矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析

《矩阵分析与数值分析》实验报告院系：姓名：学号：所在班号：任课老师：一．设错误！未找到引用源。

，分别编制从小到大和从大到小的顺序程序计算错误！未找到引用源。

并指出有效位数。

程序如下：function sum3j=input('请输入求和个数 "j":');A=0;B=0;double B;double A;for n=2:jm=n^2-1;t=1./m;A=A+t;enddisp('从小到大：')s=Afor n=j:-1:2m=n^2-1;t=1./m;B=B+t;enddisp('从大到小:')s=B运行结果：>> sum3请输入求和个数 "j":100从小到大：s =0.740049504950495从大到小:s =0.740049504950495>> sum3请输入求和个数 "j":10000从小到大：s =0.749900004999506从大到小:s =0.749900004999500>> sum3请输入求和个数 "j":1000000从小到大：s =0.749999000000522从大到小:s =0.749999000000500二、解线性方程组1．分别Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000121001210012100124321x x x x 迭代法计算停止的条件为：6)()1(3110max -+≤≤<-k j k j j x x 。

解：（1）Jacobi 迭代法程序代码： function jacobi(A, b, N) clc;clear;A=[-2 1 0 0;1 -2 1 0;0 1 -2 1;0 0 1 -2]; b=[-1 0 0 0]'; N=100;n = size(A,1); D = diag(diag(A)); L = tril(-A,-1); U = triu(-A,1); Tj = inv(D)*(L+U); cj = inv(D)*b; tol = 1e-06; k = 1;format longx = zeros(n,1); while k <= Nx(:,k+1) = Tj*x(:,k) + cj;disp(k); disp('x = ');disp(x(:,k+1)); if norm(x(:,k+1)-x(:,k)) < toldisp('The procedure was successful')disp('Condition ||x^(k+1) - x^(k)|| < tol was met after k iterations') disp(k); disp('x = ');disp(x(:,k+1)); break endk = k+1; end结果输出The procedure was successfulCondition ||x^(k+1) - x^(k)|| < tol was met after k iterations 60 x =0.799998799067310.599998427958700.399998056850090.19999902842505（2）Gauss-Seidel迭代法程序代码：function gauss_seidel(A, b, N)clc;clear;A=[-2 1 0 0;1 -2 1 0;0 1 -2 1;0 0 1 -2];b=[-1 0 0 0]';N=100;n = size(A,1);D = diag(diag(A));L = tril(-A,-1);U = triu(-A,1);Tg = inv(D-L)*U;cg = inv(D-L)*b;tol = 1e-06;k = 1;x = zeros(n,1);while k <= Nx(:,k+1) = Tg*x(:,k) + cg;disp(k); disp('x = ');disp(x(:,k+1));if norm(x(:,k+1)-x(:,k)) < toldisp('The procedure was successful')disp('Condition ||x^(k+1) - x^(k)|| < tol was met after k iterations') disp(k); disp('x = ');disp(x(:,k+1));breakendk = k+1;end结果输出The procedure was successfulCondition ||x^(k+1) - x^(k)|| < tol was met after k iterations31x =0.799999213979350.599998971085610.399999167590770.199999583795392. 用Gauss列主元消去法、QR方法求解如下方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---017435222331325212214321x x x x (1)Gauss 列主元消去法 程序代码：function x=Gaussmain(A,b) clc;clear; format longA=[1 2 1 2;2 5 3 -2;-2 -2 3 5;1 3 2 3]; b=[4 7 -1 0]'; N=length(A); x=zeros(N,1); y=zeros(N,1); c=0; d=0;A(:,N+1)=b; for k=1:N-1 for i=k:4if c<abs(A(i,k))d=i;c=abs(A(i,k)); end endy=A(k,:);A(k,:)=A(d,:); A(d,:)=y; for i=k+1:N c=A(i,k);for j=1:N+1A(i,j)=A(i,j)-A(k,j)*c/A(k,k); end end endb=A(:,N+1);x(N)=b(N)/A(N,N); for k=N-1:-1:1x(k)=(b(k)-A(k,k+1:N)*x(k+1:N))/A(k,k); end结果输出 ans =18.00000000000000 -9.571428571428576.00000000000000-0.42857142857143（2）QR方法：程序代码function QR(A,b)clc;clear;format longA=[1 2 1 2;2 5 3 -2;-2 -2 3 5;1 3 2 3];b=[4 7 -1 0]';[Q,R]=qr(A)y=Q'*b;x=R\y结果输出Q =-0.31622776601684 -0.04116934847963 -0.75164602800283 0.57735026918962 -0.63245553203368 -0.49403218175557 -0.15032920560056 -0.57735026918963 0.63245553203368 -0.74104827263336 -0.22549380840085 -0.00000000000000 -0.31622776601684 -0.45286283327594 0.60131682240226 0.57735026918963 R =-3.16227766016838 -6.00832755431992 -0.94868329805051 2.84604989415154 0 -2.42899156029822 -4.65213637819829 -4.15810419644272 0 0 -0.67648142520255 -0.52615221960200 0 0 0 4.04145188432738 x =17.99999999999989-9.571428571428515.99999999999997-0.42857142857143三、非线性方程的迭代解法1．用Newton迭代法求方程()06cos22x=-++=-xexf x的根，计算停止的条件为：6110-+<-kkxx；编程如下：function newton(f,df,x,a,a0)syms xf=input('please enter your equation:') a0=input('please enter you x(0):');df=diff(f)e=1e-6;a1=a0+1;N=0;while abs(a1-a0)>ea=a0-subs(f,a0)/subs(df,a0); a1=a0; a0=a; N=N+1; endfprintf('a=%0.6f',a) N运行结果： >> newtonplease enter your equation:exp(x)+2^(-x)+2*cos(x)-6 f =exp(x)+2^(-x)+2*cos(x)-6 please enter you x(0):2df =exp(x)-2^(-x)*log(2)-2*sin(x) a=1.829384 N =42．利用Newton 迭代法求多项式07951.2954.856.104.5x 234=+-+-x x x的所有实零点，注意重根的问题。

