2019-2020年高中数学第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习(含解析)

课时跟踪训练(一) 分类加法计数原理和分步乘法计数原理1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有( )A ．37种B ．1 848种C ．3种D ．6种2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a ，b 组成复数 a ＋b i ，其中虚数有( )A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，不同的选法共有( )A ．756种B ．56种C ．28种D ．255种4.用4种不同的颜色给矩形A ，B ，C ，D 涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．72种5．为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同的种植密度，3种不同的种植时间的因素下进行种植试验，则不同的实验方案共有________种．6．如图，A →C ，有________种不同走法．7．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5}．(1)求满足条件的椭圆的个数；(2)如果椭圆的焦点在x 轴上，求椭圆的个数．8．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？答案1．选A 根据分类加法计数原理，得不同的取法为N ＝12＋14＋11＝37(种)． 2．选C 完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部 b 有6种选法；第二步，实部 a 有6种选法．由分步乘法计数原理知，共有虚数 6×6＝36 个．3．选D 推选两名来自不同年级的两名学生，有N＝9×12＋12×7＋9×7＝255(种)．4．选D 先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法．由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种涂法．5．解析：根据分步乘法计数原理，不同的方案有N＝3×2×4×3＝72(种)．答案：726．解析：A→C的走法可分两类：第一类：A→C，有2种不同走法；第二类：A→B→C，有2×2＝4种不同走法．根据分类加法计数原理，得共有2＋4＝6种不同走法．答案：67．解：(1)由椭圆的标准方程知a≠b，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了．∴要确定一个椭圆共分两步：第一步确定a，有5种方法；第二步确定b，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．(2)要使焦点在x轴上，必须a>b，故可以分类：a＝2,3,4,5时，b的取值列表如下：故共有1＋2＋38．解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12种．因此有N＝8＋12＝20种不同的选法．。

