2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题

一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

(1)下列反常积分中收敛的是

(A)∫1√𝑥+∞2𝑥𝑥 (B)∫𝑥𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥𝑥

(C)∫1𝑥𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥𝑥 (D) ∫𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥𝑥

【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫1√𝑥+∞2𝑥𝑥=2√𝑥|2+∞=+∞；

∫𝑥𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥𝑥=∫𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥(𝑥𝑥𝑥)=12(𝑥𝑥𝑥)2|2+∞=+∞；

∫1𝑥𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥𝑥=∫1𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥(𝑥𝑥𝑥)=ln?(𝑥𝑥𝑥)|2+∞=+∞；

∫𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥𝑥=−∫𝑥+∞2𝑥𝑥−𝑥=−𝑥𝑥−𝑥|2+∞+∫𝑥−𝑥+∞2𝑥𝑥

=2𝑥−2−𝑥−𝑥|2+∞=3𝑥−2，

因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分

(2)函数𝑥(𝑥)=lim𝑥→0(1+𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑥2𝑥在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点

(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点

【答案】B

【解析】这是“1∞”型极限，直接有𝑥(𝑥)=lim𝑥→0(1+𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑥2𝑥

=𝑥lim𝑥→0𝑥2𝑥(1+𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥−1)=e 𝑥lim𝑥→0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥(𝑥≠0),

𝑥(𝑥)在𝑥=0处无定义，

且lim𝑥→0𝑥(𝑥)=lim𝑥→0𝑥𝑥=1,所以 𝑥=0是𝑥(𝑥)的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限

(3)设函数𝑥(𝑥)={𝑥αcos1𝑥β,𝑥>0，0,𝑥≤0(α>0,𝑥>0).若𝑥′(𝑥)在𝑥=0处连续，则

(A)α−β>1 (B)0

(C)α−β>2 (D)0<𝑥−β≤2

【答案】A

【解析】易求出

𝑥′(𝑥)={𝑥𝑥α−1cos1𝑥β+β𝑥α−β−1sin1𝑥β,𝑥>0，0,𝑥≤0 再有 𝑥+′(0)=limx→0+𝑥(𝑥)−𝑥(0)𝑥=limx→0+𝑥α−1cos1𝑥β={0, α>1,不存在，α≤1，

𝑥−′(0)=0

于是，𝑥′(0)存在?α>1，此时𝑥′(0)=0.

当α>1时，limx→0𝑥α−1cos1𝑥β=0，

limx→0β𝑥α−β−1sin1𝑥β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，

因此，𝑥′(𝑥)在𝑥=0连续?α−β>1。选A

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限

(4)设函数𝑥(𝑥)在(-∞,+∞)内连续，其 𝑥′′(𝑥)

二阶导函数𝑥′′(𝑥)的图形如右图所示，

则曲线𝑥=𝑥(𝑥)的拐点个数为 A O B 𝑥

(A)0 (B)1

(C)2 (D)3

【答案】C

【解析】𝑥(𝑥)在(-∞,+∞)内连续，除点𝑥=0外处处二阶可导。 𝑥=𝑥(𝑥)的可疑拐点是𝑥′′(𝑥)=0的点及𝑥′′(𝑥)不存在的点。 𝑥′′(𝑥)的零点有两个，如上图所示，A点两侧𝑥′′(𝑥)恒正，对应的点不是𝑥=𝑥(𝑥)拐点，B点两侧𝑥′′(𝑥)异号，对应的点就是𝑥=𝑥(𝑥)的拐点。

虽然f′′(0)不存在，但点x=0两侧f′′(x)异号，因而(0,f(0)) 是y=f(x)的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点

(5)设函数𝑥(μ,ν)满足𝑥(𝑥+𝑥,𝑥𝑥)=𝑥2−𝑥2，则?𝑥?μ|μ=1ν=1与?𝑥?ν|μ=1ν=1依次是

(A)12,0 (B)0,12

(C)−12,0 (D)0,−12

【答案】D

【解析】先求出f(μ,ν)

令{μ=x+y,ν=yx,?{x=μ1+ν,y=μν1+ν,

于是 f(μ,ν)=μ2(1+ν)2−μ2ν2(1+ν)2=μ2(1−ν)1+ν=μ2(21+ν−1)

因此?f?μ|μ=1ν=1=2μ(21+ν−1)|(1,1)=0

?f?ν|μ=1ν=1=−2μ2(1+ν)2|(1,1)=−12

综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分

(6)设D是第一象限中由曲线2𝑥𝑥=1,4𝑥𝑥=1与直线𝑥=𝑥,𝑥=√3𝑥 围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则∬f(x,y)dxdy=D

(A)∫dθπ3π4∫f(rcosθ,rsinθ)1sin2θ12sin2θrdr

(B) ∫dθπ3π4∫f(rcosθ,rsinθ)1√sin2θ1√2sin2θrdr

(C) ∫dθπ3π4∫f(rcosθ,rsinθ)1sin2θ12sin2θdr

(D) ∫dθπ3π4∫f(rcosθ,rsinθ)1√sin2θ1√2sin2θdr

【答案】 B

【解析】D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=√3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将∬f(x,y)dxdyD化为累次积分。

