排列组合基本题

检测题1．6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法．2．5名男生和4名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有________种不同的排法．3．a,b,c,d排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法有_______种．4．0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是．5．下列各式中与排列数相等的是（）．A． B．C．D．6．，且，则等于（）．A．B．C．D．7．若，则的个位数字是（）．A．8 B．5 C．3 D．08．7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有（）．A．720种B．360种 C．1440种D．120种9．求和 .10．5名男生、2名女生站成一排照像：（1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？（2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？（3）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？（4）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（5）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？（6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？参考答案:1．504 2．17280 3．9 4．3140 5．D 6.D 7．C 8．C 9．∵， .∴10．（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排；（种）；（2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生；（种）；（3）把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列；（种）；（4）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生；（种）；（5）七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的；（种）；（6）采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的个，再去掉女生乙在右端的个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的种排除了两次，要找回来一次．（种）．检测题选择题1．掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有（）．A．种B．种C．种D．不同于A、B、C的结论2．从A、B、C、D、E五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（）．A．24 B．48 C．121 D．723．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为（）．A．672 B．784 C．840 D．8964．…，为100条共面且不同的直线，若其中编号为的直线互相平行，编号为4k-3的直线都过某定点A．则这100条直线的交点个数最多为（）．A．4350 B．4351 C．4900 D．4901填空题1．在数字0，1，2，3，4， 5，6中，任取3个不同的数字为系数a,b,c，组成二次函数y=ax2+bx+c，则一共可以组成__________个不同的解析式？2．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包一项，丙、丁公司各承包2项，则共有_________种承包方式．3．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰好有一个空盒的放法共有______种．4．某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男、女运动员各3名参加三场混合双打比赛（每名运动员只限参加一场比赛），共有＿＿＿种不同的选赛方法．解答题1．有7本不同的书：（1）全部分给6个人，每人至少一本；（2）全部分给5个人，每人至少一本，求各有多少种不同的分法．2．九张卡片分别写着数字0，l，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还能当9用，问共可以组成多少个三位数？参考答案：选择题：1．A 2．D 3．C 4．B填空题：1．180 2．1680 3．144 4．3628800解答题：1．（l）先取两本书作为一份，其余每本书为一份，将这六份书分给6个人，有种分法（2）有两类办法：一人得3本，其余4人各得一本，方法数为；两人各得2本，其余3人各得一本，方法数为，所以所求方法种数为.2．以是否取卡片6分成两类，每类中再注意三位数中0不能在首位．（l）不取卡片6，组成三位数的个数为；（2）取卡片6，又分成两类，（i）当6用时组成的三位数的个数为；（ii）当9用时同样有个．根据加法原理得所求三位数的个数为：.排列与组合一、教材分析:1．基本概念:排列与排列数、组合与组合数从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号表示.2．基本公式:=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= (规定0!=1).= (规定=1).3．排列组合的解题原则:（1）深入弄清问题的情景要深入弄清问题的情景，切实把握各因素之间的相互关系，不可分析不透，就用或乱套一气.具体地说:首先要弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用，如果无“顺序”要求，就用；其次，要弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的，前者用分步计数原理，后者用分类计数原理.事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用分步计数原理，哪一步用分类计数原理.（2）两个方向的解题途径对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是正面直接解，一个是反面排除法.前者是指按要求，一点一点选出符合要求的方案，后者是指先按照全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案排除掉.这两个途径的优劣因题而异.一般地，一道题目“正面解”很繁琐时，“反面排除”往往简单，反之亦然.（3）分析问题的两个方向分析问题时，我们往往从元素和位置两个方向插手，一般情况，从算理上说，从特殊元素和特殊位置两个方向都能解决问题.但具体问题从特元与特位上作对比，则可能大相径庭，差距很大。

1．甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是（）A.16B.13C.23D.122．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个.小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（）A．96种B．120种 C.480种D．720种3．从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.85B.56C.49D.284．用2种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中相邻矩形颜色不同的概率是（）A．18B．14C．38D．125．从0,1,2,3,4,5这六个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300B．216C．180D．1626．个大学生分配到三个不同的村庄当村官，每个村庄至少有一名大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为（）A．14B．35C．70D．1007．将甲、乙等名学生分配到三个不同学校实习，每个学校至少一人，且甲、乙在同一学校的分配方案共有（）A．18种B．24种C．36种D．72种8．大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的,,,A B C D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A.18种B.24种C.36种D.48种9．某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（ ）A.600B.288C.480D.50410．设集合}{1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，集合}{123,,A a a a =，A S ⊆，123,,a a a 满足123a a a <<且326a a -≤，那么满足条件的集合A 的个数为（ ）A ．76B ．78C ．83D ．8411．有4位同学在同一天的上午、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学测试两个项目，分别在上午和下午，且每人上午和下午测试的项目不能相同．若上午不测“握力”，下午不测“台阶”，其余项目上午、下午都各测试一人，则不同的安排方式的种数为（ ）A.264B.72C.266D. 27412．三位女同学两位男同学站成一排，男同学不站两端的排法总数为__________．（用数字作答）13．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为 .答案1、【答案】 C2、【答案】C【解析】梨子的不同分法共有1545C A 480=(种)，故选C.3、【答案】C【解析】分两种情况：第一种，甲、乙只有人入选，有1227C C 42=种；第二种，甲、乙都入选，有2127C C 7=种，所以共有42749+=种方法，故选C.4、【答案】B【解析】用种不同颜色给图中个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，由分步乘法原理可得共有涂色方法2228⨯⨯=种，其中相邻矩形颜色不同有2112⨯⨯=种，则所求概率为2184=，故选B. 5、【答案】C6、【答案】C【解析】甲村庄恰有一名大学生，有15C 5=种分法，另外四名大学生分为两组，共有21344322C C C 437A +=+=种，再分配到两个村庄，共有227A 14⨯=种不同的分法，所以每个村庄至少有一名，且甲村庄恰有一名大学生有51470⨯=种不同的分法，故选C.7.【答案】C8.【答案】B【解析】当A 户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时，则另两个小孩是另外两个家庭的小孩，有2232C 224⨯⨯=种方法，故选B.9、【答案】D【解析】对六节课进行全排有66A 种方法，体育课排在第一节课有55A 种方法，数学课排在第四节课也有55A 种方法，体育课排在第一节课且数学课排在第四节课有44A 种方法，由排除法得这天课表的不同排法种数为654654A 2A A 504-+=. 10.【答案】C11、【答案】A【解析】先安排4位同学参加上午的“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“台阶”测试，共有44A 种不同的安排方式；接下来安排下午的“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”测试，假设,,A B C 同学上午分别安排的是“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”测试，若D 同学选择“握力”测试，安排,,A B C 同学分别交叉测试，有2种；若D 同学选择“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”测试中的1种，有13A 种方式，安排,,A B C 同学进行测试有3 种，则共有不同安排方式的种数为()4143A 23A 264+=，故选A. 12、【答案】3613、【答案】36。

排列组合题目精选(解析版)1. A ,B ,C ,D ,E 五人并排站成一排，如果A ,B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法种数有 A . 60种 B . 48种 C . 36种 D . 24种 解析：选D 。

A 、B 相邻且顺序一定，可把A 、B 捆绑看成一个整体与其他三人全排列，一共有24A 44=种方法。

2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A . 1440种B . 3600种C . 4820种D . 4800种解析：选B 。

7个人全排列，有77A 种方法，其中甲乙相邻时，甲乙交换位置，有22A 种方法，再与其他5人全排列，有6622A A 种方法。

则甲乙不相邻的排法种数为3600A A A 662277=-。

3. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A . 6种B . 9种C . 11种D . 23种解析：选B 。

先填数字1，有3种方法。

填数字2，有两种情况。

①填入方格1，有1种方法，剩下的3和4只有1种方法；②不填入1，有1种方法，剩下两个数字可以全排列。

有22A 种方法。

故由计数原理，一共有9)A 1(322=+种填法。

4. 将四封信投入5个信箱，共有多少种方法？ 解析：分以下4种情况： （1）只投1个，有15C 种方法；（2）投2个，有25A 种投信方法。

分两种情况：①分为1+3式，有14C 种分法；②分为2+2式，有2224A C 种方法； （3）投3个，有221224A C C 种分法，35A 种投法； （4）投4个，有45A 种投法。

由计数原理，一共有625A A A C C )A C C (A C 45352212242224142515=++++种投信方法。

5. 12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 种。

解析：填34650。

排列组合题目精选(附答案)1.A和B必须相邻且B在A的右边，剩下的C、D、E可以随意排列，因此排列方式为4.即24种。

选项D正确。

2.先计算所有可能的排列方式，即7.然后减去甲乙相邻的排列方式，即2×6.因此不同的排列方式为5×6.即3600种。

选项B正确。

3.第一个格子有4种选择，第二个格子有3种选择，第三个格子有2种选择，因此不同的填法有4×3×2=24种。

选项D 错误。

4.由于每封信可以投入5个信箱中的任意一个，因此总的投放方式为5的4次方，即625种。

5.对于每个路口，选择4名同学进行调查的方式有12选4种，因此总的分配方案为(12选4)的3次方，即154,440种。

6.第一排有6种选择，第二排有5种选择，第三排有4种选择，因此不同的排法有6×5×4=120种。

选项B正确。

7.首先从8个元素中选出2个排在前排，有8选2种选择方式。

然后从剩下的6个元素中选出1个排在后排，有6种选择方式。

最后将剩下的5个元素排在后排，有5!种排列方式。

因此不同的排法有8选2×6×5!=28×720=20,160种。

8.首先将甲、乙、丙三人排成一排，有3!种排列方式。

然后将其余4人插入到相邻的位置中，有4!种排列方式。

因此不同的排法有3!×4!=144种。

9.首先将10个名额排成一排，有10!种排列方式。

然后在9个间隔中插入6个分隔符，每个间隔至少插入一个分隔符，因此有8种插入方式。

因此不同的分配方案有10!÷(6×8)=21,000种。

10.首先将除了甲和乙的8个人排成一排，有8!种排列方式。

然后将甲和乙插入到相邻的位置中，有2种插入方式。

因此不同的派遣方案有8!×2=80,640种。

11.个位数字小于十位数字的六位数，可以从1、2、3、4、5中选出两个数字排列，有5选2种选择方式，即10种。

排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？ 分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有33A ＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有22A ＝2种，所以共有6×2＝12种排法. 二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.例2 7个同学并排站成一排，其中只有A 、B 是女同学，如果要求A 、B 不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是55A ＝120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有24A ＝2种方法.则共有5254A A ＝440种排法.三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有 种.分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有14A 种排法.然后将其余5个排在余下的5个位置上，有55A 种方法.则共1545A A ＝480种排法.还可以优先排两端（位置优先）. 四、同元问题“隔板法”例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？ 分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： ×× × ××× ××××一种插法对应于一种分法，则共有39C ＝84种分法. 五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）（A ）210个 （B ）300个 （C ）464个 （D ）600个分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、1333A A 个，合计300个，所以选B例6 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有325555C C A 种，其中0居首位的有314544C C A 种，故符合条件的五位数共有325314555544C C A C C A ＝11040个.【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的.①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325545C C A 个；②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有14A 种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有31415444C C A A 种排法.综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545C C A ＋31415444C C A A ＝11040个. 例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3的自然数？【解】设A ＝{满足题设条件，且百位数字是3的自然数}，B ＝{满足题设条件，且比20000大的自然数}，则原题即求()card U B A ，画韦恩图如图，阴影部分 即UBA ，从图中看出()()card card UBA B AB =-.又A BB ，由性质2，有()()()card card card .B A B B A B -=-()card B 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知()1444card A A B =.()card A B 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数，易知()1333card A A AB =，所以()14134433card A A A A UB A =-＝78.即可组成78个符合已知条件的自然数.典型例题例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅（个）．∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个．例2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

