2018届一轮复习人教A版 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 学案

一、知识梳理１．二元一次不等式（组）表示的平面区域不等式（组）表示区域Ax＋By＋C>0（<0）直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0（≤0）包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分２．二元一次不等式（组）的解集满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成的有序数对（x，y），叫做二元一次不等式（组）的解，所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集．３．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式（组）线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式（组）目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋２y线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题常用结论１．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有（１）当B（Ax＋By＋C）>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；（２）当B（Ax＋By＋C）<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．２．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．二、习题改编（必修５P9１练习T１改编）若x，y满足错误!则y—x的最小值为，最大值为．答案：—３１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．（）（２）线性目标函数的最优解可能是不唯一的．（）（３）线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．（）（４）在目标函数z＝ax＋by（b≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by—z＝0在y轴上的截距．（）答案：（１）×（２）√（３）√（４）×二、易错纠偏错误!（１）不明确目标函数的最值与等值线截距的关系；（２）不理解目标函数的几何意义；（３）平面区域内点满足关系不理解．１．点（—２，t）在直线２x—３y＋6＝0的上方，则t的取值范围是．解析：因为直线２x—３y＋6＝0的上方区域可以用不等式２x—３y＋6＜0表示，所以由点（—２，t）在直线２x—３y＋6＝0的上方得—４—３t＋6＜0，解得t＞错误!.答案：错误!２．设x，y满足约束条件错误!则z＝x＋y的最大值与最小值的比值为．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z＝x＋y可化为y＝—x＋z，当直线y＝—x＋z经过A点时，z最大，联立错误!得错误!故A（２，５），此时z＝7；当直线y＝—x＋z经过B点时，z最小，联立错误!得错误!故B错误!，此时z＝—错误!，故最大值与最小值的比值为—２．答案：—２３．已知x，y满足条件错误!则z＝错误!的最大值为．解析：作出可行域如图，问题转化区域上哪一点与点M（—３，１）连线斜率最大，观察知点A错误!，使k MA最大，z max＝k MA＝错误!＝３．答案：３二元一次不等式（组）表示的平面区域（典例迁移）（１）不等式组错误!所表示的平面区域的面积等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）设不等式组错误!表示的平面区域为M，若直线y＝kx—２上存在M内的点，则实数k的取值范围是（）Ａ．[１，３] Ｂ．（—∞，１]∪[３，＋∞）Ｃ．[２，５] Ｄ．（—∞，２]∪[５，＋∞）【解析】（１）由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A错误!，B（１，１），C（0，４），则△ABC的面积为错误!×１×错误!＝错误!.故选Ｃ．（２）作出不等式组错误!表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为直线l：y＝kx—２的图象过定点A（0，—２），且斜率为k，由图知，当直线l过点B（１，３）时，k取最大值错误!＝５，当直线l过点C（２，２）时，k取最小值错误!＝２，故实数k的取值范围是[２，５]．【答案】（１）C （２）C【迁移探究】（变问法）本例（２）中条件不变，求平面区域M的面积，结果如何？解：可知平面区域M为等腰直角三角形，可求出B（１，３）和C（２，２），所以|BC|＝错误!，所以S＝错误!×错误!×错误!＝１．错误!二元一次不等式（组）表示的平面区域的确定方法（１）确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式（组）．若满足不等式（组），则不等式（组）表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．（２）当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．１．不等式（x—２y＋１）（x＋y—３）≤0在直角坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示）大致是（）解析：选Ｃ．（x—２y＋１）（x＋y—３）≤0，即错误!或错误!与选项C符合．故选Ｃ．２．若不等式组错误!所表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）Ａ．a≥错误!Ｂ．0<a≤１C．１≤a≤错误!Ｄ．0<a≤１或a≥错误!解析：选Ｄ．不等式组错误!所表示的平面区域如图所示（阴影部分）．由错误!得A错误!；由错误!得B（１，0）．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y＝a中的a的取值范围是0<a≤１或a≥错误!.求线性目标函数的最值（范围）（多维探究）角度一求线性目标函数的最值（范围）（２0１9·高考全国卷Ⅱ）若变量x，y满足约束条件错误!则z＝３x—y的最大值是．【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线３x—y＝0，并平移，当直线经过点（３，0）时，直线在y轴上的截距最小，此时z＝３x—y取得最大值，且z max＝9．【答案】9错误!（１）求目标函数的最值形如z＝ax＋by（b≠0）的目标函数，可变形为斜截式y＝—错误!x＋错误!（b≠0）．１若b>0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；２若b<0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大．