充要条件
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怎样理解充分条件、必要条件和充要条件张万库充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念,准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题,可以使同学们养成严谨的思维品质,提高大家的逻辑思维能力。
怎样理解这三个概念呢?1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系(条件关系),是条件对于结论成立的作用。
谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时,这个命题必须是确定的。
2. 充分条件的特征是“有之必然,无之未必不然”,即对于给定的命题“若A 则B ”,有了条件A ,结论B 一定成立(A B ⇒);没有条件A ,结论B 未必不成立,也有可能成立。
这样的条件A 就是结论B 的充分条件。
例如,在命题“若x>0,则x 20>”中,有了条件“x>0”,就一定有结论“x 20>”成立。
把条件“x>0”换成“x <0”或“x ≠0”,仍有结论“x 20>”成立。
因此条件“x >0”是结论“x 20>”的充分条件。
教材中由“p q ⇒”定义“p 是q 的充分条件”,说的就是命题“若p 则q ”中条件p 对于结论q 成立的作用。
3. 必要条件的特征是“无之必不然,有之未必然”,即对于给定的命题“若A 则B ”,没有条件A ,结论B 一定不成立(⌝⇒⌝A B );但是有了条件A ,结论B 却未必一定成立。
这样的条件A 就是结论B 的必要条件。
例如,在命题“若x R x Q ∈∈,则”中,没有条件“x Q ∈”,就一定不会有结论“x Q ∈”。
但是有了条件“x R ∈”,却未必有结论“x R ∈”,还有可能是x C Q R ∈。
因此条件“x R ∈”是结论“x Q ∈”的必要条件。
利用“⌝⇒⌝A B ”判断条件A 是结论B 的必要条件,有时是很困难的。
我们可以利用“⌝⇒⌝A B ”的等价命题“B A ⇒”来判断,但一定要注意A 还是条件,B 还是结论,即若由结论B 能推出条件A ,则条件A 对于结论B 的成立是必要的。
充要条件的概念
充要条件也即充分必要条件,意思是说,如果能从命题p推出命题q,而且也能从命题q推出命题p,则称p是q的充分必要条件,且q也是p的充分必要条件。
如果有事物情况A,则必然有事物情况B;如果有事物情况B,则必然有事物情况A,那么B就是A的充分必要条件(简称:充要条件),反之亦然。
假设A是条件,B是结论。
(1)由A可以推出B,由B可以推出A,则A是B的充分必要条件,或者说A的充分必要条件是B。
(2)由A可以推出B,由B不可以推出A,则A是B的充分不必要条件。
(3)由A不可以推出B,由B可以推出A,则A是B的必要不充分条件。
(4)由A不可以推出B,由B不可以推出A,则A是B的既不充分也不必要条件。
2.3充要条件明目标、知重点 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习,明白对条件的判断应该归结为判断命题的真假.充要条件一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p就记作p⇔q.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.探究点一充要条件的判断思考已知p:整数a是2的倍数;q:整数a是偶数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?答p是q的充分条件,p是q的必要条件.小结p⇒q,故p是q的充分条件;又q⇒p,故p是q的必要条件.此时,我们说,p是q的充分必要条件.例1在下列各题中,分析p是q的什么条件:(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种)(1)p:λa=0,q:λ=0或a=0;(其中,λ是实数,a是向量)(2)p:向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)平行,q:a1b2-a2b1=0;(3)p:四边形是矩形,q:四边形是正方形;(4)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形.解(1)因为,λa=0⇔λ=0或a=0,所以,p是q的充要条件.(2)因为,向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)平行⇔a1b2-a2b1=0,所以,p是q的充要条件.(3)因为,四边形是正方形⇒四边形是矩形,但是“四边形是矩形”不能推出“四边形是正方形”,所以,p是q的必要不充分条件.(4)因为,“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”,并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”,所以p 是q 的既不充分又不必要条件. 反思与感悟 判断p 是q 的什么条件,最常用的方法是定义法,另外也可以使用等价命题法或集合法.