2018年全国高中数学联赛试题

⒛18年

全

国高中

数学联合竞赛一

试试题(A卷

)

-、填空题:本

大题共8小

题,每

小题8分

,满

分“

分。

1。设集合/=[,2,3,…

,991,B=仫

豸

u∈/l,c=伽

|2丌∈彳

卜贝刂B∩C的

元

素个数为_⊥____・

2.设

点

`到平

面α

的距

离为

雨,点g在

平面α

上,使

得直

线Pg与

α

所成角

不小于

30°且

不大于ω°

,则

这

样的点

口所构成的区域的

面积

为

3.将

1,2,3,495,6随机排成一

行,记

为曰

,乃,c,',纟,/,则曰Dc+〃

是偶数的

概

率为

5.设

/(万)是定义在R上

的

以

弓为周

迅。

=.函数尸

撬

圣甲IO,ll工熟

耨浒减

,4.在

平面直

角坐

标系以V中

,椭圆

(

鉴免

,廴鹦

{∶∶

|i∶∶∶

猫夕爨

且

满是

/←)=1,r(20=2,则

不等式红

⒍

设复数z满足

|亻F殉

呷关弑

纟

'’;`i

⒎

设o裨

鲫BC呼

唾锷昶

舒豇2刃,酪

应硭

的

值为___

蠹亻鞲.解

答应写投文字说

明、

篚

R+上的

雾熬

/←

)为证

明过

∷

I需嚣静

~{严

百丬’

∶

F∶

f玉⒎

`

设曰

,D,ε是三

个互

不相同的实数,满

足/@)=/(D)=/(c),求汕

c的

取值范围。

IO。(本

题满分aO分

)己

知实数列四

1,%,%,…满足:对

任意正整

数″,有

%(2岛一

%)=1,其

中

凡表示

数列的前刀

项和。

证

明

:

(1)对

任意正

整

数刀,有

%(⒉

历

;

田)对

任意正

整数″,有

%%书《

1。

In。(本

趑满

分⒛

分)在平面直

角坐

标系豸

勿中,设/B是

抛物线/=仙

的

过点FG,O的

弦,扭

oB的

外接圆交抛物线于

点P(不

同于点

o,/,B)。若PF

平分乙伊B,求

丨PFl的所

有可

能值。

2018年

全

国高中数学联合

竞赛加试试题《A卷

冫

-、(本

题满分00分)设

刀

是正

貉数,〃

I,曰

2,¨Ⅱ

%。DlⅡ

2,¨、

慨

,彳,B均为

1「

实

数”

满足臼

`≤匀

,叱≤

/,f=l,2,…。ra,爿

^3∶气…

铒

v∶召

》ˉ^.

〃

l曰

2・¨

rT″

Ⅱ

(包+lX仇

+l)…《

饥+l)

证

明

:B+l

《~

彳+l

(FJl+l)(rJ2+l)…《

rJ″+l)

二、(本

预满分+0分

冫如

图,AHBC∶

为锐角Ι

2018年全国高中数学竞赛试题

数学作为一门科学，一直以来都被视为培养学生逻辑思维和解决问题的能力的重要学科。在中国，每年都会举行全国高中数学竞赛，以选拔数学方面的优秀人才。2018年的全国高中数学竞赛试题也是备受关注的焦点。本文将针对2018年全国高中数学竞赛试题进行分析和解答。

试题一是一道关于函数的题目。给定一个函数f(x) = x^2 + bx + c，已知f(-1) =

2和f(1) = 6，求函数f(x)的解析式。解答这道题需要运用函数的性质和代数运算的规则。首先，根据已知条件，我们可以列出两个方程，分别是：1 + b + c = 2和1 -

b + c = 6。解这个方程组可以得到b = -3和c = 4。因此，函数f(x)的解析式为f(x) =

x^2 - 3x + 4。

试题二是一道关于数列的题目。给定一个等差数列{an}，已知a1 = 2，a2 = 5，求第n项an的表达式。解答这道题需要运用数列的性质和数学归纳法。首先，我们可以根据已知条件列出递推公式an = a1 + (n-1)d，其中d为公差。代入已知的a1和a2可以得到2 + d = 5，解得d = 3。因此，数列{an}的递推公式为an = 2 + 3(n-1)。进一步化简得到an = 3n - 1。

