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2009年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理科科数学考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码•2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间20分钟.一. 真空题 (本大题满分56分)本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.____________________________________________________________________ 若复数z满足z (1+i) =l-i (I是虚数单位)，则其共轨复数z= ________________________________ .1.【答案】ia— Z? — 1 【解析】设z = a+bi,贝U (a+bi ) (1+i) =l-i, BP a—b+ (a+b) i=l—i,由Q ,a +b = -l解得a=0, b= —1,所以z=—i, z =i2.己知集合A = {x| x<l} , B = [x\x>a\ ,且Au B= R,则实数a的取值范围是4.【答案】2x,x<l x-2,x>l&己知三个球的半径尺，R“ R 3满足尽+ 2R 2 = 3R 3,则它们的表面积S], S, , S 3, 满足的等量关系是 __________ . 8、【答案】屈+ 2屈=3屈【解析】S] = 4眉,国=2乔& ,同理：匡=2石$ 阿=2航&，即R 尸【解析】当X>1时，有y=x —2,当xVl 时有y =2*,所以，有分段函数。
5.如图，若正四棱柱ABCD — ABS 的底面连长为2,高 为4, 则异面直线BQ ；与AD 所成角的大小是 ______________ (结果用 反三角函数表示). 5. 【答案】arctan 厉【解析】因为AD 〃AiDi,异面直线BD,与AD 所成角就是BD,与A,Di 所在角，即ZAiDiB, 由勾股定理，^A I B = 2V5, tanZA,DiB= V5 ,所以，ZA,DiB= arctan^/5 o6. ___________________________________________________ 函数y-2cos 2x+sin2x 的最小值是 ______________________________________________________ 6.【答案】1 —血【解析】/(x) = cos2x + sin2x +1 = sin(2x + ^) +1,所以最小值为：1-血7.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量纟表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E 歹 _____________ (结果用最简分数表示). 47.【答案】一7【解析】f 可取 0, 1, 2,因此 P (^=0) =-^ = —, P (^=1)=C ； 21° C ； 21P （g=2） =^| C ； 121砖FX 出+ l 』+ 2x 丄- 21 21 21由尺+1R 2 =3R 3得屈+ 2屈 =3庙9•已知耳、F,是椭圆C:二+丄［=1 Ca>b >0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且a b~P耳丄PF,.若曲F\F［的面积为9,则b = _______________ .9.【答案】3I PF l\ + \PF2 \= 2a【解析】依题意，有\\PF l\»\PF2 1=18 ,可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有bJ Pt \2+\PF2|2=4C2=3ojr10.在极坐标系中，由三条直线0 = 0, & = § , Qcos& + Qsin& = 1围成图形的面积是10、【答案】上迈4【解析】化为普通方程，分别为：y=0, y=V3x, x+y=l,画出三条直线的图象如右图，可求得A (込丄，上迪)，B (1,0),三角形AOB的面2 21’ 3-V3 3_晶积为:—x 1 x = -----------2 2 411.当0<兀<1日寸，不等式sin—>Zx成立，则实数E的取值范围是211、【答案】kWl77V【解析】作出X=si右与y2=kx的图象，要使不等式JTYsin一成立，由图可知须kWl。
2009年普通高等学校招生全国统一考试试题数学(理)汇编立体几何部分1、若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11A C 到底面ABCD的距离为（ ） A ．33B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图）属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，160B AB ︒∠=，如图，11tan603BB ︒=⨯=，故选D.2、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC .又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC .∴BC ⊥平面PAC .（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴12DE BC =， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴12AD AB =，∴在Rt △ABC 中，60ABC ︒∠=，∴12BC AB =. ∴在Rt △ADE 中，2sin 24DE BC DAE AD AD ∠===， ∴AD 与平面PAC 所成的角的大小2arcsin4. （Ⅲ）∵AE//BC ，又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角，∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴90PAC ︒∠=.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时90AEP ︒∠=， 故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.