湖南省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编--专题11 二次函数(解答题)(解析版)

2021年湖南省涟源市中考数学总复习：二次函数
一．选择题（共50小题）
1．关于二次函数y＝x2+6x+11的图象的性质，下列结论正确的是（）A．对称轴为y＝﹣3
B．顶点坐标为（﹣3，2）
C．当x＜3时，y随x的增大而增大
D．它与x轴有两个交点
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m＝0没有实数根，下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③m＞﹣2；④二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0），最小值为﹣2，其中正确的个数有（）
A．1B．2C．3D．4
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，顶点坐标为（﹣1，m），与x轴
的一个交点的坐标为（﹣3，0），给出以下结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③若B（−5 2，
y1）、C（−1
2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④当﹣3＜x＜0时方程ax
2+bx+c＝t
有实数根，则t的取值范围是0＜t≤m．其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个
4．将抛物线y=1
2x
2+1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）
A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．y=−1
2x
2+1D．y=−1
2x
2﹣1
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;2023年湖南省中考数学真题分类汇编：一次函数、二次函数一、选择题1．（2023·长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）A．y=2x+1B．y=x―4C．y=2x D．y=―x+1 2．（2023·邵阳）已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线y=a x2+4ax+3（a是常数，a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=―2；②点(0，3)在抛物线上；③若x1>x2>―2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=―2其中，正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2023·株洲）如图所示，直线l为二次函数y=a x2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）A．b恒大于0B．a，b同号C．a，b异号D．以上说法都不对4．（2023·衡阳）已知m>n>0，若关于x的方程x2+2x―3―m=0的解为x1，x2(x1<x2)．关于x的方程x2+2x―3―n=0的解为x3，x4(x3<x4)．则下列结论正确的是（ ）A．x3<x1<x2<x4B．x1<x3<x4<x2C．x1<x2<x3<x4D．x3<x4<x1<x2二、填空题5．（2023·郴州）在一次函数y=(k―2)x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 （任写一个符合条件的数即可）．6．（2023·郴州）抛物线y=x2―6x+c与x轴只有一个交点，则c= ．三、综合题7．（2023·常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A(―1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1．5（1）求二次函数的表达式；（2）求四边形ACDB的面积；（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．8．（2023·株洲）某花店每天购进16支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理、该花店记录了10天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表：日需求量n131415161718天数112411（1）求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；（2）当n<16时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：y=10n―80；当n≥16时，日利润为80元．①当n=14时，间该花店这天的利润为多少元？②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率．9．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a x2+bx+c的图象与x轴交于点A(―2，0)和点B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，6)．点D为线段BC上的一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，求△AOD周长的最小值；（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．10．（2023·郴州）已知抛物线y=a x2+bx+4与x轴相交于点A(1，0)，B(4，0)，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；的值；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC？若存在，求出点Q的坐（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12标；若不存在，请说明理由．11．（2023·邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x2+x+c经过点A(―2，0)和点B(4，0)，且与直线l：y=―x―1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．12．（2023·株洲）已知二次函数y=a x2+bx+c(a>0)．（1）若a=1，c=―1，且该二次函数的图象过点(2，0)，求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO =23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =―a 2―b 2，求2a +b 的值．13．（2023·岳阳）已知抛物线Q 1：y =―x 2+bx +c 与x 轴交于A(―3，0)，B 两点，交y 轴于点C(0，3)．（1）请求出抛物线Q 1的表达式．（2）如图1，在y 轴上有一点D(0，―1)，点E 在抛物线Q 1上，点F 为坐标平面内一点，是否存在点E ，F 使得四边形DAEF 为正方形？若存在，请求出点E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，将抛物线Q 1向右平移2个单位，得到抛物线Q 2，抛物线Q 2的顶点为K ，与x 轴正半轴交于点H ，抛物线Q 1上是否存在点P ，使得∠CPK =∠CHK ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2023·衡阳）如图，已知抛物线y =a x 2―2ax +3与x 轴交于点A(―1，0)和点B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，过B 、C 两点作直线．（1）求a的值．（2）将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO=45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．15．（2023·怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x2+bx―8与x轴交于A(―4，0)、B(2，0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y=―（3）设直线l1：y=kx+k―35437上总存在一点E，使得∠MEN为直角．4答案解析部分1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】3（答案不唯一）6．【答案】97．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x 轴交于A(―1，0)，B(5，0)两点．∴设二次函数的表达式为y =a(x +1)(x ―5)∵AO =1，tan ∠ACO =15，∴OC =5，即C 的坐标为(0，5)则5=a(0+1)(0―5)，得a =―1∴二次函数的表达式为y =―(x +1)(x ―5)；（2）解：y =―(x +1)(x ―5)=―(x ―2)2+9∴顶点的坐标为(2，9)过D 作DN ⊥AB 于N ，作DM ⊥OC 于M ，四边形ACDB 的面积=S △AOC +S 矩形OMDN ―S △CDM +S △DNB=12×1×5+2×9―12×2×(9―5)+12×(5―2)×9=30；（3）解：如图，P 是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO =∠PBC 时，连接PB ，过C 作CE ⊥BC 交BP 于E ，过E 作EF ⊥OC 于F ，∵OC =OB =5，则△OCB 为等腰直角三角形，∠OCB =45°．由勾股定理得：CB =52，∵∠ACO =∠PBC ，∴tan ∠ACO =tan ∠PBC ，即15=CE CB =CE 52，∴CE =2由CH ⊥BC ，得∠BCE =90°，∴∠ECF =180°―∠BCE ―∠OCB =180°―90°―45°=45°．∴△EFC 是等腰直角三角形∴FC =FE =1∴E 的坐标为(1，6)所以过B 、E 的直线的解析式为y =―32x +152令y =―32x +152y =―(x +1)(x ―5)解得x =5y =0，或x =12y =274所以BE 直线与抛物线的两个交点为B(5，0)，P(12，274)即所求P 的坐标为P(12，274)8．【答案】（1）解：当n <16时，该种花需要进行作废处理，则该种花作废处理情形的天数共有：1+1+2=4（天）；（2）解：①当n <16时，日利润y 关于n 的函数表达式为y =10n ―80，当n =14时，y =10×14―80=60（元）；②当n <16时，日利润y 关于n 的函数表达式为y =10n ―80；当n≥16时，日利润为80元，80>70，当y=70时，70=10n―80解得：n=15，由表可知n=15的天数为2天，则该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为2．9．【答案】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x―6)，将(0，6)代入上式得：6=a(0+2)(0―6)，a=―1 2所以抛物线的表达式为y=―12x2+2x+6；（2）解：作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，∵B(6，0)，C(0，6)，∠BOC=90°，∴OB=OC=6，∵O、E关于直线BC对称，∴四边形OBEC为正方形，∴E(6，6)，连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|=|DO|，此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，AE=AB2+BE2=82+62=10∵△AOD的周长为DA+DO+AO，AO=2，DA+DO的最小值为10，∴△AOD的周长的最小值为10+2=12；（3）解：由已知点A(―2，0)，B(6，0)，C(0，6)，设直线BC的表达式为y=kx+b，将B(6，0)，C(0，6)代入y=kx+b中，6k+b=0b=0，解得k=―1b=6，∴直线 BC 的表达式为 y =―x +6 ，同理可得：直线 AC 的表达式为 y =3x +6 ，∵PD ∥AC ，∴设直线 PD 表达式为 y =3x +a ，由（1）设 P(m ，―12m 2+2m +6) ，代入直线 PD 的表达式得： a =―12m 2―m +6 ，∴直线 PD 的表达式为： y =3x ―12m 2―m +6 ，由 y =―x +6y =3x ―12m 2―m +6 ，得 x =18m 2+14m y =―18m 2―14m +6 ，∴D(18m 2+14m ，―18m 2―14m +6) ，∵P ，D 都在第一象限，∴S =S △PAD +S △PBD =S △PAB ―S △DAB=12|AB|[(―12m 2+2m +6)―(―18m 2―14m +6)]=12×8(―38m 2+94m)=―32m 2+9m =―32(m 2―6m)=―32(m ―3)2+272，∴当 m =3 时，此时P 点为 (3，152) .S 最大值=272．10．【答案】（1）解：∵抛物线y =a x 2+bx +4与x 轴相交于点A(1，0)，B(4，0)，∴a +b +4=016a +4b +4=0，解得：a =1b =―5，∴y =x 2―5x +4；（2）解：∵y =x 2―5x +4，当x =0时，y =4，∴C(0，4)，抛物线的对称轴为直线x =52∵△PAC 的周长等于PA +PC +AC ，AC 为定长，∴当PA +PC 的值最小时，△PAC 的周长最小，∵A ，B 关于对称轴对称，∴PA +PC =PB +PC ≥BC ，当P ，B ，C 三点共线时，PA +PC 的值最小，为BC 的长，此时点P 为直线BC 与对称轴的交点，设直线BC 的解析式为：y =mx +n ，则：4m +n =0n =4，解得：m =―1n =4，∴y =―x +4，当x =52时，y =―52+4=32，∴P(52，32)，∵A(1，0)，C(0，4)，∴PA =(52―1)2+(32)2=322，PC =(52)2+(4―32)2=522，∴PA PC =35；（3）解：存在，∵D 为OC 的中点，∴D(0，2)，∴OD =2，∵B(4，0)，∴OB =4，在Rt △BOD 中，tan ∠OBD =OD OB =12，∵tan ∠QDB =12=tan ∠OBD ，∴∠QDB =∠OBD ，①当Q 点在D 点上方时：过点D 作DQ ∥OB ，交抛物线与点Q ，则：∠QDB =∠OBD ，此时Q 点纵坐标为2，设Q 点横坐标为t ，则：t 2―5t +4=2，解得：t =5±172，∴Q(5+172，2)或Q(5―172，2)；②当点Q 在D 点下方时：设DQ 与x 轴交于点E ，则：DE =BE ，设E(p ，0)，则：D E 2=O E 2+O D 2=p 2+4，B E 2=(4―p)2，∴p 2+4=(4―p)2，解得：p =32，∴E(32，0)，设DE 的解析式为：y =kx +q ，=2+q =0，解得：q =2k =―43，∴y =―43x +2，联立y =―43x +2y =x 2―5x +4，解得：x =3y =―2或x =23y =109，∴Q(3，―2)或Q(23，109)；综上：Q(5+172，2)或Q(5―172，2)或Q(3，―2)或Q(23，109)．11．【答案】（1）解：∵抛物线y =a x 2+x +c 经过点A(―2，0)和点B(4，0)，∴4a ―2+c =016a +4+c =0，解得：a =―12c =4，∴抛物线解析式为：y =―12x 2+x +4；（2）解：∵抛物线y =―12x 2+x +4与直线l ：y =―x ―1交于D 、E 两点，（点D 在点E 的右侧）联立y =―12x 2+x +4y =―x ―1，解得：x =2+14y =―3―14或x =2―14y =―3+14，∴D(2+14，―14―3)，E(2―14，14―3)，∴x D ―x E =(2+14)―(2―14)=214，∵点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．则M(t ，―t ―1)，N(t ，―12t 2+t +4)，∴MN =―12t 2+t +4―(―t ―1)=―12t 2+2t +5=―12(t ―2)2+7，当t =2时，MN 取得最大值为7，∵S △END =12(x D ―x E )×MN ，∴当MN 取得最大值时，S △END 最大，∴S △END =12×214×7=714，∴△NED 面积的最大值714；（3）解：∵抛物线与y 轴交于点C ，∴y =―12x 2+x +4，当x =0时，y =4，即C(0，4)，∵B(4，0)，M(t ，―t ―1)∴BC =42+42=42，B M 2=(4―t)2+(―t ―1)2=2t 2―6t +17，C M 2=t 2+(t +5)2=2t 2+10t +25，①当BC 为对角线时，MB =CM ，∴2t 2―6t +17=2t 2+10t +25，解得：t =―12，∴M(―12，―12)，∵BC ，MR 的中点重合，∴R x ―12=4R y ―12=4，解得：R x =92R y =92，∴R(92，92)，②当BC 为边时，当四边形BMRC 为菱形，BM =BC∴2t 2―6t +17=(42)2，解得：t =3―392或t =3+392，∴―t ―1=―3―392―1=―5+392或―t ―1=―3+392―1=―5―392，∴M(3―392，―5+392)或M(3+392，―39―52)，由CM ，BR 的中点重合，∴R x +4=3―392+0R y +0=―5+392+4或R x +4=3+392+0R y +0=―5―392+4，解得：R x =―5―392R y =3+392或R x =―5+392R y =3―392，∴R(―5―392，3+392)或R(―5+392，3―392)，当BC =MC 时；如图所示，即四边形CMRB 是菱形，点R 的坐标即为四边形BMRC 为菱形时，M 的坐标，∴R 点为R(3―392，―5+392)或R(3+392，―39―52)，综上所述，R 点为R(3―392，―5+392)或R(3+392，―39―52)或R(―5―392，3+392)或R(―5+392，3―392)或R(92，92)．12．【答案】（1）解：∵a =1，c =―1，∴二次函数解析式为y =x 2+bx ―1，∵该二次函数的图象过点(2，0)，∴4+4b―1=0解得：b=―32；（2）解：①∵∠DOF=∠DEO，∠ODF=∠EDO，∴△DOF∽△DEO∴DF DO =OF EO∴DO EO =OF DF∵OF=32DF∴DO EO =2 3；②∵该二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1<0<x2，∴OA=―x1，OB=x2，∵BE=1．∴OE=x2―1，∵⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍∴OD=―2x1，∵DO EO =2 3，∴―2x1x2―1=23，∴3x1+x2―1=0，即x2=1―3x1①，∵该二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，∴x1，x2是方程a x2+bx+c=0的两个根，∴x1+x2=―b a，∵4ac=―a2―b2，a≠0，∴4·ca+1+(ba)2=0，即4(x1x2)+1+(x1+x2)2=0②，①代入②，即4x1(1―3x1)+1+(x1+1―3x1)2=0，即4x1―12x21+1+1+4x21―4x1=0，整理得―8x21=―2，∴x21=14，解得：x 1=―12（正值舍去）∴x 2=1―(―32)=52，∴抛物线的对称轴为直线x =―b 2a =x 1+x 22=―12+522=1，∴b =―2a ，∴2a +b =0．13．【答案】（1）解：∵抛物线Q 1：y =―x 2+bx +c 与x 轴交于A(―3，0)，两点，交y 轴于点C(0，3)， ∴把A(―3，0)，C(0，3)代入Q 1：y =―x 2+bx +c ，得，―9―3b +c =0c =3，解得，b =―2c =3，∴抛物线的解析式为：y =―x 2―2x +3；（2）解：假设存在这样的正方形DAEF ，如图，过点E 作ER ⊥x 于点R ，过点F 作FI ⊥y 轴于点I ，∴∠AER +∠EAR =90°，∵四边形DAEF 是正方形，∴AE =AD ，∠EAD =90°，∴∠EAR +∠DAR =90°，∴∠AER =∠DAO ，又∠ERA =∠AOD =90°，∴△AER≅△DAO ，∴AR =DO ，ER =AO ，∵A(―3，0)，D(0，―1)，∴OA =3，OD =1，∴AR =1，ER =3，∴OR =OA ―AR =3―1=2，∴E(―2，3)；同理可证明：△FID≅△DOA，∴FI=DO=1，DI=AO=3，∴IO=DI―DO=3―1=2，∴F(1，2)；（3）解：∵y=―x2―2x+3=―(x+1)2+4，∴抛物线的顶点坐标为(―1，4)，对称轴为直线x=―1，令y=0，则―x2―2x+3=0，解得，x1=―3，x2=1，∴B(1，0)，∴将抛物线的图象右平移2个单位后，则有：K(―1，4)，对称轴为直线x=―1+2=1，H(1+2，0)，即H(3，0)，∴点B在平移后的抛物线的对称轴上，∴HB=HO―OB=3―1=2，KB=4，∴KH=KB2+HB2=42+22=25，CB=CO2+BO2=32+12=10；CH=CO2+HO2=32，设直线CH的解析式为y=kx+b，把(3，0)，(0，3)代入得，3k+b=0b=3，解得，k=―1 b=3，∴直线CH的解析式为y=―x+3，当x=1时，y=―1+3=2，∴S(1，2)，此时KS=4―2=2，∴CS=(0―1)2+(3―2)2=2，∴HS=CH―CS=32―2=22，又KH CH =2510=2；KSCS=22=2；HSBS=222=2，∴KH CH =KSCS=HSBS=2，∴△KSH∼△CSB，∴∠CBK=∠CHK，所以，当点P与点B重合时，即点P的坐标为(1，0)，则有∠CPK=∠CHK．14．【答案】（1）解：抛物线y=a x2―2ax+3与x轴交于点A(―1，0)，得a +2a +3=0，解得：a =―1；（2）解：存在D (―12，154)，理由如下：设B ′C ′与y 轴交于点G ，由（1）中结论a =―1，得抛物线的解析式为y =―x 2+2x +3，当y =0时，x 1=―1，x 2=3，即A (―1，0)，B (3，0)，C (0，3)，OB =OC ，∠BOC =90°，即△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BCO =45°，∵B ′C ′∥BC ，∴∠BCO =∠B ′GO =45°，设D (t ，―t 2+2t +3)，过点D 作DE ∥y 轴交B ′C ′于点E ，作DF ⊥B ′C ′于点F ，∴∠DEF =∠B ′GO =45°，即△DEF 是等腰直角三角形，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，代入B (3，0)，C (0，3)，得3k +b =0b =3，解得k =―1b =3，故直线BC 的解析式为y =―x +3，将直线BC 向下平移m(m >0)个单位长度，得直线B ′C ′的解析式为y =―x +3―m ，∴E (t ，―t +3―m )，DE =―t 2+2t +3―(―t +3―m )=―t 2+3t +m =―(t ―32)2+94+m ，当t =32时，DE 有最大值94+m ，此时DF =22DE 也有最大值，D (32，154)；（3）解：存在P (―23，119)或P (2，3)，理由如下：当点P 在直线BC 下方时，在y 轴上取点H (0，1)，作直线BH 交抛物线于（异于点B ）点P ，由（2）中结论，得∠OBC=45°，∴OH=OA=1，OB=OC，∠BOH=∠COA=90°，∴△BOH≌△COA(SAS)，∴∠OBH=∠AOC，∴∠PBC+∠ACO=∠PBC+∠OBH=∠OBC=45°，设直线BP的解析式为y=k1x+b1，代入点B(3，0)，H(0，1)，得3k1+b1=0b1=1，解得k1=―13b1=1，故设直线BP的解析式为y=―13x+1，联立y=―13x+1y=―x2+2x+3，解得x1=3y1=0（舍）x2=―23y2=119，故P(―23，119)；当点P在直线BC上方时，如图，在x轴上取点I，连接CI，过点P作BP∥CI抛物线于点P，∠PBC=∠BCI，OI=OA=1，OC=OC，∠COI=∠COA=90°，∴△COI≌△COA(SAS)，∴∠OCI=∠AOC，∴∠PBC+∠ACO=∠BCI+∠OCI=∠OCB=45°，设直线CI的解析式为y=k2x+b2，代入点I(1，0)，C(0，3)，得k2+b2=0b2=3，解得k2=―3b2=3，故设直线CI的解析式为y=―3x+3，BP∥CI，且过点B(3，0)，故设直线BP的解析式为y=―3x+9，联立y=―3x+9y=―x2+2x+3，解得x1=2y1=3，x2=3y2=0（舍），故P(2，3)，综上所述：P(―23，119)或P(2，3)15．【答案】（1）解：将A(―4，0)、B(2，0)代入y=a x2+bx―8，得16a―4b―8=04a+2b―8=0，解得：a=1 b=2，∴抛物线解析式为：y=x2+2x―8，∴对称轴为x=―b2a=―1∴当x=―1时，y=（―1）2+2×（―1）―8=―9∴顶点坐标为（-1，-9）；（2）解：如图所示，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，由y=x2+2x―8，令x=0，解得：y=―8，∴C(0，―8)，设直线AC的解析式为y=kx―8，将点A(―4，0)代入得，―4k―8=0，解得：k=―2，∴直线AC的解析式为y=―2x―8，设P(m，m2+2m―8)，则E(m，―2m―8)，∴PE=―2m―8―(m2+2m―8)=―m 2―4m=―(m +2)2+4，当m =―2时，PE 的最大值为4∵S △PAC =12PE ×OA =12×4×PE =2PE ∴当PE 取得最大值时，△PAC 面积取得最大值∴△PAC 面积的最大值为2×4=8，此时m =―2，m 2+2m ―8=4―4―8=―8∴P(―2，―8)（3）解：设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，MN 的中点坐标为Q(x 1+x 22，y 1+y 22)， 联立y =kx +k ―354y =x 2+2x ―8，消去y ，整理得：x 2+(2―k)x ―k +34=0， ∴x 1+x 2=k ―2，x 1x 2=―k +34，∴x 1+x 22=k 2―1，∴y 1+y 22=12k(x 1+x 2)+k ―354=12k(k ―2)+k ―354=12k 2―354，∴Q(12k ―1，12k 2―354)，设Q 点到l 2的距离为QE ，则QE =12k 2―354―(―374)=12k 2+12，∵M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，∴y 1+y 2=k 2―352，y 1―y 2=x 21―x 22+2(x 1―x 2)=(x 1―x 2)(x 1+x 2+2)=k(x 1―x 2)∴M N 2=(x 1―x 2)2+(y 1―y 2)2=(x 1―x 2)2+k 2(x 1―x 2)2=(x 1―x 2)2(1+k 2)=[(x 1+x 2)2―4x 1x 2](1+k 2)=[(k ―2)2+4k ―3](k 2+1)=(k 2+1)(k 2+1)=(k 2+1)2∴MN =k 2+1，∴12MN =QE∴QM =QN =QE ，∴E 点总在⊙Q 上，MN 为直径，且⊙Q 与l 2：y =―374相切，∴∠MEN 为直角．∴无论k 为何值，平行于x 轴的直线l 2：y =―374上总存在一点E ，使得∠MEN 为直角．。

