( 数学 一)只做 I ) ( II )9’ ) 数学(一 只做 只做(
二维r.v.(X, Y)的概率分布 的概率分布; 求: (I) 二维 的概率分布 (II) X与Y的相关系数ρXY; 的相关系数ρ 与 的相关系数 (III) Z=X2+Y2的概率分布 的概率分布. 35. [08(三)三(23)11’] 设某企业生产线上产品的合格率为 设某企业生产线上产品的合格率为0.96， 三三 ， 不合格产品中只有1/4的产品可以再加工 的产品可以再加工， 不合格产品中只有 的产品可以再加工，且再加工的合格率为 0.8，其余均为废品 已知每件合格产品可获利 元，每件废品 ，其余均为废品. 已知每件合格产品可获利80元 亏损20元 为保证该企业每天平均利润不低于2万元 万元， 亏损 元，为保证该企业每天平均利润不低于 万元，问该企 业每天至少应生产多少件产品？ 业每天至少应生产多少件产品？
x 1 cos , 0 ≤ x ≤ π 29. [2002(一)十一 设 X ~ f ( x ) = 2 十一7’] 一 十一 2 0, 其它
对X独立地重复观察 次, 用Y表示观测值大于π/3的次数 求Y2 独立地重复观察4次 表示观测值大于π 的次数, 独立地重复观察 表示观测值大于 的次数 的数学期望. 的数学期望 X 30. [2002(三)一(4)] 设(X, Y)~ 三一 0 1 Y 0 1 −1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 .
(C) E(X2)=E(Y2) (D) E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2
21. [2000(一)十二 某生产线上每个产品不合格的概率为 十二8’] 一 十二 某生产线上每个产品不合格的概率为p (0<p<1), 各产品合格与否相互独立 当出现一个不合格产品 各产品合格与否相互独立, 当出现一个不合格产品 时即停机检修. 时即停机检修 设开机后第一次停机时已生产了的产品数为 X, 求E(X)和D(X). 和 22. [2000(三)(四)十二 设A, B是二随机事件 r.v. 十二8’] 是二随机事件, 三 四 十二 是二随机事件
25. [2001(一)一(5)] 设r.v.X的方差为 则根据切比雪夫不等式 的方差为2, 一一 的方差为 有估计P{ − 有估计 |X−E(x)| ≥ 2} ≤ . 26. [2001(三)一(4)] 设r.v.X和Y的数学期望分别是−2和2, 方差 的数学期望分别是− 三一 和 的数学期望分别是 和 分别是1和 而相关系数为− 分别是 和4, 而相关系数为−0.5, 则根据切比雪夫不等式 P{|X+Y| ≥ 6} ≤ . 27. [2001(四)一(5)] 设r.v.X和Y的数学期望都是 方差分别是 四一 和 的数学期望都是2, 的数学期望都是 1和4, 而相关系数为 和 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式 P{|X−Y| ≥ 6} − ≤ . 28. [2001(四)十二 设r.v.X和Y的联合分布在以点 1), (1, 十二8’] 的联合分布在以点(0, 四 十二 和 的联合分布在以点 0), (1, 1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布 试求 为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 为顶点的三角形区域上服从均匀分布 试求r.v. U=X+Y的方差 的方差. 的方差
随机变量的数字特征(II) 第五讲 随机变量的数字特征(II)
例题精解之二 [II] 例题精解之二
16. [99(四)一(5)] 已知 已知r.v. X~P(λ), 且已知 四一 λ 且已知E[(X−1)(X−2)]=1, − − . 则λ= 17. [99(四)二(5)] 设r.v. X和Y的方差存在且不等于 则 的方差存在且不等于0, 四二 和 的方差存在且不等于 D(X+Y)=DX+DY 是X与Y 与 (A) 不相关的充分条件 但不是必要条件 不相关的充分条件, 但不是必要条件; (B) 独立的充分条件 但不是必要条件 独立的充分条件, 但不是必要条件; (C)不相关的充分必要条件 (D) 独立的充分必要条件 [ 不相关的充分必要条件; 独立的充分必要条件. 不相关的充分必要条件
1, 若X > 0, Y = 0, 若X = 0, 则方差 则方差DY= − 1, 若X < 0.
