2019年中考数学(宜宾专版)总复习知识梳理第4章图形的初步认识与三角形第12讲相交线与平行线精讲练习

第十五讲 等腰三角形与直角三角形,考标完全解读),感受宜宾中考)1．(宜宾中考)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D.请你再添加一个条件，就可以确定△ABC 是等腰三角形．你添加的条件是__答案不唯一，如BD ＝CD__．2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D )A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点3．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，BE ⊥AD ，BE 交AD 的延长线于点E ，点F 在AB 上，且EF∥AC.求证：点F 是AB 的中点． 证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAE ＝∠CAE.∵EF ∥AC ，∴∠AEF ＝∠CAE ， ∴∠AEF ＝∠BAE，∴AF ＝EF.又∵BE⊥AD，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠BEF＋∠AEF＝90°，又∠AEF＝∠BAE，∴∠ABE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴AF＝BF，∴点F为AB中点．,核心知识梳理)等腰三角形的性质和判定1．性质：(1)等腰三角形两腰__相等__(定义)．(2)等腰三角形两角底角__相等__(等边对等角)．(3)等腰三角形底边上的中线，底边上的高和顶角的平分线__互相重合__(简称“三线合一”)．2．判定：(1)有__两边相等__的三角形是等腰三角形．(2)有__两角相等__的三角形是等腰三角形．等边三角形的性质和判定3．等边三角形的性质：(具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊).(1)等边三角形的内角都__相等__，且为__60__°.(2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线__互相重合__(简称“三线合一”)．(3)等边三角形是__轴对称__图形，它有__三__条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线．4．等边三角形的判定：(首先考虑判断三角形是等腰三角形)(1)__三边__相等的三角形是等边三角形(定义)．(2)三个内角都__相等__的三角形是等边三角形.(3)有一个角是60°的__等腰__三角形是等边三角形．直角三角形的性质和判定5．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角__互余__．(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的__一半__．(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．(4)直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2.6．直角三角形的判定判定1：有一个角为__90°__的三角形是直角三角形．判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的__一半__，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．判定3：若__a 2＋b 2＝c 2__，则以a ，b ，c 为边的三角形，是以c 为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)．线段垂直平分线的定理及逆定理7．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离__相等__．【温馨提示】它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程．8．线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离__相等__的点在这条线段的垂直平分线上． 【温馨提示】(1)关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；(2)要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可．,重点难点解析)等腰三角形的应用【例1】阅读理解：如图①，在△ABC 的边AB 上取一点P ，连接CP ，可以把△ABC 分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们就称点P 是△ABC 的边AB 上的和谐点．解决问题：(1)如图②，△ABC 中，∠ACB ＝90°，试找出边AB 上的和谐点P ，并说明理由；(2)已知∠A＝40°，△ABC 的顶点B 在射线l 上(图③)，点P 是边AB 上的和谐点，请在图③中画出所有符合条件的B 点，并写出相应的∠B 的度数．【解析】(1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，找出和谐点为斜边的中点；(2)由∠A 为等腰三角形的顶角和底角分类讨论得出符合条件的点B 有3个．【答案】解：(1)AB 边上的和谐点为AB 的中点．理由如下： ∵P 是AB 的中点，∴PC ＝12AB ＝PA ＝PB ，∴△ACP 和△BCP 是等腰三角形；(2)①当∠A＝∠ACP＝40°时，则∠CPB＝40°＋40°＝80°.如答图①.若CP ＝CB 1，则∠CPB 1＝∠CB 1P ＝80°. 若B 2P ＝B 2C ，则∠B 2PC ＝∠B 2CP ＝80°， ∴∠CB 2P ＝180°－80°－80°＝20°.若PC ＝B 3P ，则∠PB 3C ＝∠PB 3C ＝180°－80°2＝50°；②当∠A＝∠APC＝40°时，如答图②，∵∠CPB 4＝180°－∠APC＝180°－40°＝140°， ∴∠CB 4P ＝180°－140°2＝20°；③当∠ACP＝∠APC＝70°时，如答图③，∵∠CPB 5＝180°－∠APC＝180°－70°＝110°， ∴∠CB 5P ＝180°－110°2＝35°.综上所述，符合条件的∠CBP 的度数为35°，50°，80°，20°. 【针对训练】 1．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形，菱形都是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：如图，等腰Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°.若点C 为平面上一点，AC 为凸四边形ABCD 的和谐线，且AB ＝BC ，请画出图形并求出∠ABC 的度数．解：∵AC 是四边形A BCD 的和谐线， ∴△ACD 是等腰三角形，在等腰Rt △ABD 中， ∵AB ＝AD ，∴AB ＝AD ＝BC ， 如图①，当AD ＝AC 时， ∴AB ＝AC ＝BC ，∠ACD ＝∠ADC， ∴△ABC 是正三角形， ∴∠ABC ＝60°.如图②，当AD ＝CD 时， ∴AB ＝AD ＝BC ＝CD. ∵∠BAD ＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝90°；如图③，当AC ＝CD 时，过点C 作CE⊥AD 于E ，过点B 作BF⊥CE 于F. ∵AC ＝CD ，CE ⊥AD ， ∴AE ＝12AD ，∠ACE ＝∠DCE.