2008年全国高考文科数学试题及答案-山东卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a = ，，，的集合M 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z = ，则z z等于（ ）A ．iB ．i -C ．1±D ．i ±3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭的图象是（ ）4．给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．186．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．10πC ．11πD ．12π 7．不等式252(1)x x +-≥的解集是（ ）A ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，D ．(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，xxA ．B ．C ．D ．俯视图 正(主)视图 侧(左)视图8．已知a b c ，，为A B C △的三个内角A B C ，，的对边，向量1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ）A ．ππ63， B ．2ππ36， C ．ππ36， D ．ππ33， 9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）A ．B ．5C ．3D ．8510．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．5-B ．5C ．45- D ．4511．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭12．已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<< B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<- D ．1101ab --<<<第Ⅱ卷（共90二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 14．执行右边的程序框图，若0.8p =， 则输出的n =．15．已知2(3)4log 3233xf x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++ 的 值等于 ．x16．设x y ，满足约束条件20510000x y x y x y ⎧-+⎪--⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≥≤≥≥则2z x y =+的最大值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．18．（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （Ⅰ）求1A 被选中的概率；（Ⅱ）求1B 和1C 不全被选中的概率． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P A B C D -中，平面P A D ⊥平面A B C D ，AB D C ∥，P A D △是等边三角形，已知28B D A D ==，2AB D C ==（Ⅰ）设M 是P C 上的一点，证明：平面M B D ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P A B C D -的体积． 20．（本小题满分12分）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10aABCMPD记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)n n n nb n b S S=-≥．（Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和．21．（本小题满分12分）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．22．（本小题满分14分）已知曲线11(0)x y C a b a b+=>>：所围成的封闭图形的面积为曲线1C3记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设A B 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段A B 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点． （1）若M O OA λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求A M B △的面积的最小值．2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学（答案）一、选择题 1．B 2．D 3．A 4．C 5．A 6．D 7．D8．C9．B10．C11．B12．A二、填空题 13．221412xy-= 14．4 15．2008 16．11三、解答题17．解：（Ⅰ）())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+12sin()cos()22x x ωϕωϕ⎤=+-+⎥⎣⎦π2sin 6x ωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为()f x 为偶函数，所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立，因此ππsin()sin 66x x ωϕωϕ⎛⎫-+-=+- ⎪⎝⎭． 即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ωϕωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得πsin cos 06x ωϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为0ω>，且x ∈R ， 所以πcos 06ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又因为0πϕ<<， 故ππ62ϕ-=．所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 由题意得2ππ22ω= ，所以2ω=． 故()2cos 2f x x =．因此ππ2cos 84f ⎛⎫==⎪⎝⎭（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭的图象， 所以πππ()2cos 22cos 2663g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 当π2π22ππ3k x k -+≤≤（k ∈Z ）， 即π2πππ63k x k ++≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减，因此()g x 的单调递减区间为π2πππ63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 18．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成， 因而61()183P M ==．（Ⅱ）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=．19．（Ⅰ）证明：在ABD △中， 由于4AD =，8B D =，AB = 所以222AD BD AB +=．故AD BD ⊥．又平面P A D ⊥平面A B C D ，平面PAD 平面A B C D A D =，ABCM PD OBD ⊂平面A B C D ，所以B D ⊥平面PAD ， 又BD ⊂平面M BD ， 故平面M B D ⊥平面PAD ．（Ⅱ）解：过P 作P O A D ⊥交A D 于O ， 由于平面P A D ⊥平面A B C D ， 所以P O ⊥平面A B C D ．因此P O 为四棱锥P A B C D -的高， 又P A D △是边长为4的等边三角形．因此42PO ==在底面四边形A B C D 中，A B D C ∥，2A B D C =，所以四边形A B C D 是梯形，在R t AD B △中，斜边A B5=此即为梯形A B C D 的高， 所以四边形A B C D的面积为2425S ==．故1243P A B C D V -=⨯⨯=20．（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221n n n nb b S S =-，又12n n S b b b =+++ ， 所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--，即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112nn S S --=，又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+．所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n nn n -=-=-=-++．因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >． 因为12131212782⨯+++== ，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列， 因此28113491a b q ==- ．又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)kkkk b q S k qk k k k --==-=--+-+ ≥．