湖南师范大学附属中学2015-2016学年高一上学期第三次阶段测试数学试题

时量：120分钟满分：150分得分______________第Ⅰ卷第一部分：听力（共两节，每小题1。

5分，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上.录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上.第一节：听力(共5小题，每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话,每段对话后有一个小题.从题中所给的A，B，C 三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题.每段对话仅读一遍。

例:How much is the shirt？A。

￡19。

15 B. ￡9.15 C. ￡9。

18答案是B。

1.What time is it now?A. 7:15 B。

8:00 C. 8:452。

How is the man going to pay for the car?A. By earning money on holidays.B。

By asking for money from his parents。

C。

By borrowing money from the woman。

3.Why is the boy in trouble？A。

He slept in classB. He failed his computer class。

C。

He played computer games in class。

4. Where are the two speakers?A. At a bus stopB。

On a busC。

In the man’s home5.What is the man's problem?A。

He is very hungryB。

He dialed the wrong numberC. He doesn’t want a room facing the sea第二节（共15小题，每小题1。

5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白,每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。

湖南师范大学附属中学2016届高三月考（三）数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A＝｛1，2，3，5，7｝，B＝｛x∈N｜2＜x≤6｝，全集U＝AU B，则A（C u B）＝A.｛1，2，7｝B.｛1，7}C.｛2，3，7｝D. ｛2，7}2.已知复数(cos sin)(1)z i iθθ=-+，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是A.4πθ= B.2πθ= C.34πθ=D．54πθ=3.已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是A．5个B、4个C．3个、D、2个4．为确保信息安全，信息需加密传输。

发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如程序框图所示．例如：明文（1，2，3，4）对应的密文是：（5，7，18，16），则当接收方收到密文（14，9，23，28）时，解密得到的明文是A、（4，6，1，7）B、（7，6，1，4）C、（6，4，1，7）D、（1，6，4，7）5.已知实数x，y满足约束条件220yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则z＝11yx-+的取值范围是A、［－1，13］B、［－12，13］C、［－12，)+∞D、［－12，1）6.已知定义在R上的函数f(x)满足f（x＋2）＋f（x）＝0，且当x∈[0,2)时，f ( x)＝3x一1，则f(2015)的值为A. －2B. 0C. 2D. 87.设双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =，则双曲线的离心率为A. 6B. 4C. 3D. 28.现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是A. 12B. 24C. 36D. 489.已知函数f （x ）＝x 2一2x ＋m ，在区间［－2，4］上随机取一个实数x ，若事件“ f( x} ＜0”发生的概率为23，则m 的值为 A. 2 B,一2 C. 3 D.一3 l0、已知数列{}n a 的首项1a ＝2，数列{}n b 为等比数列，且1n n n a b a +=，若1011b b ＝2，则21a ＝ A. 29 B. 210 C. 211 D 、21211.设点A 、B 、C 为球O 的球面上三点,O 为球心．若球O 的表面积为100π，且△ABC 是边长为O －ABC 的体积为A ．12B ．D 、12.已知Rt △AOB 的面积为1，O 为直角顶点，设向量,||||OA OB a b OA OB ==，2OP a b =+，则PA PB 的最大值为A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13、在△ABC 中，已知35cos ,cos 513A B ==，AC ＝3，则AB ＝ 14.设点P 在直线y ＝2x ＋1上运动，过点P 作圆22(2)1x y -+=的切线，切点为A ，则切线长｜PA ｜的最小值是15.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为Sn ，且11101a a +＜0，若Sn 存在最大值，则满足Sn 的n 的最大值为16.已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|2|a x a --，其中a ＞0为常数．若函数y ＝[()]f f x 有10个零点，则a 的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知函数的图象关于直线x＝π对称，其中,ωλ为常数，且ω∈（12，1）．(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)若存3 [0,]5xπ∈，使f(x) =0，求λ的取值范围．18.（本小题满分1L分）PM2. 5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值．即PM2.5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米一75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的PM2. 5监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如下茎叶图所示．(l)根据样本数据估计今年9月份该市区每天PM2. 5的平均值和方差；(2)从所抽样的6天中任意抽取三天，记ξ表示抽取的三天中空气质量为二级的天数，求ξ的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD中AB = 2AD, ∠BAD = 600 , E为AB的中点．将△ADE沿直线DE 折起到△PDE的位置，使平面PDE⊥平面BCDE.（1)证明：CE⊥PD;（2)设F, M分别为PC,DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角．20．（本小题满分12分）如图，已知抛物线C1：24y x =的焦点为F ，椭圆C2的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲线C1和C2在第一象限的交点，且｜MF ｜＝52。