∵∠BAD ＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四边形ABFE 是矩形． ∴BF ＝AE.∵AB ＝AD ＝BC ，∴BF ＝12BC ，∴∠BCF ＝30°.∵AB ＝BC ，∴∠ACB ＝∠BAC. ∵AB ∥CE ，∴∠BAC ＝∠ACE， ∴∠ACB ＝∠BAC＝12∠BCF ＝15°，∴∠ABC ＝150°，综上所述，∠ABC 的度数为60°或90°或150°.等边三角形的性质和判定【例2】图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②.当伞收紧时，点P 与点A 重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到过点B 时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM ＝PN ＝CM ＝CN ＝6.0 dm ，CE ＝CF ＝18.0 dm ，BC ＝2.0 dm .(1)求AP 长的取值范围；(2)当∠CPN＝60°时，求AP 的值．【解析】(1)根据题意，得AC ＝CN ＋PN ，进一步求得AB 的长，即可求得AP 的取值范围；(2)根据等边△PCN的判定和性质即可求解．【答案】解：(1)∵BC＝2.0 dm ，AC ＝CN ＋PN ＝12 dm ， ∴AB ＝12－2＝10(dm )，∴AP 的取值范围为：0 dm ≤AP ≤10 dm . (2)∵CN＝PN ，∠CPN ＝60°， ∴△PCN 等边三角形， ∴CP ＝6 dm .∴AP ＝AC －PC ＝12－6＝6(dm )． 即当∠CPN＝60°时，AP ＝6 dm .【针对训练】2．(2017南充中考)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( D )A ．(1，1)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3)3．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC，DE ∥BC.求证：(1)△ADE 是等边三角形； (2)AE ＝12AB.证明：(1)∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A ＝∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠ABC＝60°， ∴∠ADE ＝∠ACB＝60°， ∴∠A ＝∠AED＝∠ADE， ∴△ADE 是等边三角形； (2)∵△ADE 是等边三角形， ∴AD ＝AE.∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC. ∵BD 平分∠ABC，∴D 是AC 的中点(三线合一)，AD ＝12AC ＝12AB ，∴AE ＝12AB.直角三角形的性质及应用【例3】如图，一位同学做了一个斜面装置进行科学实验，△ABC 是该装置左视图，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，为了加固斜面，在斜面AB 的中点D 处连结一条支撑杆CD ，量得CD ＝6.(1)求斜坡AB 长和∠ADC 的度数；(2)该同学想用彩纸装饰实验装置中的△ABC 的表面，请你计算△ABC 的面积．【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB ＝2CD ，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论；(2)过C 作CE⊥AB 于E ，根据直角三角形的性质得到CE ＝12CD ＝3，由三角形的面积公式即可得到结论．【答案】解：(1)∵∠ACB＝90°，D 是AB 的中点， ∴AB ＝2CD ＝2×6＝12.∵CD ＝BD ，∴∠ADC ＝2∠B＝30°； (2)过C 作CE⊥AB 于E ， ∵∠ADC ＝30°，∴CE ＝12CD ＝3，∴S △ABC ＝12×12×3＝18.【针对训练】4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝15°，D 是边AB 的中点，DE ⊥AB 交AC 于点E. 求：(1)∠CDE 的度数； (2)CE∶EA.解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点， ∴CD ＝AD ＝BD ， ∴∠DCA ＝∠A＝15°， ∴∠BDC ＝∠A＋∠DCA＝30°. ∵ED ⊥AB ，∴∠EDB ＝90°， ∴∠CDE ＝90°－30°＝60°； (2)连结BE.∵D 为AB 中点，DE ⊥AB ， ∴BE ＝AE ，∴∠EBA ＝∠A＝15°， ∴∠BEC ＝15°＋15°＝30°，∴cos ∠BEC ＝cos 30°＝33. ∵AE ＝BE ，∴CE AE ＝33.线段中垂线的定理及逆定理【例4】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE ∥AC ，EF ⊥AD 交BC 延长线于F.求证：∠FAC＝∠B.【解析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得AE ＝ED ，则EF 是AD 的垂直平分线，又∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA ＝∠B＋∠BAD，即可证得．【答案】证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD ＝∠CAD.∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD. ∴∠EDA ＝∠E AD ，∴AE ＝ED. 又∵EF⊥AD，∴EF 是AD 的垂直平分线，∴AF ＝DF ， ∴∠FAD ＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA ＝∠B＋∠BAD， ∴∠FAC ＝∠B. 【针对训练】5．(德州中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝55°，∠C ＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为( A )A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°,当堂过关检测)1.(2017荆州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为( B )A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°,(第1题图)),(第2题图))2．(2017滨州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为( B )A ．40°B ．36°C ．30°D ．25°3．(淮安中考)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是__10__．4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E. (1)若BC ＝3，AC ＝4，求CD 的长； (2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵∠ACB＝90°，BC ＝3，AC ＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5. ∵CD 是AB 边上的中线， ∴CD ＝12AB ＝2.5；(2)∵∠ACB＝90°， ∴∠A ＋∠B＝90°.∵DE ⊥AB ，∴∠A ＋∠1＝90°， ∴∠B ＝∠1.∵CD 是AB 边上的中线，∴BD ＝CD ， ∴∠B ＝∠2，∴∠1＝∠2.。

