高中教学质量检测4

2024-2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测高三数学试卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设i 为虚数单位，若z =2-ii 3，则z =()A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2i2.已知cos α1+sin α=-3，则cos αsin α-1的值为()A.33B.-33C.3D.-33.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯⋯这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有( )个奇数A.1012B.1348C.1350D.13524.在△ABC 中，H 为BC 的中点，M 为AH 的中点，若AM =λAB +μAC ，则λ+μ等于()A.23B.12C.16D.135.已知a =log 35，b =log 23，c =e ln 43，则()A.a <b <cB.c <b <aC.b <c <aD.c <a <b6.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为13，不下雨的概率均为23，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为()A.1681B.2081C.827D.28817.已知直线l :4x +3y +5=0与圆C :(x -4)2+(y -3)2=4，点P ,Q 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ,B ，当P A 取最小值时，则QA +QB 的最小值为()A.31B.231C.82D.2338.在平行四边形ABCD 中，DA =DB ，E 是平行四边形ABCD 内(包括边界)一点，DE ⋅DA DA =DE ⋅DBDB，若CE =xCB +yCD ，则x +y 的取值范围为()A.1,2B.1,32C.12,32D.0,1二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.对任意A ,B ⊆R ，记A ⊕B =x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，并称A ⊕B 为集合A ,B 的对称差．例如：若A =1,2,3 ,B =2,3,4 ，则A ⊕B =1,4 ．下列命题中，为真命题的是()A.若A ,B ⊆R 且A ⊕B =B ，则A =∅B.若A ,B ⊆R 且A ⊕B =∅，则A =BC.若A ,B ⊆R 且A ⊕B ⊆A ，则A ⊆BD.存在A ,B ⊆R ，使得A ⊕B ≠∁R A ⊕∁R B10.在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，E 为AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折至△A 1DE 的位置，使得二面角A 1-DE -C 为直二面角，若P 为线段A 1C 的中点，则()A.BP ⎳平面A 1DEB.DP ⊥ECC.异面直线PB ，A 1D 所成的角为π3D.A 1B 与平面PBD 所成角的余弦值为42711.随机事件A ，B 满足P A =12，P B =23，P A B =34，则下列说法正确的是()A.P AB =P A P BB.P A B =38C.P A +B =34D.P AB A +B P AB =P 2A P 2B三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知数列a n 的通项公式为a n =tn 2-78t +174 n +172,n ≤2t n,n >2，若数列a n 是单调递增数列，则实数t 的取值范围是.13.已知函数f (x )=2sin ωx +π4(ω>0)在区间0,1 上的值域为m ,n ，且n -m =3，则ω的值为.14.欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式e iθ=cos θ+i sin θ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式e i π+1=0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数--自然对数的底数e ，圆周率π，两个单位--虚数单位i 和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：e iθ=cos θ+i sin θ，将复数ei π3+e i π表示成a +bi (a ,b ∈R ,i 为虚数单位)的形式；若z n =1，则z =z k (k =0,1,2,⋯,n -1)，这里z k =cos 2k πn +i sin 2k πn(k =0,1,2,⋯,n -1)，称z k 为1的一个n 次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得x 5-1=(x -1)x 4+x 3+x 2+x 1+1 ，复数z =e2πi5，则z -2 z 2-2 z 3-2 z 4-2 的值是．四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知数列a n 的前n 项和S n =na n -3n (n -1)，n ∈N *，且a 3=17．(1)求a 1；(2)求数列a n 的前n 项和S n ；(3)设数列b n 的前n 项和T n ，且满足b n =n S n ，求证：T n <233n +2．16.在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且cos C c =-cos Aa +2b.(1)求角C 的大小；(2)若AC =BC =2，如图，D ,E 是AB 上的动点，且∠DCE 始终等于30°，记∠CED =α.当α为何值时，△CDE 的面积取到最小值，并求出最小值.17.如图，在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ,CD ∥EF ,AB =DE =EF =CF =2,CD =4,AD =BC =10,AE =23，M 对CD 的中点.(1)证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；(2)求平面AEM 与平面BEM 所成角的正弦值；(3)设点N 是△ADM 内一动点，ND ⋅NM=0，当线段AN 的长最小时，求直线EN 与直线BF 所成角的余弦值.18.已知A ，B 分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右顶点，点P 22,n 是双曲线C 上的一点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2=|AB |=4.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知过点(4,0)的直线l :x =my +4，交C 的左，右两支于D ，E 两点(异于A ，B ).(i )求m 的取值范围；(ii )设直线AD 与直线BE 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上.19.已知函数f x =x 2e x ,g x =ln x .(1)求函数y =f (x )的单调区间；(2)若曲线y =e x +m 与y =g x +1 存在两条公切线，求整数m 的最小值；(3)已知a ∈-1e ,0 ，函数h x =x -1 g x -1 -ax有3个零点为：x 1,x 2,x 3，且x 1<x 2<x 3，证明：x 1+x 2+x 3>2e.参考答案1．D【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【详解】z =2-i i 3=2-i-i =1+2i ，故z=1-2i ．故选：D ．2．A【分析】由cos α1+sin α⋅cos αsin α-1=-1即可求解.【详解】因为cos α1+sin α⋅cos αsin α-1=cos 2αsin 2α-1=1-sin 2αsin 2α-1=-1，且cos α1+sin α=-3，所以cos αsin α-1=33.故选：A 3．C【分析】对数列中的数进行归纳，发现规律，结合题意得到答案.【详解】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数，又2022=3×674，故该数列前2024项有2×674+2=1350个奇数.故选：C 4．B【分析】由向量的线性运算结合图形特征，求出λ,μ的值即可.【详解】在△ABC 中，H 为BC 的中点，M 为AH 的中点，则AM =12AH =12×12AB +AC ，所以λ=μ=14，λ+μ=12.故选：B 5．D【分析】利用对数函数的单调性以及基本不等式比较大小.【详解】由已知得c =eln 43=43，比较a =log 35和c =43的大小，其中c =43=log 3343，因为53=125>3433=81，所以53>343，又因为y =log 3x 在0,+∞ 单调递增，所以a =log 35>c =log 3343，即a >c ；比较b =log 23和c =log 2243的大小，其中33=81>2433=16，即3>243，因为y =log 2x 在0,+∞ 上单调递增，所以b =log 23>c =log 2243，即b >c ；比较a =log 35，b =log 23的大小，因为a =log 35<log 327=log 3332=32，b =log 23>log 222=log 2232=32，所以a <b ，即c <a <b ，故选：D .6．D【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率.【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有4次.(1)4次均不下雨，概率为：234=1681；(2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：2×13×233=1681；(3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况：①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨；概率为：2×132×232+13×23×13×23+13×23×23×13=1681；(4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为：2×133×23=481；(5)4次均下雨，概率为：134=181；两天都不淋雨的概率为：1681+1681+1681+481+181=5381，所以至少有一天淋雨的概率为：1-5381=2881.故选：D .7．C【分析】由切线长公式知当PC ⊥l 时，P A 最小，结合点到直线距离公式求得P A 的最小值，然后作A 关于直线l 的对称点A ，可知当点Q 为A B 与直线l 的交点时，QA +QB 最小，由对称知，此时P 与Q 重合，从而易得最小值．【详解】由C :(x -4)2+(y -3)2=4可知圆心为4,3 ，半径r =2，由题意P A =PC2-AC 2=PC2-4，所以当PC ⊥l 时，P A 取最小值，由点到直线的距离公式可得PC min =4×4+3×3+516+9=6，此时P A =PB =36-4=42，过A 作直线l 的对称点A ，连接QA ，A B ，A B 与直线l 的交点即为所求的点Q ，由于P A 与PB 关于直线PC 对称，PC ⊥l ，P A 与P A 关于直线l 对称，因此P A 与A B 就是同一条直线，即点P 即为所求的点Q ，所以QA +QB 的最小值为2PB =82.故选：C8．B【分析】先根据题意，得到点E 的轨迹，然后利用向量计算即可.【详解】因为DE ⋅DA DA =DE ⋅DBDB得DE cos ∠EDA =DEcos ∠EDB ，即cos ∠EDA =cos ∠EDB所以点E 在∠BDA 的角平分线上，设AB 的中点为M因为DA =DB ，所以点E 在线段DM 上，不妨设DE =λDM,λ∈0,1 ，所以CE =CD +λDM易知DM =DA +AM =CB -12CD所以CE =CD +λCB -12CD =1-λ2CD+λCB因为CE =xCB +yCD所以x +y =1-λ2+λ=1+λ2因为λ∈0,1所以x +y =1+λ2∈1,32故选：B【点睛】关键点点睛：DE ⋅DA DA =DE ⋅DBDB表示了DA ,DB 两个向量的角平分线.9．AB【分析】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可．【详解】解：对于A ，因为A ⊕B =B ，所以B =x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，所以A ⊆B ，且B 中的元素不能出现在A ∩B 中，因此A =∅，即A 正确；对于B ，因为A ⊕B =∅，所以∅=x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，即A ∪B 与A ∩B 是相同的，所以A =B ，即B 正确；对于C ，因为A ⊕B ⊆A ，所以x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ⊆A ，所以B ⊆A ，即C 错误；对于D ，由于∁R A ⊕∁R B =x |x ∈∁R A ∪∁R B ,x ∉∁R A ∩∁R B=x x ∈∁R A ∩B ,x ∉∁R A ∪B =x |x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，而A ⊕B =x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，故A ⊕B =∁R A ⊕∁R B ，即D 错误．故选：AB ．10．AC【分析】建立空间直角坐标系，用向量法证明线面关系即可判断A ,B 选项；用向量法分别表示向量PB ,A 1D ,A 1B ，以及求出平面PBD 的法向量，代入异面直线所成的角的向量公式可判断C 选项，代入直线与平面所成角的余弦公式即可判定D 选项.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，C (2,3,0)，D (0,3,0)，P 1,32,12.对于A ，因为BP =0,32,12，平面A 1DE 的一个法向量为m =(1,0,0)，所以BP ⋅m=0，所以BP ⎳平面A 1DE ，故A 正确.对于B ，因为DP =1,-32,12，EC =(2,3,0)，所以DP ⋅EC =12≠0，所以DP ，EC 不垂直，故B 错误.对于C ，因为PB =0,-32,-12 ，A 1D =(0,3,-1)，所以cos PB ,A 1D =PB ⋅A 1DPB A 1D =12，所以异面直线PB ，A 1D 所成的角为π3，故C 正确.对于D ，设平面PBD 的法向量为n=(x ,y ,z )，因为BP =0,32,12，BD =(-1,3,0)，所以n ⋅BP =32y +12z =0,n⋅BD =-x +3y =0,令x =3，得n =3,1,-3 .设A 1B 与平面PBD 所成的角为θ，因为A 1B=(1,0,-1)，所以sin θ=cos A 1B ,n =A 1B ⋅nA 1B n =237×2=427，cos θ=1-sin 2θ=1-4272=77，故D 错误.故选：AC .11．CD【分析】根据题意由相互独立事件的概率性质分析可判断A ，B ；由概率加法公式可分析C ；计算P AB A +B ，验证P AB A +B P AB =P 2A P 2B 是否正确即可判断D .【详解】由已知P A =12，P B =13，因为P A B =P A B P B=34，所以P A B =P A B P B =34×13=14，所以P AB =P B -P A B =13-14=112，所以P AB ≠P A P B ，故A 错误；因为P A B =P A -P A B =12-14=14，故B 错误；P A +B =P A +P B -P AB =12+13-112=34，故C 正确；P AB A +B =P AB P A +B=11234=19，又P A B =14，P A =12，P B =13，所以P AB A +B P AB =P 2A P 2B ，故D 正确.故选：CD .【点睛】方法点睛：解决本题的关键是概率的性质和应用，以及条件概率的计算.12．2,+∞【分析】根据是递增数列以及解析式，可得a 的范围，又a 3>a 2>a 1，代入求解，即可求得答案.【详解】因为数列a n 是递增数列，当n >2时，a n =t n ，可得t >1，当n ≤2时，a 1<a 2，即t -78t +174 +172<4t -278t +174 +172，解得t >2，又a 3>a 2，所以t 3>4t -278t +174 +172，解得t >32或-32<t <0.综上，实数t 的取值范围是2,+∞ .故答案为：2,+∞ .13．11π12【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可.【详解】x ∈0,1 ，故ωx +π4∈π4,ω+π4，因为f (x )=2sin ωx +π4在区间0,1 上的值域为m ,n ，且n -m =3，故必有n =2,m =-1,，如图所示，则ω+π4=7π6,故ω=11π12.故答案为：11π1214．-12+32i 31【分析】根据欧拉公式直接可得求出第一空；根据单位根的概念，代入化简即可求出第二空.【详解】e i π3=cosπ3+i sin π3=12+32，e i π=cosπ+i sinπ=-1，所以e i π3+e i π=-12+32i ，由题意可得z 5=1，所以z 5-1=(z -1)z 4+z 3+z 2+z 1+1 =0，又因为z ≠1，所以z 4+z 3+z 2+z 1+1=0，则z -2 z 2-2 z 3-2 z 4-2=z -2 z 4-2 z 2-2 z 3-2 =z 5+4-2z -2z 4 z 5+4-2z 2-2z 3 =5-2z -2z 4 5-2z 2-2z 3=25-10z 2-10z 3-10z +4z 3+4z 4-10z 4+4z 6+4z 7=25-10z 2-10z 3-10z +4z 3+4z 4-10z 4+4z +4z 2=25-6z 4+z 3+z 2+z 1 =31-6z 4+z 3+z 2+z 1+1 =31.故答案为：-12+32i ；31.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用.15．(1)a 1=5(2)S n =3n 2+2n(3)证明见解析【分析】(1)令n =2，n =3解方程即可求解，(2)利用S n ，a n 的关系，作差可得等差数列，即可求解，(3)利用放缩法可得b n <23n +2+3n -1=23(3n +2-3n -1)，即可利用累加法求解.【详解】(1)在S n =na n -3n (n -1)，n ∈N *中，a 3=17，令n =2，n =3可得a 1+a 2=2a 2-6a 1+a 2+a 3=3a 3-18 ⇒a 2-a 1=6a 1+a 2=16 ，∴a 1=5．(2)S n =na n -3n (n -1)，①当n ≥2时，S n -1=(n -1)a n -1-3(n -1)(n -2)，②①-②可得a n =na n -(n -1)a n -1-6(n -1)⇒(n -1)a n =(n -1)a n -1+6(n -1)(n ≥2)，∴a n =a n -1+6，∴a n 是公差为6的等差数列，∴a n =a 1+6(n -1)=6n -1，∴S n =na n -3n (n -1)=n (6n -1)-3n (n -1)=3n 2+2n ．(3)证明：由(2)可得b n =n 3n 2+2n=13n +2，∴b n =13n +2=223n +2<23n +2+3n -1=23(3n +2-3n -1)，∴T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n <23[(5-2)+(8-5)+⋅⋅⋅+(3n +2-3n -1)]=23(3n +2-2)<233n +2．16．(1)C =120°(2)α=75°，最小值为2-3【分析】(1)根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果；(2)在△ACE 中，根据正弦定理表示出CE ，在△BCD 中，根据正弦定理表示出CD ，根据三角形面积公式得到△CDE 的面积，即可求出结果.【详解】(1)在△ABC 中，由正弦定理可得cos C sin C =-cos Asin A +2sin B，所以sin A cos C +2sin B cos C =-cos A sin C ，所以sin A +C =-2sin B cos C ，即得sin B =-2sin B cos C ，因为0°<B <180°，所以sin B >0，所以cos C =-12，因为0°<C <180°，所以C =120°；(2)因为AC =BC =2，由(1)知C =120°，所以A =B =30°，在△ACE 中，由正弦定理可得AC sin α=CE sin30°，所以CE =1sin α，在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin 150°-α =CD sin30°，所以CD =1sin 150°-α，所以S △CDE =12⋅CD ⋅CE ⋅sin30°=14sin αsin 150°-α =12sin 2α-60° +3，因为0<α<150°，所以0<2α-60°<240°，当sin 2α-60° =1时，S △CDE 取得最小值2-3，此时2α-60°=90°，即α=75°，所以当α=75°时，△CDE 的面积取到最小值，最小值为2-3.17．(1)证明见解析(2)4313(3)32.【分析】(1)取DM 的中点O ，证明AO ⊥OE ,AO ⊥DM ,EO ⊥DM ，然后得线面垂直，再得面面垂直；(2)以O 为坐标原点，分别以OE ,OC ,OA 为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；(3)由向量的数量积为0，确定N 的轨迹，再由最小值确定其位置，得其坐标，然后由空间向量法求线面角．【详解】(1)取DM 的中点O ，连结OA ,OE ，由已知得，△EMD 是边长为2的等边三角形，△ADM 是以AD =AM =10为腰的等腰三角形，则OE ⊥DM ,OA ⊥DM ,OA =3,OE =3，故AO 2+OE 2=AE 2,故OA ⊥OE ,OE ∩DM =O ,OE ⊂平面CDEF ,DM ⊂平面CDEF ，所以OA ⊥平面CDEF ，又OA ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF ；(2)以O 为坐标原点，分别以OE ,OC ,OA 为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A 0,0,3 ,E 3,0,0 ,M 0,1,0 ,B 0,2,3 ，BE =(3,-2,-3)，AE =3,0,-3 ,EM =-3,1,0 ,MB=0,1,3 ，设平面AEM 的法向量为n=x ,y ,z ，则n ⋅AE =0n ⋅EM =0，即3x -3z =0-3x +y =0 ，取z =1，则n=3,3,1 ，设平面BEM 的一个法向量为m=a ,b ,c ，由m ⋅EM=-3a +b =0m ⋅BE =3a -2b +3c =0，取a =3，得m =3,3,-1 ，所以cos m ,n =m ⋅n m ⋅n=1113，因为m ,n ∈0,πsin <m ,n >=4313，故平面AEM 与平面BEM 所成角的正弦值为4313.(3)点N 是△ADM 内一动点且ND ⋅NM=0，则点N 在以DM 为直径的圆上，当线段AN 的长最小时，点N 在AO 与圆的交点处，此时N 0,0,1 ，EN =-3,0,1 ,BF=3,0,-3 ，设直线EN 与直线BF 所成角为θ，所以cos θ=cos EN ,BF =EN ⋅BFEN BF=32，所以直线EN 与直线BF 所成角得余弦值为32.18．(1)x 24-y 216=1(2)(i )m <-12或m >12；(ii )证明见解析【分析】(1)根据k 1k 2=|AB |=4求出a =2，n 2=16，从而得到(22)24-16b2=1，求出b 2=16，得到双曲线方程；(2)(i )由题意知直线l 的方程为x =my +4，D x 1,y 1 ，E x 2,y 2 ，联立双曲线方程，结合根的判别式和y 1y 2>0得到不等式，求出m 的取值范围；(ii )在(i )的基础上，得到两根之和，两根之积，得到y 1y 2=-3y 1+y 22m，表达出直线AD 和直线BE 的方程，联立得到x =2my 1y 2+2y 1+6y 23y 2-y 1，将y 1y 2=-3y 1+y 2 2m代入，化简得到x =1，得到答案.【详解】(1)由题意可知A (-a ,0)，B (a ,0)，因为|AB |=2a =4，所以a =2.因为P (22,n )，k 1k 2=n 22+2⋅n 22-2=n 2(22)2-4=n 24=4，得n 2=16，又因为P(22,n)在双曲线上，则(22)24-16b2=1，所以b2=16.所以双曲线C的方程为x2 4-y216=1.(2)(i)由题意知直线l的方程为x=my+4，D x1,y1，E x2,y2.联立x24-y216=1x=my+4，化简得4m2-1y2+32my+48=0，因为直线l与双曲线左右两支相交，所以y1y2>0，即m满足：4m2-1≠032m2-1924m2-1>0y1y2=484m2-1>0，所以m<-12或m>12.(ii)y1+y2=-32m4m2-1，y1y2=484m2-1，则y1y2=-3y1+y22m，直线AD的方程为y=y1x1-2(x-2)，直线BE的方程为y=y2x2-2(x-2).联立直线AD与BE的方程，得y1x1+2(x+2)=y2x2-2(x-2)，所以y2my2+2-y1my1+6x=2y1my1+6+2y2my2+2，所以6y2-2y1x=4my1y2+4y1+12y2，所以x=2my1y2+2y1+6y23y2-y1=-3y1-3y2+2y1+6y23y2-y1=3y2-y13y2-y1=1，所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线x=1上【点睛】圆锥曲线中，针对非对称韦达，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，并两者相除，得到两者的关系，再代入后续的计算中，达到化简的目的.19．(1)单调递增区间是-∞,-2 和0,+∞ ，单调递减区间是-2,0 (2)-1(3)证明见解析【分析】(1)先求导，然后根据导函数的正负判断f x 的单调性，由此可确定出单调区间；(2)根据条件写出切线方程，通过联立思想求解出m 关于切点坐标的表示，由此构造函数分析单调性和最小值，即可确定出整数m 的最小值；(3)将问题转化为方程x -1 g x -1 =ax有三个根x 1,x 2,x 3，借助图象分析出x 1,x 2,x 3的范围，然后通过转化将待证明的问题变为证明x 2-1 ln x 2-1 -2e +1-x 2 ln 2e +1-x 2 >0，再通过构造函数分析单调性和最值完成证明.【详解】(1)f x =2xe x +x 2e x =x x +2 e x ，令f x =0，解得x =0或x =-2，当x ∈-∞,-2 时，f x >0，f x 单调递增，当x ∈-2,0 时，f x <0，f x 单调递减，当x ∈0,+∞ 时，f x >0，f x 单调递增，所以f x 的单调递增区间是-∞,-2 和0,+∞ ，单调递减区间是-2,0 .(2)设切线分别与y =ex +m和y =ln x +1 交于A x 4,e x 4+m ,B x 5,ln x 5+1 ，y =ex +m的导数为y =ex +m，y =ln x +1 的导数为y =1x +1，所以A 处切线方程为y =e x 4+m x -x 4 +e x 4+m ，B 处切线方程为y =1x 5+1x -x 5 +ln x 5+1 ，由公切线可知，e x 4+m =1x 5+1⇔x 4+m =-ln x 5+1 ex 4+m-x 4ex 4+m=ln x 5+1 -x 5x 5+1 ，所以1x 5+1--ln x 5+1 -m x 5+1=ln x 5+1 -x 5x 5+1，化简可得m =x 5ln x 5+1 -x 5-1，因为公切线有两条，所以m =x 5ln x 5+1 -x 5-1x 5>-1 有两个根；设t x =x ln x +1 -x -1x >-1 ，所以t x =ln x +1 +xx +1-1=ln x +1 -1x +1，因为y =ln x +1 ,y =-1x +1均在-1,+∞ 上单调递增，所以t x =ln x +1 -1x +1在-1,+∞ 上单调递增，且t 0 =-10,t 1 =ln2-12 ln e -12=0，所以存在唯一x 0∈0,1 使得t x 0=0，当x ∈-1,x 0 时，t x <0，t x 单调递减，当x ∈x 0,+∞ 时，t x >0，t x 单调递增，所以t x min =t x 0 =x 0ln x 0+1 -x 0-1且ln x 0+1 -1x 0+1=0，所以t x min =t x 0 =x 0x 0+1-x 0-1=-x 0+1+1x 0+1+1，由对勾函数性质可知y =x 0+1+1x 0+1在x 0∈0,1 时单调递增，所以x 0+1+1x 0+1∈2,52 ，所以t x min =t x 0 ∈-32,-1 ，且x →-1时，t x →+∞，x →+∞时，t x →+∞，所以若m =t x 有两个根，则m >t x 0 ，故整数m 的最小值为-1.(3)h x =x -1 g x -1 -ax的定义域为-∞,-1 ∪1,+∞ ，由题意可知，x 1,x 2,x 3是方程x -1 g x -1 =ax的三个根；当x ∈-∞,-1 时，令p x =x -1 ln -x -1 ，所以p x =ln -x -1 +x -1x +1，令r x =ln -x -1 +x -1x +1，所以rx =1x +1+x +1-x -1 x +12=1x +1+2x +1 2=x +3x +1 2，当x ∈-∞,-3 时，r x <0，r x 单调递减，当x ∈-3,-1 时，r x >0，r x单调递增，所以r x min =r -3 =ln2+2>0，所以p x min =p -3 =ln2+2>0，所以p x 在-∞,-1 上单调递增，且p -2 =0；当x ∈1,+∞ 时，令q x =x -1 ln x -1 ，所以q x =ln x -1 +1，由q x =0解得x =1+1e ，当x ∈1,1+1e 时，q x <0，q x 单调递减，当x ∈1+1e,+∞ 时，q x >0，q x 单调递增，且q 1+1e =1e ln 1e =-1e<0，q 2 =0，作出y =x -1 ln x -1 ,y =ax 的简图如下图所示，由图象可知，-2<x 1<-1,1<x 2<1+1e<x 3<2，要证x 1+x 2+x 3>2e ，只需证x 2+x 3>2e +2，即证x 3>2e+2-x 2，因为1<x 2<1+1e ，所以1+1e <2e +2-x 2<2e+1<2，又因为q x =x -1 ln x -1 在1+1e ,2上单调递增，所以只需证q x 3 >q2e +2-x 2 ，且q x 3 =q x 2 ，所以只需证q x 2 >q 2e +2-x 2 ，即证x 2-1 ln x 2-1 -2e +1-x 2 ln 2e +1-x 2 >0(*)；设s x =x -1 ln x -1 -2e +1-x ln 2e +1-x x ∈1,1+1e ，所以s x =ln x -1 +x -1x -1--1 ln 2e +1-x -2e +1-x ⋅12e+1-x⋅-1 ，所以s x =ln x -1 +ln 2e +1-x +2=ln x -1 2e+1-x +2，因为y =x -1 2e +1-x =-x 2+2+2e x -2e +1 ，对称轴x =1+1e且开口向下，所以y =x -1 2e +1-x 在1,1+1e 上单调递增，所以s x <ln 1+1e -1 +ln 2e +1-1-1e +2=0，所以s x 在1,1+1e上单调递减，所以s x >s 1+1e=1e ln 1e -1e ln 1e =0，所以s x >0对x ∈1,1+1e恒成立，所以(*)成立，即x 1+x 2+x 3>2e成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；(3)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；(4)构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.答案第1页，共2页。