21．解：（Ⅰ）因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e(2)(32)x x x x ax b -=+++，又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==，因此6203320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，，解方程组得13a =-，1b =-． （Ⅱ）因为13a =-，1b =-，所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-，令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =． 因为当(2)x ∈-∞-，(01) ，时，()0f x '<； 当(20)(1)x ∈-+∞ ，，时，()0f x '>． 所以()f x 在(20)-，和(1)+∞，上是单调递增的； 在(2)-∞-，和(01)，上是单调递减的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e 3x f x x x x -=--，故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-， 令1()e x h x x -=-， 则1()e 1x h x -'=-． 令()0h x '=，得1x =，因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤， 所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减． 故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥； 因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥， 所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增． 故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥． 所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又20x ≥，因此()()0f x g x -≥，故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥． 22．解：（Ⅰ）由题意得23ab ⎧=⎪⎨=．又0a b >>， 解得25a =，24b =．因此所求椭圆的标准方程为22154xy+=．（Ⅱ）（1）假设A B 所在的直线斜率存在且不为零，设A B 所在直线方程为(0)y kx k =≠，()A A A x y ，．解方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得222045A x k =+，2222045A k y k =+， 所以22222222202020(1)454545A Akk OA x y kkk+=+=+=+++．设()M x y ，，由题意知(0)M O OA λλ=≠，所以222M O OA λ=，即2222220(1)45k x y kλ++=+，因为l 是A B 的垂直平分线， 所以直线l 的方程为1y x k =-，即x k y=-，因此22222222222220120()4545x y x y x y x y x yλλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++ ， 又220x y +≠， 所以2225420x y λ+=， 故22245xyλ+=．又当0k =或不存在时，上式仍然成立． 综上所述，M 的轨迹方程为222(0)45xyλλ+=≠．（2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045Ax k=+，2222045Aky k=+，由221541x yy x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2222054M k x k =+，222054M y k =+， 所以2222220(1)45A Ak OA x y k+=+=+，222280(1)445k ABOAk+==+，22220(1)54k OMk+=+．解法一：由于22214A MB S A B O M= △2222180(1)20(1)44554k k kk++=⨯⨯++2222400(1)(45)(54)k k k +=++22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥ 222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时A M B △面积的最小值是409A M B S =△． 当0k =，140229A M B S =⨯=>△． 当k不存在时，140429A M B S =⨯=>△． 综上所述，A M B △的面积的最小值为409． 解法二：因为222222111120(1)20(1)4554k k O A O M k k+=+++++2224554920(1)20k k k +++==+， 又22112O A O M O A O M + ≥，409O A O M ≥， 当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立， 此时A M B △面积的最小值是409A M B S =△． 当0k =，140229A M B S =⨯=>△． 当k不存在时，140429A M B S =⨯=>△． 综上所述，A M B △的面积的最小值为409．。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东文科数学及答案第Ⅰ卷（共60分）参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =，，，的集合M 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z =，则zz等于（ ） A ．iB ．i -C ．1±D ．i ±3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）4．给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．186．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．10πxxA ．B ．C ．D ．俯视图 正(主)视图 侧(左)视图。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东文科数学及答案第I 卷（共60分）参考公式：1锥体的体积公式： V Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.32球的表面积公式： S =4 T R ，其中R 是球的半径. 如果事件 A , B 互斥，那么P （A BHP （A ） P （B ）.一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共 有一项是符合题目要求的.C . 3函数y =1 ncosxi n::: x ：：： n的图象是I 2 2丿6.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据, 可得该几何体的表面积是（ ） A . 9 n B . 10 n60分.在每小题给出的四个选项中，只 1.满足 M 三问，a 2, O J , a 4?，且 M Pp. a ，a ,乱：-〔a a 2的集合M 的个数是2. 设z 的共轭复数是Z.z=8 , 则-等于（zC . -1D . _i3. y 二f （x ）是幕函数，则函数 f （x ）的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, A . 35.设函数 f(x)C . 1D 011 -x 2， x < f 1 ]< 2则fx +x -2,X A1，lf(2)丿15 A .1627 16D . 18俯视图 o L 2 V o丿I 3 v4 .给出命题：若函数真命题的个数是（ B . 2的值为（2侧（左）视图2正（主）视图C . 11nD . 12 nx 亠57•不等式 ------- 2》2的解集是（）（X-1）2准方程是（ ）2 2B . (x -2)2 (y -1)2 hx12.已知函数f （x ）=log a （2 ，b-1）（a 0, a=1）的图象如图所示，贝U a, b 满足的关系A.(x —3)2 y_7” (n4L rt f rf 10.已知 cos 1sin :- =—\ 3，则 sin l165 I2怎2.34A .B .c .55511•若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线¥的值是2 2C . (x -1) (y -3) =1D . 2(y-1)2 =1B .,3C .D .三，18 .已知a ,△ ABC 的三个内角A, BC 勺对边，向的大小分别为 A ,m L n ，且 acosB bcosA =csin C ，则角 An n A. -6 39.从某项综合能力测试中抽取B .2 n n ~3，6亠 n n … n n C . 一，一D . -3 63 3分数5 4 3 2 1 人数2010303010A . ,3B .4x-3y=0和x 轴相切，则该圆的标是( )A . 0 ：： a ' ：：b :: 14_1B. 0 < b a :: 1-14D . 0 ：： a ：：C . 3D .100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（第H卷（共90分）二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.2 213.