辽宁省大连市第二十高级中学2015-2016学年高二期初考试数学试题

2015-2016学年辽宁省大连二十中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列各点在方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线上的是（）A．（0，0） B．（1，1） C．（1，﹣1）D．（1，﹣2）2．（5分）椭圆9x2+y2=36的短轴长为（）A．2 B．4 C．6 D．123．（5分）双曲线x2﹣y2=1的离心率为（）A．B．2 C．4 D．14．（5分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．5．（5分）“点P到两条坐标轴距离相等”是“点P的轨迹方程为y=|x|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件6．（5分）到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（）A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线7．（5分）若椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．B．4 C．或4 D．8．（5分）焦点为（0，±3），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．9．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．或D．10．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两焦点，以点F1为直角顶点作等腰直角三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知命题p：椭圆离心率越大，椭圆越扁；命题q：双曲线﹣=1上一点P到左焦点距离为7，则P到右焦点距离为1或13．则下列命题中为真命题的是（）A．（¬p）∨q B．p∧q C．（¬p）∧（¬q）D．（¬p）∨（¬q）12．（5分）已知圆C1：（x+1）2+y2=1，C2：（x﹣1）2+y2=25，动圆C与圆C1外切，与圆C2内切，则圆C的圆心的轨迹方程为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）椭圆2x2+3y2=1的焦点坐标为．14．（5分）命题“如果一个双曲线的离心率为，则它的渐近线互相垂直”的否命题为．15．（5分）对于任意实数λ，曲线（1+λ）x2+（1+λ）y2+（6﹣4λ）x﹣16﹣6λ=0恒过定点．16．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a（a＞1）的点的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C关于坐标轴对称；②曲线C上的点都在椭圆外；③曲线C上点的横坐标的最大值为；④若点P在曲线C上（不在x轴上），则△PF1F2的面积不大于．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知命题p：“方程+=m+2表示的曲线是椭圆”，命题q：“方程+=2m+1表示的曲线是双曲线”．且p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）（Ⅰ）已知某椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点，求该椭圆的标准方程以及离心率；（Ⅱ）某圆锥曲线以坐标轴为对称轴，中心为坐标原点，且过点，求该曲线的标准方程、焦点以及离心率．19．（12分）已知椭圆C：+=1（y≠0），其左右焦点分别为F1，F2．对于命题p：“∀点P∈C，∠F1PF2＜”．写出¬p，判断¬p的真假，并说明理由．20．（12分）试推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程：．21．（12分）已知动点P在双曲线x2﹣y2=1上，定点A（m，0）（m＞0），求|PA|的最小值以及取最小值时P点的横坐标．22．（12分）已知圆F1：（x+）2+y2=16，圆心为F1，定点F2（，0），P为圆F1上一点，线段PF2的垂直平分线与直线PF1交于点Q．（1）求点Q的轨迹C的方程；（2）过点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点A和B，且满足∠AOB＜90°（O为坐标原点），求直线l斜率的取值范围．2015-2016学年辽宁省大连二十中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列各点在方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线上的是（）A．（0，0） B．（1，1） C．（1，﹣1）D．（1，﹣2）【解答】解：根据题意，依次将选项中点的坐标代入方程，A中、左边=x2﹣xy+2y+1=1≠0=右边，（0，0）不在曲线上，B中、左边=x2﹣xy+2y+1=3≠0=右边，（1，1）不在曲线上，C中、左边=x2﹣xy+2y+1=1≠0=右边，（1，1）不在曲线上，D中、左边=x2﹣xy+2y+1=0=右边，（1，﹣2）在曲线上，故选：D．2．（5分）椭圆9x2+y2=36的短轴长为（）A．2 B．4 C．6 D．12【解答】解：椭圆9x2+y2=36的标准方程是+=1，它是焦点在y轴上的椭圆，且a=6，b=2；∴它的短轴长为2b=4．故选：B．3．（5分）双曲线x2﹣y2=1的离心率为（）A．B．2 C．4 D．1【解答】解：因为双曲线x2﹣y2=1，所以a=b=1，c=，所以双曲线的离心率为：e==．故选：A．4．（5分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，椭圆的离心率，故选：D．5．（5分）“点P到两条坐标轴距离相等”是“点P的轨迹方程为y=|x|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件【解答】解：设动点P（x，y），则它到两坐标轴x，y距离的分别为|y|，|x|，∴到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是|x|=|y|，故y=|x|是|x|=|y|的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（）A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线【解答】解：∵F1（﹣3，0）、F2（3，0）∴|F1F2|=6故到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是以F1（﹣3，0）、F2（3，0）为端点的两条射线故选：D．7．（5分）若椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．B．4 C．或4 D．【解答】解：当焦点在x轴上时，a2=3，b2=m，c2=3﹣m，由，得，即，解得m=；当焦点在x轴上时，a2=m，b2=3，c2=m﹣3，由，得，即，解得m=4．∴m=或4．故选：C．8．（5分）焦点为（0，±3），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是=k，∵焦点（0，±3）在y轴上，∴k＜0，所求的双曲线方程是，由﹣2k﹣k=c2=9，∴k=﹣3，故所求的双曲线方程是，故选：B．9．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．或D．【解答】解：a=4，b=，c=3，第一种情况，两焦点连线段F1F2为直角边，则P点横坐标为±3，代入方程得纵坐标为±，则P到x轴距离为；第二种情况，两焦点连线F1F2为斜边，设P（x，y），则|PF2|=4﹣，|PF1|=4+∵|F1F2|=6，∴（4﹣）2+（4+）2=36，∴P点横坐标为±，代入方程得纵坐标为±，则P到x轴距离为；故选：C．10．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两焦点，以点F1为直角顶点作等腰直角三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：x=﹣c时，代入双曲线方程，可得y=±．∵以点F1为直角顶点作等腰直角三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，∴=c，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=，故选：A．11．（5分）已知命题p：椭圆离心率越大，椭圆越扁；命题q：双曲线﹣=1上一点P到左焦点距离为7，则P到右焦点距离为1或13．则下列命题中为真命题的是（）A．（¬p）∨q B．p∧q C．（¬p）∧（¬q）D．（¬p）∨（¬q）【解答】解：关于命题p：e=，离心率e越小椭圆越圆，离心率越大，椭圆越扁，故命题p是真命题，￢p是假命题；关于命题q：左焦点坐标为（﹣5，0），右顶点坐标为（3，0），由于点M到左焦点的距离为7，故点M只能在左支上，∴它到右焦点的距离为7+6=13，故命题q是假命题，￢q是真命题，故选：D．12．（5分）已知圆C1：（x+1）2+y2=1，C2：（x﹣1）2+y2=25，动圆C与圆C1外切，与圆C2内切，则圆C的圆心的轨迹方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣1）2+y2=25，得到C1（﹣1，0），半径r1=1，C2（1，0），半径r2=5，设圆C的半径为r，∵圆C与C1外切而又与C2内切，∴CC1=r+1，CC2=5﹣r，∴CC1+CC2=（r+1）+（5﹣r）=2a=6，又C1C2=2c=2，∴a=3，c=1，∴b=，∴圆心C在焦点在x轴上，且长半轴为3，短半轴为2的椭圆上，则圆心C的轨迹方程为：．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）椭圆2x2+3y2=1的焦点坐标为．【解答】解：由2x2+3y2=1，化为标准方程得：，∴椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且，∴，则c=．∴焦点坐标为．故答案为：．14．（5分）命题“如果一个双曲线的离心率为，则它的渐近线互相垂直”的否命题为“如果一个双曲线的离心率不为，则它的渐近线不垂直”．【解答】解：命题“如果一个双曲线的离心率为，则它的渐近线互相垂直”的否命题为：“如果一个双曲线的离心率不为，则它的渐近线不垂直”，故答案为：“如果一个双曲线的离心率不为，则它的渐近线不垂直”．15．（5分）对于任意实数λ，曲线（1+λ）x2+（1+λ）y2+（6﹣4λ）x﹣16﹣6λ=0恒过定点（1，±3）．【解答】解：曲线（1+λ）x2+（1+λ）y2+（6﹣4λ）x﹣16﹣6λ=0可化为（x2+y2+6x ﹣16）+λ（x2+y2﹣4x﹣6）=0，∴x2+y2+6x﹣16=0且x2+y2﹣4x﹣6=0，可得恒过定点（1，±3）．故答案为：（1，±3）．16．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a（a＞1）的点的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C关于坐标轴对称；②曲线C上的点都在椭圆外；③曲线C上点的横坐标的最大值为；④若点P在曲线C上（不在x轴上），则△PF1F2的面积不大于．其中，所有正确结论的序号是①②③．【解答】解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]=a2，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y代换，方程不变，故曲线C关于坐标轴对称，故正确；对于②，PF 1+PF2≥2=2＞2，∴曲线C上的点都在椭圆外，故正确；③令y=0可得，x=±，∴曲线C上点的横坐标的最大值为；由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积S△F1PF2=×2×y=y，由①知y2=﹣x2﹣1+或y2=﹣x2﹣1﹣（舍去），令=t，则x2=，∴y2=﹣﹣1+t=﹣（t﹣2）2+≤，∴S△F1PF22=y2≤a，P在x轴上时取等号，故不正确．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知命题p：“方程+=m+2表示的曲线是椭圆”，命题q：“方程+=2m+1表示的曲线是双曲线”．且p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p为真命题时，则有，则有；命题q为真命题时，则有（m﹣1）（m﹣3）＜0，则有m∈（1，3），因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假．所以．18．（12分）（Ⅰ）已知某椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点，求该椭圆的标准方程以及离心率；（Ⅱ）某圆锥曲线以坐标轴为对称轴，中心为坐标原点，且过点，求该曲线的标准方程、焦点以及离心率．【解答】解：（Ⅰ），所以，又c=1，可得b=1，所以椭圆方程为，离心率为．（Ⅱ）设该曲线方程为mx2+ny2=1，将代入可得，解得，所以该方程为，是焦点为，离心率为的双曲线．19．（12分）已知椭圆C：+=1（y≠0），其左右焦点分别为F1，F2．对于命题p：“∀点P∈C，∠F1PF2＜”．写出¬p，判断¬p的真假，并说明理由．【解答】解：￢p：∃点P∈C，，该命题为假命题；理由如下：因为；设P（x，y），F1（﹣1，0），F2（1，0），；∴时，；即x2≤﹣8，无解；所以￢p为假命题．20．（12分）试推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程：．【解答】解：到两定点F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）距离之和为定值2a（a ＞c）的点P的轨迹为椭圆．…（2分）设P（x，y），则，∴所以…（4分）∴∴∴∴（由定义可得x∈[﹣a，a]，所以…（6分）∴∴，即，因为a＞c，不妨令a2﹣c2=b2，∴焦点在x轴上的椭圆的标准方程：．…（12分）21．