高中教学质量测试时间及测试范围在高中教育中，教学质量一直是学校和教育部门关注的焦点之一。

为了保证教学质量的提高，学校和教育部门往往会对学生进行定期的教学质量测试。

本文将就高中教学质量测试的时间和测试范围进行探讨。

一、高中教学质量测试的时间1.每学期结束前的教学质量检测每个学期结束前，学校通常都会组织一次教学质量检测，用来检验学生对整个学期所学知识的掌握情况。

这次检测通常会涵盖本学期所学的所有知识点，以全面了解学生的学习情况。

2.月考和期中考试除了学期末的教学质量测试之外，学校还会定期进行月考和期中考试。

月考通常每月进行一次，主要是为了检验学生对近期所学知识的掌握情况。

而期中考试则是为了在学期中隔一段时间对学生进行全面的测试，以便及时发现问题并进行调整。

3.模拟考试为了帮助学生适应高考的考试环境，学校还会不定期地组织模拟考试。

这些模拟考试往往具有真实高考的试题形式和时间限制，帮助学生在实际的考试中更好地发挥自己的水平。

二、高中教学质量测试的范围1.常规课程测试常规课程测试是教学质量测试的主要内容之一，涵盖学生在各门学科中所学的基础知识和技能。

这些测试通常包括选择题、填空题、解答题等形式，测试内容涵盖教材中的重点和难点知识。

2.综合素质测试随着素质教育的不断深入，学校还会对学生的综合素质进行测试。

这些测试包括思想道德素质、学习能力、创新能力、实践能力等方面，旨在全面提升学生的综合素质。

3.实验和实践能力测试对于理科类学生，实验和实践能力是非常重要的，学校会在教学质量测试中安排相应的实验和实践能力测试，以检验学生的动手能力和实际操作技能。

4.创新能力测试在高中阶段，学校也会注重培养学生的创新能力，因此在教学质量测试中也会安排创新能力测试，包括解决问题的能力、提出新观点的能力、独立思考的能力等。

5.解决问题的能力测试解决问题的能力是学生在学习和生活中必不可少的能力，因此学校也会在教学质量测试中对学生的解决问题的能力进行必要的测试。

衢州、丽水、湖州2023年11月三地市高三教学质量检测试卷数 学1.本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

