专题六 三角形

专题六 三角形全等(学生版）教学目标1、掌握全等三角形及其相关概念。

2、掌握全等三角形判定与性质。

一、 知识回顾 课前热身知识点1、全等三角形及其相关概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．热身 1.若△ABC ≌△DEF ，此时， ＝DE ，BC ＝ ∠ACB=知识点2、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等． 热身 1、（2011年黑龙江）如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ）ABCDE 第3题(1题）12ABCD第5题（3题）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°2、已知△ABC ≌△A ´B ´C ´，且△ABC 的周长为20，AB ＝8，BC ＝5，则A ´C ´等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 83、 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ） A. ∠1＝∠2 B. AC ＝CA C. ∠B ＝∠D D. AC ＝BC知识点3、全等三角形的判定方法①“边、角、边”（或SAS ）定理；②“角、边、角”（或ASA ）定理；③“角、角、边”（或AAS ）定理；④“边、边、边”（或SSS ）定理；⑤ “斜边、直角边”（或HL ）定理．热身 1、下列可使两个直角三角形全等的条件是( )A.一条边对应相等B.两条直角边对应相等C.一个锐角对应相等D.两个锐角对应相等 2、对于下列各组条件，不能判定△≌△的一组是 （ ）A.∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，AB=A ′B ′B.∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，AC=A ′C ′C.∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，BC=B ′C ′D.AB=A ′B ′，AC=A ′C ′，BC=B ′C ′二、 例题辨析 推陈出新例1、如图4，在ABC △中，AB AC =，点E ，D ，F 在边BC 上，且BAD CAD ∠=∠，BE CF =，则图中全等三角形共有（ ）A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对变式练习 如图5，ABC △是不等边三角形，DE BC ，以D ，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与ABC △全等，这样的三角形最多可以画出（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个例2、如图6，已知AB ＝AD ，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个） ．变式练习 已知：如图7，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件是图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为 ，你得到的一对全等三角形为 ．例3、 (2013湖北荆门，19，9分)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，如图2，∠BAC ＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．AB C D EF(第19题图2) AB C D E(第19题图1) AEF C 图4B D A BC DE图5AB CDE12图6ABCDP图变式练习 （2013山东菏泽，16，12分）（1）如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC. ①求证：△ABE ≌△CBD ；②若∠CAE=30°，求∠BDC 的度数.三、 归纳总结 方法在握归纳1.证三角形全等，关键是证角相等或边相等．全等三角形的判定方法有：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （HL 为直角三角形专用）．等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用．归纳2.掌握与等边三角形、正方形的全等应用实践操作、探究题.图形与几何的实践、探究题，是新中考比较热点的命题方向.归纳3.考查几何时简单证明，特别是在求图形的面积时，如果是规则图形就是找到底边和高线即可，如果不是规则图形，可以通过转化思想转化成几个规则图形的面积和或是差的问题即可。

北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-专题六倍长中线构造全等三角形中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造.类型倍长中线构造全等三角形1. 在△ABC中，AB=7，AC=3，则BC边的中线AD的取值范围是.2. 在△ABC中，AB=10，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是.3.如图，在△ABC中，∠ABC=45∘，AD，BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F.下列结论：①∠FCD=45∘；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD；④若BF=2EC，则△FDC的周长等于AB的长.正确结论的序号是.4.如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC).（1）求证：AB−AC<2AD<AB+AC；（2）若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围.5. 如图，已知AD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E.若BE=6，求点C到AD的距离.6.某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题：【探究】如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，点D是BC的中点，试探究BC 边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程.（1）求证：△ADC≌△EDB.证明：∵延长AD到点E，使DE=AD,连接BE.在△ADC和△EDB中,AD=ED（已作）,∠ADC=∠EDB（）, CD=BD（中点定义）,∴△ADC≌△EDB（）.（2）探究得出AD的取值范围是.【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF.求证：∠BFD=∠CAD.7. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE,请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A. SSSB. SASC. AAS（2）求得AD的取值范围是.A. 6<AD<8B. 6≤AD≤8C. 1<AD<7D. 1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF.试说明AC=BF.（1）【方法学习】数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法（如图2）.①延长AD到点M，使得DM=AD；②连接BM，通过三角形全等把AB,AC,2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB−BM<AM<AB+BM，从而得到AD的取值范围是.【方法总结】上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以说明.（3）【深入思考】如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE =∠CAF=90∘，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以说明.答案专题六倍长中线构造全等三角形类型倍长中线构造全等三角形1．2<AD<52．2<AD<83．①③④4．（1）证明：如图,延长AD至点E，使AD=DE，连接BE.在△ACD 和△EBD 中，{DC =BD ,∠ADC =∠BDE ,AD =DE ,∴△ACD≌△EBD (SAS)，∴AC =BE （全等三角形的对应边相等）.在△ABE 中，由三角形的三边关系可得AB−BE <AE <AB +BE ，即AB−AC <2AD <AB +AC .（2） 解：∵AB =8cm ，AC =5cm ，∴8−5<2AD <8+5，∴32<AD <132.5．解：如图，过点C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F .∵BE ⊥AD ,CF ⊥AD ,∴∠BED =∠CFD .∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD .在△BED 和△CFD 中，{∠BED =∠CFD ,∠BDE =∠CDF ,BD =CD ,∴△BED≌△CFD (AAS),∴BE =CF .