排列组合习题及答案排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到数学问题的解决方法和思维方式。

本文将介绍一些排列组合的习题及答案，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 问题一：某班有10名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选法？解答：这是一个从10个学生中选出3个学生的组合问题，即C(10,3)。

根据组合的定义，C(n,r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数。

因此，C(10,3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1) = 120 种不同的选法。

2. 问题二：某班有10名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，并且要求其中包含学生A，问有多少种不同的选法？解答：由于题目要求学生A必须在选出的小组中，因此可以将问题转化为从剩下的9名学生中选出2名学生的组合问题，即C(9,2)。

根据组合的定义，C(9,2) = 9! / (2! * (9-2)!) = 9 * 8 / (2 * 1) = 36 种不同的选法。

3. 问题三：某班有10名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，并且要求其中不包含学生A，问有多少种不同的选法？解答：由于题目要求学生A不能在选出的小组中，因此可以将问题转化为从剩下的9名学生中选出3名学生的组合问题，即C(9,3)。

根据组合的定义，C(9,3) = 9! / (3! * (9-3)!) = 9 * 8 * 7 / (3 * 2 * 1) = 84 种不同的选法。

4. 问题四：某班有10名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，且要求其中至少有一名男生和一名女生，问有多少种不同的选法？解答：这是一个包含男生和女生的组合问题，可以分别计算出只包含男生和只包含女生的选法，然后用总的选法减去这两种情况的选法。

只包含男生的选法可以看作从5名男生中选出3名学生的组合问题，即C(5,3)= 5! / (3! * (5-3)!) = 5 * 4 / (2 * 1) = 10 种不同的选法。

排列组合的数学练习题及答案关于排列组合的数学练习题及答案数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。

下面是店铺精心整理的关于排列组合的数学练习题及答案，仅供参考，欢迎大家阅读。

1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）A、768种B、32种C、24种D、2的10次方中解：根据乘法原理，分两步：第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1=120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5=24种。

第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2=32种，综合两步，就有24×32=768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )A 119种B 36种C 59种D 48种解：5全排列5*4*3*2*1=120，有两个l所以120/2=60，原来有一种正确的所以60-1=593．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？答案为53秒算式是(140+125)÷(22-17)=53秒可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

4．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？答案为100米300÷(5-4.4)=500秒，表示追及时间5×500=2500米，表示甲追到乙时所行的路程2500÷300=8圈……100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前方100米处相遇。