3.选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。

4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}3log 1A x x =≤，{}2B x x =≤，则AB =A ．(,3]−∞B ．(,2]−∞C ．(0,2]D ．(0,3] 2．若复数z 满足(34i)2i z +=+（i 为虚数单位），则z =A ．5B ．35C ．15 D ．343．已知向量(2,3)a =，(1,)b x =−，则“()()a b a b +⊥−”是“x =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题中错误．．的是 A ．已知随机变量1~(6,)2X B ，则(21)6D X −=B ．已知随机变量~ξ2(,)N μσ，若函数()(11)f x P x x ξ=−<<+为偶函数，则0μ=C ．数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8D ．样本甲中有m 件样品，其方差为21s ，样本乙中有n 件样品，其方差为22s ，则由甲乙组成的总体样本的方差为2212m n s s m n m n⋅+⋅++ 5．已知(,0)2πα∈−，且tan()3cos 24παα−=，则sin 2α=A ．16−B ．13−C ．23−D ．56−6．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且23S =，64512S S =−，则4S =A ．11B ．13C ．15D ．17 7．设函数()sin f x x x ωω+，且函数2()[()]4g x f x =−在[0,5π]x ∈恰好有5个零点，则正实数ω的取值范围是 A ．1316[,)1515 B ．531[,)630C ．1114[,)1515D ．2329[,)3030 8．四棱锥P ABCD −的底面ABCD 是平行四边形，点E 、F 分别为PC 、AD 的中点，连接BF 交CD 的延长线于点G ，平面BGE 将四棱锥P ABCD −分成两部分的体积分别为12,V V 且满足12V V >，则12VV =A ．43 B ．75 C ．53D ．74二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知直线:120l mx y m +−−=与圆222:O x y r +=有两个不同的公共点,A B ，则A ．直线l 过定点(2,1)B ．当4r =时，线段AB长的最小值为 C ．半径r的取值范围是 D ．当4r =时，OA OB ⋅有最小值为16− 10．已知函数1()cos cos f x x x=+，则 A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x 的图象关于点(,0)2π对称 D ．()f x 的最小值为211．正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点（不含端点），且AE BF =,则A ．1A F 与AD 的距离是定值B ．存在点F 使得1A F 和平面1ACD 平行C ．11A F C E ⊥D ．三棱锥1B BEF −的外接球体积有最小值12．已知函数()3269x x f x x −=+，若()()()123f x f x f x ==，其中123x x x <<，则A ．112x <<B ．122x x +>C ．2326x x +>D ．12304x x x <<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．5(2)x y −展开式中4x y 的系数为 ▲ ．14．设函数()y f x =的定义域为R ，且(1)f x +为偶函数，(1)f x −为奇函数，当[]1,1x ∈−时，2()1f x x =−，则20231()k f k ==∑ ▲ ．15．已知函数n (l )f x x =，2()4x g x =，写出斜率大于12且与函数()y f x =，()y g x =的图象均相切的直线l 的方程： ▲ ．16．已知双曲线2222:1y xC a b−=的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，,A B 为C 上位于x 轴上方的两点，且12AF BF ，1260AF F ∠=︒.记21,AF BF 交点为P ，过点P 作1PQAF ，交x 轴于点Q .若2OQ PQ =，则双曲线C 的离心率是 ▲ ．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos cos cos sin B C B AB A C+−=+.（1）求sin A ；（2）若点D 在边BC 上，2BD DC =，2c b =，2AD =，求ABC ∆的面积.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面ADEF ，//EF AD ,2,1,AF AD EF CF ====BE 与CF 交于点M .（1）若N 是BF 中点，求证：AN CF ⊥； （2）求直线MD 和平面ABE 所成角的正弦值.19．（本题满分12分）某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验.（1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善22⨯列联表，并说明是否有95%的把握认为“产品质量”附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，n a b c d =+++．（2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为35，来自乙生产的概率为25），检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）.已知函数()cos sin f x x x a x =+.（1）若1a =−，证明：当01x <<时，3()3x f x >−；（2）求所有的实数a ，使得函数()y f x =在[]π,π−上单调.21．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足11a =．（1）若2243a a a +=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n b =*N n ∈，且{}n b 是等差数列，记n T 是数列1n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.对任意*N n ∈，不等式4n T λ<恒成立，求整数．．λ的最小值．22．（本题满分12分）已知抛物线22C y px =：（05p <<）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点(1,0)作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ， 1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ ∆、DAB ∆、EAB ∆、ERS ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若124S S =34S S ，求直线AB 的方程.衢州、丽水、湖州2023年11月三地市高三教学质量检测试卷数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 10− 14.1− 15. 1y x =− 16.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos cos cos sin B C B AB A C+−=+.（1）求sin A ；（2）若点D 在边BC 上，2BD DC =，2c b =，2AD =，求ABC ∆的面积. 解：（1）由题意得22222sin sin sin cos cos sin sin B C C B A A B ⋅+=−=−，-----------2分所以222b c a bc +−=−，故2221cos 22b c a A bc +−==−，------4分 因为0A π<<，所以sin A =-----------------------------------5分（2）设CD x =，则2BD x =，在ADB ∆中，有2222244cos 28AD BD AB x c ADB AD BD x+−+−∠==⨯.在ADC ∆中，有222224cos 24AD CD AC x b ADC AD CD x+−+−∠==⨯.----------------------------------7分 又πADB ADC ∠+∠=，所以cos cos ADB ADC ∠=−∠， 所以有2226212c x b =−+. 又2c b =，所以222b x =+. 在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−.又3a x =，2c b =，2π3A =， 所以有22222194472x b b b b ⎛⎫=+−⨯−= ⎪⎝⎭.联立2222297b x x b⎧=+⎪⎨=⎪⎩，解得3x b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以26c b ==，----------------------------------9分 所以11sin 3622ABC S bc A ∆==⨯⨯=.----------------------------------10分另解：由2BD DC =，2c b =，知AD 是BAC ∠平分线，所以3BAD CAD π∠=∠=在ADB ∆中，有222()423a c c =+−.在ADC ∆中，有221()423a b b =+−，所以22424(42)c c b b +−=+−结合2c b =解得26c b ==，所以11sin 3622ABC S bc A ∆==⨯⨯=.18．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面ADEF ，//EF AD ,2,1,AF AD EF CF ====BE 与CF 交于点M .（1）若N 是BF 中点，求证：AN CF ⊥； （2）求直线MD 和平面ABE 所成角的正弦值.证：（1）由平面平面，，知平面，故AB AF ⊥，---------------------------------------------------------------------------------------------------2分 另一方面，在ACF ∆中，222AF AC CF +=知AF AC ⊥，从而AF ⊥平面ABCD .-------4分 故AF AD ⊥，又AB AD ⊥，知AD ⊥平面BAF ，故AD AN ⊥，故BC AN ⊥，又N 是BF 中点，AF AB =，故AN BF ⊥，进而AN ⊥平面BCEF ,故AN CM ⊥.-------------------6分（2）以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AF 所在的直线为x 、y 、z 轴，则)0,0,0(A 、)0,0,2(B 、)0,2,0(D 、)2,1,0(E 、)34,32,32(M ，则)34,34,32(−−=MD ，---------8分设面ABE 的法向量为()z y x n ,,= ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE n AB n 得()1,2,0−=n，----------------10分则552sin =θ.------------------------------------------------------------------------------------------12分 19．（本题满分12分）某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验.（1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如右图： 现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善22⨯列联表，并说明是否有95%的把握认为“产品质量”与“生附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，n a b c d =+++．（2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为35，来自乙生产的概率为25），检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2分2230(10818)5 3.84118121515K ⨯−==>⨯⨯⨯，-------------------------------4分故有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关.-------------------------------5分（2）记事件A 代表“一袋中有4个合格品”，事件B 代表“所抽取的这袋来自甲生产”，事件C 代表“所抽取的这袋来自乙生产”，故3()5P B =,2()5P C =，下求()P B A ：由()()()()()P A P A B P B P A C P C =⋅+⋅----------------------------------------------------7分44413232864(5())(5())5555553125=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=--------------------------------------10分 故()()()8()()()9P A B P B P AB P B A P A P A ⋅===.-------------------------------12分 20．（本题满分12分）已知函数()cos sin f x x x a x =+.（1）若1a =−，证明：当01x <<时，3()3x f x >−；（2）求所有的实数a ，使得函数()y f x =在[]π,π−上单调.又()(1)cos sin f x a x x x '=+−.-----------------------------------------------------------------------8分因为()022f ππ'=−<，所以函数()y f x =在[]0,π只能单调递减，由(0)10()(1)0f a f a π'=+≤⎧⎨'=−+≤⎩，解得1a =−.------------------------------------------------10分 下证当1a =−时，()cos sin f x x x x =−在[]π,π−上单调.由于()f x 是奇函数，只要()y f x =在[]0,π单调，因为()sin 0f x x x '=−≤，所以()f x []0,π单调递减.----------------------------12分解法2：（2）因为()cos sin ()f x x x a x f x −=−−=−，所以()f x 为奇函数.--------------------------6分 要使函数()y f x =在[]π,π−上单调，只要函数()y f x =在[]0,π上单调.又()(1)cos sin f x a x x x '=+−.------------------------------------------------------------------------8分 （i ）若(0)10f a '=+=，即1a =−时，()sin 0f x x x '=−≤，所以函数()y f x =在[]0,π上单调递减，所以1a =−满足题意；（ii ）若(0)10f a '=+>，则()(1)0f a π'=−+<，故(0)()0f f π''⋅<，所以由零点存在定理得存在12,(0,)x x π∈，使得当1(0,)x x ∈时，()0f x '>，当2(,)x x π∈时，()0f x '<，所以()y f x =在1(0,)x 单调递增，在2(,)x π单调递减，因此1a >−不合题意；（iii ）若(0)10f a '=+<，则()(1)0f a π'=−+>，故(0)()0f f π''⋅<，所以由零点存在定理得存在34,(0,)x x π∈，使得当3(0,)x x ∈时，()0f x '<，当4(,)x x π∈时，()0f x '>，所以()y f x =在3(0,)x 单调递减，在4(,)x π单调递增，因此1a <−不合题意；------------------10分 因此所求实数a 的取值范围是1a =−.-------------------------------------------------------------12分 21．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足11a =．（1）若2243a a a +=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足n b *N n ∈，且{}n b 是等差数列，记n T 是数列1n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.对任意*N n ∈，不等式4n T λ<恒成立，求整数．．λ的最小值． 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则2113(12)d d d +++=+，得12d =±，-------------2分 故12n n a +=或32n n a −=.-----------------------------------------4分（2）由{}n b 为等差数列，可设n b pn q =+，记{}n a 的公差为d ，故1(1)n a n d =+−.所以pn q +=，显然0p ≥，0pn q +≥，----------------------------6分 平方得22222224p n pqn q d n d ++=+−，该式对任意*n N ∈成立，故2222024p d pq q d ⎧=⎪=⎨⎪=−⎩，得20p d q ==⎧⎨=⎩.故21n a n =−，2n b n =.------------------------------------8分 因此11112(21)nnn k k k k T a b k k ====−∑∑，一方面，11111112(21)22nnn k k k k T a b k k ====>−=−∑∑，故42n T >，------------------9分 另一方面，111211114442112(21)()()22nn n n n k k k k k k T a b k k k k k k ========+−−−∑∑∑∑22111122213(1)1nnk k k k k k n ==⎛⎫<+=+−=+−< ⎪−−⎝⎭∑∑.--------------------------------11分故整数．．λ的最小值为3.-------------------------------------------------------------------------12分法二：记{}n a 的公差为d ，则1b =，2b =3b =，-------------------------6分上式平方后消去d 可得2222322135b b b b −−=，结合3122b b b +=可知212b b =， 故2d =，21n a n =−，2n b n =.-----------------------------------------------------------------------8分下同方法一. 22．（本题满分12分）已知抛物线22C y px =：（05p <<）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点(1,0)作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ， 1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ ∆、DAB ∆、ABE ∆、ERS ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若124S S =34S S ，求直线AB 的方程.解：（1）设(),3M t ，由题意可得9252ptpt =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，解得1p =或9p =(舍去)，所以抛物线C 的方程为22y x =.-------------------------------------------------------3分（2）设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为():1AB l x my m R =+∈，与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my −−=，根据韦达定理知122y y m +=，122y y =−.-------------------------------------------------------5分由题意得直线1l 方程为1111111()2y y x x y x y y =−+=+，令0y =，得212y x =−，即21,02y P ⎛⎫− ⎪⎝⎭. 直线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =−，即22,02y Q ⎛⎫−⎪⎝⎭.则222122y y PQ =−.------------------------------------------------------------------6分 联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==−⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m −， 则D 到直线AB l的距离2D AB d −==.直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =−++=−++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 直线4l 的方程为32222y y y x y =−++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.则222122y y RS =−. 联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y⎧=−++⎪⎪⎨⎪=−++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=−⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，----------------------------------------------7分 则E 到直线AB l 的距离E AB d −==.由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=−，21,2d AB S AB d −=⋅=312E AB S AB d −=⋅=222141122222E y y S RS y m =⋅=−.--------------------------------------------------10分所以212342=42S S m S S +==，得m = 所以直线AB的方程为：1x =+.-----------------------------------------12分。

