武汉大学线性代数2009-2010期末试卷

第 1 页 共 5 页上 海 海 事 大 学 试 卷2009 — 2010 学年第二学期期末考试试题答案《 线 性 代 数 》（B 卷）班级 学号 姓名 总分一、填空题（共9题10空，每空3分，共30分）请将正确答案写在题目后面的横线上。

1．()734=A ， ()111=B ，则A B T ＝ 。

⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛734734734 2．设21,αα是n 维向量，令1212ααβ-=，212ααβ+=，213ααβ-=，则向量组321,,βββ的线性相关性是 。

答案 线性相关3．已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型，则参数λ的取值范围为答案 <<-λ315315 4. 设3351110243152113------=D ，D 的),(j i 元的代数余子式记作ij A ，则3231A A += 答案 245．设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ. 若行列式48|2|-=A ,则λ= . 答案λ=-1.6．已知()1,1,1,2，()a a ,,1,2，()a ,1,2,3，()1,2,3,4线性相关，并且1≠a ，a = ．--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 5 页答案 1/27．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10000002y B 相似，则_________,==y x 。

答案 1,0==y x8．要使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=43211211t A 的秩最小，则__________=t 。

WORD格式整理……_…_学年第一学期期末考试－20102009_…__…_试卷《线性代数》…__…__…_分钟完卷。

分，1201、本试卷共6页，五个大题，满分100答卷说明：_…_…__…号2、闭卷考试。

…学）线（_总分五三四一二_…__…题号_…__…_分数_…__…_…________________ :_____________ 总分人：评阅人…_名…姓…) 分分,共24一、单项选择题。

(每小题得分……）级封班（11?31_…__…111?3__?…行列式【】1._1?311…__…_3111?_…_业……专3021(B) (D)(A) (C) …__…__…???A?A32?3?A阶方阵，数2. 】设，为，则【_…__）_6?624?24 (D) (A) (C) (B) _密_系（n,BA,阶方阵，则下列式子一定正确的是【】3.已知为…__…__…_222B?2(A?B)AB?A?BAAB? (A) (B)_…_…__…_22B?A?B?B)(A?)(A BA?AB (D) (C)_…__…_…_?0??aA?A3A【】4.设，则为阶方阵, _…__……243aaaa (D) (A) （ B) (C)AB等价，则有 5.设矩阵与【】专业技术参考资料WORD格式整理R(A)?R(B)R(A)?R(B) (A) (B)R(A)?R(B)R(A)R(B)的大小不能确定 (C) 和 (D)n Ax?0Ax?0A r有非零解的系数矩阵【】6.设，则元齐次线性方程组的秩为的充分必要条件是r?nr?nr?n nr? (B) (C) (D) (A)a,a,,a(m?2) 向量组】【 7. 线性相关的充分必要条件是m21a,a,,a (A) 中至少有一个零向量m12a,a,,a (B) 中至少有两个向量成比例m12a,a,,a m?1(C) 个向量线性表示中每个向量都能由其余m21a,a,,a m?1(D) 个向量线性表示中至少有一个向量可由其余m21n A与对角阵相似的充分必要条件是阶方阵】8. 【nn)?R(A A个互不相同的特征值有(A) (B)n AA一定是对称阵个线性无关的特征向量 (D)(C)有) 分,共15二、填空题。

武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷《计算方法》 （A 卷） （36学时用）学院： 学号： 姓名： 得分：一、（10分）已知)(x f y =的三个值（1） 求二次拉格朗日插值 L )(2x ； （2）写出余项)(2x R 。

二、（10分）给定求积公式)31()31()(11f f dx x f +-≈⎰-求出其代数精度，并问是否是Gauss 型公式。

三、（10分）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都是非病态的（范数用∞⋅）。

四、（12分）已知方程0410=-+x e x 在]4.0,0[内有唯一根。

迭代格式A ：)104ln(1n n x x -=+；迭代格式B ：)4(1011nx n ex -=+试分析这两个迭代格式的收敛性。

五、（12分）设方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212122211211b b x x a a a a ，其中02211≠a a ，分别写出Jacob 及Gauss-Seidel 迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。

六、（12分）已知)(x f y =的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ⎰2.20.1)(dxx f七、（12分）2009年5月左右，北美爆发甲型H1N1流感，美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。