已知圆C: x y -6x -4y • 8 = 0 •以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦则z = 2x y 的最大值为 ______________ . 三、解答题：本大题共 6小题，共74分. 17. (本小题满分12分)已知函数 f (x) = . 3sin(• ■ x ?丨)- cos( x " ■ ) ( 0 ：：： • ::: n ,> 0 )为偶函数，且函数ny = f (x)图象的两相邻对称轴间的距离为-.(I)求f I n 的值；8n(n)将函数y = f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y = g(x)的图象，求g(x)的6单调递减区间.18. (本小题满分12分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者 A , A ，, A 3通晓日语，B 1, B 2, B 3通晓俄语，C 1, C 2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各(I)求A 被选中的概率；点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 14•执行右边的程序框图，若 p =0.8， 则输出的n 二 ____________ . x15.已知 f (3 ) =4xlog 2 3 233 , 则 f (2) f(4) f (8) ||( f (28)的值等于16.设x , y 满足约束条件x - y +2》0, 』5x-y-10 < 0, x 》0,n = n +1__________ J结束1名，组成一个小组.否.输出n(n)求B1和G不全被选中的概率.19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥 P _ ABCD 中，平面PAD _平面ABCD , AB // DC , △ PAD 是等边三 角形，已知 BD=2AD=8，AB=2DC=4.,5 .(I)设M 是PC 上的一点，证明：平面 MBD _平面PAD ; (n)求四棱锥 P - ABCD 的体积.20. (本小题满分12 分) 将数列'a n 』中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a 1a 2 a 3a 4 a5a6a 7 a 8a9a10记表中的第一列数 6, a 2, 34, 37,构成的数列为 Z , ^=^=1. S n 为数列 g 的前n 项和，且满足b S2b:S 2"(n > 2).b n SnSn(I)证明数列1 .... ...................... . •、成等差数列，并求数列bn f 的通项公式；(n)上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为4同一个正数•当a 8i时，求上表中第k(k > 3)行所有项的和.9121. (本小题满分12分)设函数f (x)二x 2e x4 ' ax 3 bx 2，已知x ~ -2和x = 1为f (x)的极值点.(I)求a 和b 的值； (n)讨论f (x)的单调性；2 3 2(川)设g(x^-x -x，试比较f (x)与g(x)的大小.322. (本小题满分14分)已知曲线C i：凶+国=1(a Ab >0)所围成的封闭图形的面积为4亦,曲线C i的内切圆半径a b2 5为•记C2为以曲线C i与坐标轴的交点为顶点的椭圆.3(I)求椭圆C2的标准方程；(n)设AB是过椭圆C2中心的任意弦，I是线段AB的垂直平分线. M是I上异于椭圆中心的点.(1)若MO| =》OA ( O为坐标原点)，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程;(2)若M是I与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值.2008年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学(答案)一、选择题1. B2. D3. A4. C5. A6. D9. B 10. C 11. B 12. A7. D 8. C二、填空题2 2x y ’14. 4 15.2008 16. 1113. 14 121.满足M —0, a2, a s, a/，且M 门”©, a?, a?』的集合M的个数是（B ）A . 1B . 2 C. 3 D . 4解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。

2008年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=+的定义域为（）A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A ．B ．C ．D ．3．（5分）（1+）5的展开式中x2的系数（）A．10B．5C ．D．14．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°5．（5分）在△ABC 中，=，=．若点D 满足=2，则=（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数7．（5分）已知等比数列{a n}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A．64B．81C．128D．2438．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1D．e2x+29．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C ．D ．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC 的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A．6种B．12种C．24种D．48种二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．（5分）在△ABC中，∠A=90°，tanB=．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．16．（5分）已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD ﹣C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．（Ⅰ）求边长a；（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求△ABC的周长l．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．19．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+2n．（Ⅰ）设b n=．证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．22．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．2008年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=+的定义域为（）A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】保证两个根式都有意义的自变量x的集合为函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则需，解得0≤x≤1，所以，原函数定义域为[0，1]．故选：D．【点评】本题考查了函数定义域的求法，求解函数的定义域，是求使的构成函数解析式的各个部分都有意义的自变量x的取值集合．2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】16：压轴题；31：数形结合．【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选：A．【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．3．（5分）（1+）5的展开式中x2的系数（）A．10B．5C ．D．1【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中x2的系数【解答】解：，故选：C．【点评】本题主要考查了利用待定系数法或生成法求二项式中指定项．4．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．【解答】解：y′=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．故选：B．【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．5．（5分）在△ABC 中，=，=．若点D 满足=2，则=（）A ．B ．C ．D ．【考点】9B：向量加减混合运算．【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故选：A．【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的6．（5分）y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】把三角函数式整理，平方展开，合并同类项，逆用正弦的二倍角公式，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，这样就可以进行三角函数性质的运算．【解答】解：∵y=（sinx﹣cosx）2﹣1=1﹣2sinxcosx﹣1=﹣sin2x，∴T=π且为奇函数，故选：D．