高考第一轮复习数学单元测试卷 排列、组合、二项式定理

2024全国高考真题数学汇编排列、组合与二项式定理章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．232．（2024北京高考真题）在 4x的展开式中，3x的系数为（）A．6B．6 C．12D．12二、填空题3．（2024天津高考真题）在63333xx的展开式中，常数项为．4．（2024上海高考真题）在(1)nx 的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x项的系数为．5．（2024全国高考真题）1013x的展开式中，各项系数中的最大值为．6．（2024全国高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于12的概率为．7．（2024全国高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．参考答案1．B【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率81=243P.解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24 ，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243.故选：B 2．A【分析】写出二项展开式，令432r，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】 4x 的二项展开式为 442144C C1,0,1,2,3,4r rrr rr r T x xr，令432r，解得2r ，故所求即为 224C 16 .故选：A.3．20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x的展开式的通项为63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x，令 630r ，可得3r ，所以常数项为0363C 20 .故答案为：20.4．10【分析】令1x ，解出5n ，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令1x ，(11)32n ，即232n ，解得5n ，所以5(1)x 的展开式通项公式为515C rr r T x ，令52r -=，则3r ，32245C 10T x x ．故答案为：10．5．5【分析】先设展开式中第1r 项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r，进而求出r 即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x，010r 且r Z ，设展开式中第1r 项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r，294334r r，即293344r ，又r Z ，故8r ，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53.故答案为：5.6．715【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则323a b c a b ，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120 种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b ，故2()3c a b ，故32()3c a b ，故323a b c a b ，若1c ，则5a b ，则 ,a b 为： 2,3,3,2，故有2种，若2c ，则17a b ，则 ,a b 为： 1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c ，则39a b ，则 ,a b 为：1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5， 2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c ，则511a b ，同理有16种，当5c ，则713a b ，同理有10种，当6c ，则915a b ，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为 22101656 ，故所求概率为56712015.故答案为：7157．24112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124 种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152******** .故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.。

排列、组合和二项式定理单元测试卷(满分：150分时间：1)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有()A．12种B．C．24种D．48种答案：C解析：甲、乙捆绑后与第5种商品排列有A22种，产生的三个空排丙、丁，有A23种，再排甲、乙有A22种，共有A22A23A22＝24种．故选C.2．直角坐标xOy平面上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有()A．25个B．36个C．100个D．225个答案：D解析：从构成矩形的四条边入手，可以从6条竖着的直线中任取两条，共有C26种选法；再从6条横着的直线中任取两条直线，共有C26种选法，所以可构成矩形C26·C26＝225(个)．故选D.3．二项式(a＋2b)n中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为()A．24 B．18C．16 D．6答案：D解析：由通项公式知，T2＝T1＋1＝C1n a n－1(2b)1＝2C1n a n－1b，依题意2C1n＝8，∴n＝4.∴C2n＝C24＝6.4．(·珠海模拟)已知(x＋1)15＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15，则a0＋a1＋a2＋…＋a7等于() A．215B．214C．28D．27答案：B解析：∵a0＋a1＋a2＋…＋a15＝C015＋C115＋C215＋…＋C1515＝215.∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1 2×215＝214.故选B.5．(·南宁市质检)在北京奥运会期间，某志愿者小组有12名大学生，其中男生8名，女生4名，从中抽取3名学生组成礼宾接待小组，则选到的3名学生中既有男生又有女生的不同选法共有()A．108种B．160种C．164种D．216种答案：B解析：从12名学生中随机抽取1名男生和2名女生的选法数C18C24，从12名学生中随机抽取2名男生和1名女生的选法数C28C14，所以选到的3名学生中既有男生又有女生的不同选法共有C18C24＋C28C14＝160种．6．(·珠海模拟)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数为()A．297 B．C．252 D．－45答案：B解析：∵(1＋x)10＝C010110x0＋C110x1＋C210x2＋C310x3＋C410x4＋C510x5＋…＝1＋10x＋45x2＋…＋252x5＋…∴(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数为252－45＝故选B.7．(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为()A．1 B．46 C．4245 D．4246答案：D解析：(1＋3x )6的通项公式为C r 6x r 3，(1＋14x)10的通项公式为C k10x －k 4，由r 3＋(－k 4)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝0k ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3k ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝6k ＝8共三项，所以常数项为C 06C 010＋C 36C 410＋C 66C 810＝4246.故选D. 8．(·太原市测试)有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是( )A ．384B ．396C ．432D ．480 答案：C解析：若取出的球的标号为1,2,3,4，则共有C 12C 12C 12C 12A 44＝384种不同的排法；若取出的球的标号为1,1,4,4，则共有A 44＝24种不同的排法；若取出的球的标号为2,2,3,3，则共有A 44＝24种不同的排法；由此可得取出的4个球数字之和为10的不同排法种数是384＋24＋24＝432，故应选C.9．甲、乙、丙三名同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六值班工作，每天一人值班，每人值班两天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有( )A ．36种B ．42种C ．50种D ．72种 答案：B解析：(1)当甲值周六时，再为甲选一天有C 14种，为乙选两天有C 24种，则共有C 14C 24＝24种，(2)当甲不值周六时，为甲选两天，有C 24种，为乙选两天有C 23种，则共有C 24C 23＝18种，所以共有24＋18＝42种．故选B.10．若(1＋x )n ＋1的展开式中含x n －1的系数为a n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n的值为( )A.n n ＋1B.2n n ＋1C.n (n ＋1)2D.n (n ＋3)2答案：B解析：由题意可得a n ＝C n －1n ＋112＝C 2n ＋1＝(n ＋1)·n 2， ∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2·(1n －1n ＋1)， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝2⎝⎛⎭⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.故选B. 11．(·昆明市质检)某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )A ．56种B ．68种C ．74种D ．92种 答案：D解析：本题是计数问题，根据特殊(或受限)元素进行分类，如本题属于“多面手”问题，根据划左舷中有多面手人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有C 36种，有一个“多面手”的选派方法有C 12C 23C 35种，有两个“多面手”的选派方法有C 13C 34种，即共有0＋12＝92(种)．故选D.12．圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有( )A ．A 412B ．A 212·A 212C ．C 212·C 212D ．C 412 答案：D解析：圆周上任意四个点连线的交点都在圆内，此四点的选法有C 412，则由这四点确定的圆内的交点个数为1，所以这12个点所确定的弦在圆内交点的个数最多为C 412.