【解法2】如图，以A 为原煤点建立空间直角坐标系A xyz -， 设PA a =，由已知可得()()1330,0,0,,,0,0,,0,0,0,222A B a a C a P a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）∵()10,0,,,0,02AP a BC a ⎛⎫==⎪⎝⎭， ∴0BC AP ⋅=，∴BC ⊥AP .又∵90BCA ︒∠=，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC . （Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴E 为PC 的中点，∴13131,,0,,44242D a a a E a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵13131,,,0,,44242AD a a a AE a a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴14cos 4AD AE DAE AD AE⋅∠==⋅. ∴AD 与平面PAC 所成的角的大小14arccos43、对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）. ①相对棱AB 与CD 所在的直线异面；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.4、如图，四棱椎F-ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC=2,BD= 2 .AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE=1,CF=2. (Ⅰ) 求二面角B-AF-D 的大小；(Ⅱ) 求四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 公共部分的体积。
全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种2．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．103．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，an的和B．为a1，a2，…，an的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题2．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．10【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】5J：集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z 的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，an的和B．为a1，a2，…，an的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】11：计算题．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选：B．【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选：B．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= 3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y ﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Zmax=3，Zmin=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16．（5分）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为 1830 ．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{an}的前60项和【解答】解：∵an+1+（﹣1）n an=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{an}的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．【考点】HP：正弦定理．【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）=．即可求出A的值；（2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=．∴A﹣30°=30°∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面积=，∴bc=4．①再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，∴b+c=4．②结合①②求得b=c=2．【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X 60 70 80P 0.1 0.2 0.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩O H=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）+x 令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）ex﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=ex﹣x+令g（x）=f'（x）=ex﹣1+x∴g'（x）=ex+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=ex﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=ex﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为 （AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