2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}260M xx x =+−=∣，{}20,N x ax a =+=∈R ∣，且N M ⊆，则a 的取值不可以是（ ）．A ．2B ．23C ．0D ．1−【答案】A【详解】依题意，{3,2}M −，由N M ⊆，得N =∅或{3}N −或{2}N =， 当N =∅时，0a =；当{3}N −时，23a =；当{2}N =时，1a =−， 因此a 的取值不可以是2. 故选：A.2．已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =−，若a b ⊥，则sin cos sin 3cos θθθθ++的值为（ ）A ．13B ．35C ．45D ．23【答案】B【详解】由题设2cos sin 0tan 2θθθ−=⇒=， 而sin cos tan 1213sin 3cos tan 3235θθθθθθ+++===+++.故选：B3．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则62102a b b +（ ） A ．11113B ．3713C ．11126D ．3726【答案】B【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T，满足342n n S n T n +=+， 所以111131143711213S T ×+==+，又11161116111111()211()2a a a Sb b T b +==+，故666210662322371a a a b b b b ===+， 故选：B4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A ．44 B ．46 C ．48 D ．54【答案】B【详解】解法一：多重限制的排列问题：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3313A 18××=； ②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3321A 12××=； ③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有22A 种排法，则有22222A 16×××=； 综上，该5名同学可能的名次排情况种数为18121646++=种. 解法二：间接法：甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有33A 种排法，共有3333A 3332154××=××××=种不同的情况；但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有22A 种排法，故共有2222A 22218××=×××=种不同的情况；从而该5名同学可能的名次排情况种数为54846−=种. 故选：B.5．已知直线1:0l x y C ++=与直线2:0l Ax By C ++=均过点()1,1，则原点到直线2l 距离的最大值为（ ） AB ．1 CD ．12【答案】A【详解】因为两直线交于()1,1，则110C ++=，即2C =−， 且0A B C ++=，则2A B +=；由原点到直线2l的距离d=，易知2222(1)11A A A −+=−+≥，则d ≤ 当且仅当1A =时，d 1B =. 即两直线重合时，原点到直线2l 的距离最大. 故选：A.6．已知双曲线22:13x C y −=的右焦点为F ，过点F 的直线交C 于,A B 两点，若3FA FB ⋅= ，则直线AB 的斜率为（ ）ABC ．D ．【答案】D【详解】易知()2,0F ，当直线AB的斜率为零时，得((221FA FB ⋅=×= ，不合题意；当直线AB 的斜率不为零时，设直线AB 的方程为2x my =+， 联立222,1,3x my x y =+ −=得()223410m y my −++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，由3FA FB ⋅=得()()()21212122213x x y y m y y −−+=+=， 而12213y y m =−，即22133m m +=−，解得m=k = 故选：D7．已知函数()331f x x x =++，若关于x 的方程()()sin cos 2f x f m x ++=有实数解，则m 的取值范围为（ ）A ． −B ．[]1,1−C ．[]0,1D ．【答案】D【详解】令()()313g x f x x x −+，则()2330g x x ′=+>恒成立，则()g x 在R 上单调递增，且()g x 是奇函数.由()()sin cos 2f x f m x ++=，得()()sin 1cos 1f x f m x −=−+− ，即()()sin cos g x g m x =−−，从而sin cos x m x =−−，即πsin cos 4m x x x=−−+∈ 故选：D【点睛】方法点睛：设()()313g x f x x x −+，可得函数()g x 为奇函数，利用导函数分析函数()g x 的单调性，把()()sin cos 2f x f m x ++=转化成sin cos m x x =−−，再求m 的取值范围. 8．如图，在三棱锥A BCD −中，45ABC ∠=°，点P 在平面BCD 内，过P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 与面BCD PQ 与平面ABC 所成角的余弦值是（ ）A B C D 【答案】A【详解】过点Q 作AB 的垂面QEF ，交平面ABC 于直线EF ，即,,AB QE AB QF AB EF ⊥⊥⊥， 再过AB 作平面BCD 的垂面ABM ，即平面ABM ⊥平面BCD ， 过O 作QG BM ⊥，垂足为G ，如图所示，设BM EF P = ，则此点即为PQ 与平面BCD 所成角最大时，对应的P 点， 理由如下：因为PQ AB ⊥恒成立，所以P ∈平面QEF ，又因为P ∈平面BCD ，平面QEF 平面BCD EF =，所以P EF ∈，过点Q 作QG BM ⊥，因为平面ABM ⊥平面BCD ，平面ABM ∩平面BCD BM =， 且QG ⊂平面ABM ，所以QG ⊥平面BCD ，所以PQ 与平面BCD 所成角即为QPB ∠，所以sin QGQPB PQ ∠=，因为QG 为定值，所以当PQ 最小时，sin QPB ∠最大，即QPB ∠最大， 又因为EF ⊂平面BCD ，所以QG EF ⊥，因为,AB EF AB QG Q ⊥=，,AB QG ⊂平面ABM ，所以⊥EF 平面ABM ， 则当P 为BM 与EF 交点时，EF PQ ⊥，此时PQ 取得最小值， 所以，当BM EF P = 时，PQ 与平面BCD 所成角最大，即为QPB ∠，所以sin QPB ∠P 作PH QE ⊥，垂足为H ，连接BH ，因为AB ⊥平面QEF ，AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面QEF ， 又因为QEF 平面ABC QE =，PH ⊂平面QEF ，所以PH ⊥平面ABC ， 所以EQP ∠即为PQ 与平面ABC 所成角，在直角QPE △中，cos PQEQP QE∠=，因为45ABC ∠= ，且AB QE ⊥，所以BQE △为等腰直角三角形，所以QB QE =， 又因为tan PQQBP OB∠=，所以tan cos QBP EQP ∠=∠，因为sin QPB ∠tan QPB ∠因为π2QBP QPB ∠+∠=，所以1tan tan QBP QPB ∠==∠. 故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设1z ，2z 为复数，且120z z ≠，则下列结论正确的是（ ）A ．1212z z z z =B ．1212z z z z +=+C ．若12=z z ，则2212z z = D ．1212z z z z ⋅=⋅【答案】ABD【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+(,,,)a b c d ∈R ，对于选项A ，因为12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=−++，所以12z z，所以1212z z z z =，故A 正确；对于选项B ，因为12()()i z z a c b d +=+++，1i z a b =−，2i z c d =−， 则12()()z z a c b d i +=+−+，12()()i z z a c b d +=+−+， 所以1212z z z z +=+，故B 正确；对于选项C ，若12=z z ，例如11i z =+，21i z =−但221(1i)2i z =+=，222(1i)2i z =−=−，即2212z z ≠，故C 错误；对于选项D ，因为21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=−++，所以21()()i z ac bd a b z d c ⋅−−+2(i)(i)()()i z a b c d ac bd ad bc =−−=−−+， 所以1212z z z z ⋅=⋅，故D 正确. 故选：ABD.10．已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）A ．若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B ．若1(,)3X B n ，则()4219D X n +=C ．若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D ．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确； 对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误；对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误； 对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,,,A x y B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =−+−，则下列结论正确的是（ ）A ．若点()()1,3,2,4P Q ，则(),2d P Q =B ．若对于三点,,A BC ，则“()()(),,,d A B d A C d B C +=”当且仅当“点A 在线段BC 上” C ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是8−D ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是4 【答案】AD【详解】对于A 选项：由定义可知(),21432d P Q =−+−=，故A 选项正确； 对于B 选项：设点AA (xx 1,yy 1)，BB (xx 2()33,C x y则()()121313,,d A B d A C x x y x y y +=−+−+−，()2323,d B C x x y y =−+−显然，当点A 在线段BC 上时，121323x x x x x x −+−=−，121323y y y y y y −+−=−，∴()()(),,,d A B d A C d B C +=成立，如图：过点B 作BE y ⊥轴，过点C 作EE x ⊥轴，且相交于点E ，过点A 作AD BE ⊥与D ，过点A 作AF CE ⊥与F ，由图可知121213132323x x y y x x y y BD AD AF CF BE CE x x y y −+−+−+−=+++=+=−+−显然此时点A不在线段BC 上，故B 选项不正确； 对于CD 选项：∵当0,0a b >>a b ≥+≥ ∴想要(),d P M 最小，点M 到直线距离最小时取得，∴过原点O 作OM ⊥直线280x y −+=交圆于M ， 如图：设(),M a b ，则2OM bk a==−∴M设点PP (xx 0,yy 0)，则(0,d P M x =又∵当0ab =，a b +≥①当00x +=时，由00442x y =+=()0,4d P M x =+①当00y =时，由00288x y =−=()0,8d P M x =+−又∵48<−∴(),d P M的最小值为：4.故C 选项错误，D 选项正确. 故选：AD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知12,34a b a b ≤−≤≤+≤则93a b +的取值范围为 ．【答案】[]21,30【详解】假设()()93a b a b a b λµ+=−++，则93λµλµ+=−+=，解得36λµ= = ， 因为12a b ≤−≤，所以()336a b ≤−≤； 又因为34a b ≤+≤，所以()18624a b ≤+≤；由上两同向不等式相加得：()()213630a b a b ≤−++≤， 整理得：219330a b ≤+≤ 故答案为：[]21,3013．已知函数()cos 2sin 2sin f x x x x ωωω=−（0ω>）在()0,2π上有最小值没有最大值，则ω的取值范围是 .【答案】11,63【详解】()()()cos 22sin 2sin cos 2cos3f x x x x x x x x ωωωωωωω=−−=+=， 当()0,2πx ∈时，()30,6πx ωω∈，若()f x 在()0,2π上有最小值没有最大值， 则π6π2πω<≤，所以1163ω<≤. 故答案为：11,6314．函数2e 12()e 21x x xh x −=++，不等式()22(2)2h ax h ax −+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是 【答案】[]2,0−【详解】因为2e 122()e ee 2121x x xx x x h x −−=+=−+++， 所以22222()()e e e e 221212121x x x x xxx x x h x h x −−−⋅+−=+−++−=+=++++， 令()()1f x h x =−，则()()0f x f x +−=，可得()f x 为奇函数， 又因为()()222ln 41ln 4()e e e e e 121e 21222x x x x xx x x x x xf x −−′ ′′=+−=+−=+− + +++， 1e 2e x x +≥，当且仅当1e ex x =，即0x =时等号成立；ln 4ln 4ln 2142222x x ≤=++，当且仅当122xx=，即0x =时等号成立；所以()0f x ′>，可得()f x 在R 上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2)h ax h ax f ax f ax f ax f ax −+≤⇔−+≤⇔−≤−，所以2220ax ax +−≤在R 上恒成立， 当0a =时，显然成立；当0a ≠，需满足2Δ480a a a < +≤，解得20a −≤<， 综上，[]2,0a ∈−， 故答案为：[]2,0−．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B ，C 的对边，且()2sin 2sin a A b c B =−+()2sin c b C −. (1)求A 的大小；(2)求cos 2cos B C +的取值范围. 【答案】(1)π3A =(2) 【详解】（1）由题及正弦定理得：22(2)(2)a b c b c b c =−+−，即222bc b c a =+−，则2221cos 22b c a Abc +−==，∵π0,2A ∈，∴π3A =； （2）由ABC 为锐角三角形知，π022ππ032C C<<<−<，故ππ62C <<，则π3πcos 2cos cos 2cos cos 323B C C C C C C+=−++=+， 有ππ5π236C <+<π3C<+<故cos cos B C +的取值范围为. 16.（本小题15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =−+，1(0)n n n b a a λλ+=−>，且{}n b 为等比数列. (1)求λ的值； (2)记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为nT .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.【答案】(1)2 (2)2【详解】（1）因为(1)2n n n a =−+，则11a =，25a =，37a =，417a =. 又1n n n b a a λ+=−，则1215b a a λλ=−=−，23275b a a λλ=−=−，343177b a a λλ=−=−. 因为{bb nn }为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ−=−−， 整理得220λλ−−=，解得1λ=−或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n nn n n b a a +++ =−=−+−−+11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=−×−+−×−−=−×−.则113(1)13(1)n n nn b b ++−×−==−−×−，故{bb nn }为等比数列，所以2λ=符合题意. （2）223(1)nn b n n ⋅=−×−⋅，当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n =−×−+−+−+−−−+33(12)(1)2n n n =−×+++=−+ ；当n 为奇数时，221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=−+=−++++=+. 综上，3(1),21,N 23(1),2,N 2n n n n k k T n n n k k ∗∗ +=−∈ =−+=∈ ， 因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=， 故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i−+⋅−++=×++ ， 整理得23100i i +−=，解得2i =或5i =−（舍），所以2i =. 17.（本小题15分）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E F ､分别是棱,AB AD 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)是否存在一点G ，使得1BC ∥面EFG ？若存在，指出点G 位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；(2)若直线EF 与平面CFG ，求三棱锥1G EBC −的体积； (3)求三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值. 【答案】(1)存在点G 为1DD 的中点，证明见解析 (2)13； (3)4−【详解】（1）存在一点G ，当点G 为1DD 的中点，使得1BC ∥面EFG ， 连接1AD ，如图所示：点,F G 分别是1,AD DD 的中点，FG ∴∥1AD ，又AB ∥11D C ，且11AB D C =，∴四边形11ABC D 是平行四边形，1∴AD ∥1,BC FG ∴∥1BC ，又1BC ⊄ 平面EFG ，且FG ⊂平面1,EFG BC ∴∥平面EFG .（2）以D 点为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接11,,AC AB B C ，则()()()()()112,0,0,2,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,(2,1,0),(1,0,0)A B C B D E F ， 设()0,0,G t (02)t ≤≤，(0,2,),(1,2,0)CG t CF =−=− ，(1,1,0)EF =−−，设平面CFG 的一个法向量是(,,)n x y z =，则2020n CG y tz n CF x y ⋅=−+=⋅=−= ，取1y =得2(2,1,)n t = ，因为直线EF 与平面CFG，所以cos ,n EF n EFn EF⋅==1t =（负值舍去）， G 为1DD 中点，取1CC 中点H ，则////GH CD AB ，因此GH 在平面GEB 内，且GEB HEB S S = ，所以1111111112113323G EBC C GEB C HEB E BHC BHC V V V V S EB −−−−====⋅=××××= ； （3）11(0,2,2),(2,2,0),(2,2,2),AB AC BD ==−=−−因为111440,440,AB BD AC BD ⋅=−+=⋅=−=所以111,AB BD AC BD ⊥⊥即111,AB BD AC BD ⊥⊥因为1AB ⊂平面1,AB C AC ⊂平面1AB C ，1AB AC A = ，所以1BD ⊥平面1AB C ，又因为1ABCB B B ==，所以1BD 与平面1ACB 的交点是1ACB 的外心，所以三棱锥1B ACG −的外接球的球心在1BD 上， 设外接球球心为1O ，设()[]112,2,2,0,1BO BD λλλλλ==−−∈，则1O 的坐标为()22,22,2λλλ−−，设()[]()0,0,0,2G m m ∈， 则11O G O A =所以2484m mλ+=+，设[]848,16m t +=∈，则84t m −=， 则22841664648411616t t t t t t tλ−+ −++ +−，而811116t t +−≥=，当且仅当816t t =，即t =[]8,16t ∈，所以11,2λ ∈ ，三棱锥1B ACG −的外接球的半径1r O A ====，因为11,2λ ∈−，所以218124833λ −+∈−，所以r ∈− ， 三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值为4. 18.（本小题17分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>经过点(M −，其右焦点为FF (cc ,0)，下顶点为B ，直线BF 与椭圆C交于另一点D ，且3BF FD =．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，过点M 作x 轴的垂线1l ，垂足为A ，过点A 的直线与C 交于P ，Q 两点，直线OP 与1l 交于点H ．直线OQ 与1l 交于点G ，设APH 的面积为1S ，AQG 的面积为2S ，试探究1212S S S S +是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22184x y +=(2))2y x + 【详解】（1）设()00,D x y ，由(),0F c ，()0,B b −，得(),BF c b = ，()00,FDx c y =−，由3BF FD = ，得()()00,3,c b x c y =−，043x c =，013y b =， 所以2222161991c b a b +=，得2212c a =，所以222212b ac a =−=，将(M −代入椭圆C 的方程得22421a b+=，即22441a a +=，则28a =，所以22142b a ==，故椭圆的方程为22184x y +=.（2）由题意可知()2,0A −，直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线PQ 的方程为()2y k x =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则()221842x y y k x += =+，得()2222128880k x k x k +++−=， 因为点A 在椭圆内，则直线PQ 与椭圆必有两交点，则2122812k x x k +=−+，21228812k x x k −+=+， ()121224412k y y k x x k +=++=+，()()()2221212121224222412k y y k x x k x x x x k =++=+++=− +， 又OP 的方程为11y y x x =，与直线2x =−联立可得1122,y H x−−， 又OQ OP 的方程为22y y x x =，与直线2x =−联立可得2222,y G x−−， 所以111111121222y y S x x x x =×−×+=×+，22222222122y y S x x x x =×−×+=×则()()121212221212112212221122y k y k S S x x S S S S y x y x y y −−+=+=+=+++， 当21k ≥时，()()21212220y k y k k x x −−=≥， 所以()222121212121212122222222212121212121212122222222y y y k y k S S y k y k y y y y y y k k S S y y y y y y y y y y y y y y +−− +−−+++=+=−=−=−−， 又12121y y y y k +=−，22121124k y y k +=−， 所以()222212122221212122111242222y y y y k k k k y y y y y y k k k k ++++ −−=−−−+=−， 所以121222S S k S S k+=+≥22k =时取等号，当201k <<时，()()21212220y k y k k x x −−=<， 所以221212121212222222121212121222222y k y k S S y k y k y y y y k S S y y y y y y y y −− +−−−−=+=−=−， 又知()1212k y y y y −+=， 则1212121236S S y yS S y y +−====>， 综上可知，当22k =时，1212SS S S +存在最小值此时直线PQ 的方程为)2y x +.19.（本小题17分）设()h x ′为()h x 的导函数，若()h x ′在区间D 上单调递减，则称()h x 为D 上的“凸函数”．已知函数()2sin f x x ax ax =−++．(1)若()f x 为π0,2上的“凸函数”，求a 的取值范围；(2)证明：当1a =−时，()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点． 【答案】(1)1,2−∞−(2)证明见解析【详解】（1）由()2sin f x x ax ax =−++，则()cos 2f x x ax a ′=−++. 由题意可知，()f x 为π0,2上的“凸函数”，则ff ′(xx )在区间π0,2上单调递减，设()()x f x ϕ′=，则()sin 2x x a ϕ′=+，所以sin 20x a +≤在π0,2恒成立， 则2sin a x ≤−在π0,2恒成立，又当π2x =时，函数sin y x =−取最小值，且最小值为1−， 所以有21a ≤−，解得12a ≤−，即a 的取值范围为1,2−∞−.（2）当1a =−时，由2(1)sin(1)(1)(1)f x x x x +=−+−+−+得 22()sin(1)(21)(1)3ln(2)2g x x x x x x x x =−+−++−++++++sin(1)ln(2)x x =−+++. 令()(1)sin ln(1),1H x g x x x x =−=−++>−，其中(0)0H =， 则1()cos 1H x x x ′=−++，其中(0)0H ′=. ①当10x −<<时，则011x <+<，11cos 1x x >≥+， 所以1()cos 01H x x x ′=−+>+，则()H x 在(1,0)−单调递增， 则()(0)0H x H <=恒成立，即()H x 在(1,0)−无零点； ②当π02x <<时，令1()()cos 1G x H x x x ′==−++，其中(0)0G =， 由21()sin (1)G x x x ′=−+在π0,2单调递增， 又ππ(0)10,sin 22G G=−=′′，故存在0π0,2x∈，使得0()0G x ′=，故当00x x <<时，()0G x ′<，()G x 在()00,x 单调递减； 当0π2x x <<时，()0G x ′>，()G x 在0π,2x单调递增； 由ππ11(0)0,cos 0ππ221122G G==−+=>++， 故存在1π0,2x∈ ，使1()0G x =，即1()0H x ′=，故当10x x <<时，()0H x ′<，()H x 在()10,x 单调递减； 当1π2x x <<时，()0H x ′>，()H x 在1π,2x单调递增； 又πππ(0)0,sin ln 11ln e 0222H H==−++<−+=，故当π0,2x ∈ 时，()0H x <，即()H x 在π0,2无零点；③当π22x ≤<时，由1cos 0,01x x −≥>+，则()0H x ′>， 故故()H x 在π,22单调递增，πππsin ln 10222H=−++<，且(2)sin 2ln 3110H =−+>−+=，故由零点存在性定理可知()H x 在π,22有且仅有一个零点；④当2x ≥时，()sin ln(1)1ln 30H x x x =−++≥−+>， 故()H x 在[)2,+∞无零点；综上所述，()H x 有且仅有两个零点，其中(0)0H =，而另一个零点在π,22内.由()(1)H x g x =−，即将()H x 图象向左移1个单位可得()g x 的图象. 故()g x 也有两个零点，一个零点为1−，另一个零点在π1,12 −内.故()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点，命题得证.。