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共13．在(x －12x )9的展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．答案：－212解析：T k ＋1＝C k 9x 9－k (－12x )k ＝C k 9x 9－k(－12)k x －k ＝C k 9x 9－2k(－12)k ， 令9－2k ＝3，得k ＝3，∴T 4＝C 39x 3·(－12)3＝84×(－18)x 3＝－212x 3， ∴x 3的系数为－212.14．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝________.答案：502解析：令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝2＋22＋23＋…＋28＝2(1－28)1－2＝29－2＝510.令x ＝0，得a 0＝8，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝502. 15．(·陕西理)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)答案：96解析：先安排最后一棒(A 12)，再安排第一棒(A 12)，最后安排中间四棒(A 44)，∴不同的传递方案有A 12A 12A 44＝96(种)．16.⎝⎛⎭⎫ax －1x 8的展开式中x 2的系数是70，则实数a 的值为________．答案：±1解析：T k ＋1＝C k 8(ax )8－k(－1x)k ＝C k 8a 8－kx 8－k －k 2(－1)k ， 令8－k －k2＝2，得k ＝4，∴C 48a 4(－1)4＝70，∴a 4＝1，∴a ＝±1. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)在一块10垄并排的田地中，选2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？解法一：(图示法)如图(1)，用并排一行的10个小矩形表示10垄田地，小矩形内加“○”表示选中，具体画出有6种选取方法．再对每种选取方式分别种植A 、B 两种作物，有A 22种种植方法．故共有6A 22＝12种种植方法．(1)(2)解法二：(图象法)设并排10垄田地依次编号为1,2,3，…，10，所选的垄田地为a 、b ，根据题设条件，得⎩⎪⎨⎪⎧|a －b |≥7，1≤a ≤10，a ∈N ，1≤b ≤10，b ∈N .问题的解化为不等式组的整数解的个数．如图(2)所示，满足不等式组的解为坐标平面aOb 内标有“·”号的整点，数整点个数有12个，故符合题意的选垄方法有12种．18．(本小题满分12分)已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r 3(－12)r x －r3＝C r n(－12)r x n －2r3， 因为第6项为常数项，所以r ＝5时， 有n －2r 3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，∴所求的系数为C 210(－12)2＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z0≤r ≤10r ∈Z令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ， ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数．∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8. 所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为T 3＝454x 2，T 6＝638，T 9＝45256x －2.19．(本小题满分12分)球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，则击球方法有几种？解：设击入黄球x 个，红球y 个符合要求，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，2x ＋y ≥5(x ，y ∈N )，由题意，得1≤x ≤4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0.相应每组解(x ，y )，击球方法数分别为C 14C 36，C 24C 26，C 34C 16，C 44C 06.∴共有不同击球方法数为C 14C 36＋C 24C 26＋C 34C 16＋C 44C 06＝195.本小题满分12分)(1)求证：nn ＋1≤2(n ∈N *)；(2)求证：(1＋x )n ＋(1－x )n <2n ，其中|x |<1，n ≥2，n ∈N *.证明：(1)要证n n ＋1≤2(n ∈N *)，只需证n ＋1≤2n 即可．∵2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＝1＋n ，∴n n ＋1≤2(n ∈N *)，当n ＝1时等号成立．(2)(1＋x )n ＋(1－x )n ＝2(1＋C 2n x 2＋C 4n x 4＋…＋C 2k n ·x 2k＋…)．∵|x |<1，∴0<x 2k <1. ∴(1＋x )n ＋(1－x )n <2(1＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C 2kn ＋…)＝2·2n －1＝2n ，成立． 21．(本小题满分12分)已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于(165x 2＋1x)5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．解：由(165x 2＋1x)5，得T r ＋1＝C r 5(165x 2)5－r (1x)r ＝(165)5－r ·C r 5·x 20－5r2，令T r ＋1为常数项，则r ＝0， 所以r ＝4，常数项T 5＝C 45×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ，由此得到2n ＝16，n ＝4.所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4＝54.所以a ＝±3. 22．(本小题满分12分)4个男同学和3个女同学站成一排． (1)若3个女同学必须排在一起，则有多少种不同的排法？ (2)若任何两个女同学彼此不相邻，则有多少种不同的排法？(3)若其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，则有多少种不同的排法？ (4)若甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？(5)若女同学从左到右按高矮顺序排，则有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)解：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有A 33种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应用A 55种排法．由乘法原理，有A 33A 55＝7同排法．(2)先将男生排好，共有A 44种排法；再在这4个男生的中间及两头的5个空当中插入3个女生，有A 35种方法．故符合条件的排法共有A 44A 35＝1440种．(3)甲、乙2人先排好，有A 22种排法；再从余下的5人中选3人排在甲、乙2人中间，有A 35种排法；这时把已排好的5人视为一个整体，与最后剩下的2人再排，又有A 33种排法；这样，总共有A 22A 35A 33＝7同排法．(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A 44种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A 22种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原来排好的4人的空当中，有A25种排法；这样，总共有A44A22A25＝960种不同排法．(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，有A47种排法；然后再在余下的3个位置中排女生，由于女生要按高矮排列，故仅有一种排法．这样共有A47＝840种不同排法．。

排列组合与二项式定理（1）【基本知识】1.甲班有四个小组，每组10人，乙班有3个小组，每组15人，现要从甲、乙两班中选1人担任校团委部，不同的选法种数为 852．6人站成一排，甲、乙 、丙三人必须站在一起的排列种数为 1444．用二项式定理计算59.98，精确到1的近似值为（ 99004 ）5．若2)nx 的项是第8项，则展开式中含1x的项是第 9项6．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 34种7．已知8()a x x-展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是 1或288．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有 38A 种9．设34550500150(1)(1)(1)(1)x x x x a a x a x ++++++++=+++L L ，则3a 的值是 451C10．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有____24______．11．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为____179______．（用数字作答）若1531-++++n n n n n C C C C ΛΛ=32，则n = 612．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第____10_____个数。

13、体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有___10___种。

三、解答题15、已知n 展开式中偶数项的二项式系数之和为256，求x 的 系数．【解】由二项式系数的性质：二项展开式中偶数项的二项式系数之和为2n －1，得n =9，由通项92923199C (C (2)r rrrrr r r T x---+==-g g g ，令92123r r --=，得r =3，所以x 的二项式为39C =84， 而x 的系数为339C (2)84(8)672-=⨯-=-g．16、有5名男生，4名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？ （3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？ （4）若4名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？【解】（1）39504A = （2）287280 （3）17280 （4）211217．从7个不同的红球，3 个不同的白球中取出4个球，问：（1）有多少种不同的取法？（2）其中恰有一个白球的取法有多少种？ （3）其中至少有现两个白球的取法有多少种？ 【解】（1）210 （2）105 （3）7018、 已知n展开式中偶数项二项式系数和比()2na b +展开式中奇数项二项式系数和小120，求：（1）n展开式中第三项的系数;（2）()2na b +展开式的中间项。