为使计算简单，分别用x =-1，0，1，2代表2009年5月2，3，4，5日。

根据上面数据，求一条形如bx ax y +=2的最小二乘拟合曲线。

八、（12分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程：⎩⎨⎧=+='1)0(2y y x y ]1,0[∈x 。

（取步长5.0=h ）九、（10分）对于给定的常数c ，为进行开方运算，需要求方程02=-c x 的根。

（1）写出解此方程的牛顿迭代格式；（2）证明对任意初值c x >0, 牛顿迭代序列}{n x 单调减且收敛于c .武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷1、解：（1）二次拉格朗日插值为22(1)(2)(0)(2)(0)(1)511()0.2( 1.8) 1.82(01)(02)(10)(12)(20)(21)22x x x x x x L x x x ------=⋅+-⋅+⋅=-+------=（2）余项为'''2()()(1)(2)3!f R x x x x ξ=--2、解：当()1f x =时，=2,=2左边右边； 当()f x x =时，=0,=0左边右边； 当2()f x x =时，22=,=33左边右边；当3()f x x =时，=0,=0左边右边； 当4()f x x =时，22=,=,59≠左边右边左边右边；于是，其代数精度为3，是高斯型求积公式。

⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭2 2 1 2 2 6 1 23 武汉大学 2016-2017 学年第二学期期末考试线性代数 B 试题（A ）2 0 4一、（8 分）不求出行列式的值,用行列式的性质,判断行列式 5 2 7 能被17 整除.2 5 5二、（10 分）什么样的矩阵 X 满足下面等式：⎛1-3 2⎫X -⎛ 3 -2⎫ ⎛1 0⎫ = . -1 3 0 ⎪ 1 1 ⎪ 1 1 ⎪⎛ 1 2 -3⎫ ⎛ 1 0 0⎫ ⎛ 1 2 3 ⎫三、（10 分）设 A = 0 1 2 ⎪, B = 2 1 0⎪, C = 4 5 7 ⎪ ,求 A -1B T (CB -1 + E )T -[(C -1 )T A ]-1.0 0 1 ⎪ 0 0 1 ⎪ 7 8 9 ⎪x +1 x xx四、（10 分）计算 n 阶行列式 D n =xx x + 2 x x x + 3 xx 的值.xxxx + n五、（12 分）求向量组α1 = (1,3,3,1) , α2 = (1, 4,1, 2) ,α3 = (1, 0, 2,1) ,α4 = (1, 7, 2, 2) 的秩及一个最大无关组，并用最大无关组线性表示向量组中其它向量。

六、（6 分）设向量组α1,α2 ,,αr 是齐次方程组 AX = 0 的一个基础解系，向量 β 不是方程组 AX = 0 的解，求证： β , β +α1,线性无关。

⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫⎛ 2 ⎫ ⎛ 4 ⎫⎛ -2 ⎫ ⎛ -6 ⎫ 七、（10 分）已知三阶方阵 A 满足 A 2 ⎪ = 2 ⎪ ， A -2 ⎪ = -4 ⎪ ， A -1⎪ = -3⎪，⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(1)求A .（2）计算行列式|A |和|A 2- 2A + 3I | 的值；（3）判断 A 是否为正定矩阵。

备用试题武汉大学数学与统计学院2003-2004学年第1学期《线性代数》试题 (工科54学时)姓名 学号 班号 专业 成绩 说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。

一、计算n 阶行列式D = 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 a a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 的值 。

二、若矩阵A 和B 满足关系：2242A B A B A =+-。

其中A ＝ 123012001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭－－－，求矩阵B 。

三、给定矩阵A ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------11011111100222021110，求()R A 。

四、已知1(1 0 2 3)α=，，，，2(1 1 3 5)α=，，，，3(1 1 2 1)a α=+，－，，，4(1 2 4 8)a α=+，，，， 且(1 1 +3 5)b β=，，，，1） a b ，为何值时，β不能表示成1α，2α，3α，4α的线性组合？ 2）、 a b ，为何值时，β有1α，2α，3α，4α的唯一线性表达式？并写出该表达式。