第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。

2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。

4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。

5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。

7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

矩阵分析习题与解答1．名词解释：（1）单纯矩阵 （2）正规矩阵(举3例) （3）向量范数（4）矩阵A 的最大奇异值2．设有Hermite 矩阵A . 试证：A 是正定的充要条件，是存在可逆矩阵Q 使.H A Q Q =证明：必要性：设H A Q Q =, 则对0,n x x C ≠∈, 有(),0HHHx Ax x Q Qx Qx Qx ==>, 这里Q 可逆, 故正定.充分性：因为A 是Hermite 矩阵, 所以A 是正规矩阵, 因此存在酉矩阵U 使1,H n U AU λλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O其中1n λλL ，，是A 的特征值; 又A 正定, 所以1L n λλ，，都大于0; 因此H A U U ⎫⎪= ⎪⎪ ⎝OO令H Q U ⎫⎪= ⎪ ⎝O则.HA Q Q =3．设矩阵x X y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 以及222()234Y f X x y z xy yz zx ==+++++,试求： (1)()()T dtr XX dX ; (2)T dY dX .解：222T x xy xz XX yxy yz zx zyz ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 222()T T tr XX x y z X X =++= ()()()()2(22)2T TTT tr XX d tr XX tr XX x x y y z z X dX tr XX ⎛⎫∂ ⎪∂ ⎪⎛⎫⎪∂ ⎪= ⎪ ⎪∂ ⎪⎪⎝⎭⎪∂ ⎪∂⎭=⎝= ()224223234224,223,234TT T Y x x y z dY Y y x z dX y z y x Y z x y z y x z z y x ⎛⎫∂ ⎪∂++ ⎪⎛⎫∂ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪++⎝⎭∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭=++++++4．设A 为m m ⨯Jordan 块, 即1,1A λλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭OO O求矩阵指数Ate .解法一: 1111λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OO O OOO,记1,1H λλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪Λ== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OOO, 则 At t Ht =Λ+, 即Ht At t =-Λ 将x e 在t λ处展成Talor 级数,有()0!t nxn e e x t n λλ∞==-∑,因此有矩阵指数()00!!00001001!(1)!1000001!10000t nAtn t n nn m t e e At t n e H t n t t m e t λλλ∞=∞==-Λ=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪⎛⎫ ⎪⎢⎥⎪-⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎪ ⎪=+++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑L L L L O M L L O MO M M O M L故可得22122212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m At tt t t t t tt e e t t t λ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L O M O O .解法二:00t t t tAt t t t t λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OO O O OOOO00t t t tt t t t At e ee eλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==O O O O O OOO()()000!!!nn t t n t n t n n tt n e t en e t n λλλλλλλλ∞⎛⎫⎪ ⎪= ⎪∞⎪ ⎪⎝⎭=∞=⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑O OO O OO OO2212200212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m tt t t t t t tt et t t ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O O OL L O M O O 故可得22122212!