【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的六种三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．单在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．7．（5分）已知等比数列{a n}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A．64B．81C．128D．243【考点】87：等比数列的性质．【分析】由a1+a2=3，a2+a3=6的关系求得q，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解．【解答】解：由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，∴q=2，∴a1（1+q）=3，∴a1=1，∴a7=26=64．故选：A．【点评】本题主要考查了等比数列的通项及整体运算．8．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1D．e2x+2【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵，∴，∴x=（e y﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2∴答案为A．【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法．9．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C ．D ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r，∴，故选：D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC 的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角．【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D==，所以AB1与底面ABC 所成角的正弦值为==；（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，故DA=，由勾股定理得A1D==故B1E=，如图作A1S⊥AB于中点S，过B1作AB的垂线段，垂足为F，BF=1，B1F=A1S=，AF=3，在直角三角形B1AF中用勾股定理得：AB1=2，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故选：B．【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力．12．（5分）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A．6种B．12种C．24种D．48种【考点】D4：排列及排列数公式．【专题】16：压轴题．【分析】填好第一行和第一列，其他的行和列就确定，因此只要选好第一行的顺序再确定第一列的顺序，就可以得到符合要求的排列．【解答】解：填好第一行和第一列，其他的行和列就确定，∴A33A22=12，故选：B．【点评】排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y 的最大值为9．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；13：作图题．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y 轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x ﹣y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最大值9．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点得，，则与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0），则以这三点围成的三角形的面积为故答案为2【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．15．（5分）在△ABC中，∠A=90°，tanB=．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．【考点】K2：椭圆的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】令AB=4，椭圆的c可得，AC=3，BC=5依据椭圆定义求得a，则离心率可得．【解答】解：令AB=4，则AC=3，BC=5则2c=4，∴c=2，2a=3+5=8∴a=4，∴e=故答案为．【点评】本题主要考查了椭圆的定义．要熟练掌握椭圆的第一和第二定义．16．（5分）已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于．【考点】MJ：二面角的平面角及求法；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题考查了立体几何中的折叠问题，及定义法求二面角和点到平面的距离，我们由已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，及菱形的性质：对角线互相垂直，我们易得∴∠AOC即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，解△AOC后，OC边的高即为A点到平面BCD的距离．【解答】解：已知如下图所示：设AC∩BD=O，则AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC即为二面角A﹣BD﹣C的平面角∴∠AOC=120°，且AO=1，∴d=1×sin60°=故答案为：【点评】根据二面角的大小解三角形，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，通过解∠AOC所在的三角形求得∠AOC．其解题过程为：作∠AOC→证∠AOC是二面角的平面角→利用∠AOC解三角形AOC，简记为“作、证、算”．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．（Ⅰ）求边长a；（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求△ABC的周长l．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题．【分析】（I）由图及已知作CD垂直于AB，在直角三角形BDC中求BC的长．（II）由面积公式解出边长c，再由余弦定理解出边长b，求三边的和即周长．【解答】解：（I）过C作CD⊥AB于D，则由CD=bsinA=4，BD=acosB=3∴在Rt△BCD中，a=BC==5（II）由面积公式得S=×AB×CD=×AB×4=10得AB=5又acosB=3，得cosB=由余弦定理得：b===2△ABC的周长l=5+5+2=10+2答：（I）a=5；（II）l=10+2【点评】本题主要考查了射影定理及余弦定理．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，∵AB=AC，∴AF⊥BC．又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．再根据，可得∠CED=∠FDC．又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角．作CH⊥AB，H为垂足．∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．∵CE=，∴CH=EH=．直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，故△ACD为直角三角形，AD===，故CG===，DG==，，又，则，∴，即二面角C﹣AD﹣E 的大小．【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，属于中档题．19．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+2n．（Ⅰ）设b n =．证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）由a n+1=2a n+2n 构造可得即数列{b n}为等差数列（2）由（1）可求=n，从而可得a n=n•2n﹣1利用错位相减求数列{a n}的和【解答】解：由a n+1=2a n+2n．两边同除以2n 得∴，即b n+1﹣b n=1∴{b n}以1为首项，1为公差的等差数列（2）由（1）得∴a n=n•2n﹣1S n=20+2×21+3×22+…+n•2n﹣12S n=21+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n∴﹣S n=20+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n=∴S n=（n﹣1）•2n+1【点评】本题考查利用构造法构造特殊的等差等比数列及错位相减求数列的和，构造法求数列的通项及错位相减求数列的和是数列部分的重点及热点，要注意该方法的掌握．20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】（解法一）主要依乙所验的次数分类，并求出每种情况下被验中的概率，再求甲种方案的次数不少于乙种次数的概率；（解法二）先求所求事件的对立事件即甲的次数小于乙的次数，再求出它包含的两个事件“甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了3次”的概率，再代入对立事件的概率公式求解．