（２）求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：１将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；２将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．角度二求非线性目标函数的最值（范围）实数x，y满足错误!（１）若z＝错误!，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；（２）若z＝x２＋y２，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．【解】由错误!作出可行域，如图中阴影部分所示．（１）z＝错误!表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此错误!的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率（直线OA的斜率不存在，即z max不存在）．由错误!得B（１，２），所以k OB＝错误!＝２，即z min＝２，所以z的取值范围是[２，＋∞）．（２）z＝x２＋y２表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x２＋y２的最小值为OA２，最大值为OB２.由错误!得A（0，１），所以OA２＝（错误!）２＝１，OB２＝（错误!）２＝５，所以z的取值范围是[１，５]．【迁移探究１】（变问法）本例条件不变，求目标函数z＝错误!的取值范围．解：z＝错误!可以看作过点P（１，１）及（x，y）两点的直线的斜率．所以z的取值范围是（—∞，0]．【迁移探究２】（变问法）本例条件不变，求目标函数z＝x２＋y２—２x—２y＋３的最值．解：z＝x２＋y２—２x—２y＋３＝（x—１）２＋（y—１）２＋１，而（x—１）２＋（y—１）２表示点P（１，１）与Q（x，y）的距离的平方PQ２，PQ错误!＝（0—１）２＋（２—１）２＝２，PQ错误!＝错误!错误!＝错误!，所以z max＝２＋１＝３，z min＝错误!＋１＝错误!.错误!常见两类非线性目标函数的几何意义（１）错误!表示点（x，y）与原点（0，0）间的距离，错误!表示点（x，y）与点（a，b）间的距离；（２）错误!表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，错误!表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．角度三求参数值或取值范围（２0２0·陕西咸阳模拟检测（一））若实数x，y满足错误!若z＝ax—y（a∈R）的最小值是—１，则a的取值范围是．【解析】画出可行域如图所示（阴影部分），目标函数对应的直线为y＝ax—z，当截距—z最大时，目标函数z取得最小值，因为z＝ax—y（a∈R）的最小值是—１，所以在A（0，１）处取得最小值．由图象可知，直线y＝ax—z的斜率a≤２，因为当a>２时，目标函数在B点取得最小值，所以a的取值范围是（—∞，２]．【答案】（—∞，２]错误!求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．１．（２0１9·高考天津卷）设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝—４x＋y的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．５Ｄ．6解析：选Ｃ．法一：作出可行域如图中阴影部分所示．由z＝—４x＋y得y＝４x＋z，结合图形可知当直线y＝４x＋z过点A时，z最大，由错误!得A（—１，１），故z max＝—４×（—１）＋１＝５．故选Ｃ．法二：易知目标函数z＝—４x＋y的最大值在可行域的顶点处取得，可行域的四个顶点分别是（—１，１），（0，２），（—１，—１），（３，—１）．当直线y＝４x＋z经过点（—１，１）时，z＝５；当直线y＝４x＋z经过点（0，２）时，z＝２；当直线y＝４x＋z经过点（—１，—１）时，z＝３；当直线y ＝４x＋z经过点（３，—１）时，z＝—１３．所以z max＝５，故选Ｃ．２．（２0２0·福州市质量检测）已知点A（0，２），动点P（x，y）的坐标满足条件错误!，则|PA|的最小值是．解析：可行域为如图所示的阴影部分，|PA|表示可行域上的点到点A（0，２）的距离，所以|PA|的最小值转化成点A到直线y＝x的距离，所以|PA|min＝错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0２0·安徽五校联盟第二次质检）若x，y满足约束条件错误!目标函数z＝２x＋３y的最小值为２，则a＝．解析：作出不等式组错误!表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线２x＋３y＝0，平移直线２x＋３y＝0，显然过A（a，１—a）时，z＝２x＋３y取得最小值，则２a＋３（１—a）＝２，a＝１．答案：１线性规划的实际应用问题（师生共研）（２0２0·武汉市部分学校调研）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品１桶需耗A 原料２千克，B原料３千克；生产乙产品１桶需耗A原料２千克，B原料１千克，每桶甲产品的利润是３00元，每桶乙产品的利润是４00元，公司在每天消耗A，B原料都不超过１２千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为（）Ａ．１800元Ｂ．２１00元Ｃ．２４00元Ｄ．２700元【解析】设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元．根据题意，有错误!z＝３00x ＋４00y.作出错误!所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线３x＋４y＝0并平移，当直线经过点A（0，6）时，z有最大值，z max＝４00×6＝２４00，故选Ｃ．【答案】C错误!解线性规划应用题的步骤（１）转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；（２）求解——解这个纯数学的线性规划问题；求解过程：１作图——画出约束条件所确定的平面区域和线性目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；２转化平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；３求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．（３）作答——就应用题的提问作出回答．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为３6人和60人，租金分别为１600元/辆和２４00元/辆，旅行社要求租车总数不超过２１辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为（）Ａ．