排列、组合、二项式定理一、基础知识要记牢(1)分类计数原理：完成一件事情有n类方法，只需用其中一种就能完成这件事．(2)分步计数原理：完成一件事情共分n个步骤，必须经过这n个步骤才能完成．缺少任何一步不能完成这件事．二、经典例题领悟好[例1] (2013·山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252C．261 D．279[解析] 0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．[答案] B解决此类问题的关键(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．三、预测押题不能少1．一个盒子里有3个分别标有号码1,2,3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( )A．12种 B．15种C．17种 D．19种解析：选D 取3次球，共有3×3×3＝27种取法，其中最大值不是3的取法有2×2×2＝8种，故有27－8＝19种取法．一、基础知识要记牢区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．二、经典例题领悟好[例2] (1)(2013·陕西宝鸡)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85 B．56C．49 D．28(2)(2013·浙江高考)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．[解析] (1)因为丙没有入选相当于从9人中选3人，共有选法C39＝84种，甲、乙都没入选相当于从7人中选3人，共有选法C37＝35种，所以满足条件的选法种数是84－35＝49.(2)①当C在第一或第六位时，有A55＝120(种)排法；②当C在第二或第五位时，有A24A33＝72(种)排法；③当C 在第三或第四位时，有A 22A 33＋A 23A 33＝48(种)排法． 所以共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法． [答案] (1)C (2)480解排列组合综合应用题的解题流程三、预测押题不能少2．(1)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．48种解析：选C 将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A 22·A 22种排法．而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A 23种排法，故共有A 22·A 22·A 23＝24种排法．(2)有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有1人参加，每名同学只参加一项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比赛，则不同的参赛方式的种数为________(用数字作答)．解析：依题意，当甲1人一组时，共有C 12C 23A 22＝12种不同的参赛方式；当甲和另1人一组时，共有C 13A 12A 22＝12种不同的参赛方式，所以共有24种不同的参赛方式． 答案：24一、基础知识要记牢 (1)通项与二项式系数：T r ＋1＝C r n a n －r b r(r ＝0,1,2，…，n )，其中C r n 叫做二项式系数． (2)各二项式系数之和： ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n . ②C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1. 二、经典例题领悟好[例3] (1)(2013·全国新课标Ⅱ)已知(1＋ɑx )·(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)(2013·大同调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 210的展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(3)(2013·安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________.[解析] (1)(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1. (2)∵T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝C r 10(－2)r x 1052r-，∴10－5r 2＝0，∴r ＝2，∴常数项为C 210(－2)2＝180.(3)含x 4的项为C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x 3＝C 38a 3x 4，∴C 38a 3＝7，∴a ＝12.[答案] (1)D (2)B (3)12解决此类问题关键要掌握的五个方面(1)T r ＋1表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； (2)T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项； (3)公式中a ，b 的指数和为n ，a ，b 不能颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(5)对二项式(a －b )n展开式的通项公式要特别注意符号问题． 三、预测押题不能少3．(1)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1 D ．－3解析：选A 令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9；令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9.所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x n 的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x 2的系数为________． 解析：依题意得3n＝729，n ＝6.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x 6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r＝C r 6·26－r·x 6－4r 3.令6－4r 3＝2，得r ＝3.因此，在该二项式的展开式中x 2的系数是C 36·26－3＝160.答案：160二项式定理是高考热点内容，主要考查二项式的通项公式、二项式系数、二项式指定项(特定项)等知识，近年与函数、不等式、数列等知识交汇，让二项式定理问题在命题中有了“生机”．一、经典例题领悟好[例] (2013·陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，∴当x >0时，f (x )＝－x <0，∴f [f (x )]＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6.∴展开式中常数项为C 36(x )3⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＝－C 36＝－20.[答案] A以分段函数和复合函数的形式出现考查二项式定理的应用，凸显函数的主导作用，以复合函数的复合过程为切入点，再次使用不同区间上的表达式，再使问题化为二项展开式的问题，体现转化化归和特殊化思想在知识交汇处的具体应用. 二、预测押题不能少(1)已知f (x )＝(ax ＋2)6，f ′(x )是f (x )的导数，若f ′(x )的展开式中x 的系数大于f (x )的展开式中x 的系数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞解析：选 A f (x )的展开式中x 的系数是C 5625a 6－5＝192a .f ′(x )＝6(ax ＋2)5(ax ＋2)′＝6a (ax ＋2)5，f ′(x )的展开式中x 的系数是6a C 4524a 5－4＝480a 2.依题意得480a 2>192a ，解得a >25或a <0.(2)已知a ＝20π⎰(sin 2x 2－12)d x ，则⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋12ax 9的展开式中，关于x 的一次项的系数为( ) A ．－6316B.6316C ．－638D.638解析：选A a ＝20π⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 2－12d x ＝20π⎰1－cos x 2－12d x ＝20π⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2d x ＝－12.此时二项式的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－129－r (－1)r x 9－2r.令9－2r ＝1，得r ＝4，所以关于x 的一次项的系数为C 49⎝ ⎛⎭⎪⎫－129－4·(－1)4＝－6316.1．(2013·河南开封模拟)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( ) A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种解析：选B 分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 24＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 14＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．2．(2013·辽宁高考)使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 由二项式定理得，T r ＋1＝C rn(3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r x52n r－，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小．3．(2013·四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20解析：选C lg a －lg b ＝lg a b ，lg a b 有多少个不同值，只要看a b不同值的个数，所以共有A 25－2＝20－2＝18个不同值．4．(2013·成都模拟)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45 D ．360解析：选A 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n ＝10.T r ＋1＝C r 10·(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10·x 552r －，令5－52r ＝0，则r ＝2，T 3＝4C 210＝180.5．(2013·深圳市调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( ) A ．18个 B ．15个 C ．12个 D ．9个解析：选B 依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．