(完整word版)高中数学公式一览表

高中数学公式大全表1. 代数公式：方程的根：设方程ax² + bx + c = 0的根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/ax₁ × x₂ = c/a二次方程的解：对于方程ax² + bx + c = 0，解可以用以下公式表示：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a二次函数的顶点坐标：设二次函数的表达式为y = ax² + bx + c，顶点坐标可以通过以下公式计算：x = -b / 2ay = c - b² / 4a二次函数的平移变换：设原二次函数的表达式为y = ax² + bx + c，经过平移变换后的函数的表达式为y = a(x - h)² + k。

其中(h, k)为平移的距离，代表二次函数的顶点坐标。

2. 几何公式：三角函数：常用的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)。

它们的定义如下：sinθ = 对边 / 斜边cosθ = 邻边 / 斜边tanθ = 对边 / 邻边勾股定理：对于一直角三角形，较长的边称为斜边，其余两边称为直角边。

勾股定理可以表示为：斜边² = 直角边₁² + 直角边₂²正弦定理：对于任意三角形ABC，边长的比值与角度的正弦的比值之间有以下关系：a / sinA =b / sinB =c / sinC余弦定理：对于任意三角形ABC，边长的平方与另外两条边长的乘积和它们的夹角的余弦的乘积之间有以下关系：a² = b² + c² - 2bc cosA3. 概率公式：事件概率的计算：对于一个随机试验，事件A发生的概率可以用以下公式表示：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示随机试验的总次数。

加法原理：如果A和B是两个互不相容的事件，即A和B不能同时发生，那么A或B发生的概率可以用以下公式计算：P(A或B) = P(A) + P(B)乘法原理：如果A和B是两个相互独立的事件，即事件A发生与否不会影响事件B发生的概率，那么A和B同时发生的概率可以用以下公式计算：P(A和B) = P(A) × P(B|A)条件概率：对于事件A和B，条件概率可以表示为：P(B|A) = P(A和B) / P(A)4. 统计学公式：均值：一组数据的均值可以用以下公式计算：mean = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁、x₂、...、xn为每个数据点的值，n为数据点的个数。

完整版)高中数学公式大全完整版高中数学常用公式及常用结论1.包含关系若集合A包含于集合B，则AB=B；若AB=B，则A为B 的子集；若C为A和B的并集，则B包含于C；若A和B的交集为∅，则AB=∅；若AB=R，则A和B互为补集。

2.集合的子集集合{a1,a2,…,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个。

3.充要条件1）充分条件：若p→q，则p是q的充分条件。

2）必要条件：若q→p，则p是q的必要条件。

3）充要条件：若p→q，且q→p，则p是q的充要条件。

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。

4.函数的单调性1)设x1≠x2，且x1,x2∈[a,b]，则有：f(x1)−f(x2)>0 ⇔ f(x)在[a,b]上是增函数；f(x1)−f(x2)<0 ⇔ f(x)在[a,b]上是减函数。

2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数。

5.函数的性质如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是减函数；如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=f[g(x)]是增函数。

6.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。

7.函数的对称轴对于函数y=f(x)(x∈R)，若f(x+a)=f(b−x)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数x=a+b/2；函数y=f(x+a)与y=f(b−x)的图象关于直线x=a+b/2对称。

8.几个函数方程的周期(约定a>0)1）f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期T=a；2）f(x+a)=−f(x)，或f(x+a)=f(−x)（f(x)≠0），则f(x)的周期T=2a。