∵BE =6,∴CF =6,∴ 点C 到AD 的距离为6.（1） 对顶角相等； SAS（2） 1<AD <7（3） 证明：如图，延长AD 到点H ，使DH =AD ,连接BH .由（1）得△ADC≌△HDB,∴BH=AC,∠BHD=∠CAD.∵AC=BF,∴BH=BF,∴∠BFD=∠BHD,∴∠BFD=∠CAD.（1）B（2）C（3）解：如图，延长AD到点M，使AD=DM，连接BM.∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD.∵在△ADC和△MDB中,{DC=DB,∠ADC=∠MDB,DA=DM,∴△ADC≌△MDB(SAS),∴BM=AC,∠CAD=∠M.∵AE=EF,∴∠CAD=∠AFE.∵∠AFE=∠BFD,∴∠BFD=∠M,∴BF=BM=AC,即AC=BF.（1）1<AD<7（2）解：AC//BM,且AC=BM.理由:由（1）知,△MDB≌△ADC,∴∠M=∠CAD,AC=BM,∴AC//BM.（3）EF=2AD.理由：如图，延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM.由（1）知，△BDM≌△CDA(SAS)，∴BM=AC.∵AC=AF,∴BM=AF.由（2）知:AC//BM，∴∠BAC+∠ABM=180∘.∵∠BAE=∠FAC=90∘，∴∠BAC+∠EAF=180∘,∴∠ABM=∠EAF.在△ABM和△EAF中，{AB=EA,∠ABM=∠EAF,BM=AF,∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM=EF.∵AD=DM,∴AM=2AD.∵AM=EF,∴EF=2AD.。

专题六 三角形 三角形01 有关的角和边1.三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类：2． 三角形的边与边之间的关系：(1)三角形两边的和大于第三边；(2)三角形两边的差小于第三边； 3． 三角形的角与角之间的关系：(1) 三角形三个内角的和等于180︒;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余. 4.n 边形内角和=(n －2)·180；n 边形对角线个数：2)3(-n n 条 5.边与角的关系① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。

练习题一、选择题：1. 已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中3样构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形的个数是（ ）A. 5B. 7C. 8D. 102. 如图所示：AB 是圆O 的直径，AD =DE ,AE 与BD 交于点C ,则图中与∠BCE 相等的角有（ ） A. 2个 B. 3个 C.4个 D.5个三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形3. 如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是（）A. h1>h2B. h1<h2C. h1=h2D.无法确定4. 已知△ABC中，∠B=600,∠C>∠A,且(∠C)2=(∠A)2+(∠B)2,则△ABC的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5. 一个等腰三角形如图所示，顶角为∠A,作∠A的三等分线AD、AE（即∠1=∠2=∠3），若BD=x，DE=y，EC=z，则有（）A. x>y>zB.x=y>zC.x=z>yD.x=y=z6.如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（）7.如图所示,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点, 且S△ABC=4cm2,则S阴影等于（）A.2cm2B.1cm2C.12cm2 D.14cm28. 如图所示，将△ABC的三边AC、BA、CB分别延长至D,E,F，且AC=CD,EA=2BA,FB=3B C.若S△ABC=1，那么S△DEF的面积为（）A. 15B. 16C. 17D. 189.如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是( ) A.10315- B.1053- C.535- D.20103-10.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ） A ．13 B ．12 C ．23D ．不能确定 11.如图所示，已知等边三角形ABC 的边长为1，按图中所示的规律，用2011个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（ ）A. 2011B. 2012C. 2013D. 2014二、填空题：12. 如图，点A ,B 是圆O 上两点，AB =10,点P 是圆O 上的动点（P 与A ,B 不重合），连接AP ,PB ,过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ,OF ⊥PB 于点F ,则EF =13.在△ABC 中，∠A ＝Rt ∠，∠B ＝60，∠B 的平分线交AC 于D ，点D 到边BC 的距离为2cm ,则边AC 的长是＿＿cm14.已知△ABC 的两边长a 和b （a <b ）,则这个三角形的周长L 的取值范是＿＿＿＿15. 如图，CE 平分∠ACB ,且CE ⊥DB ,∠DAB =∠DBA ,AC =18cm ，△CBD 的周长为28cm ，则DB = 16.一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520°,则原多边形有____条边。

专题全等三角形六种基本模型通用的解题思路：模型一：一线三等角模型一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型--旋转型全等一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；题型三：倍长中线模型构造全等三角形倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

常用于构造全等三角形。

中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明) (注：一般都是原题已经有中线时用)。

三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD题型四：平行线+线段中点构造全等模型题型五：等腰三角形中的半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

类型六 全等、相似三角形问题例1 (2017·淄博)如图①，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)与x 轴交于另一点A(32，0)，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B(2，t)．(1)求这条抛物线的表达式；(2)在第四象限内的抛物线上有一点C ，满足以B ，O ，C 为顶点的三角形的面积为2，求点C 的坐标；(3)如图②，若点M 在这条抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，在(2)的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽MOB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②例1题图【思路点拨】 (1)把(2，t)代入y ＝x 可求点B 坐标为(2，2)，然后把(2，2)、(32，0)代入y ＝ax 2＋bx 可得抛物线的表达式；(2)由点C 在抛物线y ＝2x 2－3x 可设点C 坐标为(x ，2x 2－3x)，然后过点C 作CQ ⊥y 轴，过点B 作BF ⊥y 轴，则由S △BOC ＝S 四边形CQFB －S △COQ －S △BOF 可得方程，解方程可得点C 的横坐标，从而求得点C 坐标；(3)由∠MBO ＝∠ABO ，可得△OBE ≌△OBA ，所以点E 坐标为(0，32)，从而可求直线MB 的解析式为y ＝14x ＋32，再由y＝14x ＋32和y ＝2x 2－3x 组成方程组，解方程组可得点M 坐标，再由△POC ∽△MOB 可得∠BOM ＝∠COP ，且OC OB ＝OP OM ＝12，从而可求点P 坐标．解：(1)把B(2，t)代入y ＝x 得t ＝2， ∴B(2，2)，把A(32，0)，B(2，2)代入y ＝ax 2＋bx 得⎩⎪⎨⎪⎧94a ＋32b ＝0，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3. ∴抛物线的解析式为y ＝2x 2－3x ；例1题解图①(2)设点C 坐标为(x ，2x 2－3x)，如解图①，过点C 作CQ ⊥y 轴，过点B 作BF ⊥y 轴， 则S △BOC ＝S 四边形CQFB －S △BOF －S △COQ ， 即（2＋x ）[2－（2x 2－3x ）]2－2×2×12－12x(－2x 2＋3x)＝2，解得x ＝1.把x ＝1代入y ＝2x 2－3x 得y ＝2－3＝－1， ∴C(1，－1)；(3)存在．