6．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项解析：选C T r ＋1＝C r24·()x 24－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 24·x 5126r－，且0≤r ≤24，r ∈N ，所以当r ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数是整数．7．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有不同的放法( ) A ．15种 B ．18种 C ．19种 D ．21种解析：选B 对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数：第一类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,2,6，此类放法有A 33＝6种；第二类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,3,5，此类放法有A 33＝6种；第三类，这3个盒子中所放的小球的个数是2,3,4，此类放法有A 33＝6种．因此满足题意的放法共有6＋6＋6＝18种.8．(2013·天津河西模拟)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( )A ．－180B ．180C ．45D ．－45解析：选B 因为(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，∴a 8＝C 81022(－1)8＝180.9．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( ) A ．288种 B ．144种 C ．72种 D ．36种解析：选B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法有C 34种；其次将获得同一道题目的2位教师选出，选法有C 24种；最后将选出的3道题目分配给3组教师，分配方式有A 33种．由分步乘法计数原理，知满足题意的情况共有C 34C 24A 33＝144(种)． 10．若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 令x ＝0，则a 0＝1；令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0.∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1.11．(2013·张家界模拟)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种解析：选C 本题是一个分步计数问题．由题意知程序A 只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A 排列，有A 12＝2种结果．∵程序B 和C 在实施时必须相邻，∴把B 和C 看作一个元素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列，共有A 44A 22＝48种结果．根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果．12．(2013·全国新课标Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5 B ．6 C.7 D.8解析：选B 根据二项式系数的性质知：(x ＋y )2m 的二项式系数最大有一项，C m 2m ＝a ，(x ＋y )2m＋1的二项式系数最大有两项，C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b .又13a ＝7b ，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，将各选项中m 的取值逐个代入验证，知m ＝6满足等式．13．已知集合A ＝{x |x ＝a 0＋a 1×3＋a 2×32＋a 3×33}，其中a k ∈{0,1,2}(k ＝0,1,2,3)，且a 3≠0，则A 中所有元素之和等于( ) A ．3 240 B ．3 120 C ．2 997 D ．2 889解析：选D 可利用排除法，若a 3也可以取0，则a 0，a 1，a 2，a 3都可取0,1,2，根据分步乘法计数原理，可知这样的数共有3×3×3×3＝81(个)，显然0,1,2这3个数字每个数字要重复27次，故这些元素的和为27×(3＋3×3＋3×32＋3×33)＝27×120＝3 240；当a 3＝0时，a 0，a 1，a 2可取0,1,2，根据分步乘法计数原理，可知这样的数共有3×3×3＝27(个)，而0,1,2这3个数字每个数字要重复9次，故这些元素的和为9×(3＋3×3＋3×32)＝9×39＝351.所以集合A 中所有元素的和为3 240－351＝2 889.14．(2013·郑州预测)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A.16B.14C.13D.512解析：选D 注意到二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C rn ·(x )n －r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫12·4x r ＝C rn·2－r·x234n r-.依题意有C 0n ＋C 2n ·2－2＝2C 1n ·2－1＝n ，即n 2－9n ＋8＝0，(n －1)(n －8)＝0(n ≥2)，因此n ＝8 .∵二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x 8的展开式的通项是T r ＋1＝C r8·2－r ·x 344r －，其展开式中的有理项共有3项，所求的概率等于A 66·A 37A 99＝512.15．(2013·长春模拟)用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为________．解析：A 22·C 12·A 22＝8个． 答案：816．(2013·长沙模拟)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－22的展开式中常数项是________．解析：∵⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4，∴T r ＋1＝C r 4x4－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 4(－1)r x 4－2r ， 令4－2r ＝0，解得r ＝2，∴常数项为C 24(－1)2＝6. 答案：6 17．(2013·湖北八校联考)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．解析：先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组，再排，有C 12A 22A 22A 22种方法，然后排2艘攻击型核潜艇，有A 22种方法，故舰艇分配方案的方法数为C 12A 22A 22A 22A 22＝32. 答案：3218．(2013·浙江名校联考)二项式(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________．解析：∵(4x －2－x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(4x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 62(12－3r )x，若T r ＋1为常数项，则r ＝4，T 5＝15. 答案：1519．(2013·银川模拟)若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________.解析：原等式两边求导得5(2x －3)4·(2x －3)′＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令上式中x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝10. 答案：1020.(2013·滨州模拟)如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．解析：按区域分四步：第一步A 区域有5种颜色可选； 第二步B 区域有4种颜色可选； 第三步C 区域有3种颜色可选；第四步由于D 区域可以重复使用区域A 中已有过的颜色，故也有3种颜色可选． 由分步计数原理知，共有5×4×3×3＝180(种)涂色方法． 答案：180。

外国语2021年高考第一轮复习专题素质测试题排列、组合、二项式定理〔文科〕班别______学号______姓名_______评价______〔考试时间是是60分钟，满分是120分，试题设计：隆光诚〕一、选择题〔每一小题5分，一共80分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确〕 1．〔10〕现有6名同学去听同时进展的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是〔 〕 A ．65B. 56C.5654322⨯⨯⨯⨯⨯D.6543⨯⨯⨯⨯2．(08全国Ⅱ)44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是〔 〕A ．4-B ．3-C ．3D ．43．〔08〕10101(1)(1)x x++展开式中的常数项为〔 〕A ．1B ．1210()C C ．120C D ．1020C 4．〔07〕在()()1nx n N *+∈的二项展开式中，假设只有5x的系数最大，那么n =〔 〕A ．8 B. 9 C. 10 D.11 5．〔05〕假设nx )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，那么n 等于 〔 〕A ．5B ．7C ．9D ．116. (09全国Ⅱ)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，那么甲、乙所选的课程中恰有1门一样的选法有〔 〕A.6种B.12种C.24种 7. 〔09〕假设20092009012009(12)()x a a x a x x R -=+++∈，那么20091222009222a a a +++的值是〔 〕A.2B.0C.1-D. 2-8．〔09〕假设122n nn n n C x C x C x +++能被7整除，那么,x n 的值可能为〔 〕A ．4,3x n ==B ．4,4x n ==C ．5,4x n ==D ．6,5x n == 9．〔05〕从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城游览，要求每个城有一人游览，每人只游览一个城，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，那么不同的选择方案一共有〔 〕A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种10．〔09〕某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，那么这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为〔 〕 A ．