３１２00元Ｂ．３6 000元Ｃ．３6 800元Ｄ．３8 ４00元解析：选Ｃ．设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝１600x＋２４00y，则约束条件为错误!作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点（５，１２）时，有最小值z min＝３6 800（元）．[基础题组练]１．不等式组错误!表示的平面区域是（）解析：选Ｃ．用特殊点代入，比如（0，0），容易判断为Ｃ．２．设集合A＝{（x，y）|x—y≥１，ax＋y>４，x—ay≤２}，则（）Ａ．对任意实数a，（２，１）∈AＢ．对任意实数a，（２，１）∉AＣ．当且仅当a<0时，（２，１）∉AＤ．当且仅当a≤错误!时，（２，１）∉A解析：选Ｄ．若（２，１）∈A，则错误!解得a>错误!，所以当且仅当a≤错误!时，（２，１）∉A，故选Ｄ．３．（２0１9·高考北京卷）若x，y满足|x|≤１—y，且y≥—１，则３x＋y的最大值为（）Ａ．—7 Ｂ．１Ｃ．５Ｄ．7解析：选Ｃ．令z＝３x＋y，画出约束条件错误!即错误!或错误!表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y＝—３x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C（２，—１）时，z＝３x＋y取得最大值，z max＝３×２—１＝５．故选C.４．（２0２0·郑州市第二次质量预测）设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝错误!错误!的最大值为（）Ａ．错误!错误!Ｂ．错误!错误!Ｃ．３Ｄ．４解析：选Ｃ．可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝错误!错误!，设u＝３x＋y，欲求z＝错误!错误!的最大值，等价于求u＝３x＋y的最小值．u＝３x＋y可化为y＝—３x＋u，该直线的纵截距为u，作出直线y＝—３x，并平移，当直线y＝—３x＋u经过点B（—１，２）时，纵截距u取得最小值u min ＝３×（—１）＋２＝—１，所以z＝错误!错误!的最大值z max＝错误!错误!＝３．故选Ｃ．５．（２0２0·洛阳市统考）如果点P（x，y）满足错误!点Q在曲线x２＋（y＋２）２＝１上，则|PQ|的取值范围是（）Ａ．[错误!—１，错误!—１] Ｂ．[错误!—１，错误!＋１]Ｃ．[错误!—１，５] Ｄ．[错误!—１，５]解析：选Ｄ．作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域（如图中阴影部分所示），因为点Q所在圆的圆心为M（0，—２），所以|PM|取得最小值的最优解为（—１，0），取得最大值的最优解为（0，２），所以|PM|的最小值为错误!，最大值为４，又圆M的半径为１，所以|PQ|的取值范围是[错误!—１，５]，故选Ｄ．6．（２0２0·安徽省考试试题）设x，y满足约束条件错误!则z＝２x—y的最小值为．解析：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线２x—y＝0，平移该直线，由图可知当直线经过点A时，目标函数z＝２x—y取得最小值．由错误!，得错误!，即A（３，４），所以z min＝２×３—４＝２．法二：易知目标函数z＝２x—y的最小值在可行域的顶点处取得，由错误!得错误!，由错误!得错误!，由错误!得错误!，所以可行域的顶点坐标分别为（３，４），（２，１），（５，２），代入目标函数得对应的z的值为２，３，8，所以z的最小值为２．答案：２7．（２0２0·郑州市第二次质量预测）设实数x，y满足错误!，则z＝错误!的取值范围为．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝错误!表示平面区域内的点与坐标原点O的连线的斜率．由错误!，得错误!，即A（—１，３）．由错误!，得错误!，即B错误!.所以z max＝k OB＝错误!＝—错误!，z min＝k OA＝错误!＝—３，所以z＝错误!的取值范围为错误!.答案：错误!8．已知x，y满足错误!，记点（x，y）对应的平面区域为P.（１）设z＝错误!，求z的取值范围；（２）过点（—５，１）的一束光线，射到x轴被反射后经过区域P，当反射光线所在直线l经过区域P内的整点（即横纵坐标均是整数的点）时，求直线l的方程．解：平面区域如图中阴影部分所示，易得A，B，C三点的坐标分别为A（—４，３），B（—３，0），C（—１，0）．（１）由z＝错误!知z的值即是定点P（—３，—１）与区域内的点Q（x，y）连接的直线的斜率，当直线过A（—４，３）时，z＝—４；当直线过C（—１，0）时，z＝错误!.故z的取值范围是（—∞，—４）∪错误!.（２）过点（—５，１）的光线被x轴反射后的光线所在直线必经过点（—５，—１），由题设可得区域内坐标为整数点仅有点（—３，１），故直线l的方程是错误!＝错误!，即x—y＋４＝0．[综合题组练]１．（２0２0·新疆第一次适应性检测）若点M（x，y）满足错误!则x＋y的取值集合是（）Ａ．[１，２＋错误!] Ｂ．[１，３]Ｃ．[２＋错误!，４] Ｄ．[１，４]解析：选Ａ．x２＋y２—２x—２y＋１＝（x—１）２＋（y—１）２＝１，根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，令z＝x＋y，则y＝—x＋z，根据图象得到当直线过点（１，0）时目标函数取得最小值，为１，当直线和半圆相切时，取得最大值，根据点到直线的距离等于半径得到错误!＝１⇒z＝２±错误!，易知２—错误!不符合题意，故z＝２＋错误!，所以x＋y的取值范围为[１，２＋错误!]．故选Ａ．２．（应用型）（２0２0·浙江杭州模拟）若存在实数x，y，m使不等式组错误!与不等式x—２y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是（）Ａ．m≥0 Ｂ．m≤３Ｃ．m≥１Ｄ．m≥３解析：选Ｂ．作出不等式组错误!表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A（４，２），B（１，１），C（３，３）．设z＝x—２y，将直线l：z＝x—２y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得z max ＝４—２×２＝0，当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得z min＝３—２×３＝—３，因此z＝x—２y的取值范围为[—３，0]．因为存在实数m，使不等式x—２y＋m≤0成立，即存在实数m，使x—２y≤—m成立，所以—m大于或等于z的最小值，即—３≤—m，解得m≤３，故选Ｂ．３．（２0２0·安徽合肥一模）某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为２千元/件、１千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备２小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备３小时，B设备１小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为４80小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为千克．