黄冈市2019年高三9月质量检测理科数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知函数()f x =的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则()R MC N =（ ）A ．{|1}x x <B ．{|1}x x ≥C ．φD ．{|11}x x -<< 【答案】A .考点：1、集合及其基本运算. 2.给定下列两个命题：221:,,0p a b R a ab b ∃∈--<；2p ：在三角形ABC 中，A B >，则sin sin A B >.则下列命题中的真命题为（ ）A ．1pB ．12p p ∧C ．12()p p ∨⌝D ．12()p p ⌝∧ 【答案】D .【解析】试题分析：对于221:,,0p a b R a ab b ∃∈--<，因为0)(4)(22≥---=∆b b ，所以022≥--b ab a ，即命题1p 为假命题；对于2p ：在三角形ABC 中，A B >，则sin sin A B >，因为在三角形ABC 中，大角对大边可知b a >，由正弦定理可得BbA a sin sin =，所以sin sin A B >，即命题2p 为真命题，故应选D .考点：1、命题及其关系.3.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．75 【答案】B .【解析】试题分析：设{}n a 的公差为d ，则由12315a a a ++=可得，1532=a 即52=a ，所以51=+d a ；所以1631=a a ，所以16)2(11=+d a a ，联立方程可得21=a 或81=a ，又因为其公差为正数，所以21=a ，所以3=d ，所以111213a a a ++=105)11(33112=+=d a a ，故应选B . 考点：等差数列.4.若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥ D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥ 【答案】C .考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系.5.设条件2:210p ax ax -+>的解集是实数集R ；条件:01q a <<，则条件p 是条件q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】C . 【解析】试题分析：因为条件2:210p ax ax -+>的解集是实数集R ，所以当0=a 时，显然满足条件；当0≠a 时，⎩⎨⎧<∆>00a 即10<<a ，所以条件p 是条件q 成立的充要条件，故应选C . 考点：1、充分条件；2、必要条件.6.函数()(1)ln ||f x x x =-的图象大致为（ ）【答案】A .考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、函数的图像.【思路点睛】本题主要考查了导数在研究函数的单调性中的应用和函数的图像，具有一定的综合性，属中档题.其解题的一般思路为：首先观察函数的表达式的特征如0)1(=f ，然后运用导数在研究函数的单调性和极值中的应用求出函数的单调区间，进而判断选项，最后将所选的选项进行验证得出答案即可. 其解题的关键是合理地分段求出函数的单调性.7.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．3B ．3+C ．1+D ．1+【答案】B .考点：1、三视图；2、空间几何体的体积、面积的计算. 8.函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>在3x π=处取得最小值，则（ ）A ．()3f x π+是奇函数B ．()3f x π+是偶函数 C ．()3f x π-是奇函数 D ．()3f x π-是偶函数 【答案】B .【解析】试题分析：因为函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>在3x π=处取得最小值，所以A A -=+)3sin(ϕπ，即1)3sin(-=+ϕπ，所以Z k k ∈+-=+,223ππϕπ，即Z k k ∈+-=,265ππϕ，所以()sin()(0)f x A x A ϕ=+>)65sin(π-=x A ，所以()3f x π+x A x A cos )653sin(-=-+=ππ为偶函数，所以应选B .考点：1、三角函数的图像与性质；2、函数的奇偶性.9.在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=，6AC BC ==，M 为斜边AB 的中点，N 为斜边AB 上一点，且MN =CM CN ∙的值为（ ）A ．B ．16C ．24D ．18 【答案】D .考点：1、平面向量的应用.10.设12x <<，则ln x x ，2ln ()x x，22ln x x 的大小关系是（ ）A ．222ln ln ln ()x x x x x x <<B ．222ln ln ln ()x x x x x x <<C ．222ln ln ln ()x x x x x x <<D ．222ln ln ln ()x x x x x x<< 【答案】A . 【解析】试题分析：令21,ln )(<<-=x x x x f ，则011)('>-=xx f ，所以函数21,ln )(<<-=x x x x f 为增函数，所以01)1(ln )(>=>-=f x x x f ，所以0ln >>x x ，即0ln 1>>x x ，所以x x x x ln ln 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛；又因为0ln ln 2ln ln 222>-=-x x x x x x x x ，所以222ln ln ln ()x x x x x x<<，故应选A . 考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.11..