2023届浙江省湖州、衢州、丽水三地市高三下学期4月教学质量检测（二模）数学试题及答案解析一、单选题1.若集合(){}013≥--=x x x M ，()(){}013≥--=x x x N ，则M ∩=N （）A .{}3≥x x B .{}31≥≤x x x 或C .{}31≥=x x x 或D .{}31==x x x 或2.已知i zi+=1（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则=-z z （）A .1-B .1C .i-D .i3.设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，则=+++MD MC MB MA 22（）A .AB B .CDC .AB2D .CD 214.甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是（）A .61B .91C .365D .3675.已知函数()()0,0cos >≠=ωωa x a x f ，若将函数()x f y =的图象向左平移ωπ6个单位长度后得到函数()x g y =的图象，若关于x 的方程()0=x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1270π，上有且仅有两个不相等的实根，则实数ω的取值范围是（）A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡724710，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡4716，C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡724710，D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡724710，6.喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，先测得︒=∠45BCD ，︒=∠105BDC ，100=CD 米，在点C 处测得酒店顶端A 的仰角︒=∠28ACB ，则酒店的高度约为（）（参考数据：4.12≈，4.26≈，53.028tan ≈︒）A .91米B .101米C .111米D .121米7.已知()0,1A 是圆222r y x O =+：上一点，BC 是圆O 的直径，弦AC 的中点为D .若点B在第一象限，直线AB 、BD 的斜率之和为0，则直线AB 的斜率是（）A .45-B .25-C .5-D .52-8.人教A 版必修第一册第92页上“探究与发明”的学习内容是“探究函数xx y 1+=的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数xx y 12+=的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C ，则该双曲线C 的离心率是（）A .25210-B .255-C .5410-D .5410-二、多选题9.已知βα，为两个平面，n m ，为两条直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则下列命题正确的是（）A .若n m ∥，则βα∥B .若n m ，为异面直线，则α与β相交C .若α与β相交，则n m ，相交D .若βα⊥，则nm ⊥10.若实数b a ,满足1≤a 且100≤+b a ，则（）A .ab 的最小值是100-B .ab 的最大值是99C .ab b a ++的最小值是201-D .ab b a ++的最大值是20011.已知正方形ABCD 中，2=AB ，P 是平面ABCD 外一点.设直线PB 与平面ABCD 所成角为α，设三棱锥ABC P -的体积为V ，则下列命题正确的的是（）A .32=+PC P A ，则α的最大值时4πB .32=+PC P A ，则V 的最大值时31C .若422=+PD P A ，则V 的最大值是32D .若422=+PD P A ，则α的最大值时4π12.抛物线x y C 42=：的焦点为F ，准线l 交x 轴于点A ，点B 为准线上异于A 的一点，直线AB 上的两点D ，E 满足AEEB ADDB OB ==（为坐标原点），分别过D ，E 作x轴平行线交抛物线C 于Q P ，两点，则（）A .BOD AOD ∠=∠sin sinB .OEOD ⊥C .直线PQ 过定点⎪⎭⎫⎝⎛021D .五边形DPFQE 的周长7>l 三、填空题13.()()y x y x +-8的展开式中27y x 的系数是.14.定义在R 上的非零数函数()x f 满足：()()x f x f =-，且()()02=+-x f x f .请写出符合条件的一个函数的解析式()=x f .15.已知数列，，，， 9,75,3,1,75,3,1,5,3,1,3,1,1其中第一项是1，接下来的两项是3,1，再接下来的三项是5,3,1，以此类推.将该数列前n 项的和记为n S ，则使得400>n S 成立的最小正整数n 的值是.16.已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：离心率为21=e ，F 为椭圆C 的右焦点，B A ,是椭圆C 上的两点，且FB F A λ=.若FB F A ⊥，则实数λ的取值范围是.四、解答题17.已知数列{}n a 满足：21=a ，且对任意的*N n ∈，⎪⎩⎪⎨⎧+=++是偶数是奇数n a n a a n n n nn ,22,211.（1）求32a a ，的值，并证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-3212n a 是等比数列；（2）设()*12Nn a b n n ∈=-，求数列{}nb 的前n 项和nT .18.如图，在三棱锥111C B A ABC -中，底面ABC ⊥平面B B AA 11，ABC ∆是正三角形，D 是棱BC 上一点，且DB CD 3=，B A A A 11=.（1）求证：D A C B 111⊥；（2）若2=AB 且二面角11B BC A --的余弦值为53，求点1A 到侧面C C BB 11的距离.19.在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足BCA C A 222sin sin sin 1sin sin -=-且C A ≠.（1）求证：C B 2=；（2）已知BD 是ABC ∠的平分线，若4=a ，求线段BD 长度的取值范围.20.为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛.该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得1分，答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得2分，答错扣1分.两个环节结束后，累计总分高者获胜.由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题4道，抢答题2道，且每题的分值不变.（1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练，并统计双方的胜负情况.请根据已知信息补全以下22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为获胜方与赛制有关？（2）学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题机会的概率为6.0，答对每道抢答题的概率为8.0，答对每道必答题的概率为()10<<p p ，且每道题的作答情况相互独立.（i ）记丙在一道抢答题中的得分为X ，求X 的分布列与数学期望；（ii ）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过1.0分，求p 的取值范围.附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22，其中nd c b a =+++旧赛制新赛制合计甲获胜6乙获胜1合计1020()2k K P ≥0.150.100.050.0250k 2.0722.7063.8415.02421.已知双曲线1422=-y x C ：，点A 是双曲线C 的左顶点，点P 的坐标为()0,4.（1）过点P 作C 的两条渐近线的平行线分别交双曲线C 于S R ,两点.求直线RS 的方程；（2）过点P 作直线l 与椭圆1422=+y x 交于点E D ,，直线AE AD ,与双曲线C 的另一个交点分别是点N M ,.试问：直线MN 是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.22.已知函数()()0sin >+-=a bx x a e x f x.（1）当0=b 时，函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上有极小值，求实数a 的取值范围；（2）当0<b 时，设0x 是函数()x f 的极值点，证明：()a b b x f 22ln 0-⎪⎭⎫⎝⎛-≥.（其中71828.2≈e 是自然对数的底数）参考答案一、单选题12345678CDACBBCD1.解析：∵(){}{}31013≥==≥--=x x x x x x M 或，()(){}{}13013≤≥=≥--=x x x x x x N 或，∴M ∩=N {}31≥=x x x 或.2.解析：由i z i +=1，则()()()211111i i i i i i i z +=-+-=+=，则21i z -=，∴i z z =-.3.解析：由题意可得MB MD MC MA -=-=，，∴MDMB MB MC MC MA MD MC MB MA +++++=+++22ABMA MB MB MC =-=+=4.解析：记事件“A =甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8”由题意，总的基本事件为：两个人各有6中不同的下法，故共有36种结果，则时间包含两人分别从2楼和6楼下，3楼和5楼下，均从4楼下，共有2+2+1=5种不同下法.∴事件A 的概率为：()365=A P .5.解析：由题意可得：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 6cos πωωπωx a x a x g ，∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1270π，x ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+612766πωπππω，x ，∵()0=x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1270π，上有且仅有两个不相等的实根，∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈+25236127πππωπ，，解得4716<≤ω，即实数ω的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡4716，.6.解析：由题可得︒=∠30CBD ，在BCD ∆中BDCBCCBD CD ∠=∠sin sin ，又()42645sin 60cos 45cos 60sin 4560sin 105sin sin +=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=∠BDC∴()265021426100sin sin +=+⨯=∠∠=CBDBDCCD BC ，又()10128tan 2650tan ≈︒⨯+=∠=ACB BC AB 米.7.解析：已知()0,1A 是圆222r y x O =+：上一点，∴101222==+r 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为()1-=x k y ，联立()⎩⎨⎧-==+1122x k y y x ，整理得()01212222=-+-+k x k x k ，0>∆恒成立，∴2212k k x x B A +=+，2211k k x x B A +-=，由于1=A x ，∴2211k k x B +-=，则()2121kkx k y B B +-=-=，由于BC 是圆O 的直径，由中点坐标公式可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--22212,11k kk k C ，则弦AC 的中点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++221,11k k k ∵直线AB 、BD 的斜率之和为0，∴k k k k k kk k k BD-=+-+-+-+-=222221111112整理得()052=-k k ，解得0=k 或5±=k .又点B 在第一象限，∴1-<k ，故5-=k .即直线AB 的斜率是5-.8.解析：由xx y 12+=的两条渐近线分别为x y 2=，0=x ，∴该函数对应的双曲线焦点在x y 2=，0=x 夹角（锐角）的角平分线l 上，设kx y l =：且2>k ，若βα，分别是kx y =，x y 2=的倾斜角，故2tan ,tan ==βαk 故βα-为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，由()ααπβαtan 12tan tan =⎪⎭⎫⎝⎛-=-，即()k k k 1212tan tan 1tan tan tan =+-=+-=-βαβαβα，整理得0142=--k k ，可得52+=k （负值舍去），∴绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C 一条渐近线斜率为25521-=+=a b ，故()54105491122-=-+=+=ab e .二、多选题9.解析：n m ∥，m ⊥平面α，n ⊥平面β，，则两平面平行，故A 正确；m ⊥平面α，n ⊥平面β，n m ，为异面直线，则α与β相交，故B 正确；m ⊥平面α，n ⊥平面β，若α与β相交，则n m ，相交或异面，故C 错误；m ⊥平面α，n ⊥平面β，若βα⊥，则n m ⊥，故D 正确.10.解析：由题设，⎩⎨⎧≤+≤-≤≤-10010011b a a ，如下图可行域，由图知：可行域边界交点坐标依次为()99,1，()101,1-，()991--，，()1011-，，显然ab 在坐标值异号的两交点处取最小值，坐标值同号的两交点处取最大值，故ab 的最小值是101-，最大值是99，A 错，B 对；由图知：[]199,201-∈++ab b a ，在第一象限边界交点、第四象限边界交点处分别取得最大、最小值，C 对，D 错.11.解析：由题意知，点P 为动点，C A ,为定点，32=+PC P A ，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以22=AC 为焦距，长轴为32的椭圆，将此椭圆绕AC 旋转一周，得到一个椭球，即点P 的轨迹是一个椭球，9101112ABDBCACABD而椭球面为一个椭圆，由22222,32222=+==c a ，即2,3==c a ，得122=-=c a b ，当点P 运动到椭球的上、下顶点时，V 取到最大值，此时32122213131=⨯⨯⨯⨯==∆b S V ABC ；设点P 在平面ABCD 上的射影为Q ，则BQPQ=αtan ，又10≤<PQ ，20≤<BQ ，且BQ PQ ≤，∴当且仅当BQ PQ =时αtan 最大，即α的最大值时4π；当422=+PD P A 时，由42=AD 得222AD PD P A =+，则点P 的轨迹是以AD 为直径的球，设AD 的中点为O ，则O 为球心，当AD OP ⊥即1=OP 时，V 取到最大值，此时32122213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆OP S V ABC ；当直线BP 与球相切于点P 即BP OP ⊥时，α取得最大值，此时5551sin ===OB OP α，则4πα≠.12.解析：如图，不妨设1>=t OB ，点B 在x 轴上方，()0,1y D -()00>y ∵AEEB ADDB OB ==，则AD t DB =，AE t EB =，易得()()011y t B +-，，设()E y E ,1-，则()t y y y t EE=--+010，得到011y tty E -+=，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-0111y t t E ，，且()2202211t y t =++，即()222011t t y +-=，选项A ，如图，令βα=∠=∠AOB AOD ，，⎪⎭⎫⎝⎛∈20,πβα，，则αβ-=∠BOD ，∵201sin y y +=α，2011cos y +=α，()ty t 01sin +=β，t1cos =β，∴()=-=∠αβsin sin BOD ()⋅+ty t 012011y +t 1-201y y +⋅2001y y +=αsin =，∴BOD AOD ∠=∠sin sin ，∴选项A 正确；选项B ，∵()0,1y OD -=，()⎪⎭⎫⎝⎛-+-=ty t OE 1110，，则⋅OD +=1OE ()ty t -+1120()0111111122=-=+-⋅-++=t t t t ，∴OE OD ⊥，即OE OD ⊥，选项B 正确；选项C ，易知直线PQ 斜率存在，设直线PQ 的斜率为k ，()01,y x P ，()⎪⎭⎫⎝⎛-+ty t x Q 1102，，将()01,y x P 代入x y 42=，得到()()141141422201+-=+-==t t t t y x ，∴()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,141y t t P ，同理可得()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-t y t t t Q 11,1410∴()()()()()()()()()()()022020001214112141411114114111y t t t t ty t t t y t y t t t t t y t y t k +-=++--=+-++---+=+---+--+=，∴直线PQ 的方程为()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-=-t t x y t y y 1411200，假设直线PQ 过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛021，，则有()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-=-t t y t y 141211200，得到0211=--+t t ，即023=+t ，不对t 恒成立，∴选项C 不正确；选项D ，由抛物线定义知，21p x PF DP +==，22px QF EQ +==，∴五边形DPFQE 的周长()ED QF PF l ++=2，又∵()1411+-=t t x ，()1412-+=t t x ，()0,1y D -，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-021,1y t t E ，()222011t t y +-=，∴=l ()()p y t t y t t t t 211141141200+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-()()4121211210+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=y t tt t t t ()()()()()()()411212112141112121121222222+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=++-⋅-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=t t t t t t t t t t tt t t t ，又∵1>=t OB ，∴()()()()11211212121121=-+⋅+->-+++-t t t t t t t t ，()()11211121124224242222>+--+=+--=--t t t t t t t tt t ，∴7421=++>l ，故选项D 正确.三、填空题13.20；14.x y 2cosπ=（答案不唯一）；15.59；16.⎦⎤⎢⎣⎡+-374374，13.解析：二项式()8y x -中，()r rrrr y x C T -+-=8811，当y x +中取x 时，这一项为()r rr ry xC --981，∴2=r ，()281282=-C ，当y x +中取y 时，这一项为()1881+--r rr ry xC ，∴1=r ，()81181-=-C ，∴展开式中27y x 的系数是20288=+-.14.解析：∵()()02=+-x f x f ∴()x f 的对称中心为()0,1，且由()()x f x f =-可得出()x f 的对称轴为y 轴，且周期为4的偶函数都可以.15.解析：将已知数列分组，每组的第一项均为1，即第一组：1；第二组：3,1；第三组：53,1，；以此类推：将各组数据之和记为数列{}n b ，则()22121n n n b n =-+=，记数列{}n b 的前n 项的和为n T ，则()()612121222++=+++=n n n n T n ；∴400385621111010<=⨯⨯=T ，400506623121111>=⨯⨯=T ；∵1021b b b +++ 对应{}n a 中项数为55211101021=⨯=+++ 项，即1055T S =，∴40039453135858<=+++=S ，400401753138559>=++++=S ，则使得400>n S 成立的最小正以整数59=n .16.解析：椭圆的右焦点为极点，建立坐标系，设()θρ,A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,0πθρB 过点A 作l AH ⊥交l 于点H ，l 为椭圆的右准线ca x 2=，过点A 作⊥AM 极轴交极轴于点M ，由椭圆的第二定义知：e AHAO=，则ρ=AO ，∴θρcos 2--=c c a AH ，则e c ca=--θρρcos 2，代入化简可得：θρcos 12e a b +=，同理可得：θπθρsin 12cos 1220e a b e a b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=，由FB F A λ=可得λθθθθθθρρ=+-=+-=+-==cos 2sin 2cos 211sin 211cos 1sin 10e e FB F A ，θθλcos 2sin 2+-=，λ表示()22，C 与()θθsin ,cos -D 两点的连线的斜率，而()θθsin ,cos -D 可看作圆122=+y x 上任意一点，∴λ的几何意义为圆122=+y x 上一点与()22，C 两点的连线的斜率，过点()22，C 作圆的切线可求出z 的最大值和最小值，由分析知，过点()22，C 直线的斜率一定存在，设为()22-=-x k y ，即022=+--k y kx ，故圆心()0,0到直线022=+--k y kx 的距离为：11222=++-kk ，化简得：03832=+-k k ，解得：374-=k 或374+=k，∴374cos 2sin 2374+≤+-≤-θθ，故374374+≤≤-λ.四、解答题17.解：（1）由题意可得：1212==a a ，1022233=+=a a .由题意得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+----+++324384382238232121212121221212n n n n n n n n a a a a a ，又038321≠=+a ，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-3212n a 是等比数列.（2）由（1）知32438112-⋅==--n n n a b .运用分组求和可得()()nn n T n n n n 321498324141383244438110--=---⋅=-+++=- 18.解：（1）取BC AB ,的中点E O ,，连接AE OD D A O A ,,,11，∵ABC ∆是正三角形，∴BC AE ⊥；∵B A A A 11=，O 为AB 中点，∴AB O A ⊥1，∵DB CD 3=，E 为BC 中点，∴D 为BE 中点，又O 为AB 中点，∴AE OD ∥，∴BC OD ⊥；∵平面ABC ⊥平面B B AA 11，平面ABC ∩平面AB B B AA =11，⊂O A 1平面B B AA 11，∴O A 1⊥平面ABC ，又⊂BC 平面ABC ，∴BC O A ⊥1；∵O OD O A =⋂1，⊂OD O A ,1平面OD A 1，∴BC ⊥平面OD A 1，又⊂D A 1平面OD A 1，∴BC ⊥D A 1，又11C B BC ∥，∴D A C B 111⊥.（2）取11C B 中点F ，连接DF F A ,1，由三棱柱结构特征知：AE F A ∥1，又AE OE ∥，∴AF OD ∥，即F D O A ,,1，四点共面，由（1）知：BC ⊥平面ODF A 1，∵⊂DF D A ，1平面ODF A 1，∴DF BC ⊥，D A BC 1⊥，∴DF A 1∠是二面角11B BC A --的平面角，∴53cos 1=∠DF A ，作DF G A ⊥1，垂足为G ，∵G A BC 1⊥，G A DF 1⊥，D DF BC =⋂，⊂DF BC ,平面11B BCC ，∴G A 1⊥平面11B BCC ，设h O A =1，则121+=h AA ，又312221=-==F A AE ，∴2321==AE OD ，∴4321+=h D A ，432122121+=⎪⎭⎫⎝⎛+=h F A O A DF ，∴53432343432cos 2221212211=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=⋅-+=∠h h h DFD A F A DF D A DF A ，解得3=h ，又54sin 1=∠DF A ，∴G A D A DF A DF D A S DF A 111121sin 211⋅=∠⋅⋅=∆，即G A 1215215421521521⋅⨯=⨯⨯⨯，解得：51521=G A ，即点1A 到侧面C C BB 11的距离为5152.19.解：（1）由题意得BCA C C A 222sin sin sin sin sin sin -=-，即B C A C 2sin sin sin sin 1+=.由正弦定理得：ac c b +=22，又由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，∴B c a c cos 2-=，故B C A C cos sin 2sin sin -=，故()B C C B C cos sin 2sin sin -+=，整理得()C B C -=sin sin，又ABC ∆为锐角三角形，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，C ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，B ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈-22ππ，C B ∴C B C -=，因此C B 2=.（2）在BCD ∆中，由正弦定理得C BD BDC a sin sin =∠，∴CBDBDC sin sin 4=∠∴CC C BDC C BD cos 22sin sin 4sin sin 4==∠=，∵ABC ∆为锐角三角形，且C B 2=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<<23022020ππππC C C ，解得46ππ<<C .故23cos 22<<C ，∴22334<<BD .因此线段BD 长度的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,334.20.解：（1）根据所给数据，可得下面的22⨯列联表：根据列联表得，()841.34.2151051049162022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，又()05.0841.32=≥K P ，故没有95%的把握认为获胜方与赛制有关.（2）（i ）由题意知丙的作答情况共有三类：抢答且答错，未抢答成功，抢答且答对，则丙在一道抢答题中的得分X 可能为2,0,1-，()12.02.06.01=⨯=-=X P ，()4.00==X P ，()48.08.06.02=⨯==X P 故可列出X 的分布列如下：旧赛制新赛制合计甲获胜6915乙获胜415合计101020X-102因此()84.048.0212.01=⨯+⨯-=X E .21.解：（1）由题意，得双曲线C 的渐近线方程为x y 21±=，过P 与x y 21=平行的直线方程为()421-=x y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=--=4442122y x x y 解得⎪⎭⎫⎝⎛-43,25R ，过P 与x y 21-=平行的直线方程为()421--=x y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=---=4442122y x x y 解得⎪⎭⎫⎝⎛43,25S ，∴直线RS 的方程为25=x.（2）直线MN 过定点.由已知，易知过P 的直线斜率存在且不为0，直线AD ，AE 斜率存在且不为0，设直线AD ，AE 的直线方程分别为21-=y t x 和22-=y t x ，()D D y x D ,()E E y x E ,，由⎩⎨⎧=--=442221y x y t x 得()0441221=-+y t y t ，解得44211+=t t y D ，则4822121+-=t t x D .同理44222+=t t y E ，4822222+-=t t x E .又E D P ,,三点共线，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=44,42422112121t t t t PD ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--=44,42422222222t t t t PE .故044424244424221122222222121=+⨯+---+⨯+--t t t t t t t t ，解得1221=t t .P0.120.40.48设()11,y x M ，()22,y x N ，则11112t k x y k AD MN ==+=，22212t k x y k AE AN ==+=，∴1222221121=+⋅+=y x y x t t ，即()()()()m kx m kx y y x x ++==++212121121222化简整理得：()()()0412*******21221=-+-++-m x x k x x km （*），易知直线MN 斜率存在，设直线MN 的方程为m kx y +=，由⎩⎨⎧=-+=4422y x m kx y ，消去y 整理得()044841222=----m kmx x k ，∴当0412≠-k 且()()014116642222>+-+=∆mkm k 时22212214144,418km x x k km x x ---=-=+，代入（*）化简，解得0222=--k mk m ，即()()02=-+k m k m ，故k m -=或k m 2=.当k m 2=时，k kx m kx y 2+=+=，经过点()0,2-，不符合题意，当k m -=时，k kx m kx y -=+=，经过点()0,1，满足题意.因此直线MN 过定点()0,1.22.解：（1）由题意知()x a e x f xsin -=在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上有极小值，则()0cos =-='x a e x f x在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上有解，故x e a x cos =，设()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0cos πx x e x g x ，显然()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，又()10=g ，()+∞=→x g x 2lim π，∴1>a .当1>a 时，()0cos =-='x a e x f x在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，又()010<-='a f ，022>=⎪⎭⎫⎝⎛'ππe f ，由零点存在定理可知⎪⎭⎫⎝⎛∈∃2,0πα，且()0='αf ，此时当()α,0∈x 时，()0<'x f ，当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,παx 时，()0>'x f ，∴()x f 在()α,0上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πα上单调递增，故()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上有极小值点.因此实数a 的取值范围是1>a .（2）由题意知()b x a e x f x+-='cos ，故()0cos 000=+-='b x a ex f x .()()000000sin sin 00x f bx x a e bx x a e x f x x '++-=+-=()bbx x a e b bx x x a e x x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++-=000004sin 22cos sin 200πa b bx e x 2200-++≥.设()()R x a b bx e x h x ∈-++=22，则()b e x h x+='2，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈2ln ,b x 时，()0<'x h ，()x h 单调递减；当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈，2ln b x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增，∴()a b b b h x h 22ln 2ln -⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥.因此()a b b x f 22ln 0-⎪⎭⎫⎝⎛-≥成立.。

