角,再进行三角恒等变换即可求解.

解(1)∵z=cos A+isin A,

∴z+1=1+cos A+isin A.

∴|z+1|=√(1+cos𝐴)2+sin2𝐴=√2+2cos𝐴.

∵|z+1|=1,∴2+2cos A=1.

∴cos A=−12.

∵角A是△ABC的一个内角,∴A=120°.

∴sin A=√32.

∴复数z=−12+√32i.

(2)由正弦定理,得a=2R·sin A,b=2R·sin B,c=2R·sin C(其中R为△ABC外接圆的半径),

∴原式=sin𝐵-sin𝐶sin𝐴·cos(60°+𝐶).

∵B=180°-A-C=60°-C,

∴原式=sin(60°-𝐶)-sin𝐶sin120°·cos(60°+𝐶)=√32cos𝐶-32sin𝐶√32·cos(60°+𝐶)

=cos𝐶-√3sin𝐶cos(60°+𝐶)=2cos(60°+𝐶)cos(60°+𝐶)=2,

即𝑏-𝑐𝑎cos(60°+𝐶)的值为2.