2019年高中数学第一章计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时训练理新人教A版选修2-31．分类加法计数原理分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有____________种不同的方法.推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有____________种不同的方法.注意：任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，而不需要再用到其他方法.2．分步乘法计数原理分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有____________种不同的方法.推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有____________种不同的方法.3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系和区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各类方法__________，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤__________才算完成这件事.参考答案：1．2．3．相互独立都完成一、分类加法计数原理的应用若所给问题满足下列三个特点：（1）完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类；（2）用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；（3）把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.则这个问题可以用分类加法计数原理解决.【例1】某校高二共有三个班，各班人数如下表：（1）从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从高二（1）班、（2）班男生中或从高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？【解析】（1）从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高二（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高二（2）班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高二（3）班中选出1名学生，有55种不同的选法.（2）从高二（1）班、（2）班男生或高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高二（1）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高二（2）班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高二（3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从高二（1）班、（2）班男生或高二（3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法.二、分步乘法计数原理的应用若所给问题满足下列三个特点：（1）完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可；（2）完成每一步有若干方法；（3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.则这个问题可以用分步乘法计数原理解决.【例2】如图,将图中的四个区域涂色,有5种不同的颜色可供选择，规定一个区域只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有______种．【解析】由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方案有种.【名师点睛】解答涂色问题有两种方法：（1）选择正确的涂色顺序,按步骤逐一涂色,这时用分步乘法计数原理进行计数；（2）根据涂色时所用颜色数的多少,进行分类处理,这时用分类加法计数原理进行计数.注意：“相邻区域不得使用同一种颜色”,找好不相邻的区域是解题的关键.一般地,在分步涂色时,要注意尽量让相邻区域多的区域先涂色.三、两个计数原理的综合应用“分类”应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于且仅属于其中某一类.“分步”应满足：完成一件事必须且只需连续完成若干步.在实际中，很多问题都需要既分类又分步才能完成，解决这类问题时，一般先分类再分步.在分类和分步的过程中,要先明确分类和分步的标准,以做到不重不漏.【例3】用0，1，2，3，4五个数字，①可以排出多少个三位数字的电话号码？②可以排成多少个三位数？③可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？【解析】①三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5=53=125(种).②三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5=100(种).③被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3=12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3=18种排法.因而有12+18=30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.【名师点睛】对于已知几个数字组成三位数、四位数等问题,一般需利用分步乘法计数原理求解,注意：（1）数字中是否含有0,因为三位数、四位数等的最高位数字不能为0；（2）组成的数是否允许数字重复出现,这会影响数字的选择.四、未选准分步依据致错【例4】将4封信投入到3个信箱中，共有多少种不同的投法？【错解】第1个信箱可能投1封信，2封信，3封信或4封信，共有4种投法；同理，第2个信箱也有4种投法，第3个信箱也有4种投法.根据分步乘法计数原理，共有种不同的投法.【错因分析】要完成的一件事是“将4封信投入到3个信箱中”，且1封信只能投入1个信箱，错解中会出现1封信同时投入2个信箱或3个信箱的情况，这是不可能发生的.因此，分步的依据应该是“信”，而不应该是“信箱”.【正解】第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法;同理，第2，3，4封信各有3种投法.根据分步乘法计数原理，共有种投法.【名师点睛】对于一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，求解的关键是明确要完成的一件事是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.对于本题，若是将3封信投入到4个信箱中，则共有种不同的投法.1．有不同的红球5个，不同的白球4个.从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有A．9种B．16种C．20种D．32种2．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有A．24种B．9种C．3种D．26种3．现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有A．4种B．6种C．8种D．12种4．由组成的无重复数字的五位偶数共有A. 个B. 个C. 个D. 个5．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守当地某月日至日天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为A．5B．24C．32D．646．一个三位数的密码，每一位都由0~4的5个数字随机组成，则不同的密码种数是_________(用数字作答). 7．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有_________个(用数字作答).8．7人站成两排队列，前排3人，后排4人.现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为_________(用数字作答).9．某单位职工义务献血，在体检合格的人中,型血的共有28人，型血的共有7人，B型血的共有9人,AB 型血的共有3人.（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？10．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选两人做发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？11．用红、黄、蓝、绿4种颜色为一个五棱锥的六个顶点着色,要求每一条棱的两个端点着不同的颜色,则不同的着色方案共有A．120种B．140种C．180种D．240种12．现有某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为__________．13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33,⋯,99.3位回文数有90个：101,111,121, ⋯,191,202, ⋯,999.则4位回文数有________个；2n＋1(n∈)位回文数有________个.14．不定方程的非负整数解的个数为.15．某印刷厂的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？16．（xx新课标全国Ⅱ）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24B．18C．12D．917．（xx安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有A．24对B．30对C．48对D．60对1．C 【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，要取两个不同颜色的球，首先取一个红球，有5种结果，再取一个白球，有4种结果，根据分步计数原理，得到共有5×4=20种结果.2．B 【解析】根据分类加法计数原理可得，不同的选法有4+3+2=9种，故选B.3．B 【解析】首先给下面一个涂色，有三种涂色方法，再给上面的最左边涂色，有两种涂色方法，中间一块只有一种涂色方法，右边的一块只有一种涂色方法，根据分步计数原理，得共有种不同的涂色方法. 4．B 【解析】分两类：第一类，若五位数的个位数是，则有个偶数；第二类，若五位数的个位数是，由于不排首位，因此首位只能排中的一个，依据分步计数原理可得个偶数.由分类加法计数原理，可得所有无重复数字的五位偶数的个数为，故选B .5．D 【解析】日至日，分别为，有天奇数日，天偶数日，第一步，安排奇数日出行，每天都有种选择，共有种不同的用车方案；第二步，安排偶数日出行，分两类，第一类，先选天安排甲的车，另外一天安排其他的车，有种不同的用车方案；第二类，不安排甲的车，每天都有种选择，共有种不同的用车方案，共有种不同的用车方案，根据分步计数原理，可得不同的用车方案共有种.故选D.6．125 【解析】由分步乘法计数原理，可得不同的密码数有种.7．12【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，组成的数字含有三个1，三个2，三个3，三个4共4种情况，当含有三个1时，“好数”为2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141；当含有三个2时，“好数”为2221；当含有三个3时，“好数”为3331；当含有三个4时，“好数”为4441.根据分类加法计数原理，得到“好数”共有12个.8．360 【解析】分三个步骤：第一步，先从甲、乙、丙三个人中选出一个人加入前排，有3种方法；第二步，将这个人加入前排的4个空位中，有4种方法；第三步，再依次将剩余两人加入后排.先加入的一个人有5种方法，后加入的那个人有6种方法.由分步计数原理，可得不同的加入方法种数为.9．【解析】从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.（1）任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,这件“任选1人去献血”的事情都能完成,所以由分类加法计数原理,得共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法.（2）要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的事情才完成,所以由分步乘法计数原理,得共有28×7×9×3＝5292种不同的选法.10．【解析】（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.根据分类加法计数原理，得共有N＝7＋8＋9＋10＝34(种)不同的选法.（2）分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.根据分步乘法计数原理，得共有N＝7×8×9×10＝5040(种)不同的选法.（3）分六类，每类又分两步：第一类，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；第二类，从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；第三类，从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；第四类，从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；第五类，从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；第六类，从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法.所以，共有N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)不同的选法.11．A 【解析】设五棱锥S-ABCDE,先涂顶点S有4种不同的方法;接着涂顶点A只有3种不同的方法;再接着涂顶点B有2种不同的方法;再涂C点时,若C与A的颜色相同,则D有2种不同的涂法,E只有1种涂法,若C与A的颜色不相同,C只有1种涂法,若D与A的颜色相同,E有2种不同的涂法;若D与A的颜色不相同,则E只有1种涂法,根据分类加法计数原理与分步乘法计数原理可知,不同的着色方案共有4×3×2×[1×2×1+1×(1×2+1×1)]=120种.12．【解析】由题意知m的可能取值为1,2,3，…，7；n的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m，n，则若m＝1，n可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理，m取2,3，…，7时，n也有9种情况，故m，n 的取值情况共有7×9＝63种．若m，n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7，n的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为.13．90; 9×10n 【解析】4位回文数的特点为中间两位相同,千位和个位相同但不能为0.第一步,选千位数字,共有9种选法;第二步,选中间两位数字,有10种选法,故4位回文数有9.对于2n ＋1(n ∈ )位回文数，第一步,选左边第一个数字,共有9种选法;第二步,分别选左边第2,3,4,…,n ,n ＋1个数字,共有10种选法,故2n ＋1(n ∈ )位回文数有914．【解析】令，则，这时1,2,3,,10,10,9,,1y z =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅共种可能；若，则，这时1,2,3,,9,9,8,,1y z =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅共种可能；若，则，这时1,2,3,,8,8,7,,1y z =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅共种可能；…；若，共种可能.所以共有种可能；若则1,2,,11,11,10,,1y z =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，共有种可能；同理，若则1,2,,11,11,10,,1x z =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，共有11种可能；若则1,2,,11,11,10,,1x y =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，共有种可能，这样共有种可能.另外，还有0,0,12;0,12,0;12,0,0=========z y x z y x z y x 三种可能，所以总共有种可能，故不定方程的非负整数解的个数为，应填.15．【解析】首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准.下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有3×1＝3种选法.第二类：2人中被选出一人，有2种选法.若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步乘法计数原理知共有2×3×2＝12种选法.再由分类加法计数原理知共有6＋12＝18种选法.第三类：2人全被选出，同理共有16种选法.所以共有3＋18＋16＝37种选法.16．B 【解析】由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短路径的条数为6，再从F 处到G 处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.17．C 【解析】如图，在上底面中选，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.27021 698D 榍m30231 7617 瘗` 35589 8B05 謅27999 6D5F 浟30678 77D6 矖20046 4E4E 乎39970 9C22 鰢35420 8A5C 詜34974 889E 袞@精品文档实用文档。