(m 2)!(m 1)!12!(m 2)!112!1m m m At tt t t t t tt e e t t t λ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L O M O O .5．求常系数线性微分方程组在初始条件下的解.解：常系数线性方程组可以写为,()()X t AX t =&, 其中0123A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦, 12()()()x t X t x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 对其两端取Laplace 变换, 得()(0)()sX s X AX s -=,所以1()()(0)X s sI A X -=-, 取Laplace 反变换, 得11()()(0)X t L sI A X --⎡⎤=-⎣⎦,由于()(0)At X t e X =, 所以11(())At e L sI A --=-.由于123s sI A s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦, ()131(s 1)(s 2)(s 1)(s 2)2(s 1)(s 2)(s 1)(s 2)s sI A s -+⎡⎤⎢⎥++++⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦2111s 1s 2s 1s 22221s 2s 1s 2s 1⎡⎤--⎢⎥++++=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥++++⎣⎦2212221112s 1s 2s 1s 22221222s 2s 1s 2s 1t tt t At t tt t e ee e e L e e e e ---------⎡⎤--⎢⎥⎡⎤--++++==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦--⎢⎥++++⎣⎦满足初始条件下的解为2222221232(0)122243t tt t t t At ttt t tt e e e e e e e x e ee e e e ------------⎡⎤⎡⎤---⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦6 任一方阵可以表示成两个对称矩阵乘积的形式。

第一章误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。

1．误差的基本概念和有效数字1）．绝对误差和相对误差的基本概念设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，则称x-a为近似值a的绝对误差，简称x-a为误差．当x≠0时，x称为a的相对误差．在实际运算中，精确值x往往是未知的，所x-a以常把a作为a的相对误差．2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，如果有常数ea，使得x-a≤eaeaa称ea为a的绝对误差界，或简称为误差界．称是a的相对误差界．此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a近似x的程度越好，即a的精度越好．3）．有效数字设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，写成a=±10k⨯0.a1a2 an它可以是有限或无限小数的形式，其中ai(i=1,2, )是0,1, ,9中的一个数字，a1≠0,k 为整数．如果x-a≤1⨯10k-n 2则称a为x的具有n位有效数字的近似值．如果a有n位有效数字，则a的相对误差界满足：4）．函数计算的误差估计如果y=f(x1,x2, ,xn)为n元函数，自变量x1,x2, ,xn的近似值分别为a1,a2, ,an，则x-a1≤⨯101-n。

a2a1⎛∂ff(x1,x2, ,xn)-f(a1,a2, ,an)≈∑k=1⎝∂xkn⎫⎪⎪(xk-ak)⎭a∂f⎫∂其中⎛⎪=f(a1,a2, ,an)，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有⎪⎝∂xk⎭a∂xk⎛∂ff(x1,x2, ,xn)-f(a1,a2, ,an)≤ea≈∑k=1⎝∂xkn⎫⎪⎪eak⎭a如果令n=2，设x1,x2的近似值分别为a1,a2，其误差界为x1-a1≤ea和x2-a2≤ea2，1取y=f(x1,x2)为x1,x2之间的四则运算，则它们的误差估计为，ea1±a2≈ea1+ea1；ea1⋅a2≈a1ea1+a2ea1；ea1≈a2a1ea1+a2ea1a2，a2≠0。