2015-2016学年湖南长郡中学高一上学期第三次检测数学试题一、选择题1．已知集合{|,}24k M x x k Z ππ==+∈，{|,}42k N x x k Z ππ==+∈，则（ ） A ．M N ≠⊂ B ．M N ≠⊃ C ．M N = D ．M N φ=【答案】A【解析】试题分析：因为(21){|,}{|,}244k k M x x k Z x x k Z πππ+==+∈==∈，(2){|,}{|,}424k k N x x k Z x x k Z πππ+==+∈==∈，所以M N ≠⊂；故选A ．【考点】集合间的关系．2．设0.12a =，5lg 2b =，39log 10c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b c a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】D【解析】试题分析：因为12201.0=>=a ，)1,0()10lg ,1(lg 25lg=∈=b ，01log 109log 33=<=c ， 所以a b c >>；故选D ． 【考点】1.对数函数的单调性；2.指数函数的单调性．3．设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-【答案】A【解析】试题分析：因为3B C C D = ，所以3()A C A B A D A C -=-，即1433AD AB AC =-+；故选A ．【考点】平面向量的线性运算．4．已知||1a = ，||2b = ，a 与b 的夹角为060，则a b + 在a 上的投影为（ ）A ．1B ．2CD 【答案】B【解析】试题分析：由题意，得21()12122a b a a b a +⋅=+⋅=+⨯⨯= ，则a b + 在a 上的投影为()2||a b aa +⋅= ；故选B ． 【考点】1.平面向量的数量积；2.投影．5．已知||10a = ，||12b =，且1(3)()365a b ⋅=- ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．060 B ．0120 C ．0135 D ．0150 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得1333(3)()||||c o s 1015555a b a ba b θθ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=-，解得21cos -=θ，即a 与b的夹角为0120；故选B ．【考点】1.平面向量的数量积；2.平面向量的夹角．61sin cos αα+=，则α的终边在（ ）A ．y 轴右侧B ．y 轴左侧C ．x 轴上方D ．x 轴下方【答案】A【解析】试题分析：因为1sin 1sin |cos |cos αααα++===，所以0cos >α，即α的终边在y 轴右侧；故选A ．【考点】1.同角三角函数基本关系式；2.三角函数的符号． 7．要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需要将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位【答案】D【解析】试题分析：因为sin(2)sin[(2)cos[2()]6326y x x x ππππ=+=-+=-，所以要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需要将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位；故选D ．【考点】1.诱导公式；2.三角函数的图象变换．【易错点睛】本题考查诱导公式的应用和三角函数的图象变换，属于中档题；本题的易错点是平移的单位，在处理此类问题时，要牢记“平移单位是相对于自变量x 而言”，即)](sin[)sin(ϕωϕω+=+=x A x A y 的图象可由x A y ωsin =)0,0(>>ωA 向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移||ωϕ个单位，而不是||ϕ个单位. 8．已知函数sin()y A x m ωφ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2sin(4)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++ D ．2sin(4)26y x π=++【答案】D【解析】试题分析：不妨设0>A ，则由题意，得⎩⎨⎧=+-=+04m A m A ，解得2==m A ，且22πωπ==T ，即4=ω，则2)4s in(2++=ϕx y ，因为直线3x π=是其图象的一条对称轴，所以Z k k ∈+=+⨯,234ππϕπ，解得Z k k ∈+-=,65ππϕ，当1=k 时，6πϕ=，即符合条件的一个解析式是2sin(4)26y x π=++；故选D ．【考点】三角函数的解析式与性质．9．设,,D E F 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的点，且2DC BD = ，2CE EA =，2AF FB =，则AD BE CF ++ 与BC （ ）A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 【答案】A【解析】试题分析：因为2DC BD = ，所以13BD BC = ，取,BC BA作为平面向量的一组基底，则13AD BD BA BC BA =-=- ，同理1233BE BC BA =+ ，13CF BA BC =-，则13A D B E C F B C ++=- ，即AD BE CF ++ 与BC反向平行；故选A ．【考点】1.平面向量的线性运算；2.共线向量的判定．【技巧点睛】本题考查平面向量的线性运算以及平面向量共线的判定，属于中档题；处理与平面向量线性运算有关的问题时，合理选择一组不共线的非零向量作为基底是解题的关键，本题在选择基底时，因为题中研究的是AD BE CF ++ 与BC的位置关系，因此选择BC为一个基向量，降低了运算量，起到事半功倍的效果.10．函数2|1|()1||x f x x -=-的图象是（ ）【答案】C【解析】试题分析：显然2|1|()1||x f x x -==-的定义域为}1|{≠x x ，故排除选项A ，又因为⎩⎨⎧>--<+=1||,1||1|||,|1)(x x x x x f 在),1(+∞上单调递减，且1)0(=f ，故排除选项B ，D ；故选C ．【考点】函数的性质与图象．【方法点睛】本题考查通过函数的解析式和性质确定函数的图象，属于中档题；已知函数的解析式确定函数的图象，往往从以下几方面考虑：定义域（确定图象是否连续），奇偶性（确定图象的对称性），单调性（确定图象的变化趋势），最值（确定图象的最高点或最低点），特殊点的函数值（通过特殊函数值排除选项），其主要方法是排除法.二、填空题11．已知(,3)a x = ，(2,4)b =-，a b ⊥ ，则实数x = .【答案】6【解析】试题分析：由题意，得2120a b x ⋅=-+=，解得6=x ；故填6．【考点】平面向量的坐标运算．12．若函数2()lg(1)f x x ax a =+--在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(3,)-+∞【解析】试题分析：因为函数2()lg(1)f x x ax a =+--在区间[2,)+∞上单调递增，所以⎪⎩⎪⎨⎧>+=--+-≤-0312422a a a a解得3->a ；故填(3,)-+∞．【考点】1.对数函数的定义域；2.复合函数的单调性．13．已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x a x ⎧+≥=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α= .【答案】1-【解析】试题分析：当0x >时，2()sin f x x x =+，2()()cos()f x x x a -=--+-+，所以22cos()sin x a x x x -+-=--，cos()sin x x α-=-，322k παπ=+，k Z ∈， 所以sin 1α=-；故填1-．【考点】1.分段函数；2.函数的奇偶性． 14．对任意的[,]62x ππ∈-，不等式2sin sin 30x a x a +++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[2,)-+∞【解析】试题分析：设x t sin =，因为[,]62x ππ∈-，所以]1,21[-∈t ，则不等式2sin sin 30x a x a +++≥恒成立可化为032≥+++a at t 对任意]1,21[-∈t 恒成立，即132++-≥t t a 对任意]1,21[-∈t 恒成立，因为2]214)1[(14)1(2)1(1322-≤-+++-=+++-+-=++-t t t t t t t （当且仅当141+=+t t ，即1=t 时取等号），所以2-≥a ；故填[2,)-+∞．【考点】1.换元思想；2.基本不等式；3.不等式恒成立问题．【方法点睛】本题考查换元思想的应用、基本不等式和不等式恒成立问题，属于难题；处理已知不等式恒成立，求有关参数问题一般有两种思路：一是直接构造函数求函数的最值，此种方法往往用到利用分类讨论思想，思维量和计算量往往较大，步骤较麻烦；二是分离参数，转化为132++-≥t t a 恒成立问题，再利用M x f ≤)(恒成立M x f ≤⇔max )(进行求解.15．已知()sin()(0)12f x x πωω=+>，()()124f f ππ=且()f x 在区间(,)124ππ有最小值无最大值，则ω= . 【答案】172【解析】试题分析：因为()()124f fππ=，所以直线6π=x 是函数()s i n ()(0)12f x x πωω=+>的一条对称轴，又因为()f x 在区间(,)124ππ有最小值无最大值，所以ππωπ23126=+，解得217=ω；故填172．【考点】三角函数的性质．【技巧点睛】本题考查三角函数的解析式、对称性、单调性及有关参数问题、整体思想的应用，属于中档题；解决本题的关键是利用()()124f f ππ=得到直线6π=x 是函数()sin()(0)12f x x πωω=+>的一条对称轴（若直接化简，非常复杂），再利用单调性得到ππωπ23126=+（而不是2126ππωπ=+，这也是易错的地方）.三、解答题16．已知||2a = ，||3b = ，a 与b 的夹角为60，53c a b =+ ，3d a kb =+ ，当实数k为何值时，（1）//c d ； （2）c d ⊥ .【答案】（1）95k =；（2）2914k =-． 【解析】试题分析：（1）利用平面向量共线的判定条件进行求解；（2），利用平面向量的数量积为0进行求解．试题解析：（1）若//c d ，则存在实数t ，使t =，即t t k 353+=+，则⎩⎨⎧==tk t 335，解得得95k =； （2）若c d ⊥ ，则02132)95(93415)3()35(=⨯⨯⨯++⨯+⨯=+⋅+=⋅k k k ，解得2914k =-.【考点】1.平面向量共线的判定；2.平面向量垂直的判定．17．已知(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，0βαπ<<<.（1）若||a b -=a b ⊥ ；（2）设(0,1)c =，若a b c += ，求,αβ的值.【答案】（1）证明略；（2）56πα=，6πβ=．【解析】试题分析：（1）利用平面向量的模的计算公式进行化简，得到平面向量的数量积为0，即得两向量垂直；（2）利用平面向量的坐标运算和诱导公式、三角函数基本关系式进行求解．试题解析：（1）由题意得：2||2a b -= ，即222()22a b a a b b -=-⋅+= .又因为2222||||1a b a b ==== ，所以222a b -⋅= ，即0a b ⋅=，故a b ⊥ .（2）因为(cos cos ,sin sin )(0,1)a b αβαβ+=++=，所以cos cos 0sin sin 1αβαβ+=⎧⎨+=⎩，由此得，cos cos()απβ=-，由0βπ<<，得0πβπ<-<， 又0απ<<，故απβ=-，代入sin sin 1αβ+=，得1sin sin 2αβ==， 而αβ>，所以56πα=，6πβ=.【考点】1.平面向量的模；2.平面向量的坐标运算；3.诱导公式． 18．函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当[0,]2x π∈时，5()1f x -≤≤.（1）求常数,a b 的值； （2）设0a >，()()2g x f x π=+且lg ()0g x >，求()g x 的单调增区间.【答案】（1）25a b =⎧⎨=-⎩或21a b =-⎧⎨=⎩；（2）(,]()6k k k Z πππ+∈．【解析】试题分析：（1）先利用整体思想和正弦函数的值域得到1sin(2)[,1]62x π+∈-，再通过讨论a 的取值范围和已知条件进行求解；（2）先由（1）求得)(x g 的解析式，再由对数函数的定义域、三角函数不等式和整体思想求其单调区间． 试题解析：（1）∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈， ∴1sin(2)[,1]62x π+∈-， ∴0a >时，2sin(2)[2,]6a x a a π-+∈-，又5()1f x -≤≤，解得25a b =⎧⎨=-⎩，0a <时，可得21a b =-⎧⎨=⎩，综上，25a b =⎧⎨=-⎩或21a b =-⎧⎨=⎩.（2）()4sin(2)16f x x π=-+-，7()()4sin(2)14sin(2)1266g x f x x x πππ=+=-+-=+-，又由lg ()0g x >，得()1g x >， ∴4sin(2)116x π+->，∴1sin(2)62x π+>， ∴5222,666k x k k Z πππππ+<+<+∈， 由222662k x k πππππ+<+≤+，得,6k x k k Z πππ<≤+∈；∴函数()g x 的单调递增区间为(,]()6k k k Z πππ+∈.【考点】1.三角函数的图象与性质；2.对数函数的定义域． 【方法点睛】本题考查三角函数的图象与性质、对数函数的定义域等知识，属于中档题；求与三角函数有关的最值问题，一般三种题型：一是R x k x A y ∈++=,)sin(ϕω的值域为]||,||[k A k A ++-；二是D x k x A y ∈++=,)sin(ϕω(D 为定义域内的某个区间），此种题型要用整体思想和三角函数的图象进行求解；三是求c x b x a y ++=sin sin 2的值域，要利用换元思想和二次函数的性质进行求解.19．我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P 的关系近似的满足：2(1)()()2kt x b y P x --==，（其中t 为关税的税率，且1[0,)2t ∈，x 为市场价格，,b k 为正,b k 正常数），当18t =时的市场供应量曲线如图：（1）根据图象求,b k 的值；（2）若市场需求量为Q ，它近似满足112()2x Q x -=，当P Q =时的市场价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t 的最小值. 【答案】（1）65k b =⎧⎨=⎩；（2）19192．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法得到关于b k ,的方程组进行求解；（2）先利用P Q =相等得到关于x 与t 的关系式，利用换元思想和二次函数求其最值．试题解析：（1）由图象知函数图象过(5,1),(7,2)，∴22(1)(5)8(1)(7)82122kb k b ----⎧=⎪⎨⎪=⎩，得22(1)(5)08(1)(7)18k b k b ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得65k b =⎧⎨=⎩；（2）当P Q =时，211(16)(5)222xt x ---=，即2(16)(5)112x t x --=-， 化简得：22111171216[](5)2(5)5xt x x x --==⋅----， 令1(9)5m x x =≥-，∴1(0,]4m ∈， 设2()17f m m m =-，1(0,]4m ∈，对称轴为134m =，∴max 113()()416f x f ==，所以，当14m =时，16t -取到最大值113216⋅，即11316216t -≤⋅，解得19192t ≥，即税率的最小值为19192.答：税率t 的最小值为19192.【考点】1.待定系数法；2.换元思想．20．已知函数12()2x x mf x n+-+=+（其中,m n 为参数）.（1）当1m n ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）如果()f x 是奇函数，求实数,m n 的值；（3）已知0,0m n >>，在（2）的条件下，求不等式1(())()04f f x f +<的解集.【答案】（1）证明略；（2）12m n =-⎧⎨=-⎩或12m n =⎧⎨=⎩；（3）2(,log 3)-∞．【解析】试题分析：（1）举反例进行说明即可；（2）利用奇函数的定义，即()()f x f x -=-对于定义域内任意实数x 成立，转化为等式恒成立问题；（3）利用函数的单调性和指数不等式进行求解．试题解析：（1）121()21xx f x +-+=+，∴2211(1)215f -+==-+，1112(1)24f -+-==，∵(1)(1)f f -≠-，∴()f x 不是奇函数.（2）∵()f x 是奇函数时，()()f x f x -=-，即112222x x x x m mn n--++-+-+=++对定义域内任意实数x 成立，化简整理得关于x 的恒等式2(2)2(24)2(2)0x x m n mn m n -⋅+-⋅+-=， ∴20240m n mn -=⎧⎨-=⎩，即12m n =-⎧⎨=-⎩或12m n =⎧⎨=⎩.（注：少一解扣1分）（3）由题意得1,2m n ==，∴12112()(1)22221x x x f x+-+==-+++，易判断()f x 在R 上递减，∵1(())()04f f x f +<，∴11(())()()44f f x f f <-=-， ∴1()4f x >-，∴23x<，∴2log 3x <，即所求不等式的解集为2(,log 3)-∞. 【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.指数不等式．【易错点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数问题、利用函数的单调性解不等式以及指数不等式的解法，属于中档题；本题第2问由奇偶性求n m ,值时容易出现以下错误解法：n m x f x x ++-=+122)( 为奇函数，021)0(=++-=∴n mf ，解得1=m ，再利用)1()1(f f -=-求n 值（此种方法丢解的原因是没有考虑函数nmx f x x ++-=+122)(的定义域内不一定含有0）.。

