A02第2章误差与分析数据处理

6
（3）有界性：特大误差概率极小 ）有界性：特大误差概率极小; （4）抵偿性：误差的算术平均值的极限为零。 ）抵偿性：误差的算术平均值的极限为零。
di lim ∑ = 0 n →∞ i =1 n
n
7
讨论
(1) σ是测量后根据实验数据计算出的，事 是测量后根据实验数据计算出的， 是测量后根据实验数据计算出的 先并不知道。 先并不知道。 (2) 无论 是大是小都符合上述规律。 无论σ是大是小都符合上述规律 是大是小都符合上述规律。
测量值出现的区间 概 率p
(µ-1σ, µ+1σ) (µ-2σ, µ+2σ) (µ-3σ, µ+3σ)
68.3% 95.5% 99.7%
9
讨论
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
s=
∑( x − x )
i
2
n −1σ=ຫໍສະໝຸດ ∑( xi − µ)n
2
当n→∞, s→σ → →
sx =
1 5 10 15 20
11
三、真值μ的置信区间和置信度 真值μ
测量的目的：得到真值 测量的目的：得到真值μ 但是，由于偶然误差不可避免，无法得到 ， 但是，由于偶然误差不可避免，无法得到μ，只好用 x 代表μ。 代表 。 现在的问题是： 现在的问题是： 代表μ时 误差E= 用 x 代表 时，误差 ( - x 是多大？可靠性如何？ μ)是多大 可靠性如何？ 是多大？
为中心， 以t=0为中心，单峰性、对称性 为中心 单峰性、
y
1- α = 置信度 p 随机变量t 随机变量t出现 在[-tα,tα]的概 率为1 率为1- α。
½α tα(f)
½α -tα(f)
x−µ t= n s
置信区间为： 置信区间为：
t ⋅s [x − , n
或写成： 或写成：
t ⋅s x+ ] n
s=
n
∑
i =1
xi =
i
1 ( 28.62 6
=
+ 28.59
i
+ 28.51 + 28.48
= 0 .06
+ 28.52
+ 28.63 ) = 28 . 56
∑ (x
− x )2
∑ (x
− 28 .56 ) 2 6 −1
n −1
求置信区间，首先求 求置信区间，首先求ts/√n。这里，首先求 ，查表： 。这里，首先求t，查表： n=6，置信度 ％时，t=2.015 ，置信度90％ 则：
测量值（ 测量值 （ %）
99.6%（平均值） （平均值）
频率密度直方图和频率密度多边形
98 .8 98 5 .9 99 5 .0 99 5 .1 99 5 .2 99 5 .3 99 5 .4 5 99 .5 99 5 .6 99 5 .7 99 5 .8 99 5 . 10 95 0. 10 05 0. 15
13
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4
-3σ -2σ -σ µ-3σ µ-2σ µ-σ
-3
-2
-1
0
µ
68.3% 95.5% 99.7%
0
σ 2σ 3σ µ+σ µ+2σ µ+3σ
1
2
3
4
u x-µ x
• • •
有68.3％的把握认为真值在[µ-σ, µ+σ]内 ％的把握认为真值在 内 有95.5％的把握认为真值在 µ-2σ, µ+2σ]内 ％的把握认为真值在[ 内 有99.7％的把握认为真值在 µ-3σ, µ+3σ]内 ％的把握认为真值在[ 内
21
求置信区间，首先求 求置信区间，首先求ts/√n。这里，首先求 ， 。这里，首先求t， 查表： 查表： n=6，置信度 ％时，t=2.015 ，置信度90％ 则：
ts 2.015 × 0.06 = = 0.05 n 6
置信区间为： 置信区间为：
t⋅s µ=x± = 28.56 ± 0.05 n
s n
σx =
σ
n
n
n为测定次数 为测定次数
越大， （5）n越大，s，σ越小，精密度越高 ） 越大 ， 越小，
10
3）偶然误差的减免办法 ）
（1）用平均值表示分析结果：利用抵偿性、对称 ）用平均值表示分析结果：利用抵偿性、 代表μ 性。既用 x 代表 （2）增加试验次数：利用单峰性：正负偏差相互 ）增加试验次数：利用单峰性： 抵消，结果更准确，更可靠。 抵消，结果更准确，更可靠。 一般测定次数： 一般测定次数：3~10。 。
8
讨论