如解图②，连接AB ，OM ，设MB 交y 轴于点E ， 由(1)得点B 坐标为(2，2)， ∴∠BOE ＝∠BOA ＝45°，在△BOE 和△BOA 中，⎩⎨⎧∠BOE ＝∠BOA ，OB ＝OB ，∠EBO ＝∠ABO ，∴△BOE ≌△BOA(ASA )，∴OA ＝OE ，∵A(32，0)，∴E(0，32)，设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b ，把(0，32)，(2，2)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋b ＝2，b ＝32，解得⎩⎨⎧k ＝14，b ＝32.∴直线BM 的解析式为y ＝14x ＋32.由y ＝14x ＋32和y ＝2x 2－3x 组成方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x ＋32，y ＝2x 2－3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝2(与B 点重合，舍去)，⎩⎨⎧x 2＝－38，y 2＝4532.∴点M 坐标为(－38，4532)．由点C 坐标为(1，－1)可得∠AOC ＝∠BOE ＝45°， ∴OB ＝22，OC ＝2， ∵△OPC ∽△OMB ， ∴OP OM ＝OC OB ＝12，且∠POC ＝∠BOM. 当点P 在第一象限时，如解图②所示，过点P 作PG ⊥x 轴，过点M 作MH ⊥y 轴， ∵∠BOM ＝∠COP ，∠COA ＝BOE ，例1题解图②∴∠POG ＝∠MOE ，又∵∠MHO ＝∠PGO ＝90°， ∴△POG ∽△MOH ， ∴OP OM ＝OG OH ＝PG MH ＝12， ∴OG ＝4564，PG ＝316，∴点P 坐标为(4564，316)；当点P 位于第三象限时，可求点P 坐标为(－316，－4564)．综上可得点P 坐标为(4564，316)或(－316，－4564)．【备考指导】相似三角形的存在性探究：1．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角(尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似)，或者涉及动点位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；2．确定分类标准：找出一对对应相等的角，再根据对应边成比例进行分类讨论确定相似三角形成立的条件．【针对练习】 1．(2017·镇江)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 坐标为(4，t)(t>0)，二次函数y ＝x 2＋bx(b<0)的图象经过点B ，顶点为点D.(1)当t ＝12时，顶点D 到x 轴的距离等于14；(2)点E 是二次函数y ＝x 2＋bx(b<0)的图象与x 轴的一个公共点(点E 与点O 不重合)，求OE·EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；第1题图(3)矩形OABC 的对角线OB 、AC 交于点F ，直线l 平行于x 轴，交二次函数y ＝x 2＋bx(b<0)的图象于点M 、N ，连接DM 、DN ，当△DMN ≌△FOC 时，求t 的值．解：(1)14；(2)将y ＝0代入抛物线的解析式得x 2＋bx ＝0， 解得x ＝0或x ＝－b ，∵OA ＝4，∴AE ＝4－(－b)＝4＋b ，∴OE ·AE ＝－b(4＋b)＝－b 2－4b ＝－(b ＋2)2＋4， ∴OE ·AE 的最大值为4，此时b 的值为－2， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x ；第1题解图(3)过点D 作DG ⊥MN ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥CO ，垂足为H ， ∵△DMN ≌△FOC ，∴MN ＝CO ＝t ，DG ＝FH ＝2.∵D(－b 2，－b 24)，∴N(－b 2＋t 2，－b 24＋2)，即N(t －b 2，8－b 24)．将点N 坐标代入抛物线的解析式得8－b 24＝(t －b 2)2＋b·(t －b2)，解得t ＝±2 2.∵t>0，∴t＝2 2.2．(2017·海南)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y ＝35x ＋3相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N.①连接PC 、PD ，如图①，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图②，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标，若不存在，说明理由．图①图②第2题图 解：(1)抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，∴可设P(t ，35t 2－185t ＋3)(1<t<5)，∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ，∴M(t ，0)，N(t ，35t ＋3)，∴PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720.联立直线CD 与抛物线解析式可得⎩⎨⎧y ＝35x ＋3，y ＝35x 2－185x ＋3，解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝7，y 2＝365.∴C(0，3)，D(7，365)，第2题解图①分别过C 、D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E 、F ，如解图①， 则CE ＝t ，DF ＝7－t ，∴S △PCD ＝S △PCN ＋S △PDN ＝12PN·CE ＋12PN·DF ＝72PN ＝72[－35(t －72)2＋14720]＝－2110(t －72)2＋102940， ∴当t ＝72时，△PCD 的面积有最大值，最大值为102940；第2题解图②②存在．如解图②，∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°，∴△CNQ 与△PBM 相似时，有NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM两种情况，∵CQ ⊥PM ，垂足为Q ，∴Q(t ，3)，且C(0，3)，N(t ，35t ＋3)，∴CQ ＝t ，NQ ＝35t ＋3－3＝35t ，∴CQ NQ ＝53，∵P(t ，35t 2－185t ＋3)，M(t ，0)，B(5，0)，∴BM ＝5－t ，PM ＝0－(35t 2－185t ＋3)＝－35t 2＋185t －3. 当NQ CQ ＝PM BM 时，则PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t)，解得t ＝2或t ＝5(舍去)，此时P(2，－95)；当NQ CQ ＝BM PM 时，则BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)， 解得t ＝349或t ＝5(舍去)，此时P(349，－5527)．综上可知，存在满足条件的点P ，其坐标为(2，－95)或(349，－5527)．3．(2017·常州)如图，在平面直角坐标系xOy ，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx 的图象过点A(4，0)，顶点为B ，连接AB 、BO.第3题图(1)求二次函数的表达式； (2)若C 是BO 的中点，点Q 在线段AB 上，设点B 关于直线CQ 的对称点为B′；当△OCB′为等边三角形时，求BQ 的长度；(3)若点D 在线段BO 上，OD ＝2DB ，点E 、F 在△OAB 的边上，且满足△DOF 与△DEF 全等，求点E 的坐标．解：(1)∵二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋2x ；第3题解图①(2)由抛的线y ＝－12x 2＋2x 得y ＝－12(x －2)2＋2，∴如解图①，点B 的坐标为(2，2)，OB ＝BA ＝22， 易得△ABO 是等腰直角三角形，且∠OBA ＝90°. ∵△B ′OC 是等边三角形，∴∠OCB ′＝60°， ∴∠BCB ′＝120°，∵点B 与点B′关于CQ 对称， ∴∠BCQ ＝∠B′CQ ＝60°.∴在Rt △CBQ 中，BC ＝2，∠BCQ ＝60°，∴BQ ＝3BC ＝6； (3)∵OB ＝22，OD ＝2BD ，∴OD ＝423.如解图②，当点F ，点E 均在OA 上，且△DFO ≌△DFE ，则DF ⊥OA ，∴DF ＝43＝OF ＝EF ，此时点E 的坐标为(83，0)；其他情况不存在；如解图③，当点F 在OA 上，点E 在AB 上，当DE ∥OF ，即DE ∥x 轴，且OF ＝DE 时满足题意， 此时点D 与点E 关于x ＝2对称，∵点D(43，43)，∴点E 的坐标为(83，43)；其他情况下不存在点E ；当点E 在BO 上，则不存在这样的点E ；当点F 在AB 上，无论点E 在何处，都不满足题意；当点E 与点O 重合时，△DOF 与△DEF 是同一个三角形，此时满足题意．综上，这样的点E 有3个，坐标分别为(0，0)，(83，0)，(83，43)．图②图③第3题解图4．(2017·鄂州)已知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a<0)与x 轴交于A(3，0)、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴是直线x ＝1，D 为抛物线的顶点，点E 在y 轴C 点的上方，且CE ＝12.