湖南师大附中2015-2016学年高一下学期期中考试数 学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、在0到2π范围内，与角43π-终边相同的角是 A ．6π B ．3π C ．23π D ．43π 2、α是第三象限角，则下列函数值一定是负值的是 A ．sin 2αB ．cos 2αC ．tan 2αD ．cos2α3、已知点(1,3),(4,1)A B -，则与AB 同方向的单位向量为A ．34(,)55-B ．43(,)55-C ．34(,)55-D ．43(,)55-4、cos 24cos36cos66cos54-的值为 A ．0 B ．12 C 3．12- 5、已知向量(6,0),(5,5)a b ==-，则a 与b 的夹角为A ．45B ．60C ．135D ．1206、已知02A π<<，且3cos 5A =，那么sin 2A 等于 A ．425B ．725C ．1225D ．2425 7、若向量,,a b c 满足//a b ，且//a c ，则(2)c a b ⋅+=A ．4B ．3C ．2D ．08、已知四边形ABCD 的三个顶点(0,2),(1,2),(3,1)A B C --，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为A ．7(2,)2B ．1(2,)2-C ．()3,2D ．()1,39、函数sin()(0,,)2y A wx w x R πϕϕ=+><∈的部分图象如图所示，则函数的解析式为 A ．4sin()84y x ππ=--B ．4sin()84y x ππ=-+ C ．4sin()84y x ππ=+ D ．4sin()84y x ππ=- 10、已知ABC ∆的单个顶点,,A B C 及ABC ∆所在平面内一点G ，若0GA GB GC ++=，且实数λ满足AB AC AG λ+=，则λ=A ．32B ．3C ．-1D ．2 11、已知33sin(),cos()55αβαβ-=+=-，且(,),(,)22ππαβπαβπ-∈+∈，则cos 2β的值为 A ．1 B ．-1 C ．2425 D ．45-二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在答题卷的横线上。

湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期末考试数学时量：120分钟满分：150分得分：____________第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知两点A(a，3)，B(1，－2)，若直线AB的倾斜角为135°，则a的值为A．6 B．－6 C．4 D．－42．对于给定的直线l和平面a，在平面a内总存在直线m与直线lA．平行B．相交C．垂直D．异面3．已知直线l1：2x＋3my－m＋2＝0和l2：mx＋6y－4＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为A.55B.105C.255D.21054．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝2，PB＝3，PC＝3，则这个三棱锥的外接球的表面积为A．16πB．32πC．36πD．64π5．圆C1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是A．内含B．相交C．内切D．外切6．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是A．若m∥n，m⊂β，则n∥β B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥β，α⊥β，则m∥α D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β7．在空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的四个顶点坐标分别为A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(2，2，2)，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则四面体ABCD的正视图为8．若点P(3，1)为圆(x－2)2＋y2＝16的弦AB的中点，则直线AB的方程为A．x－3y＝0 B．2x－y－5＝0C．x＋y－4＝0 D．x－2y－1＝09．已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是A．异面直线PA与BC的夹角为60°B ．若M 为AD 的中点，则AD⊥平面PMBC ．二面角P －BC －A 的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC10．已知直线l 过点P(2，4)，且与圆O ：x 2＋y 2＝4相切，则直线l 的方程为A ．x ＝2或3x －4y ＋10＝0B ．x ＝2或x ＋2y －10＝0C ．y ＝4或3x －4y ＋10＝0D ．y ＝4或x ＋2y －10＝011．在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE＝90°，A 、D 分别是BF 、CE 上的，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF ，如图1.将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE ，如图2.则在折起的过程中，下列说法中错误的是A ．AC ∥平面BEFB ．直线BC 与EF 是异面直线C ．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD D ．平面BCE 与平面BEF 可能垂直答题卡 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答 案二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．若直线l ：x －y ＋1＝0与圆C ：(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是____________．13．已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V 1，球的体积为V 2，则V 1V 2＝________．14．已知三棱锥P －ABC 的体积为10，其三视图如图所示，则这个三棱锥最长的一条侧棱长等于________．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分8分)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，0)，B(4，6)，C(0，8)．(1)求BC边上的高所在直线l的方程；(2)求△ABC的面积．16.(本小题满分10分)已知圆C经过A(－2，1)，B(5，0)两点，且圆心C在直线y＝2x上．(1)求圆C的标准方程；(2)设动直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y－7m－8＝0与圆C相交于P，Q两点，求|PQ|的最小值．17．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．(1)证明：A1B⊥平面AB1C;(2)求直线A1D与平面AB1C所成的角的大小．第Ⅱ卷(满分50分)一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．18．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2x <1，N ＝{y|y ＝lg (x 2＋1)}，则N∩∁R M ＝______．19．已知函数f (x )在定义域R 上单调递减，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称．若实数t 满足f (t 2－2t )＋f (－3)>0，则t －1t －3的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 二、本大题共3个大题，共38分．20．(本小题满分12分)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE∥平面P AC ？若存在，求SE∶EC 的值；若不存在，试说明理由．设函数f(x)＝mx 2－mx －1，g(x)＝f （x ）x －1. (1)若对任意x∈[1，3]，不等式f(x)<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围； (2)当m ＝－14时，确定函数g(x)在区间(3，＋∞)上的单调性．已知圆C：(x－a)2＋(y－a－2)2＝9，其中a为实常数．(1)若直线l：x＋y－4＝0被圆C截得的弦长为2，求a的值；(2)设点A(3，0)，O为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求a的取值范围．湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期末考试数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期末考试数学参考答案 第Ⅰ卷(满分100分)题 号 1234567891011答 案D C B A C D B C D A D12．[－3，1] 13.32 14.34三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】(1)因为点B(4，6)，C(0，8)，则k BC ＝8－60－4＝－12.(1分)因为l⊥BC，则l 的斜率为2.(2分)又直线l 过点A ，所以直线l 的方程为y ＝2(x －3)，即2x －y －6＝0.(4分) (2)因为点A(3，0)，C(0，8)，则|AC|＝9＋64＝73.(5分)又直线AC 的方程为x3＋y8＝1，即8x ＋3y －24＝0，(6分)则点B 到直线AC 的距离d ＝32＋18－2464＋9＝2673.(7分)所以△ABC 的面积S ＝12|AC|×d＝13. (8分)16．【解析】(1)方法一：因为线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，k AB ＝－17，则线段AB 的垂直平分线方程为y －12＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即y ＝7x －10. (2分)联立y ＝2x ，得x ＝2，y ＝4.所以圆心C(2，4)， 半径r ＝|AC|＝16＋9＝5.(4分)所以圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －4)2＝25.(5分) 方法二：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则 ⎩⎪⎨⎪⎧－2D ＋E ＋F ＋5＝0，5D ＋F ＋25＝0，E ＝2D ，解得D ＝－4，E ＝－8，F ＝－5.(3分) 所以圆C 的方程是x 2＋y 2－4x －8y －5＝0，即(x －2)2＋(y －4)2＝25.(5分)(2)直线l 的方程化为(2x ＋y －8)＋m(x ＋2y －7)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －8＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，所以直线l 过定点M(3，2)．(7分)由圆的几何性质可知，当l⊥CM 时，弦长|PQ|最短． 因为|CM|＝（3－2）2＋（2－4）2＝5，则|PQ|min ＝2r 2－||CM 2＝225－5＝45.(10分)17．【解析】(1)因为A 1A ⊥平面ABC ，则A 1A ⊥AC. 又AC⊥AB，则AC⊥平面A A 1B 1B ，所以AC⊥A 1B.(3分) 由已知，侧面AA 1B 1B 是正方形，则AB 1⊥A 1B. 因为AB 1∩AC ＝A ，所以A 1B ⊥平面AB 1C.(5分)(2)方法一：连结A 1C ，设AB 1∩A 1B ＝O ，连CO ，交A 1D 于G. 因为O 为A 1B 的中点，D 为BC 的中点，则G 为△A 1BC 的重心． 因为A 1O ⊥平面AB 1C ，则∠A 1GO 是A 1D 与平面AB 1C 所成的角．(8分) 设AB ＝AC ＝AA 1＝1，则A 1B ＝BC ＝A 1C ＝ 2.得A 1O ＝22，A 1G ＝23A 1D ＝23×2sin 60°＝63.在Rt △A 1OG 中，sin ∠A 1GO ＝A 1O A 1G ＝32，则∠A 1GO ＝60°.所以直线A 1D 与平面AB 1C 所成的角为60°.(12分)方法二：分别取AB ，B 1B 的中点E ，F ，连DE ，EF ，DF ， 则ED∥AC，EF ∥AB 1， 所以平面DEF∥平面AB 1C.因为A 1B ⊥平面AB 1C ，则A 1B ⊥平面DEF. 设A 1B 与EF 的交点为G ，连DG ，则∠A 1DG 是直线A 1D 与平面DEF 所成的角. (8分) 设AB ＝AC ＝AA 1＝1，则A 1B ＝BC ＝A 1C ＝2.得A 1G ＝34A 1B ＝324，A 1D ＝2sin 60°＝62.在Rt △A 1GD 中，sin ∠A 1DG ＝A 1G A 1D ＝32，则∠A 1DG ＝60°. 所以直线A 1D 与平面AB 1C 所成的角为60°. (12分)第Ⅱ卷(满分50分)一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．18．[0，2]【解析】M ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，N ＝[0，＋∞)，所以N∩∁R M ＝[0，2]．19．B 【解析】因为y ＝f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称，则y ＝f (x )的图象关于原点对称，即f (x )为奇函数．由f (t 2－2t )＋f (－3)>0，得f (t 2－2t )>－f (－3)＝f (3)，因为f (x )在R 上是减函数，则t 2－2t <3，即t 2－2t －3<0，得－1＜t ＜3.因为y ＝t －1t －3＝1＋2t －3在区间(－1，3)上是减函数，则t －1t －3<12，选B.二、本大题共3个大题，共38分．20．【解析】(1)连接BD ，设AC 交BD 于点O ，连接SO ，由题意得SO⊥AC，又因为正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，所以AC⊥平面SBD,∵SD ⊂平面SBD ，所以AC⊥SD. (6分)(2)在棱SC 上存在一点E ，使得BE∥平面PAC.设正方形边长为a ，则SD ＝2a.由SD⊥平面PAC 得PD ＝2a 4， 故可在SP 上取一点N ，使PN ＝PD.过点N 作PC 的平行线与SC 的交点为E ，连接BN ，在△BDN 中，易得BN∥PO，又因为NE∥PC，所以平面BEN∥平面PAC ，所以BE∥平面PAC.因为SN∶NP＝2∶1，所以SE∶EC＝2∶1. (12分)21．【解析】(1)由f(x)<5－m ，得mx 2－mx －1<5－m ，即m(x 2－x ＋1)<6.因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，则m<6x 2－x ＋1.(3分) 设h(x)＝6x 2－x ＋1，则当x∈[1，3]时，m ＜h(x)恒成立． 因为y ＝x 2－x ＋1在区间[1，3]上是增函数，则h(x)在区间[1，3]上是减函数，h(x)min＝h(3)＝67. 所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. (6分) (2)因为f(x)＝mx(x －1)－1，则g(x)＝mx －1x －1. 当m ＝－14时，g(x)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋1x －1.(7分) 设x 1>x 2>3，则g(x 1)－g(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋1x 2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 14＋1x 1－1＝ x 24－x 14＋1x 2－1－1x 1－1＝x 2－x 14＋x 1－x 2（x 1－1）（x 2－1）＝ (x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（x 1－1）（x 2－1）－14.(10分) 因为x 1－1>x 2－1>2，则(x 1－1)(x 2－1)>4，得1（x 1－1）（x 2－1）<14，又x 1－x 2>0，则g(x 1)－g(x 2)<0， 即g(x 1)<g(x 2)，所以g(x)在区间(3，＋∞)上是减函数．(13分)22．【解析】(1)由圆方程知，圆C 的圆心为C(a ，a ＋2)，半径为3.(2分) 设圆心C 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 截得的弦长为2，则 d 2＋1＝9，即d ＝2 2.(4分)所以|a ＋（a ＋2）－4|2＝22，即|a －1|＝2，所以a ＝－1或a ＝3.(6分)(2)设点M(x ，y)，由|MA|＝2|MO|，得（x －3）2＋y 2＝2x 2＋y 2，即x 2＋y 2＋2x －3＝0.所以点M 在圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝4上．其圆心为D(－1，0)，半径为2.(8分) 因为点M 在圆C 上，则圆C 与圆D 有公共点，即1≤|CD|≤5.(9分) 所以1≤（a ＋1）2＋（a ＋2）2≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a ＋2≥0，a 2＋3a －10≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a ＋1）≥0，（a －2）（a ＋5）≤0，(11分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a≤－2或a≥－1，－5≤a≤2，即－5≤a≤－2或－1≤a≤2. 故a 的取值范围是[－5，－2]∪[－1，2]．(13分)。

