最新人教版高中数学选修1-2《合情推理》梳理探究1

合情推理●三维目标：(1)知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

(2)过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

(3)情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

●教学重点：归纳推理及方法的总结。

●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

●教具准备：与教材内容相关的资料。

●课时安排：1课时●教学过程：一.问题情境(1)原理初探①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

(2)追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠— “歌德巴赫猜想”。

链接:思考：其他偶数是否也有类似的规律？③讨论：组织学生进行交流、探讨。

④检验：2和4可以吗？为什么不行？⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。

3.数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

●归纳推理的一般步骤：实验、观察概括、推广猜测一般性结论4.师生活动例 1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n边形的内角和是（n—2）×1800。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理知识梳理1.从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程为___________________，任何推理都包含_____________和_____________两部分._____________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；______________________________是根据前提推得的命题，它告诉我们_______________________________________；2.从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为_________________________它的思维过程大致是___________________________−→−_________________________−→− _____________________________.3.根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理称为_____________________________________________.简称_________________________；它的思维过程大致是_____________________________−→−_______________________________−→−____________________________. 知识导学归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，即从所研究的对象全体中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对总体作出推断.由归纳推理所获得的结论，仅是一种猜测，不一定可靠，其可靠性需要通过证明.类比推理是由特殊到特殊的推理，由已解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和作出新发现.类比的结论具有或然性.即可能真，也可能假.疑难突破1.归纳推理的一般步骤是什么呢？（1）实验、观察.通过观察个别事物发现某些相同性质.（2）概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.（3）猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性命题.2.类比推理的一般步骤是什么呢？（1）找出两类事物之间的相似性或一致性.（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想），一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠.类比推理的结论具有或然性，即可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值，是一种合情推理.典题精讲【例1】 写出下列推理的前提和结论：（1）对顶角相等；（2）a ⊥b,b ⊥c 则a ⊥c.思路分析：先把问题改写成“如果……那么……”，“因为……所以……”的形式，再进行判断，写出前提和结论.解：（1）对顶角相等，可以写成如果两个角为对顶角，那么这两个角相等.由此可知，前提为两个角是对顶角，结论为两个角相等.（2）a ⊥b,b ⊥c 则a ⊥c 改写成如果a ⊥b,b ⊥c 那么a ⊥c ，前提为a ⊥b,b ⊥c ，结论为a ⊥c.【变式训练】 写出下列推理的前提和结论.（1）两直线平行，同位角相等；（2）a ＞b,b ＞c 则a ＞c.解：（1）条件：两条直线平行，结论：同位角相等.（2）条件为：a ＞b,b ＞c.结论为：a ＞c.【例2】 设f(n)=n 2+n+41，n ∈N *,计算f(1),f(2),f(3),f(4), …f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想的结论是否正确.思路分析：首先分析题目的条件，并对n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的结果进行归纳推理，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题：解：f(1)=12+1+41=43f(2)=22+2+41=47f(3)=32+3+41=53f(4)=42+4+41=61f(5)=52+5+41=71f(6)=62+6+41=83f(7)=72+7+41=97f(8)=82+8+41=113f(9)=92+9+41=131f(10)=102+10+41=151由此猜想，n 为任何正整数时，f(n)=n 2+n+41都是质数.当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41;所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确. 【变式训练】观察21×(1×2-0×1)=1, 21×(2×3-1×2)=2, 21×(3×4-2×3)=3, 21×(4×5-3×4)=4, 由上述事实你能得出怎样的结论？解：因为21×(1×2-0×1)=1, 21×(2×3-1×2)=2, 21×(3×4-2×3)=3, 21×(4×5-3×4)=4, …由此猜想，前n(n ∈N *)个式子的结果为：21×［n×(n+1)-(n-1)×n ］=n.【例3】 找出三角形和空间四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.（1）三角形的两边之和大于第三边；（2）三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边；（3）三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心；（4）三角形的面积为S=21（a+b+c)r （r 为内切圆的半径）. 思路分析：首先充分认识三角形、空间四面体的相同（或相似）之处，再进行类比，类比时要抓住本质，充分考虑两类事物之间的联系.解：三角形和四面体有下列共同性质.（1）三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形，四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形.（2）三角形可以看作平面上一条线段外一点及这条线段上的各点所形成的图形；四面体可以看作三角形外一点与这个三角形上各点的连线所围成的图形.解：如下图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°,设a 、b 、c 分别表示3条边的长度，由勾股定理得c 2=a 2+b 2,(1) (2)类似地，在四面体P —DEF 中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°,设S 1、S 2、S 3和S 分别表示△PDF,△PDE,△EDF 和△PEF 的面积图（2），相应于图（1）中直角三角形的两条直角边a 、b 和1条斜边c ，图（2）中的四面体有3个“直角面”，S 1、S 2、S 3，和1个“斜面”S ，于是，类比勾股定理的结论，我们猜想S 2=232221S S S ++成立. 问题探究如图2-1-1所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.图2-1-11.每次只能移动1个金属片；2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？导思:我们从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n 个金属片所需的次数.探究:当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13）表示，共移动了1次.当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：（1）把第1个金属片从1号针移到2号针；（2）把第2个金属片从1号针移到3号针；（3）把第1个金属片从2号针移到3号针.用符号表示为（12）（13）（23），共移动了3次.当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2的情形，移动的顺序是：（1）把上面两个金属片从1号针移到2号针；（2）把第3个金属片从1号针移到3号针；（3）把上面3个金属片从1号针移到3号针.其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为（13）（12）（32）（13）（21）（23）（13），共移动了7次.当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：（1）把上面3个金属片从1号针移到2号针；（2）把第4个金属片从1号针移到3号针；（3）把上面3个金属片从2号针移到3号针.用符号表示为（12）（13）（23）（12）（31）（32）（12）（13）（23）（21）（31）（23）（12）（13）（23）.共移动了15次.至此，我们得到依次移动1，2，3，4个金属片所需次数构成的数列1，3，7，15.观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1.由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动a n次，则数列{a n}的通项公式为a n=2n-1(n∈N*).通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n个金属片都适用的移动方法.当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：（1）将上面（n-1)个金属片从1号针移到2号针；（2）将第n 个金属片从1号针移到3号针；（3）将上面(n-1)个金属片从2号针移到3号针.这样就把移动n 个金属片的任务.转化为移动两次（n-1)个金属片和移动一次第n 个金属片的任务.而移动（n-1)个金属片需要移动两次（n-2)个金属片和移动一次第（n-1)个金属片，移动（n-2)个金属片需要移动两次（n-3)个金属片和移动一次第（n-2)个金属片……如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形.根据这个过程，可得递推公式⎩⎨⎧>+==-).1(12,111n a a a n n从这个递推公式出发，可以证明上述通项公式是正确的.。