跟踪训练1 (1)a ,b 中至少有一个不为零的充要条件是( )A .ab =0B .ab >0C .a 2+b 2=0D .a 2+b 2>0 答案 D解析 a 2+b 2>0,则a 、b 不同时为零;a ,b 中至少有一个不为零,则a 2+b 2>0.(2)x >2的一个必要不充分条件是__________;x +y >0的一个充分不必要条件是________________.答案 x >0 x >0且y >0(答案不惟一)(3)“函数y =x 2-2x -a 没有零点”的充要条件是___________________________________. 答案 a <-1解析 函数没有零点,即方程x 2-2x -a =0无实根,所以有Δ=4+4a <0,解得a <-1.反之,若a <-1,则Δ<0,方程x 2-2x -a =0无实根,即函数没有零点.探究点二 有关充要条件的证明或求解思考 如何证明充要条件?答 分清充分性和必要性.例2 求证:方程x 2+(2k -1)x +k 2=0的两个根均大于1的充要条件是k <-2.证明 必要性:若方程x 2+(2k -1)x +k 2=0有两个大于1的根,不妨设两个根为x 1,x 2,则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=(2k -1)2-4k 2≥0,(x 1-1)+(x 2-1)>0,(x 1-1)(x 2-1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤14,(x 1+x 2)-2>0,x 1x 2-(x 1+x 2)+1>0,即⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤14,-(2k -1)-2>0,k 2+(2k -1)+1>0,解得k <-2.充分性:当k <-2时,Δ=(2k -1)2-4k 2=1-4k >0.设方程x 2+(2k -1)x +k 2=0的两个根为x 1,x 2.则(x 1-1)(x 2-1)=x 1x 2-(x 1+x 2)+1=k 2+2k -1+1=k (k +2)>0.又(x 1-1)+(x 2-1)=(x 1+x 2)-2=-(2k -1)-2=-2k -1>0,∴x 1-1>0,x 2-1>0.∴x 1>1,x 2>1.综上可知,方程x 2+(2k -1)x +k 2=0有两个大于1的根的充要条件为k <-2.反思与感悟 一般地,证明“p 成立的充要条件为q ”时,在证充分性时应以q 为“已知条件”,p 是该步中要证明的“结论”,即q ⇒p ;证明必要性时则是以p 为“已知条件”,q 为该步中要证明的“结论”,即p ⇒q .跟踪训练2 求关于x 的方程ax 2+x +1=0至少有一个负实根的充要条件.解 ①当a =0时,解得x =-1,满足条件;②当a ≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号实根,则a <0;若方程有两个负的实根,则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1a >0,-1a <0,Δ=1-4a ≥0⇒0<a ≤14. 综上,若方程至少有一个负的实根,则a ≤14. 反之,若a ≤14,则方程至少有一个负的实根. 因此,关于x 的方程ax 2+x +1=0至少有一个负实根的充要条件是a ≤14.1.“x 2>2013”是“x 2>2012”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 由于“x 2>2013”时,一定有“x 2>2012”,反之不成立,所以“x 2>2013”是“x 2>2012”的充分不必要条件.2.设{a n }是等比数列,则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 C解析 {a n }为等比数列,a n =a 1·q n -1,由a 1<a 2<a 3,得a 1<a 1q <a 1q 2,即a 1>0,q >1或a 1<0,0<q <1,则数列{a n }为递增数列.反之也成立.3.函数f (x )=x 2+mx +1的图像关于直线x =1对称的充要条件是( )A .m =-2B .m =2C .m =-1D .m =1答案 A解析 当m =-2时,f (x )=x 2-2x +1,其图像关于直线x =1对称,反之也成立,所以f (x )=x 2+mx +1的图像关于直线x =1对称的充要条件是m =-2.4.已知向量a =(x -1,2),b =(2,1),则a ⊥b 的充要条件是( )A .x =-12B .x =-1C .x =5D .x =0答案 D解析 ∵a =(x -1,2),b =(2,1),∴a ·b =2(x -1)+2×1=2x .又a ⊥b ⇔a ·b =0,∴2x =0,∴x =0.[呈重点、现规律]1.充要条件的判断有三种方法:定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别: ①p 是q 的充要条件,则由p ⇒q 证的是充分性,由q ⇒p 证的是必要性;②p 的充要条件是q ,则p ⇒q 证的是必要性,由q ⇒p 证的是充分性.