高中排列组合试题及答案一、选择题1. 从5个人中选出3个人参加比赛，不同的选法有（）种。

A. 10B. 15C. 20D. 60答案：B2. 有3个不同的球和3个不同的盒子，每个盒子只能放一个球，不同的放法有（）种。

A. 3B. 6C. 9D. 27答案：D3. 从6本不同的书中选3本送给3个不同的人，每人一本，不同的送法有（）种。

A. 20B. 60C. 120D. 720答案：B二、填空题4. 一个班级有20名学生，需要选出5名学生组成一个小组，那么不同的选法有______种。

答案：15,5045. 从10个人中选出3个人担任班长、副班长和学习委员，不同的选法有______种。

答案：720三、解答题6. 某学校有5个不同学科的竞赛，每个学生可以选择参加1个或多个竞赛，求至少参加一个竞赛的学生的选法总数。

答案：首先，每个学生有6种选择：不参加任何竞赛，只参加一个竞赛，参加两个竞赛，参加三个竞赛，参加四个竞赛，参加所有五个竞赛。

对于每个学科，学生有两种选择：参加或不参加，所以总共有2^5=32种可能的组合。

但是，我们需要排除不参加任何竞赛的情况，所以选法总数为32-1=31种。

7. 一个班级有30名学生，需要选出一个5人的篮球队，其中必须包括1名队长和4名队员。

如果队长和队员可以是同一个人，那么不同的选法有多少种？答案：首先，选择队长有30种可能，然后从剩下的29人中选择4名队员，有C(29,4)种可能。

但是，由于队长和队员可以是同一个人，我们需要减去只选了4名队员的情况，即C(30,4)种。

所以，总的选法为30*C(29,4) - C(30,4) = 30*1911 - 27,405 = 57,330种。

四、计算题8. 一个数字密码由5个不同的数字组成，每位数字可以是0-9中的任意一个，求这个密码的所有可能组合。

答案：每位数字有10种可能，所以总的组合数为10^5 = 100,000种。

9. 一个班级有15名学生，需要选出一个7人的足球队，不同的选法有多少种？答案：从15名学生中选出7人，不同的选法有C(15,7) = 6,435种。

高中数学_排列组合10０题一、填充题1. (１)设{}3,8A =﹐{}8,36B x =+﹐若A B =﹐则x =____________﹒ﻫ（2）设{}2|320A x x x =-+=﹐{}1,B a =﹐若A B =﹐则a =____＿__＿___＿﹒2. (1)822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中10x 项的系数为__________＿_﹒(２)52123x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为＿_＿_＿__＿_＿__﹒ﻫ(３）53212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为__＿_________﹒3. (1）()82x y z +-展开式中332x y z 项的系数为_____＿___＿__﹒（２)()532x y z -+展开式中﹐2.3x y 项的系数为__＿___＿_＿___﹒ ４. 四对夫妇围一圆桌而坐﹐夫妇相对而坐的方法有＿＿_＿_____＿_种﹒５． {}{}1,21,2,3,4,5,A ⊂⊂且A 有4个元素﹐则这种集合A 有＿＿___＿_＿____个﹒ 6. 从2０00到３0００的所有自然数中﹐为3的倍数或5的倍数者共有_＿_________＿个﹒ 7. 从１至10的十个正整数中任取3个相异数﹐其中均不相邻的整数取法有_______＿_＿_＿种﹒8. 某女生有上衣5件﹑裙子４件﹑外套2件﹐请问她外出时共有__＿＿________种上衣﹑裙子﹑外套的搭配法﹒(注意：外套可穿也可不穿﹒)9. 已知数列n a 定义为1132n n a a a n +=⎧⎨=+⎩﹐n 为正整数﹐求100a =＿＿__＿__＿____﹒10. 设A ﹑B ﹑T 均为集合﹐{},,,A a b c d =﹐{},,,,=B c d e f g ﹐则满足T A ⊂或T B ⊂的集合T 共有________＿___个﹒11. 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇围坐一圆桌聊天﹐试求下列各情形之排列数：1(ﻫ）男女间隔而坐且夫妇相邻_________＿＿＿﹒ﻫ(２)每对夫妇相对而坐＿＿__________﹒12. 体育课后﹐阿珍将4个相同排球﹐5个相同篮球装入三个不同的箱子﹐每箱至少有1颗球﹐则方法有＿____＿______种﹒13． 如图﹐由A 沿棱到G 取快捷方式（最短路径）﹐则有_____＿_＿_＿＿＿种不同走法﹒ﻫ14. 0﹑1﹑１﹑２﹑2﹑2﹑2七个数字全取排成七位数﹐有__＿_______＿＿种方法﹒ １5. 1012⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭展开式中﹐各实数项和为_______＿_＿＿_﹒ 16． 有一数列n a 满足11a =且1213nn a a +=+﹐n 为正整数﹐求()13n n a ∞=-=∑＿＿__＿___＿___﹒﹒１8. 把1~4四个自然数排成一行﹐若要求除最左边的位置外﹐每个位置的数字比其左边的所有数字都大或都小﹐则共有____＿___＿_＿_种排法﹒(例如:23１4及３4２１均为符合要求的排列）1９． 从１到1０0０的自然数中﹐ﻫ(1)是5的倍数或7的倍数者共有_____＿＿___＿_个﹒ﻫ(2)不是5的倍数也不是７的倍数者共有_____＿____＿_个﹒ﻫ(３）是5的倍数但不是７的倍数者共有__＿_________个﹒2０． 如图﹐从A 走到B 走快捷方式﹐可以有＿＿＿＿＿___＿_＿＿种走法﹒ﻫ２１． １到1００0的正整数中﹐不能被2﹑３﹑４﹑5﹑６之一整除者有_______＿_＿_＿个﹒22. 将100元钞票换成5０元﹑10元﹑5元﹑1元的硬币﹐则ﻫ(１）５0元硬币至少要１个的换法有_＿__＿_＿_____种﹒ﻫ(2)不含1元硬币的换法有_＿_______＿_＿种﹒ ２３. 求()21x -除1001x +的余式为＿_＿__＿__＿＿_＿﹒２4. 在()8x y z ++的展开式中﹐同类项系数合并整理后﹐（1)共有_＿_______＿_＿个不同类项﹒(2）其中323x y z 的系数为_＿___＿__＿___﹒２５． 小明与小美玩猜数字游戏﹐小明写一个五位数﹐由小美来猜;小美第一次猜7516８﹐小明说五个数字都对﹐但只有万位数字对﹐其他数字所在的位数全不对﹐则小美最多再猜__＿_________次才能猜对﹒ 26.若{}|,,110000S x x x =≤≤為正整數正整數﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐则()n S T -=＿_＿_____＿＿__﹒27． 小于10000之自然数中﹐6的倍数所成集合为A ﹐9的倍数所成集合为B ﹐12的倍数所成集合为C ﹐则(１）()n A B ⋂=__＿＿＿___＿_＿＿﹒ (2）()n A B C ⋂⋂=＿______＿__＿_﹒ (３)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦__＿＿________﹒ （4)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦___＿＿____＿__﹒28. 1到３00的自然数中﹐是2或３的倍数但非5的倍数有__＿____＿__＿＿个﹒ 29. ()10222x x -+除以()31x -所得的余式为______＿＿____﹒30.ﻫ如圖﹐以五色塗入各區﹐每區一色且相鄰區不得同色﹐則有____________種不同的塗法﹒（圖固定不得旋轉）31. 如图﹐则(1)由A 取捷徑到B 的走法有____________種﹒(2)由A 走到B ﹐走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←﹐且不可重複走﹐則走法有____________種﹒32. 求()()23311x x ++++……()2031x ++展开式中12x 项系数为＿_______＿___﹒33．()101kk x =-∑展开式中5x 的系数为_______＿____﹒____种﹒36. 利用二项式定理求12323n n n n n C C C nC +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+和为_＿_＿_＿_＿____﹒37. 四对夫妇Aa ﹑Bb ﹑Cc ﹑Dd 围一圆桌而坐﹐若Aa 要相对且Bb 要相邻的坐法有_＿_______＿＿＿种﹒ 38. 许多白色及黑色的磁砖﹐白色的磁砖为正方形﹐边长为１单位;黑色为长方形﹐其长为2单位﹐宽为１单位﹔则贴满一个长7单位﹐宽1单位的长方形墙壁﹐共有___＿__＿_＿___种方法﹒ ３９.如圖,有三組平行線,每組各有三條直線,則 (1)可決定____________個三角形.(2)可決定____________個梯形.（一組對邊平行,另一組對邊不平行）.40. 小功家住在一栋7楼的电梯公寓﹐今天小功回家时有5人同时和小功一起进入1楼电梯欲往上﹐假设每人按下自己想要到的楼层（可相同或不同）﹐请问电梯有_＿_______＿_＿种停靠方式﹒(假设这期间电梯只会由下而上依次停靠这6人所按的楼层)41. 设202020201232023......20,S C C C C =+⋅+⋅++⋅则S 为__＿＿__＿_＿_＿_位数﹒（设log20.3010=)４2. ４面不同色的旗子﹐若任取一面或数面悬挂在旗杆上来表示讯号﹐如果考虑上下的次序﹐则可作成___＿________种不同的讯号﹒４3.ﻫ如圖的棋盤式街道﹐甲走捷徑從A 至B ﹐則 (1)走法有____________種﹒(2)若不得經過C 且不經過D 的走法有____________種﹒４４.ﻫ圖中的每一格皆是正方形﹐邊長均為1個單位﹐試問由圖中線段(1)共可決定____________個矩形﹒ (2)可決定____________個正方形﹒45． 有红﹑白﹑黄三种大小一样的正立方体积木各20个﹐从中取出7个积木﹐相同颜色堆在一起﹐一一重迭堆高﹐共有＿_________＿＿种堆法﹒４６. 2颗苹果﹐3颗番石榴﹐４颗菠萝﹐将9颗水果任意装入4个不同的箱子﹐水果全装完每个箱子至少装一颗水果有____＿______＿种方法﹒(同种水果视为同物)47. A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五对夫妇围成一圆桌而坐（座位无编号)﹐A 夫妇相对且B 夫妇相邻的情形有＿＿__＿__＿____种﹒4８． 如图﹐取快捷方式而走﹐由A 不经P ﹑Q 至B 有______＿＿＿__＿种方法﹒49. 将pallmall 的字母全取排成一列﹐相同字母不相邻的排法有___________＿种﹒5０． 二个中国人﹑二个日本人﹑二个美国人排成一列﹐同国籍不相邻有____＿＿＿_____种排法﹒1. 设数列n a 满足14a =且132k n a a +=+﹐n 为自然数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒（2）推测n a 之值(以n 表示）﹒(3)401k k a =∑﹒２. 某校从8名教师中选派4名教师分别去4个城市研习﹐每地一人﹒其中甲和乙不能同时被选派﹐甲和丙只能同时被选派或同时不被选派﹐问共有几种选派方法？3. 试求()632x y -的展开式﹒4． 试求()421x -的展开式﹒５. 从SENSE 的5个字母中任取3个排成一列﹐问有几个排法？６. 下列各图形﹐自A 到A 的一笔划﹐方法各有多少种﹖(1)(2)(3)ﻫ7. 如图﹐至少包含A 或B 两点之一的矩形共有几个?8. 设()nx y +展开式中依x 降序排列的第６项为11２﹐第7项为７﹐第８项为14﹐试求x ﹑y 及n 之值﹒（但x ﹑y都是正数）9. 红﹑白﹑绿﹑黑四色大小相同的球各4颗共１6颗球﹐任取四颗﹐则ﻫ(１)四球恰为红﹑白二色的情形有几种？ﻫ(2)四球恰具两种颜色的情形有几种?１0． 一楼梯共10级﹐某人上楼每步可走一级或两级﹐要8步走完这10级楼梯﹐共有多少种走法?11. 设{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =为一基集（宇集)﹐则{}1,2,4,5,8A =﹐{}1,2,5,7,9B =﹐求(1)A B ⋃(2)A B ⋂ (3）A B - (4)B A - (5）'A （6)'B (7）()'⋃A B （8)''⋂A B (9)()'A B ⋂ (1０）''A B ⋃﹒1２. 若()1922381211x x a x a x x -+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求1a 和2a 的值﹒13． 某一场舞会将4位男生与4位女生配成4对﹐每一对皆含一位男生与一位女生﹐试问总共有几种配对法﹖（1)43C ﹒ (2)44P ﹒ （3)44﹒ （4）44H ﹒ (5)4﹒14. 如图﹐A A →一笔划的方法数有几种﹖1(ﻫ） （2)15. 如图﹐由A 至B 走快捷方式﹐不能穿越斜线区﹐有多少种走法﹖ﻫ1６. 求()70.998之近似值﹒(至小数点后第６位)1７. 设()1012220211x x ax bx cx +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求a ﹑b ﹑c 之值﹒18. (1)试证明下列等式成立:()1012121.12311n n n n n n C C C C n n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-++ﻫ(2）设n 为自然数﹐且满足1231,2311n nn nn C C C C n n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++则n 之值为何?19. 王老师改段考考卷﹐她希望成绩是0﹑4﹑５﹑6﹑７﹑８﹑9所组成的２位数﹐则（1)不小于60分的数有几个﹖ﻫ(2)有几个3的倍数﹖(3)改完考卷后发现由小到大排列的第12个数正是全班的平均成绩﹐请问班上的平均成绩是几分﹖20． 某日有七堂课﹐其中有两堂是数学﹐有两堂是国文﹐另外是英文﹑生物﹑体育各一堂﹒若数学要连两堂上课﹐国文也要连两堂上课﹐但同科目的课程不跨上﹑下午(即第四五节课不算连堂）﹐若第四﹑五堂课也不排体育﹐则该日之课程有几种可能的排法﹖21. ()10122320211,x x ax bx cx x +-=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+求a ﹑b ﹑c ﹒22. 已知{}{}{}0,,1,2,1,1,2=∅A ﹐下列何者为真﹖(A)∅∈A （B)∅⊂A (Ｃ)0A ∈ (D ）0A ⊂ (E){}1,2A ∈ (F ）{}1,2A ⊂ (G){}∅⊂A ﹒2３． ﻫ設有A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五個市鎮﹐其通道如圖所示﹐今某人自A 地到E 地﹐同一市鎮不得經過兩次或兩次以上﹐且不必走過每一市鎮﹐求有幾種不同路線可走﹖2４． 