（12分）已知动点P在双曲线x2﹣y2=1上，定点A（m，0）（m＞0），求|PA|的最小值以及取最小值时P点的横坐标．【解答】解：设P（x，y），则|PA|==，∴0＜m＜2时，x=，|PA|的最小值为；m≥2时，x=1，|PA|的最小值为m﹣1．22．（12分）已知圆F1：（x+）2+y2=16，圆心为F1，定点F2（，0），P为圆F1上一点，线段PF2的垂直平分线与直线PF1交于点Q．（1）求点Q的轨迹C的方程；（2）过点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点A和B，且满足∠AOB＜90°（O为坐标原点），求直线l斜率的取值范围．【解答】解：（1）圆F1：（x+）2+y2=16，圆心为F1（﹣，0），由|QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|PF1|=4＞丨F1F2丨=2，∴Q的轨迹C是以为焦点，长半轴长为2的椭圆，点Q的轨迹C的方程：．…（4分）（2）由题可得直线l存在斜率，设其方程为y=kx+2，设直线l与曲线C交于不同的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），，整理得：（1+4k2）x2+16kx+12=0，则有△＞0，解得．由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1•x2=由，即x1x2+y1y2＞0，解得k2＜4．…（8分），根据弦长公式可知：丨AB丨=•，∴，设1+4k2=t∈（4，17），则，直线l斜率的取值范围（0，）．…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2015-2016学年辽宁省高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≤02．椭圆2x2+3y2=6的焦距是（）A．2 B．2（﹣）C．2D．2（+）3．在等比数列{a n}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为（）A．2 B．3 C．4 D．94．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．35．在正项等比数列{a n}中成等差数列，则等于（）A．3或﹣1 B．9或1 C．1 D．96．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则•=（）A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．47．下列命题错误的个数（）①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a，b都不是0”．A．0 B．1 C．2 D．38．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=09．在数列{a n}中，a1=3，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．3+lnn B．3+（n﹣1）lnn C．3+nlnn D．1+n+lnn10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S17＞0，S18＜0，则中最大的项为（）A．B．C．D．11．已知f（n）=，且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a2014的值为（）A．0 B．2014 C．﹣2014 D．2014×201512．椭圆+=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．椭圆的离心率e满足≤e≤，则椭圆长轴的取值范围是（）A．[，1]B．[，2]C．[，]D．[，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题p：∀x∈[0，3]，a≥﹣x2+2x﹣，命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的范围为．14．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．15．将数列{a n}按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一个数a1，a2，a5构成公差为d的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为q的等比数列．若a1=1，a3=4，a5=3，则d=；第n行的和T n=．16．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是．三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0，若￢p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（1）求与双曲线﹣=1有相同焦点，且经过点（3，2）的双曲线的标准方程．（2）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，求该双曲线的方程．19．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为．（1）求{a n}的通项公式（2）设C n=，求数列{c n}的前n项和S n．20．已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．21．已知数列{a n}满足a1=，﹣=0，n∈N*．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）设b n=﹣1，数列{bn}的前n项之和为S n，求证：S n＜．22．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≤0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0．故选B．【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键．2．椭圆2x2+3y2=6的焦距是（）A．2 B．2（﹣）C．2D．2（+）【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把椭圆的方程化为标准形式，求出a、b、c的值，可得焦距2c的值．【解答】解：椭圆2x2+3y2=6可化为，∴c==1，∴椭圆2x2+3y2=6的焦距是2c=2，故选：A．【点评】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题．3．在等比数列{a n}中，若a3a6=9，a2a4a5=27，则a2的值为（）A．2 B．3 C．4 D．9【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设公比为q，可得=9，=27，两式相除可得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意可得a3a6===9，①a2a4a5===27，②可得a2=3故选B【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．4．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】=tan60°=⇒4b2=3c2⇒4（c2﹣a2）=3c2⇒c2=4a2⇒=4⇒e=2．【解答】解：如图，∵=tan60°，∴=，∴4b2=3c2，∴4（c2﹣a2）=3c2，∴c2=4a2，∴=4，∴e=2．故选B．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．5．在正项等比数列{a n}中成等差数列，则等于（）A．3或﹣1 B．9或1 C．1 D．9【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】通过设数列{a n}的公比为q（q＞0），利用a3=3a1+2a2计算可知q=3，通过=计算即得结论．【解答】解：设数列{a n}的公比为q（q＞0），依题意，a3=3a1+2a2，∴a1q2=3a1+2a1q，整理得：q2﹣2q﹣3=0，解得：q=3或q=﹣1（舍），∴==q2=9，故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意解题方法的积累，属于中档题．6．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则•=（）A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．4【考点】平面向量数量积的运算；双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由双曲线的渐近线方程，不难给出a，b的关系，代入即可求出双曲线的标准方程，进而可以求出F1、F2，及P点坐标，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解．【解答】解：由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x2﹣y2=2，于是两焦点坐标分别是F1（﹣2，0）和F2（2，0），且或、不妨令，则，∴•=故选C【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算，处理的关键是熟练掌握双曲线的性质（顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与a，b，c的关系），求出满足条件的向量的坐标后，再转化为平面向量的数量积运算．7．下列命题错误的个数（）①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a，b都不是0”．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据大角对大边，正弦定理可得结论；②根据原命题和逆否命题为等价命题，可相互转化；③在否定中，且的否定应为或．【解答】解：①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是在三角形ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，故逆命题为真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则非p：x=2且y=3，非q：x+y=5，显然非p⇒非q，∴q⇒p，则p是q的必要不充分条件，故正确；③命题“若a2+b2=0，则a，b都是0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a≠=或b≠0”故错误．故选B．【点评】考查了命题的等价关系和或命题的否定，正弦定理的应用．属于基础题型，应熟练掌握．8．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题9．在数列{a n}中，a1=3，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．3+lnn B．3+（n﹣1）lnn C．3+nlnn D．1+n+lnn【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．【解答】解：∵a1=3，a n+1=a n+ln（1+）=a n+ln，∴a2=a1+ln2，a3=a2+ln，a4=a3+ln，…，a n=a n﹣1+ln，累加可得：a n=3+ln2+ln+ln+…+ln=3+lnn，故选：A【点评】数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S17＞0，S18＜0，则中最大的项为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a9＞0，a10＜0，由此可知＞0，＞0，…，＜0，＜0，…，＜0，即可得出答案．【解答】解：∵等差数列{a n}中，S17＞0，且S18＜0即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，∴等差数列{a n}为递减数列，故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，∴＞0，＞0，…，＜0，＜0，…，＜0，又∵S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，∴中最大的项为故选D【点评】本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题．11．已知f（n）=，且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+…+a2014的值为（）A．0 B．2014 C．﹣2014 D．2014×2015【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推出n为奇数时，a n+a n+1=2，即a1+a2=2，a3+a4=2，…，a2013+a2014=2，由此能求出a1+a2+…+a2014．【解答】解：∵f（n）=，且a n=f（n）+f（n+1），n为奇数时，a n=f（n）+f（n+1）=n2﹣（n+1）2=﹣2n﹣1，a n+1=f（n+1）+f（n+2）=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3，∴a n+a n+1=2，∴a1+a2=2，a3+a4=2，…，a2013+a2014=2，∴a1+a2+…+a2014=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2013+a2014）=1007×2=2014．故选：B．【点评】本题考查数列中前2014项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n的奇偶性的合理运用．12．椭圆+=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．椭圆的离心率e满足≤e≤，则椭圆长轴的取值范围是（）A．[，1]B．[，2]C．[，]D．