数学命题：高一数学备课组一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知R 是实数集，{}2 1 x A y y x R ==-∈，，(){}22log 1B x y x =-＝，则A B =（ ）A ．()1 -+∞，B ．()1 1-，C ．[)1 1-，D ．()1 +∞， 2.在空间，下列命题正确的是（ ） A ．平行直线的平行投影重合 B ．平行于同一直线的两个平面平行 C ．平行于同一平面的两个平面平行 D ．垂直于同一直线的两条直线平行3.若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，则下列图形一定不是该几何体的俯视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．4.以下命题为真命题的个数是（ ）①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l α∥； ②若直线a 在平面α外，则a a ∥； ③若直线a b ∥，b α⊂，则a a ∥；④若直线a b ∥，b α⊂，则a 平行于平面α内的无数条直线. A ．1个 B ．2个 C.3个 D ．4个5.已知函数()()()2 10 01x x f x x ⎧--≤≤⎪=<≤，，，则下列图象错误的是（ ）A ．B ． C. D ．6.若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 与12 l l ，都不相交B ．l 与12 l l ，都相交C.l 至多与12 l l ，中的一条相交 D ．l 至少与12 l l ，中的一条相交 7.a 是平面α外一条直线，过a 作平面β，使αβ∥，这样的β（ ）A ．只能作一个B ．至少可以作一个 C.至多可以作一个 D ．不存在 8.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A ．29πB ．30π C.292πD ．216π 9.定义符号函数 1 0sgn 0 01 0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，，，，设()()()[]1211sgn 1sgn 122 0 122x x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅+⋅∈，，，若()112f x x =+，()()221f x x =-，则()f x 的最大值等于（ ）A ．2B ．1 C.34 D ．1210.已知立方体''''ABCD A B C D -， E F G H ，，，分别是棱 ' '' 'AD BB B C DD ，，，中点，从中任取两点确定的直线中，与平面''AB D 平行的有（ ）条.A ．0B ．2 C.4 D ．611.已知函数()2 02 0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，，，方程()()20f x bf x -=，()0 1b ∈，，则方程的根的个数是（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．5 12.已知函数()22log 1aa f x x x x =-+-在31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，内恒小于零，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1 116⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．10 16⎛⎤ ⎥⎝⎦， C.10 4⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．1 16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积为 ．14.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ∥，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为 m n ，，那么m n += ．15.已知函数()()2log 30 1a y ax a a =-≠≠±，在[]0 2，上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．16.已知直线y mx =与函数()212 031 1 02xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+>⎪⎩，，的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长1AB =，过点1A 的平面α与正方体的面相交，交线围成一个正三角形.（1）在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；（2）平面α将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积. 18.（本小题满分12分）某纪念章从2016年10月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①y ax b =+；②2y ax bx c =++；③log b y a x =.（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格. 19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中， E F G H ，，，分别是1111 AB AC A B AC ，，，的中点，求证： （1） B C H G ，，，四点共面； （2）平面1EFA ∥平面BCHG .20.（本小题满分12分）四棱锥P ABCD -的四条侧棱长相等，底面ABCD 为正方形，M 为PB 的中点.（1）求证：PB ∥平面ACM ；（2）若PA AB =，求异面直线PD 与DM 所成角的正弦值. 21.（本小题满分12分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()11139xxf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当12a =-时，求函数()f x 在() 0-∞，上的值域，并判断函数()f x 在() 0-∞，上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()f x 在[)0 +∞，上是以4为上界的有界函数，求实数a 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知函数()()()4log 41x f x kx k R =++∈是偶函数. （1）求k 的值； （2）若函数()()[]12242 1 0 log 3f x xx h x m x +=+⋅-∈，，，是否存在实数m 使得()h x 最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.湖南师大附中2016-2017学年度高一第一学期第三次阶段性检测数学参考答案一、选择题1.B 【解析】{}()2 1 1 x A y y x R ==-∈=-+∞，，，(){}()22log 1 1 1B x y x ==-=-，，()1 1AB =-，.2.D3.D 【解析】显然，A ，B ，C 符合题意，若俯视图为D ，则其正视图不可能为边长为1的正方形.4.A5.B 【解析】先作()y f x =的图象（如下图），()y f x =的图象由()y f x =的图象删除y 轴的左边部分，再由右边部分关于y 轴对称得到，故B 错.6.B 【解析】由题意知()()11 2211 2121 2x x f x x x x ⎧+<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪->⎪⎩，，，，所以()f x 的最大值等于1.7.D 【解析】当a α∥时，过a 作平面β，使得βα∥， 由平面与平面平行的性质得：这样的平面β有且只有1个.a 与α相交时，设平面为β，a 与α交点为P ，根据题意,P P βα∈∈，则l αβ=且P l ∈，这与αβ∥矛盾，∴这样的β不存在，综上所述，过平面α外一条直线a 与α平行的平面的个数为至多1个，故选D.8.A 【解析】由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径，即2R =294294S ππ=⨯=. 9.D 【解析】可以画出图形来说明l 与12 l l ，的位置关系，从而可判断出A ，B ，C 是错误的，而对于D ，可假设不正确，这样l 便和12 l l ，都不相交，这样可推出和12 l l ，异面矛盾，这样便说明D 正确.10.D 【解析】连接 EG EH FG ，，，∵EF FG ∥，且EF FG =，∴ E F G H ，，，四点共面.由'EG AB ∥，'EH AD ∥，EG EH E =，''AB AD A =，可得平面EFGH 与平面''AB D 平行，所以平面EFGH 内的每条直线都符合条件，选D. 11.A 【解析】()22log 1aa f x x x x =-+-在31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，内恒小于零， 即()()21log 1a x x -<-对于31 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立， 画出函数()21y x =-与()log 1a y x =-的图象， 得20133log 1122a a <<⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得1116a ≤<. 12.D 【解析】∵()()20f x bf x -=，∴()0f x =或()f x b =， 作函数()2 02 0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，，的图象如图，结合图象可知，()0f x =有两个不同的根，()f x b =，()01b <<有三个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5， 故选D. 二、填空题13.2+【解析】原图形是上底为1，下底为1+2的直角梯形.∴(11222S ++=⨯=+原14.8 【解析】由题意可知直线CE 与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以4m =，直线EF 与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以4n =，所以8m n +=.15.()31 0 1 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 【解析】令()3f x ax =-，0a >时， 由对数函数和复合函数的性质知：21a >，()f x 在[]0 2，上恒大于0， 即30ax ->，由()f x 在[]0 2，上是减函数， 则320a ->，解得32a <. 此时312a <<， 同理当0a <时，()f x 在[]0 2，上是增函数，此时201a <<， 且()f x 在[]0 2，上恒大于0，此时10a -<<. 综合可知，a 的取值范围是()31 0 1 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，，.16.)+∞， 【解析】做出()f x 的图象，可知0m ≤时，直线y mx =与()f x 只有一个交点，不符题意，当0m >时，y mx =与()1203xy x ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭总有一个交点，故y mx =与()21102y x x =+>必有两个交点， 即方程()21102x mx x +=>必有两个不等正实根.即方程2220x mx -+=必有212124802020m x x m x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得)m ∈+∞，.三、解答题17.【解析】（1）连接11 A D A B BD ，，，则1A B D △为所求三角形（做法不唯一），如图所示；……4分（2）平面α将正方体截成三棱锥1A ABD -和多面体1111BCD A B C D -两部分，1111111326A ABD V -=⨯⨯⨯⨯=，111115166BCD A B C D V -=-=多面体，18.【解析】（1）∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y ax b =+和log b y a x =显然都是单调函数，不满足题意， ∴选择2y ax bx c =++.………………………………6分（2）把点()()()4 90 10 51 36 90，，，，，代入2y ax bx c =++中，得16490100105112963690a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，………………………………8分 解得110 1264a b c ==-=，，.…………………………10分∴()221110126202644y x x x =-+=-+，………………11分 ∴当20x =时，y 有最小值min 26y =.答：当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元. 19.【解析】（1）∵ G H ，分别为1111 A B AC ，中点，∴11GH B C ∥， ∵三棱柱111AB A B C -中，11BC B C ∥， ∴GH B ∥，∴ B C H G ，，，四点共面.…………………………5分 （1）∵ E F ，分别为 AB AC ，中点， ∴EF BC ∥，∴11EF BC B C GH ∥∥∥，又∵ E G ，分别为三棱柱侧面平行四边形11AA B B 对边11 AB A B ，中点， ∴四边形1A EBG 为平行四边形，1A E BG ∥，∴平面1EFA 中有两条直线1 A E EF ，分别与平面BCHG 中的两条直线BG ，BC 平行， ∴平面1EFA BCHG ∥平面.………………………………12分20.【解析】（1）连接OM ，正方形ABCD 中，OB OD =，又M 为PB 中点， ∴PD OM ∥，∵OM ACM ⊂平面，PD 不在平面ACM 内， ∴PD ACM ∥平面.…………………………4分（2）由（1）知，异面直线PD 与CM 所成的角，即OM 与CM 所成的角，即OMC ∠， 令2PA AB ==，则11122OM PD PA ===，OC ==， 又2PC PB PA BC ====，所以PBC △为正三角形，CM == 在OMC △中，由222OM OC MC +=，所以OM OC ⊥，所以sin OC OMC MC ∠===分 21.【解析】（1）当12a =-时，()1111239x x f x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵0x <，∴1t >，2112y t t =-+； ∵2112y t t =-+在()1 +∞，上单调递增， ∴32y >，即()f x 在() 0-∞，上的值域为3 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，， 故不存在常数0M >，使()f x M ≤成立.∴函数()f x 在() 0-∞，上不是有界函数.…………………………6分 （2）由题意知，()4f x ≤对[)0 +x ∈∞，恒成立， 即：()44f x -≤≤，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵0x ≥，∴(]0 1t ∈，. ∴53t a t t t ⎛⎫-+≤≤- ⎪⎝⎭对(]0 1t ∈，恒成立， ∴min max 53t a t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+≤≤- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 设()5h t t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()3p t t t =-，由(]0 1t ∈，， 由于()h t 在(]0 1t ∈，上递增，()p t 在(]0 1t ∈，上递减， ()h t 在(]0 1t ∈，上的最大值为()16h =-， ()p t 在(]0 1t ∈，上的最小值为()12p =.∴实数a 的取值范围为[]6 2-，.……………………12分 22.【解析】（1）∵函数()()()4log 41x f x kx k R =++∈是偶函数， ∴()()f x f x -=，即()()44log 41log 41x x kx kx -+-=++恒成立，∴()()4444412log 41log 41log log 441x x xx x kx x ---+=+-+===-+， ∴12k =-.……………………………………3分 （2）若函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点， 则方程()411log 4122x x x a +-=+即方程()4log 41x x a +-=无解， 令()()444411log 41log log 144x x x x g x x +⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭， 则函数()g x 的图象与直线y a =无交点， ∵()g x 在R 上是单调递减函数，1114x +>，∴()0g x >，∴0a ≤.………………7分 （3）由题意函数()()[]12242142 0 log 3f x x x x x h x m m x +=+⋅-=+⋅∈，，，令[]2 1 3x t =∈，，则[]2 1 3y t mt t =+∈，，， ∵函数2y t mt =+的图象开口向上，对称轴为直线2m t =-， 故当12m -≤，即2m ≥-时，当1t =时，函数取最小值10m +=， 解得：1m =-； 当132m <-<，即62m -<<-时，当2m t =-时， 函数取最小值204m -=，解得：0m =（舍去）； 当32m -≥，即6m ≤-时，当3t =时，函数取最小值930m +=， 解得：3m =-（舍去），综上所述，存在1m =-满足条件.………………………………12分。

