2024年湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学中考一模数学试题(含答案)

湖南师大附中博才实验中学九年级第六次质量调研试题卷·数学

满分：120分 总时量：120分钟

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．2024的相反数是（ ）

A．B．C．2024D．

2．下列几何体中，主视图是三角形的为（ ）

A．B．C．D．

3．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员

7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）

A．B．C．D．

4．下列计算正确的是（ ）

A．B．C．D．

5．若是方程的两个根，则（ ）

A．B．C．D．

6．如图，平分，则的度数为（ ）

A．B．C．D．

7．不等式组的解集在数轴上可以表示为（ ）

A．B．C．

D．

8．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）1

20241

20242024

77.3581037.3581047.3581067.35810

632aaa235325326bbb2222aa

12,xx2670xx

126xx

126xx

127

6xx

127xx

,ADBCBD∥,140ABCD

50704035

2

4x

x





ABC△cosBA．B

．C

．D

．

9．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及

长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据

题意列方程正确的是（ ）

A．B．

C．D．

10．若分式方程无解，则实数的取值是（ ）

A．0或2B．4C．8D．4或8

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．在函数中，自变量的取值范围是_______________．

12．关于的一元一次方程的解为，则的值为_______________．

13．某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛．这两名运动员10次测试成绩（单位：

）的平均数是，方差是，那么应选_______________去参加比

赛．（填“甲”或“乙”）

14．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的

）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点在同一水平线上，

和均为直角，与相交于点．测得，则树高

_______________．

第14题图

15．如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则_______________1

22

23

23

3

x

2212864xx2122864xx

12864xx12864xx

2312

22xa

xxxx



a

21yxx

x25xm1xm

m6.01,6.01xx

甲乙220.01,0.02ss

甲乙

ABC,,ABQ

ABCAQPAPBCD40cm,20cm,12mABBDAQ

PQm

ABCDOECD70ADEAOC度．

第15题图

16．如图，菱形的对角线相交于点是的中点，则的长

是_______________．

第16题图

三、解答题（共9小题，共72分）

17．计算：．

18．先化简，再求值：，其中．

19．“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从

无人机看建筑物顶部的仰角为，看底部的俯角为，无人机到该建筑物的水平距离

为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：）

20．某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校抽取了部分学生的劳动积分

（积分用

表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．

等级劳动积分人数

4ABCD,ACBD,60,10,OADCACEADOE

1

01

3(4)2sin60

5



2222(2)8abababb1

2,

2ab

AB45C60ABCAD

BC21.41,31.73

x

A90x

B8090xm

20

8

3

请根据图表信息，解答下列问题：

（1）统计表中_______________，等级对应扇形的圆心角的度数为_______________；

（2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动

之星”大约有多少人；

（3）等级中有两名男同学和两名女同学，学校从等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树

状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．

21．如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与

分别交于点，连接．

（1

）求证：

；（2）若，求的度数．

22．如图，在中，点分别在上，．

（1）求证：四边形是矩形；C7080x

D6070x

E60x

mC

AA

ABC△,ABACADABC△AAD,ABAC

,EF,DEDF

ADEADF△≌△

80BACBDE

ABCD,EF,BCAD,BEDFACEF

AECF（2）若，求的长．

23．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进两款文化衫，

每件款文化衫比每件款文化衫多10元，用500元购进款和用400元购进款的文化衫的数量相同．

（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元？

（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种

购买方案？

（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利元，采购人员发现（2）

中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求值．

24．如图1，点在圆上运动，满足，过点的切线交延长线于点．

图1 图2

（1）求证：；

（2）记的面积为，若，求

（3）

如图2，点

是线段上一动点（不与重合），于P，交于点．若，设，且，试求关于的函数解析式，并写出自变量

的取值范围．

25．已知四个实数，规定新运算：；若一次函数和二次函数

满足，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”；

（1）下列关于的二次函数是否与一次函数互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打

“√”，不是的打“×”；

①（ ）；②（ ）；③（ ）．

（2）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点（不重合），若二次函数

的图象经过点和点，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”；

（3）已知二次函数与一次函数互为“和谐函数”，并且二次函数1

,2,tan

2AEBEABACBBC

,AB

ABAB

AB

ABmm

,,ABCO222ABBCACABCD

DACCBA

,,ABCACDABD△△△

12,,SSS

122SSStanD

QBCQ,BCQPADACM

tan2DCQ

x

BC11

yPD

DQDCAMAC

yx

x

,,,mnab,,,mnabmbnaymxn

2yaxbxn2,,,mnabm

x4yx

254yxx2274yxx21

4

2yxx

ymxnxAyBAB、

2yaxbxcAB

20yxcxpqc2

2yx

p的图象与轴交于两点（在的左边），与轴交于点，记抛物线的顶点为，

设的外接圆圆心为与轴的另一个交点为，是否存在四边形为平行四边形？若存在，

求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

1．D 2．A 3．A 4．C 5．A． 6．C 7．D 8．B 9．D 10．D

二、填空题（共6小题）

11．． 12．3 13．甲． 14． 15． 16．5．

三、解答题（共9小题）

17．【解答】解：

．

18．【解答】解：原式，

当时，原式．

19．【解答】解：由题意知，．

，．

．（米）．

在中，（米）

（米）

答：该建筑物的高度约为27.3米．

20．

【解答】解：（1）抽取的学生人数为：（人），2yxcxpqx,MNMNyGE

GMN△,CCyFFGEC

E

1

2x6m140

1

01

3(4)2sin60

5



3

3125

231354

2222244484abaabbbab

1

2,

2ab4

45,60,BADCADADBC

ADBC90BDAADC

45BADABD10BDAD

RtACD△

tanCDADCADtan60AD103

1010327.3BCBDCD

BC

816%50