第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理问题探究在各项为正的数列{n a }中,n S =21(n a +na 1),n ∈N *,试猜测数列的通项公式. 思路分析：由题设a 1=S 1=21 (a 1+11a ), ∴a 1=11a . ∵a 1>0,∴a 1=1.又∵a 1+a 2=S 2=21 (a 2+21a ), ∴a 22+2a 2-1=0.∵a 2>0,∴a 2=2-1.又∵a 1+a 2+a 3=S 3=21 (a 3+31a ), 化简得a 32+22a 3-1=0.∵a 3>0,∴a 3=3-2.同理,可得a 4=4-3.由此猜想: n a =1--n n (n ∈N ).你认为要猜想一个问题的结论,需要遵循什么原则?自学导引1.由某些事物的部分对象具有某些特征推出该类事物也具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,通常称为 .简言之,归纳推理是由 的推理. 答案：归纳推理(简称归纳) 部分到整体、由个别到 一般2.由两类对象具有某些类似属性和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为 .简言之,类比推理是 的推理.答案：类比推理 由特殊到特殊3.归纳推理和类比推理都是根据 ,经过 ,再进行 ,然后提出 的推理,我们把它们统称为 .答案：已有的事实 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想 合情推理4.合情推理的一般步骤: .答案：（1）从具体问题出发;(2)观察、分析、比较、猜想;(3)归纳、类比;(4)提出猜想 疑难剖析1.归纳推理及其应用【例1】 猜想不等式1+21+31+…+n 1>1+n 对怎样的自然数n 成立?思路分析:可先从特殊入手,考察几个特殊数值,从中归纳出规律性的东西.解:当n=1时,左边=1,右边=1+1=2,不等式不成立;当n=2时,左边=1+21=222+,右边=12+=3=212. 因为2+2<12,所以左边<右边,不等式不成立.当n=3时,左边=1+21+31=632236++, 右边=13+=2,左边>38.667.124.136=⨯+⨯+>2=右边,不等式成立. 猜想:当n ∈N 且n≥3时,不等式成立.温馨提示:解本题的关键是从自然数1开始逐个检验不等式是否成立,没有这一步,n 的起点便确定不下来.【例2】 (2002年全国高考题)设数列{n a }满足1+n a =n a 2-n a n +1,n=1,2,3,….当a 1=2时,求a 2、a 3、a 4,并由此猜想出a n 的一个通项公式.思路分析:本题主要考查猜想、归纳推理及分析和解决问题的能力.先求出a 2、a 3、a 4,并结合a 1观察它们之间有什么共同的特征,然后猜想通项公式.解:由a 1=2,得a 2=3;由a 2=3,得a 3=4;由a 3=4,得a 4=5.由此猜想: n a =n+1(n≥1且n ∈N *).温馨提示:解决此类问题,要写出前n 项,通过观察、分析、比较找出规律,从而猜测出可能的结果.2.类比推理及其应用【例3】 类比直线与圆相交时,圆心到直线的距离为d 2=R 2-(2AB )2(AB 为弦长),写出平面与球相交时,球心到平面的距离.思路分析:作出图形,找准所求的量是解决本题的关键,其截面应是一个圆面.解:截面是一个圆面,球心到圆心的距离d 为所求,令截面圆的半径为r,则d 2=R 2-r 2.温馨提示:解决类比问题时,仔细观察所给对象的属性及特征,从中获得启发和联想,从而推出另一类对象具有的特征.【例4】 类比等差数列如下的性质:(1)若m 、n 、p 、q ∈N *,且m+n=p+q 时,有a m +n a =a p +a q ;(2)a m =n a +(m-n)d.可得等比数列类似性质为:(1) ;(2) . 思路分析:令公比为q 1,分别求出a m , n a ,a p ,a q 并观察有什么特点,即可求得结果. 解:等比数列{n a }中,a m =a 1q 1m-1, n a =a 1q 1 n-1,a p =a 1q 1p-1,a q =a 1q 1q-1,则a m ·n a =a 12·q 1m+n-2,a p ·a q =a 12·q 1 p+q-2. 若m+n=p+q,则m+n-2=p+q-2,于是a m ·n a =a p ·a q . 同理,得a m =n a q m-n .温馨提示:等差数列与等比数列是两种特殊的数列,在性质上有许多共同点,只要仔细观察,就一定能找到这些共同点.拓展迁移【拓展点1】 数列{n a }的通项公式n a =2)1(1+n (n ∈N ),f (n)=(1-a 1)(1-a 2)(1-a 3)…(1-n a ).试求f (1)、f (2)、f (3)、f (4)的值,并由此推测f (n)的计算公式.解:由n a =2)1(1+n (n ∈N ),可得a 1=41,a 2=91,a 3=161,a 4=251. 又f (n)=(1-a 1)(1-a 2)(1-a 3)…(1-n a ) (n ∈N ),∴f (1)=1-a 1=1-41=43, f (2)=(1-a 1)(1-a 2)= 43 (1-91)=64, f (3)=(1-a 1)(1-a 2)(1-a 3)= 64 (1-161)=85, f (4)=(1-a 1)(1-a 2)(1-a 3)(1-a 4)= 85 (1-251)=106. 由此推得f (n)=)1(22++n n . 【拓展点2】 观察1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),1-4+9-16+25=1+2+3+4+5,猜想:第n 个式子为 .答案：12-22+32-…+1)1(--n ·n 2=1)1(--n ·(1+2+3+…+n).。