解析：设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润z千元，则错误!z＝２x＋y，作出错误!表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线２x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝２x＋y经过直线２x＋３y＝４80与直线6x＋y＝960的交点（１５0，60）（满足x∈N，y∈N）时，z取得最大值，为３60．答案：３60４．（综合型）实数x，y满足不等式组错误!则z＝|x＋２y—４|的最大值为．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋２y—４|＝错误!·错误!，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋２y—４＝0的距离的错误!倍．由错误!得点B坐标为（7，9），显然点B到直线x＋２y—４＝0的距离最大，此时z max＝２１．答案：２１。

第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题选题明细表知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域1,4,9含参数的线性规划3,5,6,7,10,12目标函数的最值2,8,13,14,15线性规划的实际应用11基础对点练(时间:30分钟)1.不等式组所表示的平面区域是( D )解析:画出直线x=2,在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身);再画出直线x-y=0,取直线的右侧部分(包含直线本身),两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.(2016·某某卷)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( C )(A)4 (B)9(C)10 (D)12解析: 作出不等式组表示的可行域如图所示,由x2+y2表示可行域内的点(x,y)到原点的距离平方可知,点A(3,-1)满足条件,即x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.3.(2016·某某模拟)已知函数f(x)=log a x(a>1)的图象经过区域则a的取值X 围是( C )(A)(1,] (B)(,+∞)(C)[,+∞) (D)(2,+∞)解析: 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.联系函数f(x)=log a x(a>1)的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点A(3,3)时,a可以取到最小值,而显然只要a大于,函数f(x)=log a x(a>1)的图象必然经过区域内的点.则a的取值X围是[,+∞).故选C.4.(2015·某某校级三模)若A为不等式组表示的平面区域,则a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( D )(A)9(B)3(C)(D)解析: 如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1.知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形,△OEC是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积S=S△ACD-S△OEC=×3×-×1×1=.5.(2014·某某卷)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( D )(A)或-1 (B)2或(C)2或1 (D)2或-1解析:线性约束条件对应的可行域如图所示:目标函数z=y-ax化为y=ax+z,当a>0时,要使其取得最大值的最优解不唯一,需动直线y=ax+z与2x-y+2=0平行或重合,此时a=2;同理当a<0时,需动直线y=ax+z与x+y-2=0平行或重合,此时a=-1,故选D.6.(2016·某某章丘期末)若实数x,y满足不等式组且x+y的最大值为9,则实数m等于( C )(A)-2 (B)-1(C)1 (D)2解析: x-my+1=0恒过点(-1,0),旋转直线x-my+1=0可知可行域只可能是△ABC,且x+y的最大值只在点C处取得,联立方程组得C(,)(若m=,则与2x-y-3=0平行,不可能),(x+y)max=+=9,解得m=1.故选C.7.(2016·某某某某名校联考)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( A )(A)(B)(C)1 (D)2解析: 根据约束条件画出可行域,如图,由图可知当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由解得所以z min=2×1-2a=1,解得a=.故选A.8.导学号 18702285已知x,y满足则的取值X围是( C )(A)[0,] (B)[2,] (C)[1,] (D)[0,]解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为==1+,表示区域内的点与(4,2)连线的斜率.斜率最小值为0,点(-3,-4)与M(4,2)连线斜率最大为=.所以的取值X围为[1,].故选C.9.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m=.解析:由题意可得解得m=-3.答案:-310.(2016·某某模拟)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的取值X围是.解析: 由题意,由可求得交点坐标为(1,2),要使直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则点(1,2)在可行域内,如图所示,可得m≤1.答案:(-∞,1]11.导学号 18702284某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示:产品限额资源甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t) 9 4 360电(kW·h) 4 5 200劳力(个) 3 10 300利润(万元) 6 12问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大?解:设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨,获得利润z万元.依题意可得约束条件利润目标函数z=6x+12y.