2019-2020年高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理3课后导练新人教A版选修基础达标1.将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有( )A.8B.15C.125D.243解析：每名大学生有3种不同的分配方式，所以共有35种不同的分配方式.故选D.2.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有( )A.6种B.36种C.63种D.64种答案：C3.某班一天上午排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排一、四节，则不同排法的种数为( )A.24B.22C.20D.12解析：先排体育课，只能排在二、三节，有两种排法；第二步排语文，有3种方法；第三步排数学，有2种方法；第四步排外语，只有1种方法，故共有N=2×3×2×1=12种排法，故选D.4.用1，5，9，13中任意一个数作为分子，4，8，12，16中任意一个数作为分母，可构造________个不同的真分数.解析：设构造的真分数为，其中m∈{1，5，9，13}，n∈{4，8，12，16}，且m＜n，若m=1，则n有4种选法；若m=5，则n有3种选法；若m=9，则n有2种选法；若m=13，则n有1种选法，故可构造的真分数个数为4+3+2+1=10种.综合运用5.某演出队有8名歌舞演员，其中6人会表演舞蹈节目，有5人会表演歌唱节目，今从这8人中选出2人，一人表演舞蹈，一人表演歌唱，则选法共有( )A.24种B.27种C.28种D.36种解析：设会表演舞蹈节目的6人组成集合A，会表演歌唱节目的5人组成集合B，则A∩B 中的元素个数为3个，把这三个称为“全能选手”.若按入选的选手中含有n个“全能选手”可分三大类：含0个，含1个，含2个.第1类的选法种类为3×2=6个；第2类的选法种数为3×2+3×3=15个；第3类的选法种数为3×2=6种.由加法原理可得选法共有N=6+15+6=27种，故选B.6.已知：m∈{2，5，8，9}，n∈{1，3，4，7}，则方程=1表示的焦点在x轴上的不同椭圆个数为( )A.12B.16C.8D.10解析：由题意m＞n，可用分类计数原理求得共有N=1+3+4+4=12个，选A.7.由n×n个边长为1的正方形拼成的正方形棋盘中，由若干个小方格能拼成的所有正方形的数目是( )A.nB.n2C.·(n+1)·(2n+1)·nD.n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1解析：边长分别为1，2，…，n的正方形的数目分别是n2，(n-1)2，…，12个，故由加法原理可得所有正方形的数目为n2+(n-1)2+…+12=n(n+1)(2n+1)，故选C.拓展探究8.设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动.那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有多少种?解析：如图所示，(1)青蛙经过3次从A点跳到D点，有且只有2种情况，即有2种跳法.(2)青蛙跳完5次停止跳动，说明它在跳到第3次时没有到达D点.又每次跳动不分方向，有2种方向可能.所以前3次有2×2×2=8种跳法.由(1)知应减去2种到达D点的跳法，故前3次的跳法是8-2=6种；后两次(显然是分步)共有2×2=4种跳法.故跳5次停跳的方法有6×4=24种.综上，这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有26种.备选习题9.电子计算机的输入纸带每排8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生___________种不同信息.解析：产生一种信息需分8步，每步有两种选择方法，由分步计数原理可得共可产生N=28=256(种)不同信息.10.圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为___________. 解析：把和圆心三点共线的两个顶点视为一组，共可分为n组，每组顶点和剩余的任一个顶点均可构成一个直角三角形，共可形成2(n-1)个直角三角形，由分类计数原理可得所求直角三角形的个数共有：N=n·2(n-1)=2n(n-1)(个)11.若直线方程ax+by=0中的a、b可以从0，1，2，3，4这五个数中任取两个不同的数字，则该方程表示的不同的直线共有多少条?解析：可按a、b是否为0进行分类：第一类，a或b中有一个取0时，方程表示不同直线为x=0或y=0，共2条.第二类，a，b都不取0时，确定a的取值有4种方法，确定b的取值有3种方法，共有4×3=12(种).但是，当a=1，b=2与a=2，b=4时，方程表示同一直线；类似地，还有a=2，b=1与a=4，b=2的情况.综上所述，方程表示的不同的直线共有2+12-2=12(条).12.我国使用的明码电报号码是用4个数字(从0到9)代表一个汉字的，问一共可以表示多少个不同的汉字?解析：4个数字均可从0到9这10个数字中任取一个.由分步计数原理，能够表示不同的汉字有104=10 000(个).13.用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片，每套卡牛中写上A、B、C、D、E字母的卡片各一张，若从这15张卡片中，每次取出5张，要求字母不同且3色齐全的取法有多少种? 解析：取出5张卡片字母不同的取法有35=243(种)；取出5张卡片字母不同且至少缺一种颜色的取法共有3×25=96(种).至少缺一种颜色，不妨以至少缺红色为例：因为所选的5张卡片字母不同，颜色可从黄绿中任选，故选出的卡片有缺红、黄或缺红、绿两种可能.同样，在至少缺黄色时，存在缺黄、红或黄、绿两种可能；在至少缺绿色时，存在缺绿、红或绿、黄两种可能.这样，在排除至少缺一种颜色的取法时，将同时缺两种颜色的3种情况，排除了两次，应再加上.故取出5张卡片字母不同且颜色齐全的取法共有N=243-96+3=150(种).2019-2020年高中数学第一章计数原理1.2.1排列概念与排列数公式1学案新人教A版选修[学习目标]1．理解并掌握排列的概念．2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．[知识链接]1．同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？答由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素．2．排列与排列数的区别是什么？答“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数．[预习导引]1．排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A mn 表示． 3．排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(n ，m ∈N *，m ≤n )＝n ！（n －m ）！.要点一 排列的概念例1 判断下列问题是否是排列问题(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解 (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． ∴(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题．规律方法 确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认． (1)首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题．(2)其次要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题，而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．跟踪演练1 下列问题是排列问题吗？并说明理由．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M ＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1?解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a ＞b ，a ，b 的大小关系一定；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，不管a ＞b 还是a ＜b ，方程x 2a 2－y 2b 2＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． 要点二 列举法解决排列问题例2 (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a ，b ，c ，d 中任取3个元素的所有排列． 解 (1)由题意作树形图，如图．故所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个． (2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc ，abd ，acb ，acd ，adb ，adc ，bac ，bad ，bca ，bcd ，bda ，bdc ，cab ，cad ，cba ，cbd ，cda ，cdb ，dab ，dac ，dba ，dbc ，dca ，dcb ，共有24个．规律方法 “树形图”在解决排列问题个数不多的情况时，是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．