矩阵论与数值分析理论及其工程应用课程设计背景与意义近年来，计算机科学技术的迅速发展给各个领域的科学研究和工程实践带来了巨大的影响。

数学和计算科学作为计算机学科的重要分支，在计算机科学技术的推动下得到了飞速的发展。

其中，矩阵论和数值分析理论是计算科学研究和工程应用中不可或缺的数学基础。

矩阵论研究矩阵的性质和运算规律，是线性代数的一部分。

数值分析理论研究数学问题的数值解法，是数学计算的一个重要研究领域。

它们在计算机科学、物理学、经济学、自然科学等众多领域都有着广泛的应用。

因此，本课程设计旨在通过对矩阵论和数值分析理论的学习和实践，帮助学生掌握和应用这两个重要的数学理论，并将其运用到具体的工程问题中，提高其解决实际问题的能力和实践操作能力。

课程设计内容理论学习本课程设计将针对矩阵论和数值分析理论两部分内容进行理论学习，包括以下内容：矩阵论1.矩阵的定义和基本运算2.线性方程组和矩阵求逆3.矩阵特征值和特征向量4.矩阵的奇异值分解（SVD）5.矩阵的正交化和QR分解数值分析理论1.数值积分和数值微分2.插值方法和拟合方法3.常微分方程数值解法4.线性方程组数值解法5.非线性方程数值解法应用实践除了理论学习外，本课程设计还将结合具体的工程应用问题进行应用实践，以加深对理论知识的理解和应用能力。

主要应用实践包括以下内容：1.基于矩阵的人脸识别算法实现2.基于最小二乘法的数据拟合实现3.基于数值微分的图像特征提取和图像处理实现4.基于数值解法的工程问题解决实现以上实践内容主要涉及到矩阵论和数值分析理论的一些具体应用案例，通过实际操作，帮助学生掌握和应用课程理论知识。

课程设计要求本课程设计对学生提出了如下要求：1.在理论学习方面，学生需要掌握矩阵论和数值分析理论的基本知识，理解其原理和运用方法；2.在应用实践方面，学生需要能够熟练掌握相关工具和编程技能，具备基本的编程思维能力；3.在课程实践过程中，学生需要积极参与课程学习和实践，完成相关任务和作业，展现自己的课程能力和实践水平。

矩阵与数值分析课后答案【篇一：李庆扬-数值分析第五版第5章习题答案(20130808)】>【篇二：李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答案】>【篇三：数值分析习题】(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的； (4) 有效数字越多,相对误差越2. 用例1.4的算法计算,迭代3次,计算结果保留4位有效数字.3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.x1?0.3040, x2?5.1?109, x3?400, x4?0.003346,x5?0.875?10?55. 证明1.2.3之定理1.1.6. 若钢珠的的直径d的相对误差为1.0%,则它的体积v的相对误差将为多少。