第十五讲等腰三角形与直角三角形,考标完全解读)考点考试内容考试要求等腰三角形与直角三角形的定义等腰三角形的定义了解直角三角形的定义了解等腰三角形与直角三角形等腰三角形的性质及其判定理解等边三角形的性质及其判定理解直角三角形的性质及其判定理解,感受某某中考)1．(某某中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是__答案不唯一，如BD＝CD__．2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(D)A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC.求证：点F是AB的中点．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∴∠AEF＝∠BAE，∴AF＝EF.又∵BE⊥AD，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠BEF＋∠AEF＝90°，又∠AEF＝∠BAE，∴∠ABE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴AF＝BF，∴点F为AB中点．,核心知识梳理)等腰三角形的性质和判定1．性质：(1)等腰三角形两腰__相等__(定义)．(2)等腰三角形两角底角__相等__(等边对等角)．(3)等腰三角形底边上的中线，底边上的高和顶角的平分线__互相重合__(简称“三线合一”)．2．判定：(1)有__两边相等__的三角形是等腰三角形．(2)有__两角相等__的三角形是等腰三角形．等边三角形的性质和判定3．等边三角形的性质：(具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊).(1)等边三角形的内角都__相等__，且为__60__°.(2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线__互相重合__(简称“三线合一”)．(3)等边三角形是__轴对称__图形，它有__三__条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线．4．等边三角形的判定：(首先考虑判断三角形是等腰三角形)(1)__三边__相等的三角形是等边三角形(定义)．(2)三个内角都__相等__的三角形是等边三角形.(3)有一个角是60°的__等腰__三角形是等边三角形．直角三角形的性质和判定5．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角__互余__．(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的__一半__．(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．(4)直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2.6．直角三角形的判定判定1：有一个角为__90°__的三角形是直角三角形．判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的__一半__，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．判定3：若__a2＋b2＝c2__，则以a，b，c为边的三角形，是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)．线段垂直平分线的定理及逆定理7．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离__相等__．【温馨提示】它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程．8．线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离__相等__的点在这条线段的垂直平分线上． 【温馨提示】(1)关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；(2)要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可．,重点难点解析)等腰三角形的应用【例1】阅读理解：如图①，在△ABC 的边AB 上取一点P ，连接CP ，可以把△ABC 分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们就称点P 是△ABC 的边AB 上的和谐点．解决问题：(1)如图②，△ABC 中，∠ACB ＝90°，试找出边AB 上的和谐点P ，并说明理由；(2)已知∠A＝40°，△ABC 的顶点B 在射线l 上(图③)，点P 是边AB 上的和谐点，请在图③中画出所有符合条件的B 点，并写出相应的∠B 的度数．【解析】(1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，找出和谐点为斜边的中点；(2)由∠A 为等腰三角形的顶角和底角分类讨论得出符合条件的点B 有3个．【答案】解：(1)AB 边上的和谐点为AB 的中点．理由如下： ∵P 是AB 的中点，∴PC ＝12AB ＝PA ＝PB ，∴△ACP 和△BCP 是等腰三角形；(2)①当∠A＝∠ACP＝40°时，则∠CPB＝40°＋40°＝80°.如答图①.若CP ＝CB 1，则∠C PB 1＝∠CB 1P ＝80°. 若B 2P ＝B 2C ，则∠B 2PC ＝∠B 2CP ＝80°， ∴∠CB 2P ＝180°－80°－80°＝20°.若PC ＝B 3P ，则∠PB 3C ＝∠PB 3C ＝180°－80°2＝50°；②当∠A＝∠APC＝40°时，如答图②，∵∠CPB 4＝180°－∠APC＝180°－40°＝140°， ∴∠CB 4P ＝180°－140°2＝20°；③当∠ACP＝∠APC＝70°时，如答图③，∵∠CPB 5＝180°－∠APC＝180°－70°＝110°， ∴∠CB 5P ＝180°－110°2＝35°.综上所述，符合条件的∠C BP 的度数为35°，50°，80°，20°. 【针对训练】 1．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形，菱形都是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：如图，等腰Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°.若点C 为平面上一点，AC 为凸四边形ABCD 的和谐线，且AB ＝BC ，请画出图形并求出∠ABC 的度数．解：∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形，在等腰Rt△ABD中，∵AB＝AD，∴AB＝AD＝BC，如图①，当AD＝AC时，∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC，∴△ABC是正三角形，∴∠ABC＝60°.