【解答】解：（解法一）：主要依乙所验的次数分类：若乙验两次时，有两种可能：①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：（也可以用）②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次验中没有，均可以在第二次结束）（）∴乙只用两次的概率为．若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为：∴在三次验出时概率为∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：（解法二）：设A 为甲的次数不小于乙的次数，则表示甲的次数小于乙的次数，则只有两种情况，甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了3次．则设A1，A2分别表示甲在第一次、二次验出，并设乙在三次验出为B∴∴【点评】本题考查了用计数原理来求事件的概率，并且所求的事件遇过于复杂的，要主动去分析和应用对立事件来处理．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．【专题】16：压轴题．【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函数f（x ）的单调递增区间是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a ﹣，∵f（x ）在上为减函数，∴x ∈时﹣2x+a ﹣≤0恒成立．即a≤2x +恒成立．设，则∵x ∈时，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x ）在上递减，∴g（x）＞g （）=3，∴a≤3．【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．22．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．【解答】解：（1）设双曲线方程为，由，同向，∴渐近线的倾斜角范围为（0，），∴渐近线斜率为：，∴．∵||、||、||成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，∴，∴，可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=，而由对称性可知：OA的斜率为k=tan，∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴；∴，∴，∴．（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，∴c=b．由于AB的倾斜角为+∠AOB，故AB的斜率为tan（+∠AOB ）=﹣cot（∠AOB）=﹣2，∴AB的直线方程为y=﹣2（x﹣b），代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴4=•=•，即16=﹣112b2，∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值，属于中档题．。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a = ，，，的集合M 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z = ，则zz等于（ ） A ．iB ．i -C ．1±D ．i ±3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）4．给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1516B ．2716-C ．89D ．18xxA ．B ．C ．D ．6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．10π C ．11π D ．12π7．不等式252(1)x x +-≥的解集是（ ）A ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，D ．(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，8．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量1)(c o s s i n )A A =-=，，m n ．若⊥m ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B，的大小分别为（ ） A ．ππ63，B ．2ππ36， C ．ππ36，D ．ππ33，9．（ ）AB ．5 C ．3D ．8510．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A ． BC ．45-D ．4511．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭12．已知函数()log (21)(01)x a fx b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ） A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<-D ．1101ab --<<<x俯视图 正(主)视图 侧(左)视图第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为．14．执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 15．已知2(3)4log 3233x f x =+， 则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++ 的 值等于 ．16．设x y ，满足约束条件20510000x y x y x y ⎧-+⎪--⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≥≤≥≥则2z x y =+的最大值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2． （Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间． 18．（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求1A 被选中的概率；（Ⅱ）求1B 和1C 不全被选中的概率．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． 20．（本小题满分12分）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和．ABCMPD21．（本小题满分12分）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小． 22．（本小题满分14分）已知曲线11(0)xyC a b a b+=>>：所围成的封闭图形的面积为曲线1C 的内切圆半径2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．（1）若M O O A λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学（答案）一、选择题 1．B 2．D 3．A 4．C 5．A 6．D 7．D 8．C 9．B 10．C 11．B 12．A二、填空题13．221412x y -=14．415．2008 16．11三、解答题17．解：（Ⅰ）())cos()f x x x ωϕωϕ+-+12)cos()2x x ωϕωϕ⎤=+-+⎥⎣⎦π2sin 6x ωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为()f x 为偶函数，所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立，因此ππsin()sin 66x x ωϕωϕ⎛⎫-+-=+-⎪⎝⎭． 即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ωϕωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得πsin cos 06x ωϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为0ω>，且x ∈R ， 所以πcos 06ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又因为0πϕ<<， 故ππ62ϕ-=． 所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 由题意得2ππ22ω= ，所以2ω=． 故()2cos 2f x x =．因此ππ2cos 84f ⎛⎫==⎪⎝⎭（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以πππ()2cos 22cos 2663g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．当π2π22ππ3k x k -+≤≤（k ∈Z ）， 即π2πππ63k x k ++≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减，因此()g x 的单调递减区间为π2πππ63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 18．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，，132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成， 因而61()183P M ==． （Ⅱ）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=． 