考研_2015考研数学二真题及答案

2021 考研数学二真题及答案

一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

(1) 以下反常积分收敛的是 ( )

(A)

21dxx

(B)

2lnxdxx

(C)

21lndxxx

(D)

2xxdxe

【答案】(D)

【解析】(1)xxxdxxee，那么

2222(1)3lim(1)3xxxxxdxxeexeee.

(2) 函数20sinlim(1)xtttfxx 在(,)内 ( )

(A) 连续

(B) 有可去连续点 (C) 有跳跃连续点

(D) 有无穷连续点

【答案】(B)

【解析】220sinlim0sin()lim(1)txtxxtxtttfxeex，0x，故()fx有可去连续点0x.

(3)设函数1cos,00,0xxxfxx(0,0),假设'fx在0x处连续那么:( )

(A)0 (B)01

(C)2 (D)02

【答案】(A)

【解析】0x时，0fx00f

1001cos010limlimcosxxxxfxxx

0x时，11111cos1sinfxxxxxx

1111cossinxxxx fx在0x处连续那么：10100limcos0xffxx得10

++1100110lim=limcossin=0xxffxxxxx

得：10，答案选择A

(4)设函数()fx在,内连续，其中二阶导数()fx的图形如下图，那么曲线()yfx的拐点的个数为

( )

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

【答案】(C)

【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.那么拐点个数为2个。

(5) 设函数,fuv满足22,yfxyxyx ，那么11uvfu与11uvfv 依次是 ( )

(A) 1,02

(B) 10,2

(C) 1,02

(D) 10,2

【答案】(D)

【解析】此题考察二元复合函数偏导的求解.

令,yuxyvx，那么,11uuvxyvv，从而22(,)yfxyxyx变为

222(1)(,)111uuvuvfuvvvv.故222(1)2,1(1)fuvfuuvvv，

因而111110,2uuvvffuv.应选〔D〕. (6)设D是第一象限由曲线21xy，41xy与直线yx，3yx围成的平面区域，函数,fxy在D上连续，那么,Dfxydxdy ( )

(A) 13sin2142sin2cos,sindfrrrdr

(B)1sin23142sin2cos,sindfrrrdr

(C) 13sin2142sin2cos,sindfrrdr

(D) 1sin23142sin2cos,sindfrrdr

【答案】(B)

【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为11(,),432sin2sin2Drr

所以

1n23142sin2(,)(cos,sin)siDfxydxdydfrrrdr

应选B.

(7) 设矩阵21111214aaA,21ddb.假设集合1,2，那么线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为：

( )

(A) ,ad (B) ,ad

(C) ,ad (D) ,ad

【答案】D

【解析】

2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)Abadadadaadd，

由()(,)3rArAb，故1a或2a，同时1d或2d。应选〔D〕

(8) 设二次型123,,fxxx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123(,,)Peee，假设132(,,)Qeee那么123(,,)fxxx在正交变换xQy下的标准形为：

( )

(A)2221232yyy (B) 2221232yyy

(C) 2221232yyy (D) 2221232yyy 【答案】(A)

【解析】由xPy，故222123()2TTTfxAxyPAPyyyy.且

200010001TPAP.

100001010QPPC

200()010001TTTQAQCPAPC

所以222123()2TTTfxAxyQAQyyyy。选〔A〕

二、填空题：9答题纸．．．指定位置上.

(9) 3arctan3xtytt 那么 212tdydx

【答案】48

【解析】 2222333(1)11dydytdttdxdxdtt

2222[3(1)]dydtdxdx222222[3(1)]12(1)12(1)11dtttdtttdxdtt 22148tdydx.

(10)函数2()2xfxx在0x处的n阶导数(0)nf_________

【答案】21ln2nnn

【解析】根据莱布尼茨公式得：

(2)2220(1)0222ln2(1)ln22nnnnxnxnnfCnn

(11) 设fx连续，20xxxftdt，假设11,15，那么1f

【答案】2

【解析】 20()()xxxftdt，求导得2220()()2()xxftdtxfx，故有10(1)()1,ftdt

(1)12(1)5,f那么(1)2f.

(12)设函数yyx是微分方程'''20yyy的解，且在0x处yx取得极值3，那么yx= 。

【答案】22xxee

【解析】由题意知：03y，00y，由特征方程：220解得121,2 所以微分方程的通解为：212xxyCeCe代入03y，00y解得：12C21C

解得：22xxyee

(13)假设函数,Zzxy由方程231xyzexyz确定，那么0,0dz= 。

【答案】1d2d3xy

【解析】当0,0xy时0z，那么对该式两边求偏导可得2323(3)xyzxyzzexyyzex

2323(3)2xyzxyzzexyxzey。将〔0,0,0〕点值代入即有

12,.(0,0)(0,0)33zzxy

那么可得(0,0)121|d2d.333dzdxdyxy

(14) 假设3阶矩阵A的特征值为2,2,1，2BAAE，其中E为3阶单位阵，那么行列式B .

【答案】21 【解析】A的所有特征值为2,2,1.B的所有特征值为3,7,1.

所以||37121B。

答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (此题总分值10分〕

设函数()ln(1)sinfxxaxbxx，3()gxkx.假设()fx与()gx在0x时是等价无穷小，求,,abk的值.

【答案】111,,32akb

【解析】

方法一：

因为233ln(1)()23xxxxox，33sin()3!xxxox，

那么，

23333000(1)()()()ln(1)sin231limlimlim()xxxaaaxbxxoxfxxaxbxxgxkxkx， 可得：100213aabak，所以，11213abk．

方法二：

由题意得

300sin)1ln(lim)()(lim1kxxbxxaxxgxfxx203cossin11limkxxbxxbxax

由分母03lim20kxx，得分子)cossin11(lim0xbxxbxax0)1(lim0ax，求得c；

于是)()(lim10xgxfx203cossin111limkxxbxxbxx

）（xkxxxbxxxbxx13cos)1(sin)1(lim20

203cos)1(sin)1(limkxxxbxxxbxx

kxxxbxxbxxxbxxbxbx6sin)1(coscos)1(cos)1(sin1lim0

由分母06lim0kxx，得分子