⾼中数学公式⼤全（完整版）⾼中数学常⽤公式及常⽤结论1.包含关系A B A A B B =?=I U U U A B C B C A U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U2．集合12{,,,}n a a a L 的⼦集个数共有2n 个；真⼦集有2n –1个；⾮空⼦集有2n –1个；⾮空的真⼦集有2n –2个.3.充要条件（1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件.注：如果甲是⼄的充分条件，则⼄是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么[]1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在?>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.6．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果⼀个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果⼀个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成⽴,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 8.⼏个函数⽅程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2），)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1mnm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.10．根式的性质（1）n a =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥?==?-11．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +?=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ，④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M Na a alog log log -=，幂的对数：M n M a n a log log =；b mnb a na m log log =13.对数的换底公式 log log log m a m NN a= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 15.11,1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).16.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 17.等⽐数列的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q-==?∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a qq q s na q -?≠?-=??=?.18.同⾓三⾓函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin 19正弦、余弦的诱导公式2(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-?-?+=??-?20和⾓与差⾓公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .sin cos a b αα+)α?+(辅助⾓?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan ba=). 21、⼆倍⾓的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-． 22.三⾓函数的周期公式函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 23.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 24.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.25.⾯积定理111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===（2）. 26.三⾓形内⾓和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+222C A Bπ+?=-222()C A B π?=-+. 27.实数与向量的积的运算律设λ、µ为实数，那么(1) 结合律：λ(µa )=(λµ)a ;(2)第⼀分配律：(λ+µ)a =λa +µa;(3)第⼆分配律：λ(a +b )=λa +λb . 28.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 30．向量平⾏的坐标表⽰设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a P b(b ≠0)12210x y x y ?-=. 31. a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．32.数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的⽅向上的投影|b |cos θ的乘积．33.平⾯向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.34.两向量的夹⾓公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).35.平⾯两点间的距离公式 ,A B d =||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).36.向量的平⾏与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ?b =λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=.37.三⾓形的重⼼坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重⼼的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 设O 为ABC ?所在平⾯上⼀点，⾓,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ?的外⼼222OA OB OC ?==u u u r u u u r u u u r .（2）O 为ABC ?的重⼼0OA OB OC ?++=u u u r u u u r u u u r r.（3）O 为ABC ?的垂⼼OA OB OB OC OC OA ??=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 38.常⽤不等式：（1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈?2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）b a b a b a +≤+≤-.39已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最⼩值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最⼤值241s . 40.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a22x a x a x a >?>?>或x a <-.41.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.42.直线的五种⽅程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）⼀般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).43.两条直线的平⾏和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ?=≠;②12121l l k k ⊥?=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ?=≠；②1212120l l A A B B ⊥?+=； (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹⾓是2π. 45.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).46. 圆的四种⽅程（1）圆的标准⽅程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的⼀般⽅程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). 47.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0相离r d ;0==相切r d ; 0><相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.48.两圆位置关系的判定⽅法设两圆圆⼼分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421??+>r r d ;条公切线外切321??+=r r d ;条公切线相交22121??+<<-r r d r r ;条公切线内切121??-=r r d ; ⽆公切线内含??-<<210r r d . 49.圆的切线⽅程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线⽅程为200x x y y r +=;50.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数⽅程是cos sin x a y b θθ=??=?.51.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21ca x e PF +=，)(22x c a e PF -=. 52．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b+>.53.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，2 2|()|a PF e x c=-.54.双曲线的⽅程与渐近线⽅程的关系(1）若双曲线⽅程为12222=-b y a x ?渐近线⽅程：22220x y a b -=?x a by ±=.(2)若渐近线⽅程为x aby ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.55. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由⽅程??=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0?>,α为直线AB 的倾斜⾓，k 为直线的斜率）.57(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )．(3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ． 59共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =u u u r u u u r ?(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r.60.向量的直⾓坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 61.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r= 212121(,,)x x y y z z ---. 62．空间的线线平⾏或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b ⊥r r ?0a b ?=r r ?1212120x x y y z z ++=.63.夹⾓公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.64．异⾯直线所成⾓cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ?=?r rr r （其中θ（090θ<≤o o）为异⾯直线a b ,所成⾓，,a b r r 分别表⽰异⾯直线a b ,的⽅向向量） 65.直线AB 与平⾯所成⾓sin ||||AB m arc AB m β?=u u u r u r u u u r u r (m u r 为平⾯α的法向量). 66.⼆⾯⾓l αβ--的平⾯⾓cos ||||m n arc m n θ?=u r r u r r 或cos ||||m narc m n π?-u r ru r r （m u r ，n r 为平⾯α，β的法向量）. 134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 ,A B d=||AB =u u u r=67.球的半径是R ，则其体积343V R π=,其表⾯积24S R π=． (3) 球与正四⾯体的组合体:棱长为a的正四⾯体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 6813V Sh =柱体（S 是柱体的底⾯积、h 是柱体的⾼）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底⾯积、h 是锥体的⾼）.69.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++L .70.排列数公式 mn A =)1()1(+--m n n n Λ=！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.71.组合数公式 mnC =m n m mA A =m m n n n +--ΛΛ21)1()1(=)(m n m n -?(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).72.组合数的两个性质(1)m n C =mn nC - ;(2) m n C +1-m nC =m n C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11m m nn n m C C m --+=;（2）1m m n n n C C n m -=-;（3）11mm n n n C C m --=; （4）∑=nr r n C 0=n 2; 73.排列数与组合数的关系m mn n A m C =?！ .74．单条件排列以下各条的⼤前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在⼀起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常⽤捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在⼀起来作全排列，k 个的⼀组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个⼤球n 个⼩球排成⼀列，⼩球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，⽆解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.75．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个⼈，各得n 件，其分配⽅法数共有mn n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22==--Λ. （2）(平均分组⽆归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为⽆记号或⽆顺序的m 堆，其分配⽅法数共有 mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22==--.（3）(⾮平均分组有归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个⼈，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配⽅法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N mm==-.76.⼆项式定理 nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ;⼆项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=. 77.n 次独⽴重复试验中某事件恰好发⽣k 次的概率()(1).k k n kn n P k C P P -=-78.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)i P i ≥=L ;（2）121P P ++=L . 79.数学期望1122n n E x P x P x Pξ=++++L L80..数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+.（2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. 81.⽅差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?++-?+L L 标准差σξ=ξD . 82.⽅差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. 83..)(x f 在),(b a 的导数()dy df f x y dx dx ''===00()()lim limx x y f x x f x x x→?→?+?-==??. 84.. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的⼏何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线⽅程是))((000x x x f y y -'=-.85..⼏种常见函数的导数(1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.(4) x x sin )(cos -=' (5) x x 1)(ln ='；ax a xln 1)(log ='(6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 86..导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 87..复合函数的求导法则设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=.89.复数的相等,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）90.复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +91.复数的四则运算法(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++(2)()()()()a bi c di a c b di +-+=-+-;(3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++;(4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di +-+÷+=++≠.图象定义域 R R,2x x k k ππ??≠+∈Z值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既⽆最⼤值也⽆最⼩值周期性2π 2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ?-+()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ?++()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ?-+()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中⼼()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中⼼(),02k k ππ?+∈Z 对称轴()x k k π=∈Z 对称中⼼(),02k k π??∈Z ⽆对称轴。

高中数学公式大全(完整版)高中数学公式大全(完整版)精选1、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2、乘法与因式分解a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) •a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)3、三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|4、正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径。

5、余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角。

6、圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标。

7、圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0。

8、倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^29、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))10、某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 51^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3高中数学的学习方法1、养成演算、校核的好习惯，提高计算能力。

2
2
2
26.三角形内角和定理
在△ABC 中，有 A B C C ( A B) C A B 2C 2 2( A B) . 22 2
27.实数与向量地积地运算律
设 λ、μ 为实数，那么
(1)
结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)
函数.
5.如果函数 f (x) 和 g(x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f (x) g(x) 也是减函数;
如果函数
y f (u) 和 u g(x) 在其对应地定义域上都是减函数,则复合函数 y f [g(x)] 是增函数.b5E2RGbCAP
6．奇偶函数地图象特征
奇函数地图象关于原点对称，偶函数地图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数地图象关于原点对称，那么
n
1 am
（
a
0,
m,
n
N
，且
n
1
）.(2)
a
m n
1
m
an
（a
0, m, n N ，且 n 1 ）.
10．根式地性质
（1） ( n
a )n
a .（2）当 n 为奇数时， n
an
a ；当 n 为偶数时， n
an
|
a
|
a, a a,
0 a
0
.
11．有理指数幂地运算性质
(1) ar as ars (a 0, r, s Q) .(2) (ar )s ars (a 0, r, s Q) .(3) (ab)r arbr (a 0, b 0, r Q) .
（5）一般式 Ax By C 0 (其中 A、B 不同时为 0).