设数列n a 的首项15a =且满足递归关系式()123n n a a n +=+-﹐n 为正整数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒(2)一般项n a (以n 表示）﹒（3）20a ﹒25． 方程式10x y z ++=有多少组非负整数解?26． 用０﹑1﹑２﹑３﹑4﹑5作成大于230的三位数奇数﹐数字可重复使用(1)可作成多少个﹖ (２)其总和若干﹖2８. 妈妈桌球俱乐部拟购买8把桌球拍以供忘记携带球拍的会员使用﹐若球拍分为刀板﹐直拍与大陆拍3类﹐试问俱乐部有多少种不同的购买方式？29． 设直线方程式0ax by +=中的,a b 是取自集合{}3,2,1,0,2,4,6---中两个不同的元素﹐且该直线的斜率为正值﹐试问共可表出几条相异的直线﹖３0. 下列各图﹐由A 到B 的一笔划﹐方法各有多少种﹖(1)(2) ﻫ31. 以五种不同的颜色﹐涂入下列各图（图形不能转动）﹐同色不相邻﹐颜色可重复使用﹐则涂法各有多少种﹖ﻫ(1)(2)３3. 于下列各图中﹐以五色涂入各区﹐每区一色但相邻不得同色﹐则各有几种不同的涂法﹖（各图固定﹐不得旋转）(1)(2)(3)ﻫ34. 车商将3辆不同的休旅车及3辆不同的跑车排成一列展示﹒求下列各种排列方法：ﻫ(1)休旅车及跑车相间排列﹒（2）休旅车及跑车各自排在一起﹒３5．从6本不同的英文书与5本不同的中文书中﹐选取２本英文书与3本中文书排在书架上﹐共有几种排法？3６．将9本不同的书依下列情形分配﹐方法各有几种？(1)分给甲﹐乙﹐丙３人﹐每人各得３本﹒ﻫ(2)分装入３个相同的袋子﹐每袋装３本﹒ﻫ（3)分装入3个相同的袋子﹐其中一袋装５本﹐另两袋各装2本﹒3７．学校举办象棋及围棋比赛﹐已知某班级有4２位同学参赛﹐其中有3４位同学参加围棋比赛﹐而两种棋赛都参38. 求()321x x ++的展开式中2x 的系数﹒39． 求()322x x -+的展开式中4x 的系数﹒40. 求２40的正因子个数﹒４1. 自甲地到乙地有电车路线1条﹐公交车路线3条﹐自乙地到丙地有电车路线2条﹐公交车路线2条﹒今小明自甲地经乙地再到丙地﹐若甲地到乙地与乙地到丙地两次选择的路线中﹐电车与公交车路线各选一次﹐则有几种不同的路线安排？42. 某班举行数学测验﹐测验题分A ﹐B ﹐C 三题﹒结果答对A 题者有15人﹐答对B 题者有19人﹐答对C 题者有20人﹐其中A ﹐B 两题都答对者有1０人﹐B ﹐C 两题都答对者有1２人﹐C ﹐A 两题都答对者有8人﹐三题都答对者有３人﹒试问A ﹐B ﹐C 三题中至少答对一题者有多少人?43. 在1到６00的正整数中﹐是4﹐５和6中某一个数的倍数者共有几个？44. ﻫ用黑白兩種顏色的正方形地磚依照如右的規律拼圖形： 設n a 是第n 圖需用到的白色地磚塊數﹒ (1)寫下數列n a 的遞迴關係式﹒ (2)求一般項n a ﹒(3)拼第95圖需用到幾塊白色地磚﹒45． 欲将８位转学生分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹒ﻫ(１)若平均每班安排2人﹐共有几种分法？(2）若甲乙两班各安排3人﹐丙丁两班各安排１人﹐共有几种分法？４6． 求满足12320003000n n nn n C C C C <++++<的正整数n ﹒4７. (1）方程式9x y z ++=有多少组非负整数解﹖(２)方程式9x y z ++=有多少组正整数解﹖48. 旅行社安排两天一夜的渡假行程﹐其中往返渡假地点的交通工具有飞机﹑火车及汽车3种选择﹐而住宿有套房与小木屋2种选择﹒试问全部渡假行程﹐交通工具与住宿共有几种安排法﹖49. 老师想从10位干部中选出3人分别担任班会主席﹑司仪及纪录﹒试问有几种选法﹖50. 如果某人周末时﹐都从上网﹑打牌﹑游泳﹑慢跑与打篮球等５种活动选一种作休闲﹐那么这个月4个周末共有多少种不同的休闲安排呢﹖ ﻬ一、填充题 (6５格 每格０分 共0分)1. （1）1-;（2）2 ２． (1)１1２;(2）０;(3）４0 ３. （1)448０；（2）90- 4． 4８ ５. ３ 6. 468 ７.５6 8. ６0 9. 990３ 10． 44 11. (１）４８;(2)384 12. 228 13. ６ 14. ９0 15． 12- 16. 6 1７.{}4,4- 18. ８ 19. (1）314;（2）6８6;(3)1７2 20. 35 21. 266 ２２. （1)３7;（２)１8 ２3. 10098x - ２４． (1)45；(2)56０ 2５． ９ 26. 84 ２7． （1)５５5；（２)２77；（3)1111；(４)1111 28. 160 29. 2102011x x -+ 30．７80 31. (１)2６;(2）120 3２． 203４９ ３3. 462- 34. 16 35． 1４4 ３6. 12n n -⋅ 37． 1９2 38. 2１ 39． (1)２7;（2)81 40. ６3 41. 8 4２. 64 ４3. (１)56;（2)20 44. (1)369；(２)７6 4５. 12９ 46． 3７5６ 4７. 8６40 4８. 80 4９． 54 50. ２4０二、计算题 (75小题 每小题０分 共0分）111735(1)48;(2)48;(3)９６ 7． 150 8. 4x =﹐12y =﹐8n = ９. (１）3;(2）1８ 10. 2８ 11． 见解析 １2. 1219,190a a =-= １3. (2) 14. (１）3２;(2）6４ 1５． 27 16. 0.９86０８4 17. 101,4949,a b ==1c =-18. （1)见解析;(2)４ 19. （1)２8;(2)１4;(3）5７ ２0. 5２ 2１． 101,4949,a b ==156550c = 22． (A)(B)(C)(E)(F)(Ｇ) ２3. 7６ 24. （1)24a =﹐35a =﹐48a =﹐513a =； （2)248n n -+;(3）328 25. 66 26. (1)63;(２)252９9 2７. 5980 28. 45 29. 13 30. (１)72;(2)８64 31. (1)420;（2)366０ 3２. (１）12a =﹐24a =﹐38a =﹐414a =；（2)12n n a a n +=+⨯;（3)22n n -+ 3３. （1)２60;（2）3３80；(3）4３940 34. （1)72;(2)7２ 35. 18000 ３6. (1）16８0;（2)28０；(3)３78 ３７. 23 ３8． 6 3９． 9 ４0. 20 41. 8 42. 27 ４３. ２80 44. (1)15,2n n a a n -=+≥;（2)53n +;(3）４78 ４5． (1)25２0；(２)112０ 4６. 11 ４７. （1)55;(2）28 4８. 18 4９. 720 ５0. 625一、填充题 （65格 每格0分 共0分)1. (1)3631x x +=⇒=-﹒(2）()()2320120x x x x -+=⇒--=1,2x ⇒=﹐∴2a =﹒ 2. (1)设第1r +项为10x 项﹐则()()882816222rrr r r rr Cx C xx x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ﻫ 163102r r ⇒-=⇒=﹐∴10x 项之系数为()2822112C-=﹒ﻫ（２）设第1r +项为3x 项﹐则()55255102112233r rrr r r rr Cx C x x x ----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭710333r r ⇒-=⇒=（不合)﹐∴3x 项之系数为0﹒ (3)设第1r +项为常数项﹐则()5535515322122rrr r rrr Cx C xx x ----⎛⎫= ⎪⎝⎭15503r r ⇒-=⇒=﹐∴常数项为523240C =﹒3. (１)()()()()332238!22144803!3!2!x y z -⇒⨯⨯-=﹒ﻫ(2)()()()()2303223235!321031902!3!x y z x y x y -=⨯-=-﹐∴系数为90-﹒４． 所求为1161412148⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒ [另解]34!2484⨯=﹒ 5． {}1,2,3,4﹐{}1,2,3,5﹐{}1,2,4,5﹐共３个﹒ ６. 2000~3000中3的倍数有3000200033433⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐2000~3000中5的倍数有30002000120155⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐∴所求为33420167468+-=﹒7. 83563!P =﹒8． ()542160⨯⨯+=﹒ 9. ∵12n n a a n +=+﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯()1)21n n a a n -+=+⨯-ﻫ()()21121213232n n n a a n n n -⋅=+⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦﹐ﻫ∴210010010039903a =-+=﹒10． ∵T A T B ⊂⋃⊂﹐∴T 的个数为4522221632444+-=+-=﹒ １１. (1）5!2485⨯=﹒ﻫ(2)A a B b C c D d E e 1181614121384⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒ ［另解]55!1238452⨯⨯=﹒ 12. 全部－(恰有一空箱）－(恰有二空箱)()()333223114514524511H H C H H C H H ⨯-⨯---⨯ﻫ()67564545323228C C C C =⨯-⨯--=﹒13. 3216⨯⨯=﹒ 14. 任意排0-在首位7!6!5675610515904!2!4!2!22⨯⨯⨯=-=-=-=ﻫ﹒15. 展开后各实数项和为246810864210101010100246811111222222222C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ﻫ101010122C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭512110242=-=-﹒ﻫ［另解]原式()()10cos 60sin 60i =⎡-︒+-︒⎤⎣⎦()()cos 600sin 600i =-︒+-︒12=-+﹐ﻫ∴实数项和为12-﹒ 1６. ∵1213n n a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ﻫ∴1213n n a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-()1123n n n n a a a a +-⇒-=- 252表示数列1n n a a +-为首项23﹐公比23的等比数列﹐()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-ﻫ 111221332211213223313n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-﹐ﻫ∴()111223262313n n n n a -∞∞==⎛⎫-=== ⎪⎝⎭-∑∑﹒17. ∵{}2,5A B ⋂=﹐∴154a a +=⇒=﹐∴{}2,4,5A =﹐{}4,2,5B =-﹐{}4,2,4,5A B ⋃=-﹐ ∴()(){}4,4A B A B ⋃-⋂=-﹒1８. 1234 3214ﻫ２1３4 3２41ﻫ231４ ３４2１ﻫ2３４1 ４321ﻫ共8种﹒ 1９. 设1到1000的自然数所成的集合为基集U ﹐1到1000的自然數中﹐5的倍數者所成的集合為A ﹐ 而7的倍數者所成的集合為B ﹐ 則A B ⋂表示35的倍數者所成的集合﹐(1)即求()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂100010001000200142283145735⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒ﻫ（2)即求()()()()1000314686⎡⎤'''⋂=⋃=-⋃=-=⎢⎥⎣⎦n A B n A B n U n A B ﹒ﻫ(3)即求()()()20028172n A B n A n A B -=-⋂=-=﹒２0.7!354!3!=﹒ 21. 若一整数不能被2整除﹐则必不能被4﹑6整除﹐ﻫ故本题即求1到1００0正整数中﹐不能被2﹑3﹑5之一整除者的个数﹒设１到1０0０之正整数中﹐可被2﹑３﹑5整除者之集合分别为A ﹑B ﹑C ﹐则()10005002n A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10003333n B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10002005n C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10001666n A B ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦ﻫ﹐()100010010n A C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()10006615n B C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ ()10003330n A B C ⎡⎤⋂⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ﻫ()()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂(个）﹒ﻫ22. (1)①一个50⇒设10元x 个﹐5元y 个﹐1元z 个﹐则10550x y z ++=﹐共119753136+++++=种﹒ﻫ②二个５0⇒1种﹒∴所求为36137+=种﹒(2）设50元x 个﹐10元y 个﹐5元z 个﹐则50105100x y z ++=ﻫ 10220x y z ⇒++=﹐ﻫ共116118++=种﹒ 23. ()()()1002100100100121111111x x C x C x +=⎡+-⎤+=+-+-+⎣⎦……()10010010011C x +-+﹐∴1001x +除以()21x -的余式为()11001110098x x +-+=-﹒24. (1)3101088245H C C ===﹒ﻫ(2)8!560.3!2!3!= 25. 