19．（Ⅰ）证明：在ABD △中，由于4AD =，8BD =，AB = 所以222AD BD AB +=．故AD BD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ，ABCM PD O又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ．（Ⅱ）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．因此PO 为四棱锥P ABCD -的高， 又PAD △是边长为4的等边三角形．因此4PO == 在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB5=， 此即为梯形ABCD 的高， 所以四边形ABCD的面积为2425S ==．故1243P ABCD V -=⨯⨯= 20．（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++ ， 所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--， 即112()1n n n nS S S S ---=-，所以11112n n S S --=， 又1111S b a ===． 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列． 由上可知1111(1)22n n n S +=+-=， 即21n S n =+．所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >． 因为12131212782⨯+++== ， 所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-． 又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k k k k b q S k q k k k k --==-=--+-+ ≥．21．解：（Ⅰ）因为122()e(2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++，又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==，因此6203320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，，解方程组得13a =-，1b =-． （Ⅱ）因为13a =-，1b =-，所以1()(2)(e1)x f x x x -'=+-，令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =．因为当(2)x ∈-∞-，(01) ，时，()0f x '<；当(20)(1)x ∈-+∞ ，，时，()0f x '>． 所以()f x 在(20)-，和(1)+∞，上是单调递增的； 在(2)-∞-，和(01)，上是单调递减的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3x f x x x x -=--， 故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-， 令1()e x h x x -=-， 则1()e 1x h x -'=-． 令()0h x '=，得1x =，因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤， 所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减． 故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥； 因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥， 所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增． 故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥．所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又20x ≥，因此()()0f x g x -≥，故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥． 22．解：（Ⅰ）由题意得2ab ⎧=⎪⎨=又0a b >>，解得25a =，24b =．因此所求椭圆的标准方程为22154x y +=．（Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠， ()A A A x y ，． 解方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得222045A x k =+，2222045A k y k =+， 所以22222222202020(1)454545A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++． 设()M x y ，，由题意知(0)MO OA λλ=≠， 所以222MO OA λ=，即2222220(1)45k x y k λ++=+， 因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为1y x k =-， 即x k y=-， 因此22222222222220120()4545x y x y x y x y x yλλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++ ， 又220x y +≠，所以2225420x y λ+=， 故22245x y λ+=． 又当0k =或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M 的轨迹方程为222(0)45x y λλ+=≠． （2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045Ax k =+，2222045A k y k =+，由221541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2222054M k x k =+，222054M y k =+， 所以2222220(1)45A Ak OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，22220(1)54k OM k +=+． 解法一：由于22214AMB S AB OM = △ 2222180(1)20(1)44554k k k k++=⨯⨯++ 2222400(1)(45)(54)k k k +=++ 22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△． 当0k =，140229AMB S =⨯=>△． 当k不存在时，140429AMB S ==>△． 综上所述，AMB △的面积的最小值为409． 解法二：因为222222111120(1)20(1)4554k k OA OM k k+=+++++2224554920(1)20k k k +++==+， 又22112OA OMOA OM + ≥，409OA OM ≥， 当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△．当0k =，140229AMB S =⨯=>△．当k 不存在时，140429AMB S ==>△． 综上所述，AMB △的面积的最小值为409．。

2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（山东卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.满足1234{,,,}M a a a a ⊆,且12312{,,}{,}Ma a a a a =的集合M 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 2. 2.设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ⋅=，则zz等于 A ．i B ．i - C ．1± D ．i ±3.函数ln cos y x =（22ππx -<<）的图象是4.给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．05.设函数2211()21x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则1()(2)f f 的值为 A ．1516 B ．2716- C ．89D ．18 6.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A ．9π B ．10π C ．11π D ．12π7.不等式252(1)x x +≥-的解集是 A ．1[3,]2- B ．1[,3]2- C ．1[,1)(1,3]21 D ．1[,1)(1,3]2-8.已知ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量(3,1)m =-，(cos ,sin )n A A =.若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A ，B 的大小分别为 A ．6π，3π B ．23π，6π C ．3π，6π D ．3π，3πA B C ．3 D ．8510.已知cos()sin 6παα-+=7sin()6πα+的值是 A ．．532 C ．45- D ．54 11.若圆C 的半径为1,圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是正（主）视图俯视图 侧（左）视图A ．