高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+.5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x NM f x ->-⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}m in m a x m ax ()(),()(),()2b f x f f x f p f qa=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}m i n()m i n (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.常见结论的否定形式14.四种命题的相互关系否 否 逆 逆15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()nn n n P x a x a xa --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)m na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质 （1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rsa a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s ()2(1)s i n ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b aϕ=). 48.二倍角公式sin22sin cos ααα=.2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理 （1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OABS ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈.cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈. tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.53. a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式 ,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==.（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0a x b y c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b-=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0A x B y C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=. 103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD xAB yAC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅. 127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sinsin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=.135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d =.',d EA AF =.d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱. 143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=． 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为12,外接球的半径为4a . 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式mnA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 152.排列恒等式 (1）1(1)mm n n A n m A -=-+;（2）1mmn n n A A n m-=-; （3）11m m n n A nA --=; （4）11nn nn n n nA A A ++=-; （5）11mmm n n nA A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式m n C=m n m m A A =mm n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质 (1)mn C =mn nC - ; (2) m n C +1-m nC =mn C 1+.注:规定10=n C . 155.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-;（3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n rn rr rr rr C C C C C . (6)nnn rn n n n C C C C C 221=++++++ . (7)1425312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C .(8)1321232-=++++n nn n n n n nC C C C .(9)rn m rn rm n r m n rm C C C C C C C +-=+++011. (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n mn A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nnm C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +. 158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m =⋅⋅=-.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.。

高中必背88个数学公式——圆的公式1、圆体积=4/3(π）(r^3)2、面积=(π)(r^2)3、周长=2(π)r4、圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2【（a,b）是圆心坐标】5、圆的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0【d2+e2-4f>0】高中必背88个数学公式——椭圆公式1、椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)2、椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差.3、椭圆面积公式：s=πab4、椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率t,但这两个公式都是通过椭圆周率t推导演变而来。

高中必背88个数学公式——两角和公式1、sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa2、cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb3、tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)4、ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)高中必背88个数学公式——倍角公式1、tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga2、cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a高中必背88个数学公式——半角公式1、sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)2、cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)3、tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))4、ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))高中必背88个数学公式——和差化积1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb高中必背88个数学公式——等差数列1、等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)2、前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项.且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式.3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.和＝（首项＋末项）*项数÷2项数＝（末项-首项）÷公差＋1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项项数=(末项－首项）/公差＋1高中必背88个数学公式——等比数列1、等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N*,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2ar ar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m＋n=p＋q,则am·an=ap*aq；②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.高中必背88个数学公式——抛物线1、抛物线：y=ax*+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。

高中数学公式大全完整版1.代数公式：a)二次方程求根公式：对于二次方程ax²+bx+c=0，其解为：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)b)平方差公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²c)三次方差公式：(a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³d)和差化积公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A±B) = (tanA± tanB)/(1 ∓ tanAtanB) e)二项式定理：(a+b)ⁿ=nC₀aⁿb⁰+nC₁aⁿ⁻¹b¹+nC₂aⁿ⁻²b²+...+nCₙa⁰bⁿ2.几何公式：a)三角形：面积公式：S=1/2*底边*高正弦定理：sinA/a = sinB/b = sinC/c余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosCb)圆：周长公式：C=2πr面积公式：A=πr²弧长公式：L=2πr(θ/360)c)立体图形：容积公式：立方体：V=a³正方体：V=a³圆柱体：V=πr²h圆锥体：V=1/3πr²h球体：V=4/3πr³d)平移、旋转、缩放公式：平移：(x,y)→(x+a,y+b)旋转：逆时针旋转θ度：(x,y) → (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)缩放：横向缩放k倍，纵向缩放k倍：(x,y) → (kx, ky)3.概率公式：a)排列组合公式：排列：A(n,m)=n!/(n-m)!组合：C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)b)期望公式：对于离散型随机变量X，期望值E(X)=Σ(x*p(x))，其中x为X的可能取值，p(x)为对应x的概率对于连续型随机变量X，期望值E(X) = ∫(x*f(x))dx，其中f(x)表示X的概率密度函数c)标准差公式：方差σ²=Σ(x-μ)²*p(x)，其中μ为随机变量X的期望值标准差σ=√σ²d)独立事件公式：P(A∩B)=P(A)P(B)4.数列与级数公式：a)等差数列通项公式：aₙ=a₁+(n-1)db)等比数列通项公式：aₙ=a₁*r^(n-1)c)等差数列求和公式：Sn=(n/2)(a₁+aₙ)d)等比数列求和公式：Sn=a₁*(rⁿ-1)/(r-1)以上是高中数学公式的一个完整版，涵盖了代数、几何、概率、数列与级数等多个方面的公式。