先考虑5不在千位﹐１不在百位﹐６不在十位﹐８不在个位的方法﹐14!43!62!41!10!9⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=ﻫ﹐∴最多再猜9次﹒26. {}{}2222,1100001,2,3,,100,=≤≤=正整數S x x ∴()100n S =﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐令()222212232336x k k ==⨯⨯=⨯⨯=﹐ﻫ则()()(){}22261,62,,616,⋂=⨯⨯⨯S T∴()16n S T ⋂=﹐故()1001684n S T -=-=﹒27. (1)所求为999955518⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒ﻫ(２)所求为999927736⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒ﻫ(3)()()()()n A B C n A B n C n A B C ⎡⋂⋃⎤=⋂+-⎡⋂⋂⎤⎣⎦⎣⎦ﻫ 5558332771111=+-=﹒ﻫ(４)()()()n A B C n A B A C ⎡⋂⋃⎤=⎡⋂⋃⋂⎤⎣⎦⎣⎦ﻫ()()()()n A B n A C n A B A C =⋂+⋂-⎡⋂⋂⋂⎤⎣⎦ ()555833n A B C =+-⋂⋂ 5558332771111=+-=﹒ ２8．()()()()()()236151030n n n n n n +---+15010050203010160=+---+=﹒2９．()()1010222211x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦()()10922101010911C x C x ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦……()()22210101021011C x C x C ⎡⎤+-+-+⎣⎦ﻫ故余式为()()210102210110211102011C x C x x x x -+=-++=-+﹒30．ﻫ①B ﹑D 同﹐54143240,A B D C E ⨯⨯⨯⨯=②B ﹑D 異﹐ 54333540,A B D C E ⨯⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有240540780+=种﹒31. ﻫ(1)走捷徑等於是走向只許向右與向上兩種﹒如圖﹐ 由A 開始朝任何方向走都有1種走法﹐走至交叉 點P 後﹐將會合箭頭的方法數全部加起來﹐即為走到該點的走法數（累加法）﹒如圖﹐走法有26種﹒ﻫ(2)走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←又不可重複走﹒如圖﹐由P 出發﹐依所規定的走法﹐走到隔鄰的鉛垂路線上立即停止﹐再決定走向﹒如此相鄰的兩鉛垂路線間的走法數相乘﹐即為所求的走法數﹒∴走法有120種﹒32. ()()23311x x ++++……()()()()()()203321332033311111111x x x x x x x ⎡⎤++-+-+⎢⎥⎣⎦++==+-﹐ﻫ所求即分子()2131x +展开式中15x 项系数ﻫ∴所求为21521201918172034954321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯﹒33．()()()()10121111k k x x x x =-=-+-+-+∑……()101x +-()()()11111111111x x x x⎡⎤----⎣⎦==--﹐展开式中5x 系数即为()1111x --展开式中6x 系数﹐ ∴所求为()61161462C --=-﹒()()()2320202012310.010.010.01C C C =+-+-+-+……()2020200.01C +-10.20.0190.00114=-+-+……0.81786≈﹐ ∴81716a b c ++=++=﹒35. 设一步一阶走x 次﹐一步二阶走y 次﹐则211x y +=﹐6!7!8!9!10!15!3!4!5!3!7!2!9!⇒+++++144=﹒ 36. 令12323n n n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅则()0111n n n n S nC n C C -=+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ﻫ+()0122n n n nn S n C C C n ⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅﹐∴12n S n -=⋅﹒ 3７.ﻫ()1142!4!192.⨯⨯⨯⨯=選位A a Bb38. 设白色x 块﹐黑色y 块﹐则27x y +=﹐⇒ﻫ6!5!4!116104215!2!3!3!+++=+++=﹒ ３９． (１)33311127C C C =﹒ (２)33333333321121121181C C C C C C C C C ++=﹒4０. 62163-=４1. 20202020123202320S C C C C =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 20202001192019S C C C =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅()202020200120220202S C C C +⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⨯﹐∴20102S =⨯﹐∵20log 220log 2200.3010 6.02==⨯=﹐∴202为7位数﹐∴S 为8位数﹒ 42. ①选一面4⇒﹐②选二面4312⇒⨯=﹐ﻫ③选三面43224⇒⨯⨯=﹐④选四面⇒432124⨯⨯⨯=﹐ﻫ由①②③④可得﹐共可作成412242464+++=种﹒ 43. （1）8!565!3!=﹒ (2)所求=全部()n C D -⋃()()()56A C B A D B A C D B =-⎡→→+→→-→→→⎤⎣⎦ﻫ 3!5!4!4!3!4!5612!3!2!3!2!2!2!2!2!⎛⎫=-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ﻫ ()5630241820=-+-=﹒不含中空：37934792334342222222222222223C C C C C C C C C C C C C C +++----左 上 右 下 左上 右上 左下 右下ﻫ631081263691836297=+++----=ﻫ ∴所求为72297369.+=ﻫ(2)含中空:边长为31⇒﹐边长为44⇒﹐边长为56⇒﹐边长为63⇒﹐∴共14个﹐不含中空:()()()()625128176352418523122362,⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+--⨯+⨯--=ﻫ 左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 ∴所求为146276+=个﹒ 4５． ①只用一色:3种﹐②只用二色:()()()()()()6,1,5,2,4,3,3,42,5,1,6∴()322!636,C ⋅⨯=上下色交換ﻫ③用三色:红+白+黄=7ﻫ 1 １ 1 剩4∴36443!690,⨯=⨯=H C 紅白黃排列∴共33690129++=种﹒４6. 444333222111234234234234146410H H H H H H H H H H H H ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯700049006604103756=-⨯+⨯-⨯+=﹒ ４７. 6A a Bb →→→坐法其他人坐法1162!6!8640⨯⨯⨯⨯=﹒4８． ()A B A P B A Q B A P Q B →-→→+→→-→→→ 10!4!6!5!5!4!5!16!4!2!2!4!2!3!2!3!2!2!2!3!2!⎛⎫⇒-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭()210901006080=-+-=﹒ ４9. aa 不相邻且llll 不相邻﹐可先排pmaa ﹐再安插llll ﹐ ①aa 排在一起时:3!6=种﹐再安插４个l ：p m a a △△△△△方法有434C =种﹒ﻫ ↑ﻫ l②aa 不排在一起时:p m △△△排法有322!6C ⨯=种﹐ﻫ 再安排4个l ：p a m a △△△△△方法有545C =种﹒ﻫ由①②可知﹐排法有646554⨯+⨯=种﹒[另解]llll ﻫ不相邻llll -不相邻且aa 相邻54444!3!606542!4!4!P P =⨯-⨯=-=﹒50. 6!35!2!34!2!2!13!2!2!2!240-⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=﹒二、计算题 (75小题 每小题０分 共0分)表示n a 为首项４﹐公差32的等差数列﹐ﻫ(1)2133114222a a =+=+=﹐ﻫ 3231137222a a =+=+=﹐ﻫ4333177222a a =+=+=﹐ﻫ 54317310222a a =+=+=﹒ﻫ(２)()()1335141222n a a n d n n =+-=+-⨯=+﹒ (３)()401240134024401213302k k a a a a =⎡⎤⨯+-⨯⎢⎥⎣⎦=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==∑﹒ 2． 从8名教师中选出4名教师去４个城市研习的方式可分为甲去和甲不去两种情形: (１）若是甲去研习﹐则丙也会去﹐而乙不去﹐因此需从剩下的5名教师中选出2人去参加研习﹐故选法有52C 种﹒（２）若是甲不去研习﹐则丙也不会去﹐而乙可去也可不去﹐ﻫ 因此需从剩下的6名教师中选出4名教师去参加研习﹐故选法有64C 种﹒综合这两种情形﹐从８名教师中选派4名教师的选法共有562425C C +=种﹒而选出４名教师后﹐分别安排到４个城市去研习﹐则安排的方式有4!种﹐ﻫ因此总共有254!600⨯=种选派方法﹒3． ()()()()()()()()()()6651423324666660123432332323232x y C x C x y C x y C x y C x y -=+-+-+-+- ()()()566656322C x y C y +-+-6542332456729291648604320216057664.x x y x y x y x y xy y =-+-+-+ 4．()()()()()()()()()44312213444444012342122121211x C x C x C x C x C -=+-+-+-+-43216322481x x x x =-+-+﹒5. SEN ＳE 的５个字母中取３种字母﹐其中任取3个字母可能取出「三个字母皆不相同」或「两个字母同另一不同」两种情形:ﻫ（1)选出三个字母皆不相同的选法有331C =种﹐排列的方法有3!种﹐因此排法有333!6C ⨯=种﹒ﻫ（２)选出两个字母同另一不同的选法有2211C C ⨯种﹐排列的方法有3!2!1!种﹐ 因此排法有22113!122!1!C C ⨯⨯=种﹒ 综合这两种情形﹐共有18种排法﹒6. （1)先走任一瓣都可以﹐故将3瓣视为3条路任意排列﹐方法3!种﹐又每一瓣走法有2种(两个方向)﹐故所求为323!⨯48=种﹒ﻫ（２)323!48⨯=﹒ (3)423!96⨯=﹒7. ()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂ﻫ253343422332111111111111C C C C C C C C C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ﻫ909636150.=+-=8. 555112n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6667n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ﻫ77714n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅6165xn y⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-7286xn y ⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅- ()()66167528n n -⇒=-﹐∴8n =﹐ 代入⇒8x y =﹐由⇒()877184C y y =8812y ⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭﹐即得12y =±﹐4x =±﹐ﻫ∴14,,82x y n ===（取正值)﹒９. (1)红+白＝41 1 剩２23223H C ⇒==﹒[另解] 红 白ﻫ 1322313.⇒共種（2)利用第(1)题的结果42318C ⇒⨯=﹒10. 用８步走完１0级楼梯﹐假设一级走了x 步﹐两级走了y 步﹐ 可列得8210x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6x =﹐2y =﹐因此用这样的走法共有8!286!2!=(种)﹒ 11.(1){}1,2,4,5,7,8,9A B ⋃=﹒ (2){}1,2,5A B ⋂=﹒ (3){}4,8A B -=﹒(4){}7,9B A -=﹒(5){}3,6,7,9,10'=-=A U A ﹒ (6){}3,4,6,8,10'=-=B U B ﹒(7)(){}3,6,10'⋃=A B ﹒(8){}3,6,10''⋂=A B ﹒(9)(){}3,4,6,7,8,9,10'⋂=A B ﹒(10){}3,4,6,7,8,9,10''⋃=A B ﹒１２. ()()()()191919182219192011111x x x x C x C x x ⎡⎤-+=-+=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦﹐∴()1919101119,a C C =-=-1919192021190.a C C C =+=1３. 可看作第一位男生有4位女生舞伴可选择﹐第二位男生有3位女生舞伴可选择﹐以此类推得舞会配对方法数共有44432124P =⨯⨯⨯=种﹒ﻫ故选(２)﹒ 14. （1)5232=﹒(2)①先往右42232⨯=﹐ﻫ ②先往左42232⨯=﹐ﻫ 共有323264+=﹒15. ﻫﻫ如图﹐共有27种方法﹒1６． ()()()()()77237777712370.99810.00210.0020.0020.0020.002C C C C =-=-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯ﻫ10.0140.0000840.0000002800.9860837200.986084.