五、若A ，B 是同阶可逆矩阵，请证明()AB B A ***=，其中A *是A 的伴随矩阵，()A B *和B *具同样意义。

六、求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++43322321321321x x x x x x x x x 的通解。

七、已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T 2(2, 2, 1)α＝是A 的对应于121λλ＝＝的特征向量，1) 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，请求出该特征向量，若不能，也请说明理由。

2) 能否由此求得实对称阵A ？若能则请求之，若不能则请说明理由。

八、设222(,,)2422f x y z x y z axy yz =++++为正定二次型，试确定实数a 的最大取值范围。

同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第一学期课名：线性代数B 考试考查：考试一、填空题（每空3分，共24分）1、设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵123(,,)A ααα=,()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12.解：由矩阵之间的关系，我们可以得到1321941278B A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，对等式两边取行列式，有 1321941278B A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

所以得到-12B =2、 设分块矩阵A O C O B ⎛⎫=⎪⎝⎭, ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为4.(A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 解：A. 若,A B 均可逆，说明,A B 的行列式都不为0，则我们可以根据拉普拉斯定理求出C的行列式为A B ，所以可知C 的行列式也不为0，即C 可逆.B ．若,A B 均为对称阵，则有,TTA AB B ==，对矩阵C 取转置，根据对角阵性质有T TT A O A O C C O B O B ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 也是对称阵。

C ．若,A B 均为正交阵, 则有,T T A A E B B E ==，固T T TT T A O A O A A O C C E O B O B O B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

所以C 也为正交阵. D ．若,A B 均可对角化,则有-1-112,A P P B Q Q =Λ=Λ,则-1-111-1-122=O P O P P O P O C O O Q OQ Q O Q Λ⎛⎫⎛⎫Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎪ΛΛ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令P O M O Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则原式可看成-1-111-12P P O C M M OQ Q ⎛⎫Λ==Λ ⎪Λ⎝⎭ 固以上4个全对（考试里出现全对的情况还是第一次见）3、设2341345145617891D =，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为0. 解：直接利用代数余子式性质，求113411451015611891D == 4、设向量组(I):12,,,r ααα 可由向量组(II):12,,,s βββ 线性表示，则D 成立.(注：此题单选)(A)．当r s <时，向量组（II ）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II ）必线性相关(C)．当r s <时，向量组（I ）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I ）必线性相关解：直接分析，举反例，A 反例1201,,,10200r r ααα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（）， ()12100,,,0103001s s βββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，；B 反例()12100,,,0103001s s βββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，，121000,,,010040011r r ααα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，（）；C 反例1201,,,10200r r ααα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，（），()12100,,,0103001s s βββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，；D.正确，这个很显然。

⎪ ⎝ ⎭1 2 3 4 ⎝ ⎭⎝ ⎭武汉大学 2017-2018 学年第二学期期末考试线性代数 B 试题（A ）1、（10 分）若α1,α2 ,α3 , β1, β2 都是四维列向量，且四阶行列式 α1α2α3 β1 列式 α3α2α1 (β1 + β2 ) .= m , α1α2 β2α3 = n , 计算四阶行⎛ 1 0 1 ⎫2、（10 分）已知 3 阶方阵 A = 0 2 0 ⎪ ，3 阶矩阵 B 满足方程 A 2 B - A - B = E ，试求矩阵 B .-2 0 1 ⎪ 3、（10 分）已知向量e 1, e 2 , e 3 不共面，试判断向量α = 3e 1 + 2e 2 - e 3 , β = e 1 + e 2 - e 3 ,γ = -e 1 + 4e 2 + 5e 3 是否共面。

4、（10 分）设 A = (α 1，α 2，α 3，α 4 ) 为 4 阶方阵，其中α 1，α 2，α 3，α 4 是 4 维列向量，且 α 2，α 3 , α 4 线性无 关，α 4 = α 1 + α 2 + α 3 .已知向量 β = α 1 + α 2 + α 3 + α 4 ，试求线性方程组 Ax = β 的通解.5、（12 分）设有向量组α = (1, 3, 3,1)T,α = (1, 4,1, 2)T,α = (1, 0, 2,1)T,α = (1,7, 2, k )T（1）问k 为何值时，该向量组线性相关？（2）在线性相关时求出该向量组的一个极大线性无关组并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