227(3)()13x y -+-= B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223()(1)12x y -+-=12.已知函数()log (21)x a f x b =+-（1a >,1a ≠）的图象如图所示，则a ,b 满足的关系是A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<D ．1101a b --<<<二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.已知圆C ：226480x y x y +--+=，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 . 14.执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = .15.已知2(3)4log 3233x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++的值等于 .16.设x ,y 满足约束条件20510000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （Ⅰ）求()8πf 的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间. 18.（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者1A 、2A 、3A 通晓日语，1B 、2B 、3B 通晓俄语，1C 、2C 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.（Ⅰ）求1A 被选中的概率； （Ⅱ）求1B 和1C 不全被选中的概率. 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ,PAD ∆是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积.ABC DMP20.（本小题满分12分）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数1a ，2a ，4a ，7a ，构成的数列为{}n b ，111b a ==，n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221nn n nb b S S =-（2n ≥）. （Ⅰ）证明数列1{}nS 成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91481-=a 时，求上表中第k （3k ≥）行所有项的和.21.（本小题满分12分）设函数2122()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点. （Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小. 22.（本小题满分1414分） 已知曲线1C ：1x ya b+=（0a b >>）所围成的封闭图形的面积为2C的内切圆半径为3，记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点顶点的椭圆. （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上异于椭圆中心的点.（1）若MO OA λ=(O 为坐标原点)，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB ∆的面积的最小值.1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 10a9a 8a。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东文科数学及答案第Ⅰ卷（共60分）参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =，，，的集合M 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z =，则zz等于（ ） A ．iB ．i -C ．1±D ．i ±3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）4．给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．186．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．10πxxA ．B ．C ．D ．俯视图 正(主)视图 侧(左)视图C ．11πD ．12π7．不等式252(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，D ．(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，8．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C，，的对边，向量1)(c o s s i n )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ） A ．ππ63，B ．2ππ36， C ．ππ36，D ．ππ33，9．（ ）ABC ．3D ．8510．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．5-B ．5C ．45-D ．4511．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭12．已知函数()log (21)(01)xa f xb a a=+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ） A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<-D ．1101ab --<<<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为．14．执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ．15．已知2(3)4log 3233xf x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++的值等于 ．16．设x y ，满足约束条件20510000x y x y x y ⎧-+⎪--⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≥≤≥≥则2z x y =+的最大值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分） 已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间． 18．（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （Ⅰ）求1A 被选中的概率；（Ⅱ）求1B 和1C 不全被选中的概率．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． 20．（本小题满分12分）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 21．（本小题满分12分） 设函数2132()x f x x eax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．ABCMPD（Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小． 22．（本小题满分14分）已知曲线11(0)x yC a b a b+=>>：所围成的封闭图形的面积为曲线1C 的内切圆半径2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．（1）若M O O A λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学（答案）一、选择题 1．B 2．D 3．A 4．C 5．A 6．D 7．D 8．C 9．B 10．C 11．B 12．A二、填空题13．221412x y -=14．415．2008 16．111．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =，，，的集合M 的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。

第十章二元一方程组知识网络『学习目标』了解二元一次方程的概念，会判断一组数是否是二元一次方程的解。