(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)求证：直线DE 是△ACD 外接圆的切线；第4题图(3)在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使S △ACP ＝12S △ACD ，求点P 的坐标；(4)在坐标轴上找一点M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ACD 相似，直接写出点M 的坐标．(1)解：抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.顶点D 的坐标为(1，4)；(2)证明：∵点C 是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴的交点，∴点C 的坐标为(0，3)，∴AC ＝32，CD ＝2，AD ＝25，∴AC 2＋CD 2＝AD 2， ∴△ACD 是直角三角形，且∠ACD ＝90°； ∴AD 是△ACD 外接圆的直径．如解图①，过点E 作EF ⊥CD 于点F ，易得EF ＝CF ＝22CE ＝24，∵CD ＝2，第4题解图①∴DF ＝2－24＝324，∴tan ∠EDF ＝EF DF ＝24324＝13，∵tan ∠CAD ＝CD AC ＝232＝13＝tan ∠CDE ，∴∠CAD ＝∠CDE ，∴∠CDE ＋∠CDA ＝∠CDA ＋∠CAD ＝90°， ∴DE 是△ADC 外接圆的切线；(3)解：∵S △ADC ＝12AC·DC ＝12·32·2＝3，∴S △APC ＝32.第4题解图②如解图②，过点P 作PL ∥y 轴，交AC 于点Q ，易得直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3， ∴设点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)，则点Q 的坐标为(t ，－t ＋3)， ∴PQ ＝(－t 2＋2t ＋3)－(－t ＋3)＝－t 2＋3t ，∴S △APC ＝12PQ·|x A －x C |＝32(－t 2＋3t)， ∴32(－t 2＋3t)＝32，解得t 1＝3＋52，t 2＝3－52， 当t ＝3＋52时，y ＝5－52；当t ＝3－52时，y ＝5＋52，∴所求点P 的坐标为(3＋52，5－52)或(3－52，5＋52)；(4)点M 的坐标为(0，0)或(9，0)或(0，－错误!).错误!。

专题01 三角形六大重难题型一．中线分周长（分类讨论）1．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是10．试题分析：先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD＝CD，再根据三角形的周长公式即可求出结果．答案详解：解：∵BD是△ABC的中线，即点D是线段AC的中点，∴AD＝CD．∵AB＝5，△ABD的周长为12，∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．解得BD+AD＝7．∴BD+CD＝7．则△BCD的周长是BC+BD+CD＝3+7＝10．所以答案是：10．2．已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是17和15，△ABC的周长是22，则AD的长为5．试题分析：根据三角形的周长公式列式计算即可得解．答案详解：解：∵△ABD与△ACD的周长分别是17和15，∴AB+BC+AC+2AD＝17+15＝32，∵△ABC的周长是22，∴AB+BC+AC＝22，∴2AD＝32﹣22＝10，∴AD＝5．所以答案是：5．3．如图所示，AD是△ABC的中线．若AB＝7cm，AC＝5cm，则△ABD和△ADC的周长的差为2 cm．试题分析：根据三角形中线的定义得到BD＝CD，求得△ABD和△ACD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，于是得到结论．答案详解：解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD和△ACD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵AB＝7cm，AC＝5cm，∴△ABD和△ACD的周长差＝7﹣5＝2cm．所以答案是：2．二．中线之等分面积4．如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（）A．2B．3C．4D．5试题分析：根据三角形的面积公式即可得到结论．答案详解：解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，∴S△ABD=12S△ABC＝4，∵E是AB的中点，∴S△BDE=12S△ABD=12×4＝2，所以选：A．5．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为1cm2．试题分析：易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．答案详解：解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC=12×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE=12S△BCE=12×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F为EC中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×2＝1（cm2）．所以答案是1．三．三角形的高的辨别6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有6个．试题分析：由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．答案详解：解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．所以答案是：6．7．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD．试题分析：根据三角形的高的概念解答即可．答案详解：解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD，所以答案是：AD四．多边形的内角和与外角和8．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是五边形．试题分析：根据多边形的内角和公式求出边数即可．答案详解：解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5，所以答案是：五．9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（）A．240°B．360°C．540°D．720°试题分析：根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．答案详解：解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，所以选：B．10．一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（）A．4B．6C．7D．9试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝1260°，然后解方程即可．答案详解：解：设这个多边形的边数为n，∴（n﹣2）×180°＝1260°，解得n＝9，∴这个多边形为九边形；从这个多边形的一个顶点出发共有：9﹣3＝6（条）．所以选：B．五．三角形的内角和11．如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，BD，CE相交于点F，∠A＝60°，∠ABD＝20°，∠ACE＝35°，则∠EFD的度数是（）A．115°B．120°C．135°D．105°试题分析：由△ABD的内角和为180°，可以求∠ADB，由△AEC内角和为180°，可以求∠AEC，再根据四边形AEFD内角和为360°，可求∠EFD．答案详解：解：在△AEC中，∠A+∠ACE+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠A﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣35°＝85°，在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣20°＝100°，在四边形AEFD中，∠A+∠AEC+∠ADB+2∠EFD＝360°，∴∠EFD＝360°﹣∠A﹣∠AEC﹣∠ADB＝360°﹣60°﹣85°﹣100°＝115°，所以选：A．12．如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕PD 分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为（）A．35°或20°B．20°或27.5°C．35°或25°或32.5°D．35°或20°或27.5°试题分析：分三种情况，利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质先求出∠APC的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出∠B．