如图,作出可行域,作直线l:6x+12y=0,把直线l向右上方平移至l1位置,直线经过可行域上的点M时z=6x+12y取最大值.解方程组得M(20,24).所以生产甲种产品20 t,乙种产品24 t,才能使此工厂获得最大利润.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016·某某八校联考)已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值X围是( C )(A)(-6,-2) (B)(-3,2)(C)(-,-2)(D)(-,-3)解析: 作出可行域,如图所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,所以a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,则⇒-<k<-2,故选C.13.导学号 18702286如果实数a,b满足条件:则的最大值是.解析: 根据约束条件画出可行域,如图,表示可行域内的点与原点(0,0)连线的斜率,设z的几何意义表示可行域内点P与原点O(0,0)连线的斜率,易知当直线OP过点B(,)时,取最大值,最大值为3,直线OP过点A(1,1)时,取最小值,最小值为1,所以∈[1,3].所以===2-因为∈[1,3].所以的最大值为.答案:14.(2014·某某卷)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值X 围是.解析:可行域如图所示,则A(1,0),B(2,1),C(1,),设z=ax+y,即得1≤a≤.答案:[1,]15.导学号 18702287变量x,y满足(1)假设z1=4x-3y,求z1的最大值;(2)设z2=,求z2的最小值;(3)设z3=x2+y2,求z3的取值X围.解: 作出可行域如图中阴影部分,联立易得A(1,),B(1,1),C(5,2).(1)z1=4x-3y⇔y=x-,易知平移y=x至过点C时,z1最大,且最大值为4×5-3×2=14.(2)z2=表示可行域内的点与原点连线的斜率大小,显然直线OC斜率最小.故z2的最小值为.(3)z3=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,而2=OB2<OA2<OC2=29.故z3∈[2,29].好题天天练1.(2015·某某卷)设实数x,y满足则xy的最大值为( A )(A)(B)(C)12 (D)16解题关键:判断xy取得最大值的点,并分类讨论确定最大值.解析: 先画出可行域,再将xy转化为矩形面积S,求S的最大值.表示的可行域如图中阴影部分所示.令S=xy,不妨设在点M(x0,y0)处S取得最大值,且由图象知点M(x0,y0)只可能在线段AD,AB,BC上.①当M(x0,y0)在线段AD上时,x0∈[-2,0],此时S=xy≤0;②当M(x0,y0)在线段AB上时,x0∈[0,2],S=xy=x·=x(7-)=-+7x=-(x-7)2+,当x0=2时,wordS max=-(2-7)2+=-+=12;③当M(x0,y 0)在线段BC上时,x 0∈[2,4],S=xy=x·(10-2x)=-2x2+10x=-2(x-)2+,当x0=时,S max =.综上所述,xy的最大值为.2.导学号 18702288设实数x,y满足则z=-的取值X围是.解析: 由于表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)的连线的斜率,如图,求出可行域的顶点坐标A(3,1),B(1,2),C(4,2),则k OA=,k OB=2,k OC=,可见∈[,2],令=t,则z=t-在[,2]上单调递增,所以z∈[-,].答案:[-,]11 / 11。

高三一轮复习 6.3二元一次不等式(组)与简单的线性【教学目标】1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 【重点难点】1.教学重点掌握常见的二元线性规划问题.2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力； 【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法 【教学过程】教学流程 教师活动 学生活动设计意图考纲传真1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 真题再现;1．(2015·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为()A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 画出可行域如图中阴影部分所示．由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，平移直线2x －y ＝0，当直线过A 点时，z取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y －x ＝1，得。

学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。

通过对考纲的解读和分析。

让学生明确考试要求，做到有的放矢⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴A (0,1)．∴当x ＝0，y ＝1时，z min ＝2×0－1＝－1，故选A.【答案】 A2．(2015·山东高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥1，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．【解析】 根据约束条件画出可行域如图所示，平移直线y ＝－13x ，当直线y ＝－13x ＋z3过点A 时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝1，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，代入可得z ＝1＋3×2＝7.【答案】 73.(2015·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________． 【解析】∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，将直线y ＝－2x 向上平移，经过点B 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题材拓展1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线Ax ＋By ＋C ＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．(2)若点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧(或异侧)，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号(或异号)．