跟踪演练2 将A ，B ，C ，D 四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A 不排在第一，B 不排在第二，C 不排在第三，D 不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法． 解 树形图为(如图)：由树形图知，所有排法为BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA ，共有9种排法．要点三 排列数公式的应用 例3 求解下列问题：(1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)； (2)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(3)解方程：A 42x ＋1＝140A 3x .解 (1)因为55－n ，56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15(个)，所以(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n ； (2)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 ＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1； (3)根据原方程，x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N * 解得x ≥3，x ∈N *.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)． 因为x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)．即4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝534(因为x 为整数，所以应舍去)．所以原方程的解为x ＝3.规律方法 1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m 较小时的含排列数的方程和不等式问题．2．排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算． 跟踪演练3 (1)解不等式：A x ＋28＜6A x8；(2)证明 A n ＋1n ＋1－A n n ＝n A n n ，并用此结论计算A 11＋2A 22＋3A 33＋…＋8A 88. (1)解 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧8！[8－（x ＋2）]！＜6×8！（8－x ）！，x ＋2≤8且x ∈N *，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－15x ＋50＜0，x ≤6且x ∈N *. 即5＜x ≤6且x ∈N *，从而解得x ＝6. (2)证明 A n ＋1n ＋1－A n n ＝(n ＋1)！－n! ＝(n ＋1)n ！－n ！＝n ·n ！＝n A nn .A11＋2A22＋3A33＋…＋8A88＝(A22－A11)＋(A33－A22)＋…＋(A88－A77)＋(A99－A88)＝A99－A11＝9！－1＝362 879.题型四排列的简单应用例4 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个科研小课题由高二·三班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研课题，高二·三班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？解(1)从5个课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法是A35＝5×4×3＝60(种)．(2)3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题，共有5×5×5＝125种不同的安排方法．跟踪演练4 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的数？(3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？解(1)A36＝120(个)．(2)每掷一次，出现的数字均有6种可能性，故有6×6×6＝216(个)．(3)两个数字相同有三种可能性，即第一、二位，第二、三位，第三、一位相同，而每种情况有6×5种，故有3×6×5＝90(个).1．下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算．A．①④ B．①② C．④ D．①③④答案 A解析根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题．2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙答案 C解析选出两人，两人的不同顺序都要考虑．3．设m∈N*，且m<15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于( )A．A615－m B．A15－m20－mC．A620－m D．A520－m答案 C解析因为15－m，16－m，…，20－m中的最大数为20－m，且共有20－m－(15－m)＋1＝6(个)．所以(15－m)(16－m)…(20－m)＝A620－m.4．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．答案 1 680解析将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用.一、基础达标1.A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36答案 D解析 A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36.2．18×17×16×…×9×8＝( )A ．A 818 B ．A 918C ．A 1018 D ．A 1118答案 D3．若x ＝n ！3！，则x ＝( )A ．A 3n B ．A n －3nC ．A n3 D ．A 3n －3答案 B4．与A 710·A 22不等的是( )A ．A 910 B ．81A 88C ．10A 99D ．A 1010答案 B5．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为 ( )A ．5B ．3C ．6D ．7答案 A6．若A mn ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝________，m ＝________.答案 17 147．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？解 坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A 610＝151 200种坐法． 二、能力提升8．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( )A ．50B ．60C ．120D ．90答案 C解析 5本书进行全排列，A 55＝120.9．(xx·四川卷)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是 ( )A ．9B ．10C ．18D ．20答案 C解析 首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A 25＝20种排法， 因为31＝93，13＝39，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是20－2＝18.10．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案(用数字作答)． 答案 60解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A 35＝5×4×3＝60(种)．11．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？ 解 (1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A 216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A 28×2＋1＝8×7×2＋1＝113. 12．判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信．解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A 给B 写信与B 给A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．三、探究与创新13．一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解 由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，∴A 2n ＋m －A 2n ＝62， 即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62.∴m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，∵m ＜2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31， 解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．。