高中数学公式大全（最整理新版）一、代数1. 一元一次方程：ax + b = 0，其中a ≠ 0。

解为 x = b/a。

2. 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。

解为 x =[b ± sqrt(b^2 4ac)] / 2a。

3. 一元三次方程：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0。

解为x = [b ± sqrt(b^2 3ac)] / 3a。

4. 一元四次方程：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中 a≠ 0。

解为x = [b ± sqrt(b^2 4ac)] / 2a。

5. 分式方程：分子和分母均为多项式。

解法为将方程两边乘以分母的乘积，得到一个等价的整式方程，然后求解。

6. 二元一次方程组：由两个一元一次方程组成的方程组。

解法为消元法或代入法。

7. 二元二次方程组：由两个一元二次方程组成的方程组。

解法为消元法或代入法。

8. 三元一次方程组：由三个一元一次方程组成的方程组。

解法为消元法或代入法。

9. 等差数列：首项为 a1，公差为 d。

第 n 项为 an = a1 + (n 1)d。

前 n 项和为 Sn = n/2(a1 + an)。

10. 等比数列：首项为 a1，公比为 q。

第 n 项为 an = a1q^(n 1)。

前 n 项和为 Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)，其中q ≠ 1。

二、几何1. 平面几何（1）直线：两点确定一条直线，直线方程为 y = mx + b，其中m 是斜率，b 是截距。

（2）圆：圆心为 (a, b)，半径为 r。

圆的方程为 (x a)^2 +(y b)^2 = r^2。

（3）椭圆：中心为 (a, b)，长轴为 2a，短轴为 2b。

椭圆的方程为 (x a)^2 / a^2 + (y b)^2 / b^2 = 1。

（4）双曲线：中心为 (a, b)，实轴为 2a，虚轴为 2b。

16.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
公式一： ； ； ．（其中 ）．
公式二： ； ； ．
公式三： ； ； ．
公式四： ； ；
公式五：sin( ) = ；cos( ) = ．公式六： sin( +) = ；cos( +) = ．
17.三角函数：函数 ，x∈R及函数 ，x∈R的周期 ；
18. 函数 ， (A,ω, 为常数，且A≠0)的周期 .
19.三角函数的图像：
20.
和差公式：
二倍角公式：
降幂公式：
= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).
平
面
向
量
重
要
概
念
向量定义
既有大小有有方向的量，向量的大小叫做向量的模（长）：
零向量：
长度为零，方向任意（ 与任何一个向量平行，共线）
平行（共线）向量
方向相同或者相反的向量叫做平行或共线向量
向量的夹角
平面与平面
平行的性质
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
四个定理（二）
定理
定理内容
符号表示
图像及常用方法
直线与平面
垂直的判定
一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
平面与平面
垂直的判定
一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。
（满足条件与 垂直的平面 有无数个）
24.函数的周期性：
定义：若对任意的 都有 ，则 就是周期函数，周期为T；
(3)、
25.幂函数（图像）：形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．
必背图像： .
1.立体几何四个公理：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

1. 集合与常用逻辑用语
2. 复数
3. 平面向量
4. 算法、推理与证明
5.不等式、线性规划
6. 计数原理与二项式定理
7. 函数、基本初等函数的图像与性质
8. 函数与方程、函数模型及其应用
9.导数及其应用
10.三角函数的图形与性质
11.三角恒等变化与解三角形
12.等差数列、等比数列
13.数列求和及数列的简单应用
14.空间几何体
15.空间点、直线、平面位置关系
16.空间向量与立体几何
17.直线与圆的方程
18.圆锥曲线的定义、方程与性质
19.圆锥曲线的热点问题
20.概率
21.离散型随机变量及其分布
22.统计与统计案例
23.函数与方程思想,数学结合思想
24.分类与整合思想,化归与转化思想
25.几何证明选讲
26.坐标系与参数方程。

高中数学公式大全（最全面，最详细）高中数学公式大全抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上bx再加上ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k就是y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆：体积=4/3(pi）(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10) ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S＝ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝√[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S＝√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶）| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2?sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=（a+b）÷2 s=l×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

高中数学公式第一部分：集合、条件、不等式1．集合（1）常用数集：正整数集*N N +（），自然数集Z ，有理数集Q ，实数集R . （2）子集（包括真子集和相等）、交集、并集、补集、全集、空集（注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）（3）含n 个元素的集合个数： 子集有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空真子集有22n -个.2．命题定义：可以判断真假的陈述句叫命题.四种命题：① 原命题：若p ，则q ； ② 逆命题：若q ，则p ； ③ 否命题：若p ⌝，则q ⌝；④ 逆否命题：若q ⌝，则p ⌝.注：原命题与逆否命题同真假：逆命题与否命题同真假. 四种命题的真假个数：0个，2个，4个. 3. 条件 命题p充分必要命题q .①,p q q p ⇒，p 是q 的充分不必要条件（p 是q 的真子集） ②,p q q p ⇒，q 是p 的必要不充分条件（q 是p 的真子集） ③p q ⇔，p 是q 的充要条件（p q =相等） ④,p q q p ，p 是q 的及不充分也不必要（p 、q 互补包容）技巧：小范围推大范围，大范围不能推小范围，即小的推大的，大的不能推小的.4. 逻辑连词、量词（1）逻辑连词或且非，或命题一真就真，且命题全真才真，非命题真假互换。