≈-+-=≈ 17. ()()1011012211x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦ﻫ()()()()()21011011009910121012101212101111x C x x C x x C x =+-+++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-ﻫ()10111c =-=-﹐ﻫ∵()1011x +展开式中才有x 项﹐∴1011101,a C ==ﻫ∵()1011x +及()100101211C x x -+展开式中均有2x 项﹐∴101101214949.b C C =-=18． (1）∵()()()()()()111!!11!1!1!1!1n n k k n C n C k n k k k n n k k n +++===+-+⋅+⋅-++﹐∴左式()()1111121011121.111nn n n n n k n k C C C C k n n +++++==⨯=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+++∑ﻫ(2）承(１）知﹐()1113121213111n n n n ++-=⇒-=++﹐得4n =﹒ 19. (1)□□：4728⨯=﹒ﻫ ↓6﹑７﹑8﹑9ﻫ(2)4５﹑4８﹑５4﹑57﹑60﹑66﹑6９﹑75﹑78﹑84﹑87﹑9０﹑9６﹑9９﹐共14个﹒ (3)4□7⇒个﹐ﻫ 5□7⇒个﹐∴1459a =﹐1358a =﹐1257a =﹐∴平均为57分﹒ 2０.ﻫ 上午 下午 1 2 3 4 5 6 7數 數 國 國 ╳ 體 體 2228⇒⨯⨯= 數 數 體 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯=數 數 體 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯=體 體數數國國 體 23212⇒⨯⨯=體體 數 數 ╳國國 2228⇒⨯⨯=∴共有8848412852++++++=種﹒２1． ()()()()1011012211x x x x +-=++-()()()()()()21011011009910121012101212101111x Cx x C x x Cx =+++-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()()()1011002411011x x x x f x =+-++⋅﹐其中()f x 为一多项式﹐ﻫ∴x 项的系数1011101,a C ==ﻫ2x 项的系数10121014949,b C =-=ﻫ 3x 项的系数10110031101156550.c C C =-⨯=23.∴共有441212218396676+++++++++=种走法﹒24. (1)∵()123n n a a n +=+-且15a =﹐ﻫ ∴()21213514a a =+⨯-=-=﹐ ()32223415a a =+⨯-=+=﹐()43233538a a =+⨯-=+=﹐ﻫ ()542438513a a =+⨯-=+=﹒ (2)∵()123n n a a n +=+-﹐ﻫ ∴()21213a a =+⨯- ()32223a a =+⨯-ﻫ()()121223)213n n n n a a n a a n ---=+⎡⨯--⎤⎣⎦+=+⎡⨯--⎤⎣⎦ﻫ()()()2112121315233482n n n a a n n n n n -⋅=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤--=+⨯-+=-+⎣⎦﹒ﻫ(３)20a =2204208328-⨯+=﹒25． x ﹐y ﹐z 的非负整数解共有331011212101010266H C C C +-====（组）﹒26. (1→有363⨯⨯个→有123⨯⨯个→有113⨯⨯个ﻫ ∴共有()()36323363⨯⨯+⨯+=个大于２30的三位数奇数﹒ （２)①个位数字为1者有()()()36121121⨯+⨯+⨯=个﹐为3﹑5者也各有21个﹐ﻫ 故个位数字的和为()21135189⨯++=﹒②十位数字为１﹑2者各有339⨯=个﹐为3者有()33312⨯+=个﹐为4﹑5者各有ﻫ ()331312⨯+⨯=个﹐ 故十位数字和为()()()9121231245171⨯++⨯+⨯+=﹒③百位数字为3﹑４﹑5者各有6318⨯=个﹐为2者有()()23139⨯+⨯=个﹐ﻫ 故百位数字和为()()1834592234⨯++⨯⨯=﹒ﻫ 由①②③可知﹐总和为()()1891711023410025299+⨯+⨯=﹒27． 由于515C =且565622125C C C C =-=-﹐于是利用帕斯卡尔定理111nn n m m m C C C ---=+﹐得ﻫ原式()66781920234516175C C C C C C =++++++- 778192034516175C C C C C =+++++-8819204516175C CC C =++++-21175C =-ﻫ 5980=﹒28. 设桌球俱乐部拟购买刀板﹐直拍与大陆拍各1x ﹐2x ﹐3x 把﹐ﻫ根据题意得1238x x x ++=﹒其非负整数解有33811010888245H C C C +-====（组）﹐故共有45种不同的购买方式﹒2９. 直线0ax by +=是恒过原点﹐且斜率为a b -的直线﹒因为斜率ab-为正值﹐所以,a b 必须异号﹐且,a b 皆不等于0﹒我们以a 的正负情形讨论如下﹕ﻫ（1）当0a >时﹐a 有3种选法﹐而此时0b <亦有3种选法﹐ 因此有339⨯=种选法﹒(2)当0a <时﹐a 有3种选法﹐而此时0b >亦有3种选法﹐ﻫ 因此有339⨯=种选法﹒ 但是ﻫ①当()()()(),2,1,4,2,6,3a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -=﹒②当()()()(),3,6,2,4,1,2a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -+=﹒ﻫ③当()(),2,2a b =-﹐()2,2-时﹐均表示同一条直线0x y -=﹒ﻫ因此需扣除重复计算的2215++=条直线﹒ 故共可表出99513+-=条相异的直线﹒３０． ﻫ(1)從A 走到P 後 ﹐方法有2種﹐完成A 到P 的各路線﹐方法有3!種﹐ 完成P 到B 的各路線﹐方法有3!種﹐ ∴共有()223!3!23!⨯⨯=⨯72=種﹒(2)A 到P 後 ﹐方法2種﹐P 到Q 後 ﹐方法2種﹐∴共有()32223!3!3!23!⨯⨯⨯⨯=⨯864=種﹒ABA Q P B3１. (1)B ﹑D 同色﹐A BD C E →→→ﻫ 5433180⨯⨯⨯=﹐ﻫ B ﹑D 异色﹐A B D C E →→→→54322240⨯⨯⨯⨯=﹐ ∴共有180240420+=种涂法﹒(2)B ﹑D ﹑F 同色﹐A BDF C E G →→→→ﻫ 54333540⨯⨯⨯⨯=﹐ﻫ B ﹑D ﹑F 异色﹐A B D F C EG →→→→→→5432222960⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹐ﻫ B ﹑D 同色﹐F 异色﹐A BD F C E G →→→→→ﻫ 543322720⨯⨯⨯⨯⨯=﹐同理B ﹑F 同色﹐D 异色;D ﹑F 同色﹐B 异色涂法也各有７2０种﹐ ∴共有54096072033660++⨯=种﹒ 32．(1)12a =24a = 38a = 414a =1n = 2n = 3n = 4n =(2)12a =﹐212a a =+﹐3222a a =+⨯﹐4323a a =+⨯﹐∴12n n a a n +=+⨯﹒ﻫ(3)∵12n n a a n +=+⨯且12a =﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯ﻫ ()1222n n a a n --=+⨯-ﻫ ()1)21n n a a n -+=+⨯-ﻫ()()21121212222n n n a a n n n -⨯=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦∴22n a n n =-+﹒３3. (1) ﻫ ①A ﹑C 同色﹐541480,A B C D⨯⨯⨯=ﻫ②A ﹑C 异色﹐5433180,A B C D⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有80180260+=种﹒(２)由(１）可知[]541433⨯⨯⨯+⨯﹐推得[]25414333380⨯⨯⨯+⨯=﹒ﻫ(3)[]354143343940⨯⨯⨯+⨯=﹒ 34．(1)休旅車及跑車相間排列的情形﹐可分為兩 種情形﹐如圖所示：3輛休旅車排成一列共有3!6=種方法﹐同樣地﹐3輛跑車排成一列共有3!6=種方法﹐ 因此根據乘法原理﹐共有26672⋅⋅=種排法﹒ (2)因為休旅車及跑車要各自排在一起﹐如圖所示：所以可以將3輛休旅車看成「1」輛﹐3輛跑車看成「1」輛﹐變成2輛的排列問題﹐有2!2=種方法﹒又3輛休旅車之間有3!6=種排列方法﹐3輛跑車之間有3!6=種排列方法﹒故共有2!3!3!26672⋅⋅=⋅⋅=種排法﹒3５. 选出2本英文书3本中文书的方法有6523150C C ⋅=(种）﹐ﻫ将此5本书作直线排列﹐有5!种排法﹐ﻫ故所求排法为65235!18000C C ⋅⋅=(种）﹒36.(1)從9本中取出3本給甲﹐取法有93C 種；再從其餘的6本取出3本給乙﹐取法有63C 種；剩下的3本給丙﹐即33C 種﹒因此﹐全部分配方式共有9633331680C C C ⋅⋅=（種）﹒(2)先假設袋子上依序標示有甲﹐乙﹐ 丙的記號﹐則有963333C C C ⋅⋅種分 法﹐但事實上袋子是相同的﹐因此每3!種只能算1種﹐如圖所示﹒故分配方式共有96333316802803!6C C C ⋅⋅==（種）﹒ (3)仿上述作法﹐先假設袋子依序有甲﹐乙﹐丙的記號﹐甲得5本﹐乙丙各得2本的分法有942522C C C ⋅⋅種﹒因袋子是無記號的﹐所以如圖的2!種其實是同1種﹒故分配方式共有9425223782!C C C ⋅⋅=（種）﹒37．設集合A 表示參加象棋比賽的同學﹐ 集合B 表示參加圍棋比賽的同學﹐ 集合A B ⋃表示參加棋藝活動的同學﹐集合A B ⋂表示參加兩種棋藝活動的同學﹒由題意知()34n B =﹐()42n A B ⋃=﹐()15n A B ⋂=﹒ 利用()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂﹐得()423415n A =+-﹐即()23n A =﹒ 故這個班級中共有23位同學參加象棋比賽﹒38． 因为()()()332211x x x x ++=++﹐所以利用二项式定理将乘积展开﹐得()()()()()3321232320111A x x C x C x x ++=++部分+()()()1233232311B C x x C x +++部分﹒ﻫ由于上式中A 部分的各项次数均超过2次﹐因此全部展开式中2x 的系数﹐就是B 部分的展开式中的2x 系数﹒ﻫ又B 部分的展开式为()()223243232133137631x x x x x x x x x x ++++++=++++﹐ 故全部展开式中2x 的系数为6﹒ 39． 因为()()()332222x x x x -+=-+﹐所以利用二项式定理将乘积展开得()()()()()()()()()()332112323232323212322222A B xx C x x C x x C x x C x x -+=-+-+-+-部分部分上述()()322x x -+展开式中B 部分各项次数低于4次﹐因此要计算展开式中4x 的系数只要计算A 部分各项展开式即可﹐又A 部分展开式为ﻫ()()()()32132320122C x x C x x -+-()()654343233322x x x x x x x =-+-+-+⨯6543239136x x x x x =-+-+ﻫ故4x 的系数为9﹒ 4０. 将２40作质因子分解﹐得411240235=⨯⨯﹒ﻫ因为２4０的正因子必为235a b c ⨯⨯的形式﹐其中{}0,1,2,3,4a ∈﹐{}0,1b ∈﹐{}0,1c ∈﹐ﻫ所以a 有5种选择﹐b 有2种选择﹐c 有2种选择﹒利用乘法原理﹐得240的正因子个数有52220⨯⨯=个﹒41. 依题意图示如下：ﻫ ﻫ其中实线表电车路线﹐虚线表公交车路线﹒ﻫ因为电车与公交车路线各选一次﹐所以路线安排可分成以下二类：ﻫ(１）先电车再公交车:利用乘法原理﹐得有122⨯=种路线﹒ﻫ(2)先公交车再电车:利用乘法原理﹐得有326⨯=种路线﹒ 由加法原理得知﹐共有268+=种路线安排﹒4２. 设A ﹐B ﹐C 分别表示答对A ﹐B ﹐C 题的人组成的集合﹒由题意知()15n A =﹐()19n B =﹐()20n C =﹐()10n A B ⋂=﹐()12n B C ⋂=﹐()8n C A ⋂=﹐()3n A B C ⋂⋂=﹒ﻫ利用排容原理﹐得()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂ﻫ()n A B C +⋂⋂151920101283=++---+27=﹒ﻫ故三题中至少答对一题者有２7人﹒43．ﻫ設集合A ﹐B ﹐C 分別表示從1到600的自然數當中的4﹐5,6倍數所形成的集合﹐即()150n A =﹐()120n B =﹐()100n C =﹐()30n A B ⋂=﹐()20n B C ⋂=﹐()50n C A ⋂=﹐()10n A B C ⋂⋂=利用排容原理()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂ ()n A B C +⋂⋂﹐得()15012010030205010280n A B C ⋃⋃=++---+=﹒ 故1到600的自然數中﹐是4﹐5﹐6中某一個數的倍數﹐共有280個﹒44. (1)n a 代表「第n 个图需用到白色地砖的块数」﹐我们可以发现图形每次均增ﻫ 加1个黑色地砖与５个白色地砖﹐因此15n n a a -=+﹐2n ≥﹒ﻫ(2)而上述这些图形中﹐白色地砖的个数可视为一个首项为8﹐公差为5的等ﻫ 差数列﹐故()81553n a n n =+-⨯=+﹒ﻫ（３)拼第9５图所需用到白色地砖数955953478a =⨯+=﹒ 4５. （１)先将这8位转学生分成四堆﹐每堆２人﹐ﻫ 再将这四堆分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹐ﻫ 故总共有86428642222222224!25204!C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅=种分法﹒ﻫ（2)先将这8位转学生分成四堆﹐两堆3人﹐两堆1人﹐再将３人的两堆分发到甲乙两班﹐1人的两堆分发到丙丁两班﹐ﻫ 故总共有85218521331133112!2!11202!2!C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯⨯=⋅⋅⋅=⋅种分法﹒46. 因为01232n n n nn n n C C C C C +++++=﹐ﻫ所以1230221n n nn n n nn C C C C C ++++=-=-﹒ﻫ即原式可改写为2000213000n <-<﹐ﻫ即200123001n <<﹐得11n =﹒４7.(1)3119911!55 9!2!H C===组﹒ﻫ(2)338936628H H C-===组﹒48. 因为去程有３个交通工具可以选择﹐住宿则有２个方式可供选择﹐而回程亦有3个交通工具可以选择﹒因此由乘法原理得共有32318⨯⨯=种安排法﹒49. 10310!1098720 7!P==⨯⨯=种选法﹒5０．由题意知每个周末都有５种休闲活动可以选择﹒利用乘法原理﹐得4个周末共有5555625⨯⨯⨯=种休闲安排﹒。

