2018年全国高中数学竞赛试题

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第1页共2页2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1.设集合}99,,3,2,1{A,}|2{AxxB，}2|{AxxC，则CB的元素个数为.

2.设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与平面所成角

不小于30且不大于60，则这样的点Q所构成的区域的面积为.

3.将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为fedcba，，，，，，则defabc是偶数的概率为.

4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆)0(1:

22

22

baby

axC的左右焦点分别是

21FF，，椭圆C的弦ST和UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P，已知线段

PTPVPSPU，，，的长分别为1，2，3，6，则

21FPF的面积为.

5.设)(xf是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间]1,0[上严格递减，且满足

1)(f，2)2(f，则不等式组





2)(121

xfx的解集为.

6.设复数z满足1|z|，使得关于x的方程0222xzzx有实数根，则这样的复

数z的和为.

7.设O为ABC的外心，若ACABAO2，则BACsin的值为.

8.设整数数列

1021,,,aaa，满足

58211033aaaaa，，且}2,1{

1iiiaaa

，

9,,2,1i，则这样的数列的个数为.

二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

9.(本小题满分16分)已知定义在R上的函数)(xf为







9,490|,1log|

)(3

xxxx

xf

设cba,,是三个互不相同的实数，满足)()()(cfbfaf，求abc的取值范围.编辑：505507100

第2页共2页10.已知实数列,,,

321aaa满足：对任意的正整数n，有1)2(

nnnaSa，其中

nS

表示数列的前n项和.证明：

2018年全国高中数学联合竞赛试题（B卷） 第 4 页 共 4 页 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）

一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

1、设集合8,1,0,2A，集合AaaB|2，则集合BA的所有元素之和是

2、已知圆锥的顶点为P，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q，使得直线PQ与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q所构成的区域的面积为

3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为fedcba,,,,,，则defabc是奇数的概率为

4、在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，)1,3(n是l的一个法向量．已知数列na满足：对任意正整数n，点),(1nnaa均在l上．若62a，则54321aaaaa的值为

5、设,满足3)3tan(，5)6tan(，则)tan(的值为

6、设抛物线xyC2:2的准线与x轴交于点A，过点)0,1(B作一直线l与抛物线C相切于点K,过点A作l的平行线，与抛物线C交于点NM,，则KMN的面积为为

7、设)(xf是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间2,1上严格递减，且满足1)(f，0)2(f，则不等式组1)(010xfx的解集为

8、已知复数321,,zzz满足1321zzz，rzzz321，其中r是给定的实数，则133221zzzzzz的实部是 （用含有r的式子表示）

2018年全国高中数学联合竞赛试题（B卷） 第 4 页 共 4 页 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

⒛18年

全

国高中

数学联合竞赛一

试试题(A卷

)

-、填空题:本

大题共8小

题,每

小题8分

,满

分“

分。

1。设集合/=[,2,3,…

,991,B=仫

豸

u∈/l,c=伽

|2丌∈彳

卜贝刂B∩C的

元

素个数为_⊥____・

2.设

点

`到平

面α

的距

离为

雨,点g在

平面α

上,使

得直

线Pg与

α

所成角

不小于

30°且

不大于ω°

,则

这

样的点

口所构成的区域的

面积

为

3.将

1,2,3,495,6随机排成一

行,记

为曰

,乃,c,',纟,/,则曰Dc+〃

是偶数的

概

率为

5.设

/(万)是定义在R上

的

以

弓为周

迅。

=.函数尸

撬

圣甲IO,ll工熟

耨浒减

,4.在

平面直

角坐

标系以V中

,椭圆

(

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,廴鹦

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|i∶∶∶

猫夕爨

且

满是

/←)=1,r(20=2,则

不等式红

⒍

设复数z满足

|亻F殉

呷关弑

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设o裨

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值为___

蠹亻鞲.解

答应写投文字说

明、

篚

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雾熬

/←

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∶

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设曰

,D,ε是三

个互

不相同的实数,满

足/@)=/(D)=/(c),求汕

c的

取值范围。

IO。(本

题满分aO分

)己

知实数列四

1,%,%,…满足:对

任意正整

数″,有

%(2岛一

%)=1,其

中

凡表示

数列的前刀

项和。

证

明

:

(1)对

任意正

整

数刀,有

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历

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田)对

任意正

整数″,有

%%书《

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In。(本

趑满

分⒛

分)在平面直

角坐

标系豸

勿中,设/B是

抛物线/=仙

的

过点FG,O的

弦,扭

oB的

外接圆交抛物线于

点P(不

同于点

o,/,B)。若PF

平分乙伊B,求

丨PFl的所

有可

能值。

2018年

全

国高中数学联合

竞赛加试试题《A卷

冫

-、(本

题满分00分)设

刀

是正

貉数,〃

I,曰

2,¨Ⅱ

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2,¨、

慨

,彳,B均为

1「

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二、(本

预满分+0分

冫如

图,AHBC∶

为锐角Ι

第 1 页 共 9 页 2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

一、填空题（本题满分80分,每小题10分.）

1.若对任意的[0,]2，不等式42sincossincos0aa恒成立，则实数a的最小值为 ．

2.设数列{}na满足：11a，11449nnnnaaaa，则2018a ．

3.设()fx是定义在(0,)上的单调函数，若对任意的(0,)x，都有2[()2log]4ffxx，则不等式()6fx的解集为 ．

4.已知点P在离心率为2的双曲线22221(0,0)xyabab上，1F，2F为双曲线的两个焦点，且120PFPF，则12PFF的内切圆半径r与外接圆半径R之比为 ．

5.设G为ABC的重心，若BGCG，2BC，则ABAC的最大值为 ．

6.一枚骰子连续投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为 ．

7.设正实数x，y满足2211274xyxy，则1534Pxy的最小值为 ．

8.设数列{}na的通项公式为3nann，*nN，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数列{}nb，则2018b被7除所得的余数为 ．

二、解答题（本题满分70分，第9题20分，第10题、第11题25分.）

9.已知O为坐标原点，(1,0)N，M为直线1x上的动点，MON的平分线与直线MN交于点P，记点P的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）过点11(,)22Q作斜率为k的直线l，若直线l与曲线E恰好有一个公共点，求k的取值范围.

10.对任意正整数m，n，定义函数(,)fmn如下：

①(1,1)1f；

②(1,)(,)2()fmnfmnmn；