①且（交集）：p q ∧； ②或（并集）：p q ∨； ③非（结论否定）：p ⌝ （2）量词一般有两个，全称量词所有的，存在量词有一个，若要否定变形式.全称命题:p x ∀；特称命题:p x ∃；5. 二次方程两项：（1）直接开平方（形如21x =）；（2）提取公因式（形如220x x -=）； 三项：（3）十字相乘法；（4）配凑法（提；配；括；完）（5）公式法：求根公式x =,判别式24b ac ∆=-；韦达定理：1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.6. 不等式的性质两个实数比较大小的方法：（1）作差法：与0比000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩； （2）作商法：与1比111aa bb aa b b aa b b ⎧>⇔>⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪<⇔<⎪⎩(0)b >；性质： （1）乘法0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭ 0a b ac bc c >⎫⇒<⎬<⎭. （2）同向相加a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭.（3）同向相乘00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭.7．二次次不等式（1）20ax bx c ++>的解集1{|x x x <或2}x x >，“大于取两边”. （2）20ax bx c ++<的解集12{|}x x x x <<“小于取中间”.若2()(0)f x ax bx c a =++≠，则当00a >⎧⎨∆<⎩时，()0f x >恒成立；当00a <⎧⎨∆<⎩时，()0f x <恒成立．8．二次函数一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠方法： （1）配方法，顶点式：2()()f x a x m n =-+， 对称轴x m =；顶点(,)m n（2）十字相乘法，交点式：12()()()f x a x x x x =-- 与x 轴的交点：12x x x =、 （3）对称轴方程：1222x x b x a +=-= 顶点坐标：2424,b ac b a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭9．分式不等式化整式（1）()0()()0()f x f x g x g x >⇔⋅>． （2）()0()()0()f x f xg x g x ⇔⋅≥≥且()0g x ≠（3）()0()()0()f x f x g x g x <⇔⋅< （4）()0()()0()f x f xg x g x ⇔⋅≤≤且()0g x ≠ 10．绝对值不等式若0a >， （1）x a a x a <⇔-<< “小于取中间”；（2）x x a a >⇔<-或x a >“大于取两边” 若0c >， （1）ax b c c ax b c +<⇔-<+<；（2）ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-第二部分 函数、导数1．指数运算==整数幂：（1）n a a a a=⋅（n个a相乘）（2）1nnaa-=（3）01(0)a a=≠分数幂：（1）1na=（2）mna=（3）mna-指数运算：·m n m na a a+=，mm nnaaa-=，()m m mab a b=，()n m mna a=．2．对数运算（1）指数与对数互化：log(0,,10)xax aaN N a N==>≠>⇔（2）对数恒等式：①log10a=；②log1aa=；③log a Na N=；④log Naa N=（指对之后还是N）（3）常用对数：10loglgN N=；自然对数：ln log( 2.7)eN N e=≈（4）对数的运算：①加乘：log log log()a a aM N MN+=；②减除：log log loga a aMM NN-=（3）顶在外：log logna an bb=（4）顶在外，体位不变：log logmnaabnbm=（5）体位不变:logloglogcacbba=（学名换底公式，常用在对数的乘法运算中，但不常用）3．函数的定义域（1）分式：1x（0x≠）（2x≥）（3）零指数幂：0x（0x≠）nx-（0x≠）（4）对数：logax（0x≠）4．函数的解析式求函数解析式的4种方法（1）换元法（从前到后）（2）配凑法（从后到前）（3）待定系数法（4）解方程组法：()f x与1()fx，()f x-解方程组5．函数的单调性设1x、2x[,]a b∈，那么（1）若12x x<，12()()0f x f x-<()f x⇔为增函数；若1212()()0()f x f xf xx x->⇔-为增函数（同号为增）；（2）若12x x<，12()()0f x f x->()f x⇔为减函数；若1212()()0()f x f xf xx x-<⇔-为减函数（异号为减）；复合函数(())f g x的单调性：()f u、()u g x=“同增异减”.6．函数的奇偶性偶函数：（1）定义域关于原点对称（2）()()f x f x -= 偶函数图像关于y 轴对称； 奇函数：（1）定义域关于原点对称（2）()()f x f x -=- 奇函数图像关于原点对称； 公共定义域内有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇. 7. 函数的对称性对称轴：()()()f a x f a x f x +=-⇔图像关于直线x a =对称．()()f a x f b x +=-⇔对称轴2a bx +=； 对称中心：()()2()f a x f a x b f x ++-=⇔图像关于点（a ，b ）对称.()()0f a x f b x ++-=⇔对称中心(0)2a b+，.8. 函数的周期性（1）()()f x a f x +=，T a =．（2）()()f x a f x +=-，2T a =．（3）1()()f x a f x +=，2T a =． （4）1()()f x a f x +=-，2T a =．（5）()()f a x f b x +=+，||T a b =-． （6）两个对称轴是半个周期12T ：()f x 关于直线x a =，x b =对称，那么2||T a b =-．（7）两个对称中心也是半个周期12T ：()f x 关于点（a ，0）（b ，0）对称，那么2||T a b =-．（8）对称轴与对称点是14个周期：()f x 关于直线x a =，点（b ，0）对称，那么4||T a b =-．三角函数图像可证明（6）（7）（8）. 9. 常见的五种函数（1）一次函数：y kx b =+（0k ≠）；k ：斜率，b ：y 轴上的截距；①0k >，递增；②0k <，递减． （2）二次函数：2y ax bx c =++（0a ≠）；①看a ；②看∆；③画图；④求解．（3）三次函数：32y ax bx cx d =+++；求导（4）反比例函数：ky x =（0k ≠）；①0k >，图像在一、三象限；②0k <，图像在二、四象限（5）双勾函数：ay x x=+（0a >）；①0x >，当x =min y =；②0x <，当x =max y =-.10. 基本不等式（1）a b +≥222a b ab +≥； （2）222()22a b a b ab ++≤≤ 满足三个条件：“一正二定三相等” 口诀：ab ≤均值的平方≤平方的均值.11. 零点问题方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点. 