2015-2016学年河南省郑州一中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
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2015-2016学年河南省郑州一中高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（5分）下列命题是全称命题的是（ ）
A．存在x∈R，使x2﹣x+1＜0
B．所有2的倍数都是偶数
C．有一个实数x，使|x|≤0
D．有的三角形是等边三角形
2．（5分）抛物线y2＝2x的准线方程是（ ）
A．y
＝ B．y
＝﹣ C．x
＝ D．x
＝﹣
3．（5分）已知等比数列{a
n}的前n项和为S
n，且S
3＝7a
1，则数列{a
n}的公比q的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或﹣3 D．2或3
4．（5分）在等差数列{a
n}中，已知a
4+a
8＝16，则a
2+a
6+a
10＝（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，
则（ ）
A．a＞b
B．a＜b
C．a＝b
D．a与b的大小关系不能确定
6．（5分）椭圆ax2+by2＝1与直线y＝1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线
的斜率为
，则的值为（ ）
A
． B
． C
． D
．
7．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近
线的距离为（ ）
A． B．3 C．m D．3m
8．（5分）在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
9．（5分）已知数列{a
n}
：
，
+
，
+
+
，…，
+
++…
+，…，那么数
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列b
n
＝的前n项和S
n为（ ）
A
． B
． C
． D
．
10．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导函数f′（x
）＜，则f
（x
）＜
+的解集为（ ）
A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1}
11．（5分）正项等比数列{a
n}中，存在两项a
m、a
n使得＝4a
1，且a
6＝a
5+2a
4，
则
的最小值是（ ）
A
． B．2 C
． D
．
12．（5分）设F
1、F
2分别为双曲线C
：
﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为
双曲线的左顶点，以F
1F
2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN
＝120°，则该双曲线的离心率为（ ）
A
． B
． C
． D
．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b切于点（1，3），则a，b的值分别为 ．
14．（5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝3，则线
段AB的中点到y轴的距离为 ．
15．（5分）若x，y
满足约束条件，且z＝kx+y取最小值时的最优解有无数个，
则k＝ ．
16．（5分）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2＝4，且C＝60°，
则a+b的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．（10分）等差数列{a
n}中，a
2＝4，a
4+a
7＝15．
（Ⅰ）求数列{a
n}的通项公式；
（Ⅱ）设b
n
＝+n，求b
1+b
2+b
3+…+b
10的值．
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18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足
．
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方
向线的水平角）为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角
为125°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°．求此时货轮与
灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A
＝，bsin
（+C）
﹣csin
（+B）＝a，
（1）求证：B﹣C
＝
（2）若a＝，求△ABC的面积．
21．（12分）若椭圆C的中心在原点，焦点在x
轴上，离心率
，点在
椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k
OA、k、k
OB成等差数列，又
有点M（1，1），
求S
△ABM的面积（结果用k表示）；
（3）求出（2）中S
△ABM的最大值．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）若不等式xf（x）+x2﹣kx+k＞0对∀x∈（2，+∞）恒成立，求实数k的最大值；
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（3）若数列{a
n}
的通项公式为，试结合（1）中有关结论证明：a
1•a
2
•a
3…a
n＜e（e为自然对数的底数）．
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2015-2016学年河南省郑州一中高二（下）期末数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．【解答】解：对于A，C，D中，分别含有特称量词“有一个”，“有的”，“存在”，故A，
C，D都是特称命题；
对于B，含有全称量词“所有”，故B是全称命题．
故选：B．
2．【解答】解：∵抛物线的方程为y2＝2x，
∴2p＝2
，得
＝，
可得抛物线的焦点为F
（，0），准线方程为x
＝﹣．
故选：D．
3．【解答】解：由S
3＝7a
1，
则a
1+a
2+a
3＝7a
1，即a
1+a
1q+a
1q2＝7a
1，
由a
1≠0，化简得：1+q+q2＝7，即q2+q﹣6＝0，
因式分解得：（q﹣2）（q+3）＝0，
解得q＝2或q＝﹣3，
则数列{a
n}的公比q的值为2或﹣3．
故选：C．
4．【解答】解：∵在等差数列{a
n}中，a
4+a
8＝16，
∴a
4+a
8＝2a
6＝16，解得a
6＝8，
∴a
2+a
6+a
10＝3a
6＝24．
故选：D．
5．【解答】解：由题意得，∠C＝120°，c＝2a，
根据正弦定理得，sinC＝2sinA，即2sinA
＝，
所以sinA
＝，
又∠C＝120°，所以A＜30°，
又B＝180°﹣C﹣A＝60°﹣A＞30°＝A，所以b＞a，
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故选：B．
6．【解答】解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2＝1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1＝0，
A（x
1，y
1），B（x
2，y
2），
，y
1+y
2＝1﹣x
1+1﹣x
2＝2
﹣
＝，
AB中点坐标：
（），AB中点与原点连线的斜率k
＝
＝
＝．
故选：A．
7．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0
）可化为， ∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为＝0，
∴点F到C
的一条渐近线的距离为＝．
故选：A．
8．【解答】解：由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac，又b2＝ac，
∴a2+c2﹣ac＝ac，∴（a﹣c）2＝0，∴a＝c，∴A＝B＝C＝60°，
∴△ABC的形状是等边三角形．
故选：D．
9．【解答】解：由题意，数列{a
n}的通项为a
n
＝
＝
∴b
n
＝＝4
（）
∴S
n＝4（1
﹣
++…
+）＝4
（
）＝
故选：A．
10．【解答】解：设g（x）＝f（x
）﹣
﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）＝f′（x）
﹣，
∵f（x）的导函数f′（x
）＜，
∴g′（x）＝f′（x
）﹣＜0，
则函数g（x）单调递减，
∵f（1）＝1，