14 B. 16 C. 20 D. 48 11. (10全国Ⅱ)将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，假设每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，那么不同的放法一共有〔 〕 A.12种 B.18种 C.36种12.〔10〕某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日〔端午节假期〕值班，每天安排2人，每人值班1天；假设6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，那么不同的安排方法一共有〔 〕13.〔07全国Ⅰ〕甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，那么不同的选修方案一共有〔〕Ａ．36种Ｂ．48种Ｃ．96种Ｄ．192种的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是14．〔08全国Ⅰ〕将1，2，3填入33一种填法，Array那么不同的填写上方法一共有〔〕A．6种 B．12种 C．24种 D．48种15.〔06〕假如一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对〞在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对〞的个数是〔〕A.48B. 18C. 24 16．〔07〕某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前7位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999〞一共10000个号码，公司规定：凡卡号的后4位带有数字“4〞或者“7〞的一律作为“优惠卡〞，那么这组号码中“优惠卡〞的个数为〔〕A．2000 B．4096 C．5904 D．8320一、选择题答题卡：二、填空题〔每一小题5分，一共40分. 将你认为正确之答案填写上在空格上〕17.〔06〕设常数0a >，42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，那么a ＝_____. 18. (09全国Ⅱ)4)(x y y x -的展开式中33y x 的系数为 ．19. (05全国Ⅰ)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，那么不同的选法有 种.20. (06全国Ⅰ)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲乙二人都不安排5月1日和5月2日.不同的安排方法一共有__________种(用数字答题)21.〔07〕要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，那么不同的排法种数为.〔以数字答题〕22．(08全国Ⅱ)从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，那么选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法一共有 种〔用数字答题〕23. (10全国Ⅰ)某开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中一共选3门，假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法一共有 种.(用数字答题) 24．〔10〕将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆效劳，不同的分配方案有 种〔用数字答题〕.参考答案：一、选择题答题卡：二、填空题 17.21. 18. 6 ． 19. 100 . 20. 2400 . 21. 288 . 22． 420 . 23. 30 . 24． 90 .。

n nnn高三数学第一轮复习单元测试（9）—《排列、组合、二项式、概率与统计》一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的． 1．(理)下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（）A ．从 10 只编号的球(0 号到 9 号)中任取一只，被取出的球的号码ξB ．抛掷两个骰子，所得的最大点数ξC ．[0，10]区间内任一实数与它四舍五人取整后的整数的差值ξD ．一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数ξ(文)现有 10 张奖票，只有 1 张可中奖，第一人与第十人抽中奖的概率为（ ）1 1 A ． ，1021 1B ． ，2 1011C ．，10 1019D ．，10 102．为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33、25、28、26、25、31．如果该班有 45 名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋 （ ） A ．900 个 B ．1080 个 C ．1260 个 D ．1800 个3．假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方(包括右上，右下)爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，从最初位置爬到 4 号蜂房中，则不同的爬法有 （ ） A ．4 种B ．6 种C ．8 种D ．10 种2n +1 与 A 3 的大小关系是（）2n +1 > A 3 2n +1 < A 3 2n +1 = A 3 D ．大小关系不定niilog 2 f (3) 5．(理)若 f (m )=∑ m Cn ，则i =01 A ．2 B ．2等于（）2 f (1) C ．1 D ．3（文）某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种 A ．1320B ．288C ．1530D ．6706．(理)在二项式( x - i )6 的展开式中(其中i 2=－1)，各项系数的和为（）A ．64 iB ．－64 iC ．64D ．－643 4．A A ．A B ．A C ．A log（文）已知(2a3+ 1)n 的展开式的常数项是第7 项，则正整数n 的值为（）aA．7 B．8 C ．9 D．10 7．右图中有一个信号源和五个接收器。

素质能力检测（4）一、填空题（每小题5分，共30分）1.（2004年东北三校模拟题）已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能.在这25种可能中，电路从P 到Q 接通的情况有A.30种B.10种C.24种D.16种 解析：五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通.所以共有1+5+8+2=16种情况能使电路接通.答案：D2.（2004年湖北八校模拟题）有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有A.240种B.192种C.96种D.48种解析：我们可以这样排，首先将乙、丙绑定为一个位置，排法有A 55A 22种，然后将甲站在中间位置，但此时有不符合条件的，即当乙、丙在中间位置时，甲再插入中间，应去掉，共有A 44·A 22种，则符合条件的站法有A 55·A 22－A 44·A 22=192种，选B.答案：B3.（理）在（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）2004的展开式中x 3的系数等于 A.C 42004B.C 42005C.2C 32004D.2C 32005解析：含x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 32004=C 42005.故选B.答案：B （文）在（2x －x 2）5的展开式中x 1的系数等于 A.10B.－10C.20D.－20解析：本题考查二项式定理，（a +b ）n 中第r +1项T 1+r =C r n ·a r ·bn －r， 则T 1+r =C r5（2x ）r ·（x2-）5－r =C r 5·2－r ·（－2）5－r ·x 2r －5. 由题知2r －5=－1，则r =2，则x 1的系数为C 25·2－2·（－2）5－2=C 25×41×（－8）=－20，故选D.答案：D4.如下图，A 、B 、C 、D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有A.8种B.12种C.16种D.20种 解法一：桥梁的建设有两大类：（1）A 、B 、C 、D 四岛之间依次建桥，如AB 、BC 、CD 一种方案，AC 、CD 、DB 一种方案等.其建造方案共有m 1=2A 44=12（种）.（2）四岛中的某一岛与其他三岛之间建桥，如AB 、AC 、AD 等其建造方案共有m 2=C 14=4（种）. 由分类计数原理可知N =m 1+m 2=16（种）.解法二：把四个岛看成三棱锥的四个顶点，四棱锥有6条棱，从中选3条把A 、B 、C 、D 连起来，有C 36种方法，其中共面时不合题意，则共有C 36－4=16（种）.答案：C5.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是A.30B.60C.120D.240解析：先将4个熟悉道路的人平均分成两组有222224A C C .再将余下的6人中分成两组有C 36·C 33.故有21C 24·C 36=60（种）. 答案：B6.（2004年北京东城区模拟题）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有A.90个B.99个C.100个D.112个解析：由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有10×10种=100种.故选C. 答案：C二、填空题（每小题4分，共16分）7.从1，3，5中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_____________个.（用数字作答）解析：能被5整除的四位数的个位数只能是5或0， ∴必须从1，3，5中选取5或从0，2，4，6中选取0.（1）选取0不选取5，能被5整除的四位数有C 13·C 22·A 33=36（个）； （2）选取5不选取0，能被5整除的四位数有C 12C 23·A 33=36（个）.（3）同时选取0和5，能被5整除的四位数有C13C12（A33+A12A22）=60（个）.∴其中能被5整除的四位数共有132个.答案：1328.有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A、B两位学生去问成绩，教师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列共有_____________种不同的可能.（用数字作答）解法一：A不是第一名有A44种.A不是第一名，B不是第三名有A33种.符合要求的有A44－A33=18种.解法二：第一名有3种，第二名有3种，第三名有1种，第四名有2种，第五名有1种，则完成这件事有3×3×1×2×1=18种.答案：189.若（1－2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）=_____________.（用数字作答）解析：在（1－2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004中令x=1，得a0+a1+a2+…+a2004=（1－2）2004=1，又a0=1，∴a1+a2+…+a2004=0.