（假定钢珠为标准的球形）7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m成绩为60s的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字.9. 一个园柱体的工件,直径d为10.25?0.25mm,高h为40.00?1.00mm,则它的体积v的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有?r(f(x))?k??r(x), 其中k?xf?(x)f(x)并求出f(x)?tanx,x?1.57时的k值，从而说明f(x)?tanx在x?11. 定义多元函数运算?2时是病态问题．s??cixi,其中?ci?1,?(xi)??,i?1i?1nn求出?(s)的表达式，并说明ci全为正数时，计算是稳定的，ci有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：(1) y?11?x?,1?2x1?x(x?1)(x?1)1-cos2x(3) y?,(x?1)x(2) y?(4) y?p,(p?0,q?0,p?q)习题21. 填空题(1) gauss消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 ;. 主元素的绝对值太小会发生 ;(2) gauss消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为;(3) 直接lu分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为追赶法解对角占优的三对角方程组时的计算量以乘除法计为; (4) a????11??,a1?, a2?, ?(a)?; ??02??t0???,t?1 ?(a)cond2(a)?0t??(5) a????a???b(6) a???,c?b?a?0 ?(a)cond2(a)?; ?c???2．用gauss消元法求解下列方程组ax?b?11?1???(1)a??12?2?,??211????4??1????3b??0?, (2)a??2?1?????1?321??1????432??1?,b? ???343?1?????1?234????3．用列主元消元法解下列方程组ax?b．??326???(1)a??10?70?,?5?15???4. 用gauss－jordan消元法求：01??02?0??????4???2232????2?b??7?(2)a??,b????7?4?301?6????????61?6?5??6??????11?1????210? ?1?10???5．用直接lu分解方法求1题中两个矩阵的lu分解，并求解此二方程组． 6．用平方根法解方程组ax?b?321??4?????a??221?,b??3??111??6?????7．用追赶法解三对角方程组ax?b?1?2?1000??1???????12?100??0?a??0?12?10?,b??0? ?????00?12?1??0??000?12??0?????8．证明：(1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵．(2)两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵．9．由l?l1l2?ln?1，(见(2.18)式)，证明:?1?1?1?1??l211?ll3231?l?????????l?n1ln210．证明向量范数有下列等价性质：1???1ln3?ln,n?1????? ???1??(1)(2)(3)x2?x1?nxxx??2?x1?nx???x2?nx11．求下列矩阵的a1,a2,a?,??a?．?1??13?a???;?12???2??513???a??1102?.?326???12．求cond2?a??10099?1a?????;?9998?13．证明：?cos?2a?????sin??sin???. cos??(1)若a是正交矩阵，即ata?i, 则cond2?a??1;(2)若a是对称正定阵，?1是a的最大特征值，?n是最小特征值，则cond2?a???1. ?n习题31. 填空题:(1) 当a具有严格对角线优势或具有对角优势且ax=b用jacobi迭代法和gauss－seidel迭代法均收敛;(2) 当线性方程组的系数矩阵a对称正定时.(3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的小于1; sor法收敛的必要条件是 ;(4) 用迭代法求解线性方程组,若q = ? (b), q, q接近时收敛较快, q接近时收敛较慢; (5)?11?a???,bj?;bs?; ??bj????bs???12?2．用jacobi迭代法和gauss－seidel迭代法求解方程组?210??x1??3???????(1) ?121??x2????5?；(2)?012??x??4????3???1??x1??1???81??????1?51???x2???16? ?1????1?4????x3??7?各分量第三位稳定即可停止．3．用sor法解方程组，取??0.9，与取??1 (即gauss-seidel法)作比较．?321??x1???5????????573???x2???13?． ?2?57??x??3??? ?3???性?521????12?(1)?132?； (2)??32??；???112???00???21??212??0??1?21??(3)?121?；(4)?； ?01?21??212??????001?2????5???1(5)??1???1?5．方程组?1?1?1?1??1122?10?1?1??11?1； (6)2?． ?2?15?1??111??????1?110??a11a12??x1??b1????a???x?????b??a?2122??2??2?,a11?0,a22?0证明用jacobi迭代法收敛的充要条件是：r?6．设a12a21?1． a11a22?1aa???a??a1a?,a为实数；?aa1???(1)若a正定，a的取值范围；(2)若jacobi迭代法收敛，a的取值范围．习题41. 填空题：(1) 幂法主要用于求一般矩阵的jacobi旋转法用于求对称矩阵的特征值；(2) 古典的jacobi法是选择的一对元素将其消为零;(3) qr方法用于求特征值的和求出对应的． 2．用幂法求矩阵． ?621???4140?????⑴?231?，⑵??5130???102??111?????按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位． ??11111???9?2? 3．已知： a??11?1?213???。