函数零点存在性定理：函数()y f x =在区间[],a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，则存在零点. 函数单调，则存在一个零点. 函数零点个数的判断方法： （1）直接求零点；（2）利用零点存在性定理，再结合函数的单调性确定零点个数； （3）利用函数图象的交点个数判断12.xR15.（1）平移变换（2）对称变换（3）伸缩变换（4）翻折变换导数部分（一）导数公式 1． 函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：2121()()f x f x x x --.2．导数定义：()f x 在点0x 处的导数（瞬时变化率），记作000000()()|=()lim limx x x x f x x f x yy f x x x=∆→∆→+∆-∆''==∆∆ 3． 函数()y f x =在0x 点处的导数的几何意义——切线的斜率切点00(,())P x f x ，斜率0()y f x '=，切线方程：000()()y y f x x x '-=-. 4．常见函数的导数常函数()f x c c = c 为常数 ()0f x '= 幂函数()f x x α= 1() f x x αα'-= 三角函数()sin ()cos ()cos ()sin f x x f x x f x x f x x ''====- 指数函数()()ln ()e e()xx xx f x a f x a a f x f x ''====对数函数n 11()log ()()ln ()l a f x x f x f x xf x x ax''====5．导数的运算法则（1） [()]k ()kf x f x ''=常数不用导（2） [()()]()()f x g x f x g x '''±=±各自导各自（3） [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+前导后不导加上后导前不导（4） 2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦上导下不导减去下导上不导 除以分母的平方6．复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()() , y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅. （二）导数研究函数① 求导 ② 因式分解 ③ 令 (),'=f x 0解得x 的值，即极值点 ④ 求单调性：()0()f x f x '>⇒是增函数； ()0()f x f x '<⇒为减函数. ⑤ 求极值: 列表得极值：（1）如果在0 x 附近的左侧()0f x '>右侧()0f x '< ，那么()0f x 是极大值； （2）如果在0 x 附近的左侧()0f x '< 右侧 ()0f x '>，那么()0f x 是极小值 ⑥ 函数的最值（1）连续函数()f x 在闭区间[] , a b 上必有最大值与最小值.（2）将函数的极值与端,点处的值()(), f a f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值.第三部分：三角函数（公式、图像、解三角形）1. 角的概念与弧度制（1）角的概念：任意角的定义；正角（逆）、负角（顺）、零角；象限角轴上角；终边相同的角 （2）角度制与弧度制的互化： 180π=︒，157≈︒ 2. 扇形弧长、扇形面积公式（1）圆的周长2c r π=；圆的面积2S r π=. （2）扇形的弧长公式: l r θ=. （3）扇形面积公式:211||22s lr r α==. 3. 三角函数的定义（1） 三角函数的定义:角α终边上任一点(), P x y ,设OP r =，则：sin =y r α=对斜 ， cos =xr α=邻斜 ， tan =y xα=对邻 .（2） 三角函数的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦 （3） 特殊角的三角函数值：（单位圆或查表）角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 06π4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π π2sin α 012 22 321 3222 12 0 -1 0 cos α 132 2212 0122232 -1 01 tan α 03313 不存在 3--133- 0不存在4. 同角关系式（1）22sin cos 1θθ+= 知一求二 sin cos tan θθθ、、；平方搭桥2(sin cos )12sin cos αααα±=±； （2）sin tan cos θθθ=弦切互化（分式齐次，分子分母同除以cos θ） 5. 诱导公式（1）诱导公式的作用:化简⇒大角化小角，负角化正角，最好化成特殊角.（2）谨记:出现轴上角才用诱导公式.（3）口诀:“奇变偶不变，符号看象限”. 6. 两角和与差（1）:sin()sin cos cos sin a βαβαβαβ±±=±S ； （2）:cos()cos cos sin sin a βαβαβαβ±±=C ；（3）tan tan :tan()1tan tan a βαβαβαβ±±±=T 配角技巧:所求角表示为已知角和特殊角的和、差、倍的形式.7⎫⎧π相邻对称中心（两对称轴）间隔半个周期T 21；相邻对称中心与对称轴间隔T 41. 8．二倍角公式、降幂公式（1）αααcos sin 22sin = （2）ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= （3）ααα2tan 1tan 22tan -= 降幂公式：22cos 1cos 2αα+=；22cos 1sin 2αα-=. 9. 辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y ，ab=ϕtan ，22sin ba b +=ϕ，22cos ba a +=ϕ10. 三角函数的图像变换：x y sin =经过图像变换得到1)32sin(2++=πx y方法一：① 向左平移3π，得到)3sin(π+=x y ； ② 横坐标缩短到原来的21倍，得到)32sin(π+=x y ；③ 纵坐标伸长到原来的2倍，得到)32sin(2π+=x y ；④ 向上平移1个单位长度，得到1)32sin(2++=πx y .方法二：① 横坐标缩短为原来的21倍，得到x y 2sin =；② 向左平移6π，得到)32sin()]6(2sin[ππ+=+=x x y ；③④ 同上.11. 三角函数的解析式 （1）2M m A -=， （2）2M m B +=， （3）ω：先求周期T ，再由2T πω=得ω．把A 、B 、ω代入sin()y A x B ωϕ=++中（4）ϕ：代特殊点：上升点(2,0)k π、最高点2,12k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭下降点(2,0)k ππ+最低点32,12k ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭即得统一的形式：sin()y A x B ωϕ=++ 三角函数图像化简思路：二次化一次（2倍角、降幂公式），一次再统一（辅助角、两角和差）,即 化成统一的形式sin()y A x B ωϕ=++. 12. 正弦型函数的性质正弦型函数sin()y A x ωϕ=+(0)A >方法：整体代入 （1）周期：2||T πω=（2）奇偶性：当2k πϕπ=+时，sin()cos y A x A x ωϕω=+=±偶函数；当k ϕπ=时，sin()sin y A x x ωϕω=+=±奇函数.（3）最值：当22x k πωϕπ+=+时，y 最大；22x k πωϕπ+=-+时，y 最小。