设12,F F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +∙=（O 为坐标原点）且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）A ．2B ．12 C ．3 D ．13【答案】A .考点：1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念．【方法点睛】本题考查了双曲线的定义和双曲线的简单几何性质，考查学生综合知识能力和图形识别能力，属中档题.其解题方法为：首先设出点),41(2m m P +的坐标，然后运用已知平面向量的数量积的运算即可求出参数m 的值，进而得出点P 的坐标，最后运用双曲线的第二定义即可求出2PF 的长度，进而得出1PF的长度，进而得出所求的结果.12.已知()||xf x x e =∙，又2()()()()g x f x t f x t R =+∙∈，若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围为（ ）A ．21(,)e e ++∞B ．21(,)e e +-∞-C ．21(,2)e e +--D ．21(2,)e e+【答案】B . 【解析】考点：1、函数与方程；2、函数的图像与性质；3、导数的综合应用.【思路点睛】本题主要考查了函数与方程、分段函数的应用、函数的图像与性质和导数的综合应用，考查学生综合知识能力，属中高档题.其解题的一般思路为：首先将函数)(x f 用分段函数表示出来，然后分别利用导数判断其各段的函数的单调性，进而得出其极值，再结合函数的图像即可得出方程m x f =)(的解的情况.其解题的关键是数形结合在分段函数中的应用.第Ⅱ卷（共90分）（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点(4,)A m 到其焦点的距离为174，则p 的值为 .【答案】21=p . 【解析】试题分析：由抛物线的定义可知，抛物线2:2(0)C y px p =>上一点(4,)A m 到其焦点的距离等于其到准线的距离，即17442+=p ，所以21=p .考点： 1、抛物线.14.设函数24,0()3,0x x f x x x ⎧->=⎨--<⎩，若()(1)f a f >，则实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞). 【解析】试题分析：由题意知，242)1(-=-=f ，当0>a 时，42)(-=aa f ，由()(1)f a f >可得242->-a，即1>a ；当0<a 时，3)(--=a a f ，由()(1)f a f >可得23->--a ，即1-<a ；所以实数a 的取值范围是(-∞，-1)∪(1，+∞). 考点：1、分段函数的应用.15.已知向量,a b 满足||2a =，||1b =，a 与b 的夹角为3π，则a 与2a b +的夹角为 .【答案】6π.考点：1、平面向量的数量积的应用.【易错点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的应用，属中档题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是不能正确地运用平面向量的数量积计算出其数量积，进而导致出现错误；其二不能正确运用数量积的概念求解两向量的夹角的大小，进而导致出现错误.其解题的关键是正确运用平面向量的数量积在解题中的应用.16.对于函数sin ,[0,2]()1(2),(2,)2x x f x f x x π∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列3个命题：①任取12,[0,)x x ∈+∞，都有12|()()|2f x f x -≤恒成立； ②*()2(2)()f x kf x k k N =+∈，对于一切[0,)x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--在(1,)+∞上有3个零点； 则其中所有真命题的序号是 . 【答案】①③. 【解析】试题分析：函数sin ,[0,2]()1(2),(2,)2x x f x f x x π∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图像如图所示：考点：1、分段函数；2、函数的图像及其性质.【思路点睛】本题主要考查了分段函数的应用和函数的图像及其性质，考查综合知识能力的应用，属高中档题.其解题的一般思路为：首先根据已知条件可画出函数)(x f 的图像，然后结合函数的图像得出函数)(x f 的最大值和最小值，并得出函数的零点问题，进而得出所求的结果即可.其解题的关键是正确地运用数形结合求解分段函数的问题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sin cos c C c A =-.（1）求A ；（2）若1a =，ABC ∆，求,b c . 【答案】（1）A=3π；（2）b=c=1．【解析】试题分析：（1）结合已知条件并运用正弦定理即可得出21)6sin(=-πA ，再由三角形内角和为π即可得出角A 的大小即可；（2）由三角形的面积公式S=12bcsinA 即可求出bc 的值，然后结合（1）并运用余弦定理即可得出关于b,c 的另一个等式关系，再联立方程组即可求出b,c 的值即可.试题解析：（1）由已知结合正弦定理可得﹣sinCcosA ，∵sinC ≠0，∴sinA ﹣cosA=2sin （A ﹣6π），即sin （A ﹣6π）=12， 又∵A ∈（0，π），∴A ﹣6π∈（﹣6π，56π），∴A ﹣6π=6π，∴A=3π. （2）S=12bcsinA ，即34=12bc 32，∴bc=1，①又∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b +c ）2﹣2bc ﹣2bccos 3π，即1=（b +c ）2﹣3，且b ，c 为正数，∴b +c=2，②由①②两式解得b=c=1．考点：1、三角恒等变换；2、正弦定理在解三角中的应用；3、余弦定理在解三角中的应用. 【方法点睛】本题主要考查了三角恒等变换、正弦定理在解三角中的应用和余弦定理在解三角中的应用，属中档题. 其解题方法是：首先运用正弦定理或余弦定理将已知条件进行转化，然后运用辅助角公式即可求出角A 的大小，再运用三角形的面积公式可得出关于b,c 的方程组，进而可求出答案即可. 其解题的关键是正确的运用三角恒等变换和正弦、余弦定理在实际问题中的应用.18.