[，]【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，△＞0．由OP⊥OQ，可得=0，把根与系数的关系可得：a2+b2=2a2b2．由椭圆的离心率e满足≤e≤，化为，即可得出．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，△=4a4﹣4（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，化为：a2+b2＞1．x1+x2=，x1x2=．∵OP⊥OQ，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（x1﹣1）（x2﹣1）=2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，∴2×﹣+1=0．化为a2+b2=2a2b2．∴b2=．∵椭圆的离心率e满足≤e≤，∴，∴，∴≤1﹣≤，化为5≤4a2≤6．解得：≤2a≤．满足△＞0．∴椭圆长轴的取值范围是[，]．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题p：∀x∈[0，3]，a≥﹣x2+2x﹣，命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的范围为[，4]．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】结合二次函数的性质分别求出关于命题p，q的a的范围，从而求出a的范围．【解答】解：设f（x）=﹣x2+2x﹣，（0≤x≤3），则f（x）=﹣（x﹣1）2+，又0≤x≤3，∴当x=1时，f（x）max=f（1）=，由已知得：命题P：a≥，由命题q：△=16﹣4a≥0，即a≤4，又命题“p∧q”是真命题，∴a≥且a≤4成立，即≤a≤4，故答案为：[，4]．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题．14．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列前n项和的特点，设出两数列的前n项和分别为S n=kn（3n﹣1），T n=kn （2n+3）（k≠0），由关系式：n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1求出它们的通项公式，再求出的值即可．【解答】解：∵{a n}，{b n}为等差数列，且其前n项和满足=，∴设S n=kn（3n﹣1），T n=kn（2n+3）（k≠0），则当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6kn﹣4k，当n=1时也满足，则a n=6kn﹣4k；当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=4kn+k，当n=1时也满足，则b n=4kn+k，∴=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，求出等差数列{a n}，{b n}的通项是解题的关键，是中档题．15．将数列{a n}按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一个数a1，a2，a5构成公差为d的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为q的等比数列．若a1=1，a3=4，a5=3，则d=1；第n行的和T n=n•22n﹣1﹣n．【考点】归纳推理．【专题】综合题；推理和证明．【分析】依题意，可求得d=1，又a3=a2q=（a1+d）q，可求得q=2；记第n行第1个数为A，易求A=n；据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，而第n行共有（2n﹣1）个数，第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，于是可求得第n行各数的和T n．【解答】解：依题意得a5=a1+2d，∴3=1+2d，∴d=1．又∵a3=a2q=（a1+d）q，q=2，∴d，q的值分别为1，2；记第n行第1个数为A，则A=a1+（n﹣1）d=n，又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，∴第n行共有（2n﹣1）个数，∴第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，因此其总数的和T n==n•22n﹣1﹣n．故答案为：1，n•22n﹣1﹣n；【点评】本题考查数列的求和，突出考查归纳推理，考查方程思想与运算推理能力，判断出每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列是关键．16．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是[，1）．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设准线与x轴的交点为Q，连结PF2，根据平面几何的知识可得|PF2|=|F1F2|=2c且|PF2|≥|QF2|，由此建立关于a、c的不等关系，化简整理得到关于离心率e的一元二次不等式，解之即可得到椭圆离心率e的取值范围．【解答】解：设准线与x轴的交点为Q，连结PF2，∵PF1的中垂线过点F2，∴|F1F2|=|PF2|，可得|PF2|=2c，∵|QF2|=﹣c，且|PF2|≥|QF2|，∴2c≥﹣c，两边都除以a得2•≥﹣，即2e≥﹣e，整理得3e2≥1，解得e，结合椭圆的离心率e∈（0，1），得≤e＜1．故答案为：[，1）．【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆离心率的范围．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、线段的垂直平分线性质和不等式的解法等知识，属于中档题．三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0，若￢p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别解出关于p，q的x的范围，根据¬p是q的必要不充分条件，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：命题P：A=（a，3a），命题q：B=[2，3]，∵¬p是q的必要不充分条件，∴q是￢p的充分不必要条件，∴a≥3或0＜a≤．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．18．（1）求与双曲线﹣=1有相同焦点，且经过点（3，2）的双曲线的标准方程．（2）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，求该双曲线的方程．【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设所求双曲线方程为：﹣=1，（﹣4＜λ＜16），利用待定系数法能求出双曲线方程．（2）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为，圆心C（3，0），半径r=2，由此利用点到直线距离公式能求出双曲线方程．【解答】解：（1）∵双曲线与双曲线﹣=1有相同焦点，∴设所求双曲线方程为：﹣=1，（﹣4＜λ＜16），∵双曲线过点（，2），∴+=1，∴λ=4或λ=﹣14．（舍）∴所求双曲线方程为．（2）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为，即一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0可转化为（x﹣3）2+y2=4，∴圆心C（3，0），半径r=2，∴c2=9，∴=2，解得a2=5，b2=4，∴双曲线方程为．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法和点到直线距离公式的合理运用．19．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为．（1）求{a n}的通项公式（2）设C n=，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；新定义；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）数列{a n}的前项和为S n=n（n+2），由此能求出{a n}的通项公式．（2）由C n==，利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项的“均倒数”为，∴根据题意得数列{a n}的前项和为：S n=n（n+2），当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+2）﹣（n﹣1）（n﹣2）=2n+1，n=1时，a1=S1=3适合上式，∴a n=2n+1．（2）由（1）得C n==，∴，①3S n=，②②﹣①，得：2S n=3+=3+=，∴S n=2﹣．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20．已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．【专题】综合题．【分析】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，设C（x1，y1），D（x2，y2），则而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），当且仅当CE⊥DE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．已知数列{a n}满足a1=，﹣=0，n∈N*．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）设b n=﹣1，数列{bn}的前n项之和为S n，求证：S n＜．【考点】数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）把已知的数列递推式变形，得到，然后代入即可得到答案；（2）由（1）中的等差数列求出数列{a n}的通项公式，代入b n=﹣1并整理，然后利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和后得答案．【解答】证明：（1）由﹣=0，得=，∴，即，∴．则=．∴数列{}是以﹣1为公差的等差数列；（2）由数列{}是以﹣1为公差的等差数列，且，∴，则．b n=﹣1=．S n=b1+b2+…+b n===．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP 的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；（Ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得．【解答】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则．因为sin∠APB=sin∠MPN，所以所以=即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．。

2015—2016学年度1月份月考试题高二数学考试时间：90分钟 试卷分数：100分卷Ⅰ一、选择题：（本大题共12小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知全集{}1,2,3,4,5U ＝， {}{}1,3,52,5A B ＝，＝，则()U A B ⋂ð等于( ) A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}3 D ．{}1,3 2．已知5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于 （ ） A ．125 B ．125- C ．512- D ．5123.已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是 ( ) A ．22(1)(1)25x y －＋＋＝ B ．()()221125x y ＋＋－＝C ．22(1)(1)100x y －＋＋＝ D ．()()2211100x y ＋＋－＝4.已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．已知,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ ） A 、,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ B 、,//a b b α⊥C 、,,a b A b a b α=⊂⊥D 、//,a b b α⊥ 6．下列函数在定义域上为增函数的是 （ ） A ．3y x = B. 1y x =-C.12log y x = D.1()2x y = 7．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 （ ） A.310 B.15 C.110 D.1208.已知将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价 1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为 ( )A ．95元B ．100元C ．105元D ．110元9．执行下面的程序框图，如果输入的0.2T =，则输出的n = （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 10．已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象 （ ）A.向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度11.已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，若124,,a a a 构成公比为q 的等比数列，则q 的值为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.412．