命题人:欧芙蓉审题人:彭建锋时间:90分钟满分:100分得分___________第I卷选择题(共60分)一、选择题(每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题2分，总分60分)美国“新视野”号探测器于北京时间2015年7月14日19时49分，近距离飞过冥王星，成为首个探测这颗遥远天体的人类探测器。

冥王星首张高清照也随之发布。

读图，回答1-3题。

1.与图文材料相关叙述正确的是A.“新视野”号探测器现已飞离太阳系B.冥王星是八大行星之一C,图中包含两级天体系统D.冥王星与其他行星绕日公转特征完全相同2.除了地球外，冥王星和太阳系其他行星不可能存在生命的原因是A.没有昼夜现象B.难以获取太阳辐射C.缺少卫星的环绕D.缺少液态的水和适于生物呼吸的大气3.“新视野”号探侧器近距离飞过冥王星时A.开普敦区时(东一区)为7月14日11时49分B.纽约(74°W)正值早晨C.地球上新的一天和旧的一天范围相当D.东京(约140°E)和莫斯科(约38°E)日期不同利用太阳能发电的最佳方式是光伏转换，就是利用太阳光照射到硅材料上产生电流直接发电。

下图示意屋顶太阳能发电站。

读图完成4-5题。

4.青藏高原地区太阳能资源丰富的主要原因是A.纬度低，太阳高度角大B.海拔高,距太阳近C.海拔高,大气对太阳辐射的削弱作用弱B.深居内陆，晴朗天气多5.利用楼顶平顶自建光伏发电站，电池板与楼顶倾角最小的城市是A.乌鲁木齐B.武汉C.济南D.北京据国家空间天气监测预警中心检测显示，太阳活动于2015年3月15日10时13分爆发了1次超级耀斑，并伴随一个朝向地球的日冕物质抛射事件。

强太阳风暴给地球带来的影响很可能是“多米诺骨牌式”的，其影响力将渗透到现代社会的每一个方面，读下图，回答6-7题。

6.读太阳外部结构示意图可知，到达地球的带电拉子流来自图中的A.A处和B处B.A处和C处C. B处D.C处7.关于这次太阳活动的影响.说法错误的是A.极光爆发强烈，覆盖面积大B.引起强烈的“磁暴",指南针不能正确指示方向C.电离层出现不同程度的强烈扰动D.对卫星和GPS定位系统不会产生任何影响读图阴影部分表示黑夜，回答8-10题。