答案详解：解：由折叠的性质知：∠BPD＝∠APD=12∠BP A，∠BDP＝∠ADP＝90°．当AP＝AC时，∠APC＝∠C＝70°，∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝55°，∴∠B＝90°﹣55°＝35°；当AP＝PC时，∠P AC＝∠C＝70°，则∠APC＝40°．∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝70°，∴∠B＝90°﹣70°＝20°；当PC＝AC时，∠APC＝∠P AC，则∠APC＝55°．∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝62.5°，∴∠B＝90°﹣62.5°＝27.5°．所以选：D．13．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为（）A．19°B．20°C．22°D．25°试题分析：延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1＝∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得∠P=12（∠A﹣∠D），然后代入数据计算即可得解．答案详解：解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P=12（∠A﹣∠D），∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P=12（48°﹣10°）＝19°．所以选：A．14．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．42°B．46°C．52°D．56°试题分析：根据折叠得出∠D＝∠B＝28°，根据三角形的外角性质得出∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF ＝∠2+∠D，求出∠1＝∠B+∠2+∠D即可．答案详解：解：∵∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，∴∠D＝∠B＝28°，∵∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，∴∠1＝∠B+∠2+∠D，∴∠1﹣∠2＝∠B+∠D＝28°+28°＝56°，所以选：D．15．如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（）A．49°B．50°C．51°D．52°试题分析：先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，根据三角形内角和为180°和周角360°求出结论．答案详解：解：由折叠得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°，∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝131°，∴∠2＝180°﹣131°＝49°，所以选：A．16．如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2=12∠3，BE平分∠ABC交AD于E，求∠4的度数．试题分析：首先根据三角形的外角的性质求得∠3，再根据已知条件求得∠2，进而根据三角形的内角和定理求得∠ABD，再根据角平分线的定义求得∠ABE，最后根据三角形的外角的性质求得∠4．答案详解：解：∵∠1＝∠3+∠C，∠1＝100°，∠C＝80°，∴∠3＝20°，∵∠2=12∠3，∴∠2＝10°，∴∠ABC＝180°﹣100°﹣10°＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝35°，∵∠4＝∠2+∠ABE，∴∠4＝45°．17．如果在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的3倍，那么这个三角形中最小的一个角等于22.5度．试题分析：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．由“直角三角形的两个锐角互余”的性质知，x+3x＝90°．通过解方程即可求得x的值．答案详解：解：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．则x+3x＝90°，即4x＝90°，解得，x＝22.5°，即这个直角三角形中最小的一个角等于22.5°．所以答案是：22.5．六．新定义类18．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“2倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．试题分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．答案详解：解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，所以答案是：2；（2）∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC，∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°，∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD为“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．19．在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为2倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为22.5°＜α＜30°．（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数．试题分析：（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．答案详解：解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝2∠C，∴△ABC为2倍角三角形，所以答案是：2；（2）∵最小内角为α，∴3倍角为3α，由题意可得：3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°．所以答案是22.5°＜α＜30°．（3）∵AE 平分∠BAO ，AF 平分∠AOG ，∴∠EAB ＝∠EAO ，∠OAF ＝∠F AG ，∴∠EAF ＝∠EAO +∠OAF =12（∠BAO +∠OAG ）＝90°，∵△EAF 是4倍角三角形，∠F 显然大于∠E ,∴∠E =14×90°或15×90°， ∵AE 平分∠BAO ，OE 平分∠BOQ ，∴∠E =12∠ABO ，∴∠ABO ＝2∠E ，∴∠ABO ＝45°或36°．20．在△ABC 中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称△ABC 为n 倍角三角形．例如，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝75°，∠C ＝25°，可知∠B ＝3∠C ，所以△ABC 为3倍角三角形．（1）在△ABC 中，∠A ＝55°，∠B ＝25°，则△ABC 为 4 倍角三角形；（2）若△DEF 是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求△DEF 的最小内角；（3）若△MNP 是2倍角三角形，且∠M ＜∠N ＜∠P ＜90°，请直接写出△MNP 的最小内角的取值范围．试题分析：（1）由∠A ＝55°，∠B ＝25°，可求∠C 的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF 是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围． 答案详解：解：（1）∵∠A ＝55°，∠B ＝25°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝100°，∴∠C ＝4∠B ，所以答案是：4（2）设最小的内角为x °，则3倍角为3x °①当最小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的13时， 即：x =13（90°﹣3x ），解得：x ＝15°②3倍内角的度数是最小内角的余角的度数的13时， 即：3x =13（90°﹣x ），解得：x ＝9°，因此，△DEF 的最小内角是9°或15°．（3）设∠M 的度数为x ，则其它的两个角分别为2x ，（180°﹣3x ），由∠M ＜∠N ＜∠P ＜90°可得：2x ＜90°且180°﹣3x ＜90°且2x ≠180°﹣3x∴30°＜x ＜45°且x ≠36°．答：△MNP 的最小内角的取值范围是30°＜x ＜45°且x ≠36°．21．若△ABC 中刚好有∠B ＝2∠C ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A 称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）A ．45°或36°B ．72°或36°C ．45°或72°D ．45°或36°或72° 试题分析：分设三角形底角为α，顶角为2α或设三角形的底角为2α，顶角为α，根据三角形的内角和为180°，得出答案．答案详解：解：①设三角形底角为α，顶角为2α，则α+α+2α＝180°，解得：α＝45°，②设三角形的底角为2α，顶角为α，则2α+2α+α＝180°，解得：α＝36°，∴2α＝72°，∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°，所以选：C．22．若三角形满足一个角α是另一个角β的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中α称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是60或90度．试题分析：根据“智慧三角形”及“智慧角”的意义，列方程求解即可．答案详解：解：在有一个角为60°的三角形中，①当另两个角分别是100°、20°时，“智慧角”是60°；②α+β＝120°且α＝3β，∴α＝90°．，即“智慧角”是90°．所以答案是：60或90．。