函数122()f x x x =-的零点的个数为 （ ） A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个第Ⅱ卷(非选择题，共64分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中横线上）．． 13．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于14．已知()f x 是偶函数，当0x <时，2()f x x x =+，则()2f ＝_______15．已知0,0a b >>，且2ab =，则2a b +的最小值为16．已知一个底面边长为62，侧棱长为6的正四棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球 的体积为______ _三、解答题（17、18、19、20每题10分，21题12分）17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为,,,a b c 已知11. 2.cos .4a b C === 求ABC ∆的周长18.已知()f x 是定义在(－4,4)上的奇函数，且它在定义域内单调递减，若a 满足(1)(23)0f a f a <－＋－，求实数a 的取值范围．19．已知在某次期末考试中，从高一年级部抽取60名学生的数学成绩(均为整数)分段为[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后，部分频率分布直方图如下．观察图形，回答下列问题：(1)求分数在[120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试全班数学成绩的平均分20. 如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，C C A =B ，O ，M 分别为AB ，V A 的中点．（I ）求证：V //B 平面C MO ； （II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ；21．已知}{n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项；（Ⅱ）求数列{2}n an a +的前n 项和n S .答案：一、DCBBD, ACACB,BC 二、填空题：13、34 14、-2 15、4 16、92π 17、22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯=2.c ∴= ABC ∴∆的周长为122 5.a b c ++=++= 10分 18、414,4234a a -<-<-<-< 4分且因为(1)(23)0f a f a <－＋－所以(1)(23),f a f a <-－－()f x 是奇函数所以(1)(32),f a f a <-－ 6分 单调递减所以132a a ->-， 8分综上，722a <<10分 19.[解析] (1)分数在[120,130)内的频率为 1－(0.01＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3，频率组距＝0.310＝0.03，补给后的直方图如下．5分(2)平均分的估计值为 x －＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121. 10分20.【答案】（I ）,M O 为中点，MO ∥VB ,MO ⊂面MOC ,VB ⊄面MOC , 所以VB ∥面MOC 5分 （Ⅱ）因为AC BC =，O 为AB 的中点，所以OC AB ⊥.又因为平面V AB ⊥平面C AB ，且OC ⊂平面C AB ， 所以OC ⊥平面V AB .所以平面C MO ⊥平面V AB . 10分 21.解：（Ⅰ）22319111(2)(8)a a a a d a a d =⇒+=+20,1d d d d ⇒=⇒==，因为公差不为0，所以1d =。

大连二十高中2015--2016学年度下学期高二6月月考数学试卷(理科)一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1. 函数()22)(x x f π=的导数是( )(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2. 曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为( )A. 12-B. 12C. 2-D. 23.100件产品中，3件次品，从所有产品中任意抽取5件，至少有2件次品的抽法有 ( )种A ．23397C C B ．2332397397C C +C C C ．514100397C -C C D ．5510097C -C 4.若4321140x x A A +=，则x =( )A. 5B. 6C. 3D. 95. 从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个字母排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻 （a 在b 的左面），共有排列方法（ ）种.A.36 B ．72 C ．90 D ．1446.从4台不同的甲型电视机和5台不同的乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C. 35种 D. 70种 7.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中m 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．4.5 D ．3.15则k 的值是( ) A ．911[1()]23+ B.1013 C. 911[1()]23- D.1011[1()]23+ 9. 在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ( )A 、[0.6，1）B 、（0，0.4]C 、（0，0.6]D 、 [0.4，1] 10.6658除以7的余数是( )A 、3B 、2C 、 1D 、 4 11. 已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为35和12，现两人独立地对目标射击一次，在目标被击中的条件下，目标仅被甲击中的概率为( ) A 、 38 B 、511 C 、34 D 、 61112.函数)(x f 是定义在区间),0(+∞上的可导函数，其导函数为)(x f '，且满足0)(2)(>+'x f x f x ，则不等式2016)5(55)2016()2016(+<++x f x f x 的解集为( )A ．{}2011->xB ．{}2011-<x xC ．{}02011<<-x x D.{}20112016-<<-x x二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）． 13. 若复数a ＋3i 1＋2i (a∈R，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为_______________．14. 已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =________________.15. 已知5025001250(2),a a x a x a x =++++其中01250,,,,a a a a ⋅⋅⋅是常数,则220245013549()()_________a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=16.身高各不相同的7人站成一排照相，最高的人站在最中间，最高的人向右侧看，他右边的3个人身高逐渐递减；最高的人向左侧看，他左边的3个人身高也是逐渐递减，则满足上述条件的不同排队方式有____________种. （答案用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，第17题10分,其余每题12分，解题写出详细必要的解答过程） 17. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评，某校高二年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频率统计表如下：表一： （男生） 表二：（女生）（1）计算,x y 的值；（2）由表一表二中统计数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. （22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=）18.已知z 、ω为复数，(13)i z +⋅为实数，ω=,||2ziωω=+且求．19.已知n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，(1)求展开式中的常数项。

2016-2017学年辽宁省大连二十中高二（上）期初数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）等于（）A．2或0 B．0 C．﹣2或2 D．﹣2或02．直线kx+y+1=2k，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣2，1）3．圆：x2+y2﹣2x+4y=0和圆：x2+y2﹣4x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．2x﹣y﹣4=0 B．2x+y﹣4=0 C．2x+3y+4=0 D．x+2y=04．函数y=3x与y=3﹣x的图象关于下列那种图形对称（）A．x轴B．y轴C．直线y=x D．原点中心对称5．若函数y=x2﹣2x﹣1的定义域为，值域为，则m的取值范围是（）A．（0，21，30，31，20，+∞）时，f（x）=x2（1﹣），则当x∈（﹣∞，0）时f（x）=．15．已知函数y=f（x）的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移，这样得到的曲线和y=2sinx的图象相同，则已知函数y=f（x）的解析式为．16．已知点M（a，b）在直线x+2y=上，则的最小值为．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）过点P（1，2）作直线l与圆x2+y2=9交于A，B两点，若|AB|=4，求直线l的方程．18．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣a﹣a2在x∈上的最大值为﹣2，求实数a的值．19．（12分）已知函数f（x）=asinx•cosx﹣acos2x+a+b（a＞0）．（Ⅰ）写出函数的单调递增区间；（Ⅱ）设x∈，f（x）的最小值是﹣，最大值是2，求实数a，b的值．=S n（n∈N*）．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项公式．21．（12分）已知圆x2+（y﹣2）2=4，点A在直线x﹣y﹣2=0上，过A引圆的两条切线，切点为T1，T2，（Ⅰ）若A点为（1，﹣1），求直线T1T2的方程；（Ⅱ）求|AT1|的最小值．22．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求{}的前n项和．（Ⅲ）求{a n b n}的前n项和．2016-2017学年辽宁省大连二十中高二（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2016秋•大连校级月考）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）等于（）A．2或0 B．0 C．﹣2或2 D．﹣2或0【考点】正弦函数的对称性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）为函数f（x）的最大值或最小值，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，则f（）为函数f（x）的最大值或最小值，∴f（）=2 或f（）=﹣2，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于基础题．2．（2016秋•大连校级月考）直线kx+y+1=2k，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（2，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣2，1）【考点】恒过定点的直线．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】将直线化简成点斜式的形式得：y+1=﹣k（x﹣2），可得直线的斜率为﹣k且经过定点（2，﹣1），从而得到答案．【解答】解：将直线kx+y+1=2k化简为点斜式，可得y+1=﹣k（x﹣2），∴直线经过定点（2，﹣1），且斜率为﹣k．即直线kx+y+1=2k恒过定点（2，﹣1）．故选：A．【点评】本题给出含有参数k的直线方程，求直线经过的定点坐标．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题．3．（2016秋•大连校级月考）圆：x2+y2﹣2x+4y=0和圆：x2+y2﹣4x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．2x﹣y﹣4=0 B．2x+y﹣4=0 C．2x+3y+4=0 D．x+2y=0【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可．【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣2x+4y=0和圆：x2+y2﹣4x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2）和圆：x2+y2﹣4x=0的圆心（2，0），所以所求直线方程为：，即2x﹣y﹣4=0．故选：A．【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．4．（2016秋•大连校级月考）函数y=3x与y=3﹣x的图象关于下列那种图形对称（）A．x轴B．y轴C．直线y=x D．原点中心对称【考点】指数函数的图象与性质；指数函数的图象变换．