解直角三角形及其应用

【知识点结构】：1．直角三角形中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，那么： （1）三边关系：222a b c +=；（2）两锐角关系：∠A ＋∠B=90°；（3）边、角关系：,a bsinA cosB cosA sinB c c ====t a n c o t ,c o t t a n a bA B A B b a====。

2．解直角三角形（1）定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

（2）解直角三角形的四种基本类型的常用解法如下表所示：cot a AB=90°－∠sin Acos A22a b +，a bb注意：在Rt △中，除直角外，再知道两个元素（其中至少有一个为边），则这个直角三角形其他元素都可求出。

3．解直角三角形的应用题中常见的有关概念：（1）仰角与俯角。

它们都是在同一铅垂面内视线和水平面的夹角，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角。

（2）坡角与坡度。

【典型精解】例1 在△ABC 中，∠C=90°，a =15，∠A=35°，求b 。

例2 （1）在△ABC 中，∠C=90°，a =3，b =4，求其他各边各角。

（2）在△ABC 中，∠C=90°，a =9，c =B 、∠A 、b 。

例3 已知，如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，D 在AC 上，且∠BDC=60°，AD=20，求BC 。

两船的距离。

例5 如图，一艘货船以30km/h的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏西30°，20min 后货船行至B处，看见灯塔C在船的北偏西60°，若货船向北继续航行，当灯塔C在船的正西方向时，灯塔与货船相距多少千米？例6 如图，水库的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB坡度i=CD坡度'1:1i=，求斜坡AB的长及坡角α及坝宽AD。

解直角三角形及其应用一、基础知识整理 1、锐角三角函数：（1）定义：在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.（2）如图,在Rt △ABC 中, ∠C 为直角,其余5个元素之间有以下关系:1)三边之间关系： （勾股定理） 2)锐角之间的关系：∠A+ ∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余) 3)边角之间的关系：注意：(a)定义是以直角三角形为条件的；没有直角三角形时作辅助线构造，或将角转化； (b)在直角三角形中，首先确定锐角，再分清这个锐角的对边和邻边，最后才是这个锐角的各个三角函数的定义．（3）互余两角的三角函数关系；若α＋β＝90o，则 sin α＝cos β；cos α＝sin β；（4）同角三角函数关系：sin 2α＋cos 2α＝12、特殊角的三角函数值：见书中表格，知道三角函数值随α的变化情况3、解直角三角形（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；（逆命题不成立） （4）勾股定理：即：在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则a 2+b 2=c 2；（5）勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三 角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若a 2+b 2=c 2，则∠C ＝90°； （6）边角关系：锐角三角函数；（7）三角形的面积计算公式：三角形的面积等于底乘高的积的一半；三角形的面积等于三角形的两边与其夹角正弦乘积的一半；二、典型例题解析【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，a=5，解这个直角三角形。

[点拨]解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角 （两个已知元素中至少有一条边）222a b c +=a sin ,cos ,tan ba bA A A c c===[练习]在Rt △ABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别是∠A,∠B, ∠C 的对边。

第26讲解直角三角形及其应用知识导航1．在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．2．直角三角形边角之间的关系：Rt△ABC中，∠C＝90°，则有：(1)a2＋b2＝c2；(2)∠A＋∠B＝90°；(3)sin A＝cos B＝ac，cos A＝sin B＝bc，tan A＝ab，tan B＝ba．3．解直角三角形实际应用时常用的概念：(1)仰角、俯角；(2)方向角；(3)坡角、坡度．【板块一】解直角三角形及实际应用方法技巧1．灵活运用边角关系求边与角；2．若所求解的直角三角形“不可直接解”，应注意设元，借助方程来解决；3．如果图形中没有直角时，要添加垂线将其转化为直角三角形求解．▶题型一可直接解直角三角形【例1】在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：(1)c＝2，∠A＝30°；(2)a＝b＝9；(3)∠A＝2∠B，c－b＝4．▶题型二“不可直接解直角三角形”——设元、借助方程求解【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，∠B＝120°，AD AB＝6，点E是边AB 上一动点，且∠DEC＝120°，求AE的长．E DCBA▶题型三 “化斜为直“解斜三角形【例3】在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，求BC 的长．▶题型四 方位角、俯角、仰角、坡角等的应用【例4】如图，一般渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A 处测得岛礁P 在东北方向上，岛礁P 正东方向上的避风港继续航行1．5小时后到达B 处，此时测得岛礁P 在北偏东30°方向，同时测得岛礁Ｐ正东方向上的避风港Ｍ在北偏东60°方向，为了在合风到来之前用最短时间到达M 处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？(结果保留根号)避风港北PABM2．当图中无直角三角形时，通过作垂线，可把问题转化为解直角三角形．【例5】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处调得真立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿同一副面的斜坡AB 行走13米至放顶B 处，然后两沿水平方向行走6米至大树脚底店D 处，涂料面AB 的城度(或坡比)＝1：2：4，那么大树CD 的高度约为多少？(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 36°≈0．59，cos 36°≈0．81，tan 36°≈0．73)ED CBA针对练习11．如图，一般海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为 40 海里．BAP2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的平分线AD ＝4，∠DAC ＝30°，解Rt △AB C ．D CBA3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，tan ∠ACB ＝2，点D 在△ABC 内部，且AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，连接BD ，若△BCD 的面积为10，求AD 的长．DCB A4．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙两座建筑物的高度AB和D C．(结果取整数)(参考数据：tan48°≈1．11，60)tan58≈1．5．为了测量竖直旗杆的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得点B，E，D在同一水平线上，如图所示。