Hale Waihona Puke .20. [2000(三)(四)二(5)] 设二维 设二维r.v.(X, Y)服从二维正态分布 则 服从二维正态分布, 三 四二 服从二维正态分布 r.v.ξ=X+Y与η=X−Y不相关的充分必要条件为 ξ 与 − 不相关的充分必要条件为 (A) E(X)=E(Y) (B) E(X2)−[E(X)]2=E(Y2)−[E(Y)]2 − − [ ]
33. [2003(四)十二 十二13’] 对于任意两事件 和B, 0<P(A)<1, 对于任意两事件A和 四 十二 0<P(B)<1,
ρ=
P ( AB ) − P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B ) P ( A ) P ( B )
称做事件A和 的相关系数 的相关系数. 称做事件 和B的相关系数 (1) 证明事件 和B独立⇔ρ 证明事件A和 独立⇔ρ=0; 独立⇔ρ (2) 利用 相关系数的基本性质 证明ρ ≤ 1. 利用r.v.相关系数的基本性质 证明ρ 相关系数的基本性质,
34. [04(一)(三)(四)三(22)13’] 设A, B为两个随机事件 且 一 三 四三 为两个随机事件, 为两个随机事件 P(A)=1/4, P(B|A)=1/3, P(A|B)=1/2, 令
1, X = 0,
A发生 , A不发生 ,
B发生 , 1, Y = 0, B不发生 .
]
18. [06(三) (四)一4’] 设r.v. X和Y分别服从正态分布 µ1, σ12) 分别服从正态分布N( 三 四一 和 分别服从正态分布 和N(µ2, σ22), 且 P{|X− µ1| < 1} > P{|Y− µ2| < 1}, − − 则必有 (A) σ1 < σ2; (B) σ1 > σ2; (C) µ1 < µ2; (D) µ1 > µ2. 19. [2000(三)(四)一5‘] 三 四一 设r.v. X~U[−1, 2]; r.v. − [ ]
24. [2000(四)十一 设二维 十一8’] 四 十一 设二维r.v.(X, Y)的密度函数为 的密度函数为
1 f ( x , y ) = [ϕ 1 ( x , y ) + ϕ 2 ( x , y )] 2
其中ϕ1(x, y)和ϕ2(x, y)都是二维正态密度函数 且它们所对应的 都是二维正态密度函数 其中ϕ 和 都是二维正态密度函数, 且它们所 二维r.v.的相关系数分别是 的相关系数分别是1/3和 它们的边缘密度函数所对 二维 的相关系数分别是 和−1/3, 它们的边缘密度函数所对 应的r.v.的数学期望都是零 方差都是1. 的数学期望都是零, 应的 的数学期望都是零 方差都是 (1) 求r.v.X和Y的密度函数 1(x)和f2(y), 及X和Y的相关系数 的密度函数f 和 的密度函数 和 和 的相关系数 可以直接利用二维正态密度的性质 ρ(可以直接利用二维正态密度的性质 可以直接利用二维正态密度的性质); (2) 问X和Y是否独立 为什么 是否独立? 和 是否独立 为什么?
若A出现 , 1, X = − 1, 若A不出现 ,
若B出现 , 1, Y = − 1, 若B不出现 .
试证明r.v.X和Y不相关⇔A和B相互独立 和 不相关 不相关⇔ 和 相互独立 相互独立. 试证明
23. [2001(一)二(5)] 将一枚硬币重复掷 次, 以X和Y分别表示 将一枚硬币重复掷n次 一二 和 分别表示 其正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于 其正面向上和反面向上的次数 和 的相关系数等于 (A) −1 (B) 0 (C) 1/2 (D) 1 [ ]
的协方差cov(X2, Y2)= 则X2和Y2 的协方差
31. [2003(三)一(5)] 设r.v.X和Y的相关系数为 的相关系数为0.9, 若Z=X−0.4, 三一 和 的相关系数为 − 则Y与Z的相关系数为 与 的 .
32. [2003(四)一(6)] 设r.v.X和Y的相关系数为 的相关系数为0.5, EX=EY=0, 四一 和 的相关系数为 EX2=EY2=2, 则E(X+Y)2= .