曲靖一中2023届高三教学质量监测卷（四）数 学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间：120分钟；满分：150分．第I 卷（选择题，共60分）1、单选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合，则（ ）{}2430,03x M x x x N x x ⎧⎫=-+≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣M N ⋂=A ．B ．{}13x x ≤≤∣{}03x x ≤≤∣C ．D ．{03}x x ≤<∣{13}xx ≤<∣2．已知复数满足，若为纯虚数，则（ ）z (1i)2i()z b b +=+∈R z b =A ．B ．1C ．D ．21-2-3．已知平行四边形中，点为的中点，， （），ABCD E CD AM mAB = AN nAD =0m n ⋅≠若，则（ ）//MN BE n m =A ．1B ．2C ．D ．122-4．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积R 为，则其内壁表面积为（ ）383R πA ．B ．C ．D ．212Rπ210Rπ28Rπ26πR5．为了配合社区核酸检测，某医院共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与社区志愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往2个不同的社区，且2名女志愿者不单独成组.若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（ ）A ．32B ．48C ．40D ．566．已知函数．若对于任意实数x ，都有，则()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()π3f x fx ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值为（ ）．ωA ．2B ．C ．5D ．8527．已知，，，则（ ）131log 2a=ln 3b =20.5c =A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c a b >>b c a>>8．已知三棱锥的底面△ABC 为等腰直角三角形，其顶点P 到底面ABC 的距离为-P ABC4，体积为，若该三棱锥的外接球O ，则满足上述条件的顶点P 的轨迹长163度为（ ）A ．B ．C ．D ．6π12π2、多选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．如图，在棱长为的正方体中，下列结论成立的是（ ）1A ．若点是平面的中心，则点到直线F 1CD F ACB ．二面角1A BC B --C ．直线与平面所成的角为.1AB 11ABC D 45 D ．若是平面的中心，点是平面的中心，则面E 11ACF 1CD //EF .1AB C 10．已知函数，则下列选项正确的有（ ）()2()e 1x f x x x =-+A ．函数极小值为1()f x B ．函数在上单调递增()f x ()1,-+∞C ．当时，函数的最大值为[]2,2x ∈-()f x 23eD ．当时，方程恰有3个不等实根3e k <()f x k =11．已知为坐标原点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛O (1,2)M 2:2(0)C y px p =>F l 物线于两点，则（ ）C ,A B A ．的准线方程为C 1x =-B ．若，则||4AF =||OA =C ．若，则的中点到轴的距离为4||8AB =AB yD ．4||||9AF BF +≥12．已知定义R 上的函数满足，又的图象关于点()f x ()()()63f x f x f =-+()πf x +对称，且，则（ ）()π,0-()12022f =A ．函数的周期为12B ．()f x ()20232022f =-C ．关于点对称D ．关于点对称11π2f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()1,π-11π2f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()2,π第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．的展开式中的常数项为__________．()6213x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭14．写出一个与直线和都相切的圆的方程______.（答案不唯(2y x=(2y x =C 一）15．，若在上存在单调递增区间，则的取值范围()3211232f x x x ax =-++()f x 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 是_______16．已知椭圆，圆，直线与圆相切于第一象限的点A ，与椭22:1124x y C +=22:3O x y +=l O 圆C 交于两点，与轴正半轴交于点．若，则直线的方程是P Q 、x B PB QA=l __________．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》）17．已知数列是各项均为正整数的等比数列，且成等差数列．{}n a 12461,8,3,a a a a =（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）设，设数列的前项和为，求证：．22log nn b a +=21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 1n T <18．在锐角中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：ABC，条件②，条件③：这3sin cos tan 4A A A =12=2cos cos cos a A b C c B -=三个条件中选择一个作为已知条件．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若，求周长的取值范围．2a =ABC 19．已知在四棱锥P —ABCD 中，，4,3,5,90AB BC AD DAB ABC CBP ===∠=∠=∠=，E 为CD 中点.PA CD ⊥（Ⅰ）平面PCD 与平面PAE 能垂直吗？请说明理由.（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥的体积.P ABCD -20．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．年份代码x12345市场规模y 3.984.565.045.866.36参考数据：，，，其中5.16y = 1.68v =5145.10iii v y==∑i v 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和()11v y ，()22v y ，()n n v y ，ˆˆˆy bv a =+截距的最小二乘估计公式分别为，．2121ˆnii ni ii v y nvybvnv ==-=-∑∑ˆˆa y bv =-（Ⅰ）由上表数据可知，可用函数模型拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的ˆˆya =回归方程（，的值精确到0.01）；ˆa ˆb （Ⅱ）已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p ，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X ，若，求X 的分布列与期望．()()34P X P X ===21．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于2222:1x y C a b -=()2,3-60l 两点.,A B （Ⅰ）求双曲线的标准方程.C （Ⅱ）若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段l 2F x (),0M m为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.AB M m 22．已知函数.2()ln 1f x x x =++（Ⅰ）试比较与1的大小；()f x （Ⅱ）求证：.()()111ln 13521n n n *+>+++∈+N 曲靖一中2023届高三教学质量监测卷（四）数学参考答案3、二、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DCBDBCBDABDACABDABD1．D【详解】由，可得，则；由，可得，2430x x -+≤13x ≤≤{13}M x x ∣=≤≤03xx ≤-03x ≤<则；{03}N xx ∣=≤<所以，{13}M N xx ∣=≤<故选：D ．2．C【详解】因为为纯虚数，所以设，z i(,0)z a a a =∈≠R 则由，得，(1i)2i z b +=+i(1i)2i a b +=+即，所以，解得.i 2i a a b -+=+2a ab -=⎧⎨=⎩2b =-故选：C.3．B【详解】解：依题意设，MN BE λ= 则，()12MA AN mAB nAD BC CE AD MN AB λλ⎛⎫+=-+=+=- =⎪⎝⎭即，所以，故；12mAB nAD AB AD λλ-+=-+12m n λλ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩2n m =故选：B ．4．D【详解】由题意可知，酒杯是由圆柱和半球的组合体，所以酒杯内壁表面积是圆柱的侧面积与半球的表面积之和，因为球的半径为，所以半球的表面积为，R 2211422S R R =⨯=ππ半球的体积为 ，311423V R =⨯π设圆柱体的高为，则体积为 ，h 22V R h =π又酒杯的容积为383R π所以 ，323122833V V R R h R +=+=πππ解得： ，2h R =因为球的半径为，酒杯圆柱部分高为，R 2R 所以圆柱的侧面积为，22224S R R R =⨯=ππ所以酒杯内壁表面积为.22212246S S S R R R =+=+=πππ故选：D.5．B【详解】分两种情况讨论：分为3，3的两组时，2名女志愿者不单独成组，有种分组方法，再对应到两个社区参361C 2加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法；22A 32621C A 202⨯=分为2，4的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女志愿者单独成组的情4262C C 15⨯=况，则有14种符合条件的分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此22A 时共有种分配方法，2214A 28⨯=故共有种分配方法.202848+=故选：B.6．C【详解】函数，由可知函数图像的一个对称()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()π3f x fx ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭中心为，π(,0)6所以有，解得，()πππZ 66k k ω+=∈()61Z k k ω=-∈由，当时，有最小值5.0ω>1k =ω故选：C 全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》7．B【详解】∵，，∴210.54c ==41111333311111111log log log log 242416434a ⎛⎫===>= ⎪⎝⎭a c >∵，，∴113311log log 123a =<=ln 3ln e 1b =>=b a>综上，．b a c >>故选：B ．8．D【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形的直角边长为，ABC ()0x x >三棱锥的体积∴-PABC 211164323V x =⋅⋅⋅=解得：x =的外接圆半径为ABC ∴ 1122r ==球心到底面的距离为∴O ABC ，13d ===又顶点P 到底面ABC 的距离为4，顶点的轨迹是一个截面圆的圆周∴P当球心在底面和截面圆之间时，ABC 球心到该截面圆的距离为，O 2431d =-=截面圆的半径为2r ===顶点P 的轨迹长度为；∴22r π=当球心在底面和截面圆同一侧时，ABC 球心到该截面圆的距离为O 3347d R =+=>=综上所述，顶点P 的轨迹的总长度为．故选：D ．9．ABD【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标D 1,,DA DC DD ,,x y z 系，则，，，，()1,0,0A ()1,1,0B ()0,1,0C ()0,0,0D ，，，，()11,0,1A ()11,1,1B ()10,1,1C ()10,0,1D ，，11,,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭110,,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭对于A ，，，110,,22FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()1,1,0AC =-，1cos ,2FC ∴<=，sin ,FC ∴< 点到直线的距离，A 正确；∴FAC sin ,d FC FC =⋅<=对于B ，，，()1,1,0AC =- ()10,1,1AB =设平面的法向量，1AB C (),,n x y z =则，令，解得：，，；1=+=0=+=0AC n x y AB n y z ⋅-⋅⎧⎪⎨⎪⎩=1x =1y 1z =-()1,1,1n ∴=- 轴平面，平面的一个法向量，y ⊥1BB C ∴1BB C ()0,1,0m =cos ,m ∴<=sin ,m ∴< tan ,m ∴< 由图形可知：二面角为锐二面角，1A B C B --二面角B 正确；∴1A B C B --对于C ，平面，平面，，AB ⊥ 11BCC B 1B C ⊂11BCC B 1AB B C ∴⊥又，，平面，平面，11BC BC ⊥1AB BC B ⋂=1,AB BC ⊂11ABCD 1B C ∴⊥11ABC D 平面的一个法向量为，又，∴11ABC D ()11,0,1B C =--()10,1,1AB =，1111111cos ,2B C AB B C AB B C AB ⋅∴<>===⋅ 即直线与平面所成的角为，C 错误；1AB 11ABC D 30 对于D ，平面的法向量，， 1AB C ()1,1,1n =-11,0,22EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，即，面，D 正确.110022EF n ∴⋅=-++= EF n ⊥ //EF ∴1AB C 故选：ABD.10．AC【详解】对于AB ：，()()()()22e 1e 21e x x x f x x x x x x'=-++-=+ 当时，，单调递增，∴()(),10,+x ∞∞∈--⋃()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减，()1,0x ∈-()0f x '<()f x 所以的极大值为，()f x ()()()2111e 1113e f --⎡⎤-=---+=⎣⎦的极小值为，故A 正确，B 错误；()f x ()()00e 0011f =-+=对于C ：由函数单调性知，在上单调递增，在上单调递减，在上递增，()f x [)2,1--()1,0-(]0,2且，，()()()12213e ,2e 4213e f f --==-+=123e 3e -<故函数的最大值为，故C 正确；()f x 23e 对于D ：当时，，时，，x →-∞()0f x →x →+∞()f x →+∞且的极大值为，的极小值为，()f x 1(1)30e f --=>()f x (1)1>0f =由上述分析可知，的图象为：()f x 由图象可得当或时，有1个实数根，01k <<3e k >()f x k =当或时，有2个实数根，1k =3e k =()f x k =当时，有3个实数根，故D 错误.31e k <<()f x k =故选：AC.11．ABD【详解】因为点在抛物线(1,2)M 上，2:2(0)C y px p =>所以解得，所以抛物线方程为，42,p ==2p 24y x =所以准线方程为，所以A 正确;12px =-=-由抛物线的定义得||4,3,2A A pAF x x =+=∴=由,所以所以B 正确;2412A A y x ==||OA ==设，1122(,),(,),:1A x y B x y AB x my =+联立整理得，2=4,=+1y xx my ⎧⎨⎩2440y my --=由韦达定理得，12124,4y y m y y +==-所以，解得，()2||418AB m ==+=1m =±，所以C 错误;212121211()2426x x my my m y y m +=+++=++=+= ,212121212(1)(1)()11x x my my m y y m y y =++=+++=由抛物线定义知11221,1,22p pAF x x BF x x =+=+=+=+，()()2121121212121121111111111x x x x AF BF x x x x x x x x ++++++=+===+++++++所以,()4||4||||4||||5119BF AF B AF AF BF A F AF F BF BF ⎛⎫+=+=+ ⎪ ++⎪⎝≥⎭当且仅当时取得等号，所以D 正确.4||,2BF BF AF AF BFAF ==故选: ABD.12．ABD 【详解】由，令，得，()()()63f x f x f =-+3x =()()()()3633,30f f f f =-+=所以，关于直线对称.()()6f x f x =-()f x 3x =由于的图象关于点对称，所以的图象关于对称，所以是奇()πf x +()π,0-()f x ()0,0()f x 函数.所以，()()()()()()()()()1266666f x f x f x f x f x f x f x +=---=--=-+=---=--=所以的周期为，A 选项正确.()f x 12，B 选项正确.()()()()()()()2023168127761112022f f f f f f =⨯+==--=-=-=-结合上述分析可知，关于点（）对称，()f x ()6,0k Z k ∈所以关于点（）对称，()1f x -()61,0k +Z k ∈所以关于点（）对称，112f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()122,0k +Z k ∈所以关于点（）对称，11π2f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()122,πk +Z k ∈令，得关于点对称，D 选项正确，C 选项错误.0k =11π2f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()2,π故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、-4514、（答案不唯一）((221x y +=15、 16、1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭x y +=13．【详解】展开式通项公式为，61(x x +6621661C ()C r r r r r r T x xx --+==，，，，620r -=3r =622r -=-4r =所以所求常数项为，34663C C 45-⨯+=-故答案为：．45-14．（答案不唯一）((221x y +=【详解】因为，所以直线和关于直线，(221=(2y x =(2y x =+y x =对称，y x =-所以与直线和都相切的圆的圆心在直线或直线(2y x=(2y x =C C y x =上（除原点外），y x =-设圆心，则半径，C1r 所以圆的方程为（答案不唯一）.C ((221x y +=故答案为：.((221x y +=15．1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【详解】因为，则，()3211232f x x x ax =-++()22f x x x a '=-++有已知条件可得：，使得，即，2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()212a x x >-当，所以.()221122122339y x x ⎡⎤⎛⎫=->-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦19a >-故答案为：.1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭16．x y +=【详解】由题意可知直线有斜率，设直线的方程为：l l ()0,0y kx m k m =+<>联立直线和圆的方程：()2222231230x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，所以可知，故()()2222224413033k m kmm k ∴∆=-+-=⇒=+21kmx k -=+21Akm x k -=+联立直线和椭圆的方程：()2222211363120124x yk x kmx m y kx m⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩设，则1122(,),(,)P x y Q x y 122613km x x k -+=+设中点为,由可知：,即是的中点，AB M PB QA=PM QM=M PQ 在直线方程中，令0,B m y x k ==-由中点坐标公式可知：，2122261131B A km km m x x x x k k k k --⎛⎫+=+⇒=+-⇒= ⎪++⎝⎭0,1k k <∴=- ，故直线方程为22336,0,m k m m =+=>∴= x y +=故答案为:l x y +=四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．【详解】（Ⅰ）设数列的公比为，{}n a q 因为成等差数列，2468,3,a a a 所以，26486a a a +=又，所以，11a =5386q q q +=因为，所以0q ≠42680q q -+=所以或，24q =22q =又数列各项均为正整数，所以，{}n a 2q =所以． …………………………………………（5分）12n n a -=（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，所以， 122nn a ++=22log 1nn b a n +==+所以，2211111(1)(1)1n b n n n n n =<=-+++所以22221231111n nT b b b b =+++⋯+222211*********(1)122334(1)n n n =+++⋯+<+++⋯++⨯⨯⨯+1111111122334n n 1=-+-+-+⋯+-+．1111n =-<+所以．…………………………………………（5分）1n T <18．【详解】（1）选条件①：因为，所以，即3sin cos tan 4A A A =sin 3sin cos cos 4A A A A =，又因为为锐角三角形，所以，所以，所以.23sin 4A =ABC 0,2A π⎛⎫∈⎪⎝⎭sin A =3A π=选条件②，所以12=cos )cos A A A A-=+，又因为，所以，所以， 3cos A A =(0,)2A π∈cos 0A ≠tan A =3A π=选条件③：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B-=（2）22(sin sin )sin sin 2sin 3a abc B C B B A π⎫⎛⎫++=++=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎭13sin sin 2sin 24sin 2226B B B B B B π⎫⎫⎛⎫=++=+=++⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭，，2ππ0,0,322C BB π⎛⎫=-∈∈ ⎪⎝⎭ （），ππ2,,,62633B B πππ⎛⎫∴∈+∈ ⎪⎝⎭（）则即，sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥⎪⎝⎭⎦(2a b c ++∈+19．（1）平面PCD 与平面PAE 能垂直，理由如下：如下图，连接，,,AE AC PE 在△中，故，即，ABC 4,3,90AB BC ABC ==∠=5AC =AC AD =所以△为等腰三角形，又E 为CD 中点，故，ADC AE CD ⊥因为，且 ，面，所以面，PA CD ⊥PA AE A = ,PA AE ⊂PAE CD ⊥PAE 由面，故面面.…………………………………………（6分）CD ⊂PCD PCD ⊥PAE （2）由，则，由，则，90CBP ∠=PB CB ⊥90ABC ∠=AB CB ⊥又，且面，则面，而面，PB AB B ⋂=,PB AB ⊂PAB CB ⊥PAB PA ⊂PAB 所以，结合，，且面，PA CB ⊥PA CD ⊥CB CD C = ,CB CD ⊂ABCD 所以面，面，故，，PA ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD PA AB ⊥PA AD ⊥又，即，故两两垂直，90DAB ∠=AB AD ⊥,,PA AB AD 所以可构建如下图示的空间直角坐标系，则，A xyz -(4,0,0),(2,4,0)B E 令且，故，而，(0,0,)P k 0k >(4,0,)PB k =-(0,0,),(2,4,0)AP k AE == 若为面的法向量，则，令(,,)n x y z =PAE 0240n AP kz n AE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，则，2x =(2,1,0)n =-显然面的一个法向量为，ABCD (0,0,1)m = 因为直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以，|cos ,|||||||n PB n PB n PB ⋅<>==|cos ,|||||||m PB m PB m PB ⋅<>===所以，即，故，则底面为k =PA =90DAB ∠= AB AD ⊥//BC AD ABCD 直角梯形，20．（1）设，因为，，，v =ˆˆˆy bv a =+ 5.16y = 1.68v =5521115ii i i v x ====∑∑所以．5152212ˆ8545.105 1.68 5.16 1.7561.9155 1.680.8885i i iii v y vyb vv ==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑把代入，得．()1.685.16，ˆˆˆybv a =+ˆ 5.16 1.98 1.68 1.83a =-⨯≈（2）由题意知，()~4X B p ，，，由得，()()()33343C 141P X p p p p ==-=-()44444C P X p p===()3441p p p -=45p =所以，的取值依次为0，1，2，3，4，，X ()404410C 15625P X ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，()31444161C 155625P X ⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎝⎭，，()222444962C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()334442563C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为()44442564C 5625P X ⎛⎫===⎪⎝⎭X 01234P1625166259662525662525662521．【详解】（1）两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率，即60∴b a ±=或；b =b =当时，由得：，，双曲线的方程为：；b =22491a b -=21a =23b =∴C 2213y x -=当时，方程无解；b =22491a b -=（2）由题意得：，()22,0F 假设存在定点满足题意，则恒成立；(),0M m 0MA MB ⋅=方法一：①当直线斜率存在时，设，，，l ():2l y k x =-()11,A x y ()22,B x y 由得：，，()22=2=13y k x y x ⎧-⎪⎨-⎪⎩()()222234430k x k x k -+-+=()2230Δ=361+>0k k ⎧-≠⎪∴⎨⎪⎩，，212243k x x k ∴+=-2122433k x x k +=-()()()()()2212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x x x ∴⋅=--+=-+++-++，()()()()()()22222222212122243142124433k k k k m k x x k m x x k m k k k +++=+-+++=-++--=0，()()()()()222222243142430k k k k m m k k ∴++-+++-=整理可得：，()()22245330k m m m --+-=由得：；2245=033=0m m m ⎧--⎨-⎩1m =-当时，恒成立；∴1m =-0MA MB ⋅=②当直线斜率不存在时，，则，，l :2l x =()2,3A ()2,3B -当时，，，成立；()1,0M -()3,3MA = ()3,3MB =- 0MA MB ∴⋅=综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.()1,0M -AB M 方法二：①当直线斜率为时，，则，，l 0:0l y =()1,0A -()1,0B ，，，(),0M m ()1,0MA m ∴=--()1,0MB m =- ，解得：；210MA MB m ∴⋅=-= 1m =±②当直线斜率不为时，设，，，l 0:2l x ty =+()11,A x y ()22,B x y 由得：，，22=+2=13x ty y x ⎧⎪⎨-⎪⎩()22311290t y ty -++=()22310Δ=123+3>0t t ⎧-≠⎪∴⎨⎪⎩，，1221231t y y t ∴+=--122931y y t =-()()()21212121212MA MB x m x m y y x x m x x m y y ∴⋅=--+=-+++ ()()()21212122222ty ty m ty ty m y y =++-+++++()()()2212121244t y y t mt y y m m =++-++-+；()()()()222222291122121594420313131t t t mt m t m m m t t t +--+=-+-+=+-=---当，即时，成立；1215931m -=-1m =-0MA MB ⋅=综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.()1,0M -AB M …………………………………………（12分）22.(1)的定义域为，2()ln 1f x x x =++(0,)+∞令，2()()1ln 11h x f x x x =-=+-+则，222121()0(1)(1)x h x x x x x +=-=+'>+所以在为增函数，()h x (0,)+∞当时，，即，1x >()(1)0h x h >=()1f x >当时，，即，01x <<()(1)0h x h <=()1f x <当时，，即，…………………………………………（5分）1x =()(1)0h x h ==()1f x =（2）由（1）可得：当时，，即：，1x >2ln 11x x +>+2ln 11x x >-+将代入可得：，整理可得：，1n x n +=12ln111n n n n +>-++1ln(1)ln 21n n n +->+则有：，1ln 2ln13->，1ln 3ln 25->…，，1ln(1)ln 21n n n +->+将以上个式子两边分别相加，可得：，n 1111ln(1)35721n n +>++++即证：*1111ln(1),35721n n N n +>+++∈+。