6、（10 分）设 A 是 3 阶方阵，互换 A 的第一、第二列，得矩阵 B ；再将 B 的第二列加到第三列上得矩阵 C ；然后再将矩阵 C 的第一列乘以 2 得到矩阵 D ;求满足 AX = D 的可逆矩阵 X .⎛ 2 2 0 ⎫ 7、（10 分）若矩阵 A =8 2 a ⎪ 可以对角化，设与 A 相似的对角矩阵为Λ ；（1）试求常数a 的值及对角⎪ 0 0 6 ⎪ 矩阵Λ ，可逆矩阵 P 使得 P -1AP =Λ .8、（10 分）已知α 1 ，α 2 ，α 3 与 β 1 ，β 2 ，β 为所有 3 维实向量构成的线性空间 R 3的两组基, α 1 ，α 2，α 3 到 ⎛ 0 2 -1⎫ β ，β ，β 的过渡矩阵为P =-1 0 2 ⎪ 且α = (1, 0, 0)T , α = (1,1, 0)T , α = (1,1,1)T , 1 2 3 ⎪ 1 0 0 ⎪ 1 2 3试求：(1) 基 β 1 ，β 2 ，β 3 ；(2) 在基 α1 ,α 2 ,α3 与 β1 , β2 , β3 下有相同坐标的全体向量. 9、（8 分）设n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 A *, 证明：若 A = O , 则 A *= O ；10、（10 分）设实二次型 f (x , x , x ) = (x - x + x )2 + (x + x )2 + (x + ax )2其中a 为参数。

武汉大学数学与统计学院2005－2006第一学期《线性代数》B 卷（供72学时用）姓名 学号 专业 成绩一、计算题：（以下5题，每题8分，共40分） 1．设()11,1,1αT=()21,2,3αT=()31,3,t αT=，求t 使得线性相关.2．已知矩阵，求A 的伴随阵*A . 3．已知111222333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求22005A A 和.4．计算：211121314222122324233132334244142434100001111x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+++.及矩阵211213142212232423132334241424341111x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩. 5．设n 阶方阵A 的各行元素之和均为，当A 可逆，且时，求的各行元素之和.二、解答题和证明题（以下6题，共60分）：1．(10分)求解齐次线性方程组: 12341234123412343 0253 044319022 0x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎪⎨-++=⎪⎪--+=⎩.2．(10分)求矩阵X ，使满足AX =A +2X , 其中301110014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.3．(10分)设线性空间3R 中的六个向量如下:1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-031，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-601，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-283，1β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210，2β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--652(1)求出由1α,2α,3α,4α生成的子空间L(1α,2α,3α,4α)的维数，并选出一个基； (2)对1β和2β中属于L (1α,2α,3α,4α)者，给出其在(1)中所选的基下的坐标. 4．(15分)设A 的一个特征值为1, 其中A ＝.(1)求常数；(2)求可逆矩阵P ，使AP 为对角阵；(3)设向量=(5, 3, 3)，计算A (k 为正整数).5．(10分)已知A 是n 阶可逆矩阵, 证明A T A 是n 阶正定矩阵. 6．(5分)设是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵（n m ≤），其中I 是n 阶单位矩阵，若AB I =，证明B 的列向量组线性无关.（2005－2006上）线性代数B 卷参考解答： 一、计算题：1．对实数,令：得方程组， 其系数行列式,即t=5时，方程组有非零解，相应，线性相关.2．由初等变换求得101110123321A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，则*1011012321A A A -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭.3．记，，因此所以2()()()A αβαβαβαβT T TT ==，而，则26A A =；同理可求:20052004()()()()()()()AαβαβαβαβαβαβαβαβαβT T T T T T T T T =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=＝20046A .4. 第1列乘以i x -加到第1i +列(1,2,3,4)i =,则12341234110000100001001x x x x x D x x x ----=421234i=142i=11+010001+001000001001i i x x x x x x ----==∑∑.易知0D A =≠, 则矩阵211213142212232423132334241424341111x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为4. 5．因的各行元素之和为，即，(),或，即.又因为A 可逆，得，即各行元素之和均为.二、解答题和证明题：1．对系数矩阵作初等行变换化：因24()()R A R B ==<，故有无穷多解。