专题16 圆（选题题、填空题）一、选择题1．（2021·湖南中考真题）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，54BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A ．27︒B ．108︒C ．116︒D ．128︒【答案】B【分析】 直接利用圆周角定理即可得．【详解】解：54BAC ∠=︒，∴由圆周角定理得：2108BOC BAC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．2．（2021·湖南中考真题）如图，点A ，B ，C 是O 上的三点．若90AOC ∠=︒，30BAC ∠=︒，则AOB ∠的大小为（ ）A ．25︒B ．30C ．35︒D ．40︒【答案】B【分析】 首先根据圆周角定理求得BOC ∠的度数，根据AOC ∠的度数求AOB AOC BOC ∠=∠-∠即可．【详解】解：∵30BAC ∠=︒∴∠BOC=223060BAC ∠=⨯︒=︒，∵90AOC ∠=︒，906030AOB AOC BOC ，故选：B ．【点睛】考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得BOC ∠的度数是解题的关键．3．（2021·湖南中考真题）如图，面积为18的正方形ABCD 内接于⊙O ，则AB 的长度为（）A ．9πB ．92πC ．32πD ．94π【答案】C【分析】连接BD 、AC ，由题意易得3,90OB AOB =∠=︒，然后根据弧长计算公式可求解．【详解】解：连接BD 、AC ，∵四边形ABCD 是正方形，且面积为18，∴290,36AOB BD ∠=︒=，∴6BD =，∴132==OB BD ， ∴AB 的长度为90331801802n r πππ⨯⨯==； 故选C ．【点睛】 本题主要考查弧长计算及正多边形与圆，熟练掌握弧长计算及正多边形与圆是解题的关键．4．（2021·湖南中考真题）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD 的面积为S ，黑色部分面积为1S ，则1:S S 的比值为（ ）A ．8πB ．4πC ．14D ．12【答案】A【分析】根据题意，设正方形的边长为2a ，则圆的半径为a ，分别表示出黑色部分面积和正方形ABCD 的面积，进而即可求得1:S S 的比值．【详解】设正方形的边长为2a ，则圆的半径为a∴24S a =，圆的面积为2a π∵正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称∴黑色部分面积为圆面积的一半 ∴2112S a π=∴2211::(4)28S S a a ππ==，【点睛】本题主要考查了阴影部分面积的求解，准确运用字母表示正方形面积和圆形面积并结合多边形内切圆性质、中心对称图形性质等相关知识点是解决本题的关键．5．（2020·湖南）如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，已知BCD ∠为120︒，则BOD ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【答案】C【分析】 根据圆内接四边形的性质求出∠A ，根据圆周角定理计算，得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A ＝180°−∠BCD ＝60°，由圆周角定理得，∠BOD ＝2∠A ＝120°，故选：C ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（2020·湖南中考真题）如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交⊙O 于点D ．下列结论不一定成立的是（ ）A ．BPA △为等腰三角形B ．AB 与PD 相互垂直平分C ．点A 、B 都在以PO 为直径的圆上D ．PC 为BPA △的边AB 上的中线【答案】B连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出BPA△为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明AB与PD相互垂直平分，即可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，∵B，C为切点，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴BPA△为等腰三角形，故A正确；∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，∴PM=OM=BM=AM∴点A、B都在以PO为直径的圆上，故C正确；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA为等腰三角形，∴PC为BPA△的边AB上的中线，故D正确；无法证明AB与PD相互垂直平分，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．7．（2020·湖南中考真题）如图，已知,PA PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法：①PA PB =；②OP AB ⊥；③四边形OAPB 有外接圆；④M 是AOP 外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】 由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．【详解】 解：如图， ,PA PB 是O 的两条切线，,,PA PB APO BPO ∴=∠=∠ 故①正确，,,PA PB APO BPO =∠=∠,PO AB ∴⊥ 故②正确，,PA PB 是O 的两条切线，90,OAP OBP ∴∠=∠=︒取OP 的中点Q ，连接,AQ BQ ， 则1,2AQ OP BQ == 所以：以Q 为圆心，QA 为半径作圆，则,,,B O P A 共圆，故③正确，M 是AOP 外接圆的圆心，,MO MA MP AO ∴===60,AOM ∴∠=︒与题干提供的条件不符，故④错误，综上：正确的说法是3个，故选C ．【点睛】本题考查的是切线长定理，三角形的外接圆，四边形的外接圆，掌握以上知识是解题的关键． 8．（2020·湖南中考真题）一个圆锥的底面半径r ＝10，高h ＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】这个圆锥的侧面积＝12． 故选：C ．【点睛】此题主要考查圆锥的侧面积，解题的关键是熟知母线的定义及圆锥侧面积的公式．9．（2020·湖南中考真题）如图所示，点A 、B 、C 对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点1A ，则此时线段CA 扫过的图形的面积为（ ）A ．4πB ．6 C．D ．83π 【答案】D【分析】 求线段CA 扫过的图形的面积，即求扇形ACA 1的面积.【详解】解：由题意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A 1BC=90°.由旋转的性质，得A 1C=AC=4.在Rt △A 1BC 中，cos ∠ACA 1=1BC AC =12. ∴∠ACA 1=60°. ∴扇形ACA 1的面积为2460360π⨯⨯=83π. 即线段CA 扫过的图形的面积为83π.故选：D【点睛】此题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．10．（2019·湖南中考真题）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是( )A ．PA ＝PBB ．∠BPD ＝∠APDC ．AB ⊥PD D ．AB 平分PD【答案】D【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，所以A成立；∠BPD＝∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC＝BC，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D．【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.11．（2019·湖南中考真题）如图，边长为ABC∆的内切圆的半径为( )A．1B C．2D．【答案】A【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH=12AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可．【详解】设ABC∆的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵ABC∆为等边三角形，∴CH 平分BCA ∠，AO 平分BAC ∠，∵ABC ∆为等边三角形，∴60CAB ︒∠=，CH AB ⊥，∴30OAH ︒∠=，12AH BH AB === 在Rt AOH ∆中，∵OH tan tan 30AH OAH ︒∠==，∴1OH ==， 即ABC ∆内切圆的半径为1．故选A ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．12．（2019·湖南中考真题）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π【答案】C【分析】 根据扇形的面积公式S=2360n R π计算即可． 【详解】 S=2120612360ππ⨯⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=2360n R π是解题的关键．13．（2019·湖南中考真题）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120︒的AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从A (A 为坐标原点)出发，以每秒23π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P 的纵坐标为( )A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【答案】B【分析】 先计算点P 走一个AB 的时间，得到点P 纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4=504…3，得出在第2019秒时点P 的纵坐标为是-1．【详解】解：点运动一个AB 用时为1202221803ππ⨯÷=秒． 如图，作CD AB ⊥于D ，与AB 交于点E ． 在Rt ACD ∆中，∵90ADC ︒∠=，1602ACD ACB ︒∠=∠=， ∴30︒∠=CAD ， ∴112122CD AC ==⨯=， ∴211DE CE CD =-=-=，∴第1秒时点P 运动到点E ，纵坐标为1；第2秒时点P 运动到点B ，纵坐标为0；第3秒时点P 运动到点F ，纵坐标为﹣1；第4秒时点P 运动到点G ，纵坐标为0；第5秒时点P 运动到点H ，纵坐标为1；…，∴点P 的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∵201945043÷=⋯，∴第2019秒时点P 的纵坐标为是﹣1．故选B ．【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P 纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．二、填空题14．（2021·湖南中考真题）如图，在⊙O 中，弦AB 的长为4，圆心O 到弦AB 的距离为2，则AOC ∠的度数为______．【答案】45︒【分析】 先根据垂径定理可得122AC AB ==，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：OC AB ⊥，4AB =， 122AC AB ∴==， 2OC =，AC OC ∴=，Rt AOC ∴是等腰直角三角形，45AOC =∴∠︒，故答案为：45︒．【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．15．（2021·湖南中考真题）如图，ABC 内接于O ，50A ∠=︒，点D 是BC 的中点，连接OD ，OB ，OC ，则BOD ∠=_________．【答案】50︒【分析】圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．【详解】解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，12A BOC ∠=∠， 100BOC ∴∠=︒，OB OC =， BOC ∴为等腰三角形， 又点D 是BC 的中点，根据等腰三角形三线合一，OD ∴为BOC ∠的角平分线，50BO D ∴∠=︒，故答案是：50︒．【点睛】本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：根据性质求出BOC ∠，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．16．（2021·湖南娄底市·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad ．已知1rad,60αβ==︒，则α与β的大小关系是α________β．【答案】<【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad ，当60β=︒时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad ，当60β=︒时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，∴圆心角所对的弧长比半径大，αβ∴<，故答案是：<．【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．17．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在O 中，3OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）【答案】9942π- 【分析】由45C ∠=︒，根据圆周角定理得出90AOB ∠=︒，根据S 阴影=S 扇形AOB －AOB S 可得出结论．【详解】解：∵45C ∠=︒，∴90AOB ∠=︒，∴S 阴影=S 扇形AOB －AOB S29031=333602π⨯⨯-⨯⨯ 99=42π-， 故答案为：9942π-． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键． 18．（2021·湖南中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，8BE =，O 为BCE 的外接圆，过点E 作O 的切线EF 交AB 于点F ，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①AE BE =；②AED CBD ∠=∠；③若40DBE ∠=︒，则DE 的长为89π；④DF EF EF BF=；⑤若6EF =，则 2.24CE =．【答案】①②④⑤【分析】①根据线段垂直平分线定理即可得出结论②根据段垂直平分线得出∠A +∠AED =90°，再证∠A +∠ABC =90°，等量代换即可③根据已知条件先得出∠EBC 的度数，再利用圆周角定理得∠EOC =2∠EBC ，根据弧长公式计算即可 ④根据角角相似证明△EFD ∽△BFE 即可得出结论⑤先根据勾股定理得出BF 的长，再根据等面积法得出ED ，根据角角相似证明Rt △ADE ∽Rt △ACB ，得出AD AE AC AB=，即可计算出结果 【详解】解:①∵DE 是AB 的垂直平分线∴AE BE =故正确②∵DE 是AB 的垂直平分线∴DE ⊥AB∴∠A +∠AED =90°∵90C ∠=︒∴∠A +∠ABC =90°∴AED CBD ∠=∠故正确③连接OC∵DE 是AB 的垂直平分线∴AE BE =∴∠EBD =∠A =40°在Rt △ABC 中，∠ABC =90°-40°=50°∴∠EBC =50°-40°=10°∵∠EOC =2∠EBC∴∠EOC =20° ∴20441809EC ππ== 故错误④∵DE ⊥AB ，E F 是O 的切线∴∠FEB =∠EDF =90°又∠EFD =∠EFD∴△EFD ∽△BFE ∴DF EF EF BF= 故正确⑤∵6EF =，8BE =∴BF 10= ∵1122EF BE BF ED ⋅=⋅ ∴68 4.810ED ⨯== 在Rt △EDB 中，6.4BD ==∵DE 是AB 的垂直平分线∴ 6.4AD DB ==，AE =BE =8∵在Rt △ADE 和Rt △ACE 中∠A =∠A ,∠ADE =∠ACB =90°∴Rt △ADE ∽Rt △ACB ∴AD AE AC AB= ∴648128AC ⋅=⋅ ∴AC =10.24又AE =BE =8∴CE =AC -AE =10.24-8=2.24故正确故答案为：①②④⑤【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键19．（2021·湖南中考真题）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD 的度数是_____．【答案】140°．【详解】试题分析：∵∠BOD=80°，∴∠A=40°，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCD=180°-40°=140°，故答案为140°．考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理20．（2021·湖南中考真题）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为__________．（结果保留π）【答案】12π【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，根据扇形的面积公式求解即可．【详解】圆锥的侧面积=()112341222lR ππ=⨯⋅⨯= 故答案为：12π．【点睛】 本题考查圆锥的侧面积．1=2S lR 扇形，其中l 为扇形的弧长，即底面圆的周长，R 为半径，即圆锥的母线长． 21．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图所示的扇形中，已知20,30,40OA AC AB ===，则CD =________．【答案】100．【分析】先在小扇形中利用扇形弧长公式求解出圆心角度数，再在大扇形中利用公式求解出弧长即可．【详解】解：设扇形圆心角度数为n °，∵20,40OA AB ==，∴在扇形AOB 中，2360n AB OA =π， 解得：360n=π， ∴在扇形COD 中，203050OC OA AC =+=+=,3602250100360360n CD OC ==⨯⨯=πππ 故答案为：100．【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，解题的关键是利用圆心角大小不变并熟悉弧长公式进行求解． 22．（2021·湖南永州市·中考真题）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为____________．【答案】10【分析】根据圆锥的侧面积公式：S 侧12=⨯2rl π＝rl π．即可求得 【详解】S 侧12=⨯2rl π＝rl π 606l ππ∴=⨯⨯10l ∴=故答案为10【点睛】根本考查了圆锥的侧面积公式：S 侧12=⨯2rl π＝rl π，理解和牢记公式是解题的关键． 23．（2021·湖南中考真题）如图，方老师用一张半径为18cm 的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm ，那么这张扇形纸板的面积是________2cm （结果用含π的式子表示）．【答案】180π【分析】由题意易得该扇形的弧长为221020cm r πππ=⨯=，然后根据扇形面积计算公式可求解．【详解】解：由题意得：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即为221020cm r πππ=⨯=， ∴该扇形的面积为2111820180cm 22S lR ππ==⨯⨯=； 故答案为180π．【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图，熟练掌握扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图是解题的关键．24．（2020·湖南长沙市·）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动，（点P 与M ，N 不重合）,PQ MN NE ⊥平分MNP ∠，交PM 于点E ，交PQ 于点F ． (1) PF PE PQ PM +=___________________．(2)若2PN PM MN =⋅，则MQ NQ=___________________．【答案】112【分析】 (1)过E 作GE MN ⊥于G ，可得90NGE ∠=︒，根据圆周角的性质可得90MPN ∠=︒，又NE 平分MNP ∠，根据角平分线的性质可得PE GE =；由PNE MNE ∠=∠，90PNE PEN ∠+∠=︒ ，90MNE QFN ∠+∠=︒，且QFN PFE ∠=∠，根据“等角的余角相等”可得PEN PFE ∠=∠ ，再根据等腰三角形的性质“等角对等边”可得PE PF =，即有GE PF =；由PQ MN ⊥，GE MN ⊥，可得//GE PQ ，从而可得在PMQ 中有EM GE PM PQ=，将EM PM PE =-、PE GE =、GE PF =代入可得，PM PF PF PM PQ -=，既而可求得PF PE PQ PM+的值． 【详解】(1)如图所示，过E 作GE MN ⊥于G ，则90NGE ∠=︒，∵MN 为半圆的直径，∴90MPN ∠=︒，又∵NE 平分MNP ∠，90NGE ∠=︒,∴PE GE =．∵NE 平分MNP ∠，∴PNE MNE ∠=∠，∵90EPN FQN ∠=∠=︒，∴90,90PNE PEN MNE QFN ∠+∠=︒∠+∠=︒,又QFN PFE ∠=∠，∴90,90PNE PEN MNE PFE ∠+∠=︒∠+∠=︒，又∵PNE MNE ∠=∠，∴PEN PFE ∠=∠，∴PE PF =,又∵PE GE =，∴GE PF =．∵PQ MN ⊥，GE MN ⊥，∴//GE PQ ，∴在PMQ 中，EM GE PM PQ=, 又∵EM PM PE =-, ∴PM PE GE PM PQ-=， ∴将GE PF =，PE PF =，代入PM PE GE PM PQ-=得，PM PF PF PM PQ -=, ∴1PF PE PM PF PF PQ PM PM PM-+=+=， 即1PF PE PQ PM +=． （2）∵PNQ MNP ∠=∠，NQP NPM ∠=∠，∴NPQ NMP ∽， ∴PN QN MN PN=， ∴2PN QN MN =⋅，∵2PN PM MN =⋅，∴PM QN =，∴MQ MQ NQ PM=， ∵cos MQ PM M PM MN ∠==， ∴MQ PM NQ MN=， ∴MQ NQ NQ MQ NQ=+ ∴22NQ MQ MQ NQ =+⋅，即221MQ MQ NQ NQ=+， 设MQ x NQ=，则210x x +-=，解得：x =，或0x =<（舍去），∴12MQ NQ =，． 【点睛】本题综合考查了圆周角的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例的性质等知识．(1)中解题的关键是利用角平分线的性质和等腰三角形的性质求得GE PF =，PE PF =，再通过平行线分线段成比例的性质得到EM GE PM PQ=，进行等量代换和化简后即可得解． 25．（2020·湖南中考真题）如图，AB 为半⊙O 的直径，M ，C 是半圆上的三等分点，8AB =，BD 与半⊙O 相切于点B ，点P 为AM 上一动点（不与点A ，M 重合），直线PC 交BD 于点D ，BE OC ⊥于点E ，延长BE 交PC 于点F ，则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号） ①PB PD =；②BC 的长为43π；③45DBE ∠=︒；④BCF PFB △∽△；⑤CF CP ⋅为定值．【答案】②⑤【分析】①先根据圆的切线的性质可得90ABD ∠=︒，再根据半圆上的三等分点可得60COB ∠=︒，然后根据圆周角定理可得30BPC ∠=︒，最后假设PB PD =，根据角的和差、三角形的外角性质可得30AOP ∠=︒，这与点P 为AM 上一动点相矛盾，由此即可得；②根据弧长公式即可得；③先根据等边三角形的性质可得30OBE ∠=︒，再根据角的和差即可得；④先根据三角形的外角性质可得PFB BCF CBF ∠=∠+∠，从而可得对应角PFB ∠与BCF ∠不可能相等，由此即可得；⑤先根据相似三角形的判定与性质可得CF CB CB CP=，从而可得2CF CP CB ⋅=，再根据等边三角形的性质可得4CB OB ==，由此即可得．【详解】如图，连接OP BD 与半⊙O 相切于点B90ABD ∴∠=︒C 是半圆上的三等分点1180603COB ∴∠=⨯︒=︒ OB OC = BOC ∴是等边三角形 由圆周角定理得：1302BPC COB ∠=∠=︒ 假设PB PD =，则1(180)752PBD D BPC ∠=∠=︒-∠=︒ 15ABP ABD PBD ∴∠=∠-∠=︒230AOP ABP ∴∠=∠=︒ 又点P 为AM 上一动点AOP ∴∠不是一个定值，与30AOP ∠=︒相矛盾即PB 与PD 不一定相等，结论①错误8AB =142OB OC AB ∴=== 则BC 的长为41806043ππ⨯=，结论②正确 BOC 是等边三角形，BE OC ⊥11603022OBE CBE OBC ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒ 903060OB DBE ABD E ∠=∠-=︒-︒=∴∠︒，则结论③错误PFB BCF CBF BCF ∠=∠+∠>∠，即对应角PFB ∠与BCF ∠不可能相等BCF ∴与PFB △不相似，则结论④错误在BCF △和PCB 中，30CBF CPB BCF PCB ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩BCF PCB ∴~CF CB CB CP ∴=，即2CF CP CB ⋅= 又BOC 是等边三角形，4OB =4CB OB ∴==2416CF CP ∴⋅==即CF CP ⋅为定值，结论⑤正确综上，结论正确的是②⑤故答案为：②⑤．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、弧长公式、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的题①，先假设结论成立，再推出矛盾点是解题关键．26．（2020·湖南中考真题）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为________尺．（结果用最简根式表示）【答案】【分析】根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．【详解】解：∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∠=45°，∴CE为直径，ECD由题意得AB=2.5，∴CE=2.5-0.25×2=2，∠⨯，∴CD=CE cos ECD=22∠=45°，∴ECD∴正方形CDEF周长为故答案为：【点睛】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径． 27．（2020·湖南中考真题）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI 为正九边形，其中心点为点O ，点M 、N 分别在射线OA 、OC 上，则MON ∠=________度．【答案】80【分析】根据正多边形性质求出中心角，即可求出MON ∠．【详解】解：根据正多边形性质得，中心角为360°÷9=40°，∴2=80MON ABC ∠=∠︒．故答案为：80【点睛】本题考查了正n 边形中心角的定义，在正多边形中，中心角为360n ︒ ． 28．（2020·湖南中考真题）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是__________平方分米． 【答案】4π 【分析】根据圆锥的侧面展开图就是扇形，求圆锥的侧面积就是求扇形的面积，圆锥的底面周长就是扇形弧长，母线长就是扇形的半径，根据扇形面积公式，即可求解．【详解】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，扇形的弧长等于圆锥底面周长为2π分米，扇形的半径等于母线长为1分米， 根据1=2S lR 扇得，1=1=224S ππ⋅⋅扇平方分米． 故答案为4π． 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，掌握圆锥的侧面展开图是解答本题的关键．29．（2020·湖南长沙市·）若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是_____．【答案】3π．【分析】先求得圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式S =12lR 求得答案即可． 【详解】解：圆锥的底面周长为：2×π×1＝2π， 侧面积为：12×2π×3＝3π． 故答案为：3π．【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算：正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．30．（2020·湖南中考真题）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为__________．【答案】48【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=πrl 代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可．【详解】根据圆锥侧面积公式：S=πrl ，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故60π=π×10×r ，解得：r=6．由勾股定理可得圆锥的高∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∴它的面积=1128=482⨯⨯， 故答案为：48【点睛】本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键． 31．（2020·湖南中考真题）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察圆心角AOB 90∠=，测得ACB 的长为36cm ，则ADB 的长为__________cm ．【答案】12【分析】根据弧长公式求得圆O 的半径，再根据弧长公式求出ADB 的长．【详解】解：设半径OA 的长为r ，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=270°，27036180ACB r l cm π⨯⨯==， ∴24r cm π=， ∴249012180ADB l cm ππ⨯⨯==，故答案为：12．【点睛】本题考查了弧长的计算，牢记弧长公式并正确运用是解题的关键．32．（2020·湖南中考真题）如图，四边形ABDC 中，3,2AB AC BD CD ====，则将它以AD 为轴旋转180°后所得分别以AB 、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为_________．【答案】3∶2【分析】根据两个圆锥的底面圆相同，设底面圆的周长为l ，根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为：π·AB·l ，下面圆锥的侧面积为：π·BD·l ，即可得出答案．【详解】解：∵两个圆锥的底面圆相同，∴可设底面圆的周长为l ，∴上面圆锥的侧面积为：π·AB·l ，下面圆锥的侧面积为：π·BD·l ，∴S 上：S 下=3：2，故答案为：3：2．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥侧面积公式是解题关键．33．（2020·湖南中考真题）如图，公路弯道标志R m =表示圆弧道路所在圆的半径为m （米），某车在标有300R =处的弯道上从点A 行驶了100π米到达点B ，则线段AB =_______米．【答案】300【分析】根据弧长公式求出∠AOB的度数，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】∵100π=300 180180 n R nππ⋅=∴n=60°又AO=BO∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=BO=300(米)故答案为：300．【点睛】此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式的运用．34．（2020·湖南中考真题）如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长AB为____________．【答案】13.【分析】由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长．【详解】解：∵圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长=10π∴OB=1052ππ=，在Rt △AOB 中，13=，所以，该圆锥的母线长AB 为13.故答案为：13．【点睛】本题考查圆锥弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式．35．（2020·湖南中考真题）如图，在半径为6的O 中，圆心角60AOB ︒∠=，则阴影部分面积为________．【答案】6π【分析】直接根据扇形的面积计算公式计算即可．【详解】 解：阴影部分面积为26066360ππ⨯=， 故答案为：6π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．36．（2019·湖南中考真题）如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ︒∠=，则AD =_______．【答案】1【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD 的长．【详解】解：∵AB 为直径，∴90ADB ︒∠=，∵30B ACD ︒∠=∠=， ∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为1．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．37．（2019·湖南中考真题）如图所示，AB 为O 的直径，点C 在O 上，且OC AB ⊥，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足65AEC ∠=︒，连接AD ，则BAD ∠=_____度．【答案】20【分析】由直角三角形的性质得出25OCE ∠=︒，由等腰三角形的性质得出25ODC OCE ∠=∠=︒，求出130DOC ∠=︒，得出40BOD DOC COE ∠=∠-∠=︒，再由圆周角定理即可得出答案．【详解】解：连接OD ，如图：∴90COE ∠=︒，∵65AEC ∠=︒，∴906525OCE ∠=︒-︒=︒，∵OC OD =，∴25ODC OCE ∠=∠=︒，∴1802525130DOC ∠=︒-︒-︒=︒，∴40BOD DOC COE ∠=∠-∠=︒， ∴1202BAD BOD ∠=∠=︒， 故答案为20．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．38．（2019·湖南中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12=（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC ⊥弦AB 时，OC 平分AB ）可以求解．现已知弦8AB =米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．【答案】10【分析】根据垂径定理得到4=AD ，由勾股定理得到3OD ==，求得2OA OD -=，根据弧田面积12=（弦×矢+矢2）即可得到结论． 【详解】解：∵弦8AB =米，半径OC ⊥弦AB ，。