试题三是一道关于概率的题目。已知甲、乙两个人轮流掷一个公正的硬币，甲先掷。如果硬币正面朝上，则甲得1分；反之，乙得1分。第一个得到5分的人获胜。问甲获胜的概率是多少？解答这道题需要运用概率的概念和技巧。首先，我们可以列出甲获胜的可能情况，即甲连续获胜5次或甲获胜4次，乙获胜1次，再甲获胜1次。根据硬币正反面朝上的概率均为1/2，我们可以计算出甲获胜的概率为1/2^5 + 4/2^5 = 1/32 + 1/32 = 1/16。

以上只是2018年全国高中数学竞赛试题的三道题目，其中涉及到了函数、数列和概率等数学的基础知识和解题技巧。数学竞赛试题的设计旨在考察学生的数学思维能力和解决问题的能力，因此需要学生具备扎实的数学基础和灵活运用数学知识的能力。解答数学竞赛试题需要学生深入理解题目的要求，运用所学的数学知识和方法，通过推理和计算等方式得到正确的答案。

12018年全国高中数学联赛河北省预赛高三试题

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.

若zC

,且221zi

,则22zi

的最小值为______________．

2.若x,y

66







，

，aR，且满足3

3sin30

1

9sin30

3xxa

yya











，

，那么cos(x3)_____y

.

3.设点O为三角形ABC内一点，且满足关系式：23

=AOBBOCCOA

ABCSSS

S



_____.

4.过动点M

作圆：22(2)(2)1xy

的切线MN

，其中N

为切点，若MNMO

（O

为坐标原点），

则||MN

的最小值是__________．

5.欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.

6.已知棱长3

的正方体

1111ABCDABCD

内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线

1AC

为轴，则该圆柱体积的最

大值为_____.

7

.若实数x、y、z满足2223xyz

，224xyz

，则

maxminzz

_____.

8.在△ABC中，3AC

，sinsin(k2)CkA

，则△ABC的面积最大值为_____.

二、解答题（共86分）

9.已知将函数()cosgxx=

的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移

2

个单位长度得到函数()yfx

的图象，且关于x的方程f()g()xxm+=

在[0,2)

内有两个不同

的解

、

.

（1）求满足题意的实数m的取值范围；

（2）求cos()



（用含m的式子表示）.

210.已知数列

na

满足：

11a

，2*

1(nN)

nnnaaa



.记

121

1)(1)...(1)n

nS

aaa

（，

11

1n

n

k

kT

a





求

nnST

的值．

311.如图，椭圆22

221xy

yb

（a>b>0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点.当直线AB经过椭

2012年全国高中数学联赛试题

考试时间：2012年10月14日上午8:00-9:20

一． 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在试卷相应题号的横上。

1. 设𝑃是函数𝑦=𝑥+2𝑥(𝑥>0)的图像上任意一点，过点𝑃分别向直线𝑦=𝑥和𝑦轴作垂线，垂

足分别为𝐴,𝐵，则𝑃𝐴�����⃗⋅𝑃𝐵�����⃗的值是______________。

2. 设△𝐴𝐵𝐴的内角𝐴,𝐵,𝐴的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，且满足𝑎cos𝐵−𝑏cos𝐴=35𝑐，则tan𝐴tan𝐵的值是

_________________。

3. 设𝑥,𝑦,𝑧∈[0,1]，则𝑀=�|𝑥−𝑦|+�|𝑦−𝑧|+�|𝑧−𝑥|的最大值是____________。 4. 抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为𝐹，准线为𝑙，𝐴,𝐵是抛物线上的两个动点，且满足

∠𝐴𝐹𝐵=𝜋3，设线段𝐴𝐵的中点𝑀在𝑙上的投影为𝑁，则|𝑀𝑀||𝐴𝐵|的最大值是___________。

5. 设同底的两个正三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐴和𝑄−𝐴𝐵𝐴内接于同一个球。若正三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐴的侧面

与底面所成的角为45°，则正三棱锥𝑄−𝐴𝐵𝐴的侧面与底面所成角的正切值是_____________。 6. 设𝑓(𝑥)是定义在𝐑上的奇函数，且当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥2。若对任意的𝑥∈[𝑎,𝑎+2]，不

等式𝑓(𝑥+𝑎)≥2𝑓(𝑥)恒成立，则实数𝑎的取值范围是_______________。

7. 满足14

8. 某情报站有𝐴,𝐵,𝐴,𝐷四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周

未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。设第1周使用𝐴种密码，那么第7周也使用𝐴种

密码的概率是______________。（用最简分数表示）。