∴（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）=2004.答案：200410.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒子内放一个球，恰好有2个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为_____________.（用数字作答）解析：分两步：第一步，先取8个球，分别放入球的标号与盒子的标号相同的盒子里有C810种放法.第二步，再将余下的2个球放入盒子里的放法有1种.由分步计数原理得C810=45.答案：45三、解答题（本大题共4小题，共54分）11.（12分）中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中4个区域内坐定.有4种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否则不受限制，那么不同的着装方法有多少种?分析：显然，相对位置（比如Ⅰ，Ⅲ）的服装颜色可以相同，也可以不同，因为它们不相邻，但它们服装颜色是否相同对另两个区域（Ⅱ，Ⅳ）的服装颜色的影响是不同的，所以考虑以此为分类讨论的标准.解法一：若每个区域服装颜色不相同，则有C14·C13·C12·1=24种；若Ⅰ、Ⅲ或Ⅱ、Ⅳ同色，另两区域不同色，则有2C 14×3×2=48种；若Ⅰ、Ⅲ与Ⅱ、Ⅳ分别同色，则有C 24· A 22=12种.故共有24+48+12=84种.解法二：Ⅰ有4种可能，Ⅱ有3种可能，Ⅲ可与Ⅰ相同或不同，故共有4×3×3+4×3×2×2=84种方法.12.（14分）（理）某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法?解：由于张数不限，2张2，3张A 可以一起出，亦可分几次出，可以考虑按此分类. 出牌的方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有A 55种方法；（2）2张2一起出，3张A 一起出，有A 25种方法； （3）2张2一起出，3张A 分开出，有A 45种方法； （4）2张2一起出，3张A 两次出，有C 23A 35种方法；（5）2张2分开出，3张A 一起出，有A 35种方法；（6）2张2分开出，3张A 分两次出，有C 23A 45种方法.因此，共有不同的出牌方法A 55+A 25+A 45+C 23A 35+ A 35+C 23A 45=860种.（文）抛物线方程y =ax 2+bx +c 的各项系数a 、b 、c ∈{－2，－1，0，1，2，3，4}，且a 、b 、c 两两不等.（1）过原点的抛物线有多少条?（2）过原点且顶点在第一象限的抛物线有多少条? 解：（1）抛物线过原点，则c =0.从－2，－1，1，2，3，4中任取2个数作为a 、b ，有A 26=30条.（2）∵顶点在第一象限，∴.00.0444,0222><∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=->-b a a b ab ac ab且 ∴C 13·C 13·C 11=9.∴过原点且顶点在第一象限的抛物线有9条.13.（14分）7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同排法? （1）甲、乙必须排在一起； （2）甲不在排头，乙不在排尾；（3）甲、乙、丙互不相邻； （4）甲、乙之间必须隔一人.解：（1）（整体排列法）先将甲、乙看作一个人，有A 66种排法，然后甲、乙换位，所以不同的排法有A 22·A 66=1440种.（2）（间接法）甲在排头或乙在排尾的排法共2A 66种，其中都包含甲在排头且乙在排尾的情形，故有不同的排法A 77－2A 66+A 55=3720种.（3）（插空法）把甲、乙、丙插入其余4个元素产生的5个空，有A 44·A 35=1440种.（4）先从其余5人中选1人有5种选法，放在甲、乙之间，将三人看作一个有A 55种，然后甲、乙换位有A 22种，共有5A 55A 22=1200种方法.评述：解决“相邻”问题一般用整体法，解决不相邻问题一般用插空法，解决某些元素在某些位置用定位法，解决某些元素不在某些位置一般用间接法.14.（14分）已知（1+3x ）n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项.解：末三项的二项式系数分别为C 2-n n 、C 1-n n 、C nn ， 由题设，得C 2-n n +C 1-n n +C n n =121，即C 2n +C 1n +1=121，∴n 2+n －240=0.∴n =15（n =－16舍去）.∵T 1+r =C r 15（3x ）r =C r 15·3r x r ，设T 1+r 项与T r 项的系数分别为t 1+r 与t r ，则t 1+r =C r153r ，t r =C 115-r ·31-r ，令rr t t 1+>1， 即1115153C 3C --⋅⋅r r r r =rr )115(3+-⨯ >1，解得r <12.也就是说，当r 取小于12的自然数时，都有t r <t 1+r ，即第12项以前的各项，前面一项的系数都比后面一项的系数小.又当r =12时，t 1+r =t r ，即t 13=t 12，∴展开式中系数最大的项是T 12=C 1115·311·x 11，T 13=C 1215·312·x 12，当n=15时，二项式系数最大的是第8、9项，分别为C715·37·x7与C715·38·x8.评述：本题考查二项式系数的性质、二项式定理、二项式系数与项的系数以及运算能力.注意二项展开式中，项的系数与项的二项式系数是两个不同的概念，前者由指数、底数二者决定，而后者只与二项式次数有关，一般地，项的系数不具备二项式系数的性质，不能混用.在（a+b）n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a、b的系数不是1时，最大系数值的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定.。

2019-2020年高三一轮测试（理）10排列、组合和二项式定理概率统计（通用版）——————————————————————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．题目要求的)1．某中学高一年级有540人，高二年级有440人，高三年级有420人，用分层抽样的方法抽取样本容量为70的样本，则高一、高二、高三三个年级分别抽取 ( )A ．28人、24人、18人B ．25人、24人、21人C ．26人、24人、20人D ．27人、22人、21人2．甲、乙两名中学生在一年里的学科平均分相等，但它们的方差不相等，正确评价他们的学习情况是 ( )A ．因为平均分相等，所以学习水平一样B ．成绩虽然一样，方差较大的，说明潜力大，学习态度踏实C ．表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定D ．平均分相等，方差不等，说明学习水平不一样，方差小的学习成绩不稳定，忽高忽低3．一个盒子里装有大小相同的红球5个，白球4个，从中任取两个，则至少有一个白球的概率是 ( )A.49B.1336C.2372D.13184．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6(俗称骰子)，将这个玩具向上拋掷一次，设事件A 表示“向上的一面出现奇数点”(指向上一面的点数是奇数)，事件B 表示“向上的一面出现的点数不超过3”，事件C 表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则 ( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件5．某厂有三个顾问，假定每个顾问发表的意见是正确的概率为0.8，现就某事可行与否征求各顾问的意见，并按顾问中多数人的意见作出决策，作出正确决策的概率是( )A ．0.896B ．0.512C ．0.64D ．0.3846．在(x 2－13x)8的二项展开式中，常数项等于 ( )A.32B ．－7C ．7D ．－327．一个电路上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根熔丝熔断相互独立，则至少有一根熔断的概率为 ( )A ．0.15×0.26＝0.039B ．1－0.15×0.26＝0.961C ．0.85×0.74＝0.629D ．1－0.85×0.74＝0.3718．某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )A ．90B ．75C ．60D ．459．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N )，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n 等于( )A ．81B ．27C ．243D ．72910．四名志愿者和他们帮助的两名老人排成一排照相，要求两名老人必须站在一起，则不同的排列方法为( )A ．A 44A 22B ．A 55A 22C ．A 55 D.A 66A 2211．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A ．36个B ．24个C ．18个D ．6个12．已知：x 10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，其中a 0，a 1，a 2，…，a 10为常数，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10等于 ( )A ．－210B ．－29C ．210D ．29题 号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷总 分二 17 1819 20 21 22 得 分二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，从该中学中抽取一个容量为n 的样本，每人被抽到的概率为0.2，则n ＝________.14．如图在某路段检测点，对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如下频率分布直方图，则车速不小于90 km/h 的汽车约有________辆．15．已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中x8的系数小于120，则k＝________.16．先后拋掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则log2x y＝1的概率为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某投资商准备在某市投资甲、乙、丙三个不同的项目，这三个项目投资是否成(1)(2)求至少有一个项目投资成功的概率．18．(本小题满分12分)为了了解中学生的身高情况，对某校中学生同年龄的若干名女生的身高进行了测量，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右五个小组的频率分别为0.017,0.050，0.100,0.133,0.300，第三小组的频数为6(单位：cm)．(1)参加这次测试的学生人数是多少？(2)身高在哪个范围内的学生人数最多？这一范围内的人数是多少？(3)如果本次测试身高在154.5 cm以上的为良好，试估计该校学生身高良好率是多少？19．(本小题满分12分)育新中学的高二一班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．