如图②，当AD＝CD时，∴AB＝AD＝BC＝CD.∵∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°；如图③，当AC ＝CD 时，过点C 作CE⊥AD 于E ，过点B 作BF⊥CE 于F. ∵AC ＝CD ，CE ⊥AD ， ∴AE ＝12AD ，∠ACE ＝∠DCE.∵∠BAD ＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四边形ABFE 是矩形． ∴BF ＝AE.∵AB ＝AD ＝BC ，∴BF ＝12BC ，∴∠BCF ＝30°.∵AB ＝BC ，∴∠ACB ＝∠BAC. ∵AB ∥CE ，∴∠BAC ＝∠ACE， ∴∠ACB ＝∠BAC＝12∠BCF ＝15°，∴∠ABC ＝150°，综上所述，∠ABC 的度数为60°或90°或150°.等边三角形的性质和判定【例2】图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②.当伞收紧时，点P 与点A 重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到过点B 时，伞X 得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM ＝PN ＝CM ＝＝6.0 dm ，CE ＝CF ＝18.0 dm ，BC ＝2.0 dm .(1)求AP 长的取值X 围；(2)当∠CPN＝60°时，求AP 的值．【解析】(1)根据题意，得AC ＝＋PN ，进一步求得AB 的长，即可求得AP 的取值X 围；(2)根据等边△P 的判定和性质即可求解．【答案】解：(1)∵BC＝2.0 dm ，AC ＝＋PN ＝12 dm ， ∴AB ＝12－2＝10(dm )，∴AP 的取值X 围为：0 dm ≤AP ≤10 dm . (2)∵＝PN ，∠CPN ＝60°， ∴△P 等边三角形， ∴CP ＝6 dm .∴AP ＝AC －PC ＝12－6＝6(dm )． 即当∠CPN＝60°时，AP ＝6 dm .【针对训练】2．(2017某某中考)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(D )A ．(1，1)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3)3．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC，DE ∥BC.求证：(1)△ADE 是等边三角形； (2)AE ＝12AB.证明：(1)∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A ＝∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠ABC＝60°，∴∠ADE ＝∠ACB＝60°， ∴∠A ＝∠AED＝∠ADE， ∴△ADE 是等边三角形； (2)∵△ADE 是等边三角形， ∴AD ＝AE.∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC. ∵BD 平分∠ABC，∴D 是AC 的中点(三线合一)， AD ＝12AC ＝12AB ，∴AE ＝12AB.直角三角形的性质及应用【例3】如图，一位同学做了一个斜面装置进行科学实验，△ABC 是该装置左视图，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，为了加固斜面，在斜面AB 的中点D 处连结一条支撑杆CD ，量得CD ＝6.(1)求斜坡AB 长和∠ADC 的度数；(2)该同学想用彩纸装饰实验装置中的△ABC 的表面，请你计算△ABC 的面积．【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB ＝2CD ，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论；(2)过C 作CE⊥AB 于E ，根据直角三角形的性质得到CE ＝12CD ＝3，由三角形的面积公式即可得到结论．【答案】解：(1)∵∠ACB＝90°，D 是AB 的中点， ∴AB ＝2CD ＝2×6＝12.∵CD ＝BD ，∴∠ADC ＝2∠B＝30°； (2)过C 作CE⊥AB 于E ， ∵∠ADC ＝30°，∴CE ＝12CD ＝3，∴S △ABC ＝12×12×3＝18.【针对训练】4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝15°，D 是边AB 的中点，DE ⊥AB 交AC 于点E. 求：(1)∠CDE 的度数； (2)CE∶EA.解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点， ∴CD ＝AD ＝BD ， ∴∠DCA ＝∠A＝15°， ∴∠BDC ＝∠A＋∠DCA＝30°. ∵ED ⊥AB ，∴∠EDB ＝90°， ∴∠CDE ＝90°－30°＝60°； (2)连结BE.∵D 为AB 中点，DE ⊥AB ， ∴BE ＝AE ，∴∠EBA ＝∠A＝15°， ∴∠BEC ＝15°＋15°＝30°， ∴cos ∠BEC ＝cos 30°＝33. ∵AE ＝BE ，∴CE AE ＝33.线段中垂线的定理及逆定理【例4】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE ∥AC ，EF ⊥AD 交BC 延长线于F.求证：∠FAC＝∠B.【解析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得AE ＝ED ，则EF 是AD 的垂直平分线，又∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA ＝∠B＋∠BAD，即可证得．【答案】证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD.∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD.∴∠EDA ＝∠EAD，∴AE ＝ED.又∵EF⊥AD，∴EF 是AD 的垂直平分线，∴AF ＝DF ，∴∠FAD ＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA ＝∠B ＋∠BAD，∴∠FAC ＝∠B.【针对训练】5．(某某中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝55°，∠C ＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为(A )A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°,当堂过关检测)1.(2017荆州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为(B )A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2017滨州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为(B ) A ．40°B ．36°C ．30°D ．25°3．(某某中考)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是__10__．4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E.(1)若BC ＝3，AC ＝4，求CD 的长；(2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵∠ACB＝90°，BC ＝3，AC ＝4，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.∵CD 是AB 边上的中线，∴CD ＝12AB ＝2.5； (2)∵∠ACB＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°.∵DE ⊥AB ，∴∠A ＋∠1＝90°，∴∠B ＝∠1.∵CD 是AB 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴∠B ＝∠2，∴∠1＝∠2.。