（本小题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”. :()2x p f x m =+为定义在[1,1]-上的“局部奇函数”； :q 方程2(51)10x m x +++=有两个不等实根；若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求m 的取值范围. 【答案】54m <-或315m -<<-或15m >.试题解析：若p 为真，则由于()2xf x m =+为[1,1]-的局部奇函数，从而()()0f x f x +-=，即2220x x m -++=在[1,1]-上有解，令12[,2]2x t =∈，则12m t t -=+，又1()g t t t=+在1[,1)2上递减，在[1,2]上递增，从而5()[2,]2g t ∈，得52[2,]2m -∈，故有514m -≤≤-. 若q 为真，则有2(51)40m ∆=+->，得35m <-或15m >. 又由“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p 与q 一真一假；若p 真q 假，则5143155m m ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，得无交集；若p 假q 真，则5141355m m m m ⎧>-<-⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或或，得54m <-或315m -<<-或15m >，综上知m 的取值范围为54m <-或315m -<<-或15m >.考点：1、命题及其关系；2、一元二次方程问题；3、指数函数问题.【方法点睛】本题主要考查了命题及其关系、一元二次方程问题和指数函数问题，考查学生综合运用知识的能力，属中档题. 其解题的一般方法为：首先运用二次函数在区间上的最值和一元二次方程根的情况分别求出命题p ，q 为真命题时所满足的m 的取值范围；然后运用补集的思想和命题间的基本关系即可求出满足题意的参数m 的取值范围. 19.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(3,3)A B ，点C 在第二象限，且ABC ∆是以BAC ∠为直角的等腰直角三角形，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域内（含边界）. （1）若0PA PB PC ++=，求||OP ；（2）设(,)OP mAB nAC m n R =+∈，求2m n +的最大值.【答案】（1）58||OP =（2）52.试题解析：（1）A （1,1），B （3,3），ABC ∆是以BAC ∠为直角的等腰直角三角形且C 在第二象限，(1,3)C ∴- ，0PA PB PC ++=，P 是ABC ∆的重心，7(1,)3P ∴，58||OP =(2) (,)OP mAB nAC m n R =+∈,(2,2),(2,2)AB AC ==-，(,)(22,22)x y m n m n =-+，3,,2444x y y x y xm n m n +--==+=，有线性规划知3y x -的最大值为10，此时1,3x y =-=2m n +的最大值为52.考点：1、平面向量的坐标运算；2、平面向量的数量积的应用；3、线性规划问题.【方法点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积的应用和线性规划问题，属中档题.（1）直接运用平面向量的坐标运算即可求出点P 的坐标，进而得出向量的长度；（2）首先设出点P 的坐标，然后结合已知可求出关于n m ,与x,y 的关系式，最后运用线性规划即可求出所求的结果.其解题的关键是正确地运用平面向量的坐标运算求解实际问题. 20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量(,)n a S n =，(97,2)b n =-，且a 与b 共线. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)mm内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m T .【答案】（1）a n ＝9n －8(n ∈N *)；（2）299110980m m ⨯+-⨯.(2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ，则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是T m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9(181)1918119m m ----- ＝299110980m m⨯+-⨯.考点：1、等差数列；2、等比数列的前n 项和. 21.（本小题满分12分） 已知函数2()28f x x x =--.（1）若对3x >，不等式()(2)15f x m x m >+--恒成立，求实数m 的取值范围； （2）记1()()42h x f x =--，那么当12k ≥时，是否存在区间[,]()m n m n <使得函数在区间[,]m n 上的值域恰好为[,]km kn ？若存在，请求出区间[,]m n ；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）(,2]-∞；（Ⅱ）当112k ≤<时，[,][0,22]m n k =-，当1k >时，[,][22,0]m n k =-，当1k =时，不存在区间.试题解析：(1) 2()28f x x x =--, 228(2)15x x m x m -->+--，即2(4)70x m x m -+++>对3x >恒成立，则①43293(4)70m m m +⎧≤⎪⎨⎪-+++≥⎩或②2(4)4(7)0m m ∆=+-+≤，解得①2m ≤或 ②62m -≤≤综合得m 的取值范围为(,2]-∞.（注：亦可分离变量2471x x m x -+<-对3x >恒成立，）（2）22111()(1)222h x x x x =-+=--+，max 1()2kn h x ≤=，,12n k ≤，又12k ≥，∴1n ≤，∴()h x 在[,]m n 上单调递增，()()h m km h n kn =⎧⎨=⎩，221212m m kmn n kn⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，m,n 是方程-12x 2+(1-k)x=0的两根，x 1=0,x 2=2-2k ∴当112k ≤<时，[,][0,22]m n k =-，当1k >时，[,][22,0]m n k =-，当1k =时，不存在区间.