专题11 二次函数（解答题）1．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？ 【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元． 【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ． 【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ， 根据题意可得：()()4430205w z z =--+， 化简得：2550280w z z =-++， 当()505225b z a =-=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元． （3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①② 将①代入②可得：()100002010930mW b m -=-+⨯，化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+， 使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变， 则40b -=，得4b =， 当4b =时，3000W =，∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元． 【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．2．（2021·湖南中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y （单位：万件）与销售单价x （单位：元）之间有如下表所示关系：（1）根据表中的数据，在图中描出实数对(,)x y 所对应的点，并画出y 关于x 的函数图象； （2）根据画出的函数图象，求出y 关于x 的函数表达式； （3）设经营此商品的月销售利润为P （单位：万元）． ①写出P 关于x 的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不．得超过．．．进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见详解；（2）216y x =-+；（3）①222032P x x =-+-；②销售单价应定为3元． 【分析】（1）由题意可直接进行作图；（2）由图象可得y 与x 满足一次函数的关系，所以设其关系式为y kx b =+，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可；（3）①由题意易得()2P x y =-，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得22203210x x -+-=，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解． 【详解】解：（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：216k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+； （3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-； ∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-； ②由题意得：2200x ≤⨯％，即4x ≤， ∴22203210x x -+-=， 解得：123,7x x ==， ∴3x =；答：此时的销售单价应定为3元． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．3．（2021·湖南永州市·中考真题）已知关于x 的二次函数21y x bx c =++（实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x =，求此二次函数的表达式； （2）若20b c -=，当3b x b -≤≤时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数222y x x m =++，若在（1）的条件下，当01x ≤≤时，总有21y y ≥，求实数m 的最小值．【答案】（1）2124y x x -=+；（2）4；（3）4． 【分析】（1）将点(0,4)代入二次函数的解析式可得c 的值，根据二次函数的对称轴可得b 的值，由此即可得； （2）先求出二次函数的对称轴为2bx =-，再分0b ≤，02b <<和2b ≥三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于b 的一元二次方程，解方程即可得；（3）先根据21y y ≥可得2340x x m ++-≥，令2334y x x m =++-，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得． 【详解】解：（1）将点(0,4)代入21y x bx c =++得：4c =， 二次函数的对称轴为1x =，12b∴-=，解得2b =-， 则此二次函数的表达式为2124y x x -=+； （2）20b c -=，即2c b =，222213()24b y x bx b x b =++=++∴，则此二次函数的对称轴为2bx =-，由题意，分以下三种情况： ①当2bb ≤-，即0b ≤时， 在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而减小， 则当x b =时，1y 取得最小值， 因此有22221b b b ++=，解得b =0b =>（不符题设，舍去）； ②当32bb b -<-<，即02b <<时，在32b b x -≤≤-内，1y 随x 的增大而减小；在2bx b -<≤内，1y 随x 的增大而增大， 则当2bx =-时，1y 取得最小值， 因此有23214b =，解得2b =>或0b =-（均不符题设，舍去）； ③当32bb -≥-，即2b ≥时， 在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而增大， 则当3x b =-时，1y 取得最小值，因此有223(3)2124b b b -++=， 解得4b =或12b =-<（不符题设，舍去），综上，b 的值为4；（3）由（1）可知，2124y x x -=+，由21y y ≥得：22224x x m x x ++≥-+，即2340x x m ++-≥， 令2334y x x m =++-，在01x ≤≤内，3y 随x 的增大而增大，要使得当01x ≤≤时，总有23340y x x m =++-≥，则只需当0x =时，30y ≥即可，因此有40m -≥， 解得4m ≥，则实数m 的最小值为4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．4．（2021·湖南长沙市·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()240,0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，当1x ，2x 满足()11211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【答案】（1）4,1,4-；（2）当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”，理由见解析；当0k =时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；（3）直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)． 【分析】（1）先根据关于y 轴对称的点坐标变换规律可得,r s 的值，从而可得点A 的坐标，再将点A 的坐标代入“T 函数”即可得；（2）分0k ≠和0k =两种情况，当0k ≠时，设点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是一对“T 点”，将它们代入函数解析式可求出0k =，与0k ≠矛盾；当0k =时，y p =是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，且有无数对“T 点”；（3）先将点(0,0)O 代入2y ax bx c =++可得0c，再根据“T 函数”的定义可得0b =，从而可得2y ax =，与直线y mx n =+联立可得12,x x 是方程20mx n ax --=的两实数根，然后利用根与系数的关系可得1212,m n x x x x a a+==-，最后根据()11211x x --+=化简可得n m =-，从而可得y mx m =-，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：点()1,A r 与点(),4B s 关于y 轴对称，4,1r s ∴==-，()1,4A ∴， 10>，∴将点()1,4A 代入2y tx =得：4t =，故答案为：4,1,4-；（2）由题意，分以下两种情况： ①当0k ≠时，假设关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”，点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是其图象上的一对“T 点”，则0000kx p y kx p y +=⎧⎨-+=⎩，解得0k =，与0k ≠相矛盾，假设不成立，所以当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”； ②当0k =时，函数y kx p p =+=是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，它有无数对“T 点”；综上，当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”；当0k =时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；（3）由题意，将(0,0)O 代入2y ax bx c =++得：0c，2y ax bx ∴=+，设点333(,)(0)x y x ≠与点33(,)x y -是“T 函数”2y ax bx =+图象上的一对“T 点”，则23332333ax bx y ax bx y ⎧+=⎨-=⎩，解得0b =， 2(0)y ax a ∴=>，联立2y ax y mx n⎧=⎨=+⎩得：20mx n ax --=，“T 函数”2y ax =与直线y mx n =+交于点()11,M x y ，()22,N x y ，12,x x ∴是关于x 的一元二次方程20mx n ax --=的两个不相等的实数根，1212,m n x x x x a a ∴+==-， ()11211x x --+=，2211x x x x +=∴，即m na a=-， 解得n m =-，则直线l 的解析式为y mx m =-， 当1x =时，0y m m =-=，因此，直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)． 【点睛】本题考查了关于y 轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“T 函数”和“T 点”的定义是解题关键．5．（2021·湖南株洲市·中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++>．（1）若12a =，2b c ==-，求方程20ax bx c ++=的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，与y 轴的负半轴交于点C ，点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ACO ABD ∠=∠，1bc x a-+=． ①求证：AOC DOB ≅；②连接BC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，点()120,F x x -在y 轴的负半轴上，连接AF ，且ACO CAF CBD ∠=∠+∠，求1cx 的值． 【答案】（1）=8∆ （2）①证明见解析；②1c x =2【分析】（1）根据判别式公式代入求解即可．（2）①通过条件，得到OC=OB ，再根据ASA 即可得到两个三角形角形全等． ②通过分析条件，证明AOF DEB △△，得到AO OFDE EB=，再根据相关的线段转换长度，代入求解即可. 【详解】解：（1）当12a =，2b c ==-时，方程为：212202x x --=， ()()2214242=82b ac ∆=-=--⨯⨯-，（2）①证明：∵12b x x a +=-，且1bc x a-+=，∴2x c =-， ∴OC OB c ==， 在AOC △与DOB 中，90ACO ABDOC OBAOC DBO ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴()AOC DOB ASA ≅△△．②解：ACO CAF CBD ∠=∠+∠，ACO CFA CAF ∠=∠+∠， ∴CFA CBD ∠=∠， ∵DE BC ⊥， ∴90DEB ∠=， 又∵90AOF ∠=， ∴AOF DEB △△， ∴AO OFDE EB=， ∵OC OB c ==，且90COB ∠=， ∴45OCB ∠=,BC =， 在DEC Rt △中，45OCB ∠=，∴DC ==，又∵AOC DOB ≅△△，∴1OD OA x ==-，又∵OC OD DC =+，∴1DC c x =-+，)122DE CE DC c x ===-+，∴))1122EB BC CE c x c x =-=--+=-+， ∵AO OF DE EB=，1122x x --= ， 即：21120c c x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴1c x =2或1c x =-1（舍）， 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，以及一元二次方程的解法，三角形全等和相似等相关知识点，根据题意能够找见相关等量关系是解题关键 .6．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求b c 、的值；（2）点(,)P m n 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线:l y x =于点Q ．①当03m <<时，求当P 点到直线:l y x =的距离最大时m 的值；②是否存在m ，使得以点O C P Q 、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m 的值．【答案】（1）b =2-，c =3-；（2）①32m =；②不存在，理由见解析 【分析】（1）将A （-1，0），B （3，0）代入y =x 2+bx +c ，可求出答案；（2）①设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），再利用二次函数的性质即可求解；②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0）， ∴10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴b =2-，c =3-；（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y =x 223x --，设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），∵0<m <3，∴PQ =m -( m 2-2m -3)=-m 2+3m +3=-232m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+214， ∵-1<0， ∴当32m =时，PQ 有最大值，最大值为214； ②∵抛物线的函数表达式为：y =x 2-2x -3，∴C （0，-3），∴OB =OC =3，由题意，点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），∵PQ ∥OC ，当OC 为菱形的边，则PQ =OC =3，当点Q 在点P 上方时，∴PQ =2333m m -++=，即230m m -+=，∴()30m m -=，解得0m =或3m =，当0m =时，点P 与点O 重合，菱形不存在，当3m =时，点P 与点B 重合，此时BC OC =≠，菱形也不存在；当点Q 在点P 下方时，若点Q 在第三象限，如图，∵∠COQ=45°，根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，此时OA=1≠OC=3，菱形不存在，若点Q在第一象限，如图，同理，菱形不存在，综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．7．（2021·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁1,1,2021,2021……都是“雁点”．点”．例如()()（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(2,2)和(2,2)--；（2）①04c <<；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或312⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y =x ，再联立4y x=求出 “雁点”坐标即可； （2）根据25y ax x c =++和y =x 可得240ax x c ++=，再利用根的判别式得到4c a =，再求出a 的取值范围；将点c 代入解析式求出点E 的坐标，令y =0，求出M 的坐标，过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，如图所示，根据EH =MH 得出EM H 为等腰直角三角形，∠EMN 的度数即可求解；（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C （m ，m ），P （x ，y ），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P 的坐标．【详解】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩ 即：函数4y x=上的雁点坐标为(2,2)和(2,2)--． （2）① 联立25y x y ax x c =⎧⎨=++⎩得240ax x c ++=∵ 这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴ 2440ac ∆=-=∵ 4c a= ∵ 1a >∴ 04c <<② 将4c a =代入，得2440E E ax x a++= 解得2k x a =-，∴ 22,E a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对于245y x x aα=++，令0y = 有2450ax x a++= 解得41,N M x x a a=-=-∴ 4,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH =2a ，MH =242()a a a---= ∴2EH MH a ==∴ EM H 为等腰直角三角形，45EMN ∠=︒（3）存在，理由如下：如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k ，过C 作CH ⊥PK 于点H设C （m ，m ），P （x ，y ）∵ △CPB 为等腰三角形，∴PC =PB ，∠CPB =90°，∴∠KPB +∠HPC =90°，∵∠HPC +∠HCP =90°，∴∠KPB =∠HCP ，∵∠H =∠PKB =90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x-=⎧⎨-=-⎩ ∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当32x =时，23315()23224y =-+⨯+= ∴ 315()24P ，如图2所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴ KP =JB ，KC =JP设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x -m ，KC =y -m ，JB =y ，JP =3-x ，即3x m y y m x -=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得12222x x ==∴3)2P或3)2P如图3所示，∵△RCP ≌△TPB∴RC =TP ，RP =TB设P （x ，y ），C （m ，m ）即3y m x x m y -=-⎧⎨-=⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122=22x x = ∴ 此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为315()24，或3)2，或3)2，【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．8．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(2,3)C -且与x 轴交于原点及点(8,0)B ．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式；（3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为O 上的动点，且O的半径为E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值．【答案】（1）2124y x x -=；（2）()4,4A -，8y x =-；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A 、B 坐标求出AB 解析式即可；（3）根据二次函数对称性可知ABO 为等腰三角形，再根据O 、A 、B 三点坐标，求出三条线段的长，利用勾股定理验证即可；（4）根据题意可知动点E 的运动时间为12t AP PB =+，在OA 上取点D ，使OD =可证明APO △∽PDO △，根据相似三角形比例关系得12PD AP =，即12t AP PB PD PB =+=+，当B 、P 、D 三点共线时，PD PB +取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可．【详解】解：（1）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过(2,3)C -，且与x 轴交于原点及点()8,0B ∴0c ，二次函数表达式可设为：()20y ax bx a =+≠将(2,3)C -，()8,0B 代入2y ax bx =+得：3420648a b a b -=+⎧⎨=+⎩解这个方程组得142a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∵二次函数的函数表达式为2124y x x -= （2）∵点A 为二次函数图像的顶点， ∴421224b x a =-=-⨯=-，22140(2)4414444ac b y a ⨯⨯---===-⨯ ∴顶点坐标为：()4,4A -，设直线AB 的函数表达式为y kx m =+，则有：4408k m k m -=+⎧⎨=+⎩解之得：18k m =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的函数表达式为8y x =-（3）ABC 是等腰直角三角形，过点A 作AF OB ⊥于点F ，易知其坐标为(4,0)F∵ABC 的三个顶点分别是()0,0O ，()4,4A -，()8,0B，∴808OB =-=，OA ===AB ===且满足222OB OA AB =+∴ABC 是等腰直角三角形（4）如图，以O 为圆心，P 在圆周上，依题意知：动点E 的运动时间为12t AP PB =+在OA 上取点D ，使OD =连接PD ，则在APO △和PDO △中，满足：2PO AO OD OP==，AOP POD ∠=∠， ∴APO △∽PDO △，∴2AP PO AO PD OD OP===，从而得：12PD AP = ∴12t AP PB PD PB =+=+ 显然当B 、P 、D 三点共线时，PD PB +取得最小值，过点D 作DG OB ⊥于点G ，由于OD =且ABO 为等腰直角三角形，则有1DG =，45DOG ∠=︒，∴动点E 的运动时间t 的最小值为：t DB ==== 【点睛】 本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键．9．（2021·湖南常德市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形ABCD 的AB 边与y 轴交于E 点，F 是AD 的中点，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-．（1）求过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）设过F 与AB 平行的直线交y 轴于Q ，M 是线段EQ 之间的动点，射线BM 与抛物线交于另一点P ，当PBQ △的面积最大时，求P 的坐标．【答案】（1）213442y x x =-++；（2）顶点是在直线EF 上，理由见解析；（3）P 点坐标为（9，114-）． 【分析】 （1）先求出A 点坐标，再求出直线AB 的解析式，进而求得E 的坐标，然后用待定系数法解答即可； （2）先求出点F 的坐标，再求出直线EF 的解析式，然后根据抛物线的解析式确定顶点坐标，然后进行判定即可；（3）设P 点坐标为（p ，()()1-p+284p -），求出直线BP 的解析式，进而求得M 的坐标；再求FQ 的解析式，确定Q 的坐标，可得|MQ |=()182p -+6，最后根据S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ 列出关于p 的二次函数并根据二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD ，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-∴A （3，10），设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则10302k b k b =+⎧⎨=-+⎩ ，解得24k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y =2x +4，当x =0时，y =4，则E 的坐标为（0,4），设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx +c ，()()220220884a b c a b c c ⎧=-+-+⎪=⋅++⎨⎪=⎩ ，解得14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为213442y x x =-++； （2）顶点是在直线EF 上，理由如下：∵F 是AD 的中点，∴F （8,10），设直线EF 的解析式为y =mx +n ，则4108n m n =⎧⎨=+⎩，解得344m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线EF 的解析式为y =34x +4， ∵213442y x x =-++， ∴抛物线的顶点坐标为（3，254）， ∵254=34×3+4， ∴抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）∵()()21314=-x+28424y x x x =-++-，则设P 点坐标为（p ，()()1-p+284p -），直线BP 的解析式为y =dx +e ， 则()()021-p+284d e p pd e =-+⎧⎪⎨-=+⎪⎩ ，解得()()184182d p e p ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线EF 的解析式为y =()184p --x +()182p -， 当x =0时，y =()182p -，则M 点坐标为（0，()182p -）， ∵AB //FQ ， ∴设FQ 的解析式为y =2x +f ，则10=2×8+f ，解得f =-6，∴FQ 的解析式为y =2x -6 ，∴Q 的坐标为（0，-6），∴|MQ |=()182p -+6， ∴S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ =1122QM OB QM PN +=()12QM OB PN + =()()1186222p p ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ =219842p p -++ ∴当p =9时，PBQ △的面积最大时，∴P 点坐标为（9，114-）．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数求最值等知识点，灵活求得所需的函数解析式成为解答本题的关键．10．（2021·湖南中考真题）已知函数2(0)(0)x x y x x -≤⎧=⎨>⎩的图象如图所示，点()11,A x y 在第一象限内的函数图象上．（1）若点()22,B x y 也在上述函数图象上，满足21x x <．①当214y y ==时，求12,x x 的值； ②若21x x =，设12=-w y y ，求w 的最小值；（2）过A 点作y 轴的垂线AP ，垂足为P ，点P 关于x 轴的对称点为P '，过A 点作x 轴的线AQ ，垂足为Q ，Q 关于直线'AP 的对称点为Q '，直线AQ '是否与y 轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）①122,4x x ==-；②14-；（2）直线AQ '与y 轴交于定点，定点的坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）①先确定20x ≤，再根据214y y ==代入求解即可得；②先确定2210,x x x <-=，从而可得21122,y x y x ==-，再代入w 可得一个关于1x 的二次函数，利用二次函数的性质即可得；（2）先分别求出点,,P P Q '的坐标，再利用待定系数法求出直线,AP QQ ''的解析式，从而可得点Q '的坐标，然后利用待定系数法求出直线AQ '的解析式，由此即可得出结论．【详解】解：（1）①对于二次函数2y x ，在0x >内，y 随x 的增大而增大，21211,40,x x x y y <>==，20x ∴≤，则当14y =时，214x =，解得12x =或120x =-<（舍去），当24y =时，24x -=，解得24x =-； ②21121,0,x x x x x <>=，2210,x x x ∴<-=，21122,y x y x ∴==-，则22121211()w y y x x x x =-=--=-， 化成顶点式为2111()24w x =--， 由二次函数的性质可知，在1>0x 内，当112x =时，w 取最小值，最小值为14-； （2）由题意，设'AP 与QQ '交于点B ，画图如下，11(x ,)A y 在已知函数的第一象限内的图象上，211y x ∴=，即211(,)A x x ，AP y ⊥轴，AQ x ⊥轴，点P 关于x 轴的对称点为P '，22111(0,),(0,),(,0)P P Q x x x '∴-，设直线'AP 的解析式为11y k x b =+，将点22111(,),(0,)P A x x x '-代入得：21111211k x b x b x ⎧+=⎨=-⎩，解得112112k x b x =⎧⎨=-⎩， 则直线'AP 的解析式为2112y x x x =-， Q 关于直线'AP 的对称点为Q '，QQ AP ''∴⊥，∴设直线QQ '的解析式为2112b x y x +=-， 将点1(,0)Q x 代入得：121201x b x -+=，解得212b =， 则直线QQ '的解析式为11212x y x +=-， 联立211121122y x x x y x x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，解得211212121(12)4141x x x x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即22111221141(12),41x x x B x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭， 设点Q '的坐标为(,)Q m n '， 则2111212121(12)2410241m x x x x x n x ⎧++=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得121212141241x m x x n x ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即21122114142,1x x Q x x ⎛⎫' ⎪++⎝⎭， 设直线AQ '的解析式为33y k x b =+， 将点22111122112(,),1,414x x A x x Q x x ⎛⎫' ⎪++⎝⎭代入得：2313121133221124141k x b x x x k b x x ⎧+=⎪⎨+=⎪++⎩， 解得2131314414x k x b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线AQ '的解析式为21144114x y x x -=-+，当0x =时，14y =， 即直线AQ '与y 轴交于定点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数的综合、轴对称等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．11．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．②设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x =2.5；（2）①()()=-+1-2y x x ；②1或4【分析】 （1）根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴；（2）①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中a 的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函数解析式；②根据条件求出A 、B 、C 、D 四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据相似的性质可求出m 的值．【详解】解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x =（1+4）÷2=2.5,；（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1，根据交点式可求出C 1二次函数表达式为()()=-+1-2y x x ；②根据①中的函数关系式，可得A （2,0），B （-1,0），C （0,2），D （m ，2-++2m m ），且m ＞0 由图像可知∠BOC =∠DEO =90°，则以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似有两种情况，（i ）当△ODE ∽△BCO 时， 则OE DE OB OC =，即2-++2=12m m m ， 解得m =1或-2（舍），（ii ）当△ODE ∽△CBO 时， 则OE DE OC OB =，即2-++2=21m m m ，解得m所以满足条件的m 的值为1 【点睛】本题主要考查了一元二次函数图形的平移、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用数形结合是解决问题的关键．12．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，求直线BC 的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，求点P 的坐标，并求出此时AP PC +的最小值；（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =-++；（2）直线BC 的解析式为4y x =-+；（3）35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时AP PC +的最小值为（4）存在，()3,4N 或4⎫-⎪⎪⎝⎭．【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入求解即可；（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，然后把点B 、C 的坐标代入求解即可；（3）由题意易得点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得AP PC BP PC +=+，要使AP PC +的值为最小，则需满足点B 、P 、C 三点共线时，即为BC 的长，然后问题可求解；（4）由题意可设点()()2,0,,34M m N n n n -++，然后可分①当AC 为对角线时，②当AM 为对角线时，③当AN 为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．【详解】解：（1）∵抛物线24y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，∴4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为234y x x =-++；（2）由（1）可得抛物线的解析式为234y x x =-++，∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴()0,4C ，设直线BC 的解析式为y kx b =+，把点B 、C 的坐标代入得：404k b b +=⎧⎨=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为4y x =-+；（3）由抛物线234y x x =-++可得对称轴为直线322b x a =-=，由题意可得如图所示：连接BP 、BC ，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴AP BP =，∴AP PC BP PC +=+，要使AP PC +的值为最小，则需满足点B 、P 、C 三点共线时，即为BC 的长，此时BC 与对称轴的交点即为所求的P 点，∵4OC OB ==，∴BC =∴AP PC +的最小值为∵点P 在直线BC 上， ∴把32x =代入得：35422y =-+=， ∴35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （4）存在，理由如下：由题意可设点()()2,0,,34M m N n n n -++，()()1,0,0,4A C -，当以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：①当AC 为对角线时，如图所示：连接MN ，交AC 于点D ，∵四边形ANCM 是平行四边形，∴点D 为AC 、MN 的中点，∴根据中点坐标公式可得：A C M N A C M N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21004034m n n n -+=+⎧⎨+=-++⎩， 解得：43m n =-⎧⎨=⎩，∴()3,4N ；②当AM 为对角线时，同理可得：A M C N A M C N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21000434m n n n -+=+⎧⎨+=-++⎩，解得：n =，∴4N ⎫-⎪⎪⎝⎭；③当AN 为对角线时，同理可得：A N M C A N M C x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21003440n m n n -+=+⎧⎨-++=+⎩， 解得：3n =，∴()3,4N ；∴综上所述：当以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为()3,4或4⎫-⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．13．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l ：3y kx =+经过点A ，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上方，点Q 为抛物线上的一个动点，当//PQ y 轴时，作QM PQ ⊥，交抛物线于点M （点M 在点Q 的右侧），以PQ ，QM 为邻边构造矩形PQMN ，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F ，使得CBF =∠DQM ∠？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）314；（3）存在，()1,0F -或52839F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【分析】（1）直接将()1,0A -，()4,0B 两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点P 的坐标，接着表示出Q 点和M 点的坐标后，求出线段PQ 和QM 的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值；（3）先利用锐角三角函数证明出CBA ∠=DQM ∠，进而得到F 点的其中一个位置，在BC 另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF 与y 轴的交点，进而求出BF 的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F 点的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点， ∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴该抛物线的函数表达式为：213222y x x =-++； （2）∵3y kx =+经过点A ，∴30k -+=，∴3k =，。

湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编（解析版）（地市排序不分先后）一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ； ②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 “十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； 12S S S =34S S S =“十字形”ABCD 的周长为102．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax2﹣53x+c（a＞0）的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=43，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A （﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B （5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．12．（衡阳市）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．13．（娄底市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精析一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ； ②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 不是 “十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①12S S S =+；②34S S S =+；③“十字形”ABCD 的周长为1210．【学会思考】（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出∠ADB +∠CAD=∠ABD +∠CAB ，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC ⊥BD ，再判断出四边形OMEN 是矩形，进而得出OE 2=2﹣14（AC 2+BD 2），即可得出结论；（3）由题意得，A （，0），B （0，c ），C （，0），D （0，﹣ac ），求出S=12AC•BD=﹣12（ac +c ）×，S 1=12OA•OB=﹣，S 2=12OC•OD=﹣，S3=12OA×OD=﹣，S4=12OB×OC=﹣，进而建立方程+=+，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=310，进而求出c=﹣9，即可得出结论．【解】：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，∴菱形，正方形是：“十字形”，∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，∴平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为：菱形，正方形；②如图，当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为：不是；（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，∴∠AED=∠AEB=90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=12AC，DN=12BD，四边形OMEN是矩形，∴ON=ME ，OE 2=OM 2+ME 2，∴OE 2=OM 2+ON 2=2﹣14（AC 2+BD 2）， ∵6≤AC 2+BD 2≤7， ∴2﹣74≤OE 2≤2﹣32， ∴14≤OE 2≤12， ∴12（OE ＞0）；（3）由题意得，A （，0），B （0，c ），C （，0），D （0，﹣ac ）， ∵a ＞0，c ＜0，∴OA=，OB=﹣c ，OC=，OD=﹣ac ，AC=，BD=﹣ac ﹣c ， ∴S=12AC•BD=﹣12（ac +c ）×，S 1=12OA•OB=﹣，S 2=12OC•OD=﹣， S 3=12OA ×OD=﹣，S 4=12OB ×OC=﹣，∵12S S S =+，34S S S =+，∴+=+， ∴4a =2，∴a=1，∴S=﹣c ∆，S 1=﹣，S 4=﹣， ∵12S S S =+，∴S=S 1+S 2+212S S ，∴﹣c ∆=﹣+2， ∴﹣=﹣c•c -， ∴=4c -∴b=0，∴A（﹣c，0），B（0，c），C（c ，0），d（0，﹣c），∴四边形ABCD是菱形，∴4AD=1210，∴AD=310，即：AD2=90，∵AD2=c2﹣c，∴c2﹣c=90，∴c=﹣9或c=10（舍），即：y=x2﹣9．2．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【学会思考】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=12x，直线AB的解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N（43t，2 3t），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=12•4•t﹣12•t•23t，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q（m，14m2﹣32m），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO∽△COA，则|14m2﹣32m|=2|m|；当=时，△PQO∽△CAO，则|14m2﹣3 2m|=12|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．【解】：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=14，∴抛物线解析式为y=14x（x﹣6），即y=14x2﹣32x；（2）设M（t，0），易得直线OA的解析式为y=12 x，设直线AB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，∴直线AB 的解析式为y=2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y=2x +n ，把M （t ，0）代入得2t +n=0，解得n=﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y=2x ﹣2t ， 解方程组得，则N （43t ，23t ）， ∴S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM =12•4•t ﹣12•t•23t =﹣13t 2+2t =﹣13（t ﹣3）2+3， 当t=3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设Q （m ，14m 2﹣32m ）， ∵∠OPQ=∠ACO ，∴当=时，△PQO ∽△COA ，即=，∴PQ=2PO ，即|14m 2﹣32m |=2|m |， 解方程14m 2﹣32m=2m 得m 1=0（舍去），m 2=14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程14m 2﹣32m=﹣2m 得m 1=0（舍去），m 2=﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当=时，△PQO ∽△CAO ，即=， ∴PQ=12PO ，即|14m 2﹣32m |=12|m |， 解方程14m 2﹣32m=12m 得m 1=0（舍去），m 2=8（舍去）， 解方程14m 2﹣32m=﹣12m 得m 1=0（舍去），m 2=4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）．3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax 2﹣3+c （a ＞0）的图象抛物线与x 轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．【学会思考】（1）根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值；（2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，列不等式可得c的取值范围；（3）根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则c=，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角△ADG，根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE，列比例式得方程可得a和c的值．【解】：（1）抛物线的对称轴是：x=﹣=﹣=3，解得：a=52；（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x2﹣53x+c，∵二次函数与x轴有两个交点，∴△＞0，∴△=b2﹣4ac=﹣4×15c，∴c＜54；（3）∵∠BOD=90°，∠DBO=60°，∴tan60°===3， ∴OB=33c ， ∴B （33c ，0）， 把B （33c ，0）代入y=ax 2﹣53x +c 中得：23ac -5333c +c=0， 23ac ﹣5c +c=0， ∵c ≠0，∴ac=12，∴c=， 把c=代入y=ax 2﹣53x +c 中得：y=a （x 2﹣+）=a （x ﹣）（x ﹣）， ∴x 1=，x 2=，∴A （，0），B （，0），D （0，）， ∴AB=﹣=，AE=， ∵F 的纵坐标为3+， ∴F （，），过点A 作AG ⊥DB 于G ，∴BG=12AB=AE=，AG=92a ， DG=DB ﹣BG=﹣=， ∵∠ADB=∠AFE ，∠AGD=∠FEA=90°，∴△ADG ∽△AFE ，∴，∴=，∴a=2，c=6，∴y=2x2﹣53x+6．4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．【学会思考】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．【解】：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，a=﹣1，∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，∵E（0，3），∴E'（2，3），易得E'F的解析式为：y=3x﹣3，当x=1时，y=3×1﹣3=0，∴G（1，0）（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，过N 作NH ⊥x 轴于H ，交AB 于Q ，设N （m ，﹣m 2+2m +3），则Q （m ，﹣2m +6），（1＜m ＜3），∴NQ=（﹣m 2+2m +3）﹣（﹣2m +6）=﹣m 2+4m ﹣3，∵AD ∥NH ，∴∠DAB=∠NQM ，∵∠ADB=∠QMN=90°，∴△QMN ∽△ADB ， ∴， ∴， ∴MN=﹣（m ﹣2）2+， ∵﹣＜0，∴当m=2时，MN 有最大值；过N 作NG ⊥y 轴于G ，∵∠GPN=∠ABD ，∠NGP=∠ADB=90°，∴△NGP ∽△ADB ， ∴=24=12， ∴PG=12NG=12m ， ∴OP=OG ﹣PG=﹣m 2+2m +3﹣12m=﹣m 2+32m +3， ∴S △PON =12OP•GN=12（﹣m 2+32m +3）•m ， 当m=2时，S △PON =12×2（﹣4+3+3）=2． （方法2：根据m 的值计算N 的坐标为（2，3），与E 是对称点，连接EN ，同理得：EP=12EN=1，则OP=2，根据面积公式可得结论）．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=43，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2﹣y1的值；（3）根据m的值可得出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标．①利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；②根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P，设点P 的坐标为（x，y），分三种情况考虑：（i）当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（ii）当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（iii）当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．【解】：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣33，0），∴，解得：，∴抛物线F的解析式为y=x23．（2）将3+m代入y=x23x，得：x2=m，解得：x1=m x2m∴y1=133m m，y2133m m，∴y2﹣y1=133m m133m m）233m m＞0）．（3）∵m=43，∴点A的坐标为（﹣33，23），点B的坐标为（233，2）．∵点A′是点A关于原点O的对称点，∴点A′的坐标为（233，﹣23）．①△AA′B为等边三角形，理由如下：∵A（﹣233，23），B（233，2），A′（233，﹣23），∴AA′=83，AB=83，A′B=83，∴AA′=AB=A′B，∴△AA′B为等边三角形．②∵△AA′B为等边三角形，∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P 的坐标为（x，y）．（i）当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（23，23）；（ii）当AB为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣233，103）；（iii）当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣33，﹣2）．综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（23，23）、（﹣233，103）和（﹣233，﹣2）．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【学会思考】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解】：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278．②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==32，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（32，154）．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．【学会思考】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．【解】：（1）∵抛物线y=14（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线y=14（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=14x2的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a，14a2）∴PM=PF=14a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．∴QP+PF的最小值为6．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A （﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．【学会思考】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式中可求出a值，进而可得出二次函数表达式；（2）将点B的坐标代入一次函数表达式中可求出b值；（3）过点M作ME⊥y轴于点E，设点M的坐标为（x，14x2+1），则MC=14x2+1，由勾股定理可求出MB的长度，进而可证出MB=MC；（4）过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，由（3）的结论可得出MN=NB+MB=ND+MC，利用中位线定理可得出PQ=12MH，进而可得出PF=12MN，由此即可得出以MN为直径的圆与x轴相切．【解】：（1）∵二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），∴2=4a+1，解得：a=14，∴二次函数表达式为y=14x2+1．（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．（3）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示．设点M的坐标为（x，14x2+1），则MC=14x2+1，∴ME=|x|，EB=|14x2+1﹣2|=|14x2﹣1|，∴MB=，=，=，=，=14x2+1．∴MB=MC．（4）相切，理由如下：过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N 作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示．由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．∵点P为MN的中点，PQ∥MH，∴PQ=12 MH．∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，∴四边形NDCH为矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=12MH+ND=12（ND+MH+HC）=12（ND+MC）=12MN．∴以MN为直径的圆与x轴相切．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4=0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC=3，AD=1，CD=4，17，55然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到12（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN=655，再根据三角形面积公式计算出MN=253，然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=17﹣t，由②得AH=655，利用勾股定理可计算出BH=755，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面积公式得到12•（17﹣t）•=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或59．【解】：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2．把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（﹣1，0），当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，∵AC=3，AD=1，CD=4，17，55，∴△BCD为等腰三角形，∴构造的三角形是等腰三角形的概率=13；（3）存在．易得BC 的解析是为y=﹣2x +4，S △ABC =12AC•OB=12×3×4=6， M 点的坐标为（m ，﹣2m +4）（0≤m ≤2），①当N 点在AC 上，如图1，∴△AMN 的面积为△ABC 面积的13， ∴12（m +1）（﹣2m +4）=2，解得m 1=0，m 2=1， 当m=0时，M 点的坐标为（0，4），N （0，0），则AN=1，MN=4，∴tan ∠MAC==4；当m=1时，M 点的坐标为（1，2），N （1，0），则AN=2，MN=2，∴tan ∠MAC==1；②当N 点在BC 上，如图2，BC==25，∵12BC•AN=12AC•BC ，解得AN==655， ∵S △AMN =12AN•MN=2， ∴MN==253， ∴∠MAC===59； ③当N 点在AB 上，如图3，作AH ⊥BC 于H ，设AN=t ，则BN=17﹣t ， 由②得AH=655，则BH==755， ∵∠NBG=∠HBA ，∴△BNM ∽△BHA ，∴=，即=，∴MN=，∵12AN•MN=2，即12•（17﹣t）•=2，整理得3t2﹣317t+14=0，△=（﹣317）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，∴点N在AB上不符合条件，综上所述，tan∠MAN的值为1或4或59．10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a=2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=﹣13x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解】：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（103，﹣139），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B （5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．【学会思考】（1）应用待定系数法；（2）利用相似三角形性质分类讨论求解；（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．【解】：（1）由已知点B坐标为（5，5）把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得解得∴抛物线的解析式为：y=（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=32，则点C坐标为（32，32）∴OC=，OB=52当△OBA∽△OCP时，∴∴OP=9 10当△OBA∽△OPC时，∴∴OP=5∴点P坐标为（5，0）或（910，0）（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c ∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°。