高中数学公式大全（最全面，最详细）高中数学公式大全抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上bx再加上ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k就是y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆：体积=4/3(pi）(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10) ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S＝ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝√[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S＝√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶）| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2?sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=（a+b）÷2 s=l×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

高中数学公式抛物线:y = ax *+ bx + c就是 y 等于 ax 的平方加上 bx再加上 ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为 y 轴还有顶点式 y = a(x+h * + k就是 y 等于 a 乘以(x+h的平方 +k-h是顶点坐标的 xk是顶点坐标的 y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程 :y^2=2px它表示抛物线的焦点在 x 的正半轴上 , 焦点坐标为 (p/2,0 准线方程为 x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴 , 故共有标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆:体积 =4/3(pi (r^3面积 =(pi(r^2周长 =2(pir圆的标准方程 (x-a2+(y-b2=r2 注:(a,b 是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0(一椭圆周长计算公式椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb 加上四倍的该椭圆长半轴长(a 与短半轴长(b 的差。

(二椭圆面积计算公式椭圆面积公式: S=πab椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π乘该椭圆长半轴长(a 与短半轴长(b 的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率 T ,但这两个公式都是通过椭圆周率 T 推导演变而来。

常数为体,公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径 *短半径 *PAI*高三角函数:两角和公式sin(A+B=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B=(tanA+tanB/(1-tanAtanB tan(A-B=(tanA-tanB/(1+tanAtanBcot(A+B=(cotAcotB-1/(cotB+cotA cot(A-B=(cotAcotB+1/(cotB-cotA倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A cot2A=(cot2A-1/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n+sin(α+2π*2/n+sin(α+2π*3/n+…… +sin[α+2π*(n-1/n]=0 cosα+cos(α+2π/n+cos(α+2π*2/n+cos(α+2π*3/n+…… +cos[α+2π*(n-1/n]=0 以及sin^2(α+sin^2(α-2π/3+sin^2(α+2π/3=3/2tanAtanBtan(A+B+tanA+tanB-tan(A+B=0²万能公式:sinα=2tan(α/2/[1+tan^2(α/2]cosα=[1-tan^2(α/2]/[1+tan^2(α/2]tanα=2tan(α/2/[1-tan^2(α/2]半角公式sin(A/2=√ ((1-cosA/2 sin(A/2=-√ ((1-cosA/2cos(A/2=√ ((1+cosA/2 cos(A/2=-√ ((1+cosA/2tan(A/2=√ ((1-cosA/((1+cosA tan(A/2=-√ ((1-cosA/((1+cosAcot(A/2=√ ((1+cosA/((1-cosA cot(A/2=-√ ((1+cosA/((1-cosA和差化积2sinAcosB=sin(A+B+sin(A-B 2cosAsinB=sin(A+B-sin(A-B2cosAcosB=cos(A+B-sin(A-B -2sinAsinB=cos(A+B-cos(A-BsinA+sinB=2sin((A+B/2cos((A-B/2 cosA+cosB=2cos((A+B/2sin((A-B/2 tanA+tanB=sin(A+B/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B/sinAsinB某些数列前 n 项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+… +n=n(n+1/2 1+3+5+7+9+11+13+15+… +(2n-1=n22+4+6+8+10+12+14+… +(2n=n(n+1 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1(2n+1/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+… n^3=(n(n+1/2^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+… +n(n+1=n(n+1(n+2/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角乘法与因式分 a2-b2=(a+b(a-b a3+b3=(a+b(a2-ab+b2 a3-b3=(a-b(a2+ab+b2 三角不等式|a+b|≤ |a|+|b| |a-b|≤ |a|+|b| |a|≤ b<=>-b≤ a ≤ b|a-b|≥ |a|-|b| -|a|≤ a ≤ |a|一元二次方程的解 -b+√ (b2-4ac/2a -b-√ (b2-4ac/2a根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注:韦达定理判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根b2-4ac>0 注:方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程 (x-a2+(y-b2=r2 注:(a,b 是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c'h'圆台侧面积 S=1/2(c+c'l=pi(R+rl 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S'L 注:其中 ,S' 是直截面面积, L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长 =(长 +宽³2正方形的周长 =边长³4长方形的面积 =长³宽正方形的面积 =边长³边长三角形的面积已知三角形底 a ,高 h ,则 S =ah/2已知三角形三边 a,b,c, 半周长 p, 则S =√ [p(p - a(p - b(p - c] (海伦公式(p=(a+b+c/2和:(a+b+c*(a+b-c*1/4已知三角形两边 a,b, 这两边夹角 C ,则 S =absinC/2设三角形三边分别为 a 、 b 、 c ,内切圆半径为 r则三角形面积 =(a+b+cr/2设三角形三边分别为 a 、 b 、 c ,外接圆半径为 r则三角形面积 =abc/4r已知三角形三边 a 、 b 、 c, 则S =√ {1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2/2^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶| a b 1 |S△ =1/2 * | c d 1 || e f 1 |【 | a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式 , 此三角形 ABC 在平面直角坐标系内 A(a,b,B(c,d, C(e,f,这里 ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小! 】秦九韶三角形中线面积公式 :S=√ [(Ma+Mb+Mc*(Mb+Mc-Ma*(Mc+Ma-Mb*(Ma+Mb-Mc]/3其中 Ma,Mb,Mc 为三角形的中线长 .平行四边形的面积 =底³高梯形的面积 =(上底 +下底³高÷2直径 =半径³2 半径 =直径÷2圆的周长 =圆周率³直径 =圆周率³半径³2圆的面积 =圆周率³半径³半径长方体的表面积 =(长³宽 +长³高+宽³高³2长方体的体积 =长³宽³高正方体的表面积 =棱长³棱长³6正方体的体积 =棱长³棱长³棱长圆柱的侧面积 =底面圆的周长³高圆柱的表面积 =上下底面面积 +侧面积圆柱的体积 =底面积³高圆锥的体积 =底面积³高÷3长方体(正方体、圆柱体的体积 =底面积³高平面图形名称符号周长 C 和面积 S正方形 a—边长 C=4aS=a2长方形 a和 b -边长 C=2(a+bS=ab三角形 a,b,c-三边长h-a 边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中 s =(a+b+c/2 S=ah/2=ab/2?sinC=[s(s-a(s-b(s-c]1/2=a2sinBsinC/(2sinA1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行,同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180°18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理 (sas 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理 ( asa有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论 (aas 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理 (sss 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理 (hl 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 (等角对等边35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理 3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于 360°49四边形的外角和等于 360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2³180°51推论任意多边的外角和等于 360°52平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理 2 矩形的对角线相等62矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积 =对角线乘积的一半,即 s=(a ³b ÷267菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理 2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等76 等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l ³h 83 (1比例的基本性质如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2合比性质如果 a／b=c／d,那么(a±b／b=(c±d／d 85 (3等比性质如果 a ／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0,那么(a+c+…+m／(b+d+… +n=a／b 86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例， 88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等，两三角形相似（asa） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas） 94 判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相似（sss） 95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109 定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

（完整word版）高中数学公式一览表.docx公式分类乘法与因式分解集合三角不等式一元二次方程的解二次函数顶点坐标及开口方向根与系数的关系判别式三角函数公式高中所用重点公式汇总公式表达式2233223322a b(a b)( a b) a b(a b)(a ab b ) a b(a b)(a ab b )如果集合 A 有 n 个元素，则 A 的子集的个数为2n个，A的真子集的个数为2n1个；A 的非空真子集为2n 2 个。

如果 p q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。

若p、q 都为集合，则p q；若 p q，则p q。

|a+b| ≤|a|+|b||a- b| ≤|a|+|b||a| ≤b- b≤a≤b|a- b| ≥|a| -|b|- |a| ≤a≤|a|b b 24acx1, 22a二次函数y ax2bx c( a0) 顶点为 b , 4ac b2，对称轴xb； a 02a4a2a时，图像开口向上，a0 时，图像开口向下。

x1 x2=-b/a x1 ? x2=c/a注：韦达定理b24ac0注：方程有两个相等的实根b24ac0注：方程有两个不等的实根b24ac0注：方程有两个共轭复数根总口诀为：奇变偶不变，符号看象限。