考点：1、二次函数的图像与性质；2、恒成立问题.【易错点睛】本题考查二次函数的图像与性质和恒成立问题，渗透着函数与方程、函数与不等式之间的转化关系，属中档题. 其解题过程中容易出现以下错误：其一是不能正确地将恒成立问题转化为一元二次方程或二次函数根的分布情况进行解题，导致无法求解；其二是不能正确地利用函数的单调性求解值域问题，导致解题错误. 22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,f x x ax x a R =+-∈.（1）若函数()f x 在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(0,]x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. （3）当(0,]x e ∈时，证明：225(1)ln 2e x x x x ->+. 【答案】（1）72a ≤-；（2）存在实数a=e 2，使得当x ∈（0，e ]时g （x ）有最小值3；（3）详见解析．试题解析：（1）2'121()20x ax f x x a x x +-=+-=≤在[1，2]上恒成立，令h （x ）=2x2+ax ﹣1，有(1)0(2)0h h ≤⎧⎨≤⎩得172a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得72a ≤-. （2）假设存在实数a ，使g （x ）=ax ﹣lnx （x ∈（0，e]）有最小值3，'11()ax g x a x x -=-=①当a≤0时，g （x ）在（0，e]上单调递减，g （x ）min=g （e ）=ae ﹣1=3，4a e =（舍去），②当10e a <<时，g （x ）在1(0,)a 上单调递减，在1(,]e a 上单调递增∴min 1()()1ln 3g x g a a ==+=，a=e2，满足条件．③当1ea≥时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，4ae=（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3．令ln5()2xxxφ=+，'21ln()xxxφ-=，当0＜x≤e时，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增∴max1515 ()()3222x eeφφ==+<+=∴2ln5ln2xe x xx->+，即225(1)ln2e x x x x->+．考点：1、导数在研究函数的单调性与极值；2、构造函数法；。
2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理工农医类）一- 选择题（每小题5分，共60分）分）（1）已知集合M={x|－3<x ≤5},N={x|－5<x<5},则M ∩N= (A) {x|－5＜x ＜5} (B) {x|－3＜x ＜5} (C) {x|－5＜x ≤5} (D) {x|－3＜x ≤5} 【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 【答案】B （2）已知复数12z i =-，那么1z= （A ）52555i + （B ）52555i - （C ）1255i + （D ）1255i - 【解析】211121212(12)(12)12i i i i i z --===++-+＝1255i -【答案】D （3）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b += （A ）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 【解析】由已知|a|＝2,|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴2a b +=23【答案】B (4) 已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++=(C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B （5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有有，则不同的组队方案共有（A ）70种 （B ） 80种 （C ） 100种 （D ）140种【解析】直接法：一男两女,有C 51C 42＝5×6＝30种,两男一女,有C 52C 41＝10×4＝40种,共计70种间接法：任意选取C 93＝84种,其中都是男医生有C 53＝10种,都是女医生有C 41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 【答案】A （6）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若，若63S S =3 ，则，则 69S S=（A ） 2 （B ）73 （C ） 83 （D ）3 【解析】设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3 Þ q 3＝2 于是63693112471123S q q S q ++++===++【答案】B (7)曲线y= 2x x -在点（1，－1）处的切线方程为）处的切线方程为（A ）y=x －2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x －3 (D)y=－2x+1 【解析】y ’＝2222(2)(2)x xx x ---=--,当x ＝1时切线斜率为k ＝－2 【答案】D (8)已知函数()f x =Acos(x w j +)的图象如图所示，2()23f p=-，则(0)f = （A ）23-(B) 23 (C)－ 12 (D) 12【解析】由图象可得最小正周期为2π3于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称对称所以f(2π3)＝－f(π2)＝23【答案】B （9）已知偶函数()f x 在区间[0,)+¥单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是取值范围是 （A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23）【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|) ∴得f(|2x －1|)＜f(13),再根据f(x)的单调性的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜23【答案】A 10）某店一个月的收入和支出总共记录了）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。