课堂探究知识点一归纳推理1．推理的概念根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理．推理一般由两部分组成：前提和结论．2．归纳推理由某类事件的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者是由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳).应用归纳推理推测的值．思路分析：利用归纳推理进行猜测，应先给n一些不同的数值，观察出现结果的相同性质，从而推导出有关的结论来．解：对式子中的n分别取1，2，3进行观察：当n＝1时，11－2＝3，当n＝2时， 1 111－22＝33，当n＝3时，111 111－222＝333当n＝4时，11 111 111－2 222＝3 333……由此猜想：(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属于未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．(4)归纳推理的步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．知识点二类比推理这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质．(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦；(2)与圆心距离相等的弦相等；(3)圆的周长C＝πd(d为直径)；(4)圆的面积S＝πr2.思路分析：先充分认识圆与球的相同(相似)之处，再进行类比，类比时抓住本质，充分考虑其中的联系．解：因为圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；并且圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球面是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质：1．类比推理实质是由特殊到特殊的推理．2．类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题．知识点三合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.判断下列推理，哪些为合情推理，哪些不是合情推理．(1)a∥b，b∥c，则a∥c；(2)a⊥b，b⊥c，则a⊥c；(3)三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°，…，所以n边形的内角和为(n－2)×180°；(4)今天是星期日，7天之后也是星期日．思路分析：根据实际问题中推理所得问题的真假来判断是否为合情推理．解：合情推理为(1)(3)(4)，不是合情推理的是(2)．一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了．合情推理的过程概括为从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想知识点四演绎推理1．演绎推理从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理又称为逻辑推理.2．三段论推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心．求证：MN∥平面ACD.证明：如右图，连接BM，BN并延长分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以P，Q分别是AD，DC的中点，且有BMMP＝2＝BNNQ，所以MN∥PQ.又因为MN平面ACD，PQ⊂平面ACD，所以MN∥平面ACD.点评：本题为一个三段论推理的问题，首先是在△PBQ中，由BM∶MP＝2∶1，BN∶NQ ＝2∶1，得MN∥PQ.又有MN平面ACD，PQ⊂平面ACD，从而有MN∥平面ACD.(1)“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.(2)利用集合知识说明“三段论”．若集合M的所有元素都有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.(3)公理化方法：尽可能少地选择原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设)，以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法．公理化方法的精髓是：利用尽可能少的前提，推出尽可能多的结论．(4)合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式．从推理形式上看，合情推理是由局部到整体、个别到一般的推理(归纳)，或是由特殊到特殊的推理(类比)；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确．(5)在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，而合情推理不能用作证明．。