第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)一、选择题1．某小组有8名男生，6名女生，要从中选出一名当组长，不同的选法有() A．48种B．24种C．14种D．12种解析：由分类加法计数原理共有8＋6＝14(种)选法．答案：C2．将1，2，3，…，9这9个数字填入如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()A．6种B．12种C．18种D．24种解析：根据题意，1，2，9的位置是确定的，如图所示，则数字5，6，7，8应位于a，b，c，d中的位置.第一类，若5，6在a，b位置，则7，8在c，d位置．且a＝5, b＝6, c＝7, d ＝8, 或者5，6与7，8换位置，所以共2种情况；第二类，5，6在a，c位置，则7，8在b，d位置，则共有2×2＝4(种)情况．综上所述，空格的填写方法共2＋4＝6(种)，故选A.答案：A3．(2019·长沙高二检测)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．10解析：对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小．若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13.故选B.答案：B4．(2020·天津市南开中学滨海生态城学校高二期中)4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是()A．81 B．64C．24 D．16解析：∵每名同学都有3种报名方案，∴四名同学共有3×3×3×3＝81种报名方案．故选A.答案：A5．将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有()A．480种B．360种C．240种D．120种解析：第一步，先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球，有4种选法；第二步，从5个球里选出两个球放入刚才选到的盒子里，有10种选法；第三步，把剩下的3个球依次放入余下的3个盒子中，有3×2×1＝6(种)放法．由分步乘法原理得不同的放球方法有4×10×6＝240(种)，故选C.答案：C二、填空题6．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有________种行车路线．解析：若从西来，有南、北、东3种行车路线，同理从南、北、东来也各有3种行车路线．因此共有3＋3＋3＋3＝12种．答案：127．等腰三角形的三边均为正整数，且其周长不大于10，这样的三角形共有________个．解析：可分4类，第一类，等腰三角形底边长为1，腰长可以是1，2，3，4，共4个；第二类，等腰三角形底边长是2，腰长可以是2，3，4，共3个；第三类，等腰三角形底边长是3，腰长可以是2，3，共2个；第四类，等腰三角形底边长是4，腰长可以是3，共1个．∴共有三角形4＋3＋2＋1＝10(个)．答案：108．将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有________种(用数字填空)．解析：先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C，D，若C，D在同一盒中，只能是余下的1个盒，1种放法；若C，D在不同盒中，则必有一球在余下的1个盒中，另一球在A球或B球所在的盒中，有2×2＝4(种)放法．故共有6×(1＋4)＝30(种)放法．答案：30三、解答题9．(2020·唐山市第十一中学高二期中)某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？解：(1)选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法；根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．10．(2020·宜昌市第二中学高二月考)已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？解：(1)因为a不能取0，所以有5种取法，b有6种取法，c有6种取法，所以y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数．(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a不能取小于等于0的数，所以a有2种取法，b有6种取法，c有6种取法，所以y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数．。