数学九年级全册试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = x² 4x + 3，则f(2)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 22. 已知等差数列{an}中，a1=3，a3=9，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 若两个角的和为90°，则这两个角互为：A. 邻补角B. 对顶角C. 同位角D. 周角4. 下列函数中，奇函数是：A. y = x²B. y = |x|C. y = x³D. y = 2x²5. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于y轴的对称点坐标是：A. (-2, 3)B. (-2, -3)C. (2, 3)D. (3, -2)二、判断题（每题1分，共5分）1. 若|a|=|b|，则a和b相等。
（）2. 两条平行线的同位角相等。
（）3. 任何二次函数都有两个零点。
（）4. 在三角形中，若两边之和等于第三边，则该三角形为直角三角形。
（）5. 对数函数的定义域为实数集R。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若a³ = 27，则a = ________。
2. 函数y = 2x + 1的图像是一条_________。
3. 在直角坐标系中，点(3, 4)到原点的距离是_________。
4. 若sinθ = 1/2，且θ为锐角，则θ的度数为_________°。
5. 二项式展开式(a + b)⁴的项数为_________。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 解释等差数列和等比数列的定义。
2. 简述平行线的性质。
3. 描述二次函数图像的特征。
4. 解释直角三角形的勾股定理。
5. 什么是对数函数？给出一个对数函数的例子。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x) = 2x 5，求f(3)的值。
2. 若等差数列{an}中，a1=2，d=3，求a5的值。
3. 计算sin45°的值。
314 (1995~1999)一九九五年（理科）一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知I 为全集，集合M ，N ⊂I ，若M ⋂N=N ，则 （ C ） （A ）N M ⊇ （B ）N M ⊆ （C ）N M ⊆ （D ）N M ⊇ （2）函数11+-=x y 的图象是 （ B ） （3）函数)43cos(3)43sin(4π++π+=x x y 的最小正周期是 （ C ） （A ）π6 （B ）π2 （C ）32π （D ）3π （4）正方体的全面积是2a ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 （ B ）315（A ）32a π （B ）22a π （C ）22a π （D ）23a π（5）若图中的直线321,,l l l 的斜率分别为321,,k k k ，则 （ D ）（A ）321k k k << （B ）213k k k << （C ）123k k k <<（D ）231k k k << （6）在103)1)(1(x x +-的展开式中，5x 的系数是 （ D ）（A ）-297 （B ）-252 （C ）297 （D ）207（7）使x x arccos arcsin >成立的x 的取值范围是 （ B ）（A ）]22,0( （B ）]1,22( （C ）)22,1[- （D ）)0,1[- （8）双曲线3322=-y x 的渐近线方程是 （ C ）（A ）x y 3±= （B ）x y 31±= （C ）x y 3±= （D ）x y 33±= （9）已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=θ+θ，那么θ2sin 等于（A ）322 （B ）322- （C ）32 （D ）32-（ A ）（10）已知直线α⊥平面l ，直线β⊂平面m .有下面四个命题：（ D ）①;//m l ⊥⇒βα ②;//m l ⇒β⊥α③;//β⊥α⇒m l ④.//βα⇒⊥m l 其中正确的两个命题是（A ）①与② （B ）③与④ （C ）②与④ （D ）①与③ （11）已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ B ） （A ）（0，1） （B ）（1，2） （C ）（0，2） （D ）[2，+∞） （12）等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n S 与n T ，若,132+=n nT S n n nnn b a ∞→lim则等于 （ C ）x316 （A ）1 （B ）36 （C ）32 （D ）94 （13）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 （ A ） （A ）24个 （B ）30个 （C ）40个 （D ）60个 （14）在极坐标系中，椭圆的两焦点分别在极点和（2c ，0），离心率为e,则它的极坐标方程是 （ D ）（A ）θ--=ρcos 1)1(e e c （B ）θ--=ρcos 1)1(2e e c（C ）)cos 1()1(θ--=ρe e e c （D ）)cos 1()1(2θ--=ρe e e c（15）如图，A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1 的中点。