2019年中考数学二次函数真题汇编试卷(名师全国选择压轴真题+详细解析答案，值得下载练习)1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a ＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣23．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，（a＞b），x1、x2是此方程的两个实数根，且x1＜x2．现给出四个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2；④x1＜x2＜b＜a其中正确结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y 与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD ＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④5．已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结P A、PD，PD交AB于点E，△P AD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB＝AD时相似D．无法确定6．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…A n+1（x n+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A．或B．或C．或D．7．二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝4a﹣2b+c，P＝2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个9．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C﹣D﹣E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（﹣1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（）（1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b＝0；（4）a+b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，记抛物线y＝﹣x2+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Q n﹣1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…，P n﹣2P n﹣1Q n﹣1的面积分别为S1，S2，…，这样就有S1＝，S2＝，…；记W＝S1+S2+…+S n﹣1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（）A．B．C．D．12．为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处的挑射正好射中了2.4m高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线y＝ax2+bx+c（如图所示）则下列结论：①a＜﹣，②﹣＜a＜0，③a﹣b+c＞0，④0＜b＜﹣24a，其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点A i，交直线于点B i．则的值为（）A．B．2 C．D．15．如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（）A．πB．πC．πD．条件不足，无法求16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．317．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④18．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝3，AB＝2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A和点B，与x轴分别交于点D、E（点D在点E左侧），且OE＝1，则下列结论：①a＞0；②c＞3；③2a﹣b＝0；④4a﹣2b+c＝3；⑤连接AE、BD，则S梯形ABDE＝9．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③20．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O 顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上．则抛物线y＝ax2的函数解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣2x2D．y＝﹣21．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y＝x2的图象上，则使得S△ABC ＝2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1参考答案1．解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．2．解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB，即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．3．解：如图所示，关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，x1，x2是抛物线y＝x2﹣（a+b）x+ab与直线y＝1的交点的横坐标，（不妨设x1＜x2且a＜b）观察图象可知，x1≠x2，故①正确设抛物线的对称轴为x＝h，x2＝h+m，x1＝h﹣m，b＝h+n，a＝h﹣n，m＞n，∴x1•x2＝h2﹣m2，ab＝h2﹣n2，∵m＞n，∴x1•x2＜ab，故②正确，∵＝，∴x1+x2＝a+b，∴x12+2x1x2+x22＝a2+2ab+b2，∵2x1x2＜2ab，∴x12+x22＞a2+b2，故③错误，观察图象可知x1＜b＜a＜x2，故④错误．故选：B．4．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．5．解：令x＝0，则y＝1，∴OP＝1，设点A的横坐标为m，则AD＝﹣m2+1，∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，∴AF＝OD＝m，OF＝﹣m2+1，PF＝1﹣（﹣m2+1）＝m2，在Rt△P AF中，P A2＝PF2+AF2＝（m2）2+m2＝m4+m2，在Rt△POD中，PD＝＝＝，由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，∴＝，即＝，解得，PE＝m2，∴P A2＝PD•PE＝m4+m2，∴＝，∵∠APE＝∠DP A，∴△P AD∽△PEA，即，△P AD与△PEA始终相似．故选：B．6．解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；∴直线l：y＝x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．故选：B．7．解：∵对称轴是x＝，0＜x1＜故由对称性＜x2＜1当x＝a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，所以a﹣1＜0，当x时y随x的增大而减小，当x＝0时函数值是m．因而当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．故选：C．8．解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴a＜0，b＜0，∵图象经过y轴正半轴，∴c＞0，∴M＝a+b﹣c＜0当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴N＝4a﹣2b+c＜0，∵﹣＞﹣1，∴＜1，∵a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，∴P＝2a﹣b＜0，则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．故选：A．9．解：由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取C（﹣1，4），设该抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，代入点B坐标，得：0＝a（1+1）2+4，a＝﹣1，即：B点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4．当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取E（3，1），则此时抛物线的解析式：y ＝﹣（x﹣3）2+1＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣2）（x﹣4），即与x轴的交点为（2，0）或（4，0）（舍去），∴点A的横坐标的最大值为2．故选：B．10．解：（1）∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）（如虚线部分），∴y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝﹣1；∵开口方向向上，∴a＞0，故①正确；（2）∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上∴c＜0，故②正确；（3）∵对称轴x＝＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故③正确；（4）当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故④正确．故选：D．11．解：由图象知S3＝，总结出规律：，则w＝S1+S2+…+S n﹣1＝++…+＝＝＝＝﹣﹣+﹣＝﹣﹣，当n越来越大时，可知W最接近的常数为．故选：C．12．解：由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为x＝＞0，∴a、b异号，即b＞0．与y轴的交点坐标为（0，2.4），∴c＝2.4把点（12，0）代入解析式得：144a+12b+2.4＝0．∴144a＝﹣2.4﹣12b，12b＝﹣2.4﹣144a∴144a＜﹣2.4，12b＜﹣144a∴a＜﹣，b＜﹣12a，∴2b＜﹣24a，即b＜﹣12a，∴b＜﹣24a，∴①④正确，②错误∵此题是实际问题，∴x不能取﹣1，∴③a﹣b+c＞0错误．故选：B．13．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，∴c＝0，∴abc＝0∴①正确；∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x＝﹣，∴﹣，b＜0，∴b＝3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C．14．解：根据题意得：A i B i＝x2﹣（﹣x）＝x（x+1），∴＝＝2（﹣），∴++…+＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝．故选：A．15．解：由分析知图中阴影面积等于半圆的面积，则s＝＝．故选：B．16．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x＝﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，∴y＝ax2+bx+c和y＝m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选：D．17．解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，b＝2a，∴b﹣2a＝0，故①正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），∴把x＝﹣2代入得：y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c＝0，又∵b＝2a，∴c＝﹣4a﹣2b＝﹣8a，∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，故③正确；根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），∵（，y2），1＜，∴y1＞y2，故④正确；即正确的有①③④，故选：B．18．解：由函数图象可得：抛物线开口向下，∴a＜0，选项①错误；又OA＝3，AB＝2，∴抛物线与y轴交于A（0，3），即c＝3，选项②错误；又A和B关于对称轴对称，且AB＝2，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，选项③正确；∴B（﹣2，3），将x＝﹣2，y＝3代入抛物线解析式得：4a﹣2b+c＝3，选项④正确；由OE＝1，利用对称性得到CD＝OE＝1，又OC＝AB＝2，∴DE＝CD+OC+OE＝1+2+1＝4，又OA＝3，则S梯形ABDE＝OA（AB+DE）＝9，选项⑤正确，综上，正确的个数为3个．故选：C．19．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3＝﹣3，∴＝﹣3，则a＝﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a＝﹣，﹣＝1，∴b＝﹣2a＝，∴n＝a+b+c＝c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选：D．20．解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE＝75°，∵∠AOB＝45°，∴∠BOE＝30°，∵OA＝1，∴OB＝，∵∠OEB＝90°，∴BE＝OB＝，∴OE＝，∴点B坐标为（，﹣），代入y＝ax2（a＜0）得a＝﹣，∴y＝﹣．故选：B．21．解：∵S△ABC＝×2×2＝2，可见，当O与C重合时，S△ABC＝2，作CD⊥AB，∵AO＝BO＝2，可见，△ACB为等腰直角三角形，CD＝2×cos45°＝2×＝．由图易得，到AB距离为的点有C、C1、C2，作CC3∥AB，则CC3的解析式为y＝﹣x，将y＝﹣x和y＝x2组成方程组得，，解得，，，则C3坐标为（﹣1，1），可见，有四个点，使得S△ABC＝2．故选：A．。

2021年湖南省郴州市中考数学总复习：二次函数
一．选择题（共50小题）
1．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为（）
A．y＝2（x﹣1）2﹣2B．y＝2（x+1）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
2．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴有两个交点，且交点位于y轴两侧，则下列关于这个二次函数的说法中不正
确的是（）
A．a＞0
B．若b＞0，则当x＞0时，y随x的增大而增大
C．a+b＜3
D．一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的两根异号
3．如图，在平面直角坐标系中2条直线，分别为l1：y＝3x+3，l2：y＝3x﹣3，直线l1交x 轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．
下列判断中：
①a+b+c＝0；
②抛物线关于直线x＝1轴对称；
③点（a+b，c）在抛物线上方；
④S△BCD＝3；
⑤4a（c﹣4）＝b2．
其中正确的个数有（）
A．5B．4C．3D．2
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专题12 几何图形初步、平行线与相交线、展开图一、选择题1．（2021·湖南怀化市·中考真题）下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形判断即可．【详解】解：由圆锥的侧面展开图是扇形可知选B ，故选：B ．【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的形状，题型比较简单，熟知关于圆锥的知识点是解决本题的关键． 2．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，//AB CD ，EF 分别与AB ，CD 交于点G ，H ，100AGE ∠=°，则DHF ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．80︒C ．50︒D ．40︒【答案】A【分析】先根据平行线的性质可得100CHE AGE ∠=∠=︒，再根据对顶角相等即可得．【详解】解：//,100AB CD AGE ∠=︒，100CHE AGE ∴∠=∠=︒，100CHE DHF ∴∠=∠=︒（对顶角相等），故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键．3．（2021·湖南岳阳市·中考真题）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线//a b ，则1∠的大小为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．75︒D ．105︒【答案】C【分析】 根据平行线的性质解题．【详解】∵a ∥b∴()1+45+60=180∠︒︒︒（两直线平行，同旁内角互补）∴1=75︒∠．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质．两直线平行，同旁内角互补．4．（2021·湖南中考真题）如图，//,AB CD ACE 为等边三角形，40DCE ∠=︒，则EAB ∠等于（ ）A ．40︒B ．30C ．20︒D ．15︒【答案】C【分析】 先根据等边三角形的性质可得60ECA EAC ∠=∠=︒，再根据平行线的性质可得180DCA BAC ∠+∠=︒，然后根据角的和差即可得．【详解】解：ACE 为等边三角形，60ECA EAC ∴∠=∠=︒，//AB CD ，180DCA BAC ∴∠+∠=︒，180DCE ECA EAC EAB ∴∠+∠+∠+∠=︒，40DCE ，406060180EAB ∴︒+︒+︒+∠=︒，解得20EAB ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． 5．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，//AB CD ，点,E F 在AC 边上，已知70,130CED BFC ∠=︒∠=︒，则B D ∠+∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】C【分析】取,ED FB 的交点为点G ，过点G 作平行于CD 的线MN ，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解．【详解】解：取,ED FB 的交点为点G ，过点G 作平行于CD 的线MN ，如下图：根据题意：70,130CED BFC ∠=︒∠=︒，50EFG ∴∠=︒，180507060EGF ∴∠=︒-︒-︒=︒，////MN CD AB ，,B BGN D DGN ∴∠=∠∠=∠，B D BGN DGN BGD ∴∠+∠=∠+∠=∠，,ED BF 相交于点G ，60EGF BGD ∴∠=∠=︒，60B D ∴∠+∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解．6．（2020·湖南衡阳市·中考真题）下列不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．【详解】解：A 、B 、D 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．C 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C 不能围成三棱柱．故选C ．【点睛】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形． 7．（2020·湖南长沙市·中考真题）如图，一块直角三角板的60度的顶点A 与直角顶点C 分别在平行线,FD GH 上，斜边AB 平分CAD ∠，交直线GH 于点E ，则ECB ∠的大小为( )A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．25︒【答案】C【分析】 利用角平分线的性质求得∠DAE 的度数，利用平行线的性质求得∠ACE 的度数，即可求解．【详解】∵AB 平分CAD ∠，∠CAB=60︒，∴∠DAE=60︒，∵FD ∥GH ，∴∠ACE+∠CAD=180︒，∴∠ACE=180︒-∠CAB -∠DAE=60︒，∵∠ACB=90︒，∴∠ECB=90︒-∠ACE=30︒，故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．8．（2020·湖南岳阳市·中考真题）如图，DA AB ⊥，CD DA ⊥，56B ∠=︒，则C ∠的度数是（）A ．154︒B ．144︒C ．134︒D ．124︒【答案】D【分析】由平行线的判定和性质，即可求出答案．【详解】解：∵DA AB ⊥，CD DA ⊥，∴//AB CD ，∴180C B ∠+∠=︒，∵56B ∠=︒，∴124C ∠=︒；故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．9．（2020·湖南中考真题）如图，已知AB ∥DE ，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE 的度数为（ ）A ．70°B ．65°C ．35°D ．5°【答案】B【分析】作CF ∥AB ，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF ，∠FCE ＝∠2，从而可得∠BCE 的度数，本题得以解决．【详解】作CF ∥AB ，∵AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴AB ∥DE ∥DE ，∴∠1＝∠BCF ，∠FCE ＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF ＝30°，∠FCE ＝35°，∴∠BCE ＝65°，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．10．（2020·湖南怀化市·中考真题）如图，已知直线a ，b 被直线c 所截，且//a b ，若40α︒∠=，则β∠的度数为（ ）A ．140︒B ．50︒C ．60︒D ．40︒【答案】D【分析】 首先根据对顶角相等可得∠1的度数，再根据平行线的性质可得β∠的度数．【详解】解：∵α∠＝40°，∴∠1＝α∠＝40°，∵a ∥b ，∴β∠＝∠1＝40°，故选：D ．【点睛】此题主要考查了对顶角相等和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 11．（2020·湖南郴州市·中考真题）如图，直线,a b 被直线,c d 所截下列条件能判定//a b 的是（ ）A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=C ．45∠=∠D ．12∠=∠【答案】D【分析】 直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．【详解】A 、当∠1=∠3时，c ∥d ，不能判定a ∥b ，故此选项不合题意；B 、当∠2+∠4=180°时，c ∥d ，不能判定a ∥b ，故此选项不合题意；C 、当∠4=∠5时，c ∥d ，不能判定a ∥b ，故此选项不合题意；D 、当∠1=∠2时，a ∥b ，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．12．（2020·湖南娄底市·中考真题）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128∠=︒，那么2∠的度数为（ ）A ．62°B ．56°C ．28°D ．72°【答案】A【分析】 利用两锐角互余求解,ABD ∠ 再利用平行线的性质可得答案．【详解】解：如图，标注字母，由题意得：90,128,//EBD AB CD ∠=︒∠=︒，902862,ABD ∴∠=︒-︒=︒262,ABD ∴∠=∠=︒故选A ．【点睛】本题考查平行线的性质，两锐角互余的性质，掌握以上知识是解题的关键．13．（2019·湖南益阳市·中考真题）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据特殊几何体的展开图逐一进行分析判断即可得答案．【详解】A、圆柱的侧面展开图是矩形，故A错误；B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；D、三棱锥的侧面展开图是三个三角形拼成的图形，故D错误，故选C．【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．14．（2019·湖南怀化市·中考真题）与30的角互为余角的角的度数是（）A．30B．60︒C．70︒D．90︒【答案】B【分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案．【详解】与30︒的角互为余角的角的度数是：60︒．故选B．【点睛】此题主要考查了互为余角的定义，正确把握互为余角的定义是解题关键．15．（2019·湖南长沙市·中考真题）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是( )A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】如图，∵∠1=80°，∴∠3=100°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=100°．故选C．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解题关键．16．（2019·湖南岳阳市·中考真题）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是( )A．20°B．25°C．30°D．50°【答案】B【分析】根据角平分线的定义先求得∠EBC＝25°，再根据平行线的性质即可求得答案.【详解】∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠ABE＝∠EBC＝25°，∵BE∥DC，∴∠EBC＝∠C＝25°.故选B.【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.17．（2019·湖南衡阳市·中考真题）如图，已知AB CD ∕∕，AF 交CD 于点E ，且,40BE AF BED ⊥∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．90︒【答案】B【分析】 直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】解：∵,40BE AF BED ⊥∠=︒，∴50FED ∠=︒，∵AB CD ∕∕，∴50A FED ∠=∠=︒．故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出FED ∠的度数是解题关键．18．（2019·湖南邵阳市·中考真题）如图，已知两直线1l 与2l 被第三条直线3l 所截，下列等式一定成立的是（ ）A ．12∠∠=B ．23∠∠=C ．24∠∠+=180°D ．14∠∠+=180° 【答案】D【分析】由三线八角以及平行线的性质可知，A ，B ，C 成立的条件题目并没有提供，而D 选项中邻补角的和为180°一定正确．【详解】1∠与2∠是同为角，2∠与3∠是内错角，2∠与4∠是同旁内角，由平行线的性质可知，选项A ，B ，C 成立的条件为12l l //时，故A 、B 、C 选项不一定成立，∵1∠与4∠是邻补角，∴∠1+∠4=180°，故D 正确．故选D ．【点睛】本题考查三线八角的识别及平行线的性质和邻补角的概念．本题属于基础题，难度不大．19．（2019·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，直线a ∥b ，∠1＝50°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）A ．40°B ．90°C ．50°D ．100°【答案】B【分析】 根据平行线的性质即可得到∠4的度数，再根据平角的定义即可得到∠3的度数.【详解】∵a ∥b ，∴∠4＝∠1＝50°，∵∠2＝40°，∴∠3＝180°-40°-50°=90°，故选B.【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质.二、填空题20．（2021·湖南中考真题）如图，AB 与CD 相交于点O ，OE 是AOC ∠的平分线，且OC 恰好平分EOB ∠，则AOD ∠=_______度．【答案】60【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得60COB ∠=︒，再根据对顶角相等即可得．【详解】解：设2AOC x ∠=， OE 是AOC ∠的平分线，12AOE EOC AOC x ∴∠=∠=∠=， OC 平分EOB ∠，COB EOC x ∴∠=∠=，又180AOE EOC COB ∠+∠+∠=︒，180x x x ∴++=︒，解得60x =︒，即60COB ∠=︒，由对顶角相等得：60AOD COB ∠=∠=︒，故答案为：60．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 21．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，已知//AB CD ，BC 是ABD ∠的平分线，若264∠=︒，则3∠=________．【答案】58°【分析】先根据对顶角的性质可得∠BDC =264∠=︒,然后根据平行线的性质求得∠ABC ,最后根据角平分线的定义求解即可．【详解】解：∵∠BDC 和∠2是对顶角∴∠BDC =264∠=︒∵//AB CD∴∠BDC +∠ABD =180°，即∠ABD =116°∵BC 是ABD ∠的平分线∴∠3=∠1=12∠ABD =58°． 故填：58°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、对顶角相等以及角平分线的相关知识，掌握平行线的性质成为解答本题的关键．22．（2020·湖南益阳市·中考真题）如图，//AB CD ，AB AE ⊥，42CAE ∠=，则ACD ∠的度数为__________．【答案】132°【分析】由AB AE ⊥求得∠BAC ，再根据平行线的性质即可解得∠ACD 的度数．【详解】∵AB AE ⊥，42CAE ∠=，∴∠BAC=90°-∠CAE=90°-42°=48°，∵//AB CD ，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°-∠BAC=180°-48°=132°，故答案为：132°．【点睛】本题考查了垂直定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．23．（2020·湖南永州市·中考真题）已知直线//a b ，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠=_________．【答案】35°【分析】如图，标注字母，延长ED 交a 于C ，利用平行线的性质证明2,DCA ∠=∠，三角形的外角的性质证明1BDE DCA ∠=∠+∠，从而可得答案．【详解】解：如图，标注字母，延长ED 交a 于C ，由题意得：30,90,B DEB ∠=︒∠=︒60,BDE ∴∠=︒//,a b2,DCA ∴∠=∠1,125,BDE DCA ∠=∠+∠∠=︒602535,DCA ∴∠=︒-︒=︒235.∴∠=︒故答案为：35.︒【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 24．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，直线AE ∥BC ，BA AC ⊥，若54ABC ∠=︒，则EAC ∠=___________度．【答案】36.︒【分析】根据平行线的性质先求解,BAE ∠ 利用BA AC ⊥，从而可得答案．【详解】解：AE ∵∥BC ，180,B BAE ∴∠+∠=︒54,B ∠=︒18054126,BAE ∴∠=︒-︒=︒,BA AC ⊥90,BAC ∴∠=︒1269036,EAC ∴∠=︒-︒=︒故答案为：36.︒【点睛】本题考查的是平行线的性质，垂直的性质，掌握以上知识是解题的关键．25．（2020·湖南张家界市·中考真题）如图，AOB ∠的一边OA 为平面镜，38AOB ︒∠=，一束光线（与水平线OB 平行）从点C 射入经平面镜反射后，反射光线落在OB 上的点E 处，则DEB ∠的度数是_______度．【答案】76°【分析】根据平行线的性质可得∠ADC 的度数，由光线的反射定理可得∠ODE 的度数，在根据三角形外角性质即可求解．【详解】解：∵DC ∥OB ，∴∠ADC=∠AOB=38°，由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，故答案为：76°．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键． 26．（2020·湖南衡阳市·中考真题）一副三角板如图摆放，且//AB CD ，则∠1的度数为_________．【答案】105.︒【分析】如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解AEF ∠,再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：如图，把顶点标注字母，//,45,AB CD D ∠=︒45,AEF D ∴∠=∠=︒60,GAB ∠=︒16045105.GAB AEF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：105.︒【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．27．（2019·湖南娄底市·中考真题）如图，AB CD ∥，AC BD ，128︒∠=，则2∠的度数为_______．【答案】28︒【分析】由平行线的性质得出∠1=∠A，再由平行线的性质得出∠2=∠A，即可得出结果．【详解】解：∵AC BD，∴1A∠=∠，∥，∵AB CD∠=∠，∴2A∠=∠=，∴2128︒故答案为28︒．【点睛】本题考查了平行线的性质等知识，熟练掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．28．（2019·湖南益阳市·中考真题）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝____________度．【答案】52【分析】根据平行线的性质可得∠OED＝∠2，再根据∠O＝90°，∠1＝∠OED+∠O＝142°，即可求得答案.【详解】∵AB∥CD，∴∠OED＝∠2，∵OA⊥OB，∴∠O＝90°，∵∠1＝∠OED+∠O＝142°，∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°，故答案为52．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. 29．（2019·湖南张家界市·中考真题）已知直线a b ∥，将一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示方式放置(30BAC ︒∠=)，并且顶点A ，C 分别落在直线a ，b 上，若118︒∠=，则2∠的度数是______．【答案】48︒【分析】根据平行线的性质结合三角板的角的度数即可求得答案.【详解】a b ，21CAB 183048∠∠∠︒︒︒∴=+=+=，故答案为48︒.【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键.。