第十五讲 等腰三角形与直角三角形宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.（2014·宜宾中考）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝ 1.5.2.（宜宾中考）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D.请你再添加一个条件，就可以确定△ABC 是等腰三角形.你添加的条件是 答案不唯一，如BD ＝CD Ｗ.宜宾中考考点梳理等腰三角形及其性质和判定1.等腰三角形（4）等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；（5）面积：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（简写成“ 等角对等边2.等边三角形三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）（1）等边三角形三边相等（如（2）等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于∠B＝∠C＝（4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；（5）面积：＝34AB2（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于直角三角形及其性质和判定3.直角三角形4.等腰直角三角形线段的垂直平分线和角平分线5.线段的垂直平分线（1）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.如图，若OP垂直平分AB，则PA＝PB.（2）判定（性质定理的逆定理）：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.6.角平分线有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（1）直角三角形的两个锐角（2）直角三角形斜边上的（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于（1）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.如图，若∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定（性质定理的逆定理）：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（D）A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（B）A.30°B.45°C.50°D.75°（第2题图）（第3题图）3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（B）A.40°B.36°C.30°D.25°4.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是10 Ｗ.Ｗ.5.在△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝5，则AB＝36.含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠1＝60°，以下三个结论中正确的是②③（写出所有正确结论的序号）.①AC＝2BC；②△BCD为正三角形；③AD＝BD.7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，ED⊥AB于点D，交AC于点E.（1）若BC＝3，AC＝4，求CD的长；（2）求证：∠1＝∠2.（1）解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.∵CD 是AB 边上的中线，∴CD ＝12AB ＝2.5； （2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°.∵ED ⊥AB ，∴∠A ＋∠1＝90°，∴∠B ＝∠1.∵CD 是AB 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴∠B ＝∠2，∴∠1＝∠2.8.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥BC ，交AC 于点E.（1）求证：DE ＝CE ；（2）若∠CDE＝35°，求∠A 的度数.（1）证明：∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠BCD ＝∠ECD.∵DE ∥BC ，∴∠EDC ＝∠BCD，∴∠EDC ＝∠ECD，∴DE ＝CE ；（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝35°，∴∠ACB ＝2∠ECD＝70°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB＝70°，∴∠A ＝180°－70°－70°＝40°.中考典题精讲精练等腰三角形的性质和判定【典例1】如图，已知点D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BD ⊥CD ，∠A ＝∠ABD，若AC ＝6，BC ＝4，求BD 的长.【解析】延长BD 与AC 交于点E ，由题意可推出BE ＝AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC ＝CE ，AE ＝BE ＝2BD ，根据AC ＝6，BC ＝4，即可求出BD 的长.【解答】解：延长BD 与AC 交于点E.∵∠A ＝∠ABD，∴BE ＝AE.∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD.∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD ＝∠ECD，∴∠EBC ＝∠BEC，∴BC ＝CE.∵BE⊥CD，∴2BD ＝BE.∵AC＝6，BC ＝4，∴CE ＝4，∴AE ＝AC －EC ＝6－4＝2，∴BE ＝2，∴BD ＝1.直角三角形的性质和判定【典例2】如图1，△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，M 、N 分别是线段BC 、DE 的中点.