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】在函数y=3x的图象上任取一点A（a，3a），可得A关于y轴的对称点A'恰好在y=3﹣x的图象上，由此可得两函数的图象关于y轴对称，得到本题的答案．【解答】解：在函数y=3x的图象上取一点A（a，3a），可得点A对应函数y=3﹣x图象上的点A'（﹣a，3a）∵A与A'关于y轴对称，∴由点A的任意性，得函数y=3x与y=3﹣x的图象关于y轴对称故选：B【点评】本题给出两个指数函数的图象，求它们关于哪种图形对称，着重考查了指数函数的图象与性质和图象对称等知识，属于基础题．5．（2016秋•大连校级月考）若函数y=x2﹣2x﹣1的定义域为，值域为，则m的取值范围是（）A．（0，21，30，31，20，11，20，+∞）时，f（x）=x2（1﹣），则当x∈（﹣∞，0）时f（x）=﹣x2（1﹣）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）是R上的奇函数，可得f（x）=﹣f（﹣x），根据已知中当x∈0，+∞），代入可得答案．【解答】解：当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞）∴f（﹣x）=，又∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2（1﹣），故答案为：﹣x2（1﹣）．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中由x∈（﹣∞，0）得到﹣x∈0，20，20，20，20，20，20，kπ﹣，kπ+0，﹣，hslx3y3h，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值是﹣a+b=﹣，当2x﹣=时，f（x）取得最大值是a+b=2，∴a=2，b=0．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．20．（12分）（2016春•滁州期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n=S n（n∈N*）．+1（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．=S n，分别令n=1，2，3即可求得a2，a3，a4的值；【分析】（1）根据a n+1=S n，得，两式相减可得数列递推式，由递推式可判断{a n}（2）由a n+1从第2项起，以后各项成等比数列，从而得通项公式；=S n，【解答】解：（1）∵a n+1∴==，∴=，∴==；=S n，∴，（2）∵a n+1两式相减得：=，∴，∴数列{a n}从第2项起，以后各项成等比数列，，故数列{a n}的通项公式为．【点评】本题考查由数列递推公式求数列通项公式，解决（2）问关键是明确关系式：．21．（12分）（2016秋•大连校级月考）已知圆x2+（y﹣2）2=4，点A在直线x﹣y﹣2=0上，过A引圆的两条切线，切点为T1，T2，（Ⅰ）若A点为（1，﹣1），求直线T1T2的方程；（Ⅱ）求|AT1|的最小值．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）设出两切点坐标，根据圆的切线方程公式分别写出两条切线方程，然后把A 点坐标代入后得到过两切点的直线方程即可；（Ⅱ）求|AT1|的最小值，求出圆心到直线的距离即可．【解答】解：（Ⅰ）设切点为T1（x1，y1），T2（x2，y2），则AT1的方程为x1x+（y1﹣2）（y﹣2）=4，AT2的方程为x2x+（y2﹣2）（y﹣2）=4，把A（1，﹣1）分别代入求得x1﹣3（y1﹣2）=4，x2﹣3（y2﹣2）=4∴x﹣3（y﹣2）=4，化简得x﹣3y+2=0．（Ⅱ）求|AT1|的最小值，求出圆心到直线的距离即可．∵圆心到直线的距离d==2，∴|AT1|的最小值==2．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，考查圆的切线方程公式，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，常常利用此性质列出方程来解决问题．22．（12分）（2016秋•大连校级月考）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求{}的前n项和．（Ⅲ）求{a n b n}的前n项和．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是各项都为正数，公比为q的等比数列，运用等比数列和等差数列的通项公式，解方程可得d和q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）=（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和；（Ⅲ）a n b n=（2n﹣1）•2n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法求和，即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是各项都为正数，公比为q的等比数列，则a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，即为1+2d+q4=21，1+4d+q2=13，解得d=q=2，可得a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1；b n=b1q n﹣1=2n﹣1；（Ⅱ）==（﹣），则{}的前n项和为S n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=；（Ⅲ）a n b n=（2n﹣1）•2n﹣1，{a n b n}的前n项和为S n=1•1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，2S n=1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，相减可得，﹣S n=1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=1+2•﹣（2n﹣1）•2n化简可得，S n=3﹣（3﹣2n）•2n．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和和错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

2015—2016学年度上学期月考试题高二数学考试时间：120分钟 试卷分数：150分卷Ⅰ一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 已知某公司现有职员150人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取30个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员“和“高级管理人员”各应该抽取的人数为 （ ）A ．8 ，2B ．8 ，3C ． 6 ，3D ．6 ，22. 红、黑、蓝、白4张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 （ ） A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥事件但不是对立事件D ．以上答案都不对 ３.已知某种产品的支出广告额x 与利润额y （单位：万元）之间有如下对应数据：则回归直线方程必过 （ ） A.(5，30 ) B.(4，30) C.(5，35) D.(5，36)４. 甲乙二人玩游戏，甲想一数字记为a ，乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且}3,2,1{,∈b a ，若1≤-b a ，则称甲乙“心有灵犀”，则他们“心有灵犀”的概率为 （ ）A 31B 95C 32D 975.根据我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．求得144,28的最大公约数 为 （ ）A ．4B ．2C ．0D ．14６.用秦九韶算法求多项式234561235879653f x x x x x x x =+++++（）－在4x =－，4v 的值为 （ ）A.－57B.220C.－845D.3392７．为了研究某药品的疗效，选取若干名志 愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数 据（单位：kPa ）的分组区间为：,将其 按从左到右的顺序分别编号为第一组， 第二组，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第五组，右图是根据试验 数据制成的频率分布直方图，已知第一组与 第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人， 则第三组中有疗效的人数为（ ）A.6B.8C.12D.18８. 某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数减去实际平均数的值是 （ ） A ．5.3 B ．3- C ．3 D ．5.0-9.已知长方形ABCD 中，4AB =，1BC =，M 为AB 的中点，则在此长方形内随机取一点P ，P 与M 的距离小于1的概率为 ( ) A.8π B ．14π- C.4π D ．18π-１０.为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是 （ ）A.110 B.715 C.815 D.1315１１.根据框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（ ） A．2n a n ＝ B ．2(1)n a n ＝－ C ．2n n a ＝ D ．12n n a －＝0.24 0.16 0.08 0.3612 13 14 15 1 6 17舒张压/kpa频率/组距１２. 右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结 果，则图中空白框内应填入（ ）A. 1000NP = B. 41000NP =C. 1000MP =D. 41000MP =第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．．13. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率 是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是14. 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .15. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④27，54，81，128，135，162，189，216，243，270；关于上述样本的下列结论中，可能为系统抽样的是 ；可能为分层抽样的是 .16．执行左图，输出的F 的值三、解答题（17题10,其余每题12分）17. 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在24,,3,2,1Λ这24个整数中等可能随机产生.分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =;18. 现有6道题，其中3道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求：（I ）所取的2道题都是甲类题的概率； （II ）所取的2道题不是同一类题的概率.开始输出F结束i=i +1 Q=S, S=FF=S+Qi ≤6i =3S =0,Q =2否是19. 某校从参加科普知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，……，[90,100)后画出如右的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四段的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求这次考试的及格率（60分以上为及格）；（3）求这60名孩子的平均分20. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据x3 4 5 6 y2.5344.5（1221,ni ii nii x y nx yb a y b x xnx∧∧∧==-==--∑∑）（１） 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程$ˆybx a =+$； （２） 已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤.试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？21.某校高三某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下图，据此解答如下问题： （1）求分数在[)50,60的频率及全班的人数；（2）求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间的矩形的高； （3）若要从分数在[]80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在[]90,100之间的概率。