专题10 二次函数（选择题、填空题）一、选择题1．（2021·湖南张家界市·中考真题）若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则一次函数y ax b =+与反比例函数c y x=-在同一个坐标系内的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先根据抛物线的开口方向确定a ＜0，对称轴可确定b 的正负，与y 轴的交点可知c ＞0，然后逐项排查即可．【详解】解：∵抛物线开口方向向下∴a ＜0， ∵抛物线对称轴02b a-＞ ∴b ＞0∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴∴c ＞0∴y ax b =+的图像过二、一、四象限，c y x=-的图象在二、四象限 ∴D 选项满足题意．故选D ．【点睛】 本题主要考查了二次函数的特征、一次函数、反比例函数的图象，牢记各种函数图象的特点成为解答本题的关键．2．（2021·湖南株洲市·中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，点 P 在x 轴的正半轴上，且1OP =，设()M ac a b c =++，则 M 的取值范围为（ ）A ．1M <-B ．10M -<<C ．0M <D ．0M >【答案】D【分析】 由图像可得0a <，0c >，当1x =，y a b c =++，并与x 轴交于OP 之间，得0a b c ++<，据悉可得()0M ac a b c =++>，据此求解即可．【详解】解：由图像可知，图像开口向下，并与y 轴相交于正半轴，∴0a <，0c >，当1x =，211y a b c a b c =++=++，∵1OP =，并由图像可得，二次函数2y ax bx c =++与x 轴交于OP 之间，∴0a b c ++<∴()0M ac a b c =++>，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．3．（2021·湖南娄底市·中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数22y x =+的图象与反比例函数2y x=的图象的交点的横坐标0x 所在的范围是（ ） A ．0104x <≤B ．01142x <≤C ．01324x <≤D ．0314x <≤ 【答案】D【分析】 在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标0x 所在的范围．【详解】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：由图知，显然0112x <<，当034x =时，将其分别代入22y x =+与2y x=计算得； 12941282,3161634y y =+===， 218415031648y y -=-=>， ∴此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，0314x ∴<≤ 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是：准确画出函数的图象，再通过关键点得出答案． 4．（2021·湖南岳阳市·中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（ ）A ．4，-1B-1 C ．4，0 D，-1 【答案】D【分析】 分别讨论当对称轴位于y 轴左侧、位于y 轴与正方形对称轴x =1之间、位于直线x =1和x =2之间、位于直线x =2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m 的不等式组，求解即可．【详解】解：由正方形的性质可知：B （2,2）；若二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有交点,则共有以下四种情况: 当0m ≤时，则当A 点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有202m m m ≤⎧⎨-≤⎩，解得：10m -≤<；当01m <≤时，则当C 点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有()20120m m m <≤⎧⎪⎨--≥⎪⎩， 解得：01m <≤；当12m <≤时，则当O 点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有2120m m m <≤⎧⎨->⎩， 解得：12m <≤；当2m >时，则当O 点在抛物线上或下方且B 点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有()222022m m m m m ⎧>⎪⎪-≥⎨⎪--≤⎪⎩，解得：522m +<≤ 综上可得：m，1-． 故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．5．（2020·湖南娄底市·中考真题）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ）A ．22y x x =++B．1y = C ．1y x x =+ D ．||1y x =-【答案】D【分析】把0y =代入四个函数解析式，解方程即可得到答案．【详解】解：当220,y x x =++=1,1,2,a b c ===2414127b ac ∴=-=-⨯⨯=-＜0，∴ 原方程没有实数解，∴ 22y x x =++没有零点，故A 不符合题意，当10,y =1,=-显然，方程没有解，所以1y =没有零点，故B 不符合题意， 当1y x 0,x=+= 210,x ∴+=显然方程无解， 所以1y x x=+没有零点，故C 不符合题意， 当||10,y x =-=1,x ∴=1,x ∴=±所以||1y x =-有两个零点，故D 符合题意，故选.D【点睛】本题考查的是函数的零点，即函数与x 轴的交点的情况，掌握令0y =，再解方程是解题的关键．6．（2020·湖南株洲市·中考真题）二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则（ ）A ．12y y =-B ．12y y >C ．12y y <D ．1y 、2y 的大小无法确定【答案】B【分析】首先分析出a,b,x 1的取值范围，然后用含有代数式表示y 1,y 2，再作差法比较y 1,y 2的大小.【详解】解：∵20a b ->，b 2≥0,∴a>0.又∵0ab <，∴b<0.∵12x x <，120x x +=，∴21x x =-,x 1<0.∵点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数2y ax bx c =++的图象上∴2111y ax bx c =++，2222211y ax bx c ax bx c =++=-+.∴y 1-y 2=2bx 1>0.∴y 1>y 2.故选：B.【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键.7．（2020·湖南娄底市·中考真题）二次函数y=（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2，（a ＜b ）的图象与x 轴交点的横坐标为m ，n ，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是（ ）A ．a ＜m ＜n ＜bB ．a ＜m ＜b ＜nC ．m ＜a ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b 【答案】C【解析】【分析】依照题意画出二次函数y=（x -a ）（x -b ）及y=（x -a ）（x -b ）-2的图象，观察图象即可得出结论．【详解】解：二次函数y=（x -a ）（x -b ）与x 轴交点的横坐标为a 、b ，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y=（x -a ）（x -b ）-2的图象，如图所示．观察图象，可知：m ＜a ＜b ＜n ．故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．8．（2020·湖南中考真题）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③4a +b ＝0；④4a ﹣2b +c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】 先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出a ＜0，进而判断出b ＞0，再用抛物线与y 轴的交点的位置判断出c ＞0，判断出结论②，利用抛物线的对称轴为x ＝2，判断出结论③，最后用x ＝﹣2时，抛物线在x 轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【详解】解：由图象知，抛物线与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x ＝2， ∴﹣2b a＝2， ∴4a +b ＝0，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a ＜0，∵4a +b ＝0，∴b ＞0，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故②正确，由图象知，当x ＝﹣2时，y ＜0，∴4a ﹣2b +c ＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．9．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为1x =，其图象如图所示，现有下列结论：①0abc >；②20b a -<；③0a b c -+>；④(),(1)a b n an b n +>+≠；⑤23c b <．正确的是（ ）A ．①③B ．②⑤C ．③④D ．④⑤【答案】D【分析】 由图像判断出a<0，b>0，c>0，即可判断①；根据b=-2a 可判断②；根据当x=-1时函数值小于0可判断③；根据当x=1时，y 有最大值，y=a+b+c ，当x=n 时，y=an 2+bn+c 即可判断④；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且b=-2a ，即a=2b -，代入9a+3b+c<0可判断⑤． 【详解】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴x=-2b a=1>0， ∴b=-2a ，∴b>0，∵抛物线与y 轴的交点在正半轴，∴c>0，∴abc<0，①错误；∵b=-2a ，∴b -2a=-2a -2a=-4a>0，②错误；由图像可得当x=-1时，y=a -b+c<0，③错误；当x=1时，y 有最大值，y=a+b+c ，当x=n 时，y=an 2+bn+c ，a+b+c>an 2+bn+c ，即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正确；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，∵b=-2a ，即a=2b -， 代入9a+3b+c<0得9（2b -）+3b+c<0， 32b -+c<0， -3b+2c<0，即2c<3b ，⑤正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查了抛物线图像和二次函数系数之间的关系，熟知抛物线图像和二次函数系数之间的关系是解题关键．10．（2020·湖南长沙市·中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p 与加工煎炸的时间t （单位：分钟）近似满足函数关系式：2p at bt c =++（0,a ≠a ，b ，c 为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )A ．3.50分钟B ．4.05分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟【答案】C 【分析】将图中三个坐标代入函数关系式解出a 和b ,再利用对称轴公式求出即可． 【详解】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入2p at bt c =++得:0.8930.91640.6255a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩①②③ ②－①和③－②得0.1=70.39a b a b +⎧⎨-=+⎩④⑤⑤－④得0.4=2a -,解得a =﹣0.2． 将a =﹣0.2．代入④可得b =1.5． 对称轴=1.5 3.7522(0.2)b a --==⨯-． 故选C ． 【点睛】本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a 和b 即可得出答案． 11．（2020·湖南岳阳市·中考真题）对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点．若关于x 的二次函数210y x x m =--+(0)m ≠有两个不相等的零点1212,()x x x x <，关于x 的方程21020x x m +--=有两个不相等的非零实数根3434,()x x x x <，则下列关系式一定正确的是（ ）A ．1301x x << B ．131x x > C ．2401x x << D ．241x x > 【答案】A【分析】根据根与系数的关系可以求出12,x x ，34,x x 的值，用作差法比较13,x x 的大小关系，24,x x 的大小关系，根据∆可求出m 的取值范围，结合13,x x 的大小关系，24,x x 的大小关系从而得出选项． 【详解】解：∵12,x x 是210y x x m =--+(0)m ≠的两个不相等的零点 即12,x x 是2100x x m --+=的两个不相等的实数根∴121210x x x x m +=-⎧⎨=-⎩ ∵12x x <解得1255x x =-=-∵方程21020x x m +--=有两个不相等的非零实数根34,x x ∴3434102x x x x m +=-⎧⎨=--⎩∵34x x <解得3455x x =-=-∴135(5x x -=--＞0 ∴13x x >∵150x =-<，350x =-< ∴1301x x <<∴245(50x x -=--=< ∴24x x <而由题意知()10040100420m m +>⎧⎨++>⎩解得25m >-当252m -<<-时，240,0x x <<，241x x >； 当20m -<<时，240,0x x <>，240x x <； 当m=-2时，24x x 无意义； 当0m >时，241x x <， ∴24x x 取值范围不确定， 故选A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关系．解题的关键是熟记根与系数的关系，对于2y ax bx c =++（a≠0）的两根为12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=． 12．（2019·湖南益阳市·中考真题）下列函数中，y 总随x 的增大而减小的是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝﹣4xC ．y ＝x ﹣4D ．y ＝x 2【答案】B 【分析】结合各个选项中的函数解析式，根据相关函数的性质即可得到答案. 【详解】y ＝4x 中y 随x 的增大而增大，故选项A 不符题意， y ＝﹣4x 中y 随x 的增大而减小，故选项B 符合题意， y ＝x ﹣4中y 随x 的增大而增大，故选项C 不符题意，y ＝x 2中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故选项D 不符合题意， 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．13．（2019·湖南益阳市·中考真题）已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①ac ＜0，②b﹣2a ＜0，③b 2﹣4ac ＜0，④a ﹣b+c ＜0，正确的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断． 【详解】①图象开口向下，与y 轴交于正半轴，能得到：a ＜0，c ＞0， ∴ac ＜0，故①正确； ②∵对称轴x ＜﹣1， ∴2ba-＜﹣1，-2a ＞0， ∴b ＜2a ，∴b ﹣2a ＜0，故②正确；③图象与x 轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b 2﹣4ac ＞0，故③错误； ④当x ＝﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b+c ＞0，故④错误， 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．14．（2019·湖南娄底市·中考真题）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中正确的是( ) ①0abc < ②240b ac -< ③2a b >④22()a c b +<A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】由函数图象可知a ＜0，对称轴-1＜x ＜0，20b a ->；0b <，图象与y 轴的交点c ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点；△=b 2-4ac ＞0；再由图象可知当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0；当x=-1时，y ＞0，即a -b+c ＞0；即可求解． 【详解】解：由函数图象可知0a <，对称轴10x -<<，图象与y 轴的交点0c >，函数与x 轴有两个不同的交点， ∴2b a >，0b <；③错误240b ac ∆=->；②错0abc >；①错误当1x =时，0y <，即0a b c ++<； 当1x =-时，0y >，即0a b c -+>； ∴()()0a b c a b c ++-+<，即22()a c b +<； ∴只有④是正确的； 故选A ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a ，b ，c ，△，对称轴的关系是解题的关键．15．（2019·湖南岳阳市·中考真题）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是( )A ．c ＜﹣3B ．c ＜﹣2C ．c ＜14D ．c ＜1【答案】B 【分析】由题意知二次函数y ＝x 2+2x+c 有两个相异的不动点x 1、x 2，由此可知方程x 2+x+c ＝0有两个不相等的实数根，即△=1-4c>0，再由题意可得函数y= x 2+x+c ＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，由此可得关于c 的不等式组，解不等式组即可求得答案. 【详解】由题意知二次函数y ＝x 2+2x+c 有两个相异的不动点x 1、x 2， 所以x 1、x 2是方程x 2+2x+c ＝x 的两个不相等的实数根， 整理，得：x 2+x+c ＝0， 所以△=1-4c>0，又x 2+x+c ＝0的两个不相等实数根为x 1、x 2，x 1＜1＜x 2， 所以函数y= x 2+x+c ＝0在x=1时，函数值小于0， 即1+1+c<0， 综上则140110c c -⎧⎨++⎩＞＜，解得c ＜﹣2， 故选B. 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题中的定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.16．（2019·湖南衡阳市·中考真题）如图，在直角三角形ABC 中，90,C AC BC ∠=︒=，E 是AB 的中点，过点E 作AC 和BC 的垂线，垂足分别为点D 和点F ，四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动，点C 与点A 重合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中四边形CDEF 与ABC ∆的重叠部分面积为S ．则S 关于t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据已知条件得到ABC ∆是等腰直角三角形，推出四边形EFCD 是正方形，设正方形的边长为a ，当移动的距离a <时，如图1，221ΔEE'H 2S a t =-=-正方形的面积的面积；当移动的距离a >时，如图2，()222'1122222AC H S S a t t at a ∆==-=-+，根据函数关系式即可得到结论； 【详解】解：∵在直角三角形ABC 中，90,C AC BC ∠=︒=， ∴ABC ∆是等腰直角三角形， ∵,EF BC ED AC ⊥⊥， ∴四边形EFCD 是矩形， ∵E 是AB 的中点， ∴11,22EF AC DE BC ==， ∴EF ED =，∴四边形EFCD 是正方形， 设正方形的边长为a ， 如图1当移动的距离a <时，221ΔEE'H 2S a t =-=-正方形的面积的面积； 当移动的距离a >时，如图2，()222'1122222AC H S S a t t at a ∆==-=-+， ∴S 关于t 的函数图象大致为C 选项， 故选C ． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型． 二、填空题17．（2021·湖南中考真题）已知y 是x 的二次函数，下表给出了y 与x 的几对对应值：由此判断，表中a =_______． 【答案】6 【分析】根据表格得出二次函数的对称轴为直线1x =，由此即可得． 【详解】解：由表格可知，0x =和2x =时的函数值相等， 则二次函数的对称轴为直线0212x +==， 因此，1x =-和3x =的函数值相等，即6a =， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．18．（2020·湖南岳阳市·中考真题）在3-，2-，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数242y ax x =+-中a 的值，则该二次函数图象开口向上的概率是_____________． 【答案】35【分析】当a 大于0时，该二次函数图象开口向上，根据这个性质利用简单概率计算公式可得解． 【详解】解：当a 大于0时，二次函数242y ax x =+-图象开口向上，3-，2-，1，2，3中大于0的数有3个，所以该二次函数图象开口向上的概率是35， 故答案为：35． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和简单的概率计算，难度不大，是一道较好的中考题．19．（2019·湖南株洲市·中考真题）若二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，则a _____0（填“＝”或“>”或“<”）． 【答案】< 【分析】由二次函数2y ax bx =+图象的开口向下，可得0a <． 【详解】解：∵二次函数2y ax bx =+的图象开口向下， ∴0a <． 故答案是：<． 【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；a 还可以决定开口大小，a 越大开口就越小．20．（2019·湖南常德市·中考真题）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0,1),(0,1),-P 是二次函数214y x =的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线1y =-于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是_____．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确； ②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误； ③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误； ④设点21,4P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则(),1Q m -，由勾股定理可得2114PQ MP m ==+，MP PQ =和//MN PQ ，所以四边形PMNQ 是广义菱形．④正确； 【详解】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确； ②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误； ③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点21,4P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则(),1Q m -，∴2114MP m ==+，2114PQ m =+， ∵点P 在第一象限， ∴0m >， ∴2114MP m =+， ∴MP PQ =， 又∵//MN PQ ，∴四边形PMNQ 是广义菱形． ④正确；故答案为：①②④；【点睛】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．21．（2019·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y x 的图象如图所示．已知A 点坐标为()1,1，过点A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……，依次进行下去，则点2019A 的坐标为_____．【答案】2(1010,1010)-【分析】根据二次函数性质可得出点1A 的坐标，求得直线12A A 为2y x =+，联立方程求得2A 的坐标，即可求得3A 的坐标，同理求得4A 的坐标，即可求得5A 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点2019A 的坐标．【详解】解：∵A 点坐标为()1,1，∴直线OA 为y x =，()11,1A -，∵12A A OA ∕∕，∴直线12A A 为2y x =+，解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩，∴()22,4A ，∴()32,4A -，∵34A A OA ∕∕，∴直线34A A 为6y x =+，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴()43,9A ，∴()53,9A -…，∴()220191010,1010A -，故答案为()21010,1010-． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．。

湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（8）——二次函数一．选择题（共8小题）1．（2020•湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，①b﹣2a＜0，①a﹣b+c＞0，①a+b＞n（an+b），（n≠1），①2c＜3b．正确的是（）A．①①B．①①C．①①D．①①2．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟3．（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x 的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞14．（2020•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定5．（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；①abc＜0；①4a+b＝0；①4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．16．（2019•娄底）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0①b2﹣4ac＜0①2a＞b①（a+c）2＜b2A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2019•益阳）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（）A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4D．y＝x28．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜14D．c＜1二．填空题（共3小题）9．（2020•益阳）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元．10．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A 作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．11．（2019•株洲）若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a0（填“＝”或“＞”或“＜”）．三．解答题（共29小题）12．（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；x…02468…y……（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．13．（2020•永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B 在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．①已知Q（1，−32）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．14．（2020•娄底）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△P AC的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2020•郴州）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．已知直线y ＝kx +n 过B ，C 两点．（1）求抛物线和直线BC 的表达式；（2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接P A ，交直线BC 于点D ．设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求x 1x 2的最大值； ①如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2020•湘西州）已知直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的一个交点为A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM =12S △ACE 时，求m 的值；（3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +12，当√2AM +2DM 的最小值为27√24时，求b 的值．17．（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”．①y ＝2x （ ）；①y =x x （m ≠0）（ ）；①y ＝3x ﹣1（ ）．（2）若点A （1，m ）与点B （n ，﹣4）是关于x 的“H 函数”y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧，求a ，b ，c 的值或取值范围．（3）若关于x 的“H 函数”y ＝ax 2+2bx +3c （a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①a +b +c ＝0，①（2c +b ﹣a ）（2c +b +3a ）＜0，求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．18．（2020•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2−154x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．19．（2020•岳阳）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x−25）2+6415与x轴交于点A（−65，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线F1的表达式；（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．①求点D的坐标；①判断△BCD的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2020•株洲）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜−52时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．（3）若AB2=x 2−2x+6x，点P的坐标为（−√x0，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，P A的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．21．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2020•张家界）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2020•湘潭）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +5与x 轴交于A ，B 两点．（1）若过点C 的直线x ＝2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；①对称轴上是否存在一点P ，使点B 关于直线OP 的对称点B '恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当b ≥4，0≤x ≤2时，函数值y 的最大值满足3≤y ≤15，求b 的取值范围．24．（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2+px +q 的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 的图象与二次函数y ＝x 2+px +q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．25．（2020•常德）如图，已知抛物线y ＝ax 2过点A （﹣3，94）． （1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l 过点A ，M （32，0）且与抛物线交于另一点B ，与y 轴交于点C ，求证：MC 2＝MA •MB ；（3）若点P ，D 分别是抛物线与直线l 上的动点，以OC 为一边且顶点为O ，C ，P ，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P 点坐标．26．（2019•湘潭）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，√3）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．27．（2019•湘潭）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？28．（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．29．（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．30．（2019•张家界）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过点A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标； （4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问：AQ +12QC 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由． 31．（2019•湘西州）如图，抛物线y ＝ax 2+bx （a ＞0）过点E （8，0），矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左侧），点C 、D 在抛物线上，∠BAD 的平分线AM 交BC 于点M ，点N 是CD 的中点，已知OA ＝2，且OA ：AD ＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接M 、N 、G 、F 构成四边形MNGF ，求四边形MNGF 周长的最小值；（3）在x 轴下方且在抛物线上是否存在点P ，使△ODP 中OD 边上的高为6√105？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K 、L ，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．32．（2019•邵阳）如图，二次函数y =−13x 2+bx +c 的图象过原点，与x 轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在x 轴上方作x 轴的平行线y 1＝m ，交二次函数图象于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、点C ．当矩形ABCD 为正方形时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，动点P 从点A 出发沿射线AB 以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q 以相同的速度从点A 出发沿线段AD 匀速运动，到达点D 时立即原速返回，当动点Q 返回到点A 时，P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．过点P 向x 轴作垂线，交抛物线于点E ，交直线AC 于点F ，问：以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由．33．（2019•益阳）在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A （1，4），B （3，0）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；（3）应用：如图2，P （m ，n ）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m +n ＝﹣1，连接P A 、PC ，在线段PC 上确定一点N ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则线段AB 的中点坐标为（x 1+x 22，x 1+x 22）．34．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k=xxxx，当k为何值时，CF=12 AD？①如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．35．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B 点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．36．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y=13x2+73x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积；（3）如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．37．（2019•株洲）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0） （1）若a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣1 ①求该二次函数图象的顶点坐标； ①定义：对于二次函数y ＝px 2+qx +r （p ≠0），满足方程y ＝x 的x 的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y ＝ax 2+bx +c 有两个不同的“不动点”． （2）设b =12c 3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别相交于不同的两点A （x 1，0），B （x 2，0），其中x 1＜0，x 2＞0，与y 轴相交于点C ，连结BC ，点D 在y 轴的正半轴上，且OC ＝OD ，又点E 的坐标为（1，0），过点D 作垂直于y 轴的直线与直线CE 相交于点F ，满足∠AFC ＝∠ABC ．FA 的延长线与BC 的延长线相交于点P ，若xx xx=√5，求二次函数的表达式．38．（2019•衡阳）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；①证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；①当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．40．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的①P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作①P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；①如图2，连接AC，BE，BO，当a=√33，∠CAE＝∠OBE时，求1xx −1xx的值．湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（8）——二次函数一．选择题（共8小题）1．（2020•湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，①b﹣2a＜0，①a﹣b+c＞0，①a+b＞n（an+b），（n≠1），①2c＜3b．正确的是（）A．①①B．①①C．①①D．①①【答案】D【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；①由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故①错误；①当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故①错误；①当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故①正确；①当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x=−x2x=1，即a=−x2，代入得9（−x2）+3b+c＜0，得2c＜3b，故①正确；故①①正确．故选：D．2．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A ．3.50分钟B ．4.05分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟 【答案】C【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P ＝at 2+bt +c 中， {9x +3x +x =0.816x +4x +x =0.925x +5x +x =0.6， 解得{x =−0.2x =1.5x =−1.9，所以函数关系式为：P ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标： t =−x2x =−1.52×(−0.2)=3.75，则当t ＝3.75分钟时，可以得到最佳时间． 故选：C ． 3．（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点．若关于x 的二次函数y ＝﹣x 2﹣10x +m （m ≠0）有两个不相等的零点x 1，x 2（x 1＜x 2），关于x 的方程x 2+10x ﹣m ﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x 3，x 4（x 3＜x 4），则下列关系式一定正确的是（ ） A ．0＜x 1x 3＜1 B ．x 1x 3＞1 C ．0＜x 2x 4＜1 D ．x 2x 4＞1【答案】A【解答】解：由题意关于x 的方程x 2+10x ﹣m ﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x 3，x 4（x 3＜x 4），就是关于x 的二次函数y ＝﹣x 2﹣10x +m （m ≠0）与直线y ＝﹣2的交点的横坐标， 画出函数的图象草图如下：∵抛物线的对称轴为直线x =−−102×(−1)=−5，∴x 3＜x 1＜﹣5，由图象可知：0＜x1x 3＜1一定成立，故选：A ． 4．（2020•株洲）二次函数y ＝ax 2+bx +c ，若ab ＜0，a ﹣b 2＞0，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在该二次函数的图象上，其中x 1＜x 2，x 1+x 2＝0，则（ ）word可编辑文档A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定【答案】B【解答】解：∵a﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．又∵ab＜0，∴b＜0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，x1＜0．∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，∴x1=xx12+xx1+x，x2=xx22+xx2+x=xx12−xx1+x．∴y1﹣y2＝2bx1＞0．∴y1＞y2．故选：B．5．（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；①abc＜0；①4a+b＝0；①4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴−x2x=2，∴4a+b＝0，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①①正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故①错误，即正确的结论有3个，故选：B．6．（2019•娄底）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0①b2﹣4ac＜0①2a＞b①（a+c）2＜b2A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有①是正确的；故选：A．7．（2019•益阳）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（）A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4D．y＝x2【答案】B【解答】解：y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，故选：B．8．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜14D．c＜1【答案】B【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则{1−4x＞01+1+x＜0，解得c＜﹣2，故选：B．二．填空题（共3小题）9．（2020•益阳）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是1800元．【答案】1800．【解答】解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝kx，30k＝60，得k＝2，即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝2t，当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，20a＝30，得a＝1.5，即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，设日销售利润为W元，当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，综上所述，最大日销售利润为1800元，故答案为：1800．10．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A 作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为（﹣1010，10102）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A 1A 2为y ＝x +2，解{x =x +2x =x 2得{x =−1x =1或{x =2x =4，∴A 2（2，4）， ∴A 3（﹣2，4）， ∵A 3A 4∥OA ，∴直线A 3A 4为y ＝x +6，解{x =x +6x =x 2得{x =−2x =4或{x =3x =9，∴A 4（3，9）， ∴A 5（﹣3，9） …，∴A 2019（﹣1010，10102）， 故答案为（﹣1010，10102）． 11．（2019•株洲）若二次函数y ＝ax 2+bx 的图象开口向下，则a ＜ 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】见试题解答内容【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx 的图象开口向下， ∴a ＜0．故答案是：＜．三．解答题（共29小题） 12．（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标是（4，2），点P 为一个动点，过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为H ，点P 在运动过程中始终满足PF ＝PH ． 【提示：平面直角坐标系内点M 、N 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则MN 2＝（x 2﹣x 1）2+（y 2﹣y 1）2】（1）判断点P 在运动过程中是否经过点C （0，5）； （2）设动点P 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象； x … 0 2 4 6 8 … y … 5 2 1 2 5 … （3）点C 关于x 轴的对称点为C '，点P 在直线C 'F 的下方时，求线段PF 长度的取值范围．【答案】（1）点P 在运动过程中经过点C （0，5）． （2）y =14x 2﹣2x +5，5，3，2，1，2，5． （3）1≤PF ＜65+7√658． 【解答】解：（1）当P 与C （0，5）重合，∴PH ＝5，PF =√(5−2)2+42=5， ∴PH ＝PF ，∴点P 运动过程中经过点C ．（2）由题意：y 2＝（x ﹣4）2+（y ﹣2）2， 整理得，y =14x 2﹣2x +5， ∴函数解析式为y =14x 2﹣2x +5， 当x ＝0时，y ＝5， 当x ＝2时，y ＝2， 当x ＝4时，y ＝1， 当x ＝6时，y ＝2， 当x ＝8时，y ＝5， 函数图象如图所示：故答案为5，2，1，2，5．（3）由题意C ′（0，﹣5），F （4，2），∴直线FC ′的解析式为y =74x ﹣5，设抛物线交直线FC ′于G ，K ． 由{x =74x −5x =14x 2−2x +5，解得{x =15+√652x =65+7√658或{x =15−√652x =65−7√658， ∴G （15−√652，65−7√658），K （15+√652，65+7√658），观察图象可知满足条件的PF 长度的取值范围为1≤PF ＜65+7√658． 13．（2020•永州）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角△ABC 的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且AB ＝4，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示． （1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示． ①求△CMN 面积的最小值．①已知Q （1，−32）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y =12x 2−2；（2）①∴△CMN 面积的最小值为4；①点P （√3，−12），直线l 的解析式为y ＝（1−√3）x 或点P （−√3，−12），直线l 的解析式为y ＝（1+√3）x ． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）， 在等腰Rt △ABC 中，OC 垂直平分AB ，且AB ＝4， ∴OA ＝OB ＝OC ＝2， ∴A （﹣2，0），B （2，0），C （0，﹣2）， ∴{4x +2x +x =04x −2x +x =0x =−2， 解得，{x =12x =0x =−2，∴抛物线的解析式为y =12x 2−2；（2）①设直线l 的解析式为y ＝kx ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由{x =12x 2−2x =xx，可得12x 2−xx −2=0，∴x 1+x 2＝2k ，x 1•x 2＝﹣4，∴(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4x 2+16， ∴|x 1−x 2|=2√x 2+4，∴x △xxx =12xx ⋅|x 1−x 2|=2√x 2+4， ∴当k ＝0时2√x 2+4取最小值为4． ∴△CMN 面积的最小值为4．①假设抛物线上存在点P （m ，12x 2−2），使得点P 与点Q 关于直线l 对称，∴OP ＝OQ ，即√12+(32)2=√x 2+(12x 2−2)2，解得，x 1=√3，x 2=−√3，m 3＝1，m 4＝﹣1， ∵m 3＝1，m 4＝﹣1不合题意，舍去， 当x 1=√3时，点P （√3，−12），线段PQ 的中点为（1+√32，−1），∴1+√32x =−1，∴x =1−√3，∴直线l 的表达式为：y ＝（1−√3）x ， 当x 2=−√3时，点P （−√3，−12）， 线段PQ 的中点为（1−√32，﹣1），∴1−√32x =−1，∴x =1+√3，∴直线l 的解析式为y ＝（1+√3）x ．综上，点P （√3，−12），直线l 的解析式为y ＝（1−√3）x 或点P （−√3，−12），直线l 的解析式为y ＝（1+√3）x ． 14．（2020•娄底）如图，抛物线经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得△P AC 的面积最大； （3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1）， 把C （0，3）代入，可得a ＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将A （﹣3，0），C （0，3）代入得到{0=−3x +x3=x，解得{x =1x =3，∴直线AC 的解析式为y ＝x +3．当﹣3＜m ＜0时，点P （m ，n ）在直线AC 的上方，过点P 作x 轴的垂线交AC 于Q ．则P （m ，﹣m 2﹣2m +3），Q （m ，m +3），∴PQ ＝﹣m 2﹣2m +3﹣（m +3） ＝﹣m 2﹣3m ， ＝﹣（m +32）2+94， ∵﹣3＜m ＜0，∴当m =−32时，PQ 的值最大， 此时S △P AC =12•PQ •AO =32PQ 最大， ∴m =−32．（3）由A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3），可得AB ＝4，OB ＝1，OC ＝3， ∵BC 2＝10，∠CAO ＝45°， ∴BA 2﹣BC 2＝6，连接BC ，过点B 作AC 的垂线交抛物线于D ，交AC 于H ，连接AD ． 则∠AHB ＝90°，∠DBA ＝∠CAO ＝45°， ∴DA 2﹣DC 2＝HA 2﹣HC 2＝AB 2﹣BC 2＝6， ∵∠CAO ＝∠DBA ，∴点H 在AB 的垂直平分线上，即点H 在抛物线的对称轴x ＝﹣1上，∴点D 与点C 关于抛物线的对称轴x ＝﹣1对称， ∵C （0，3），∴点D 的坐标为（﹣2，3）．15．（2020•郴州）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．已知直线y ＝kx +n 过B ，C 两点． （1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接P A ，交直线BC 于点D ．设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求x 1x 2的最大值；①如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3，y ＝﹣x +3． （2）①最大值为916．①点P 的坐标为（2，3），点Q 的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P （0，3）时，Q （1，4）．【解答】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +3得：{x −x +3=09x +3x +3=0，解得{x =−1x =2∴抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3， ∴点C 坐标为（0，3），把B （3，0），C （0，3）代入y ＝kx +n 得：{3x +x =0x =3，解得{x =−1x =3∴直线BC 的表达式为y ＝﹣x +3．（2）①∵P A 交直线BC 于点D ， ∴设点D 的坐标为（m ，﹣m +3）， 设直线AD 的表达式为y ＝k 1x +b 1， ∴{−x 1+x 1=0xx 1+x 1=−x +3， 解得，{x 1=−x +3x +1x 1=−x +3x +1 ∴直线AD 的表达式，y =−x +3x +1x +−x +3x +1， ∴−x +3x +1x +−x +3x +1=−x 2+2x +3， 整理得，（x −4xx +1）（x +1）＝0 解得x =4xx +1或﹣1（不合题意，舍去）， ∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标为4xx +1，分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图1中：。

专题07二次函数1．（2019•重庆）抛物线2362y x x =-++的对称轴是 A ．直线2x = B ．直线2x =- C ．直线1x = D ．直线1x =-【答案】C【解析】∵223623(1)5y x x x =-++=--+， ∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为1x =． 故选C ．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x =h ．2．（2019•荆门）抛物线244y x x =-+-与坐标轴的交点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】当0x =时，2444y x x =-+-=-，则抛物线与y 轴的交点坐标为(0,4)-，当0y =时，2440x x -+-=，解得122x x ==，抛物线与x 轴的交点坐标为(2,0)， 所以抛物线与坐标轴有2个交点． 故选C ．【名师点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．3．（2019•咸宁）已知点()()()()1,,1,,2,0A m B m C m n n -->在同一个函数的图象上，这个函数可能是 A ．y x ＝ B ．2y x=-C ．2y x ＝D ．2y x ＝﹣【答案】D【解析】()()1,,1,A m B m -，∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于2y x y x==-，的图象关于原点对称，因此选项A ，B 错误； ∵0n >，∴m n m -<，由()()1,,2,B m C m n -可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， 对于二次函数只有0a <时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∴D 选项正确，故选D ．【名师点睛】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．4．（2019 •青岛）已知反比例函数y =ab x的图象如图所示，则二次函数y =ax 2-2x 和一次函数y =bx +a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B ．C． D ．【答案】C【解析】∵当x =0时，y =ax 2–2x =0，即抛物线y =ax 2–2x 经过原点，故A 错误；∵反比例函数y =abx的图象在第一、三象限， ∴ab >0，即a 、b 同号，当a <0时，抛物线y =ax 2–2x 的对称轴x =1a<0，对称轴在y 轴左边，故D 错误； 当a >0时，b >0，直线y =bx +a 经过第一、二、三象限，故B 错误； C 正确．故选C ．【名师点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．5．（2019•哈尔滨）将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为A ．22(2)3y x =++B ．22(2)3y x =-+C ．22(2)3y x =--D ．22(2)3y x =+-【答案】B【解析】将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+， 故选B ．【名师点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键．6．（2019•成都）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =【答案】D【解析】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c >0，A 选项错误； 函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac ->0，B 选项错误； 观察图象可知x =-1时y =a -b +c >0，所以a -b +c >0，C 选项错误；根据图象与x 轴交点可知，对称轴是（1，0），（5，0）两点的中垂线，1532x +==， 即x =3为函数对称轴，D 选项正确， 故选D ．【名师点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的图象．7．（2019•雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数22()1y x =-+，下列说法中错误的是 A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2y x =的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 【答案】C【解析】二次函数22()1y x =-+，10a =>，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点为(2,1)，当2x =时，y 有最小值1，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小；故选项A 、B 的说法正确，C 的说法错误；根据平移的规律，2y x =的图象向右平移2个单位长度得到2(2)y x =-，再向上平移1个单位长度得到22()1y x =-+，故选项D 的说法正确， 故选C ．【名师点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1<1<x 2，则c 的取值范围是A ．c <-3B ．c <-2C ．c <14D ．c <1【答案】B【解析】由题意知二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2， 所以x 1、x 2是方程x 2+2x +c =x 的两个不相等的实数根， 整理，得：x 2+x +c =0，所以∆=1–4c >0，又x 2+x +c =0的两个不相等实数根为x 1、x 2，x 1<1<x 2， 所以函数y =x 2+x +c =0在x =1时，函数值小于0，即1+1+c <0， 综上则140110c c ->⎧⎨++<⎩，解得c <-2， 故选B ．【名师点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题中的定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．9．（2019•泸州）已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+（其中x 是自变量）的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 A ．2a < B ．1a >- C ．12a -<≤ D ．12a -≤<【答案】D【解析】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+， ∵抛物线与x 轴没有公共点，∴22(2)4(36)0a a a ∆=---+<，解得2a <， ∵抛物线的对称轴为直线22ax a -=-=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∴1a ≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<， 故选D ．【名师点睛】本题考查了二次函数图象与x 轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．10．（2019•随州）如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，OA OC =，对称轴为直线1x =，则下列结论：①0abc <；②11024a b c ++=；③10ac b -+=；④2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根．其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】∵抛物线开口向下，∴0a <， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a=-=，∴20b a =->， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，∴0abc <，所以①正确；∵2b a =-，∴102a b a a +=-=， ∵0c >，∴11024a b c ++>，所以②错误；∵(0,)C c ，OA OC =，∴(,0)A c -，把(,0)A c -代入2y ax bx c =++得20ac bc c -+=，∴10ac b -+=，所以③错误； ∵(,0)A c -，对称轴为直线1x =，∴(2,0)B c +，∴2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，所以④正确， 综上正确的有2个， 故选B ．【名师点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点及与二次函数图象与系数的关系，做好本题要知道以下几点：①当a >0时，抛物线向上开口；当a <0时，抛物线向下开口；②当a 与b 同号时（即ab >0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab <0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（0，c ）．④抛物线2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程20ax bx c ++=的根.注意利用数形结合的思想．11．（2019•南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s （单位：m ）与时间t （单位：min ）的函数图象，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是A ．25min~50min ，王阿姨步行的路程为800mB ．线段CD 的函数解析式为324002550s t t =+≤≤（）C ．5min~20min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为23(20)1200(520)s t t =--+≤≤ 【答案】C【解析】观察图象可知5min~20min ，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min ，王阿姨步行的路程为2000–1200=800m ，故A 选项正确，C 选项错误；设线段CD 的解析式为s =mt +n ，将点（25，1200）、（50，2000）分别代入得120025200050m n m n =+⎧⎨=+⎩，解得：32400m n =⎧⎨=⎩， 所以线段CD 的函数解析式为32400(2550)s t t =+≤≤，故B 选项正确；由曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y =a （x –20）2+1200， 把（5，525）代入得：525=a （5–20）2+1200，解得：a =–3，所以曲线段AB 的函数解析式为23(20)1200(520)s t t =--+≤≤，故D 选项正确， 故选C ．【名师点睛】本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图象，正确把握相关知识是解题的关键．12．（2019•嘉兴）小飞研究二次函数y =–（x –m ）2–m +1（m 为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y =–x +1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1<x 2，x 1+x 2>2m ，则y 1<y 2；④当–1<x <2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2其中错误结论的序号是 A ．① B ．② C ．③D ．④【答案】C【解析】把（m ，–m +1）代入y =–x +1，–m +1=–m +1，左=右，故①正确；当–（x –m ）2–m +1=0时，x 1=m -x 2=m +若顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，则1–m +（1–m ）2+1–m +（1–m ）2=4（1–m ），即m 2–m =0，∴m =0或1时，∴存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确；当x 1<x 2，且x 1、x 2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，即y 1>y 2，故③错误； ∵–1<0，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴m ≥2，故④正确， 故选C ．【名师点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本体的关键.对于二次函数y=a （x –h ）2+k （a ，b ，c 为常数，a ≠0），当a >0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当a <0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小.其顶点坐标是（h ，k ），对称轴为x =h ．13．（2019•荆州）二次函数2245y x x =--+的最大值是__________．【答案】7【解析】222452(1)7y x x x =--+=-++， 即二次函数245y x x =--+的最大值是7， 故答案为：7．【名师点睛】本题考查的是二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键． 14．（2019•株洲）若二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，则__________0（填“=”或“>”或“<”）．【答案】<【解析】∵二次函数2y ax bx =+的图象开口向下， ∴0a <． 故答案为：<．【名师点睛】考查了二次函数图象与系数的关系．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；a 还可以决定开口大小，a 越大开口就越小． 15．（2019•武汉）抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(4,0)B 两点，则关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx -+=-的解是__________．【答案】12x =-，25x =【解析】依题意，得：9301640a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：12b ac a=-⎧⎨=-⎩，所以，关于x 的一元二次方程a （x -1）2+c =b -bx 为：2(1)12a x a a ax --=-+，即：2(1)121x x --=-+， 化为：23100x x --=， 解得：12x =-，25x =， 故答案为：12x =-，25x =．【名师点睛】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a 的式子表示出b 和c 是解题的关键． 16．（2019•徐州）已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________． 【答案】21(4)2y x =- 【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠，把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-，把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-， 解得0b =（舍去）或4b =， 所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案为：21(4)2y x =-． 【名师点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．17．（2019•天水）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．（填“>”、“=”或“<”）【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>， 当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<，即M N <， 故答案为：<．【名师点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键．18．（2019•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有的关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地所用的时间为__________s ．【答案】4【解析】依题意，令0h =得：∴20205t t =-，得：(205)0t t -=，解得：0t =（舍去）或4t =，∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ，故答案为：4．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单．19．（2019•云南）已知k 是常数，抛物线y =x 2+（k 2+k -6）x +3k 的对称轴是y 轴，并且与x 轴有两个交点．（1）求k 的值：（2）若点P 在抛物线y =x 2+（k 2+k -6）x +3k 上，且P 到y 轴的距离是2，求点P 的坐标．【解析】（1）∵抛物线y =x 2+（k 2+k -6）x +3k 的对称轴是y 轴， ∴26022b k k x a +-=-=-=， 即k 2+k -6=0，解得k =-3或k =2，当k =2时，二次函数解析式为y =x 2+6，它的图象与x 轴无交点，不满足题意，舍去，当k =-3时，二次函数解析式为y =x 2-9，它的图象与x 轴有两个交点，满足题意，∴k =-3．（2）∵P 到y 轴的距离为2，∴点P 的横坐标为-2或2，当x =2时，y =-5；当x =-2时，y =-5，∴点P 的坐标为（2，-5）或（-2，-5）．【名师点睛】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x 轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键．20．（2019•绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，6AB AE ==，5BC =，90A B ∠=∠=︒，135C ∠=︒，90E ∠>︒．要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE 上，并使所截矩形的面积尽可能大．（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积；（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由．【解析】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示，过点C作CF⊥AE于F，S1=AB·BC=6×5=30．②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示，过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，∵∠C=135°，∴∠FCH=45°，∴△CHF为等腰直角三角形，∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，∴BG=CH=FH=FG–HG=6–5=1，∴AG=AB–BG=6–1=5，∴S2=AE·AG=6×5=30．（2）能；理由如下：在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，∵∠C=135°，∴∠FCG=45°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，设AM=x，则BM=6–x，∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11–x，∴S=AM×FM=x（11–x）=–x2+11x=–（x–5.5）2+30.25，∴当x=5.5时，S的最大值为30.25．【名师点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键．21．（2019•鄂尔多斯）某工厂制作,A B两种手工艺品，B每天每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等．（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式．（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W （元）的最大值及相应x 的值．【解析】（1）设制作一件A 获利x 元，则制作一件B 获利（105x +）元，由题意得：30240105x x =+，解得：15x =， 经检验，15x =是原方程的根，当15x =时，105120x +=，答：制作一件A 获利15元，制作一件B 获利120元．（2）设每天安排x 人制作B ，y 人制作A ，则2y 人制作C ，于是有：265y x y ++=， ∴16533y x =-+， 答：y 与x 之间的函数关系式为∴16533y x =-+． （3）由题意得：2152[1202(5)]230213090W y x x y x x y =⨯⨯+--+⨯=-++， 又∵16533y x =-+， ∴222165213090213090()2100195033W x x y x x x x x =-++=-++-+=-++， ∵221001950W x x =-++，对称轴为25x =，而25x =时，y 的值不是整数，根据抛物线的对称性可得：当26x =时，22261002619502198W =-⨯+⨯+=最大元．此时制作A 产品的13人，B 产品的26人，C 产品的26人，获利最大，最大利润为2198元．【名师点睛】考核知识点：分式方程，二次函数应用.根据题意列出方程，把实际问题转化为函数问题是关键．22．（2019•湘潭）某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店,A B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B 种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【解析】（1）根据题意，可设平均每天销售A 礼盒x 盒，B 种礼盒为y 盒，则有(12072)(8040)1280120802800x y x y -+-=⎧⎨+=⎩，解得1020x y =⎧⎨=⎩， 故该店平均每天销售A 礼盒10盒，B 种礼盒为20盒．（2）设A 种湘莲礼盒降价m 元/盒，利润为W 元，依题意 总利润(12072)(10)8003m W m =--++， 化简得221161280(9)130733W m m m =-++=--+， ∵103a =-<， ∴当9m =时，取得最大值为1307，故当A 种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 23．（2019•辽阳）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【解析】（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠，由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =，∴1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2200k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的关系式为2200(3060)y x x =-+≤≤．（2）设该公司日获利为W 元，由题意得2(30)(2200)4502(65)2000W x x x =--+-=--+，∵20a =-<，∴抛物线开口向下，∵对称轴65x =，∴当65x <时，W 随着x 的增大而增大，∵3060x ≤≤，∴60x =时，W 有最大值，22(6065)200015=90W -⨯-+=最大值．即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．【名师点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图象与二次函数的性质．。