2023届福建省莆田市高中毕业班第四次教学质量检测英语试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、阅读理解Activities for National Manufacturing DayThe STEM (Science, Technology, Engineering and Mathematics) Careers Coalition (职业联盟) offers students and families new STEM resources to explore the world of modern manufacturing. With over 4 million manufacturing roles predicted to be available in the next ten years, the new resources from the coalition connect today’s students to the manufacturing careers of tomorrow.National Manufacturing Day occurs on annually the first Friday of October to motivate today’s students to become the next generation of innovators leading the manufacturing industry. In order to support this celebration, the coalition offers three different collections to all students, educators, and families on modern manufacturing that support learning wherever it takes place. The following resources ate available to all at no cost：Manufacturing-focused Career ProfilesExplore the profiles of manufacturing professionals using the skills they learned at school to become the kind of problem solvers that make a difference. Make the connection from the classroom to careers and find out how all students can make it in manufacturing. Hands-on Student ActivitiesFrom innovating food packaging to discovering the principles of accurate design to exploring water sustainability, at-home, hands-on learning activities help students take STEM skills from theory to practice.Classroom ActivitiesAccess the no-cost, standard classroom activities to support future career success for all students. Each, activity features important STEM skills and a step-by-step guide for promoting activities into classroom.Virtual Interactive Field TripsEach virtual experience features accompanying educator resources and student activities that make it easy for teachers to put these manufacturing events into the learning experiences they design and deliver daily.All resources are available at no cost at stemcareerscoalition. org.1．What is the purpose of the STEM Careers Coalition?A．To count the vacant jobs in manufacturing.B．To guide students to work on manufacturing.C．To report the current state of manufacturing.D．To offer students pre-job training in manufacturing.2．Which activity will introduce manufacturing masters to students?A．Classroom Activities.B．Hands-on Student Activities C．Virtual Interactive Field Trips.D．Manufacturing-focused Career Profiles. 3．What do the activities have in common?A．The activities are free of charge.B．All of the activities are virtual. C．Only students practice in the activities.D．The activities are only experienced online.Wildlife photographer Sam Turley and his wife Vera found a two-week-old blesbok (南非白面大羚羊)—whom they named Meme—on her own. She was spotted wandering around on her own after her mother passed away.The pair took Meme in and raised the animal themselves for seven months before releasing her back out into the wild. Neither of them had ever raised a blesbok before. So it required a huge amount of patience and compassion to keep her fit and healthy but it deserved the effort. Meme would follow Vera wherever she went and sometimes the couple would have a blesbok, a dog and a cat all walking together. In the right areas, the blesbok is a really common antelope to see and is therefore often overlooked and under-appreciated. It was a privilege to be let into the blesbok’s secret world and they learned more about the blesbok than they thought was ever possible.After releasing Meme back out into the wild, the couple were convinced they would never see her again, until several months later when they were driving around a reserve and happened to come across a herd of blesboks.Vera called out Meme’s name in the hope of finding Meme. Blesboks all look very similar to one another, which makes it very difficult to distinguish individuals. When Vera started to talk, the herd raised their heads and looked over. Vera continued to call Meme and as all the other blesboks lost interest, one individual held her gaze and ran straight up to her.In fact, most research today suggests procrastination is a behavioral pattern, which means it’s something you can change, regardless of whether you’re impulsive. What works best is still under research. Some scientists have reported success with time management. But the evidence for that is all over the map. That’s because poor time management is a symptom not a cause of procrastination.For some procrastinators, seemingly obvious tips can work. Researchers advise students to simply put down their smartphones. Silencing notifications or studying in the library rather than at home can regulate distractions and keep people on task. But that won’t be enough for many people. Stubborn procrastinators may benefit from cognitive behavioral therapy (认知行为疗法). This type of therapy, which involves managing thoughts and emotions and trying to change behavior, seemed to be the most helpful. Still, not many studies have examined treatments, and there’s room for improvement.8．What does procrastination mean to longtime procrastinators?A．A personal advantage.B．A habitual behavior.C．A working motivation.D．An excuse for laziness.9．What do experts think of procrastinators?A．They are inactive.B．They are efficient.C．They are anxious.D．They are careful.10．What causes people to procrastinate?A．Their temporary relief from the stress.B．Their imperfection in personalities.C．Their poor time management at work.D．Their high ability to deal with hard work.11．What may be the best procrastination treatment according to the text?A．Avoiding smartphones.B．Proper studying places.C．Good time management.D．Cognitive behavioral therapy.From the moment we are born, we interact with the world through movement. We move our lips to smile or to talk. We extend our hand to touch. How does our brain remember this wide range of motions? How does it learn new ones? How does it make the calculations necessary for us to grab a glass of water, without dropping it, squashing it, or missing it?Technion Professor Jackie Schiller from the Ruth and Bruce Rappaport Faculty ofMedicine and her team examined the brain at a single-neuron (单神经元) level to shed light on this mystery. They found that calculation happens not just in the interaction between neurons, but within each individual neuron. It turns out that each of these cells is not a simple switch, but a complicated calculating machine.This discovery, published recently in the Science, promises changes not only to our understanding of how the brain works, but better understanding of conditions ranging from Parkinson’s disease to autism. And if that isn’t enough, these same findings are expected to advance machine learning, providing inspiration for new architectures.“We used to think of each neuron as a sort of whistle, which either rings, or doesn’t,” Prof. Schiller explains. “Instead, we are looking at a piano. Its keys can be struck at the same time, or in order, producing an infinity (无限) of different tunes.” This complex music playing in our brains is what enables us to learn and perform an infinity of different, complex and precise movements.These same findings can also serve as an inspiration for the machine learning community. Deep neural networks, as their name suggests, attempt to create software that learns and functions somewhat similarly to a human brain. Although their advances constantly make the news, these networks are primitive compared to a living brain. A better understanding of how our brain actually works can help in designing more complex neural networks, enabling them to perform more complex tasks.12．Why does the author raise the questions in paragraph 1?A．To pursue answers.B．To raise his puzzles.C．To introduce the topic.D．To share his interest13．What does paragraph 3 mainly talk about?A．The result of the research.B．The function of a single neuron.C．The way the research was conducted.D．The aspects the discovery can be applied to.14．What does Schiller stress in her explanation in paragraph 4?A．The way that neurons work.B．The music that neurons play.C．The difficulties that researchers encounter.D．The process where neurons produce memory.15．What might be the best title for the text?A．Individual Neuron Works like a PianoB．Calculation Happens Between Neurons like a MachineC．Complex Neural Networks in the Brain Enable People to LearnD．The Mystery of Learning and Remembering Movement Has Been Uncovered 二、七选五F．The task that is easily done at the first attempt is undoubtedly very easy.G．He was able to do it again through years of hard work and perseverance.三、未知For his entire life, Sergio Peralta dreamed about playing catch. When he was born, his right hand didn’t fully ________. Ever since he was a child, his classmates have asked about his hand, and some have even ________ him. Computer science teacher Jeff Wilkins noticed Peralta was the only student who ________ his mouse to the left side of his keyboard. He then saw Peralta didn’t have a right hand.When Wilkins ________ Peralta and his mother about a prosthetic hand (假手), they expressed interest but knew building one could be ________ for a high school class. In early November, Wilkins ________ assigned three of his students to the project. “I didn’t want to get his ________ up. I’d rather under-promise and over-deliver than over-promise and under-deliver on something like this,” Wilkins said. The group did so while keeping their________ a secret. They measured classmates’ hands to calculate Peralta’s ________ fit.After working for about a week, the students used the school’s 3D printer to ________ a model. Students said they ________ Peralta wouldn’t like or use the hand, but as soon as he ________ the model, he could bend his fingers. Then Wilkins threw him a yellow rubber ball again and again. Students yelled in ________ when he finally caught the ball. Peralta said he only ________ the prosthetic hand when be sleeps. “This just showed me a different way to ________ the community,” said Jaramillo, a senior who involved in the class project. 21．A．raise B．develop C．change D．connect 22．A．convinced B．defeated C．teased D．admired 23．A．cycled B．reserved C．moved D．kicked 24．A．approached B．promised C．observed D．advertised 25．A．rewarding B．inspiring C．approving D．challenging 26．A．randomly B．deliberately C．temporarily D．secretly 27．A．fears B．hopes C．demands D．doubts 28．A．attention B．memories C．progress D．conflicts 29．A．typical B．ideal C．normal D．familiar 30．A．create B．select C．deliver D．save31．A．remembered B．worried C．argued D．regretted 32．A．turned up B．searched for C．put on D．threw away 33．A．satisfaction B．excitement C．hesitation D．anxiety 34．A．removes B．returns C．researches D．replaces 35．A．fit B．move C．view D．help四、用单词的适当形式完成短文五、其他应用文46．假定你是李华，新西兰某高中校长Mr Smith将来你校参观并洽谈交换生项目，期间会出席你校举办的外语合唱节（Chorus Festival of Foreign Languages）。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年广东省佛山市高三数学普通高中教学质量检测的。