2019-2020年高中数学第一册(上)分类计数原理与分步计数原理一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法 ，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的办法。

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法。

特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。

不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有类办法，这类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。

二、题型剖析例1、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？ 解：（1）不同涂色方法数是：（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d 记这四块, a 与c 可同色,也可不同色,先考虑给a,c 两块涂色,分两类(1)给a,c 涂同种颜色共种涂法,再给b 涂色有4种涂法, 最后给d 涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有种涂法(2)给a,c 涂不同颜色共有种涂法,再给b 涂色有3种方法,最后给d此时共有种涂法故由分类计数原理知，共有+=260种涂法。

例2、（1）如图为一电路图，从A 到B 共有___________条不同的线路可通电。

解：按上中下通电可分三类，第一类有3种通法，第二类1种，第三类分2步，每步又可分2种,所以，共有3+1+22=8种通电方法。

（2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是 。

1. 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1一. 选择题:1．某人射击8枪, 命中4枪, 恰好有3枪是连续命中的, 则符合条件的射击方式有（A）720种（B）480种（C）224种（D）20种2. 某商店有三层, 第一层有4个门, 从第一层到第二层有3个楼梯, 从第二层到第三层有2个通道, 某顾客从商店外直至三层, 不同的走法有（A）9种（B）10种（C）12种（D）24种3. 已知集合A={x| －2≤x≤10, x∈Z}, m, n∈A, 方程表示长轴在x轴上的椭圆, 则这样的椭圆共有（A）45个（B）55个（C）78个（D）91个4. 从4本不同的书中挑选3本, 分别给甲、乙、丙三名同学, 每人一本, 则不同的挑选方法有（A）12种（B）24种（C）64种（D）81种5. 汽车上有十名乘客, 沿途前方有五个车站, 乘客下车的不同方式可能有（）。

（A）510种（B）105种（C）50种（D）以上都不对二. 填空题:6. 十字路口来往的车辆, 若不允许车辆在路口回头往回开, 那么共有种不同的行车路线。

7. 某城市自行车有10000辆, 牌照号码从00001到10000, 则牌照中牌照号码由数字5的自行车共有辆。

8. 不计算乘积, 判断[(a1+a2)(b1+b2+b3)+c1+c2](d1+d2+d3)展开式中共有项。

9．某赛季足球比赛的计分规则是, 胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分, 一球队打完15场, 积33分, 若不考虑顺序, 则该队胜、平、负的情况可能有种。

10. 72含有个正约数, 在这些约数中, 正偶数有个。

11. （1）若x, y∈N且x+y≤6, 则有序自然数对(x, y)有个；（2）若1≤x≤4, 1≤y≤5, 以有序整数对(x, y)为坐标的点有个。

12. 由壹元币3张, 伍元币1张, 拾元币2张, 可以组成种不同的币值。

13．用五种不同的颜色给图中四个区域涂色, 如果每一区域涂一种颜色, 相邻的区域不能同色, 那末涂色的方法有种。

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.1.1达标训练1.有4部机床,需加工3个不同的零件,其不同的安排方法有()A.34种B.43种C.3×4种D.44种解析选B.事件为“加工3个零件”,每个零件都加工完这件事就算完成,应以“每个零件”为分步标准,共3步,而每个零件能在四部机床中的任一台上加工,所以有4种方法,于是安排方法有4×4×4=43.2.现有3件不同款式的上衣和2条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为()A.2B.3C.5D.6解析选D.要完成配套,分两步:第一步,选上衣,从3件中任选一件,有3种不同的选法第二步,选长裤,从2条长裤中任选一条,有2种不同选法.故共有3×2=6种不同选法.3.从集合{1,2,3}和集合{4,5,6,7}中各取1个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确定不同点的个数为________.解析先在集合{1,2,3}中取出一个元素,共有3种取法,再在集合{4,5,6,7}中取出一个元素,共有4种取法.取出的两个数作为点的坐标有2种方法,由分步乘法计数原理知,不同点的个数为3×4×2=24(个).答案:244.从1到10的正整数中,任意抽取两个相加,所得和为奇数的不同情形有__________种.解析当且仅当偶数加上奇数后和为奇数,从而不同情形有5×5=25(种).答案:255.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学必须报名且限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有________种.解析每人只有2个选择.报名方法有2×2×2×2×2=32种.答案:326.有不同的红球8个,不同的白球7个.(1)从中任意取出一个球,有多少种不同的取法?(2)从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的取法?解析(1)由分类加法计数原理知从中任取一个球共有87=15(种)不同取法.(2)由分步乘法计数原理知从中任取两个不同颜色的球共有8×7=56(种)不同取法.。