D的极坐标表示为

π3≤θ≤π4，1√sin2θ≤θ≤1√2sin2θ，

因此

∬f(x,y)dxdyD=∫dθπ3π4∫f(rcosθ,rsinθ)1√sin2θ1√2sin2θrdr

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。

(7)设矩阵A=[11112𝑥14𝑥2],b=[1𝑥𝑥2]。若集合Ω={1,2}，则线性方程 𝑥𝑥=𝑥 有无穷多解的充分必要条件为

(A)𝑥?Ω,𝑥?Ω (B) 𝑥?Ω,𝑥∈Ω

(C)𝑥∈Ω,𝑥?Ω (D) 𝑥∈Ω,𝑥∈Ω

【答案】D

【解析】Ax=b 有无穷多解?r(A|b)=r(A)<3

|A|是一个范德蒙德行列式，值为(a−1)(a−2),如果a?Ω，则

|A|≠0，r(A)=3，此时Ax=b有唯一解，排除(A),(B)

类似的，若d?Ω，则r(A|b)=3，排除(C)

当a∈Ω,d∈Ω时，r(A|b)=r(A)=2，Ax=b 有无穷多解

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。

(8)设二次型𝑥(𝑥1,𝑥2,𝑥3)在正交变换𝑥=𝑥𝑥下的标准形为2y12+y22−y32,其中𝑥=(𝑥𝑥,𝑥𝑥,𝑥𝑥),若Q=(𝑥𝑥,−𝑥𝑥,𝑥𝑥)在正交变换

𝑥=𝑥𝑥下的标准形为 (A) 2y12−y22+y32 (B) 2y12+y22−y32

(C) 2y12−y22−y32 (D) 2y12+y22+y32

【答案】A

【解析】设二次型矩阵为A,则

𝑥−𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑥=[20001000−1]

可见𝑥𝑥,𝑥𝑥,𝑥𝑥都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-𝑥𝑥也是A的特征向量，特征值为-1，因此

𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥−𝑥𝑥𝑥=[2000−10001]

因此在正交变换𝑥=𝑥𝑥下的标准二次型为2y12−y22+y32

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。

二、填空题：(9~14)小题，每小题4分，共24分。

(9)设{𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ,𝑥=3𝑥+𝑥3,则𝑥2𝑥𝑥𝑥2|𝑥=1=

【答案】48

【解析】由参数式求导法

𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥′𝑥𝑥′=3+3𝑥211+𝑥2=3(1+𝑥2)2 再由复合函数求导法则得

𝑥2𝑥𝑥𝑥2=𝑥𝑥𝑥[3(1+𝑥2)2]=𝑥𝑥𝑥[3(1+𝑥2)2]𝑥𝑥𝑥𝑥=6(1+𝑥2)∙2𝑥∙1𝑥𝑥′

=12𝑥(1+𝑥2)2, 𝑥2𝑥𝑥𝑥2|𝑥=1=48

综上所述，本题正确答案是48。

【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导

(10)函数𝑥(𝑥)=𝑥22𝑥在𝑥=0处的n阶导数𝑥(𝑥)(0)=

【答案】𝑥(𝑥−1)(𝑥𝑥2)𝑥−2(𝑥=1,2,3,⋯⋯)

【解析】

解法1 用求函数乘积的𝑥阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。

𝑥(𝑥)(𝑥)=∑𝑥𝑥𝑥(𝑥2)𝑥(2𝑥)(𝑥−𝑥)𝑥𝑥=0

其中𝑥𝑥𝑥=𝑥!𝑥!(𝑥−𝑥)!,注意(𝑥2)𝑥|𝑥=0=0(𝑥≠2)，𝑥𝑥2=𝑥(𝑥−1)2,于是

𝑥(𝑥)(0)=𝑥𝑥2∙2∙(2𝑥)(𝑥−2)|𝑥=0=𝑥(𝑥−1)(𝑥𝑥2)𝑥−2 (𝑥≥2)

𝑥′(0)=0

因此𝑥(𝑥)(0)=𝑥(𝑥−1)(𝑥𝑥2)𝑥−2(𝑥=1,2,3,⋯⋯)

解法2

利用泰勒展开 𝑥(𝑥)=𝑥22𝑥=𝑥2𝑥𝑥𝑥𝑥2=𝑥2∑(𝑥𝑥𝑥2)𝑥𝑥!∞𝑥=0

=∑𝑥𝑥𝑥2𝑥!𝑥𝑥+2=∞𝑥=0∑𝑥𝑥𝑥−22(𝑥−2)!𝑥𝑥∞𝑥=2 由于泰勒展开系数的唯一性，得𝑥𝑥𝑥−22(𝑥−2)!=𝑥(𝑥)(0)𝑥!

可得𝑥(𝑥)(0)=𝑥(𝑥−1)(𝑥𝑥2)𝑥−2(𝑥=1,2,3,⋯⋯)

综上所述，本题正确答案是𝑥(𝑥−1)(𝑥𝑥2)𝑥−2 (𝑥=1,2,3,⋯⋯)

【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式