1.已知集合，，则( )A. B. C.D. 2.已知▱ABCD 的顶点，，，则顶点D 的坐标为( )A. B.C. D.3.记数列的前n 项和为，则“”是“为等差数列”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有( )A. 120种B. 180种C. 240种D. 300种5.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号如图是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则极目一号体积约为( )参考数据：，，A. B. C. D.6.已知方程，其中现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程;乙：可以是抛物线的方程;丙：可以是椭圆的标准方程;丁：可以是双曲线的标准方程.其中，真命题有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.若斜率为1的直线l与曲线和圆都相切，则实数a的值为( )A. B. 0 C. 2 D. 0或28.已知函数，若存在，，，且，使，则的值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

辽宁省六校2025届高三上学期普通高中第四次联合教学质量检测数学试题一、单选题1．设集合{}{}13,16M x x N x x =-≤≤=≤≤，则M N ⋃=（）A ．{}16x x -≤≤B ．{}11x x -≤≤C ．{}13x x -≤≤D ．{}10x x -≤≤2．在梯形ABCD 中，满足//262AD BC AD BC AB DC ==⋅= ，，，，则AC BD ⋅=（）A ．4B ．6C ．10D ．123．某景区新开通了3A B C ，，个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且甲不体验A 项目，则不同的体验方法共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．30种4．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S S =，则15S =（）A ．2B ．1C ．0D ．1-5．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为A 的中点，F 为PC 上一点，当//PA 平面EBF 时，PFFC=（）A ．23B ．14C ．16D ．126．已知圆1C ：22(1)1x y -+=，圆2C ：22()()4x a y b -+-=，其中,a b ∈R ，若两圆外切，则35b a --的取值范围为（）A ．24,07⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．12,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．240,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知定义在(0,)+∞上的函数(),()f x f x '是()f x 的导函数，满足()2()0xf x f x '-<，且(2)4f =，则不等式()240x x f ->的解集是（）A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞8．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD 的棱长为4，则下列结论正确的是（）A ．勒洛四面体最大的截面是正三角形B ．若P 、Q 是勒洛四面体ABCD 表面上的任意两点，则PQ 的最大值为4C ．勒洛四面体ABCD 的体积是D ．勒洛四面体ABCD 内切球的半径是4二、多选题9．已知复数()()3i,z a a a =+-∈R 在复平面内对应的点在直线20x y +=上，则（）A ．zz =B ．()2i z -是纯虚数C ．1iz >-D ．112iz=-10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（）A ．三棱锥11A PC D -的体积为定值B ．异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦C ．平面ADP 与平面ABCD 所成夹角的余弦值取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线1C P 与平面11AC D 11．已知*m n ∈N ，，函数()()()22mnf x x x =+-，则（）A ．若()f x 为偶函数，则m n=B ．若3m n +=，则()f x 恰有1个极值点C ．若2m n =+，则对任意()2x ∞∈--，，均有()0f x <D ．当22x m >≥，时，恒有()()212m nf x m x x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭-三、填空题12．数学家斐波那契有段时间病迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即121a a ==，21n n n a a a ++=+，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”．若()369202221m a a a a a =+++++ ，则m =．13．把3个红球和33个白球随机排成一圈，则连续排列的白球个数不超过13个的概率是14．定义：点()00,P x y 到直线:0l ax by c ++=（,a b 不全为零）的有向距离为δ=设点,A B 到直线l 的有向距离为,A B δδ.已知两定点()12,0F -与()22,0F ，12,F F 到直线l 的有向距离之差的绝对值等于，且12,F F 在直线l 的同侧，则平面上不在任何一条直线l 上的点组成的图形面积为.四、解答题15．在ABC V 中，角,,A B C 的所对的边分别为,,a b c，已知22cos sin2sin2C a B b A =+.(1)求角C 的大小；(2)若ABC V的面积为4，且32b =.（i ）求sin A 的值；（ii ）求()cos 2A C +的值.16．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，113,1a b ==，2252310,2b S a b a +=-=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对任意的正整数n ，设32,,2,,nn nn n b c n S -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .(3)设138n n n n d b S ++=，若对任意的*n ∈N ，都有1(1)(2)ni i d n n λ=≥++∑.成立，求实数λ的取值范围.17．如图，在三棱锥P ABC -中，42AC BC AC BC PA PB PC M E F ==⊥==，，，，，，分别是AB PA PB ，，的中点.(1)求证:PM ⊥平面ABC ；(2)若四面体BCEF 的体积为1，求PM ；(3)若()01CD CP λλ=<< ，求直线A 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值.18．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，其长轴长为4，下顶点为B ，若作与y 轴不重合且不平行的直线l 交椭圆E 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.(1)求椭圆E 的方程；(2)当点,M N 横坐标的乘积为43时，试探究直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.19．已知函数2()2ln ,f x x ax x a =-+∈R ．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)已知()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求()()122f x f x -的最小值．。