『例题精选』1．一个两位数的十位数字与个位数字之和等于5，十位数字与个位数字之差为1，设十位数字为x ，个位数字为y ，则用方程组表示上述语言为 . 2．以⎩⎨⎧==13y x 为解建立一个二元一次方程组，不正确的是 （ ）A ．543=-y xB ．031=-y x C ．32-=+y x D ．65322=-y x 3．方程123,632-=+=+y x y x 的公共解是 （ ）A ．⎩⎨⎧-==23y x B ．⎩⎨⎧=-=43y x C ．⎩⎨⎧==23y x D ．⎩⎨⎧=-=23y x 『随堂练习』1．在方程组⎩⎨⎧+==-1312z y y x 、⎩⎨⎧=-=132x y x 、⎩⎨⎧=-=+530y x y x 、⎩⎨⎧=+=321y x xy 、 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1111y x y x 、⎩⎨⎧==11y x 中，是二元一次方程组的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．方程14-=-x y ax 是二元一次方程，则a 的取值为（ ）A 、a ≠0B 、a ≠－1C 、a ≠1D 、a ≠2 3．下列方程：;6;211;;012;313=++=+==-+=-c b a yx y x x xy y x ⑤④③②①其中，二元一次方程有（填写序号）： ； 『课堂检测』1．下列不是二元一次方程组的是（ ）A ．⎩⎨⎧=+=+0092y x y xB ．3x=4y=1C ．⎪⎩⎪⎨⎧==-1221x y x D ．⎩⎨⎧==23y x2．甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为x 米/秒，乙的速度为y 米/秒，则下列方程组中正确的是（ ） A ．⎩⎨⎧+=+=y y x y x 2441055 B ．⎩⎨⎧=-=-y x x y x 4241055 C ．⎩⎨⎧=-=+2445105y x y x D ．⎩⎨⎧=-=-yx y x 42410553．有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组⎩⎨⎧_________________________________.『基础过关』1．在方程732=+y x 中，如果022=-y ，则=x . 2．已知：132=--+yx y x ，用含x 的代数式表示y ，得 . 3．若()1321=+--y xa a 是二元一次方程，则a = .4．根据下列所示的程序计算y 的值，若输入的x 值为－3，则输出的结果为（ ） A ．5 B ．－1C ．－5D ．15．若x ：y =3：2，且1323=+y x ，则=x ，y = .『能力训练』6．方程mx-2y=x+5是二元一次方程时，m 的取值为（ ） A ．m ≠0B ．m ≠-1C ．m ≠1D ．m ≠27．若4x-5y=0且y ≠0，则yx yx 512512+-的值（ ）A ．125 B ．512C ．21D ．不能确定8．如果x ＝3，y ＝2是方程326=+by x 的解，则b ＝ .『综合应用』9．设A 、B 两镇相距x 千米，甲从A 镇、乙从B 镇同时出发，相向而行，甲、乙行驶的速度分别为u 千米／小时、v 千米／小时，①出发后30分钟相遇；②甲到B 镇后立即返回，追上乙时又经过了30分钟；③当甲追上乙时他俩离A 镇还有4千米.求x 、u 、v .根据题意，由条件③，有四位同学各得到第3个方程如下，其中错误的一个是（ ）A ．4+=u xB ．4+=v xC ．42=-u xD ．4=-v x10．求二元一次方程3x ＋2y ＝19的正整数解.10.2二元一次方程组（1）——课内练习『学习目标』了解二元一次方程组的概念，会判断一组数是否是二元一次方程组的解。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第Ⅰ卷(共60分)参考公式：锥体的体积公式：Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 球的表面积公式：24R S π=，其中R 是球的半径. 如果事件A 、B 互斥，那么).()()(B P A P B A P +=+一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）满足{}{}{}213214321,,,,,,,a a a a a M a a a a M =⊆ 且的集合M 的个数是（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（2）设z 的共轭复数是zzz z z z z 则若,8,4,=⋅=+等于（A ）i（B ）－i（C ）1±（D ）±i（3）函数)22(cos ln ππ<<-=x x y 的图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（4）给出命题：若函数)(x f y =是幂函数，则函数)(x f y =的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 （A ）3 （B ）2 （C ）1（D ）0（5）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=,1,2,11)(22x x x x xx f 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛)2(1f f 的值为 （A ）1615（B ）1627-（C ）98（D ）18（6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表 面积是 （A ）9π （B ）π10 （C ）11π （D ）12π （7）不等式2)1(52≥-+x x 的解集是（A ）[－3，21]（B ）[－21，3]（C ）)1,21[(]3,1（D ）]3,1()1,21[ -（8）已知c b a ,,为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量).sin ,(cos ),1,3(A A n m =-=若C c A b B a n m sin cos cos ,=+⊥且，则角A ，B 的大小分别为（A ）3,6ππ （B ）6,32ππ （C ）6,3ππ （D ）3,3ππ （9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（A ）3（B ）5102 （C ）3 （D ）58 （10）已知)67sin(,354sin )6cos(ππ+=+-a a a 则的值是 （A ）532-（B ）532 （C ）54-（D ）54（11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线x y x 和034=-轴都相切，则该圆的标准方程是 （A ）1)37()3(22=-+-y x （B ）1)1()2(22=-+-y x（C ）1)3()1(22=-+-y x（D ）1)1()23(22=-+-y x（12）已知函数)1,0)(12(log )(≠>-+=a a b x f xa 的图象如图所示，则b a ,满足的关系是 （A ）101<<<-b a（B ）101<<<-a b（C ）101<<<-a b（D ）1011<<<--b a第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分）.（13）已知圆.0846:22=+--+y x y x C 以圆C 与坐标轴的交点 分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双 曲线的标准方程为 .（14）执行右边的程序框图，若8.0=p ，则输出的=n . （15）已知 ++++=)8()4()2(,2333log 4)3(2f f f x f x则 )2(8f +的值等于 .（16）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,0105,02,y x y x y x y x 满足约束条件则的y x z +=2最大值为 11 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满 分12分） 已知函数)0,0)(cos()sin(3)(><<+-+=ωπϕϕωϕωx x x f 为偶函数，且函数)(x f y =图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求)8(πf 的值；（Ⅱ）将函数)(x f y =的图象向右平移6π个单位后，得到函数)(x g y =的图象，求)(x g 的单调递减区间. （18）（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语、韩语的志愿者各1名，组成一个小组，（Ⅰ）求A 1被选中的概率； （Ⅱ）求B 1和C 1不全被选中的概率.（19）（本小题满分12 分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB//CD ，△PAD 是等边三角形，已知BD=2AD=8， AB=2DC=54.（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P —ABCD 的体积.（20）（本小题满分12分）将数列}{n a 中所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数a 1,a 2,a 4,a 7，……构成的数列{n b }，n S a b .111==为数列{n b }的前n项和，且满足).2(122≥=-n S S b b nn n n（Ⅰ）证明数列}1{nS 成等差数列，并求数列{n b }的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当91481-=a 时，求上表中第)3(≥k k 行所有项的和.（21）（本小题满分12分） 设函数)(12,)(2312x f x x bx ax ex x f x 为和已知=-=++=-的极值点.（I ）求a 和b 的值； （II ）讨论)(x f 的单调性； （III ）设.)()(,32)(23的大小与试比较x g x f x x x g -=（22）（本小题满分14分） 已知曲线)0(1||||:1>>=+b a by a x C 所围成的封闭图形的面积为54，曲线C 1的内切圆半径为.352记C 2为以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆. （I ）求椭圆C 2的标准方程；（II ）设AB 是过椭圆C 2中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上异于椭圆中心的点. （1）若||||OA MO λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程；（2）若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值.参考答案一、选择题：（1）B （2）D （3）A （4）C （5）A （6）D （7）D （8）C （9）B （10）C （11）B （12）A 二、填空题：每小题4分，满分28分。