专题06 相似三角形的性质重难点专练第I 卷（选择题）一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt ABC ∆中，90,BAC BA CA ∠=︒==D 为BC 边的中点，点E 是CA 延长线上一点，把CDE ∆沿DE 翻折，点C 落在C '处，EC '与AB 交于点F ，连接BC '．当43FA EA =时，BC '的长为（ ）AB ．CD ．第II 卷（非选择题）二、解答题2．（2021·上海中考真题）如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O ∠=︒=是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时，①求证：DAC OBC ∽；①若BE CD ⊥，求AD BC的值； （2）若2,3DE OE ==，求CD 的长．3．（2021·上海金山区·九年级二模）已知在①ABC 中，AB ＝AC＝①BAC ＝120°，①ADE 的顶点D 在边BC 上，AE 交BC 于点F （点F 在点D 的右侧），①DAE ＝30°．（1）求证：①ABF ①①DCA ；（2）若AD ＝ED ．①联结EC ，当点F 是BC 的黄金分割点（FC ＞BF ）时，求ABF FEC S S．①联结BE ，当DF ＝1时，求BE 的长．4．（2021·上海崇明区·九年级二模）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ①BC ，AB ＝DC ，点E 在下底BC 上，①AED ＝①B ．（1）求证：CE •AD ＝DE 2； （2）求证：22CE ABADAE =．5．（2021·上海静安区·九年级二模）如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，点P 在线段OA 上，半圆P 与半圆O 相切于点A ，点C 在半圆P 上，CO ①AB ，AC 的延长线与半圆O 相交于点D ，OD 与BC 相交于点E ．（1）求证：AD •AP ＝OD •AC ；（2）设半圆P 的半径为x ，线段CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）当点E 在半圆P 上时，求半圆P 的半径．6．（2021·上海松江区·九年级二模）如图，已知在①ABC 中，BC ＞AB ，BD 平分①ABC ，交边AC 于点D ，E 是BC 边上一点，且BE ＝BA ，过点A 作AG ①DE ，分别交BD 、BC 于点F 、G ，联结FE ．（1）求证：四边形AFED 是菱形；（2）求证：AB 2＝BG •BC ；（3）若AB ＝AC ，BG ＝CE ，联结AE ，求ADE ABCS S ∆∆的值．7．（2021·上海九年级专题练习）（1）问题发现如图1，①ABC与①ADE都是等腰直角三角形，且①BAC＝①DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究如图2，在①ABC和①ADE中，①ABC＝①ADE＝α，①ACB＝①AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD 和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标．8．（2021·上海九年级专题练习）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．求证：FG AE =；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，23BC AB =将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形EFGP ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，若34BE BF =，GF =，求CP 的长． 9．（2021·上海九年级专题练习）如图，P 是正方形ABCD 边BC 上一个动点，线段AE 与AD 关于直线AP 对称，连接EB 并延长交直线AP 于点F ，连接CF ．（1）如图（1），①BAP ＝20°，直接写出①AFE 的大小；（2）如图（2），求证：BE CF ；（3）如图（3），连接CE ，G 是CE 的中点，AB ＝1，若点P 从点B 运动到点C ，直接写出点G 的运动路径长．10．（2021·上海宝山区·九年级期中）如图，在ABCD 中，BAD ∠的平分线交边BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 在AE 上，联结,GD GDF F ∠=∠（1）求证：2AD DG AF =⋅；（2）连结BG ，如果BG AE ⊥，且6,9AB AD ==，求AF 的长．11．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且MAN ABD ∠=∠． （1）求证：2AB BF DE =⋅；（2）若BE DN DE DC=，求证：//EF MN ．12．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠． （1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．13．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．14．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD 中，BC ＝4，AC 、BD 相交于点O ，过点A 作射线AM ①AC ，点E 是射线AM 上一点，联结OE 交AB 边于点F ．以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，联结DH ．（1）求证：①HDO ①①EAO ；（2）设BF ＝x ，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）联结AG ，当①AEG 是等腰三角形时，求BF 的长．15．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD CE =，联结DE 并延长至点F ，使EF AE =，联结AF ，CF ，联结BE 并延长交CF 于点G ．（1）求证：BC DF =；（2）若2BD DC =，求证：2GF EG =；16．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．17．（2020·上海市位育初级中学九年级期中）如图，在边长为10的正方形ABCD 中，内接有六个大小相同的正方形，点P ，Q ，M ，N 是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为_____．18．（2021·上海）如图1，在Rt ABC 中，90,,C AC BC D ︒∠==是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点（与点A C 、不重合），,DF DE DF ⊥与射线BC 相交于点F ． （1）如图2，如果点D 是边AB 的中点，求证：DE DF =；（2）如果:AD DB k =，求:DE DF 的值；（3）如果6,:1:2AC BC AD DB ===，设,AE x BF y ==，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；19．（2021·上海）如图，在Rt①ABC 中，①C=90°，AC=BC=6，点D 为AC 中点，点E 为边AB 上一动点，点F 为射线BC 上一动点，且①FDE=90°．（1）当DF//AB 时（图1），联结EF ，求DE ：DF 值；（2）当点F 在线段BC 上时（图2），设AE=x ，BF=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CE ，若①CDE 为等腰三角形，求BF 的长．20．（2021·上海）如图．已知在ABC ∆中.90,5,3ACB AB BC ︒∠===，点D 是边AB 上任意一点．连接DC ，过点C 作CE CD ⊥，垂足为点C ，连接DE ，使得EDC A ∠=∠，连接BE（1）求证：.AC BE BC AD ⋅=⋅（2）设AD x =，四边形BDCE 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式及x 的取值范围 （3）当14BDE ABC S S ∆∆=，求CD 的值． 21．（2020·上海上外附中九年级月考）已知直角三角形斜边上的高为12，且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是__________22．