其中“奇、偶”式指数“诱导公式奇偶；“符号”是把任意角看做锐角时，原函数值的符号。

k ?”（k Z ）中 k 的2sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 两角和公式tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2 tan Acot 2 A 1tan 2Acot 2A2 cot A倍角公式1 tan2 Acos2cos 2sin 22cos 21 12 sin 2半角公式和差化积三角函数值的最值1 cos Asin( A / 2)1 cos Asin( A / 2)221 cos Acos( A / 2) 1 cos Acos( A / 2)221 cos Atan( A / 2)1 cos Atan( A / 2)cos A1 cos A12sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB22bb 2, cosaa sinb cos a b sin()其中 sina2a 2b 2通向公式： a n a 1 (n 1) d 等差数列前 n 和： S nn(a 1 2 a n ) na 1n( n 1) dna n n( n 1) d22等差中： Aa b2通向公式： a na 1 q n1等比数列na 1.................................(q 1) 前 n 和： S na (1 q n ) a a q ........(q 1)1 1 q 1n1 q某些数列前 n 1+2+3+4+5+6+7+8+9+? +n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+? +(2n-1)= n 2项和2+4+6+8+10+12+? +（ 2n ） =n （ n+1）122 2 n 2 n(n 1)( 2n1) / 61323 33n 3n 2 (n 1)2 / 41 2 2 3 3 4n( n 1) n(n 1)(n 2) / 3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接半径余弦定理b 2a 2 c 22accosB注：角 B 是 a 和 c 的角向量基本公式特殊情况线段定比分点公式中点公式三角形重心公式圆的标准方程圆的一般方程椭圆的相关重点内容双曲线设a ( x1 , y1 )b (x2 , y2 )，为实数a b ( x1x2 , y1 y2 )a( x1 , y1 )a? b x1 x2y1 y2| a |x12y12a// b(x1 , y1 )( x2 , y2 )x1 y2x2 y10a b a? b x1x2y1 y20xx1x2点 P x, y的坐标为：1yy1y21xx1x22yy1y22xx1x2x33yy1y2y33(x a)2( y b)2r 2注：（ a,b ）是圆心坐标x2y2Dx Ey F0注： D 2 E 24F 01. 标准方程：x 2y2b0 ）2.准线： x2b21（其中 aca3. 离心率：ec( 0e1) 4.左焦距： a ex ；右焦距：a exa1. 标准方程：x2y21(0,0,222) 2.准线： x a2c a ba2b2a b c3. 离心率：ec(e1) 4.左焦距： | a ex| ；右焦距： | a ex | a5.通径： 2b26.渐近线： y b xa ax a sec7.参数方程：为参数y b tan1.标准方程： y 2= 2 px 2.准线： xp 3. 焦点： ( p,0)2p 4.焦半径： |PF|= x22抛物线2 p6. 焦点弦： |AB|= x 1 x 2 p 5. 通径长度：x 1x 2p 2 , y 1 y 2 p 24直棱柱侧面积圆柱侧面积S c ?h弧长公式l =a ? r锥体体积公式V1Sh3柱体体积公式V ShS c ?h （ c 为底面周长）圆锥侧面积S1c ?l （ l 为母线长）2a 是圆心角的弧度数 r >0扇形面积公式s= 1l ? r2圆锥体体积公式V = 1 r 2h3圆柱体V = r 2 h（ 1）正整数指数幂： a n a aa(nN * ) （ 2）零指数幂： a 01(a 0)（ 3）负整数指数幂： a n 1n (a 0,n N * )a指数幂的运算mnm1a m, an(a 0,)（ 4）分数指数幂： a n法则na m（ 5） a m a na m n ； a m a na m n（ 6） (a m ) na m?nnnnaa n（7）(a b)a b； ( ) n , (b 0)bb n设 a >0， a1 ， m 0, n 0 则①负数和零没有对数②log a 1 0 ，即 1 的对数恒等于零； log a a 1 ，即底数的对数恒等于 1对数性质及运算法则③ a logaNN④log a (m n) log a m log a n⑤log aM log a M log a NN⑥logan bmmlog a bn⑦log n blog a b， log a b ? log b a1 log n a 1.A m n(n1)( n2)( n m 1)(mn排列公式n!( m n)(n m)!2.A n n( n1)(n2) 3 2 1n1.m n!A n m(m n) Cn m!(n m)!A m m组合公式C n m C n n m(m n)2.3.C n m1 C n m C n m 1( m n)(a b) n C n0 a n C n1 a n 1b C n2a n 2b2二项式定理其中第 r 1 项为：T r 1C n r a n r b r1.C'02.3.(sin x)'cosx4.常用导数公式1log a e5.(log a x)'6.x7.( a x )' a x ln a8.1.(u v)' u'v'2.导数的运算( u)'u' v u v'3.（ v0 ）4.v v2公式口诀：一、《集合与函数》n)C n n b n( x n )' n x n 1( x Q)(cos x)'sin x(e x )' e x(ln x)'1xu v 'u' v u v'复合函数的导数：y x y u ' u x '内容子交并补集，还有幂指对函数。

高中数学公式表一、代数公式1. 四则运算公式：- 加法公式：a + b = b + a- 减法公式：a - b ≠ b - a- 乘法公式：a × b = b × a- 除法公式：a ÷ b ≠ b ÷ a2. 幂运算公式：- 正整数幂公式：aⁿ × aᵐ= aⁿ⁺ᵐ- 负整数幂公式：a⁻ⁿ = 1/aⁿ- 幂的乘法公式：(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ- 幂的除法公式：(aⁿ)÷(aᵐ) = aⁿ⁻ᵐ3. 因式分解公式：- 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)- 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)² - 平方和公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²4. 根式公式：- 同底数幂相乘取根公式：√(aⁿ × bⁿ) = √(aⁿ) × √(bⁿ) = a√(b) - 同底数幂相除取根公式：√(aⁿ÷ bⁿ) = √(aⁿ) ÷ √(bⁿ) = aⁿ√(b)二、几何公式1. 平面图形公式：- 长方形的面积公式：A = l × w- 正方形的面积公式：A = a²- 三角形的面积公式：A = 1/2 × b × h- 圆的面积公式：A = πr²2. 空间图形公式：- 立方体的体积公式：V = l × w × h- 正方体的体积公式：V = a³- 圆柱体的体积公式：V = πr²h- 圆锥体的体积公式：V = 1/3 × πr²h三、三角函数公式1. 基本三角函数公式：- 正弦函数的定义：sinθ = 对边/斜边- 余弦函数的定义：cosθ = 邻边/斜边- 正切函数的定义：tanθ = 对边/邻边2. 三角函数的基本关系：- 正弦函数与余弦函数的关系：sin²θ + cos²θ = 1- 正切函数与余切函数的关系：tanθ = 1/cotθ3. 三角函数的和差公式：- 正弦函数的和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ - 余弦函数的和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ- 正切函数的和差公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓tanαtanβ)四、概率与统计公式1. 概率公式：- 加法法则：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)- 乘法法则：P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)2. 统计公式：- 平均值公式：平均值 = (数据之和) ÷ (数据的个数)- 方差公式：方差 = [(每个数据与平均值之差的平方之和) ÷ (数据的个数)]五、数列与数学归纳法公式1. 等差数列公式：- 第n项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d- 前n项和公式：Sₙ = n/2(a₁ + aₙ)2. 等比数列公式：- 第n项公式：bₙ = b₁ × rⁿ⁻¹- 前n项和公式：Sₙ = b₁ × (1 - rⁿ)/(1 - r)以上是高中数学公式表的一部分，这些公式涵盖了代数、几何、三角函数、概率与统计、数列与数学归纳法等各个方面。