（3）不同的测量得到不同的实验结果， ）不同的测量得到不同的实验结果， 得到的σ不同 测定结果的精密度也 不同， 得到的 不同，测定结果的精密度也 不同。 不同。 如果真值μ=100，2组测定值： 组测定值： 例：如果真值 ， 组测定值 σ1=1， σ2=10，即在 ， ，即在1000次测定中 次测定中 第一组 第二组 683次 99~101 90~110 次 995次 98~102 80~120 次 997次 97~103 70~130 次 可见： 可见：第1组的结果比第二组的结果 组的结果比第二组的结果 精密度高的多。 越小 越精密。 越小， 精密度高的多。 σ越小，越精密。 表示实验结果的精密度。 适 （4） σ和s表示实验结果的精密度。 σ适 ） 和 表示实验结果的精密度 用于实验次数很多的情况， 用于实验次数很多的情况，实际中应 用的是s。 用的是 。
t ⋅s µ =x± n
这里：s是样本标准偏差， 这里： 是样本标准偏差， 是样本标准偏差 t 是概率系数，与置信度 和测定次数 有关，p14，表2－2 是概率系数，与置信度α 和测定次数n 有关， ， － 实验次数n增大 减小 置信区间变窄。 增大， 减小， 实验次数 增大，t减小，置信区间变窄。 置信度α 增大， 增大 置信区间变宽。 增大， 置信度 增大，t增大，置信区间变宽。
23
上例中， 上例中，如果测定结果中的两个偏差较大的结果 变为： 变为：28.63→28.57, 28.48→28.55，此时 ，
1 x = n
n
∑
i =1
xi =
1 ( 28.62 6
s=
+ 28.59
− x )2
+ 28.51 + 28.55
+ 28.52
+ 28.57 ) = 28 . 56
实际上由于μ不可知，所以 也无法知道 因此， 也无法知道， 实际上由于 不可知，所以E也无法知道，因此，只能 不可知 猜测E的大小或范围。猜对的可能性或把握有多大？ 猜测 的大小或范围。猜对的可能性或把握有多大？ 的大小或范围
12
万分之一天平称量某一物品，结果为： 万分之一天平称量某一物品，结果为： x1=10.4216g, x2=10.4215g, x3=10.4217g =10.4216g x 用平均值10.4216g代表真值的误差多大？ 代表真值的误差多大？ 用平均值 代表真值的误差多大 是准确的。 中 是准确的 在x1=10.4216g, x2=10.4215g, x3=10.4217g中10.421是准确的。因 我们有100％的把握，真值在区间 此，我们有 ％的把握，真值在区间[10.4210, 10.4220]，既 ， 代表真值的误差E的大 有100％的把握相信用平均值 ％的把握相信用平均值10.4216g代表真值的误差 的大 代表真值的误差 小在区间[-0.0004, +0.0006]。 小在区间 。 置信区间： 置信区间：估计的真值所在的区间 置信度： 置信度：估计的把握 上述区间[10.4210, 10.4220]太大了。把握大（置信度高），但 太大了。 ），但 上述区间 太大了 把握大（置信度高）， 准确性太差。 准确性太差。 如何确定合适的置信区间？ 如何确定合适的置信区间？
∑ (x
i
n −1
=
∑ (x
i
− 28 .56 ) 2 6 −1
= 0 .04
置信度为90％， 置信度为 ％，n=6时，t=2.015，置信区间为： ％， 时 ，置信区间为：
µ=x±
t ⋅s = 28.56 ± 0.03 n
4
随机误差的分布规律
（1）对称性： ）对称性： 正、负误差出现 的概率相等.
5
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4
-3σ -2σ -σ µ-3σ µ-2σ µ-σ
-3
-2
-1
0
µ
68.3% 95.5% 99.7%
0
σ 2σ 3σ µ+σ µ+2σ µ+3σ
1
2
3
4
x-µ x
u
• （2）单峰性：小误差出现的概率大 大误差出现的概率小； ）单峰性：小误差出现的概率大, 大误差出现的概率小；
x−µ t= n s
15
随机变量t服从 分布 随机变量 服从t分布 服从
t分布 分布
f= ∞ f= 10 f= 2 f= 1
-3
-2
-1
0 f =1 2 n1
• 自由度f=n-1 • f不同，曲线不同 f越小，曲线越平。 f越大，曲线越接近 正态分布 f >20时t分布和正态 分布很近似。 3 t f ∞时t分布和正态 分布一致。
或写成： 或写成：[28.51, 28.61]， 或[28.56-0.05, 28.56+0.05] ， 同样：置信度为95％ 查得： ＝ 同样：置信度为 ％时，查得：t＝2.571 则置信区间为： 则置信区间为：
t⋅s µ=x± = 28.56 ± 0.07 n
可见：置信度越大，置信区间越宽。 可见：置信度越大，置信区间越宽。 t ⋅ s 另外， 可知，减小s可以使 减小， 另外，由 µ = x ± t ⋅ s 可知，减小 可以使 n 减小，使置信 n 区间变窄。 区间变窄。