第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理A级基础巩固一、选择题1．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A．1种B．2种C．3种D．4种解析：分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3(种)．故选C.答案：C2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有( )A．7种 B．12种 C．64种 D．81种解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故不同取法共有4×3＝12(种)．答案：B3．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是( )A．2 160 B．720 C．240 D．120解析：第1张门票有10种分法，第2张门票有9种分法，第3张门票有8种分法，由分步乘法计数原理得分法共有10×9×8＝720(种)．答案：B4．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．16 C．13 D．10解析：分两类情况讨论．第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，8＋5＝13(个)，即共可以确定13个不同的平面．答案：C5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )A．30个 B．42个 C．36个 D．35个解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有虚数6×6＝36(个)．答案：C二、填空题6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5，6，4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120(种)．答案：1207．三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有________种．解析：由分步乘法计数原理知，不同的选法有N＝2×2×2＝23＝8(种)．答案：88．一学习小组有4名男生、3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法．解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，不同选法共有4＋3＝7(种)．若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)．答案：7 12三、解答题9．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．解：按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1，2，…，5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1，2，…，4，共构成4个有序自然数对；……x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类加法计数原理，有序自然数对共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．10．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解： (1)分四类．第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步．第一、第二、第三、第四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步．从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．B级能力提升1．某班小张等4位同学报名参加A、B、C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有( )A．27种B．36种C．54种D．81种解析：除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．答案：C2．有三个车队分别有4辆、5辆、5辆车，现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为________．解析：不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类．甲、乙各一辆共4×5＝20(种)；甲、丙各一辆共4×5＝20(种)；乙、丙各一辆共5×5＝25(种)，所以共有20＋20＋25＝65(种)．答案：653．用1，2，3，4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{a n}．(1)写出这个数列的前11项；(2)这个数列共有多少项？(3)若a n＝341，求n.解：(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.(2)这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数的个数，每个位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64项．(3)比a n＝341小的数有两类：共有2×4×4＋1×3×4＝44项．所以n＝44＋1＝45(项)．。