（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM 、ME ，猜想∠A 与∠DME 之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC 变为钝角△ABC，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.图1 图2【解析】（1）连结DM 、EM ，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DM ＝12BC ，EM ＝12BC ，从而得到DM ＝ME ，再根据等腰三角形的“三线合一”可得结论；（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，再根据“等腰三角形两底角相等”表示出∠BMD＋∠CME，然后根据“平角等于180°”表示出∠DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC，再根据“等腰三角形两底角相等及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”表示出∠BME＋∠CMD，然后根据“平角等于180°”表示出∠DME，整理即可得解.【解答】（1）证明：连结DM 、EM.∵CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，点M 是BC 的中点，∴DM ＝12BC ，ME ＝12BC ， ∴DM ＝EM.又∵点N 为DE 的中点，∴MN ⊥DE ；（2）解：在△ABC 中，∠ABC ＋∠ACB＝180°－∠A.∵DM ＝EM ＝BM ＝CM ，∴∠BMD ＋∠CME＝（180°－2∠ABC ）＋（180°－2∠ACB）＝360°－2（∠ABC＋∠ACB）＝360°－2（180°－∠A）＝2∠A，∴∠DME ＝180°－2∠A；（3）解：（1）中的结论成立，（2）中的结论不成立.理由：在△ABC 中，∠ABC ＋∠ACB＝180°－∠BAC.∵DM＝EM ＝BM ＝CM ，∴∠BME ＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2（180°－∠BAC）＝360°－2∠BAC，∴∠DME ＝180°－（360°－2∠BAC）＝2∠BAC－180°.线段中垂线定理及其逆定理【典例3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF⊥AD交BC的延长线于点F.求证：∠FAC＝∠B.【解析】根据角的平分线的定义和平行线的性质，可得AE＝DE，则EF是AD的垂直平分线，又∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA＝∠B＋∠BAD，即可得证.【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∴∠EDA＝∠BAD，∴AE＝ED.又∵EF⊥AD，∴EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA＝∠B＋∠BAD，∴∠FAC＝∠B.1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC.求证：点F是AB的中点.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∴∠AEF＝∠BAE，∴AF＝EF.又∵BE⊥AD，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠BEF＋∠AEF＝90°，∴∠ABE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴AF＝BF，∴点F为AB的中点.2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，垂足为D，若PC＝10，则PD等于（C）A.10B.5 3C.5D.2.53.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点.求证：MN⊥BD.证明：连结BM 、DM.∵∠ABC ＝∠ADC＝90°，M 是AC 的中点，∴BM ＝DM ＝12AC. ∵N 是BD 的中点，∴MN ⊥BD.4.在△ABC 中，MP 、NO 分别垂直平分AB 、AC.（1）若BC ＝10 cm ，试求出△PAO 的周长；（2）若AB ＝AC ，∠BAC ＝110°，试求∠PAO 的度数；（3）在（2）中，若无“AB＝AC”的条件，你能求出∠PAO 的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.解：（1）∵MP、NO 分别垂直平分AB 、AC ，∴AP ＝BP ，AO ＝CO ，∴△PAO 的周长＝AP ＋PO ＋AO ＝BP ＋PO ＋CO ＝BC ，∵BC ＝10 cm ，∴△PAO 的周长为10 cm ；（2）∵AB＝AC ，∠BAC ＝110°，∴∠B ＝∠C＝12（180°－110°）＝35°. ∵MP 、NO 分别垂直平分AB 、AC ，∴AP ＝BP ，AO ＝CO ，∴∠BAP ＝∠B＝35°，∠CAO ＝∠C＝35°，∴∠PAO ＝∠BAC－∠BAP－∠CAO ＝110°－35°－35°＝40°；（3）能.∵∠BAC ＝110°，∴∠B ＋∠C＝180°－110°＝70°.∵MP 、NO 分别垂直平分AB 、AC ，∴AP ＝BP ，AO ＝CO ，∴∠BAP ＝∠B，∠CAO ＝∠C，∴∠PAO ＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝∠BAC－（∠B＋∠C）＝110°－70°＝40°.。

第四章图形的初步认识与三角形第十二讲相交线与平行线宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.（2014·宜宾中考）如图，直线a、b被第三条直线c所截，如果a∥b，∠1＝70°，那么∠3的度数是70°Ｗ.（第1题图）（第2题图）（第3题图）2.（2016·宜宾中考）如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝75°Ｗ.3.（2012·宜宾中考）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，则∠4＝121°Ｗ.4.（2018·宜宾中考）在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的平分线交于点E，则△AED的形状是（B）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定宜宾中考考点梳理线段、直线、射线1.线段（1）线段的直观形象是拉直的一段线.（2）基本事实：两点之间，线段最短.（3）两点之间线段的长度，就是这两点之间的距离.（4）线段的和与差：如图①，已知两条线段a和b，且a>b，在直线l上画线段AB＝a，BC＝b，则线段AC 就是线段a与b的和，即AC＝a＋b .如图②，在直线l上画线段AB＝a，在AB上画线段AD＝b，则线段DB就是线段a与b的差，即DB＝a－b.（5）线段的中点：如图③，线段AB 上的一点M ，把线段AB 分成两条线段AM 与MB.如果AM ＝MB ，那么点M 就叫做线段AB 的中点，此时有 AM ＝MB ＝12AB ，AB ＝2AM ＝2MB.2.直线（1）把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线.（2）基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线.