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第二节 余弦定理
一、基础知识
1、余弦定理
2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-，B ab b a b cos 22
22-+=． 222
cos 2b c a A bc
+-=， ， ． 2、余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．
○
3已知两边及一边的对角，先求边 3、中线长定理
三角形中线长定理：如图，设AD 为ABC ∆一条中线，则)(22
222BD AD AC AB +=+
二、课堂精讲
1、余弦定理的理解
例1、在△ABC 中，若c b a <<，且222b a c +<，则△ABC 为（ ）
A 、直角三角形
B 、锐角三角形
C 、钝角三角形
D 、不存在 例2、若c b a ,,是△ABC 的三边，且122>+b a c
，则△ABC 一定是（ ）*/
A 、直角三角形
B 、锐角三角形
C 、钝角三角形
D 、等边三角形
题组训练
1、在锐角ABC ∆中，边长2,1==b a ，则边长c 的取值范围是
2、已知两边及一角解三角形
例1、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,。若1,2,60==︒=b c A ，则=a （ ）
A 、1
B 、3
C 、2
D 、3
例2、已知△ABC 的两边长分别为1和3，它们的夹角的余弦值为31
，则△ABC 的外接圆半径为（
） A 、23
B 、6
C 、2
D 、3
例3、在△ABC 中，A=120°，AB=5，BC=7，则C B
sin sin 的值为（ ）
A 、58
B 、85
C 、35
D 、53
题组训练
1、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若32
cos ,3,sin 3sin ===B a B c A b ，则=b （
）
A 、14
B 、6
C 、14
D 、6
3、已知三边解三角形
例1、边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A 、︒90
B 、︒120
C 、︒135
D 、︒150
例2、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则=∠A （ ）
A 、︒90
B 、︒120
C 、︒60
D 、︒150
例3、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A 、185
B 、43
C 、23
D 、8
7 题组训练
1、在△ABC 中，4:2:3::=c b a ，则=C sin （ ）
2、在△ABC 中，2,2+=+=c b b a ，又最大角的正弦等于2
3，则三边长为 3、△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且ac b =2
，则B 的取值范围是（ ） A 、(0,
]3π B 、[,)3ππ C 、(0,]6π D 、[,)6π
π 4、判断三角形形状
例1、在△ABC 中，若C B A 222sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ）
A 、直角三角形
B 、锐角三角形
C 、钝角三角形
D 、不能确定
例2、在△ABC 中，B=60°，ac b =2，则△ABC 一定是（ ）
A 、直角三角形
B 、等边三角形
C 、等腰直角三角形
D 、钝角三角形
例3、在△ABC 中，ab c b a c b a 3))((=-+++，且A b B a cos cos =，试判断△ABC 的形状。
题组训练
1、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且ab b a c -+=222，则△ABC 是（ ）
A 、等边三角形
B 、锐角三角形
C 、钝角三角形
D 、不能确定
2、在△ABC 中，c
b c A 22sin 2-=，则△ABC 的形状是（ ）
A 、等边三角形
B 、直角三角形
C 、等腰直角三角形
D 、等腰三角形
5、化简求值
例1、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且6,4,41cos =+==
c b a A ，且c b <，求c b ,的值。
例2、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且C a A c A b cos cos cos 2+=。
（1）求角A 的大小；
（2）若4,7=+=
c b a ，求bc 的值。
题组训练
6、图形分析
例1、在△ABC 中，已知BC=7，AC=8，AB=9，试求AC 边上的中线长
例2、如图，在平面四边形ABCD 中，AD=1，CD=2，AC=7。
（1）求CAD ∠cos 的值；
（2）若6
21sin ,147cos =∠-=∠CBA BAD ，求BC 的长。