2015-2016学年度下学期期中考试高二数学试卷（文）考试时间：120分钟 试题分数：150分 命题人：葛莉卷Ⅰ一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =.集合{}3|<=x x A ，{}0log |2<=x x B ，则U A C B ⋂= A.{}13x x << B.{}310|<≤≤x x x 或 C.{}3x x < D.{}13x x ≤<2．复数()1z i i =-的虚部为A. 1B. 1-C. i -D. i3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线方程过(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则可推断其体重增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可推断其体重约为58.79 kg4. 若二次函数2()(2)f x x b x =+-在区间[13,2]a a -上是偶函数，则,a b 的值是 A. 1，2 B. 2，1 C. 0，2 D. 0，15.已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…， 6＋ab＝6ab(a ，b 均为实数)，则推测a ，b 的值分别是A ．a ＝6，b ＝18B ．a ＝6，b ＝25C ．a ＝6，b ＝30D ．a ＝6，b ＝35 6.函数y ＝x|x |log 2|x |的大致图象是7.下列说法错误的是A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若am 2<bm 2，则a <b ”为真命题B ．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 且q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．“x >3”是“x >2”的必要不充分条件 8.函数y =A ．[0,)+∞B ． [0,4]C ． [0,4)D ．(0,4)9.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为A.0B.1C.2D.3 10．下列四个命题：(1) 1y x =+和y =表示相等函数；(2)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(3) ()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是3a ≥-；(4)[]1,0-是223y x x =--的一个递增区间 . 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．311.已知,(1)()(4)2,(1)2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 A ．(1，＋∞) B ．上是减函数,且对任意的[12,1,1x x a ⎤∈+⎦,总有()()124f x f x -≤,求实数a 的取值范围.2015-2016学年度下学期期中考试高二数学（文科）试卷参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BBCADDDCCBBA二、填空题：13． (1,2) 14. 2 15． PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC 16．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、解答题：17. 解：（Ⅰ）∵复数z=﹣i ，∴====﹣，∴||==1；(也可以先求z 的模) （Ⅱ）由题意可得=﹣，∴=（﹣）2=﹣+2×i=．18. 解：（Ⅰ）(1,1)-（Ⅱ）奇函数（Ⅲ）增函数 19． 证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac =2bac，∴b 2＝ac .又∵b ＝a ＋c2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，即(a －c )2＝0.∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾． ∴2b ＝1a ＋1c不成立． 20．解: 设22t x x =+，则222(1)1t x x x =+=+-因为3[,0]2x ∈-，∴22t x x =+值域为[1,0]-，即[1,0]t ∈-,若1a >，函数ty a =在R 上单调递增，15213b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩22a b =⎧⇒⎨=⎩， 若01a <<，函数ty a =在R 上单调递减，123353122b a a b b ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩, 所求a ，b 的值为2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22a b =⎧⎨=⎩21．解：（Ⅰ）10c =，20a =，30b =，40d =. 76.450507030)300800(10022≈⨯⨯⨯-=K 由参考数据知有95%的把握认为性别与运动有关。

2015-2016学年辽宁省大连二十中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{x|﹣4≤x＜2}，集合N＝{x|2x＜}，则M∩N中所含整数的个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知i是复数的虚数单位，若复数z（1+i）＝|2i|，则复数z＝（）A．i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．（5分）在△ABC中，已知向量＝（2，2），||＝2，•＝﹣4，则∠A＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知a＞0，且a≠1，下列函数中，在其定义域内是单调函数而且又是奇函数的是（）A．y＝sin ax B．y＝log a x2C．y＝a x﹣a﹣x D．y＝tan ax5．（5分）下列说法中，正确的是（）A．∀α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβB．命题p：∃x∈R，x2﹣x＞0，则¬p：∀x∈R，x2﹣x＜0C．在△ABC中，“”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”成立的充分不必要条件6．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x+1），且当0≤x≤1时，f（x）＝x2﹣x，则f（﹣）＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣7．（5分）函数f（x）＝（x2﹣1）sin x的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）已知0＜α＜π，sinα+cosα＝，则cos2α的值为（）A．B．﹣C．±D．﹣9．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y＝cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．（5分）已知半圆的直径AB＝10，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A．B．﹣25C．25D．﹣11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）＝x ﹣2，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin）＞f（cos）C．f（sin1）＜f（cos1）D．f（sin）＞f（cos）12．（5分）若过点P（a，a）与曲线f（x）＝xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（0，）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量＝（m，4），＝（3，﹣2），且∥，则m＝．14．（5分）在△ABC中，已知a cos A＝b cos B，则△ABC的形状是．15．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f′（x）＞0，且，则不等式f（x）＜0的解集为．16．（5分）函数y＝的图象与函数y＝2sinπx（﹣2≤x≤4）的横坐标之和等于．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin C﹣c cos A＝0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ＝12，且曲线C 的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|F A|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．19．（12分）为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（Ⅰ）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程＝bx+a；（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的两组检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（I）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：b＝，a＝﹣b）（参考数据：x i y i＝977，＝43.4）20．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+2sin x cos x+sin（x+）sin（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）若x＝x0（0≤x0≤）为f（x）的一个零点，求cos2x0的值．21．（12分）已知向量，．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）若函数f（x）＝﹣2t的最小值为，求t的值．22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+x2﹣3x﹣（x＞0）（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）求证：e x≥x+1；（Ⅲ）求证f'（x）在（0，+∞）上为单调递增函数．2015-2016学年辽宁省大连二十中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：由2x＜＝2﹣2，解得：x＜﹣2，∴N＝{x|x＜﹣2}，∵集合M＝{x|﹣4≤x＜2}，∴M∩N＝{x|﹣4≤x＜﹣2}，∴则M∩N中所含整数为﹣4，﹣3，即整数个数为2个，故选：B．2．【解答】解：∵z（1+i）＝|2i|＝2，∴．故选：D．3．【解答】解：在△ABC中，＝（2，2），||＝2，•＝﹣4，则，A∈[0，π]，所以A＝；故选：D．4．【解答】解：A．y＝sin ax是奇函数，但在其定义域内不是单调函数，故不正确；B．y＝log a x2是偶函数，故不正确；C．f（x）＝a x﹣a﹣x，f（﹣x）＝a﹣x﹣a x，∴f（﹣x）＝﹣f（x），函数是奇函数；f（x）＝a x﹣a﹣x＝a x﹣，a＞1，函数单调递增，0＜a＜1，函数单调递减，故C正确；D．y＝tan ax是奇函数，但在其定义域内不是单调函数，故不正确．故选：C．5．【解答】解：A．取α＝β＝kπ（k∈Z），sin（α+β）＝sinα+sinβ，因此不正确；B．命题p：∃x∈R，x2﹣x＞0，则¬p：∀x∈R，x2﹣x≤0，因此不正确；C．△ABC中，“”⇒角A是锐角，但是推不出“△ABC为锐角三角形”，∴“”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，正确；D．∀x∈R，则“x＞2”⇒“x＞1”，反之不成立，∴“x＞1”是“x＞2”成立的必要不充分条件，因此不正确．故选：C．6．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x+1），且当0≤x≤1时，f（x）＝x2﹣x，∴f（﹣）＝f（﹣）＝×f（）＝×[（）2﹣]＝×﹣×＝﹣．故选：D．7．【解答】解：∵f（﹣x）＝（（﹣x）2﹣1）sin（﹣x）＝﹣（x2﹣1）sin x＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，当f（x）＝（x2﹣1）sin x＝0时，即x＝1或x＝﹣1，或x＝kπ，k∈Z，∴函数的零点有无数个，故选：A．8．【解答】解：∵∴解得sinα＝，又0＜α＜π，∴sinα＝．∴cos2α＝1﹣2sin2α＝．故选：B．9．【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象可得A＝1，＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，故f（x）＝2sin（2x+）．故把f（x）＝2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+）＝2cos2x的图象，故选：C．10．【解答】解：如图，（1）若点P和O重合，则：；∴；（2）若点P和C重合，则；∴；（3）若点P在O，C之间，则：；∴＝；；∴；∴；综上得的最小值为．故选：D．11．【解答】解：x∈[3，4]时，f（x）＝x﹣2，故偶函数f（x）在[3，4]上是增函数，又定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），故函数的周期是2所以偶函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，所以f（x）在（0，1）上是减函数，观察四个选项A中sin＜cos，故A不对；B选项中sin＞cos，故B不对；C选项中sin1＞cos1，故C对；D亦不对．综上，选项C是正确的．故选：C．12．【解答】解：设切点为（m，mlnm），f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，可得切线的斜率为1+lnm，由切线经过点P（a，a），可得1+lnm＝，化简可得＝，（*），由题意可得方程（*）有两解，设g（m）＝，可得g′（m）＝，当m＞e时，g′（m）＜0，g（m）递增；当0＜m＜e时，g′（m）＞0，g（m）递减．可得g（m）在m＝e处取得最大值，即有0＜＜，解得a＞e．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【解答】解：向量＝（m，4），＝（3，﹣2），且∥，可得12＝﹣2m，解得m＝﹣6．故答案为：﹣6．14．【解答】解：根据正弦定理可知∵a cos A＝b cos B，∴sin A cos A＝sin B cos B∴sin2A＝sin2B∴A＝B，或2A+2B＝180°即A+B＝90°，所以△ABC为等腰或直角三角形故答案为△ABC为等腰或直角三角形．