(1)求被抽到的课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名中恰有一名女同学的概率；(3)试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．20．(本小题满分12分)袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球．(1)共有多少种不同结果？(2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？(3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？(4)计算第(2)、(3)小题表示的事件的概率．21．(本小题满分12)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S－ABCD的所有棱长均为1米，一只小虫从S点出发沿四棱锥爬行，若在每顶点处选择不同的棱都是等可能的．设小虫爬行n米后恰回到S点的概率为P n(n≥2，n∈N)．(1)求P2，P3的值；(2)求证：3P n＋1＋P n＝1(n≥2，n∈N)；(3)求证：P2＋P3＋…＋P n＞6n－524(n≥2，n∈N)．答案： 卷(十)一、选择题1．D ∵540＋440＋420＝1400， ∴5401400×70＝27(人)，4401400×70＝22(人)，4201400×70＝20(人)． 2．C 在平均分相同或相近的情况下比较方差，方差越大，成绩越不稳定，方差越小，成绩越稳定．因此A 、B 、D 均不正确，C 正确．3．D P ＝C 15C 14＋C 24C 29＝1318. 4．D ∵事件B 与C 不同时发生且一定有一个发生， ∴B 与C 是对立事件．5．A P ＝C 230.82(1－0.8)＋C 330.83＝0.896.6．C (x 2－13x )8的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ·(－x －13)r ＝(－1)r C r828－r·x 8－43r ，令8－43r ＝0得r ＝6，所以r ＝6时，得二项展开式的常数项为T 7＝(－1)6C 6828－6＝7.7．B 甲、乙两根熔丝至少有一根熔断的概率为 1－(1－0.85)(1－0.74) ＝1－0.15×0.26 ＝0.961.8．A 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n ，则36n＝0.300，所以n ＝120.净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75， 所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90，故选A.9．A 由C 2n ＋620＝C n ＋220得n ＝4，取x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝34＝81.10．B 两位老人站在一起的方法有A 22种，将两位老人与其他四名志愿者排在一起共有A 55种方法， ∴符合题意的排列方法有A 55A 22种．11．B 各位数字之和为奇数的有两类： ①两偶一奇：有C 13·A 33＝18个； ②三奇：有A 33＝6个． ∴共有18＋6＝24(个)．12．D 分别令x ＝0和x ＝2得：a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝0，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝210， 两式相加即得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)＝210， 故a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝29.故应选D. 二、填空题 13．【答案】 20014．【解析】 频率＝频率组距×组距＝(0.02＋0.01)×10＝0.3，频数＝频率×样本总数＝200×0.3＝60(辆)． 【答案】 6015．【解析】 (1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r 6(kx 2)r ＝C r 6k r ·x 2r. 令2r ＝8，得r ＝4，∴x 8的系数为C 46·k 4， 即15k 4＜120，∴k 4＜8.而k 是正整数，故k 只能取1. 【答案】 116．【解析】 由log 2x y ＝1⇒2x ＝y ， ∵x ∈{1,2,3,4,5,6}，y ∈{1,2,3,4,5,6}，∴x ＝1，y ＝2；x ＝2，y ＝4；x ＝3，y ＝6共三种情况．∴P ＝36×6＝112【答案】 112三、解答题17．【解析】 (1)设投资甲、乙、丙三个不同项目成功的事件分别为 A 、B 、C ， P 1＝P (A B C ＋A B C ＋A B C ) ＝23×13×14＋13×23×14＋13×13×34＝736. 所以恰有一个项目投资成功的概率为736.(2)P 2＝1－P (A B C )＝1－13×13×14＝3536.所以至少有一个项目投资成功的概率为3536.18．【解析】 (1)∵第三小组的频率为0.100，频数为6，∴参加测试的学生人数为：60.100＝60(人)．(2)由图可知，身高落在[157.5,160.5)范围内人数最多，其人数为：60×0.300＝18(人)． (3)良好率为1－(0.017＋0.050＋0.100)＝0.833， 即该校学生身高良好率为83.3%.19．【解析】 (1)P ＝n m ＝460＝15∴男、女同学的人数分别为3,1.(2)把3名男同学和1名女同学记为a 1，a 2，a 3，b ，则选取两名同学的基本事件有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b )，(a 3，a 1)，(a 3，a 2)，(a 3，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，a 3)共12种，其中有一名女同学的有6种；∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P ＝612＝12.(3)x 1＝68＋70＋71＋72＋745＝71，x 2＝69＋70＋70＋72＋745＝71s 21＝(68－71)2＋…＋(74－71)25＝4，s 22＝(69－71)2＋…＋(74－71)25＝3.2 ∴第二位同学的实验更稳定20．【解析】 (1)设从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果组成的集合为I . ∴card(I )＝C 39.∴共有C 39＝84个不同结果．(2)设事件：“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A .∴card(A )＝C 24C 15.∴共有C 24C 15＝30种不同的结果．(3)设事件：“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成集合为B .∴card(B )＝C 34＋C 24C 15.∴共有C 34＋C 24C 15＝34种不同的结果．(4)∵从4个白球，5个黑球中，任取3个球的所有结果的出现可能性都相同，∴第(2)小题的事件发生的概率为3084＝514，第(3)小题的事件发生的概率为3484＝1742.21．【解析】 (1)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．(2)记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P (A )＝C 14C 16C 210＝815.(3)A i 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，i ＝0,1,2. B j 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，j ＝0,1,2. B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人． A i 与B j 独立，i ，j ＝0,1,2，且B ＝A 0·B 2＋A 1·B 1＋A 2·B 0. 故P (B )＝P (A 0·B 2＋A 1·B 1＋A 2·B 0) ＝P (A 0)·P (B 2)＋P (A 1)·P (B 1)＋P (A 2)·P (B 0)＝C 24C 210·C 24C 210＋C 14C 16C 210·C 16C 14C 210＋C 26C 210·C 26C 210＝3175.22．【解析】 (1)P 2表示从S 点到A (或B 、C 、D )，然后再回到S 点的概率，所以P 2＝4×14×3＝13；因为从S 点沿一棱爬行，不妨设为沿着SA 棱再经过B 或D ，然后再回到S 点的概率为14×3×3×2＝118，所以P 3＝118×4＝29.(2)证明：设小虫爬行n 米后恰回到S 点的概率为P n ，那么1－P n 表示爬行n 米后恰好没回到S 点的概率，则此时小虫必在A (或B 、C 、D )点，所以13×(1－P n )＝P n ＋1，即3P n ＋1＋P n ＝1(n ≥2，n ∈N )．(3)证明：由3P n ＋1＋P n ＝1，得⎝⎛⎭⎫P n ＋1－14＝－13⎝⎛⎭⎫P n －14，从而P n ＝14＋112⎝⎛⎭⎫－13n －2(n ≥2，n ∈N )． 所以P 2＋P 3＋…＋P n ＝n －14＋112⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n －11＋13＝n －14＋116⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n －1 ＝n －14＋116×23＋116⎣⎡⎦⎤13－⎝⎛⎭⎫－13n －1＞6n －524.。

高三数学单元测试（排列、组合、二项式定理）-数学试题一、选择题：本大题共24小题，第1—10小题每小题4分，第11—24小题每小题5分，共110分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.width=46 valign=top >题号width=22 valign=top >1width=22 valign=top >2width=22 valign=top >3width=22 valign=top >4width=25 valign=top >5width=22 valign=top > 6width=22 valign=top > 7width=25 valign=top > 8width=26 valign=top > 9width=26 valign=top > 10width=32 valign=top > 11width=26 valign=top > 12width=32 valign=top > 13width=26 valign=top > 14width=32 valign=top > 15width=46 valign=top > 答案width=22 valign=top > width=22 valign=top > width=22 valign=top > width=22 valign=top > width=25 valign=top > width=22 valign=top > width=22 valign=top > width=25 valign=top > width=26 valign=top >width=26 valign=top > width=32 valign=top > width=26 valign=top > width=32 valign=top > width=26 valign=top > width=32 valign=top >width=46 valign=top > 题号width=22 valign=top > 16width=22 valign=top > 17width=22 valign=top >18width=22 valign=top >19width=25 valign=top >20width=22 valign=top >21width=22 valign=top >22width=25 valign=top >23width=26 valign=top >24width=174 colspan=6 rowspan=2 valign=top >width=46 valign=top >答案width=22 valign=top >width=22 valign=top >width=22 valign=top >width=22 valign=top >width=25 valign=top >width=22 valign=top >width=22 valign=top >width=25 valign=top >width=26 valign=top >(1)集合A中有8个元素，集合B中有2个元素.