（2021·上海九年级专题练习）如图，直角梯形OABC 的直角顶点O 是坐标原点，边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA//BC ，D 是BC 上一点，BD=0．25OA=根号2，AB=3，①OAB=45°，E 、F 分别是线段OA 、AB 上的两动点，且始终保持①DEF=45°（1）直接写出D 点的坐标；（2）设OE x =，AF y =，试确定y 与x 之间的函数关系；（3）当AEF ∆是等腰三角形时，将AEF ∆沿EF 折叠，得到A EF '∆，求A EF '∆与五边形OEFBC 重叠部分的面积23．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 的顶点O 是坐标原点，点B 在x 轴的负半轴上，且CB x ⊥轴，点A 的坐标为()0,6，在OB 边上有一点P ，满足AP =（l ）求P 点的坐标；（2）如果AOP 与APC △相似，且90PAC ∠=︒，求点C 的坐标．24．（2020·上海浦东新区·九年级月考）如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，DC BC ⊥，且45B ∠=，1AD DC ==．点M 为边BC 上一动点，连接AM 并延长交射线DC 于点F ，作45FAE ∠=交射线BC 于点E 、交边DC 于点N ，联结EF ．（1）当:1:4CM CB =时，求CF 的长；（2）连接AC ，求证：2AC CE CF =⋅（3）设CM x =，CE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．25．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt①ABC 中，①B ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将①EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）①当α＝0°时，AE BD = ； ①当α＝180°时，AE BD= ； （2）试判断：当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． （3）当①EDC 旋转至A 、B 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．26．（2020·上海市青浦区第一中学）在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD 平行于BC ，3AB =，2AD =，点P 在线段AB 上，联结PD ，过点D 作PD DC ⊥，与BC 交于点C ，设AP 的长为x ．（1）当AP AD =时，求线段PC 的长；（2）设PDC ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当APD ∆与DPC ∆相似时，求线段BC 的长．27．（2021·上海九年级专题练习）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，①DAB =90°，AB =8，CD =5，BC（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ，求①DBC 的正切值．28．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，点E 为□ABCD 对角线AC 上的一点，点F 在线段BE 的延长线上，且EF=BE ，线段EF 与边CD 相交于点G ．（1）求证：DF //AC ；（2）如果AB=BE ，DG=CG ，联结DE 、CF ，求证：四边形DECF 是矩形．三、填空题29．（2021·上海九年级专题练习）如图，Rt ①ABC 中，AC ＝BC ＝3，D 为AB 中点，点E 在线段BC 上，且BE ＝2CE ，连接AE ，过点C 作CF ①AE ，垂足为F ，连接DF ，则DF 的长为_____．30．（2021·上海九年级专题练习）如图，等边①ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，12AD =，线段PQ 在边BA 上运动，12PQ =， （1）若①ADQ ①①BPC ，则AQ ＝_____；（2）四边形PCDQ 面积的最大值为_____．31．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC ∆中，AB BC =，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，点F 在DA 有延长线上，连接BF 交CE 延长线于点M ，tan 2DCA ∠=，:25:38BM MF =，若5EM =，则AF 的长为_____________．32．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，DE 交对角线AC 于F ，若2CE BE =，ABC ∆的面积等于15，那么FEC ∆的面积等于______．33．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果CF①CA=a①b ，那么BE①AE 的值为______．（用含a 、b 的式子表示）34．（2021·上海）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且1BE =，将CBE △沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D,F,E 在同一直线上，则线段AE 的长为____．35．（2021·上海九年级专题练习）在Rt ABC ∆中，①C =90°，AC =2，BC =4， ，点,D E 分别是边BC 、AB 的中点，将BDE ∆绕着点B 旋转，点,D E 旋转后的对应点分别为点,D E ''，当直线,D E ''经过点A 时，线段CD '的长为 ____________36．（2021·上海九年级专题练习）如图，AB 、CD 都是BD 的垂线，AB ＝4，CD ＝6，BD ＝14，P 是BD 上一点，联结AP 、CP ，所得两个三角形相似，则BP 的长是_____．37．（2021·上海九年级专题练习）如图，正方形纸片ABCD 的边长为4，E 是边CD 的中点，连接AE ，折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，则GE 的长为_____．38．（2021·上海）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =E 为OC 上一点，2OE =，连接BE ，过点A 作AF BE ⊥于点F ，与BD 交于点G ，则EF 的长是______．39．（2021·上海九年级专题练习）如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且4CE AE =，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG EF ⊥，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若10AB =，4CF =，则线段EP 的长是__________．40．（2020·上海上外附中九年级月考）如图，G 是ABC ∆的重心，延长BG 交AC 于点D ，延长CG 交AB 于点,,E P Q 分别是BCE ∆和BCD ∆的重心，则PQ BC=____________41．（2020·上海上外附中九年级月考）如图，P 是ABC ∆内一点，过点P 分别作直线平行于ABC ∆各边，形成三个小三角形面积分别为1233,12,27S S S ===，则ABC S ∆=__________42．（2020·上海上外附中九年级月考）如图，已知在ABC ∆中，60,CAB P ︒∠=为ABC ∆内一点且120,3,2APB APC AP BP ︒∠=∠===，则CP = ____________43．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）已知，平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，在直线AD 上截取2AF FD =，连接EF ，EF 交AC 于G ，则AG AC=___________． 44．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．45．（2021·上海）如图，在矩形ABCD 中， AB =3，BC =4，将矩形ABCD 绕点C 旋转，点A 、B 、D 的对应点分别为A’ 、B’、 D’，当A’ 落在边CD 的延长线上时，边A’ D’ 与边 AD 的延长线交于点F ，联结CF ，那么线段CF 的长度为____．46．（2021·上海九年级专题练习）如图，Rt①ABC 中，①BAC=90°，CE 平分①ACB ，点 D 在 CE 的延长线上，连接 BD ，过B 作BF①BC 交 CD 于点 F ，连接 AF ，若CF=2BD ，DE ：CE=5：8 ， BF =AF 的长为_________．47．（2021·上海九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连结BE，将①BCE沿BE对折，点C落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M，连结FM．若FM①CD，BC＝4．则AF＝_____48．（2021·上海）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是_____．49．（2021·上海九年级专题练习）定义：如果三角形的两个内角①α与①β满足①α=2①β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为____．50．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt①ABC中，①C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是边BC、AB上一点，DE①AC，BD＝，把①BDE绕着点B旋转得到①BD'E'（点D、E分别与点D'，E'对应），如果点A，D'、E'在同一直线上，那么AE'的长为_____．。