新教材高中数学新人教B版选择性必修第二册：3．1 排列与组合3.1.1 基本计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点一分类加法计数原理的应用1．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A．1种B．2种C．3种D．4种答案 C解析分两类：买1本书，买2本书，各类购书方式依次有2种、1种，故共有2＋1＝3种购买方式．2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有________个．答案36解析解法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数为8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.解法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.知识点二分步乘法计数原理的应用3．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A．7 B．12C．64 D．81答案 B解析要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．故共有4×3＝12种不同的配法．4．某校高一年级共有四个班，有四位老师各教一个班的数学．在某次数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数为( )A．8 B．9C．10 D．11答案 B解析设四个班分别是A，B，C，D，其对应的数学老师分别是a，b，c，d.让a老师先选，可从B，C，D中选一个，有3种选法．不妨设a老师选的是B，则b老师从剩下的三个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法，由分步乘法计数原理，知共有3×3×1×1＝9种不同的安排方法.知识点三两个原理的综合应用5．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取2本不同学科的书，则不同的取法种数为( )A．72 B．80C．90 D．242答案 D解析可分为三类．第一类，取出的2本书中，1本数学书，1本语文书，根据分步乘法计数原理，有10×9＝90种不同的取法；第二类，取出的2本书中，1本语文书，1本英语书，有9×8＝72种不同的取法；第三类，取出的2本书中，1本数学书，1本英语书，有10×8＝80种不同的取法．利用分类加法计数原理，知共有90＋72＋80＝242种不同的取法．6．某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( ) A．14 B．16C．20 D．48答案 B解析分两类：一类是甲企业有1人发言，有2种情况，另2个发言人出自其余4家企业，共有6种情况，由分步乘法计数原理，共有2×6＝12种情况；另一类是3人全来自其余4家企业，有4种情况，两类共有12＋4＝16种情况．故选B.7．某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有多少种不同的走法？解完成从上山到下山这件事可分为四类：第一类，从东侧上山，且从东侧下山，走法有3×3种；第二类，从东侧上山，从西侧下山，走法有3×2种；第三类，从西侧上山，从东侧下山，走法有2×3种；第四类，从西侧上山，且从西侧下山，走法有2×2种．根据分类加法计数原理知，符合条件的走法共有3×3＋3×2＋2×3＋2×2＝25种．8．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有28人，A型血的有7人，B型血的有9人，AB型血的有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．有28×7×9×3＝5292种不同的选法．一、选择题1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则xy可表示不同的值的个数为( )A．2 B．3C．6 D．9答案 D解析分两步：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值，有3种不同取法；第二步，在集合{－3，－4,8}中任取一个值，有3种不同取法，故xy可表示3×3＝9个不同的值．2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A．96种B．24种C．120种D．12种答案 A解析先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种排法，由分步乘法计数原理知，共有4×4×3×2×1＝96种停车方法．3．现有A，B两种类型的机床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种机床，丙只会操作A种机床．现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上机床，不同的选派方法有( )A．6种B．5种C．4种D．3种答案 C解析分两类：第一类，不选丙，有2×1种选派方法；第二类，选丙，再从甲、乙两人中选一人，有2×1种选派方法．故共有2＋2＝4种选派方法．4．从1,3,5,7,9这五个数字中，每次取出两个不同的数字分别为a，b，共可得到lg a －lg b的不同值的个数是( )A．9 B．10C．18 D．20答案 C解析分两步完成，第一步，取数字a，有5种不同的取法；第二步，取数字b，有4种不同的取法．所以可以得到5×4＝20个不同的差式lg a－lg b，但其中lg 9－lg 3＝lg 3－lg 1，lg 3－lg 9＝lg 1－lg 3，故不同的值有18个．5．(多选)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则下列结论正确的为( )A．P可表示平面上36个不同的点B．P可表示平面上6个第二象限的点C．P可表示平面上30个不在直线y＝x上的点D．P可表示平面坐标轴上10个不同的点答案ABC解析分两步，a有6种选法，b也有6种选法，所以P可表示平面上6×6＝36个不同的点，A正确；由a<0，b>0且a，b∈M可知，a有3种选法，b有2种选法，所以P可表示平面上3×2＝6个第二象限的点，B正确；由P不在直线y＝x上可知a≠b，又a，b∈M，若先确定a，再确定b，则a有6种选法，b有5种选法，所以P可表示平面上6×5＝30个不在直线y＝x上的点，C正确；当a＝b＝0时，P(0,0)在坐标轴上，当a，b不同时为0时，若P(a，b)在横轴上，则b＝0，此时a有5种选法，若P(a，b)在纵轴上，则a＝0，此时b 有5种选法，则P(a，b)可表示平面坐标轴上11个不同的点，D错误．故选ABC.二、填空题6．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，则从这4个拨号盘上各取1个数字可以组成________个四位数字的号码．答案10000解析要完成“组成四位数字的号码”这件事，需分以下四步：第一步：取第1个拨号盘上的1个数字，有10种不同的方法．第二步：取第2个拨号盘上的1个数字，有10种不同的方法．第三步：取第3个拨号盘上的1个数字，有10种不同的方法．第四步：取第4个拨号盘上的1个数字，有10种不同的方法．根据乘法原理，4个拨号盘上各取1个数字可以组成10×10×10×10＝10000个四位数字的号码．7．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一种，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和会日语的各1人，则有________种不同的选法．答案20解析由题意，可得此外语组有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．若既会英语又会日语的人未被选中，则有6×2＝12种选法；若既会英语又会日语的人被选中，则有6＋2＝8种选法．所以共有12＋8＝20种不同的选法．8．由1,2,3,4,5,6,7,8,9可以组成无重复数字的三位偶数与三位奇数的个数分别是________，________.答案224 280解析当个位上的数是偶数时，该三位数就是偶数．可分步完成：第一步，先排个位，个位上的数只能取2,4,6,8中的1个，有4种取法；第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．所以可以组成无重复数字的三位偶数的个数为4×8×7＝224.当个位上的数是奇数时，该三位数就是奇数．可分步完成：第一步，先排个位，个位上的数只能取1,3,5,7,9中的1个，有5种取法；第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．所以可以组成无重复数字的三位奇数的个数为5×8×7＝280.三、解答题9．用0,1,2,3,4,5这6个数字：(1)可以组成多少个无重复数字的四位整数？(2)可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？解(1)分步解决：第一步，千位数字有5种选取方法；第二步，百位数字有5种选取方法；第三步，十位数字有4种选取方法；第四步，个位数字有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成无重复数字的四位整数共5×5×4×3＝300个．(2)解法一：按个位数字是0,2,4分为三类：第一类，个位数字是0的有4×4×3＝48个；第二类，个位数字是2的有3×4×3＝36个；第三类，个位数字是4的有3×4×3＝36个．由分类加法计数原理知，有48＋36＋36＝120个无重复数字且比2000大的四位偶数．解法二：按千位数字是2,3,4,5分四类：第一类，千位数字是2的有2×4×3＝24个；第二类，千位数字是3的有3×4×3＝36个；第三类，千位数字是4的有2×4×3＝24个；第四类，千位数字是5的有3×4×3＝36个．则由分类加法计数原理知，有24＋36＋24＋36＝120个无重复数字且比2000大的四位偶数．10．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？解首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”“只会印刷”“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有3×1＝3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步乘法计数原理知共有2×3×2＝12种选法．再由分类加法计数原理知共有6＋12＝18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3＋18＋16＝37种不同的安排方法．。