专题10.二次函数一、单选题1．（2021·山西中考真题）抛物线的函数表达式为()2321y x =-+，若将x 轴向上平移2个单位长度，将y 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）A ．()2313y x =++B ．()2353y x =-+C ．()2351y x =--D ．()2311y x =+-【答案】C【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可．【详解】解：若将x 轴向上平移2个单位长度，相当于将函数图像向下平移2个单位长度， 将y 轴向左平移3个单位长度，相当于将函数图像向右平移3个单位长度，则平移以后的函数解析式为：23(23)12y x =--+-化简得：23(5)1y x =--，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图像平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键． 2．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0abc >B ．函数的最大值为a b c -+C ．当31x -时，0yD ．420a b c -+<【答案】D【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y 轴的交点位置可判断a 、b 、c 的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x =-1，∴12b a-=-，即b =2a ，则b ＜0， ∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，则abc ＞0，故A 正确；当x =-1时，y 取最大值为a b c -+，故B 正确；由于开口向上，对称轴为直线x =-1，则点（1，0）关于直线x =-1对称的点为（-3，0），即抛物线与x 轴交于（1，0），（-3，0），∴当31x -≤≤时，0y ≥，故C 正确；由图像可知：当x =-2时，y ＞0，即420y a b c =-+>，故D 错误；故选D ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．3．（2021·四川达州市·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】①根据图像开口向上，对称轴位置，与y 轴交点分别判断出a ,b ,c 的正负②根据对称轴公式2b x a =-，12x =判断,a b 的大小关系③根据2x =时，0y =，比较423a b c ++与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等结合②的结论判断即可⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．【详解】①图像开口朝上，故0a > ，根据对称轴“左同右异”可知0b <，图像与y 轴交点位于x 轴下方，可知c <00abc ∴>故①正确； ②122b x a =-=得=-a b 0a b ∴+= 故②错误； ③2y ax bx c =++经过()2,0420a b c ∴++= 又由①得c <04230a b c ∴++<故③正确；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等∴ 当1x =-时0y =，即0a b c -+=a b =-20a c ∴+=即12c a =- ∴ 2y ax bx c =++经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即经过(1,0)- 故④正确；⑤当12x =时,1142y a b c =++, 当x m =时,2y am bm c =++ 0a > ∴ 函数有最小值1142a b c ++∴ 21142am bm c a b c ++≥++ 化简得2440am bm b +-≥，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．选D ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．4．（2021·陕西中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大【答案】C【分析】利用表中的数据，求二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．【详解】解：设二次函数的解析式为2y ax bx c =++，依题意得：42646a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，解得：134a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴二次函数的解析式为234y x x =--=232524x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵10a =>，∴这个函数的图象开口向上，故A 选项不符合题意；∵()()2243414250b ac =-=--⨯⨯-=>， ∴这个函数的图象与x 轴有两个不同的交点，故B 选项不符合题意；∵10a =>，∴当32x =时，这个函数有最小值2564-<-，故C 选项符合题意； ∵这个函数的图象的顶点坐标为(32，254-)， ∴当32x >时，y 的值随x 值的增大而增大，故D 选项不符合题意；故选：C ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键．5．（2021·四川眉山市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（ ）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---【答案】A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x =0时，y =5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ⨯-=-，2510y y ⨯-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--⋅-+， ∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．6．（2021·上海中考真题）将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A ．开口方向不变B ．对称轴不变C ．y 随x 的变化情况不变D ．与y 轴的交点不变 【答案】D【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．【详解】将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y 随x 的变化情况不变；与y 轴的交点改变, 故选D ．【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．7．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ） A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2- 【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数22y x kx k =+-向右平移3个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--；再向上平移1个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--+1， ∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴220(03)(03)k k =-+--+1即20310k k +-= 解得：5k =-或2k =∵抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧∴2k x =-＞0∴k ＜0∴5k =-故选：B ． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．8．（2021·天津中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；③7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可【详解】∵抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．∴c =1＞0，a -b +c = -1,4a -2b +c ＞1，∴a -b = -2,2a -b ＞0，∴2a -a -2＞0，∴a ＞2＞0，∴b =a +2＞0，∴abc ＞0，∵230ax bx c ++-=,∴△=24(3)b a c --=28b a +＞0,∴230ax bx c ++-=有两个不等的实数根； ∵b =a +2，a ＞2，c =1，∴a +b +c =a +a +2+1=2a +3，∵a ＞2，∴2a ＞4，∴2a +3＞4+3＞7，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．9．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②24b ac <；③23c b <；④2()a b m am b +>+（1m ≠）；⑤若方程2ax bx c ++＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y 轴的交点得到a ，b ，c 的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x 轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得12b a-=，则12a b =-，根据1x =-可得0a b c -+<，代入变形可对③进行判断；当1x =时，y a b c =++的值最大，即当(1)x m m =≠时，即a b c ++>2am bm c ++，则可对④进行判断；由于方程ax 2+bx +c =1有2个根，方程ax 2+bx +c =-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，∴a ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴b ＞0，∴abc ＜0，①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点∴24b ac ->0∴24b ac >，故②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴12b a-=，∴12a b =- 由图象得，当1x =-时，0y a b c =-+<，∴102b b c --+<∴23c b <，故③正确； ④当1x =时，y a b c =++的值最大，∴当(1)x m m =≠时，a b c ++>2am bm c ++，∴()a b m am b +>+（1m ≠），∵b ＞0，∴2()a b m am b +>+（1m ≠），故④正确；⑤∵方程|ax 2+bx +c |=1有四个根，∴方程ax 2+bx +c =1有2个根，方程ax 2+bx +c =-1有2个根，∴所有根之和为2×（-b a ）=2×2a a=4，所以⑤错误．∴正确的结论是③④，故选：A 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．10．（2021·山东泰安市·中考真题）将抛物线223y x x =--+的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）A ．(2,2)-B ．(1,1)-C ．(0,6)D ．(1,3)-【答案】B【分析】根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线223y x x =--+的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可.【详解】解：将抛物线223y x x =--+化为顶点式，即：223y x x =--+()2=23x x -++()214x =-++， 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：()2211422y x x =-+-+-=-+， A 选项代入，222=(2)22y x =-+--+=-，不符合；B 选项代入， 222(1)21y x =-+=--+=，符合； C 选项代入，222(0)22y x =-+=-+= ，不符合；D 选项代入，222(1)21y x =-+=-+=，不符合； 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即2()y a x h k =-+的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键．11．（2021·四川资阳市·中考真题）已知A 、B 两点的坐标分别为()3,4-、()0,2-，线段AB 上有一动点(),M m n ，过点M 作x 轴的平行线交抛物线2(1)2y a x =-+于()11,P x y 、()22,Q x y 两点．若12x m x <≤，则a 的取值范围为（ ）A ．342a -≤<-B ．342a -≤≤-C ．302a -≤<D ．302a -<< 【答案】C【分析】先根据题意画出函数的图象，再结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：由题意得：线段AB （B 除外）位于第四象限，∴过点M 且平行x 轴的直线在x 轴的下方， 抛物线2(1)2y a x =-+的顶点坐标为(1,2)，此顶点位于第一象限，0a ∴<，画出函数图象如下：结合图象可知，若12x m x <≤，则当3x =时，二次函数的函数值4y ≥-；当0x =时，二次函数的函数值2y >-，即42422a a +≥-⎧⎨+>-⎩，解得32a ≥-，又0a <，302a ∴-≤<，故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数与一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及图象法是解题关键．12．（2021·四川泸州市·中考真题）直线l 过点(0，4)且与y 轴垂直，若二次函数2222()(2)(3)2y x a x a x a a a =-+-+--+（其中x 是自变量）的图像与直线l 有两个不同的交点，且其对称轴在y 轴右侧，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞4B ．a ＞0C ．0＜a ≤4D ．0＜a ＜4【答案】D【分析】由直线l ：y =4，化简抛物线2231212y x ax a a =-++，令22312124x ax a a -++=，利用判别式∆12480a =-+>，解出4a <，由对称轴在y 轴右侧可求0a >即可．【详解】解：∵直线l 过点(0，4)且与y 轴垂直，直线l ：y =4， 222222()(2)(3)231212y x a x a x a a a x ax a a =-+-+--+=-++，∴22312124x ax a a -++=， ∵二次函数2222()(2)(3)2y x a x a x a a a =-+-+--+（其中x 是自变量）的图像与直线l 有两个不同的交点，∴()()221243124a a a ∆=--⨯⨯+-，12480a =-+>，∴4a <， 又∵对称轴在y 轴右侧，1212=20236a a x a --=-=->⨯，∴0a >，∴0＜a ＜4．故选择D ． 【点睛】本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式，掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关键．13．（2021·浙江中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为1,0A 和()3,0B ，点()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线上不同于,A B 的两个点，记1PAB △的面积为12,S P AB 的面积为2S ．有下列结论：①当122x x >+时，12S S >；②当122x x <-时，12S S <；③当12221x x ->->时，12S S >；④当12221x x ->+>时，12S S <．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【分析】通过1x 和2x 的不等关系，确定()111,P x y ，()222,P x y 在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解． 【详解】解：∵抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为1,0A 和()3,0B ，∴该抛物线对称轴为2x =，当122x x >+时与当122x x <-时无法确定()111,P x y ，()222,P x y 在抛物线上的相对位置，故①和②都不正确； 当12221x x ->->时，()111,P x y 比()222,P x y 离对称轴更远，且同在x 轴上方或者下方， ∴12y y >，∴12S S >，故③正确； 当12221x x ->+>时，即在x 轴上1x 到2的距离比2x 到2-的距离大，且都大于1，可知在x 轴上1x 到2的距离大于1，2x 到2的距离不能确定，所以无法比较()111,P x y 与()222,P x y 谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．14．（2020·四川广安市·中考真题）二次函数y=ax 2十bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x 轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①0abc <；②0a b c -+>；③c -4a=1；④24b ac >；⑤21am bm c ++≤（m 为任意实数）．其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，从而判断出a 、b 的符号，判断出与y 轴的交点即可求出c 的符号，从而判断①；由图象可知：当x=-1时，y ＜0，代入解析式即可判断②；根据抛物线的顶点坐标即可判断③；根据抛物线与x 轴交点个数即可判断④；根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断最值，从而判断⑤．【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，∴a ＜0，b ＞0∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间∴另一个交点在（0,0）和（1,0）之间∴抛物线与y 轴交于负半轴∴c ＜0∴abc ＞0，故①错误； 由图象可知：当x=-1时，y ＜0∴0a b c -+<，故②错误；∵抛物线的顶点坐标为（2,1）∴222414b a ac b a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩①②由①，得b=-4a 将b=-4a 代入②，得()24414ac a a --= 整理，得c -4a=1，故③正确；∵抛物线与x 轴交于两点∴240b ac ->∴24b ac >，故④正确； ∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2,1）∴21am bm c ++≤（m 为任意实数），故⑤正确．综上：正确的有3个故选B ．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解题关键． 15．（2020·新疆中考真题）二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如下左图所示，则一次函数y ＝ax+b 和反比例函数c y x=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由二次函数图象分析出a 、b 、c 的正负，再代入到一次函数与反比例函数解析式中进行分析即可得出结果．【详解】由题图可知，0a >，0b <，0c >．∴对于一次函数y ＝ax+b ，其图象应经过一、三、四象限；对于反比例函数c y x=，其图象应经过一、三象限，综上分析，可能的图象如D 所示，故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，以及通过系数确定一次函数和反比例函数图象分布情况，能够正确掌握二次函数图象与系数的关系推导出系数的符号是解决本题的关键．16．（2020·山东济南市·中考真题）已知抛物线y ＝x 2+（2m ﹣6）x +m 2﹣3与y 轴交于点A ，与直线x ＝4交于点B ，当x >2时，y 值随x 值的增大而增大．记抛物线在线段AB 下方的部分为G （包含A 、B 两点），M 为G 上任意一点，设M 的纵坐标为t ，若3t ≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥32B ．32≤m ≤3C ．m ≥3D ．1≤m ≤3【答案】A【分析】当x >2时，y 值随x 值的增大而增大，得2,2b x a=-≤由抛物线在线段AB 下方的部分为G （包含A 、B 两点），M 为G 上任意一点，M 的纵坐标为t ，3t ≥-，得2434ac b a-≥-，分三种情况讨论，当对称轴在y 轴的右侧时，有262m --＞0,即26m -＜0, 当对称轴是y 轴时，有260,m -= 当对称轴在y 轴的左侧时，有26m -＞0,从而可得结论．【详解】解：当对称轴在y 轴的右侧时， ()()222602622432634m m m m -<⎧⎪-⎪-≤⎪⎨⎪---⎪≥-⎪⎩①②③，由①得：m ＜3, 由②得：1,m ≥ 由③得：3,2m ≥ 解得：32m ≤＜3， 当对称轴是y 轴时，260,m -= ∴ m ＝3，符合题意，当对称轴在y 轴的左侧时，()()222602622432634m m m m ->⎧⎪-⎪-≤⎪⎨⎪---⎪≥-⎪⎩解得m ＞3，综上所述，满足条件的m 的值为32m ≥．故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．17．（2020·辽宁阜新市·中考真题）已知二次函数2y x 2x 4=-++ ，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）A ．图象的开口向下B ．图象的顶点坐标是 ()13，C ．当 x 1<时，y 随x 的增大而减少D ．图象与x 轴有唯一交点【答案】A【分析】由抛物线的二次项的系数判断A ；把抛物线写成顶点式，可判断B ；由1x <得抛物线的图像在对称轴的左侧，从而得到y 随x 的增大而增大，可判断C ；利用24b ac =-△的值，判断D ．【详解】∵1a =-＜0，∴抛物线的开口向下，故A 正确；∵()222415,y x x x =-++=--+∴抛物线的顶点为：()1,5，故B 错误； 当1x <，即在抛物线的对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，故C 错误；∵1,2,4,a b c =-== ∴()224241420b ac =-=-⨯-⨯=＞0，∴抛物线与x 轴有两个交点，故D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向，顶点坐标，增减性，及与x 轴的交点个数的判断方法是解题的关键．18．（2020·四川中考真题）已知不等式ax +b >0的解集为x <2，则下列结论正确的个数是（ ） （1）2a +b ＝0；（2）当c >a 时，函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴没有公共点；（3）当c >0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点在直线y ＝ax +b 的上方；（4）如果b <3且2a ﹣mb ﹣m ＝0，则m 的取值范围是﹣34<m <0． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】由不等式的解集得出a ＜0，﹣b a=2，即b =﹣2a ，从而得出2a +b =0，即可判断（1）；根据△=4a （a ﹣c ）＞0即可判断（2）；求得抛物线的顶点为（1，a ﹣c ）即可判断（3）；求得0＜﹣1m m +＜3，得出不等式组的解集为﹣34＜m ＜0即可判断（4）． 【详解】（1）∵不等式ax +b ＞0的解集为x ＜2，∴a ＜0，﹣b a=2，即b =﹣2a ，∴2a +b =0，故结论正确； （2）函数y =ax 2+bx +c 中，令y =0，则ax 2+bx +c =0，∵b =﹣2a ，∴△=b 2﹣4ac =（﹣2a ）2﹣4ac =4a （a ﹣c ），∵a ＜0，c ＞a ，∴△=4a （a ﹣c ）＞0，∴当c ＞a 时，函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，故结论错误；（3）∵b =﹣2a ，∴﹣2b a =1，244ac b a -=2444ac a a-=c ﹣a ， ∴抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为（1，c ﹣a ），当x =1时，直线y =ax +b =a +b =a ﹣2a =﹣a ＞0当c ＞0时，c ﹣a ＞﹣a ＞0，∴抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点在直线y =ax +b 的上方，故结论正确；（4）∵b =﹣2a ，∴由2a ﹣mb ﹣m =0，得到﹣b ﹣mb ﹣m =0，∴b =﹣1m m +， 如果b ＜3，则0＜﹣1m m +＜3，∴﹣34＜m ＜0，故结论正确；故选：C ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，由题意得到b =﹣2a 是解题的关键．19．（2020·山东日照市·中考真题）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论：①abc ＜0；②3a ＜﹣c ；③若m 为任意实数，则有a ﹣bm ≤am 2+b ； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax 2+bx +c +2＝0的两根为x 1，x 2（|x 1|＜|x 2|），则2x 1﹣x 2＝5．其中正确的结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C 【分析】由图象可知a ＜0，c ＞0，由对称轴得b=2a ＜0，则abc ＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c ＜0，得②正确；由x=-1时，y 有最大值，得a -b+c≥am 2+bm+c ，得③错误；由题意得二次函数y=ax 2+bx+c 与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x 1=1，x 2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．【详解】解：由图象可知：a ＜0，c ＞0，12b a-=- ，∴b ＝2a ＜0，∴abc ＞0，故①abc ＜0错误； 当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝a +2a +c ＝3a +c ＜0，∴3a ＜﹣c ，故②3a ＜﹣c 正确；∵x ＝﹣1时，y 有最大值，∴a ﹣b +c ≥am 2+bm +c （m 为任意实数），即a ﹣b ≥am 2+bm ，即a ﹣bm ≥am 2+b ，故③错误；∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax 2+bx +c +2＝0的两根为x 1，x 2（|x 1|＜|x 2|）， ∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1， ∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），即x 1＝1，x 2＝﹣3，∴2x 1﹣x 2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．所以正确的是②④；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．20．（2020·辽宁铁岭市·）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的对称轴是直线1x =，则以下四个结论中：①0abc >，②20a b +=，③244+<a b ac ，④30a c +<．正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】由开口方向，对称轴方程，与y 轴的交点坐标判断,,a b c 的符号，从而可判断①②，利用与y 轴的交点位置得到c ＞1，结合a ＜0, 可判断③，利用当1,,x y a b c =-=-+ 结合图像与对称轴可判断④．【详解】解：由函数图像的开口向下得a ＜0, 由对称轴为12b x a=-=＞0, 所以b ＞0, 由函数与y 轴交于正半轴，所以c ＞0, abc ∴＜0, 故①错误；12b x a =-=，2,b a ∴-= 20,a b ∴+= 故②正确；由交点位置可得：c ＞1，a ＜0, c ∴＞1a +，4ac ∴＜244,a a +222,4,b a b a =-∴= 4ac ∴＜24,a b + 故③错误；由图像知：当1,,x y a b c =-=-+此时点()1,a b c --+在第三象限，a b c ∴-+＜0,2,b a =- 3a c ∴+＜0, 故④正确；综上：正确的有：②④，故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，掌握以上知识是解题的关键．21．（2020·四川绵阳市·中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）A．4B．C．D．7米【答案】B【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+32，∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+32，∴a=-350，∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x2+32，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为（-7，-3625），∴-3625=m（x﹣b）2，∴x1，x2=，∴MN=4，∴-（）|=4∴m=-925，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-92，∴-92=-925（x﹣b）2，∴x1，x2=-2+b，∴单个小孔的水面宽度=|）-（），故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．22．（2020·云南昆明市·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A ．ab ＜0B ．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根在2和3之间C ．a ＝23m +D ．点P 1（t ，y 1），P 2（t +1，y 2）在抛物线上，当实数t ＞13时，y 1＜y 2 【答案】D【分析】由抛物线开口方向得到a ＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b ＝−2a ＜0，则可对A 选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x 轴的交点问题可对B 选项进行判断；把B （0，−2），A （−1，m ）和b ＝−2a 代入抛物解析式可对C 选项进行判断；利用二次函数的增减性对D 进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1，∴b ＝﹣2a ＜0，∴ab ＜0，所以A 选项的结论正确； ∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根在2和3之间，所以B 选项的结论正确；把B （0，﹣2），A （﹣1，m ）代入抛物线得c ＝﹣2，a ﹣b +c ＝m ，而b ＝﹣2a ，∴a +2a ﹣2＝m ，∴a ＝23m +，所以C 选项的结论正确； ∵点P 1（t ，y 1），P 2（t +1，y 2）在抛物线上，∴当点P 1、P 2都在直线x ＝1的右侧时，y 1＜y 2，此时t ≥1； 当点P 1在直线x ＝1的左侧，点P 2在直线x ＝1的右侧时，y 1＜y 2，此时0＜t ＜1且t +1﹣1＞1﹣t ，即12＜t ＜1，∴当12＜t ＜1或t ≥1时，y 1＜y 2，所以D 选项的结论错误；故选：D ． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x 轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．23．（2020·辽宁丹东市·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 坐标为(1,0)-，点C 在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D ，对称轴为直线2x =，有以下结论：①0abc >；②若点11,2M y ⎛⎫-⎪⎝⎭，点27,2N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数图象上的两点，则12y y <；③3255a -<<-；④ADB ∆可以是等腰直角三形．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：①由开口可知：a ＜0，∴对称轴x=− 2b a＞0，∴b ＞0， 由抛物线与y 轴的交点可知：c ＞0，∴abc ＜0，故①错误； ②由于12-＜2＜72，且（12-，y 1）关于直线x=2的对称点的坐标为（92，y 1）， ∵72＜92，∴y 1＜y 2，故②正确， ③∵−2b a=2，∴b=-4a ，∵x=-1，y=0，∴a -b+c=0，∴c=-5a ， ∵2＜c ＜3，∴2＜-5a ＜3，∴3255a -<<-，故③正确 ④根据抛物线的对称性可知，AB=6，∴132AB =，假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0）， 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x -5)，则a=-25， ∴y=-25(x -2)2+185∵185＞3∴ADB ∆不可以是等腰直角三形．故④错误．所以正确的是②③，共2个．故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型． 24．（2020·贵州毕节市·中考真题）已知2y ax bx c =++()0a ≠的图象如图所示，对称轴为直线2x =，若1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的两个根，且12x x <，110x -<<，则下列说法正确的是（ ）A ．120x x +< B ．245x << C ．240b ac -< D ．0ab >【答案】B 【分析】利用函数图象对称轴位置及抛物线与x 轴交点的位置，分别判断四个结论正确性．【详解】解：1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，1x ∴、2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标，抛物线的对称轴为2x =，∴1222x x +=，即124x x +=，故选项A 错误； 由图象可知，110x -<<，∴2140x -<-<，解得：245x <<，故选项B 正确；抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，故选项C 错误； 由对称轴可知1240b x x a+=-=>，可知0ab <，故选项D 错误．故选：B ． 【点睛】主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与x 轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．25．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）关于二次函数216274y x x a =-++，下列说法错误的是（ ） A ．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点()4,5，则5a =-B ．当12x =时，y 有最小值9a -C ．2x =对应的函数值比最小值大7D ．当0a <时，图象与x 轴有两个不同的交点【答案】C【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a 即可判断A ；将函数表达式化为顶点式，即可判断B ；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C ；写出函数对应方程的根的判别式，根据a 值判断判别式的值，即可判断D.【详解】解：A 、将二次函数()221162712944y x x a x a =-++=-+-向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：()212129104y x a =+-+-+=()211014x a -++，。

【精品】全国中考数学真题汇编专题一：二次函数一、选择题1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B3.关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.【答案】B6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

2021年湖南省各市中考复习数学真题汇编压轴题综合练：《二次函数》1．（2021•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；x…0 2 4 6 8 …y……（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．2．（2021•永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．3．（2021•娄底）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2021•郴州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C ．已知直线y ＝kx +n 过B ，C 两点． （1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D ．设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2021•湘西州）已知直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的一个交点为A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM ＝S △ACE 时，求m 的值； （3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +，当AM +2DM 的最小值为时，求b 的值．6．（2021•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”．①y＝2x（）；②y＝（m≠0）（）；③y＝3x﹣1（）．（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c ＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．7．（2021•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N 为顶点的三角形相似，求t的值；（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．8．（2021•岳阳）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x﹣）2+与x 轴交于点A（﹣，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线F1的表达式；（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．①求点D的坐标；②判断△BCD的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2021•株洲）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y 轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜﹣时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．（3）若AB2＝，点P的坐标为（﹣，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．10．（2021•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•张家界）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•湘潭）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．13．（2021•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．14．（2021•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．参考答案1．解：（1）当P与C（0，5）重合，∴PH＝5，PF＝＝5，∴PH＝PF，∴点P运动过程中经过点C．（2）由题意：y2＝（x﹣4）2+（y﹣2）2，整理得，y＝x2﹣2x+5，∴函数解析式为y＝x2﹣2x+5，当x＝0时，y＝5，当x＝2时，y＝2，当x＝4时，y＝1，当x＝6时，y＝2，当x＝8时，y＝5，函数图象如图所示：故答案为5，2，1，2，5．（3）由题意C′（0，﹣5），F（4，2），∴直线FC′的解析式为y＝x﹣5，设抛物线交直线FC′于G，K．由，解得或，∴G（，），K（，），观察图象可知满足条件的PF长度的取值范围为1≤PF＜．2．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，当时，点P（﹣，﹣），线段PQ的中点为（，﹣1），∴，∴，∴直线l 的解析式为y ＝（1+）x ．综上，点P （，﹣），直线l 的解析式为y ＝（1﹣）x 或点P （﹣，﹣），直线l 的解析式为y ＝（1+）x ．3．解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1）， 把C （0，3）代入，可得a ＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ， 将A （﹣3，0），C （0，3）代入得到，解得，∴直线AC 的解析式为y ＝x +3．当﹣3＜m ＜0时，点P （m ，n ）在直线AC 的上方，过点P 作x 轴的垂线交AC 于Q ．则P （m ，﹣m 2﹣2m +3），Q （m ，m +3）， ∴PQ ＝﹣m 2﹣2m +3﹣（m +3） ＝﹣m 2﹣3m ＝﹣（m +）2+， ∵﹣3＜m ＜0，∴当m ＝﹣时，PQ 的值最大， 此时S △PAC ＝•PQ •AO ＝PQ 最大， ∴m ＝﹣．（3）由A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3），可得AB ＝4，OB ＝1，OC ＝3， ∵BC 2＝10，∠CAO ＝45°， ∴BA 2﹣BC 2＝6，连接BC ，过点B 作AC 的垂线交抛物线于D ，交AC 于H ，连接AD ，DC ， 则∠AHB ＝90°，∠DBA ＝∠CAO ＝45°，∴DA2﹣DC2＝HA2﹣HC2＝AB2﹣BC2＝6，∵∠CAO＝∠DBA，∴点H在AB的垂直平分线上，即点H在抛物线的对称轴x＝﹣1上，∴点D与点C关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，∵C（0，3），∴点D的坐标为（﹣2，3）．4．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，∴点C坐标为（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，解得∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．（2）①∵PA交直线BC于点D，∴设点D的坐标为（m，﹣m+3），设直线AD的表达式为y＝k1x+b1，∴，解得，∴直线AD的表达式，y＝x+，∴x+＝﹣x2+2x+3，整理得，（x﹣）（x+1）＝0解得x＝或﹣1（不合题意，舍去），∴点D的横坐标为m，点P的横坐标为，分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：∴DM∥PN，OM＝m，ON＝，OA＝1，∴＝＝＝＝＝，设＝t，则t＝整理得，（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，∵△≥0，∴（2t﹣3）2﹣4t（t+1）≥0，解得t≤∴有最大值，最大值为．②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，∴OE＝1，∵B（3，0），C（0，3）∴OC＝OB＝3，又∵∠COB＝90°，∴△OCB是等腰直角三角形，∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，∴△EFB是等腰直角三角形，∴FG＝GB＝EG＝1，∴点F的坐标为（2，1），当EF为边时，∵四边形EFPQ为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，2），根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．当EF为对角线时，如图3中，∵四边形PEQF为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，同理求得：点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，﹣2）；综上，点P的坐标为（2，3）时，点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P（0，3）时，Q（1，4）．5．解：（1）∵直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A （﹣1，0），∴﹣k﹣2＝0，1+b+c＝0，∴k＝﹣2，c＝﹣b﹣1，∴直线y＝kx﹣2的解析式为y＝﹣2x﹣2，∵抛物线y＝x2﹣bx+c的顶点坐标为E（，），∴E（，），∵直线y＝﹣2x﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E，∴＝﹣2×﹣2，解得，b＝2，或b＝﹣2（舍），当b＝2时，c＝﹣3，∴E（1，﹣4），故k＝﹣2，b＝2，c＝﹣3，E（1，﹣4）；（2）由（1）知，直线的解析式为y＝﹣2x﹣2，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴C （0，﹣3），Q （2，﹣3），如图1，设直线y ＝﹣2x ﹣2与y 轴交点为N ，则N （0，﹣2），∴CN ＝1， ∴，∴，设直线EQ 与x 轴的交点为D ，显然点M 不能与点D 重合， 设直线EQ 的解析式为y ＝dx +n （d ≠0）， 则， 解得，，∴直线EQ 的解析式为y ＝x ﹣5， ∴D （5，0），∴S △EQM ＝S △EDM ﹣S △QDM ＝＝，解得，m ＝4，或m ＝6；（3）∵点D （b +，y D ）在抛物线y ＝x 2﹣bx ﹣b ﹣1上， ∴，可知点D （b +，）在第四象限，且在直线x ＝b 的右侧，∵，∴可取点N （0，1），则∠OAN ＝45°，如图2，过D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，∵∠GAM＝90°﹣∠OAN＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过D作DH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MDH中，可知∠DMH＝∠MDH＝45°，∴DH＝MH，DM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（）＝（b+）﹣m，解得，m＝，∵，∴，解得，b＝3，此时，m＝，符合题意，∴b＝3．6．解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y＝（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．故答案为：√，√，×．（2）∵A，B是“H点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得，∴，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴﹣＞2，∴﹣＞2，∴﹣1＜a＜0，∵a+c＝0，∴0＜c＜1，综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），代入得到，解得ap2+3c＝0，2bp＝q，∵p2＞0，∴a，c异号，∴ac＜0，∵a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，∴c2＜4a2，∴＜4，∴﹣2＜＜2，设t＝，则﹣2＜t＜0，设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，∴|x1﹣x2|＝＝＝＝＝2＝2，∵﹣2＜t＜0，∴2＜|x1﹣x2|＜2．7．解：（1）将C（8，0），B（0，6）代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）如答图1，作DE⊥x轴于点E，∵C（8，0），B（0，6），∴OC＝8，OB＝6．∴BC＝10．∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC，∴△BOC～△CED．∴．∴CE＝3，DE＝4．∴OE＝OC+CE＝11．∴D（11，4）．（3）若点M在DA上运动时，DM＝5t，ON＝4t，当△BON～△CDM，则，即不成立，舍去；当△BON～△MDC，则，即，解得：；若点M在BC上运动时，CM＝25﹣5t．当△BON～△MCD，则，即，∴．当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t．∴，解得t1＝（舍去），t2＝．当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16∴，无解；当△BON～△DCM，则，即，∴ON＝30﹣6t；当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t，∴30﹣6t＝16﹣4t，解得t＝7（舍去）；当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16，∴30﹣6t＝4t﹣16，解得．综上所示：当时，△BON～△MDC；t＝时，△BON～△MCD；时，△BON～△DCM；（4）如答图2，作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N，∵点D（11，4），∴点F（11，﹣4）．由得对称轴为x＝5，∴点Q（5，4）．∴，．∴．故A'Q+QN+DN的最小值为．8．解：（1）把点A（﹣，0）代入抛物线F1：y＝a（x﹣）2+中得：0＝a（﹣﹣）2+，解得：a＝﹣，∴抛物线F1：y＝﹣（x﹣）2+；（2）①由平移得：抛物线F2：y＝﹣（x﹣+1）2+﹣3，∴y＝﹣（x+）2+，∴﹣（x+）2+＝﹣（x﹣）2+，﹣x＝，解得：x＝﹣1，∴D（﹣1，1）；②当x＝0时，y＝﹣＝4，∴C（0，4），当y＝0时，﹣（x﹣）2+＝0，解得：x＝﹣或2，∴B（2，0），∵D（﹣1，1），∴BD2＝（2+1）2+（1﹣0）2＝10，CD2＝（0+1）2+（4﹣1）2＝10，BC2＝22+42＝20，∴BD2+CD2＝BC2且BD＝CD，∴△BDC是等腰直角三角形；（3）存在，设P（m，﹣），∵B（2，0），D（﹣1，1），∴BD2＝（2+1）2+12＝10，，，分三种情况：①当∠DBP＝90°时，BD2+PB2＝PD2，即10+（m﹣2）2+[﹣]2＝（m+1）2+[﹣（m+）2+﹣1]2，解得：m＝﹣4或1，当m＝﹣4时，BD＝，PB＝＝6，即△BDP不是等腰直角三角形，不符合题意，当m＝1时，BD＝，PB＝＝，∴BD＝PB，即△BDP是等腰直角三角形，符合题意，∴P（1，﹣3）；②当∠BDP＝90°时，BD2+PD2＝PB2，即10+（m+1）2+[﹣（m+）2+﹣1]2＝（m﹣2）2+[﹣]2，解得：m＝﹣1（舍）或﹣2，当m＝﹣2时，BD＝，PD＝＝，∴BD＝PD，即此时△BDP为等腰直角三角形，∴P（﹣2，﹣2）；③当∠BPD＝90°时，且BP＝DP，有BD2＝PD2+PB2，如图3，当△BDP为等腰直角三角形时，点P1和P2不在抛物线上，此种情况不存在这样的点P；综上，点P的坐标是（1，﹣3）或（﹣2，﹣2）．9．解：（1）由题意得：y＝ax2﹣3x+a，∵函数过点（1，﹣1），∴a﹣3+a＝﹣1，∴a＝c＝1，∴y＝x2﹣3x+1；（2）由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．∴△＝b2﹣4ac＝4，∴4ac＝b2﹣4，在函数中，，∵，∴2b+5＜0，即函数图象与x轴没有交点；（3）因为函数顶点在直线l上，则有，即b2﹣4ac＝4a①，∵，∴，即，∴，由①得：②，∵∠OAP＝∠DAB，∠OPB＝∠DAB，∴∠OAP＝∠OPB，∵∠OAP＝∠OBP+∠APB，∠OPB＝∠OPA+∠APB，∴∠OBP＝∠OPA，则△OAP∽△OPB．∴，∴OA•OB＝OP2，∴．∴，∴．由②得：，∴，∴当c＝1时，．10．解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，故C点坐标为（0，﹣3），又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），A（﹣1，0），设直线BC的解析式为：y＝ax+b，将C（0，﹣3），B（3，0）代入直线BC的解析式得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，则＝＝，（其中x Q，x C，x B分别表示Q，C，B 三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，x B﹣x C＝3，故，其中0＜n＜3，当时，S有最大值为，△BCN此时点N的坐标为（），（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）分情况讨论：①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：线段DG的中点坐标为，即，线段BC的中点坐标为，即，此时DG的中点与BC的中点为同一个点，∴，解得，经检验，此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：线段DB的中点坐标为，即，线段GC的中点坐标为，即，此时DB的中点与GC的中点为同一个点，∴，解得，经检验，此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：线段DC的中点坐标为，即，线段GB的中点坐标为，即，此时DC的中点与GB的中点为同一个点，∴，解得，经检验，此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，5）；综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）；（4）连接AC，OP，如图2所示：设MC的解析式为：y＝kx+m，将C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入MC的解析式得：，解得：∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴E点坐标为（﹣3，0），∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，∴CE＝CB，∴∠CBE＝∠E，设P（x，﹣x﹣3），又∵P点在线段EM上，∴﹣3＜x＜1，则，，由题意知：△PEO相似于△ABC，分情况讨论：①△PEO∽△CBA，∴，∴，解得，满足﹣3＜x＜1，此时P的坐标为；②△PEO∽△ABC，∴，∴，解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜1，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为或（﹣1，﹣2）．11．解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C，∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．∴．解得．∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）△APC为直角三角形，理由如下：∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x1＝1，x2＝5．∴A（1，0），B（5，0）．∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴l为x＝3，∴△APB为等腰三角形．∵C的坐标为（0，5），B的坐标为（5，0），∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠ABP＝45°，∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．∴△APC为直角三角形；（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，∵M1A＝M1C，∴∠ACM1＝∠CAM1．∴∠AM1B＝2∠ACB．∵△ANB为等腰直角三角形．∴AH＝BH＝NH＝2．∴N（3，2）．设AC的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．∵C（0，5），A（1，0），∴．解得b＝5，k＝﹣5．∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，设EM1的函数解析式为y＝x+n，∵点E的坐标为（）．∴＝×+n，解得：n＝．∴EM1的函数解析式为y＝x+．∵．解得．∴M1的坐标为（）；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，设M2（a，﹣a+5），则有：3＝，解得a＝．∴﹣a+5＝．∴M2的坐标为（，）．综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．12．解：（1）①抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线，∴若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴，则，解得：b＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；②存在，如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，则OB'＝OB，PB'＝PB，对于y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝5，∴A（﹣1，0），B（5，0），∴OB'＝OB＝5，∴，∴，设点P（2，m），由PB'＝PB可得：，解得：，∴P（2，）；同理，当点P在x轴下方时，P（2，﹣）．综上所述，点P（2，）或P（2，﹣）；（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线，∴当b≥4时，，∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，∴当0≤x≤2时，取x＝2，y有最大值，即y＝﹣4+2b+5＝2b+1，∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，又∵b≥4，∴4≤b≤7．13．解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴，解得，∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝时函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，∵a＜3＜b，∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．14．解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1+或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．。