湖南省师范大学附属中学2016届高三上学期月考（三）理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{1,2,3,5,7}A =，{|26}B x N x =∈<≤，全集U A B =，则()U A C B =（ ）A ．{1,2,7}B ．{1,7}C ．{2,3,7}D ．{2,7}【答案】A 【解析】试题分析：由题设知，{3,4,5,6}B =，{1,2,3,4,5,6,7}U =，则{1,2,7}U C B =．所以(){1,2,7}U A C B =I ，故正确答案为A ． 考点：集合的运算．2.已知复数(cos sin )(1)z i i θθ=-+，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是（ ） A ．4πθ=B ．2πθ=C ．34πθ=D ．54πθ=【答案】C 【解析】试题分析：因为(cos sin )(cos sin )z i θθθθ=++-，则当34πθ=时，z =为纯虚数，选C ．考点：1、纯虚数的概念；2、三角函数运算．3.已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是（ ） A ．5个 B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B 【解析】试题分析：由正视图和侧视图可知，几何体可以为圆柱挖去一个小圆柱、圆柱挖去正方体，正方体挖去圆柱、正方体挖去直三棱柱，所以图①②③⑤都可作俯视图，图④不能，选B ． 考点：三视图．4.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如程序框图所示．例如：明文(1,2,3,4)对应的密文是(5,7,18,16)．则当接收方收到密文(14,9,23,28)时，解密得到的明文是（）A．(4,6,1,7)B．(7,6,1,4)C．(6,4,1,7)D．(1,6,4,7)【答案】C【解析】试题分析：由加密规则，得1426924232312847a b ab c bc d cd d=+=⎧⎧⎪⎪=+=⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪⎪⎪==⎩⎩，选C．考点：1、算法流程图；2、新定义问题．5.已知实数,x y满足约束条件220yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11yzx-=+的取值范围是（）A．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】试题分析：如图，11yzx-=+表示可行域内的动点(,)P x y与定点(1,1)A-连线的斜率．由图可知，1AB APk k ≤<，即112z -≤<，选D ．考点：线性规划问题．6.已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，且当[)0,2x ∈时，()31x f x =-， 则(2015)f 的值为（ ） A ．2- B ．0C ．2D ．8【答案】A 【解析】试题分析：由已知，(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数．所以(2015)(3)(1)2f f f ==-=-，选A ． 考点：1、函数的周期性；2、函数求值．7.设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若2FA AB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】试题分析：设点(,0)F c ，(0,)B b ，由2FA AB =，得2()OA OF OB OA -=-，即1(2)3OA OF OB =+，所以点2(,)33c b A ．因为点A 在渐近线b y x a =上，则233b b ca =⋅，即2e =，选D ． 考点：1、向量的运算；2、离心率的求法．8.现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是（ ） A ．12 B ．24C ．36D ．48【答案】B 【解析】试题分析：第一步，2个男生站两端，有22A 种站法；第二步，3个女生站中间，有33A 种站法；第三步，老师站中间女生的左边或右边，有12A 种站法．据分步乘法计数原理，共有23123224A A A ⋅⋅=种站法，选B ． 考点：排列组合．9.已知函数2()2f x x x m =-+，在区间[2,4]-上随机取一个实数x ，若事件“()0f x <”发生的概率为23，则m 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】D 【解析】试题分析：设不等式()0f x <的解围12x x x <<，因为区间[2,4]-的长度为6，则12||263x x -=，即12||4x x -=．又函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则11x =-，23x =，所以123m x x ==-，选D ．考点：1、函数的性质；2、概率．10.已知数列{}n a 的首项12a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ） A ．92 B ．102C ．112D ．122【答案】C 【解析】试题分析：由已知，322121211220122012a a a a a b b b a a a a =⋅==L L ．因为{}n b 为等比数列，则101012201011()2b b b b b ==L ，所以1121122022a b b b ==，选C ．考点：1、等比数列的性质；2、通项的求法．11.设点A 、B 、C 为球O 的球面上三点，O 为球心，若球O 的表面积为100π，且ABC ∆是边长为的正三角形，则三棱锥O ABC -的体积为（ ） A ．12 B．C．D．【答案】B 【解析】试题分析：设球O 的半径为R ，过点A 、B 、C 的截面圆半径为r ，球心O 到平面ABC 的距离为h ．由已知，24100R ππ=，则5R =．在ABC ∆中，由正弦定理，得28r ==，则4r =．所以3h ==，2111sin 603332ABC V S h ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=B ．考点：1、空间几何体；2、正弦定理．【思路点晴】本题考查的是球的表面积公式、三棱锥体积的求法、正弦定理等的综合应用，属于中档题； 先根据球的表面积求出球的半径，再根据正弦定理2sin aR A=得到三角形的外接圆的半径；球的半径、外接圆的半径、球心到三角形的高这三线组成直角三角形，由勾股定理可得高的值，由锥体体积公式可求得最终的结果．12.已知Rt AOB ∆的面积为1，O 为直角顶点．设向量OA a OA=，OB b OB=，2OP a b =+，则PA PB ⋅的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】试题分析：以O 为原点，直线OA 为x 轴建立直角坐标系．由已知2OA OB ⋅=，设(0)OA t t =>，则点2(,0),(0,)A t B t ，(1,0)a =，(0,1)b =，(1,2)OP =．从而(1,2)PA t =--，2(1,2)PB t =--．所以2412(2)5()51PA PB t t t t ⋅=---=-+≤-=，当且仅当2t =时取等号；所以PA PB ⋅的最大值为1，选A ．考点：1、向量的坐标运算；2、向量的数量积．【易错点晴】本题考查的是向量的坐标运算、向量的数量积以及最值的求法，属于难题；本题关键是由直角三角形先建立直角坐标系，在坐标系中表示出点A 、B 的坐标，从而表示出向量的坐标(1,2)PA t =--，2(1,2)PB t =--，根据向量的数量积运算，得到PA PB ⋅的值，再根据基本不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在ABC ∆中，已知3cos 5A =，5cos 13B =，3AC =，则AB = ． 【答案】4213【解析】试题分析：由已知，4sin 5A =，12sin 13B =，则56sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=．由正弦定理，得sin 42sin 13AC C AB B ==. 考点：1、三角函数；2、正弦定理．14.设点P 在直线21y x =+上运动，过点P 作圆22(2)1x y -+=的切线，切点为A ，则切线长||PA 的最小值是 ． 【答案】2 【解析】试题分析：圆心(2,0)C 到直线210x y -+=的距离d =，所以||2PA =≥=. 考点：1、圆的标准方程；2、点到直线的距离． 15.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且111010a a +<．若n S 存在最大值，则满足0n S >的n 的最大值为 ． 【答案】19 【解析】试题分析：因为n S 有最大值，则数列{}n a 单调递减．又11101a a <-，则100a >，110a <，且10110a a +<． 所以1191910191902a a S a +=⨯=>，1202010112010()02a aS a a +=⨯=+<，故n 的最大值为19.考点：1、等差数列；2、等差数列的前n 项和．【思路点晴】本题考查的是等差数列的性质、前n 项和最大值问题；解题的关键是由已知11101a a <-及它们的前n 项和有最大值，灵活运用等差数列性质和前n 项和的公式得到1191020a a a +=>，12011100a a a a +=+<是解决本题的关键点，本题属于中档题．16.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()|2|f x a x a =--，其中0a >为常数．若函数[]()y f f x =有10个零点，则a 的取值范围是 ． 【答案】(1,3) 【解析】试题分析：当0x ≥时，令()0f x =，得|2|1x -=，即1x =或3．因为()f x 是偶函数，则()f x 的零点为1x =±和3±．令[()]0f f x =，则()1f x =±或()3f x =±．因为函数[()]y f f x =有10个零点，则函数()y f x =的图象与直线1y =±和3y =±共有10个交点． 由图可知，13a <<.考点：1、函数的性质；2、零点问题；3、数形结合思想．【思路点晴】本题考查函数的奇偶性、函数和方程的零点，属于难题；很多同学看到10个零点就觉得无从下笔，碰到不熟悉的题目一定不要急，从已知条件一步一步分析；由0x ≥时，令()0f x =，得函数的零点为1x =或3；函数[()]y f f x =有10个零点，等价于函数()y f x =的图象与直线1y =±和3y =±共有10个交点，画出函数的图象，数形结合思想是解决此题的关键．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题10分）已知函数2()sin cos )cos f x x x x x ωωωωλ=+--的图象关于直线x π=对称，其中,ωλ为常数，且1,12ω⎛⎫∈⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若存在030,5x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使0()0f x =，求λ的取值范围． 【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为65π；（2）λ的取值范围是[1,2]-．【解析】试题分析：（1）化简函数得()2cos 22sin(2)6f x x x x πωωλωλ=--=--，因为()f x 的图象关于直线x π=对称，则262k ππωππ-=+，又1(,1)2ω∈，则1k =，56ω=；所以()f x 的最小正周期65π．（2）令()0f x =，则52sin()36πλπ=-；由305x π≤≤，得15sin()1236x π-≤-≤；所以方程52sin()36x πλ=-在3[0,]5π内有解，λ的取值范围是[1,2]-．考点：1、函数的周期性；2、对称性．18.（本小题12分） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽界限，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~70微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的 2.5PM 监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如下茎叶图所示．（1）根据样本数据估计今年9月份该市区每天 2.5PM 的平均值和方差；（2）从所抽样的6天中任意抽取三天，记ξ表示抽取的三天中空气质量为二级的天数，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）估计今年9月份该市区每天 2.5PM 的平均值为41微克/立方米，方差为137； 数学期望为2．（2）ξ的分布列为，试题解析：（1）因为263036445060246+++++=，则246416x ==．…………………………（2分）222222(2641)(3041)(3641)(4441)(5041)(6041)822-+-+-+-+-+-=，则28221376s ==………………………………………………………………………………………（5分）估计今年9月该市区每天 2.5PM 的平均值为41微克/立方米，方差为137．………………………（6分）（2）从茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则ξ的可能取值为1，2，3．………………………………………………………………………………（7分）其中1242361(1)5C C P C ξ⋅===，2142363(2)5C C P C ξ⋅===，34361(3)5C P C ξ===．…………………（10分）所以ξ的分布列为1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=………………………………………………………………………（12分）考点：1、茎叶图；2、平均数和方差；3、分布列和数学期望．19.（本小题12分）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB AD =，60BAD ∠=，E 为AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 折起到PDE ∆的位置，使平面PDE ⊥平面BCDE ．（1）证明：CE ⊥PD ；（2）设F 、M 分别为PC 、DE 的中点，求直线MF 与平面PDE 所成的角． 【答案】（1）证明过程详见试题解析； （2）直线MF 与平面PDE 所成的角为60．解法二：如图，以E 为原点，直线EC 为x 轴，直线ED 为y 轴，建立空间直角坐标系．…………（7分）由已知，PDE ∆为正三角形，则PM ED ⊥．又平面PDE ⊥平面BCDE ，则PM ⊥平面BCDE ． 设2AD =，则1EM =，PM =，23CE ==．所以点(0,1,0)M，P ，C ．………………………………………………………（9分） 因为F 为PC的中点，则点12F，所以13,2MF ⎛=- ．………………………（10分） 由（1）知，CE ⊥平面PDE ，则(1,0,0)n =为平面PDE 的法向量．设直线MF 与平面PDE 所成的角为θ，则3sin cos ,||||MF n MF n MF n θ⋅===，得60θ=．故直线MF 与平面PDE 所成的角为60．…………………………………………………………（12分） 考点：1、线面垂直的判定定理；2、异面直线所成的角．20.（本小题12分）如图，已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，椭圆2C 的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲线1C 和2C 在第一象限的交点，且5||2MF =．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）设,A B 为抛物线1C 上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y x =上，(3,2)P 为定点，求PAB ∆面积的最大值．【答案】（1）椭圆2C 的标准方程为22198x y +=； （2）PAB ∆面积的最大值为．（2）设点(,)D m m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211224,4y x y x ==． 两式相减，得2212124()y y x x -=-，即1212124y y x x y y -=-+．因为D 为线段AB 的中点，则122y y m +=． 所以直线AB 的斜率124422k y y m m ===+．从而直线AB 的方程为2()y m x m m -=-，即2220x my m m -+-=．……………………………（7分） 联立222204x my m m y x ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，得222240y my m m -+-=，则21224y y m m =-．所以12|||AB y y =-==．……………（9分）设点P 到直线AB 的距离为d，则d =．所以21|||64|2PAB S AB d m m ∆==-+．………………………………………………（10分）由240m m ->，得04m <<t =，则23|6|622PAB t t t t S ∆--==(0t 2)<≤．设36()2t t f t -=(02)t <≤，则263()2t f t -'=． 由()0f t '>，得0t <<．从而()f t在上是增函数，在上是减函数，所以max ()f t f ==，故PAB ∆面积的最大值为………………………………………（12分） 考点：1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分.21.已知函数()ln(1)f x x x =-+．（1）设1()()1g x x f x x =+-+，求函数()g x 的值域；（2）设*n N ∈，曲线()y f x =在点(),()n f n 处的切线的斜率为n k ，数列{}n k 的前n 项和为n S ，试比较n S 与()f n 的大小，并说明你的理由．【答案】（1）函数()g x 的值域为[1,)+∞；（2）()n S f n >，可以用数学归纳法证明．又当x →+∞时，()g x →+∞，所以()g x 的值域是[1,)+∞．………………………………………（4分）由（1）知，当0x >时，1()ln(1)11g x x x =++>+，则1ln(1)111x x x x +>-=++．…………（10分） 令11x k =+，则1111ln 111211k k k k ⎛⎫++>= ⎪++⎝⎭++，即21ln 12k k k +>++， 即1ln(2)ln(1)2k k k +>+++，所以1111ln(2)2312k k k +>++++++， 即当1n k =+时，1(1)k S f k +>+．综合（1）（2）知，()nS f n >．………………………………（12分） 证法二：由（1）知，当0x >时，1()ln(1)11g x x x =++>+，即1ln(1)111x x x x +>-=++．……（8分）令1x n =，则111ln 1111n n n n ⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，即11ln 1n n n +>+，即1ln(1)ln 1n n n +->+．………（10分）考点：1、函数的单调性；2、数学归纳法．【思路点晴】本题考查的是函数的单调性、两个数比较大小的方法，属于难题；先求出函数()g x的导函数，由()g x的导函数与0的关系，得到函数的单调性，进而求出函数的值域；第二问属于探究性问题，可以先猜想结论，再用数学归纳法来证明；或者直接用定积分求出面积，采用数形结合的数学思想，这样更直观、更形象．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．（1）求证：2PM PA PC =⋅；（2）若O的半径为OA =，求MN 的长．【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）MN 的长为2．考点：1、相交弦定理；2、切割线定理．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线12cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:cos 4C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线3:2sin C ρθ=． （1）求曲线1C 与2C 的交点M 的直角坐标；（2）设点A 、B 分别为曲线2C 、3C 上的动点，求||AB 的最小值．【答案】（1）点M 的直角坐标为(1,0)-；（2）||AB1-．（2）由2sin ρθ=，得曲线3C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，即22(1)1x y +-=．…………（7分）则曲线3C 的圆心(0,1)到直线10x y ++=的距离为d ==．…………………………（9分） 因为圆3C 的半径为1，所以min ||1AB =-．………………………………………………………（10分）考点：1、参数方程与普通方程的转换；2、极坐标方程与直角坐标方程的转换．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-，其中a 为实常数．（1）若函数()f x 的最小值为3，求a 的值；（2）若当[]1,2x ∈时，不等式()|4|f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）a 的值为1或-5；（2）a 的取值范围是[3,0]-．【解析】试题分析：（1）因为()|||2||()(2)||2|f x x a x x a x a=++-≥+--=+，则min()|2|f x a=+；令|2|3a+=，考点：1、绝对值不等式；2、最值问题．高考一轮复习：。