（3）性质：两条直线相交只有一个交点.3.射线：把线段向一方无限延伸所形成的图形是射线.角及角的平分线4.角（1）分类 <180°（2）周角、平角、直角之间的关系与角度换算1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°；1°＝60′，1′＝60″，1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160°，1″＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160′.5.角的平分线从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.6.余角、补角（1）余角：两个角的和等于 90° （直角），就说这两个角互为余角，简称互余.（2）补角：两个角的和等于 180° （平角），就说这两个角互为补角，简称互补.（3）性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等.相交线7.三线八角（如图，直线a 、b 被直线c 所截）（1）同位角有：∠1与 ∠5 ，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7；（2）内错角有：∠2与 ∠8 ，∠3与∠5；（3）同旁内角有：∠3与∠8，∠2与 ∠5 ；（4）对顶角有：∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝ ∠8 Ｗ.垂线及其性质8.垂线（1）定义：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直，它们的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.（2）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）性质：在连结直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段（连结直线外一点与垂足形成的线段）最短.9.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.平行线如果两1.如图，点P到直线l的距离是（B）A.线段PA的长度B.线段PB的长度C.线段PC的长度D.线段PD的长度（第1题图）（第2题图）2.如图，直线a、b被c所截，则∠1与∠2是（B）A.同位角B.内错角C.同旁内角D.邻补角3.如图，已知l1∥l2，直线l与l1、l2相交于C、D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放.若∠1＝130°，则∠2＝20°Ｗ.（第3题图）（第4题图）4.（2018·河南中考）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为140°.5.若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角为45 度.中考典题精讲精练线段的有关概念及计算【典例1】已知线段AB ＝8 cm ，点C 是直线AB 上一点，BC ＝2 cm ，若M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度为 5 cm 或3 cm Ｗ.【解析】根据线段中点的性质，可求BM 、BN 的长，根据线段的和差，可得答案.余角和补角的概念【典例2】一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，则这个角的度数为 40° Ｗ.【解析】设这个角为x °，分别表示出它的余角和补角，根据题意列出方程，解之即可得到这个角的度数.相交线中的有关概念和计算【典例3】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC.（1）若∠EOC＝80°，则∠BOD 的度数为 40° ；（2）若∠EOC＝∠EOD，则∠BOD 的度数为 45° Ｗ.【解析】（1）根据角的平分线的定义得到∠AOC＝12∠EOC ，然后根据对顶角相等可得结果； （2）先设∠EOC＝x °，∠EOD ＝x °，根据平角的定义得x °＋x °＝180°，解得x ＝90，则∠EOC＝90°，然后与（1）的计算方法一样求得结果.平行线的判定与性质命题规律：平行线的判定与性质近几年考查频率高，考查的题型有选择题和填空题，主要考查根据平行线的性质求角度，一般多与三角形的内角和定理或内外角关系相结合考查.【典例4】（2013·宜宾中考）如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1＝25°，则∠2＝ 115° .【解析】本题考查平行线的性质，根据三角板的已知角及“两直线平行，内错角相等”可得答案.【典例5】如图，AB ∥CD ，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，求证：BA 平分∠EBF.【解析】根据题意可以设∠1、∠2、∠3分别为x °、2x °、3x °，由同旁内角互补可得到∠1和∠2的度数，从而可求得∠EBA 的度数，由此可得结论.【解答】证明：由题意设∠1、∠2、∠3分别为x °、2x °、3x °.∵AB ∥CD ，∴2x ＋3x ＝180.解得x ＝36.∴∠1＝36°，∠2＝72°.∵∠EBG ＝180°，∴∠EBA ＝180°－（∠1＋∠2）＝72°，∴∠2＝∠EBA，∴BA 平分∠EBF.1.如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点.若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则线段DB的长等于（D）A.2 cmB.3 cmC.6 cmD.7 cm2.已知线段AB＝8 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3 cm，则线段AC的长为11或5 cm.3.（2018·白银中考）若一个角为65°，则它的补角的度数为（C）A.25°B.35°C.115°D.125°4.如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠AOD＝110°，则∠AOE的度数为125°Ｗ.5.（1）如图1，已知∠ABC，射线ED∥BA，过点E作∠DEF＝∠ABC，说明BC∥EF的理由；（2）如图2，已知∠ABC，射线ED∥BA，∠ABC＋∠DEF＝180°.判断直线BC与直线EF的位置关系，并说明理由；（3）根据以上探究，你发现了一个什么结论？请你写出来；（4）如图3，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，HF⊥AB，若∠1＝48°，试求∠2的度数.图1 图2 图3解：（1）∵ED∥BA，∴∠B＝∠DOC.∵∠DEF＝∠ABC，∴∠DOC＝∠DEF，∴BC∥EF；（2）BC∥EF.理由：∵ED∥BA，∴∠B＝∠BOE.∵∠ABC＋∠DEF＝180°，∴∠BOE＋∠DEF＝180°，∴BC∥EF；（3）由（1）（2）可得结论：若两个角相等或互补且它们的一边互相平行，则它们的另一边也互相平行；（4）∵AC⊥BC，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠DCB＝∠1＝48°.∵CD⊥AB，HF⊥AB，∴CD∥HF，∴∠2＝180°－∠DCB＝132°.。