15．【解答】解：∵当x＜0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∵∴不等式f（x）＜0的解集为，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（）＝0，∴不等式f（x）＜0的解集为，综上不等式f（x）＜0的解集为故答案为：．16．【解答】解：设函数y1＝，y2＝2sinπx（﹣2≤x≤4）可得两个函数的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如右图当1＜x≤4时，在区间（﹣2，）上满足0＜y1＜2而函数y2在（﹣2，1）上出现1.5个周期的图象，在（﹣2，﹣）和（﹣，）上是增函数；在（﹣，﹣）和（，1）上是减函数，且y2≤2．∴函数y2在（﹣2，1）上函数值为正数时，与y1的图象有四交点A、B、C、D相应地，y2在（1，4）上函数值为负数时，与y1的图象有四个交点E、F、G、H且：x A+x H＝x B+x G═x C+x F＝x D+x E＝2，故所求的横坐标之和为8故答案为：8三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin C﹣c cos A＝0，由正弦定理得，∵sin C≠0∴；（Ⅱ）a＝2，△ABC的面积为，∴S＝bc sin A＝＝，可得bc＝4．由a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得b2+c2﹣bc＝4，解得：b＝c＝2．18．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2＝12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2＝12得：t2﹣2t﹣2＝0，∴|F A|•|FB|＝|t1t2|＝2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2＝12，∴x＝．∴P＝4x+4y＝4+4y．令f（y）＝4+4y，则f′（y）＝．令f′（y）＝0得y＝1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y＝1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．19．【解答】解：（I）由数据得又，∴所以y关于x的线性回归方程为＝…（6分）（II）当x＝10时，＝22，|22﹣23|＜2，当x＝8时，＝17，|17﹣16|＜2所以得到的线性回归方程是可靠的…（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin2x+sin2x+（sin2x﹣cos2x）＝+sin2x﹣cos2x，＝sin2x﹣cos2x+＝2sin（2x﹣）+，∴f（x）的周期为π，由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]k∈Z．（Ⅱ）由f（x0）＝2sin（2x0﹣）+＝0，得sin（2x0﹣）＝﹣＜0，又由0≤x0≤得﹣≤2x0﹣≤，∴﹣≤2x0﹣≤0，故cos（2x0﹣）＝，此时cos2x0＝cos[（2x0﹣）+]＝cos（2x0﹣）cos﹣sin（2x0﹣）sin＝×﹣（﹣）×＝21．【解答】解：（Ⅰ）＝cos﹣sin sin＝cos2x＝+2+＝2+2cos2x＝4cos2x，∵，∴cos x∈[0，1]∴＝2cos x（Ⅱ）f（x）＝cos2x﹣4t cos z＝2cos2x﹣4t cos x﹣1＝2（cos x﹣t）2﹣2t2﹣1当t＜0时，函数在[0，1]上单调增，函数的最小值为﹣1，不满足；当0≤t≤1时，函数的最小值为﹣2t2﹣1＝，∴t＝；当t＞1时，函数在[0，1]上单调减，函数的最小值为1﹣4t＝，t＝，不满足，综上可知，t的值为．22．【解答】解：（Ⅰ），可得x＞1时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，所以f（x）存在极小值为；（Ⅱ）证明：h（x）＝e x﹣x﹣1，所以h'（x）＝e x﹣1，当x≥0时，h'（x）≥0，h（x）为增函数，当x＜0时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，所以h（x）≥h（0）＝0，所以e x≥x+1，（Ⅲ）证明：设，则，欲证f'（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，只需证明在（0，+∞）上恒成立，显然x∈（0，2]符合题意，当x＞2时，只需证明．因为（x+1）（2x+1）﹣（x2﹣2x）＝x2+5x+1在x＞2时大于零，所以，所以原式得证，所以f'（x）在（0，+∞）上为单调递增函数．。

辽宁省大连市第二十高级中学 2015—2016学年度下学期6月月考高二数学文试题考试时间：120分钟 试卷分数：150分 命题人：任中美卷Ⅰ一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．设复数z 满足=，则|z|= ( )A ．1 B. C. D.22. 函数22(x)log (x 2x 3)f =+-的定义域是 （ ）A. B. C. D.3. 命题“，”的否定是 （ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4. 设为正实数，则“”是“”的 ( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 5. 设函数，则 （ ） A.为的极大值点 B.为的极小值点 C.为的极大值点 D.为的极小值点[学 6．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在上有极值,则实数的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ．7. 函数（且）的图象可能为 （ ）A. B . C. D. 8.设是R 上的奇函数，且=－,当时，,则等于( )A -BCD －9.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ）A ．B ．C ．2D ．010.某食品的保鲜时间 (单位：小时)与储藏温度 (单位：℃)满足函数关系 (为自然对数的底数，为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是 ( )A.16小时B.20小时C.24小时D.21小时 11. 已知函数()y f x =的导数为()y f x '=，当0x ≠时，)()(/x f x xf -0<，若1212(3)3f a =，，，则的大小关系正确的是 （ ）A. B. C. D .12.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 （ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．D ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．． 13．已知函数的图像在点的处的切线过点，则 . 14．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____ . 15.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为16.若＝，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝，则实数a 的取值范围是________ ．三、解答题（17题10,其余每题12分） 17．已知为实数，函数．若，求函数在 [－32，1]上的最大值．18．已知函数()221f x x ax a ＝－＋＋－在时有最大值2，求的值．19.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)上的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表：30.02)(1) (2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？公式：222112212211212(), 6.635n n n n n n n n n χχ++++-=≥ 就有99%把握认为两件事相关20.已知函数．(Ⅰ)求函数的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当时，；21.已知，若在上的最大值为，最小值为，令，（1）求的函数表达式；（2）判断函数的单调性，并求出的最小值．22.求证：（1）（2）ln2ln3ln(1)(2) 234n n nnn-+++<≥参考答案一、ADCAD CBADC BC 二、13. 1 14. 15. 16. 三．17.解：∵f ′(－1)＝0，∴3－2a ＋1＝0，即a ＝2.——4∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝3(x ＋13)(x ＋1)．由f ′(x )>0，得x <－1或x >－13；由f ′(x )<0，得－1<x <－13.因此，函数f (x )在[－32，1]上单调递增区间为[－32，－1]，[－13，1]单调递减区间为[－1，－13]．——8∴f (x )在x ＝－1处取得极大值为f (－1)＝2；又∵f (1)＝6，∴f (x )在[－32，1]上的最大值为f (1)＝6，——1018.解：对称轴方程为x ＝a .①当a <0时，函数在[0，1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.②当0≤a ≤1时，f (x )max ＝－4（1－a ）－4a 24×（－1）＝1－a ＋a 2，∴1－a ＋a 2＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝(舍去)． ③当a >1时，函数f (x )在[0，1]上是增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上所述：a ＝－1或a ＝2.19.解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%.乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)K 2的观测值k ＝500×500×680×320≈7.35>6.635，20. （I ）()2111x x f x x x x-++'=-+=，．由得解得．故的单调递增区间是⎛ ⎝⎭． （II ）令，． 则有．当时，，所以在上单调递减， 故当时，，即当时，．21. （1）因为，所以对称轴为， 所以函数在上的最小值为当即时，所以1196,12()1112,32a a a g a a a a ⎧+-≤≤⎪⎪=⎨⎪+-≤<⎪⎩——6分（2）求导可知：所以在上为增函数，同理可得在上为减函数， 所以——12分 22.（1）2111()(22)22f x x x x x x'=-+=-++与同号， 当时，，所以，所以函数在时递减，，所以 ——6分（2）211ln 11ln 2222x x x x x x <-⇒<- 11ln 11ln 11()2222n ni i n i n i n i ==<-⇒<-∑∑——12。

2015-2016学年辽宁省大连二十中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数3．已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．74．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q5．若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2 B．C．D．6．曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B．C．D．7．若椭圆（a＞b＞0）的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）8．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若|z1|=|z2|，则B．若，则C．若|z1|=|z2|，则D．若|z1﹣z2|=0，则9．已知命题“若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是（）A．否命题“若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是减函数，则m＞1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m＞1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m＞1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”是真命题10．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件11．设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）A． B． C． D．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设复数，那么z•等于．14．f（x）=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是．15．函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+5x﹣4，则f（1）= ．16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知z是复数，z+2i和均为实数（i为虚数单位）．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）求的模．18．已知集合A={x|（ax﹣1）（ax+2）≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}．若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．