(2)探求充要条件,可先求出必要条件,再证充分性;如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件.一、基础过关1.“x ,y 均为奇数”是“x +y 为偶数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 A解析 当x ,y 均为奇数时,一定可以得到x +y 为偶数;但当x +y 为偶数时,不一定必有x ,y 均为奇数,也可能x ,y 均为偶数.2.对于非零向量a ,b ,“a +b =0”是“a ∥b ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 当a +b =0时,得a =-b ,所以a ∥b ,但若a ∥b ,不一定有a +b =0.3.设x ∈R ,则“x >12”是“2x 2+x -1>0”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 不等式2x 2+x -1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12或x <-1, 故由x >12⇒2x 2+x -1>0, 但2x 2+x -1>0D ⇒/x >12,故选A. 4.平面α∥平面β的一个充分条件是( )A .存在一条直线a ,a ∥α,a ∥βB .存在一条直线a ,a ⊂α,a ∥βC .存在两条平行直线a 、b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥αD .存在两条异面直线a 、b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α答案 D解析 当满足A 、B 、C 三个选项中的任意一个选项的条件时,都有可能推出平面α与β相交,而得不出α∥β,它们均不能成为α∥β的充分条件.只有D 符合.5.设a ,b 为向量,则“|a ·b |=|a ||b |”是“a ∥b ”的________条件.答案 充要解析 由|a ||b ||cos 〈a ,b 〉|=|a ||b |,则有cos 〈a ,b 〉=±1.即〈a ,b 〉=0或π,所以a ∥b .由a ∥b ,得向量a 与b 同向或反向,所以〈a ,b 〉=0或π,所以|a ·b |=|a ||b |.6.在△ABC 中,“△ABC 为钝角三角形”是“AB →·AC →<0”的________条件.答案 必要不充分解析 当△ABC 为钝角三角形时,角A ,B ,C 中的任何一个角都有可能是钝角,不一定有AB →·AC →<0;但当AB →·AC →<0时,A 为钝角,△ABC 一定是钝角三角形.7.已知p :ab ≠0,a +b =1;q :ab ≠0,a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0.求证:p 是q 的充要条件.证明 ①先证充分性成立.∵ab ≠0,a +b =1,∴b =1-a .∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.②再证必要性成立.∵ab≠0,∴a≠0且b≠0.∵a3+b3+ab-a2-b2=0,∴(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0.∴(a2-ab+b2)·(a+b-1)=0.∵a2-ab+b2≠0,∴a+b=1.由①②知,p是q的充要条件.二、能力提升8.设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析A∪B={x∈R|x<0或x>2},C={x∈R|x<0或x>2},∵A∪B=C,∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.9.下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以为x2<1的充分条件的所有序号为________.答案②③④解析由于x2<1即-1<x<1,①显然不能使-1<x<1一定成立,②③④满足题意.10.给出下列命题:①命题“若b2-4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题;②命题“在△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC为等边三角形”的逆命题;③命题“若a>b>0,则3a>3b>0”的逆否命题;④“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的逆命题.其中真命题的序号为________.答案 ①②③解析 ①否命题:若b 2-4ac ≥0,则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有实根,真命题; ②逆命题:若△ABC 为等边三角形,则AB =BC =CA ,真命题;③因为命题“若a >b >0,则3a >3b >0”是真命题,故其逆否命题为真;④逆命题:若mx 2-2(m +1)x +(m -3)>0的解集为R ,则m >1,假命题,因为⎩⎪⎨⎪⎧m >0,[-2(m +1)]2-4m (m -3)<0,得m ∈∅. 所以应填①②③.11.