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点．当C ＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．3．补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法先证一个结论已知点P (x 1，y 1)不在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (B ≠0)上，证明： (1)P 在l 上方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )>0； (2)P 在l 下方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 证明 (1)∵B ≠0，∴直线方程化为y ＝－A B x －CB，∵P (x 1，y 1)在直线上方，∴对同一个横坐标x 1，直线上点的纵坐标小于y 1，即y 1>－A B x 1－CB.(*)∵B 2>0，∴两端乘以B 2，(*)等价于B 2y 1>(－Ax 1－C )B ， 即B (Ax 1＋By 1＋C )>0.(2)同理，由点P 在l 下方，可得y 1<－A B x 1－CB，从而得B 2y 1<(－Ax 1－C )B ，移项整理为B (Ax 1＋By 1＋C )<0. ∵上述解答过程可逆，∴P 在l 上方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )>0， P 在l 下方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 从而得出下列结论：(1)B >0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的平面区域(不包括直线)．(2)B <0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)．(3)B ＝0且A >0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)．(4)B ＝0且A <0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)．法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 解析答案 B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，根据代数式Ax ＋By ＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2 如图所示，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0,3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0， 则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z ＝y －bx －a，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率．若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方． 例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P (x ，y )满足点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由得(－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案 B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p ＝15x ＋20y .其中x ，y 满足限制条件{ 4x ＋8y ≤x ＋y ≤x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N *. 即点(x ，y )的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x ＋8y ＝8 000(即AB )，2x ＋y ＝1 300(即BC )，x ＝0(即OA )和y ＝0(即OC )．对于某一个确定的p ＝p 0满足p 0＝15x ＋20y ，且点(x ，y )属于阴影部分的解x ，y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案．对于不同的p ，p ＝15x ＋20y 表示一组斜率为－34的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p 的最大值，需把直线p ＝15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值．由{ 4x ＋8y ＝8 00x ＋y ＝1 300，得B (200,900)， 当x ＝200，y ＝900时，p 取最大值， 即p max ＝15×200＋20×900＝21 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．区突破1．忽略截距与目标函数值的关系而致错 例1 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值．[错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错．[正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.2．最优整数解判断不准而致错 例2 设变量x ，y 满足条件求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝⎛⎭⎫95，2310时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B (2,1)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B (2，1)也是可行域内的整点，由此得S B ＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故S max ＝14.温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.题多解例 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种B．6种C．7种D．8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒．则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．答案 C题赏析1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14 B．16C．17 D．19解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.答案 B2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－x－y≤2，目标函数z ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2. 答案 B赏析 本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．。