20．设函数，其中a为实数．（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）已知不等式f′（x）＞x2﹣x﹣a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．21．已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1．（1）求C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．22．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）2﹣（x﹣1）（其中常数a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，1）时，f（x）＜0，求实数a的取值范围．2015-2016学年辽宁省大连二十中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【考点】命题的否定．【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论．【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D3．已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为7，求出P到另一焦点的距离即可．【解答】解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为7，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣7=3．故选B4．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．5．若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的离心率为，可得，解得即可．【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴，解得．∴其渐近线的斜率为．故选：B．6．曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=处的导数，从而求出切线的斜率．【解答】解：∵∴y'==y'|x==|x==故选B．7．若椭圆（a＞b＞0）的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】根据椭圆（a＞b＞0）的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，得到a，b的关系式；再将抛物线ay=bx2的方程化为标准方程后，根据抛物线的性质，即可得到其焦点坐标．【解答】解：∵椭圆（a＞b＞0）的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点∴2a2﹣2b2=a2+b2，即a2=3b2， =．抛物线ay=bx2的方程可化为：x2=y，即x2=y，其焦点坐标为：（0，）．故选D．8．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若|z1|=|z2|，则B．若，则C．若|z1|=|z2|，则D．若|z1﹣z2|=0，则【考点】复数代数形式的乘除运算；命题的真假判断与应用．【分析】利用特例判断A的正误；复数的基本运算判断B的正误；复数的运算法则判断C 的正误；利用复数的模的运算法则判断D的正误．【解答】解：若|z1|=|z2|，例如|1|=|i|，显然不正确，A错误．B，C，D满足复数的运算法则，故选：A．9．已知命题“若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是（）A．否命题“若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是减函数，则m＞1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m＞1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m＞1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”是真命题【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】先利用导数知识，确定原命题为真命题，从而逆否命题为真命题，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=e x﹣mx，∴f′（x）=e x﹣m∵函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数∴e x﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立∴m≤e x在（0，+∞）上恒成立∴m≤1∴命题“若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”，是真命题，∴逆否命题“若m＞1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”是真命题∵m≤1时，f′（x）=e x﹣m≥0在（0，+∞）上不恒成立，即函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上不一定是增函数，∴逆命题“若m≤1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数”是真命题，即B不正确故选D．10．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B11．设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围．【解答】解：∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是，∴f′（x0）=2ax0+b∈，∴P到曲线y=f（x）对称轴x=﹣的距离d=x0﹣（﹣）=x0+∴x0∈[，]．∴d=x0+∈．故选：B．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．∵x1＜x2，∴，．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设复数，那么z•等于 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可．【解答】解：复数，那么z•===1．故答案为：1．14．f（x）=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是 2 ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）令f′（x）=0得x=0或x=2（舍）当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f（x）的最大值为2故答案为215．函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+5x﹣4，则f（1）= ﹣1 ．【考点】导数的运算．【分析】先求出f′（1）的值，代入解析式计算即可．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣f′（1）x2+5x﹣4，∴f′（x）=﹣2f′（1）x+5，∴f′（1）=6﹣2f′（1），解得f′（1）=2．∴f（x）=lnx﹣2x2+5x﹣4，∴f（1）=﹣1．故答案为：﹣1．16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则= ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，求出A，B两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出=，即可得出结论．【解答】解：设直线l的方程为：x=y﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=y﹣，代入x2=2py，可得y2﹣3py+p2=0，∴y1=p，y2=p，从而， ==．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知z是复数，z+2i和均为实数（i为虚数单位）．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）求的模．【考点】复数求模；复数的基本概念．【分析】（Ⅰ）设z=a+bi，分别代入z+2i和，化简后由虚部为0求得b，a的值，则复数z可求；（Ⅱ）把z代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设z=a+bi，∴z+2i=a+（b+2）i，由a+（b+2）i为实数，可得b=﹣2，又∵为实数，∴a=4，则z=4﹣2i；（Ⅱ），∴的模为．18．已知集合A={x|（ax﹣1）（ax+2）≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}．若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，转化为集合的关系进行求解．【解答】解：（1）a＞0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验符合题意；┅┅┅┅┅┅┅（2）a=0时，A=R，符合题意；┅┅┅┅┅┅┅（3）a＜0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验不符合题意．综上．┅┅┅┅┅┅┅19．设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用×（）=﹣1，即得结论．【解答】（Ⅰ）解：设M（x，y），已知A（a，0），B（0，b），由|BM|=2|MA|，所以=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），解得x=a，y=b，即可得，┅┅┅┅┅┅┅所以，所以椭圆离心率；┅┅┅┅┅┅┅（Ⅱ）证明：因为C（0，﹣b），所以N，MN斜率为，┅┅┅┅┅┅┅又AB斜率为，所以×（）=﹣1，所以MN⊥AB．┅┅┅┅┅┅┅20．设函数，其中a为实数．（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）已知不等式f′（x）＞x2﹣x﹣a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=1时取极值，得到f′（1）=0，代入求出a值即可；（2）把f（x）的解析式代入到不等式中，化简得到，因为a＞0，不等式恒成立即要，求出x的解集即可．【解答】解：（1）f′（x）=ax2﹣3x+（a+1）由于函数f（x）在x=1时取得极值，所以f′（1）=0即a﹣3+a+1=0，∴a=1（2）由题设知：ax2﹣3x+（a+1）＞x2﹣x﹣a+1对任意a∈（0，+∞）都成立即a（x2+2）﹣x2﹣2x＞0对任意a∈（0，+∞）都成立于是对任意a∈（0，+∞）都成立，即∴﹣2≤x≤0于是x的取值范围是{x|﹣2≤x≤0}．21．已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1．（1）求C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率和最小距离a﹣c，解方程可得a=，c=1，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）设出直线y=kx+m，联立椭圆和抛物线方程，运用判别式为0，解方程可得k，m，进而得到所求直线的方程．【解答】解：（1）由题意可得e==，由椭圆的性质可得，a﹣c=﹣1，解方程可得a=，c=1，则b==1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）直线l的斜率显然存在，可设直线l：y=kx+m，由，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直线和椭圆相切，可得△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，即为m2=1+2k2，①由，可得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，由直线和抛物线相切，可得△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0，即为km=1，②由①②可得或，即有直线l的方程为y=x+或y=﹣x﹣．22．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）2﹣（x﹣1）（其中常数a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，1）时，f（x）＜0，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）通过讨论a的范围，确定出满足条件的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx﹣a（x﹣1）2﹣（x﹣1），（x＞0），f′（x）=﹣，①a＜﹣时，0＜﹣＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或0＜x＜﹣，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜1，∴f（x）在递减，在递增；②﹣＜a＜0时，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣或0＜x＜1，令f′（x）＞0，解得：1＜x＜﹣，∴f（x）在递减，在递增；③，f′（x）=﹣≤0，f（x）在（0，1），（1+∞）递减；④a≥0时，2ax+1＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅱ）函数恒过（1，0），由（Ⅰ）得：a≥﹣时，符合题意，a＜﹣时，f（x）在（0，﹣）递减，在递增，不合题意，故a≥﹣．2016年8月11日。