备用试题武汉大学数学与统计学院2003-2004学年第1学期《线性代数》试题 (文科54学时)姓名 学号 班号 专业 成绩一、（20分）填空题：1、 设A 是n 阶可逆矩阵，若行列式|A|=n1-，则行列式|A -1|=__________；2、 设A 是3阶矩阵，R(A) = 2，若矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛201010101，则R(AB) = ___________； 3、 设A 、B 是n 阶矩阵，E 是n 阶单位矩阵，A+2E = B ，5是B 的一个特征值，则A 必有特征值__________；4、 若n 阶方阵A 与B 相似，且|A| = 2，则|AB| =_______ ；5、 当α_________时，实二次型)x ,x ,x (f 321=3223222121x x x x )(x -+++α是正定二次型。

二、（20分）选择题：1、 设A 是n 阶可逆，则下列命题中错误的是（ ）（A ）A T 必可逆 （B ）A 2必可逆（C ）2-A 必可逆 （D ）A+E 必可逆2、 设1α，2α，3α，4α均是4维向量，其中1α，2α，3α线性相关，则（ ）（A ）4α必可由，3α线性表示 （B ）3α必是1α，2α的线性组合 （C ）1α，2α，3α，4α必线性相关 （D ）1α，2α必线性相关 3、 （ ）五元齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-9405201031102⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54321x x x x x =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001的自由未知量可取为： （A ）54x ,x （B ）53x ,x （C ）421x ,x ,x （D ）5x4、 （ ）设矩阵A 经过若干次初等变换后变成矩阵B ，则A 与B（A ）相似 （B ）等价（C ）有相同的特征值 （D ）有相同的特征向量 5、 （ ）设n 维向量组n ,,,ααα 21两两正交，则以下不正确的是：（A ）此向量组线性相关 （B ）此向量组线性无关 （C ）它们R n构成的一组基 （D ）它们R n构成的一组基三、（12分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++=++bax x x x x x x x x 3213213214132303 有无穷多个解。

T AB =______________.2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，123,,βββ是它的 三个解向量，且12(2,6,3),T ββ+=-23(6,8,5),T ββ+=-则该线性方 程组的通解是__________.3. 设123625t A t t ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的行向量线性相关，则实数t 满足的条件是 _________.4．令ii A 是三阶矩阵A 的元素ii a 的代数余子式（i =1，2，3），若A 的特征值为3，4，5，则112233A A A ++=__________.5．若101020105A c c ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪-⎝⎭是正定矩阵，则c 的取值范围为 ___________.二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，则____________. （1）A+B 为正交矩阵 （2）A-B 为正交矩阵（3） B AB 为正交矩阵（4）k AB 为正交矩阵(k >0为实数)2．设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵O A D B O ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵是____________.（1）11A O O B --⎛⎫⎪⎝⎭ （2）11O B A O --⎛⎫⎪⎝⎭ （3） 11B O OA --⎛⎫⎪⎝⎭ （4）11O A BO --⎛⎫ ⎪⎝⎭3． 设α与β是线性无关的单位向量，则α与β的内积必 ____________.（1） >0 （2）<0 （3）>1 （4）<14.设A 为n 阶可逆矩阵，1*,,T A A A -分别是A 的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若ξ是A 的特征向量，则下列命题中的不正确的是________.（1）ξ是T A 的特征向量 （2）2ξ是1A -的特征向量 （3）3ξ是*A 的特征向量（4） 4ξ是kA 的特征向量（k 为常数）5.设222623222,000222000A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则____ ____. （1）A 与B 是相似的且是合同的 （2）A 与B 是相似的但不是合同的 （3）A 与B 不是相似的但是合同的 （4）A 与B 不是相似的也不是合同的三．（15分）试求五元齐次线性方程组123451234512345330,30,0x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪-++-+=⎨⎪+++-=⎩的解空间V(作为5R 的子空间)的一组规范（标准）正交基。

大学线性代数期末试题一、填空题（每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3、n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

线性代数期末试卷一、 填空题 （将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1、设1D = 3512， 2D =345510200，则D =12D D OO =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）1、若方程13213602214x x x x -+-=---成立，则x 是 （A ）-2或3； （B ）-3或2；（C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； （B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。