现建立从A到B的映射，且B中每一个元素都有原象，则共有不同的映射种数为(A)254 (B)64 (C)62(D)256(2)8个人排成一排，甲、乙、丙三人中有两个相邻，但三个人不同时相邻，则满足这些条件的排列种数为（A）（B）（C）（D）（3）七个人坐成一排，要调换其中三个人的位置，其余四个人位置不动，不同的调换方法为（A）70种（B）60种（C）75种（D）80种（4）4813除以7所得余数为（A）2 （B）4（C）6（D）8（5）大于1000且小于10000的数中，各位数字不同且个位数与千位数之差的绝对值为2的整数共有（A）672个（B）784个（C）840个（D）896个（6）将20件相同的物品分给4个学生，要求每个学生至少得3件，共有分法种数为（A）（B）（C）（D）（7）身高不等的7名同学站成一排，要求正中间的最高，从中间向两边看，一个比一个矮。

2022－2022学年度上学期高中学生学科素质练习高三数学同步测试〔9〕—?排列、组合二项式定理?一、选择题〔此题每题5分,共60分〕1．以下各式中,假设1＜k ＜n , 与C n k 不等的一个是 〔 〕A ．11++n k C n+1k+1B ．k n C n －1k －1 C ．kn n -C n －1k D ．1--n nk C n －1k+1 2．二项式(x －x2)7展开式的第4项与第5项之和为零,那么x 等于 〔 〕A ．1B ．2C ．2D ．463．设(1－2x)10＝a 1+a 2x+a 3x 2+…+a 11x 10, 那么a 3+a 5+…+a 7+a 9等于 〔 〕A ．310－1B ．1－310C ．21(310－1) D ．21(310+1) 4．从10名女学生中选2名,40名男生中选3名,担任五种不同的职务,规定女生不担任其中某种职务,不同的分配方案有 〔 〕A ．P 102P 403B ．C 102P 31P 44C 103 C ．C 152C 403P 55D ．C 102C 4035．用1,2,3,4,5,6,7七个数字排列组成七位数,使其中偶位数上必定是偶数,那么可得七位数的个数是 〔 〕A ．P 44B ．P 44P 33C ．6P 33D ．C 152C 403P 556．假设1212221012)23(x a x a x a a x ++++=+ ,那么-++++211531)(a a a a 212420)(a a a a ++++ 的值是〔 〕A ．1B ．－1C ．2D ．－27．在某次数学测验中,学号)4,3,2,1(=i i 的四位同学的测试成绩}98,96,93,92,90{)(∈i f ,且满足)4()3()2()1(f f f f <≤<,那么这四位同学的测试成绩的所有可能情况的种数为 〔 〕A ．9种B ．5种C ．23种D ．15种8．如果一个三位正整数形如“321a a a 〞满足2321a a a a <<且,那么称这样的三位数为凸数〔如120、363、374等〕,那么所有凸数个数为〔 〕A ．240B ．204C ．729D ．9209．使得多项式1125410881234++++x x x x 能被5整除的最小自然数为 〔 〕 A ．1 B ．2C ．3D ．410．假设n xx )2(3+展开式中存在常数项,那么n 的值可以是〔 〕A ．8B ．9C ．10D ．1211．在AOB ∠的OA 边上取m 个点,在OB 边上取n 个点〔均除O 点外〕,连同O 点共1m n ++个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有〔 〕 A ．211211m n n m C C C C +++ B ．2121m n n m C C C C + C ．112121n m m n n m C C C C C C ++D ．121211n m n m C C C C +++12．假设二项式：)()222(9R x x∈-的展开式的第7项为421,那么)(lim 2n n x x x +++∞→ 的值为 〔 〕A ．－41 B ．41C ．－43D ．43 二、填空题〔此题每题4分,共16分〕13．二项式〔1－x21〕10的展开式中含51x 的项的系数________〔请用数字作答〕14．某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲,每班至少派1人,那么这9个名额的分配方案共有 种.〔用数字作答〕15．在102)1)(1(x x x -++的展开式中,4x 项的系数是 .16．有四个好友A, B, C, D 经常通交流信息, 在通了三次 后这四人都得悉某一条 高考信息, 那么第一个 是 A 打的情形共有 种.甲、乙、丙、丁、戊5名学 生进行投篮比赛,决出了第 1至第5名的不同名次,甲、 乙两人向裁判询问成绩,根据右图所示裁判的答复,5人的名次排列共有 种不同的情况.三、解做题〔本大题共6小题,共74分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值12分〕一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球, 〔1〕从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种？〔2〕假设取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种？18．〔本小题总分值12分〕摸球兑奖,口袋中装有4红4白共8个小球,其大小和手感都无区别,交4元钱摸4个球,具体奖金如下：4红(10元)、3红(5元)、2红(1元)、1红(1包0.2元的葵花籽),试解释其中的奥秘.19．〔本小题总分值12分〕)0,()1()(*212≠∈+++m N n mx m x n n 与的展开式中含x n 项的系数相等,求实数m 的取值范围.20．〔本小题总分值12分〕某市A有四个郊县B、C、D、E.〔如图〕现有5种颜色,假设要使每相邻的两块涂不同颜色,且每块只涂一种颜色,问有多少种不同的涂色方法？21．〔本小题总分值12分〕：*,1,,N n n R b a ∈>∈+求证：nn n b a b a )2(2+≥+22．〔本小题总分值14分〕数列{}n a 满足2n n nS a =(n ∈N *),n S 是{}n a 的前n 项的和,并且21a =．〔1〕求数列{}n a 的前n 项的和；〔2〕证实：23≤11112n a n a ++⎛⎫+ ⎪⎝⎭2<．参 考 答 案〔九〕一、选择题〔每题5分,共60分〕：(1).D (2).C (3).C (4).B (5).B (6).B (7).D (8). A (9).C (10). C (11). C (12).A 二、填空题〔每题4分,共16分〕(13). －863(14). 56 (15). 135 (16). 16 三、解做题〔共74分,按步骤得分〕17．解〔1〕将取出4个球分成三类情况1〕取4个红球,没有白球,有44C 种 2〕取3个红球1个白球,有1634C C 种；3〕取2个红球2个白球,有,2624C C种符合题意的取法种数有或或则个白球个红球设取种186142332)60(72)40(5,,)2(1151644263436242624163444=++∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧≤≤≥+≤≤=+=++∴C C C C C C y x y x y x y y x x y x y x C C C C C18. 解：摸出4球有C 84＝70种可能性,四“红〞只有一种,三“红〞：C 43C 41＝16种,2“红〞：C 42C 42＝36种.1“红〞：C 41C 43＝16种 共计：赌70次收参赌费280元,平均奖金1×10+16×5+36×1+16×0.2＝129.2(元).所以,每赌70次,该赌者可净赚150.8元. 19．解：]32,21(3221,32,1,21,),1211(21121:1,12,)(21112111212121112的取值范围是故时又当的减函数为由题意知项的系数为故此展开式中得令则的展开式通项公式为设m m m n m N n n m n n n m mC mC mC x n r n r n m xC T T m x nn nn n n n n n n r rn r n r r n ≤<∴==>∴∈++=++=∴=+==-+⋅=+*++++++-+++++20. 解：符合题意的涂色至少要3种颜色,分类如下种共有不同的涂色方法由分类计数原理种有种颜色涂有种有种颜色涂用种有种颜色涂用42060240120,60,3)3(240,4)2(120,5)1(333522*********5=++=⋅=⋅⋅⋅⋅=A C A C C C C A21．证实n n n n n n n n n n n nn n n n n nb a b a b a b a C b a b a C b a b a C b a C b a b a b a b a b a b a b a b a N n n R b a )2(2)2(2])2()2()2()2(,)2()2([2)22()22(0)2(,02,0,1,,4442220+≥+∴+≥-++-⋅++-+++=--++-++=+≥-≥->≥∈>∈--*+ 故则不妨设22.解：解：(1)由题意2n n n S a =得1112n n n S a +++= 两式相减得()()111211n n n n n a n a na n a na +++=+--=即所以()121n n n a na +++=再相加121222n n n n n n na na na a a a ++++=+=+即 所以数列{}n a 是等差数列．又111102a a a =∴= 又21a = 1n a n ∴=-所以数列{}n a 的前n 项的和为()122n n n n n S a -==． 6分 ()()()11201211(2)112211112222111111,2,22!2n a nn rnr n nnn nnrr n r rr a n C C C C C n n n n n n n r C r n n r n ++⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--+⎛⎫=⋅<= ⎪⎝⎭10分111111112112212242212n nnn n +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴+<++++==-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 12分而011131222nn n C C n n⎛⎫+≥+⋅= ⎪⎝⎭∴ 23≤11112n a n a ++⎛⎫+ ⎪⎝⎭2<. 14分。