已知p :12≤x ≤1,q :(x -a )(x -a -1)≤0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________.答案 [0,12] 解析 由(x -a )(x -a -1)<0得a ≤x ≤a +1,而p 是q 的充分不必要条件,所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12,a +1>1,或⎩⎪⎨⎪⎧a <12,a +1≥1,,得0≤a ≤12. 12.求证:一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 充分性:(由ac <0推证方程有一正根和一负根)∵ac <0,∴一元二次方程ax 2+bx +c =0的判别式Δ=b 2-4ac >0.∴方程一定有两不等实根,设为x 1,x 2,则x 1x 2=c a<0,∴方程的两根异号. 即方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根.必要性:(由方程有一正根和一负根推证ac <0)∵方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根,设为x 1,x 2,则由根与系数的关系得x 1x 2=c a<0,即ac <0, 综上可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.三、探究与拓展13.设x ,y ∈R ,求证:|x +y |=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 充分性:如果xy ≥0,则有xy =0和xy >0两种情况,当xy =0时,不妨设x =0,得|x +y |=|y |,|x |+|y |=|y |,∴等式成立.当xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0时.又当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,∴等式成立.当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y=-(x+y),∴等式成立.总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.必要性:若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,得|x+y|2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x|·|y|,∴|xy|=xy,∴xy≥0.综上可知,“xy≥0”是“等式|x+y|=|x|+|y|成立”的充要条件.。
什么是充分条件什么是必要条件什么是充要条件假设A是条件,B是结论由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件(充分且必要条件)简单一点就是:由条件能推出结论,但由结论推不出这个条件,这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件,但由条件推不出结论,这个条件为必要条件如果既能由结论推出条件,又能有条件推出结论,这个条件为充要条件·定义:1.充分条件:假如A命题成立,则B命题必然成立。
那么我们把A命题叫做B命题的充分条件。
2.必要条件:假如A命题不成立,则B命题一定不成立,那么我们把A命题叫做B命题的必要条件。
3.充要条件:假如A命题成立,则B命题必然成立,且假如A命题不成立则B命题一定不成立。
那么A命题就叫做B命题的充分必要条件,简称充要条件。
定义:1.充分条件,如果A发生必然导致B发生,则A为B的充分条件。
2.必要条件,如果A不发生必然导致B不发生,则A为B的必要条件。
3.如果A为B的充分条件,且为B的必要条件,则A为B的充分必要条件,简称充要条件。
(1.充分条件:有甲这个条件一定会推出乙这个结果,但有乙这个结果不一定是因为有甲这唯一一个条件。
关联词是:只要……就…… , 甲→乙, 是“顺推”的结果。
只要有甲这个条件就必然有乙这个结果。
是甲“包含”乙的关系。
例如:只要天下雨,地就会湿。
分析:有“下雨”这个条件就一定有“地湿”这个结果,但“地湿”这个结果不一定就是“天下雨”造成的,也许还可能有其他的条件原因,如洒水车洒的、别人喷的等等。
2.必要条件:有甲这个条件不一定能推出乙这个结果,但乙这个结果一定要有甲这个条件。
有乙这个结果必须要有甲这个条件满足。
甲&丙&丁=1 ←乙,是“逆推”的关系。
必要条件是什么意思
关于对充分条件、必要条件、充要条件的最简单扼要的理解:
充分条件:有A就一定有B,则A是B的充分条件;
必要条件:无A就一定无B,则A是B的必要条件;
充要条件:有A就一定有B,无A就一定无B,则A是B的充要条件。
例如:烧火一定会发热,烧火是发热的充分条件;
反过来,不烧火就不会发热,这不成立。
感冒也会发热,所以,烧火
不是发热的必要条件。
又例如:手机没电就开不了手机。
那么,手机有电就是开手机的必要
条件,但不是充分条件,手机有电也可以不开手机。
再例如:有生就一定有死,没有生就必然没有死,所以,生是死的充
要条件。
反过来,有死就一定有生,没有死就必然没有生。
所以,死也是生的
充要条件。
生与死是互为充要条件。