某某师大附中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，则集合Q不可能是（）A．{y|y=x2} B．{y|y=2x} C．{y|y=lgx} D．∅2．（5分）函数的图象（）A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称3．（5分）下列结论中错误的是（）A．设命题p：∃x∈R，使x2+x+2＜0，则￢P：∀x∈R，都有x2+x+2≥0B．若x，y∈R，则“x=y”是“xy≤（）2取到等号”的充要条件C．已知命题p和q，若p∧q为假命题，则命题p与q都为假命题D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为真命题4．（5分）执行图题实数的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为（）A．44 B．16 C．256 D．log3165．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）（A＜0，ω＞0，|φ|≤）图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的焦点为F1、F2，渐近线为l1，l2，过点F2且与l1平行的直线交l2于M，若M在以线段F1 F2为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．7．（5分）已知、、均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是（）A．2+2B．2+C．3+D．1+28．（5分）某市政府调查市民收入增减与旅游欲望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现K2=6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入培养与旅游欲望有关系的可信程度是（）P（K2≥k）…0.25 0.15 0.10 0.025 0.010 0.005 …k … 1.323 2.072 2.706 5.024 6.635 7.879 …A．90% B．95% C．97.5% D．99.5%9．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）10．（5分）若存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），a n+1=，关于下列命题：①当m=时，a5=2②若m=，则数列{a n}是周期为3的数列；③对若a2=4，则m可以取3个不同的值；④∃m∈Q且m∈[4，5]，使得数列{a n}是周期为6．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=．12．（5分）已知二项式（ax+）3展开式中各项的系数和为64，则a=．13．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=2，E为AB的中点，则四面体P﹣BCE的体积为．14．（5分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，则q的值为．15．（5分）已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t 的取值X围．三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）某学校为准备参加市运动会，对本校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm）．跳高成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下定义为“不合格”．（1）如果从所有运动员中用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共10人，问就抽取“合格”人数是多少？（2）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X表示所选运动员来自2014-2015学年高一队的人数，试写出X的分布图，并求X的数学期望．17．（12分）在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，设函数f（x）=sin2x+cos2x，且f（）=2．（1）若acosB+bcosA=csinC，求角B的大小；（2）记g（λ）=|+λ|，若||=||=3，试求g（λ）的最小值．18．（12分）如图所示，四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC与BD 交于点O，OA=3，OD=1，CD=，SO⊥底面ABCD．（1）求证：SA⊥BD；（2）若四棱锥S﹣ABCD的体积V=8，求二面角A﹣SB﹣C的平面角的正弦值．19．（13分）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列（n∈N*）（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4；由此归纳出{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论．（2）若=log2（），S n=c1+c2+…+，试问是否存在正整数m，使S m≥5，若存在，求最小的正整数m．20．（13分）如图所示，已知椭圆C1：+=1，C2：+=1（a＞b＞0）有相同的离心率，F（﹣，0）为椭圆C1的左焦点，过点F的直线l与C1、C2依次交于A、C、D、B四点．（1）求椭圆C2的方程；（2）求证：无论直线l的倾斜角如何变化恒有|AC|=|DB|；（3）若|AC|=1，求直线l的斜率．21．（13分）已知函数f（x）=alnx+，g（x）=x+lnx，其中a＞0，且x∈（0，+∞）．（1）若a=1，求f（x）的最小值；（2）若对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，某某数a的取值X围；（3）已知数列{a n}满足：a1∈[1，2]，且对任意正整数n，有a n+1=a n+2n+2，求证：++…+≤．某某师大附中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，则集合Q不可能是（）A．{y|y=x2} B．{y|y=2x} C．{y|y=lgx} D．∅考点：对数函数的值域与最值．专题：计算题．分析：先根据P∩Q=Q可得Q⊆P，然后分别求出选项的值域，进行判定即可．解答：解：∵P∩Q=Q∴Q⊆P选项A，Q={y|y≥0}=P，满足Q⊆P选项B，Q={y|y＞0}，满足Q⊆P选项C，Q={y|y=lgx}=R，不满足Q⊆P选项D，Q=∅，满足Q⊆P故选C．点评：本题主要考查了二次函数、指数函数、对数函数的值域，同时考查了集合的交集，属于基础题．2．（5分）函数的图象（）A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称考点：奇偶函数图象的对称性．专题：计算题．分析：题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，解答：解：，∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称故选D．点评：考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．3．（5分）下列结论中错误的是（）A．设命题p：∃x∈R，使x2+x+2＜0，则￢P：∀x∈R，都有x2+x+2≥0B．若x，y∈R，则“x=y”是“xy≤（）2取到等号”的充要条件C．已知命题p和q，若p∧q为假命题，则命题p与q都为假命题D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为真命题考点：特称命题；复合命题的真假．专题：综合题．分析：A写出命题p的否定￢P即可判断正误；B判断充分性与必要性是否成立；C根据复合命题的真假性判断即可；D根据△ABC中，A＞B⇔sinA＞sinB，即可判断正误．解答：解：对于A，命题p：∃x∈R，使x2+x+2＜0，它的否定￢P：∀x∈R，都有x2+x+2≥0，是正确的；对于B，若x，y∈R，则“x=y”时，“xy≤（）2取到等号”，当“xy≤（）2取到等号时”，“x=y”成立，∴是充要条件，命题正确；对于C，当命题p∧q为假命题时，命题p、q有1个为假命题，或者都是假命题，∴命题C错误；对于D，“在△ABC中，A＞B⇔sinA＞sinB”，∴原命题的逆命题是真命题，是正确的．故选：C．点评：本题通过命题真假的判断，考查了四种命题之间的关系，充分与必要条件的应用问题，复合命题的真假性以及解三角形的知识，是基础题．4．（5分）执行图题实数的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为（）A．44 B．16 C．256 D．log316考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图，依次运行，直到满足条件即可得到结论．解答：解：若a=2，则log3a=log32＞4不成立，则a=22=4，若a=4，则log3a=log34＞4不成立，则a=42=16，若a=16，则log3a=log316＞4不成立，则a=162=256若a=256，则log3a=log3256＞4成立，输出a=256，故选：C点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序直接运行判断即可得到结论．5．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）（A＜0，ω＞0，|φ|≤）图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．解答：解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．点评：本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识，属于基础题题．根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求φ．三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的6．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的焦点为F1、F2，渐近线为l1，l2，过点F2且与l1平行的直线交l2于M，若M在以线段F1 F2为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：已知得出过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线方程，与另一条渐近线方程联立即可解得交点M的坐标，代入以线段F1F2为直径的圆的方程，即可得出离心率e．解答：解：不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=，与y=﹣联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆上，∴=c2，∴b=a，∴c==2a，∴e==2．故选：A．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，熟练掌握双曲线的渐近线及离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键．7．（5分）已知、、均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是（）A．2+2B．2+C．3+D．1+2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先将已知等式展开，得到（++）•（+）=2+•（2+），再利用向量的数量积转为关于向量夹角的式子，求最值．解答：解：∵、、均为单位向量，且满足•=0，∴（++）•（+）=++2++=2+•（2+）=2+||•|2|cos＜，2＞=2+cos＜，2＞，∴当cos＜，2＞=1时，（++）•（+）的最大值是 2+．故选B．点评：本题考查了向量的数量积的定义以及运用，当向量的夹角为0°时，数量积最大．8．（5分）某市政府调查市民收入增减与旅游欲望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现K2=6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入培养与旅游欲望有关系的可信程度是（）P（K2≥k）…0.25 0.15 0.10 0.025 0.010 0.005 …k … 1.323 2.072 2.706 5.024 6.635 7.879 …A．90% B．95% C．97.5% D．99.5%考点：独立性检验的应用．专题：计算题；应用题．分析：根据所给的这组数据的观测值，把观测值同临界值进行比较，6.023＞5.024，得到市民收入培养与旅游欲望有关系的可信程度是1﹣0.025．解答：解：∵做出K2=6.023，6.023＞5.024，∴市民收入培养与旅游欲望有关系的可信程度是1﹣0.025=97.5%，故选C．点评：本题考查独立性检验，本题不用自己运算，只要把所给的事件和所给的表格进行检验即可，注意临界值表中得到的概率与可信度之间的关系．9．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．10．（5分）若存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），a n+1=，关于下列命题：①当m=时，a5=2②若m=，则数列{a n}是周期为3的数列；③对若a2=4，则m可以取3个不同的值；④∃m∈Q且m∈[4，5]，使得数列{a n}是周期为6．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：①，当m=时，分别求得a2、a3、a4、a5、即可判断①；②，若m=，可求得a2、a3、a4，从而可判断②；③，若a2=4，依题意得或，可求得，a1=5或，又a1=m，从而可判断③；④，分m=4或5与m∈（4，5）讨论，可判断④．解答：解：对于①，当m=﹣时，a2=，a3=，a4=3，a5=2，故①为真；对于②，当m=时，a2=﹣1，a3=+1，a4==a1，故②为真；对于③，由题意得或，∵a2=4，∴a1=5或，又a1=m，∴m=5或，故③假；对于④，当m=4或5时，显然数列{a n}不是周期数列，当m∈（4，5）时，要使数列{a n}是周期数列，必须a7=a1，由a2=m﹣1，a3=m﹣2，a4=m﹣3，a5=m﹣4，a6=，a7=﹣1，即﹣1=m，此时m∉Q，故④为假命题，故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查数列的递推关系的理解与应用，考查函数的周期性与解方程的能力，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=2．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：画正态曲线图，由对称性得c﹣1与c+1的中点是2，由中点坐标公式得到c的值．解答：解：∵N（2，32）⇒，，∴，解得c=2，故答案为：2．点评：本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：（1）正态曲线关于直线x=μ对称；（2）在正态曲线下方和x轴上方X围内的区域面积为1．12．