2023年中考专题第六章三角形(提升)测试卷（一）打印版含答案时间：45分钟满分：80分一、选择题(每题4分，共32分)1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是()A．2 B．4 C．6 D．8(第1题)(第2题)(第3题)2．如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB的度数为() A．40°B．30°C．20°D．15°3．如图，用4个全等的直角三角形拼成正方形，若小正方形的面积与每个直角三角形的面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α＝()A．2 B.32 C.12 D.554．题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d＝2，则正确的是()A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整(第4题) (第5题)(第6题)5．如图，在△ABC中，将CA沿DE翻折，点A落在点F处，∠CEF，∠BDF，∠A三者之间的关系是()A．∠CEF＝∠BDF＋∠AB．∠CEF－3∠A＝∠BDFC．∠CEF＝2(∠BDF＋∠A)D．∠CEF－∠BDF＝2∠A6．如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连接PB，PC.下列命题中，假命题是()A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PCB．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝ACC．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PCD．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是() A．BF＝1 B．DC＝3C．AE＝5 D．AC＝9(第7题)(第8题)8．如图，点D，E，F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为()A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题(每题4分，共16分)9．一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是________．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E，F分别是AB，AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为________．(第10题)(第12题)11．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为________．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝22，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE ＝5，则CD的长为________．三、解答题(共32分)13．(14分)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC 至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H.(第13题)(1)求证：MP＝NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示)．14．(18分)如图①，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，BE⊥AD，垂足为点E，点F在AD上，∠ACF＝∠DBE.(1)求证：∠ABD＝∠CFD；(2)探究线段AF，DE的数量关系，并证明你的结论；(3)如图②，延长BE交CF于点P，AB＝15AF，求BEEP的值．(第14题)答案一、1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.D7.A8．A点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N.∵DE∥BC，∴AN⊥DE.设AN＝a.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ANAM.∵BC＝8，BC边上的高为6，∴DE8＝a6，∴DE＝43a，∴S△DEF ＝12×DE×MN＝12×43a·(6－a)＝－23a2＋4a＝－23(a－3)2＋6，∴当a＝3时，S有最大值，最大值为6.(第8题)二、9.410.1211.612．5点拨：在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB.(第12题)∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，DE＝2AD＝2AE.∵∠ABC＝45°，且∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠ABC ＋∠BAD ，∴∠BAD ＝∠EDC .∵∠BDA ＝∠DEF ，∴△ADB ∽△DEF ， ∴DF AB ＝DE AD ＝2，∠ABC ＝∠EFD .∵AB ＝22，∴DF ＝2AB ＝4.∵∠CDE ＋∠C ＝∠AED ＝45°，∠C ＋∠CEF ＝∠EFD ＝45°，∴∠CEF ＝∠CDE ，∴△CEF ∽△CDE ，∴CE CF ＝CD CE .又∵DF ＝4，CE ＝5，∴5CF ＝CF ＋45， ∴CF ＝1或CF ＝－5(舍去)，∴CD ＝CF ＋4＝5.三、13.(1)证明：过点M 作MQ ∥BC ，交AC 于点Q ，如图所示．(第13题)在等边三角形ABC 中，∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°.∵MQ ∥BC ，∴∠AMQ ＝∠B ＝60°，∠AQM ＝∠ACB ＝60°，∠QMP ＝∠N ， ∴△AMQ 是等边三角形，∴AM ＝QM .∵AM ＝CN ，∴QM ＝CN .在△QMP 和△CNP 中，⎩⎨⎧∠QPM ＝∠CPN ，∠QMP ＝∠N ，QM ＝CN ，∴△QMP ≌△CNP (AAS)，∴MP ＝NP .(2)解：∵△AMQ 是等边三角形，且MH ⊥AC ，∴AH ＝HQ ，即HQ ＝12AQ .∵△QMP ≌△CNP ，∴QP ＝CP ，即QP ＝12CQ .∴PH ＝HQ ＋QP ＝12AQ ＋12CQ ＝12AC .∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝1 2a.14．(1)证明：设∠DBE＝∠ACF＝α.∵BE⊥AD，∴∠BED＝90°，∴∠ADB＋α＝90°.又∵∠BAC＝90°，AD是中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠ABD，∴∠ADB＋2∠BAD＝180°，∴2∠BAD＝90°＋α.∵∠CFD＝∠DAC＋∠ACF＝∠DAC＋α＝90°－∠BAD＋α＝2∠BAD－∠BAD＝∠BAD，即∠CFD＝∠BAD.∵∠ABD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠CFD.(2)解：AF＝2DE.证明：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M，如图①.∵AD是中线，∴BD＝CD.∵∠CMD＝∠BED＝90°，∠CDM＝∠BDE，∴△CDM≌△BDE(AAS)，∴DM＝DE，CM＝BE.由(1)可知∠BAD＝∠CFM.∵BE⊥AD，AM⊥AD，∴∠AEB＝∠CMF，∴△CMF≌△BEA(AAS)，∴AE＝MF，∴AE－EF＝MF－EF，即AF＝EM.又∵DM＝DE，即EM＝2DE，∴AF＝2DE.(3)解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M，如图②.由(1)(2)可知AD＝CD，AF＝2DE，设DE＝DM＝x，则AF＝2x.∵AB＝15AF，∴AB＝215x.设EF＝y，∴AE＝EF＋AF＝y＋2x，AD＝CD＝AF＋EF＋DE＝y＋3x.∵BE⊥AD，AM⊥AD，∴在Rt△ABE中，BE2＝AB2－AE2，在Rt△CDM中，CM2＝CD2－DM2.由(2)可知BE＝CM，∴AB2－AE2＝CD2－DM2，即(215x)2－(y＋2x)2＝(y＋3x)2－x2，解得y＝3x，y＝－8x(舍去)，∴AE＝5x. ∵∠BAE＝∠CFE，∠AEB＝∠PEF，∴△BEA∽△PEF，∴BEPE＝AEFE＝5x3x＝53.(第14题)。