第六章§3：二元一次不等式（组）与简单的线性规划(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间50钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数f(x)＝x 2－5x ＋4，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－f (y )≥01≤x ≤4表示的平面区域为2．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥－1x －2y ≤2，则z ＝x ＋yA ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值 3．设x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0x ＋y －1≥0，则实数对(x ，y)表示的区域在直线y ＝4的下侧部分的面积是A ．4B ．8C ．92D ．94．已知平面区域D 由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点(x ，y)可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m 等于 A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 5．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0x －y ＋8≥02x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a>0，且a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是 A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是______． 7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2y ≤2x ＋y ≥2，则目标函数z ＝yx ＋1的最大值是________．8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D ，若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 内，则圆O 的面积的最大值是______．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．10．（本小题满分18分）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大？最大收益是多少？参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 1．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－f (y )≥01≤x ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y －5≥01≤x ≤4，或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0x ＋y －5≤01≤x ≤4，故其对应平面区域应为图C. 答案：C2．解析：由图象可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值z min ＝2，无最大值．答案：B 3．解析：如图所示，三角形为等腰直角三角形，且腰长为3，面积为92.答案：C4．解析：由目标函数z ＝x ＋my 得y ＝－1m x ＋zm.当m>0时，－1m <0，1m >0，可得－1m ＝k AC ＝3－11－3＝－1，∴m ＝1时有无穷多个点(x ，y)可使z ＝x ＋my 取得最小值．当m<0时，－1m >0，1m <0，则z ＝x ＋my 在点A 处取得最小值不合题意．∴m ＝1时符合题意．故选C 项．答案：C 5．解析：画出可行域如图由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0x ＋2y －19＝0， 得交点A(1,9)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －14＝0x ＋2y －19＝0，得交点B(3,8)，当y ＝a x 的图象过点A(1,9)时，a ＝9， 当y ＝a x 的图象过点B(3,8)时，a ＝2. ∴2≤a ≤9.故选C 项． 答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤1，表示的可行域如图所示，则y ＝x －z 表示的直线过点A(1,0)时，z ＝x －y 取最大值，且z max ＝1.答案：1 7．解析：根据约束条件作出可行域如图所示．目标函数z ＝yx ＋1＝y －0x ＋1可以看做定点(－1,0)与可行域内的点(x ，y)连线斜率的最大值．可知当目标函数线过点A(0,2)时有最大值，即z max ＝2－00＋1＝2. 答案：28．解析：画出可行域如图：⊙O 的所有点都在△ABC 内，圆心O 到直线BC 的距离 d ＝|－2|5＝25为⊙O 半径的最大值，∴圆O 面积的最大值为S max ＝π(25)2＝45π.答案：45π 三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值．结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.10.（本小题满分18分）解：设搭载产品A x 件，产品B y 件，预计总收益z ＝80x ＋60y. 则⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤30010x ＋5y ≤110x ∈N ，y ∈N，作出可行域，如图：作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝302x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝4，即M(9,4)．所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)． 所以搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元．。