（5分）已知二项式（ax+）3展开式中各项的系数和为64，则a=3．考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：令x=1可得二项式开式中各项的系数和为（a+1）3=64，由此求得a的值．解答：解：令x=1可得二项式（ax+）3展开式中各项的系数和为（a+1）3=64，求得a=3，故答案为：3．点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．13．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=2，E为AB的中点，则四面体P﹣BCE的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：根据四棱锥的特点求出三角形BCE的面积，即可根据锥体的体积公式计算体积．解答：解：∵侧棱PA⊥底面ABCD，∴PA是四面体P﹣BCE的高，∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴AB=BC=2，∠EBC=120°，∵E为AB的中点，∴BE=1，∴三角形BCE的面积S=，∴四面体P﹣BCE的体积为，故答案为：．点评：本题主要考查三棱锥的体积的计算，利用条件求出三棱锥的底面积和高是解决本题的关键，要求熟练掌握锥体的体积公式．14．（5分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，则q的值为﹣2．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：首先由S n+1，S n，S n+2成等差数列，可得2S n=S n+1+S n+2，然后利用等比数列的求和公式分别表示S n+1，S n，S n+2，注意分q=1和q≠1两种情况讨论，解方程即可．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且S n+1，S n，S n+2成等差数列，则2S n=S n+1+S n+2，若q=1，则S n=na1，式显然不成立，若q≠1，则为，故2q n=q n+1+q n+2，即q2+q﹣2=0，因此q=﹣2．故答案为﹣2．点评：涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类讨论．15．（5分）已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t 的取值X围．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=|xe x|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值X围．解答：解：f（x）=|xe x|=当x≥0时，f′（x）=e x+xe x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x|在（﹣∞，0）上有一个最大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即，解得：t＜﹣．所以，使得函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值X围是．故答案为．点评：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题．三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）某学校为准备参加市运动会，对本校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm）．跳高成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下定义为“不合格”．（1）如果从所有运动员中用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共10人，问就抽取“合格”人数是多少？（2）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X表示所选运动员来自2014-2015学年高一队的人数，试写出X的分布图，并求X的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（1）运用分层抽样求解．（2）先确定X的值为：0，1，2．再求P（X=0），P（X=1），P（X=2）列出概率分布，求出数学期望．解答：解：（1）根据茎叶图可得：“合格”的人数有12，“不合格”人数有18，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是=，所以抽取“合格”人数是12×=4（2）以题意得：X的值为：0，1，2．则P（X=0）===，P（X=1）===，P（X=2）===X的分布：X 0 1 2PX的数学期望：0×==点评：本题考察了统计知识，茎叶图，离散型的数学期望，属于中档题．17．（12分）在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，设函数f（x）=sin2x+cos2x，且f（）=2．（1）若acosB+bcosA=csinC，求角B的大小；（2）记g（λ）=|+λ|，若||=||=3，试求g（λ）的最小值．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）由两角和的正弦公式，即可化简f（x），再由f（）=2，即可得到A，再由正弦定理，即可化简acosB+bcosA=csinC，求出sinC，得到C，从而得到B；（2）运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，代入数据，得到g（λ）的表达式，配方即可得到最小值．解答：解：（1）函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），且f（）=2，即有sin（A）=1，A为三角形的内角，则A=﹣=，又acosB+bcosA=csinC，由正弦定理，得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，即有sin（A+B）=sinC=sin2C，即有sinC=1，C为三角形的内角，即有C=，则B=π﹣A﹣C=；（2）||2=||2+λ2||2+2λ||||，而||=||=3，A=，则||==3，则当时，g（λ）取得最小值．点评：本题考查三角函数的求值和正弦定理及运用，考查平面向量的数量积及性质，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）如图所示，四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC与BD 交于点O，OA=3，OD=1，CD=，SO⊥底面ABCD．（1）求证：SA⊥BD；（2）若四棱锥S﹣ABCD的体积V=8，求二面角A﹣SB﹣C的平面角的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知条件推导出OC⊥OD，AC⊥BD，从而BD⊥SO，进而BD⊥平面SOA，由此能证明SA⊥BD．（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SB﹣C的平面角的正弦值．解答：（1）证明：∵OD=1，底面ABCD这等腰梯形，∴OC=1，又CD=，∴OC⊥OD，∴AC⊥BD，又SO⊥底面ABCD，∴BD⊥SO，∵AC∩SO=0，∴BD⊥平面SOA，∴SA⊥BD．（2）∵底面ABCD为等腰梯形，且AC⊥BD，∴梯形ABCD的面积S=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积V=8=，解得SO=3．建立空间直角坐标系，如图所示，则O（0，0，0），A（3，0，0），B（0，3，0），C（﹣1，0，0），S（0，0，3），∴=（3，0，﹣3），=（0，3，﹣3），=（﹣1，0，﹣3），令平面SAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），设平面SBC的法向量=（x1，y1，z1），则，解得=（﹣3，1，1），设二面角A﹣SB﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．点评：本题考查异面直线的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（13分）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列（n∈N*）（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4；由此归纳出{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论．（2）若=log2（），S n=c1+c2+…+，试问是否存在正整数m，使S m≥5，若存在，求最小的正整数m．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列．分析：（1）由题意，2b n=a n+a n+1，a2n+1=b n b n+1，从而写出a2，a3，a4及b2，b3，b4；利用数学归纳法证明通项公式；（2）由题意，=log2（）=log2，化简S n=c1+c2+…+=log2+log2+…+log2=log2（n+1），从而求m．解答：解：（1）由条件可得，2b n=a n+a n+1，a2n+1=b n b n+1，则由a1=2，b1=4，可得，a2=6，a3=12，a4=20；b2=9，b3=16，b4=25；猜想：a n=n（n+1），b n=（n+1）2；证明如下：①当n=1时，结论成立；②假设当n=k时成立，即a k=k（k+1），b k=（k+1）2；则当n=k+1时，a k+1=2b k﹣a k=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+2）（k+1），b k+1=a2k+1÷b k=（k+2）2（k+1）2÷（k+1）2=（k+2）2；故a n=n（n+1），b n=（n+1）2对一切正整数n都成立．（2）∵=log2（）=log2，∴S n=c1+c2+…+=log2+log2+…+log2=log2（n+1），则S m≥5可化为log2（m+1）≥5，则m≥31，故存在正整数m，且最小的正整数m为31．点评：本题考查了合情推理及数学归纳法，同时考查了对数运算及数列的通项公式的求法，属于中档题．20．（13分）如图所示，已知椭圆C1：+=1，C2：+=1（a＞b＞0）有相同的离心率，F（﹣，0）为椭圆C1的左焦点，过点F的直线l与C1、C2依次交于A、C、D、B四点．（1）求椭圆C2的方程；（2）求证：无论直线l的倾斜角如何变化恒有|AC|=|DB|；（3）若|AC|=1，求直线l的斜率．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求得椭圆C1的离心率，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆椭圆C2的方程；（2）当直线l垂直于x轴时，可得A，B，C，D的坐标，计算即可得到|AC|=|BD|；当l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，再由中点坐标即可得到|AC|=|BD|；（3）若|AC|=1，由（2）得，|AB|=|CD|+2，当直线l垂直于x轴时，不满足题意；当l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x），由（2）运用弦长公式，化简整理，得到8k4﹣2k2﹣1=0，解方程即可得到．解答：（1）解：椭圆C1：+=1的离心率为=，对于C2：+=1（a＞b＞0）的c=，由条件得，=，则a=2，b=1，则椭圆C2的方程为：+y2=1；（2）证明：当直线l垂直于x轴时，可得A（﹣，﹣），B（﹣，），C（﹣，﹣），D（﹣，）即有|AC|=|BD|；当l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x），由消去y，得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣10=0，由消去y，得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则x1+x2=x3+x4=﹣，即有AB，CD的中点重合，则有|AC|=|BD|．故无论直线l的倾斜角如何变化恒有|AC|=|DB|；（3）解：若|AC|=1，由（2）得，|AB|=|CD|+2，当直线l垂直于x轴时，不满足题意；当l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x），由（2）得，x1+x2=x3+x4=﹣，x1x2=，x3x4=，则|CD|===，同理，|AB|===，则有+2=，化简可得，8k4﹣2k2﹣1=0，解得k2=，则有k=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查直线方程的设法，以及化简整理的运算能力和推理能力，具有一定的运算量，属于难题．21．（13分）已知函数f（x）=alnx+，g（x）=x+lnx，其中a＞0，且x∈（0，+∞）．（1）若a=1，求f（x）的最小值；（2）若对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，某某数a的取值X围；（3）已知数列{a n}满足：a1∈[1，2]，且对任意正整数n，有a n+1=a n+2n+2，求证：++…+≤．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；（2）对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，即h（x）=f（x）﹣g（x）=（a﹣1）lnx+﹣x≤0恒成立，对a分类讨论，确定函数的单调性，即可某某数a的取值X围；（3）证明≤（1﹣），a n=n（n+1）﹣2+a1≤n（n+1），结合累加法，裂项法，即可证明结论．解答：解：（1）a=1时，f（x）=lnx+，f′（x）=，∴f′（x）＜0，可得0＜x＜1，f′（x）＞0，可得x＞1，word∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，f（x）的最小值为1；（2）对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，即h（x）=f（x）﹣g（x）=（a﹣1）lnx+﹣x≤0恒成立，∴h′（x）=﹣0＜a≤3时，△≤0，则h′（x）≤0，即h（x）在[1，+∞）上单调递减，∵h（1）=0，∴h（x）≤h（1）=0恒成立；a＞3时，x2﹣（a﹣1）x+1=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，∴x∈（x2，+∞）时，x2﹣（a﹣1）x+1＞0，则h′（x）＞0，即h（x）在（x2，+∞）上单调递增，∵h（1）=0，∴存在x∈（x2，+∞）使得h（x）＞h（1）=0，不合题意，综上，0＜a≤3；（3）由（2）知，令a=3，则对任意x≥1，有2lnx+﹣x≤0，即≤（1﹣），令x=≤1，∴≤（1﹣），∵数列{a n}满足：a1∈[1，2]，且对任意正整数n，有a n+1=a n+2n+2，∴由累加法可得a n=n（n+1）﹣2+a1≤n（n+1）∴≤1﹣≤1﹣=1﹣（﹣），累加，可得++…+≤n﹣（1﹣+﹣+…+﹣）=．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，难度大．。