专题02 实数和二次根式一、选择题1．（2021·湖南长沙市·中考真题）下列四个实数中，最大的数是（ ）A ．3-B ．1-C ．πD ．4【答案】D【分析】根据实数的大小比较法则即可得．【详解】解： 3.14π≈，314π∴-<-<<，即这四个实数中，最大的数是4，故选：D ．【点睛】本题考查了实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．2．（2021·湖南岳阳市·-1，0，2中，为负数的是（）A B ．-1 C ．0 D ．2【答案】B【分析】利用负数的定义即可判断．【详解】解：AB 、1是正数，在正数的前面加上“-”的数是负数，所以，-1是负数；C 、0既不是正数，也不是负数；D 、2是正数．故选：B【点睛】本题考查了实数的分类的知识点，熟知负数的定义是解题的关键．3．（2021· ）A B C D 【答案】D【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式==， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．4．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A 4=±B ．()021-=C =D 3=【答案】B【分析】利用算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根逐项判断即可选择．【详解】4=，故A 选项错误，不符合题意；0(2)1-=，故B 选项正确，符合题意；C 选项错误，不符合题意；D 选项错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根．掌握各知识点和运算法则是解答本题的关键．5．（2021·湖南株洲市·中考真题）计算：4-=（ ）A ．-B ．－2C ．D ．【答案】A【分析】【详解】解：()44--=-故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键．6．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：1⎫-=⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2D ．12【答案】C【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．【详解】解：1⎫-⎪⎪⎝⎭=512-=2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．7．（2021·湖南娄底市·中考真题）2,5,m ）A ．210m -B ．102m -C ．10D ．4【答案】D【分析】 先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+，解得：37x ，374m m =-+-=，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m 的范围，再对二次根式化简． 8．（2020·湖南怀化市·中考真题）下列数中，是无理数的是（ ）A ．3-B ．0C ．13D 【答案】D【分析】根据无理数的三种形式求解即可．【详解】解：-3，0，13 故选：D ．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．9．（2020·湖南株洲市·中考真题）下列不等式错误．．的是（ ）A ．21-<-B ．πC ．52>D ．10.33> 【答案】C【分析】选项A ，根据两个负数绝对值大的反而小即可得21-<-；选项B ，由3<π<4，45<<即可得π<选项C ，由25 6.252⎛⎫= ⎪⎝⎭，6.25<10，可得52<D ，由10.33=可得10.33>．由此可得只有选项C 错误．【详解】选项A ，根据两个负数绝对值大的反而小可得21-<-，选项A 正确；选项B ，由3<π<4，45<可得π<B 正确；选项C ，由25 6.252⎛⎫= ⎪⎝⎭，6.25<10，可得52<C 错误； 选项D ，由10.33=可得10.33>，选项D 正确． 故选C ．【点睛】 本题考查了实数的大小比较及无理数的估算，熟练运用实数大小的比较方法及无理数的估算方法是解决问题的关键．10．（2020·湖南衡阳市·中考真题）下列各式中正确的是（ ）A ．22--=B 2=±C 3=D ．031= 【答案】D【分析】根据绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的知识对逐项排除即可．【详解】解：A. 22--=-，故A 选项错误；B.2=，故B 选项错误；C. 3=，故B 选项错误；D. 031=，故D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的相关知识，掌握这些基础知识是解答本题的关键．11．（2020·湖南益阳市·中考真题）四个实数1，03-中，最大的是（ ）A ．1B ．0CD ．3- 【答案】C【分析】根据实数的大小比较法则比较即可．【详解】解：四个实数1，03-故选C ．【点睛】本题考查了对实数的大小比较法则的应用，能熟记法则内容是解题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．12．（2020·湖南长沙市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A =B ．826x x x ÷=CD ．()257a a =【答案】B【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；二次根式的乘法计算；幂的乘方，底数不变，指数相乘，利用排除法求解．【详解】解：A 25，故本选项错误； B 、826x x x ÷=，故本选项正确；C =≠D 、()25107a a a =≠，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的乘法，幂的乘方．很容易混淆，要熟练掌握运算法则．13．（2019·湖南怀化市·中考真题）下列实数中，哪个数是负数（ ）A ．0B ．3CD ．1- 【答案】D【分析】根据小于零的数是负数，可得答案．【详解】A 、0既不是正数也不是负数，故A 错误；B 、3是正实数，故B 错误；C C 错误；D 、1-是负实数，故D 正确；故选D ．【点睛】本题考查了实数，小于零的数是负数，属于基础题型．14．（2019·湖南常德市·中考真题）下列各数中比3大比4小的无理数是（ ）AB C ．3.1 D ．103 【答案】A【分析】由于带根号的且开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．【详解】＞4，3＜4∴选项中比3大比4．故选A ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 15．（2019·湖南邵阳市·中考真题）下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．13B ．1.414CD 【答案】C【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解；【详解】A.10.33=，是无限循环小数，是有理数，B.1.414是有限小数，是有理数，2=，是有理数；故选C．【点睛】本题考查无理数；能够化简二次根式，理解无理数的定义是解题的关键．16．（2019·湖南株洲市·=（）A．B．4C D．【答案】B【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【详解】4=．故选B．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．17．（2019·湖南益阳市·中考真题）下列运算正确的是( )A＝﹣2B．2＝6C=D=【答案】D【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．【详解】A＝2，故本选项错误；B：2＝12，故本选项错误；CD ：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确，故选D ．【点睛】本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，熟练掌握是解题的关键.18．（2019·湖南常德市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A =B =C 2=- D3= 【答案】D【分析】根据二次根式的加减法对A 进行判断；根据二次根式的性质对B 、C 进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对D 进行判断．【详解】A 2，所以A 选项错误；B 、原式＝B 选项错误；C 、原式＝2，所以C 选项错误；D =，所以D 选项正确． 故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．二、填空题19．（2021·湖南永州市·中考真题）在220,,0.101001,7π-_______个． 【答案】1【分析】根据无理数的概念结合有理数的概念逐一进行判断即可．【详解】解：0整数，是有理数；227是分数，是有理数；0.101001-是有限小数，是有理数；π是无限不循环小数，是有理数，所以无理数有1个．故答案为：1【点睛】本题考查了无理数的定义，辨析无理数通常要结合有理数的概念进行：初中范围内学习的无理数主要有三类：①含π的一部分数，如2,3ππ等；②开方开不尽的数，③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等．20．（2021·湖南中考真题）若实数a 的立方等于27，则a =________．【答案】3【分析】根据立方根的定义即可得．【详解】解：由题意得：3a ==， 故答案为：3．【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的运算是解题关键．21．（2021·湖南邵阳市·中考真题）16的算术平方根是___________．【答案】4【详解】正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根∵2(4)16±=∴16的平方根为4和-4∴16的算术平方根为422．（2021·湖南怀化市·中考真题）比较大小：2 __________12（填写“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＞12，结果大于0大；结果小于0，则12大． 【详解】102-，∴122＞， 故答案为：＞．【点睛】本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键．23．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）则x 的取值范围是____． 【答案】12x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】210x -≥，解得：12x ≥； 故答案为12x ≥． 【点睛】 本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．24．（2021·有意义的x 的取值范围是________． 【答案】0x >根据分式及二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：0x ≠且20x≥， ∴0x >；故答案为0x >．【点睛】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．25．（2021·湖南衡阳市·x 的取值范围是________．【答案】x ≥3【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解．【详解】由题意知，30x -≥，解得，x ≥3，故答案为：x ≥3．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．26．（2021·湖南永州市·x 的取值范围是______________．【答案】3x ≥-【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解即可．【详解】根据题意得：30x +≥，解得3x ≥-，故答案为：3x ≥-．【点睛】本题主要考查学生对二次根式有意义时被开方数的取值的掌握，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键.27．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知1x x +=，则代数式1x x +-______． 【答案】0【分析】把1x x+=直接代入所求的代数式中，即可求得结果的值． 【详解】10x x+-== 故答案为：0．【点睛】本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键．28．（2020·湖南邵阳市·中考真题）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．【答案】【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：2=设第二行中间数为x ，则16⨯⨯=x x =设第三行第一个数为y ，则3⨯=y y =∴2个空格的实数之积为xy ==故答案为：【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．29．（2020·湖南益阳市·中考真题）m的结果为正整数，则无理数m的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可）【分析】根据2为12，即可得到一个无理数m的值．【详解】解：∵212 =，∴12m时m的结果为正整数，（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次根式，注意2a=是解题的关键．30．（2020·湖南株洲市·的结果是________．【答案】2【分析】利用二次根式的乘除法则运算．【详解】解：原式=333=42 33 +=2.故答案是：2.【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．31．（2020·_____．【答案】【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【详解】解：原式＝2＝故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解答的关键.32．（2020·湖南湘潭市·=_______．【分析】.【详解】=【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．33．（2020·湖南怀化市·x的取值范围是__．【答案】x＞1【分析】根据被开方式大于零列式解答即可.【详解】解：由题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1，故答案为x＞1．【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．34．（2020·在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．【答案】x＞3【分析】本题考查二次根式是否有意义以及分式是否有意义，按照对应自变量要求求解即可．【详解】因为二次根式有意义必须满足被开方数为非负数x-≥．所以有260又因为分式分母不为零x-≠．所以260x-＞0故综上：26x＞．则：3故答案为：x＞3【点睛】二次根式以及分式的结合属于常见组合，需要着重注意分母不为零的隐藏陷阱．35．（2019·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）阅读材料：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），如果a∥b，则x1•y2＝x2•y1，根据该材料填空，已知a＝（4，3），b＝（8，m），且a∥b，则m＝_____.【答案】6【分析】根据材料可以得到等式4m＝3×8，即可求m；【详解】∵a＝（4，3），b＝（8，m），且a∥b，∴4m＝3×8，∴m＝6故答案为6【点睛】本题考查新定义，点的坐标；理解阅读材料的内容，转化为所学知识求解是关键.36．（2019·湖南湘西土家族苗族自治州·x的取值范围为____________.【答案】x≥8【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】∴x﹣8≥0，解得：x≥8故答案为x≥8【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的被开方数为非负数的性质是解题关键.37．（2019·湖南郴州市·x的取值范围是___．≥【答案】x2【详解】x﹣2≥0，解得x≥2．故答案是x≥2．【点睛】考点：二次根式有意义的条件．38．（2019·湖南长沙市·x的取值范围是_________．【答案】x≥5【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】∴x−5⩾0，解得x⩾5.故答案为x≥5.点睛：此题考查了二次根式有意义的条件.a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式.39．（2019·湖南永州市·有意义的x的取值范围是_______．≥．【答案】x1【详解】x10x1-≥⇒≥．40．（2019·湖南衡阳市·_____．【答案】【详解】解：原式=．故答案为41．（2019·湖南益阳市·中考真题）观察下列等式：①3﹣1)2，②5﹣2，③7﹣＝2，…请你根据以上规律，写出第6个等式____________．13-=【答案】2【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为)2(n≥1的整数)．【详解】∵①3﹣1)2，②5﹣2，③7﹣＝2，…，∴第n 个等式为：(2n+1)-2，∴第6个等式为：213-=，故答案为213-=．【点睛】本题考查了规律题，涉及了二次根式的混合运算，通过所给等式发现等式左边与右边的变化规律是解题的关键.三、解答题42．（2021·湖南株洲市·中考真题）计算：12602--︒-．【答案】3【分析】熟记特殊三角数值、掌握绝对值的代数意义和负整数指数幂的求法，遵循运算法则计算即可． 【详解】解：原式1312232222=+-=+-= 【点睛】本题考察实数的运算，属于基础题，难度不大．熟练掌握运算法则是解题的关键．43．（2021·湖南张家界市·中考真题）计算：2021(1)22cos60-+-︒+【分析】先运用乘方、绝对值、特殊角的三角函数值以及平方根的性质化简，然后计算即可．【详解】解：2021(1)22cos60-+--︒+11222=-+-⨯+=【点睛】本题主要考查了乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、平方根的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．44．（2021·湖南怀化市·中考真题）计算：021(3)()4sin 60(1)3π--+︒-- 【答案】11【分析】根据非零实数0次幂、二次根式、负整数次幂、特殊角三角函数值根据实数加减混合运算法则计算即可．【详解】解：原式=191=11-+．【点睛】本题主要考查非零实数0次幂、二次根式、负整数次幂、特殊角三角函数值根据实数加减混合运算法则，正确掌握每个知识点是解决本题的关键．45．（2021·湖南岳阳市·中考真题）计算：())02021124sin30π-+-+︒-． 【答案】2【分析】分别根据有理数的乘方、绝对值的代数意义、特殊锐角三角函数值和零指数幂的运算法则化简各项后，再进行加减运算即可得到答案．【详解】解：())02021124sin30π-+-+︒-=112412-++⨯- =1221-++-=2．【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊锐角三角函数值是解答此题的关键．46．（2021·湖南邵阳市·中考真题）计算：()020212tan 60π--︒．【答案】﹣ 【分析】根据零指数幂运算法则、绝对值符号化简、特殊角的三角函数值代入计算，然后根据同类二次根式合并求解即可． 【详解】解：()020212tan 60π--︒＝(12-＝12-＝﹣ 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是中考题中常见的计算题型．熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值化简方法，同类二次根式是解题关键．47．（2021·湖南长沙市·中考真题）计算：(02sin 451+°【答案】5． 【分析】先化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法，再计算实数的混合运算即可得． 【详解】解：原式212=⨯+，14+，5=．【点睛】本题考查了化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．48．（2021·湖南）计算：101(2021)|2tan602π-⎛⎫--+⋅︒ ⎪⎝⎭． 【答案】3 【分析】先算零指数幂，绝对值，负整数指数幂以及锐角三角函数，再算加减法，即可求解． 【详解】原式=12+-=3． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，绝对值，负整数指数幂以及锐角三角函数，是解题的关键．49．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：012021345-+︒． 【答案】1． 【分析】直接利用零次幂的运算法则，负次幂的运算法则、二次根式及特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：012021345-+︒3132=+ 111=+- 1=故答案是：1． 【点睛】本题考查了零次幂的运算法则，负次幂的运算法则、二次根式及特殊角的三角函数值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．50．（2021·湖南娄底市·中考真题）计算：101)2cos 452π-⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭．【答案】2 【分析】直接利用零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：11)2cos 452π-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭1222=+-⨯112=+2=．【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．51．（2020·湖南益阳市·中考真题）计算：2(3)21)-+⨯-- 【答案】7 【分析】先算乘方、二次根式的混合运用和绝对值，最后算加减即可． 【详解】解：2(3)21)-+⨯--=92+- =7． 【点睛】本题考查了乘方、二次根式的混合运用和绝对值等知识，掌握相关运算法则是解答本题的关键．52．（2020·湖南永州市·中考真题）计算：01120202-⎛⎫︒- ⎪⎝⎭．【答案】0 【分析】依次计算零指数幂，化简立方根乘以特殊的三角函数值，最后一项利用负指数幂，最后相加减即可得出答案． 【详解】解：原式11222=+⨯- 112=+-0=【点睛】此题主要考查了实数的运算以及特殊的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．53．（2020·湖南郴州市·中考真题）计算：101()2cos 4511)3--+-【答案】1 【分析】根据负整指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂的性质，直接计算即可． 【详解】101()2cos 4511)3--+-32211=-+⨯-131=-1=．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，包含零指数幂，负整数指数幂，绝对值及特殊角的余弦值等，灵活运用是解题关键．54．（2020·湖南娄底市·1113tan30(3.14)2π-⎛⎫-︒+-+ ⎪⎝⎭【答案】2． 【分析】先计算绝对值运算、特殊角的正切函数值、零指数幂、负整数指数幂，再计算实数的混合运算即可得． 【详解】原式13123=-⨯++112+【点睛】本题考查了绝对值运算、特殊角的正切函数值、零指数幂、负整数指数幂，熟记各运算法则是解题关键．55．（2020·湖南长沙市·中考真题）计算：)1131454-︒⎛⎫--++ ⎪⎝⎭【答案】7 【分析】根据绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式和负整数指数幂的运算法则分别对每项进行化简，再进行加减计算即可． 【详解】解：)1131454-︒⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=3114-++=7 【点睛】本题考查实数的混合运算、熟练掌握绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式和负整数指数幂的运算法则是解题的关键．56．（2020·湖南邵阳市·中考真题）计算：120201(1)|12sin602-︒⎛⎫-+-+- ⎪⎝+⎭． 【答案】2 【分析】分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可． 【详解】解：原式＝)1212++-＝121+＝2 【点睛】此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解57．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）计算：2cos45(2020)|2π︒︒+-+． 【答案】3 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂运算及去绝对值法则进行计算即可． 【详解】解：2cos45(2020)|2π︒︒+-+＝=3． 【点睛】本题考查零次幂的性质、特殊角的三角函数值，绝对值性质实数的运算，熟练掌握计算法则是正确计算的前提．58．（2020·湖南岳阳市·中考真题）计算：101()2cos 60(4)2π-+--+°【答案】2 【分析】先计算负整数指数幂、特殊角的余弦值、零指数幂、化简绝对值，再计算实数的混合运算即可． 【详解】原式12212=+⨯-+211=+-2=【点睛】本题考查了负整数指数幂、特殊角的余弦值、零指数幂、实数的混合运算等知识点，熟记各运算法则是解题关键．59．（2020·湖南怀化市·222cos45|2-︒-+【答案】9.4【分析】 按照公式1(0)ppa a a -=≠、特殊角的三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号进行运算，最后计算加减即可． 【详解】解：原式=212222-⨯+ 124=-124=+ 94=. 故答案为9.4【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂、负指数幂公式、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质等．60．（2020·湖南中考真题）计算：20+（13）﹣14tan45°． 【答案】3 【分析】先计算20（13）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可． 【详解】20+（13）﹣14tan45° ＝1+3×2﹣4×1 ＝1+6﹣4 ＝3． 【点睛】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．61．（2019·湖南永州市·中考真题）计算：（﹣1）2019sin60°﹣（﹣3）． 【答案】5. 【解析】 【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】（﹣1）2019sin60°﹣（﹣3）＝﹣+3 ＝﹣1+3+3 ＝5 【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．62．（2019·湖南长沙市·中考真题）计算：11()2cos 602-+︒．【答案】1 【分析】根据绝对值的意义、二次根式的除法法则、负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算． 【详解】原式21= =1. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．63．（2019·湖南岳阳市·中考真题）计算：1)0﹣2sin30°+(13)﹣1+(﹣1)2019. 【答案】2.【分析】按顺序先分别进行0指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值、进行负指数幂的运算、乘方运算，然后再按运算顺序进行计算即可. 【详解】 原式＝1﹣2×12+3﹣1 ＝1﹣1+3﹣1 ＝2. 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了0指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.64．（2019·湖南娄底市·中考真题）计算：111)2sin |602+-︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】-1. 【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】原式122=-+12=-+1=-．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

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2019年全国中考数学真题分类汇编：二次函数的实际应用一、选择题1。

(2019年湖北省襄阳市）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位:s)之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．【考点】二次函数的实际应用【解答】解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2得t(20﹣5t)＝0解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．二、填空题1。

（2019年四川省广安市)在广安市中考体考前,某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米)之间的关系为y＝﹣x2+x+,由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．【考点】二次函数的应用、自变量与函数的实际意义【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0,解得，x＝2（舍去)，x＝10．故答案为:10．三、解答题1. （2019年四川省攀枝花市)攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市.某水果店购进一批优质晚熟芒果,进价为10元/千克,售价不低于15元/千克,且不超过40元/每千克,根据销售情况,发现该芒果在一天内的销售量y （千克)与该天的售价x （元/千克)之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。