排列组合的试题及答案高中一、选择题1. 从5个不同的小球中取出3个进行排列，共有多少种不同的排列方式？A. 20种B. 60种C. 120种D. 240种2. 有5个人排成一排，其中甲乙两人必须相邻，共有多少种不同的排法？A. 48种B. 60种C. 120种D. 240种二、填空题3. 用0,1,2,3,4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中个位数字为1的共有多少个？4. 某班有10名同学，需要选出3名代表，有多少种不同的选法？三、解答题5. 某公司有10名员工，需要选出5名员工组成一个工作小组，要求其中至少有1名女性员工。

如果公司中有5名女性员工和5名男性员工，问有多少种不同的组合方式？6. 某校有5个社团，每个学生最多可以参加2个社团，问有多少种不同的参加方式？答案一、选择题1. 答案：B解析：从5个不同的小球中取出3个进行排列，使用排列公式A_{5}^{3} = 5 × 4 × 3 = 60。

2. 答案：A解析：将甲乙两人看作一个整体，有4!种排法，再将甲乙两人内部排列，有2!种排法，所以总共有4! × 2! = 48种排法。

二、填空题3. 答案：18解析：首先确定百位，有4种选择（不能选0和1），然后确定十位，有3种选择（不能与百位相同），最后确定个位为1，所以共有 4 × 3 = 12种。

但是，由于0不能作为百位，所以需要减去3种情况，最终答案为 12 - 3 = 9种。

4. 答案：120解析：从10个人中选出3个人，使用组合公式 C_{10}^{3} = 10! / (3! × (10 - 3)!) = 120。

三、解答题5. 答案：252种解析：首先计算所有可能的组合数，即 C_{10}^{5} = 252。

然后计算没有女性员工的组合数，即 C_{5}^{5} = 1。

所以至少有1名女性员工的组合数为 252 - 1 = 251。

数字排列组合练习题数字排列组合是数学中一个常见的概念，也是很多人在数学考试中遇到的难题之一。

通过练习数字排列组合题目，不仅可以加深对数字排列组合的理解，还可以提高解题能力和逻辑思维能力。

本文将为您提供一些常见的数字排列组合练习题，帮助您更好地掌握这个知识点。

练习题一：排列问题1. 有3个数字：1、2、3，能组成多少个不重复且无顺序的三位数？2. 有4个数字：1、2、3、4，能组成多少个不重复且无顺序的两位数？3. 有5个数字：1、2、3、4、5，能组成多少个不重复且无顺序的四位数？练习题二：组合问题1. 有4个数字：1、2、3、4，能组成多少个不重复的三位数？2. 有5个数字：1、2、3、4、5，能组成多少个不重复的两位数？3. 有6个数字：1、2、3、4、5、6，能组成多少个不重复的四位数？练习题三：排列组合问题1. 有3个数字：1、2、3，能组成多少个不重复的三位数，且其中恰好有一个数字相同？2. 有4个数字：1、2、3、4，能组成多少个不重复的两位数，且其中恰好有两个数字相同？3. 有5个数字：1、2、3、4、5，能组成多少个不重复的四位数，且其中恰好有三个数字相同？练习题四：应用问题1. 一组数字：0、1、2、3，能组成多少个不重复的四位数，且其中偶数位数字之和等于奇数位数字之和？2. 一组数字：0、1、2、3、4、5，能组成多少个不重复的四位数，且其中个位数字是十位数字的两倍？3. 一组数字：1、3、5、7、9，能组成多少个不重复的五位数，且其中千位数字是百位数字的三倍？练习题五：拓展问题1. 给定4个数字：1、2、3、4，能组成多少个不重复的三位数，且其中恰好有一个数字相等？2. 给定4个数字：1、2、3、4，能组成多少个不重复的两位数，且其中没有数字相等？3. 给定5个数字：1、2、3、4、5，能组成多少个不重复的四位数，且其中恰好有三个数字相等？以上是一些常见的数字排列组合练习题，通过不断练习，相信您会逐渐掌握数字排列组合的规律，并提高解题的能力。