第十三讲 三角形及其性质(时间：45分钟)一、选择题1.下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是(C )A .2,3,4B .5,7,7C .5,6,12D .6,8,102.一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形一定是(B )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形3.如图,∠ACD ＝120°,∠B ＝20°,则∠A 的度数是(C )A .120°B .90°C .100°D .30°,(第3题图),(第4题图)4.如图,△ABC 中,∠A ＝60°,∠B ＝40°,则∠C 等于(B )A .100°B .80°C .60°D .40°5.(2018·宿迁中考)若实数m 、n 满足等式|m －2|＋n －4＝0,且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长,则△ABC 的周长是(B )A .12B .10C .8D .66.如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,以顶点A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC 、AB 于点M 、N,再分别以点M 、N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP 交边BC 于点D,若CD ＝4,AB ＝15,则△ABD 的面积是(B )A .15B .30C .45D .607.如图,Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,斜边AB ＝9,D 为AB 的中点,F 为CD 上一点,且CF ＝13CD,过点B 作BE∥DC 交AF 延长线于点E,则BE 的长为(A )A .6B .4C .7D .12,(第7题图) ,(第8题图)8.如图,在△ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝8,BC ＝6.若DE 是△ABC 的中位线,延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F,则线段DF 的长为(B )A .7B .8C .9D .10二、填空题9.在△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶4,则∠A 的度数为__40°__. 10.在三角形的三个外角中,锐角最多有__1__个.11.三条线段a ＝5,b ＝3,c 的值为整数,由a 、b 、c 为边可组成三角形__5__个.12.如图,已知△ABC 的周长是32,OB,OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ,OD ⊥BC 于D,且OD ＝6,△ABC 的面积是__96__.,(第12题图) ,(第13题图) ,(第14题图)13.如图,四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 依次是各边中点,O 是四边形内一点,若S四边形AEOH＝3,S四边形BFOE＝4,S四边形CGOF＝5,则S 四边形DHOG ＝__4__.14.如图,△ABC 的面积是12,点D 、E 、F 、G 分别是BC 、AD 、BE 、CE 的中点,则△AFG 的面积是____. 15.(2018·某某中考)如图,在△ABC 中,AC ＝3,BC ＝4,若AC 、BC 边上的中线BE 、AD 垂直相交于O 点,则AB ＝__5__.,(第15题图) ,(第16题图)16.(2018·黔西南中考)如图,已知在△ABC 中,BC 边上的高AD 与AC 边上的高BE 交于点F,且∠BAC＝45°,BD＝6,CD ＝4,则△ABC 的面积为__60__.三、解答题17.如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线,CE 是AB 边上的高,若∠DCE＝10°,∠B ＝60°,求∠A 的度数.解：∵CE 是AB 边上的高,∴∠A ＋∠ACE＝90°,∠B ＋∠BCE＝90°. ∵CD 是∠ACB 的平分线, ∴∠ACD ＝∠BCD＝12∠ACB.又∵∠DCE＝10°,∠B ＝60°, ∴∠BCE ＝90°－∠B＝30°, ∴∠BCD ＝∠BCE＋∠DCE＝40°,∴∠ACE ＝∠ACD＋∠DCE＝∠BCD＋∠DCE＝50°, ∴∠A ＝90°－∠ACE＝40°.18.如图,在△ABC 中,点D 、E 分别是AB 、AC 的中点,△ABC 的角平分线AG 交DE 于点F,若∠ABC＝70°,∠BAC ＝54°,求∠AFD 的度数.解：∵∠BAC＝54°,AG 平分∠BAC , ∴∠BAG ＝12∠BAC＝27°,∴∠BGA ＝180°－∠ABC－∠BAG＝83°. 又∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点, ∴DE ∥BC,∴∠AFD ＝∠BGA＝83°.19.已知：如图①,△ABC 中,∠B ＞∠C ,AD 是△ABC 的角平分线,点P 是AD 上的一点,过点P 作PH⊥BC 于点H.(1)求证：∠DPH＝12(∠B－∠C)；(2)如图②,当点P 是线段AD 的延长线上的点时,过点P 作PH⊥BC 于H,上述结论仍然成立吗？请你作出判断并加以说明.(1)证明：∵AD 平分∠BAC , ∴∠BAD ＝∠CAD.∵PH ⊥BC 于H,∴∠DPH ＝90°－∠PDH. ∵∠DAC ＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C),∴∠DPH ＝90°－∠PDH＝90°－(∠DAC＋∠C)＝90°－12(180°－∠B－∠C)－∠C＝12(∠B－∠C)；(2)解：上述结论仍然成立. ∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD ＝∠CAD. ∵PH ⊥BC 于H,∴∠DPH ＝90°－∠PDH. ∵∠DAC ＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C),∴∠DPH ＝90°－∠PDH＝90°－(∠DAC＋∠C)＝90°－12(180°－∠B－∠C)－∠C＝12(∠B－∠C).20.如图,四边形ABCD 中,∠A ＝90°,AB ＝33,AD ＝3,点M 、N 分别为线段BC 、AB 上的动点(含端点,但点M 不与点B 重合),点E 、F 分别为DM 、MN 的中点,则EF 长度的最大值为__3__.21.(1)如图①,在△ABC 中,点O 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点,若∠A＝α,则∠BOC＝__90°＋α2__(用α表示)；如图②,∠CBO ＝13∠ABC ,∠BCO ＝13∠ACB ,∠A ＝α,则∠BOC＝__120°＋13α__(用α表示)；(2)如图③,∠CBO ＝13∠DBC ,∠BCO ＝13∠ECB ,∠A ＝α,请猜想∠BOC＝__120°－13α__.(用α表示)22.7条长度均为整厘米数的线段：a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,满足a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5＜a 6＜a 7,且这7条线段中的任意3条1＝1 cm ,a 7＝21 cm ,则a 6能取的值是(B )A .18 cmB .13 cmC .8 cmD .5 cm。