排列组合一、选择题：1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，那么不同放法种数有A ．81B ．64C ．12D ．142．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有A ．33AB ．334AC ．523533A A A -D ．2311323233A A A A A + 3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是A.20 B ．16 C ．10 D ．64．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是A ．男生2人女生6人B ．男生3人女生5人C ．男生5人女生3人D ．男生6人女生2人. 5． 6．A ．180B ．90C ．45D ．3606．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有A ．60个B ．48个C ．36个D ． 24个7．3张不同的电影票全局部给10个人,每人至多一张,那么有不同分法的种数是A ．1260B ．120C ．240D ．720 8．n N ∈且55n <,那么乘积(55)(56)(69)n n n ---等于A ．5569nn A -- B ．1569n A - C ．1555n A - D ．1469n A -9．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为A ．120B ．240C ．280D ．6010．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个A ．3B ．4C ．6D ．711．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，那么TS的值为 A.20128 B ．15128 C ．16128 D ．2112815．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，那么有 种不同排法. 〔8640 〕17．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个. 〔840〕 18．用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总与为288,那么x = . 〔2〕5．假设2222345363,n C C C C ++++=那么自然数n =_____.(13)19．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果？( 2n )20．集合{}1,0,1S =-,{}1,2,3,4P =,从集合S ,P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个. (23)22．{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，那么含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____.10523．8张椅子排成,有4个人就座,每人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种_______ 48025．7个人排成一排，在以下情况下，各有多少种不同排法？ 〔1〕甲排头:〔2〕甲不排头，也不排尾: 〔3〕甲、乙、丙三人必须在一起: 〔4〕甲、乙之间有且只有两人: 〔5〕甲、乙、丙三人两两不相邻: 〔6〕甲在乙的左边〔不一定相邻〕:〔7〕甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序: 〔8〕甲不排头，乙不排当中:解：〔1〕甲固定不动，其余有66720A =，即共有66720A =种；〔2〕甲有中间5个位置供选择，有15A ，其余有66720A =，即共有16563600A A =种； 〔3〕先排甲、乙、丙三人，有33A ，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于5人的全排列，即55A ，那么共有5353720A A =种；〔4〕从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有25A ，甲、乙可以交换有22A ，把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，那么共有224524960A A A =种；〔5〕先排甲、乙、丙之外的四人，有44A ，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排这五个空位，有35A ，那么共有34541440A A =种；〔6〕不考虑限制条件有77A ，甲在乙的左边〔不一定相邻〕，占总数的一半， 即种；〔7〕先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有47A ，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即47840A =〔8〕不考虑限制条件有77A ，而甲排头有66A ，乙排当中有66A ，这样重复了甲排头，乙排当中55A 一次，即76576523720A A A -+=1．6个人坐在一排10个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种解：6个人排有66A 种, 6人排好后包括两端共有7个“间隔〞可以插入空位.(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔〞中,有4735C =种插法，故空位不相邻的坐法有646725200A C =种。

排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。

排列组合试题及答案一、选择题1. 有5个人站成一排，其中甲乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？A. 120B. 240C. 480D. 720答案：B2. 从6个不同的球中选3个球排成一排，有多少种不同的排法？A. 20B. 30C. 60D. 120答案：C二、填空题1. 将5个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，共有______种不同的放法。

答案：1502. 有4个不同的球和4个不同的盒子，每个盒子放一个球，共有______种不同的放法。

答案：4^4 = 256三、简答题1. 某班有50名学生，现在要选出5名学生代表参加学校活动，有多少种不同的选法？答案：从50名学生中选出5名学生代表，这是一个组合问题。

根据组合公式 C_n^m = n! / [m!(n-m)!]，其中 n=50, m=5，计算得 C_50^5 = 50! / [5!(50-5)!]。

2. 某公司有10名员工，需要选出3名员工组成一个团队，有多少种不同的团队组合？答案：这是另一个组合问题，根据组合公式 C_n^m = n! / [m!(n-m)!]，其中 n=10, m=3，计算得 C_10^3 = 10! / [3!(10-3)!]。

四、计算题1. 一个班级有30名学生，现在要选出一个由5名学生组成的委员会。

如果甲和乙两名学生必须同时被选中，那么有多少种不同的委员会组成方式？答案：首先，甲和乙两名学生已经被选中，剩下3个位置需要从28名学生中选出3名学生，这是一个组合问题。

根据组合公式，C_28^3 =28! / [3!(28-3)!]。

2. 有7个不同的字母，需要组成一个3个字母的单词，有多少种不同的单词可以组成？答案：组成一个3个字母的单词，这是一个排列问题。

根据排列公式P_n^m = n! / (n-m)!，其中 n=7, m=3，计算得 P_7^3 = 7! / (7-3)!。

五、应用题1. 某公司有5个部门，需要选出3个部门进行合作。

排列问题一、无约束条件的排列问题1从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2 10个人走进只有6把椅子的屋子，若每把椅子必须且只须坐一个人，问有多少种不同的排法？3 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？二、有约束条件的排列问题（Ⅰ）数字排列问题1 用0到9这十个数字可以组成多少个无重复数字的四位数？2 用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？（Ⅱ）相邻问题——捆绑法1 A,B,C,D,E五人并排站在一起，若A、B必须相邻（且B在A的右边），则有多少种不同的排法？2 有8本不同的书，其中科技书3本，文艺书2本，其它书3本，将这些书排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法有多少种？（Ⅲ）不相邻问题——插空法1、7名师生站成一排表演节目，其中老师1人，男生4人，女生2人，问4名男生互不相邻有多少种不同的站法？2要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？3、4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有多少种？（Ⅳ）定序问题缩倍法1、有5个节目的节目单中要插入2个新节目，保证原有节目的顺序不变的排法有多少种？2、由数字0、1、2、3、4组成的五位数，使个位数字比百位数字小，则可以组成多少个五位数？3、有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一排，要求从左到右女生从高到矮的排列，则有多少种不同的排法（Ⅴ）分排问题1、6个不同的元素排成前后两排，第一排3个元素，第二排3个元素，则不同的排法有多少种？2、7个人坐两排座位，第一排坐3个人，第二排坐4个人，求不同的排法有多少种？3、3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队数？（1）全体站成一排，其中甲只能站中间（中间或两端）；（2）全体站成一排，甲、乙必须在两端；（3）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；（4）全体站成一排，男、女各站在一起；（5）全体站成一排，男生必须站在一起；（6）全体站成一排，男生不能排在一起；（7）全体站成一排，男、女各不相邻；（8）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；（9）全体站成一排，甲必须在乙的前面；（10）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变；（11）站成前后两排，前排4人，后排3人。

排列组合练习题（附答案）1、如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案()A. 180种B. 240种C. 360D. 420种2、4名同学争夺三项冠军，冠军获得者的可能种数是()A、43 B. A43 C. C43 D. 43、某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,那么不同的坐法种数为( )A.12B.16C.24D.324、从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A.24B.18C.12D.65、两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为.6、7人排成一列,甲必须在乙的后面(可以不相邻),有种不同的排法.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则有个七位数符合条件.8、用0,1,2,3,4,5六个数字:(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?(3)能组成多少个比1 325大的四位数?9、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.10、有四个男生，三个女生按下列要求排队拍照，各有多少种不同的排列方法？(1)七个人排成一列，四个男生必须连排在一起；(2)七个人排成一列，三个女生中任何两个均不能排在一起；(3)七个人排成一列，甲、乙、丙三人顺序一定；(4)七个人排成一列，但男生必须连排在一起，女生也必须连排在一起，且男甲与女乙不能相邻．答案与解析1、答案D解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A 55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A 54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A 53种，故最多有A 55+2A 54+A 53=420种栽种方案．故选D ．2、答案A解：每一项冠军的情况都有4种，故四名学生争夺三项冠军，分三步，4×4×4=43.获得冠军的可能的种数是43，故选A ．3、答案C将三个人插入五个空位中间的四个空当中,有A 43=24种不同的坐法.4、答案B若从0,2中选出的是2,则2可以在百位也可以在十位,所以有A 32×A 21=12个奇数;若从0,2中选出的是0,则0只能在十位,所以有A 32=6个奇数,所以共有12+6=18个奇数.5、答案 24两位爸爸排在首尾有A 22种排法,两个小孩排在一起有A 22种排法,小孩与两位妈妈排列有A 33种排法,所以共有A 22·A 22·A 33=24种排法.6、答案25207人排队,2人顺序固定,共有A 77A 22=5 0402=2 520种排法.7、答案 210若1,3,5,7的顺序不定,有A 44=24种排法,故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的一种,故有A 77A 44=210个七位数符合条件. 8、(1)符合要求的四位偶数可分为三类.第一类:0在个位时有A 53个;第二类:2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个有A 41种,十位和百位从余下的数字中选有A 42种,于是有A 41·A 42个;第三类:4在个位时,与第二类同理,也有A 41·A 42个.由分类加法计数原理知,无重复数字的四位偶数共有A 53+A 41·A 42+A 41·A 42=156个.(2)五位数中5的倍数的数可分为两类:个位上的数字是0的五位数有A 54个;个位上的数字是5的五位数有A 41·A 43个.故所求数共有A 54+A 41·A 43=216个.(3)比1 325大的四位数可分为三类.第一类:千位数字分别为2,3,4,5时,共A 41·A 53个;第二类:千位数字为1,百位数字分别为4,5时,共有A 21·A 42个;第三类:千位数字为1,百位数字为3,十位数字分别为4,5时,共有A 21·A 31个.由分类加法计数原理知,比1 325大的四位数共有A 41A 53+A 21A 42+A 21A 31=270个.9、（1）22264233C C C A =15(种) （2）615233C C C =60(种)（3）41162122C C C A =15（种） 10、解：(1)不妨先将四个男生看作一个整体，连同三个女生共4个元素进行排列，有A 44种排法，然后将4个男生全排列，有A 44种排法，根据分步乘法计数原理有A 44A 44=576(种)不同的排法；(2)先排男生，有A 44种排法，再在他们之间和左右两端共5个空档中插入3个女生，有A 53种排法，故共有A 44A 53=1440(种)；(3)先不考虑三人的顺序，任意排列有A 77种，其中每A 33种有且只有1种符合甲、乙、丙三人顺序一定，因此共有A 77A 33=840(种)； (4)先将男生和女生看作两个整体，男生、女生分别全排列，有A 22A 44A 33种排法，再考虑男甲与女乙相邻，有A 22A 33A 22种，故有A 22A 44A 33−A 22A 33A 22=264(种)．。

圆梦教育中心排列组合专项训练1.题1 (方法对比，二星)题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？ 解析：“名额无差别”——相同元素问题(法1)每所学校各分一个名额后，还有2个名额待分配，可将名额分给2所学校、1所学校，共两类：2133C C +(种)(法2——挡板法)相邻名额间共4个空隙，插入2个挡板，共：246C =(种) 注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别)同类题一 题面：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？答案：69C详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。

相邻名额之间形成9个空隙。

在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。

同类题二题面：求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。

答案：36. 详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36（个）。

2.题2 (插空法，三星)题面：某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种. 答案：60，48同类题一题面：6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？答案：A 66·A 47种.详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．同类题二 题面：有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种答案：C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 24＝72种排法，故选C.3．题3 (插空法，三星)题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．1]没有坐人的7个位子先摆好，[2](法1——插空)每个男生占一个位子，插入7个位子所成的8个空当中，有：58A =6720种排法.(法2)[1]5个男生先排好：55A ；[2]每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当作5个排好的元素，共有6个空，剩下的3个元素往里插空，每个空可以插1个、2个、3个元素，共有：3216662C C C ++种，综上：有55A (3216662C C C ++)=6720种.同类题一题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？ 答案：30。